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Semana 6 [1/60]

Espacios Vectoriales

24 de agosto de 2007


Espacios Vectoriales Semana 6 [2/60]

Definición

Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir

+ es ley de composición interna

+ es asociativa y conmutativa.

Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .

∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.

Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V

(λ, v) 7→ λv ∈ V .



Definición







(λ, v) 7→ λv ∈ V .



Definición

Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .

(EV2) λ(x + y) = λx + λy .

(EV3) λ(βx) = (λβ)x .

(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.

v ∈ V −→ vector .

λ ∈ K −→ escalar .



Definición


(EV2) λ(x + y) = λx + λy .

(EV3) λ(βx) = (λβ)x .






Ejemplos

EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.

(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)

(λ, A) 7→ λA = (λaij)

Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:

∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)

∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)

o bien, si p(x) =n

∑

i=0aix i , q(x) =

n∑

i=0bix i

(p + q)(x) =n

∑

i=0

(ai + bi)x i , (λp)(x) =n

∑

i=0

(λai)x i .



Ejemplos



(λ, A) 7→ λA = (λaij)


∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)

∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)

o bien, si p(x) =n

∑

i=0aix i , q(x) =

n∑

i=0bix i

(p + q)(x) =n

∑

i=0


∑

i=0

(λai)x i .



Ejemplos

Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v

donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.

El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C

(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi

Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.



Ejemplos




(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi




Un par de propiedades

EjercicioSea V un e.v. sobre K. Se tiene que:

1 0v = v0 = 0, ∀v ∈ V , 0 ∈ K, elemento neutro aditivo de K.

2 λ0 = 0λ = 0, ∀λ ∈ K, 0 ∈ V , elemento neutro aditivo de V .

3 λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0, λ ∈ K, v ∈ V .







3 λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0, λ ∈ K, v ∈ V .


Subespacios Vectoriales Semana 6 [30/60]

Definición

Subespacio vectorialSea V espacio vectorial sobre K. U 6= φ, es un subespacio vectorial (s.e.v)de V si y sólo si:

1 ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U2 ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.

Es decir, ambas operaciones, la interna y la externa, son cerradas en U.



Definición


1 ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U2 ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.




Caracterización

ProposiciónV e.v. sobre K. U 6= φ, es subespacio vectorial (s.e.v) de V si y sólo si:

∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.

AtenciónSi U es s.e.v. de V , entonces 0 ∈ U.



Caracterización


∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.




Ejemplos

EjemplosPn(R), es subespacio de F(R,R).

U = {(x , y)/ax + by = 0} es un subespacio vectorial de R2.

Dada M ∈ Mmn(R), el conjunto U = {x ∈ Rn/Mx = 0} es un s.e.v. de Rn.



Ejemplos






Intersecciones y uniones de s.e.v’s

Sea V e.v. sobre K y U, W ⊆ V s.e.v.’s de V .

U ∩ W es subespacio vectorial de V .

Sin embargo,U ∪ W no tiene por qué serlo.

EjemploU = {(x , y) ∈ R2/x − y = 0}, W = {(x , y) ∈ R2/y − 2x = 0} como s.e.v.’s deR2.


Combinaciones lineales Semana 6 [43/60]

Definición

Combinación linealSea V e.v. sobre K, y una colección de vectores v1, v2, ..., vn ∈ V , y deescalares λ1, ..., λn ∈ K .

Se llama combinación lineal an

∑

i=1

λivi = λ1v1 + ... + λnvn ∈ V .

Se define además:

〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n

∑

i=1

λivi , λi ∈ K}.Espacios Vectoriales


Definición



∑

i=1

λivi = λ1v1 + ... + λnvn ∈ V .

Se define además:

〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n

∑

i=1



Subespacio vectorial generado

Se tiene que:

ProposiciónSean V e.v. y v1, ..., vn ∈ V . Entonces

〈{v1, . . . , vn}〉 es un subespacio vectorial de V .

Es el s.e.v. más pequeño que contiene los vectores v1, . . . , vn. Es decir, siotro s.e.v U los contiene, entonces 〈{v1, . . . , vn}〉 ⊆ U.

〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n

∑

i=1

λivi , λi ∈ K}.Subespacio vectorial generado por {vi}

ni=1.




Se tiene que:




〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n

∑

i=1


ni=1.


Dependencia e independencia lineal Semana 6 [50/60]

Definición

Definiciones{vi}

ni=1 ⊆ V , son linealmente dependientes (l.d.) si y solo si: existen

escalares {λ1, ..., λn}, no todos nulos, tales quen∑

i=1λivi = 0.

En caso contrario son linealmente independientes (l.i.):n

∑

i=1

λivi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, ..., n,



Definición

Definiciones{vi}

ni=1 ⊆ V , son linealmente dependientes (l.d.) si y solo si: existen

escalares {λ1, ..., λn}, no todos nulos, tales quen∑

i=1λivi = 0.

En caso contrario son linealmente independientes (l.i.):n

∑

i=1

λivi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, ..., n,



Observaciones

ObservacionesPara A, B ⊆ V ,

0 ∈ A ⇒ A es l.d.

A es l.d. y A ⊆ B, entonces B es l.d.

A es l.i. y B ⊆ A, entonces B es l.i.



Observaciones


0 ∈ A ⇒ A es l.d.





Caso de Kn

Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),

i = 1, ..., m.

Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:

λ1v1 + ... + λmvm = 0

⇔ λ1

v11

v21...

vn1

+ λ2

v12

v22...

vn2

+ ... + λm

v1m

v2m...

vnm

=

0......0

⇔

v11 v12 · · · v1m

v21 v22 · · · v2m... ... ...

vn1 vn2 · · · vnm

λ1

λ2...

λm

=

0......0

∈ Km.

{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.



Caso de Kn


i = 1, ..., m.


λ1v1 + ... + λmvm = 0

⇔ λ1

v11

v21...

vn1

+ λ2

v12

v22...

vn2

+ ... + λm

v1m

v2m...

vnm

=

0......0

⇔

v11 v12 · · · v1m

v21 v22 · · · v2m... ... ...


λ1

λ2...

λm

=

0......0

∈ Km.




Caso de Rn

Así:

TeoremaEn Rn, m > n vectores son siempre linealmente dependientes.


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