capitulo i (edos)

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues proporciona el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos de la ciencia y la ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la finalidad de comprender mejor el comportamiento de la naturaleza y mundo que nos rodea.

Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de

la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y que

esta fuerza es constante).

Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire.

Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su

aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él.

Esto lleva a la siguiente ecuación:

Sea una función que representa la altura del objeto en el tiempo . Luego al derivar la función

altura, obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante . Finalmente al derivar por

segunda vez obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante .

Por notación utilizamos ; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 ) obtenemos

la siguiente ecuación diferencial:

Definamos ahora una Ecuación Diferencial

Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos.

1.- 6.-

2.- 7. -

3.- 8.-

4.- 9.-

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz


5.- 10.-

NOTASiempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto de otra”, es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL.

Ejemplos:

1.- ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función incógnita

representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las constantes

dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

2.- ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, es la altura de

la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.

3.- Se estima que dentro de meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de

personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma , por lo tanto la

ecuación diferencial que describe este fenómeno es:

4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de minutos es metros

por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto del tiempo

, entonces la ecuación diferencial que describe este fenómeno será:

5.- ; ecuación de calor de una barra delgada

Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología común. Si

una ecuación implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama

variable dependiente y la segunda variable independiente.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES:



a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una variable dependiente con respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA. (EDO).

Ejemplo:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), se representan:

ó

Donde indica la relación de é , de igual manera sus derivadas.

b) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP), se llama así a las ecuaciones diferenciales que implican derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a mas de una variable independiente.

Ejemplos:

1.- , Ecuación Diferencial de Laplace.

2.- , Ecuación Diferencial de la Onda

3.- , Ecuación Diferencial Térmica Unidimensional

4.- , Ecuación Diferencial Bidimensional de Poisson

5.- , Ecuación Diferencial de la Onda Unidimensional.

6.- , Ecuación Diferencial del Calor



ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

- El ORDEN de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el mayor orden de la derivada que aparece en la ecuación.

- El GRADO de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el exponente de la derivada de mayor orden.

Ejemplos Explicativos

1.- , Orden:

Grado:

2.- , Orden:

Grado:

3.- , Orden:

Grado:

4.- , Orden:

Grado:

5.- , Orden:

Grado:Ejemplos para el aula

1.- Orden:

Grado:

2. Orden:

Grado:

3. Orden:

Grado:

4. Orden:

Grado:

5. Orden:

Grado:

6. Orden:

Grado:

7. Orden:



Grado:

8. Orden:

Grado:

9. Orden:

Grado:

10. Orden:

Grado:

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una Ecuación Diferencial Ordinaria es Lineal si su variable dependiente y sus derivadas sólo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias

Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDOL) se representa como

donde , son funciones que dependen sólo de la variable

independiente .

Si una EDO no es lineal, entonces se conoce como ecuación no lineal.

Ejemplos

Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales o no lineales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



9.

10.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

Recordemos que nuestro objetivo, ahora, es determinar la solución de una ecuación diferencial, en particular, de una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO.

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria en su forma general:

- Solución Explícita: Se denomina solución explícita de una EDO a toda función de valor real, definida en un intervalo I, tal que satisfaga idénticamente la EDO

- Solución Implícita: Diremos que una relación es una solución implícita de la EDO en el intervalo I, si define una o mas soluciones explícitas en I


1. Demuestre que es una solución explícita de

2. Mostrar que , donde es una constante arbitraria proporciona una familia de soluciones

implícitas de la ecuación .

3.- Demuestre que es una solución explícita de

4.- Demostrar que es solución implícita de

5.- Demuestre que es una solución implícita de en

Ejemplos para el Aula

1.- Demuestre que es una solución explícita para todo real de:

2.- Pruebe que es solución de

3.- Pruebe que es una solución explícita de






7- Probar que es una solución implícita de en



10. Demostrar que , es solución implícita de

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden :

Se debe entender: “Hallar una solución de la EDO en un intervalo I, que satisfaga en , las condiciones iniciales:”

Donde y son constantes dadas.


1.- Mostrar que es una solución del problema con valores iniciales

2.- Verifique que la función es una solución de para cualquier

. Determine de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.

3.- Verifique si la función es una solución del problema con valor inicial

Ejemplos para el Aula



1.- Verifique que la función es una solución del problema con valor inicial



4.- Determine el valor de para que la función sea una solución de la ecuación dada

5.- Verifique que la función es una solución de para cualquier

. Determine de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.

HOJA DE PRÁCTICA 1

I.- Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales, proporcionar el orden, grado, además identificar sus variables independientes y dependientes:

1.- 11.-

2.- 12.-

3.- 13.-

4.- 14.-

5.- 15.-

6.- 16.-

7.- 17.-



8.- 18.-

9.- 19.-

10.- 20.-

II.- Verificar si las siguientes funciones son solucione de las ecuaciones diferenciales que los acompaña:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.- 6.-

7.-

8.- ,

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.- 17.-

18.- Pruebe que es una solución explícita de

19.- , hallar el valor de para que la función sea solución de

20.- Hallar el valor de para que la función sea solución de

III Dadas las funciones analizar si es solución del PVI dado



1.- Verifique que la función es una solución de para

cualquier elección de las constantes . Determine de modo que se satisfagan las

siguientes condiciones iniciales.

2.- es solución del PVI:

IV.- En los siguientes problemas escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la descripción.

1. La velocidad en el instante de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es proporcional a la

cuarta potencia de su posición .

2. La población de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional al producto de la población y la

diferencia entre la población y 100 000

3. Se estima que dentro de meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de personas

por mes. Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno.

4. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de minutos es metros por

minuto Determinar la ecuación diferencial que describe el desplazamiento del objeto.

5. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los alimentos en un país es

proporcional al número de personas que no ha oído hablar al respecto.

6. La razón a la que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de

residentes que han sido infectados y al número de residentes propenso a la enfermedad que no han sido

infectados. Expresar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.

7. El modelo de Mitsherlich, es un modelo útil de producción agrícola, especifica que el tamaño de un

cultivo cambia de modo que la razón de cambio es proporcional a , donde es el tamaño máximo

del cultivo. Escribir esta relación como una ecuación diferencial.

8. La razón de cambio de masa de una partícula en un instante es proporcional al cociente entre la cantidad de

masa presente y la cantidad de masa inicial.

9. La razón de cambio de una población en el instante es proporcional al cuadrado de la población en el

instante

10. Después de aplicar los frenos, la aceleración de un automóvil disminuye una razón constante de 10 .

Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno

11. La razón de cambio de la producción de cierto artículo es proporcional a la diferencia de la producción en ese

instante y la producción inicial.

12. La razón de cambio de la masa de sal en el instante es proporcional al cuadrado de la masa de sal

presente en el instante .

13. . La variación de cantidad de sal x que hay en un recipiente en relación al tiempo es igual a la a la cantidad

de sal que entra en el recipiente menos la cantidad de sal que sale.

14. El ritmo de crecimiento de una población de bacterias es proporcional a su población en ese instante.



METODOS DE SOLUCION DE UNA EDO

I.- METODO DE SEPARACION DE VARIABLES:

Definición.- Una ecuación diferencial ordinaria , se llama Ecuación Diferencial de

Variables Separables, si se puede expresar como el producto de dos funciones

que solo depende de y que solo depende de .

En otras palabras una EDO de Primer Orden es Separable si se puede escribir de la forma:

Si la EDO de primer orden y de primer grado se puede expresar de la forma:

Donde es una función que depende solo de y solo de , entonces la solución general de la ecuación diferencial se obtienen por integración directa:

Donde es la constante de integración.

Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.

2.

3.

4.

5.

Ejemplos de Aula

1.- 6.-

2.- 7.-



3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

II.- REDUCCION A VARIABLES SEPARABLES

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

donde son constantes no se pueden resolver por variables separables.Para resolver esta ecuación, hacemos el cambio:

,de donde tenemos que:

Y al remplazar en la ecuación diferencial, ésta se convierte en una EDO de variables separables.

Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.

2.

3.

4.

5.-

Ejemplos de Aula

1.- 5.-

2.- 6.-

3.- 7.-

4.- 8.-



III. ECUACIONES HOMOGENEAS

Definición. Una función se llama homogénea de grado respecto a las variables e , si para todo , se tiene:


1. es homogénea?

2. es homogénea?

3.- es homogénea?

Ejemplos de aula

1.- es homogénea?

2.- es homogénea?

3.- es homogénea?

4.- , es homogénea?

5.- es homogénea?

Definición: Una ecuación diferencial es homogénea, si al expresarlo de la

forma , y son homogéneas del mismo grado.

Ejemplos

1.-La ecuación diferencial es homogénea?

2. es homogénea?

3.

4. , es homogénea?

5. es homogénea?

Teorema



Si es una ecuación diferencial homogénea, entonces el cambio de variable , transforma a la ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable con variables y .

Demostración:

Como es homogénea, entonces se puede escribir , si

hacemos el cambio , esto en la ecuación diferencial homogénea dada:

, es decir

Luego:

Por lo tanto:

, es una ecuación diferencial separable.

La solución se determina integrando directamente la E DOS,

, si hacemos , , se tiene que la solución a la

EDOS será:


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.

2.-

3.- 4.- 5.-

Ejemplos para el aula

1.- 5.-

2.- 6.-

3.- 7.-

4.- 8.-



HOJA DE PRÁCTICA 4

I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:

1) 16)

2) 17)

3) 18) ,

4) 19)

5) 20)

6) 21)

7) 22)

8) 23)

9) 24)

10) 25)

11) 26)

12) 27)

13) 28)

14) 29)

15) 30)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS

Definición: La ecuación diferencial se dice que es exacta en una

región , si existe una función tal que:

Luego la solución general, tiene la forma ; donde es una constante.

Teorema:



Si y son continuas en . Entonces la ecuación diferencial

es exacta en si y sólo si


Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Ejemplos de Aula Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Teorema

Si es exacta, entonces existe una función , tal que:

y

¿COMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA?

ALGORITMO

1º Verificar que la ecuación diferencial ordinaria dada es exacta



2º Como es exacta, verifica: , luego integramos con respecto a para obtener

.

3º Derivamos la función , obtenida, con respecto a .

4º Al derivar obtenemos , y como la ecuación diferencial dada es exacta esto debe ser igual

a , luego igualamos a con este último resultado.

5º Finalmente integramos con respecto a para obtener la función ; de esta manera la

solución está dada en forma implícita por


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Ejemplos de Aula Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial: SoluciónEn primer lugar debemos verificar si la ecuación es exacta, para esto identificamos las funciones

y , luego las derivamosDocentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz


Como podemos ver la ecuación no es exacta, motivo por el cual necesitamos de otra técnica para poder solucionar la ecuación, la cual estudiaremos a continuación

FACTOR DE INTEGRACIÓN

Si la ecuación diferencial ; no es exacta, es posible a veces elegir una

función tal que si multiplicamos todos los términos de la ecuación por está función, ésta se convierte en una ecuación diferencial exacta. La solución general de la ecuación así obtenida coincide con la solución general de la ecuación inicial.

A la función , se le conoce como factor integrante de la ecuación

Es decir:

Cumple con el criterio de exactitud

Al realizar las derivadas parciales obtenemos las siguientes ecuaciones

De donde obtenemos una ecuación en derivadas parciales para hallar la función integrante:

MÉTODO PARA HALLAR FACTORES INTEGRANTES

Dada la ecuación

a) En forma particular si la función , es una función que depende sólo de la variable independiente , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante .

Si la siguiente expresión esta expresada sólo términos de la variable

independiente , entonces es un factor integrante para la ecuación (1).

b)En forma particular si la función , es una función que sólo depende de la variable dependiente , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante .



Si la siguiente expresión está expresada sólo en términos de la variable

dependiente , entonces es un factor integrante para la ecuación (1).

c) Si la función tiene la forma ; éste método se emplea generalmente cuando los términos de y de la ecuación diferencial (1) son expresiones algebraicas.

PROCEDIMIENTO: Si la ecuación (1) no es exacta y si se desea encontrar un factor

integrante de la forma , multiplicamos la ecuación por

luego aplicando la condición de exactitud

Como ésta igualdad es una identidad se procede a igualar los coeficientes de los términos semejantes con la finalidad de encontrar los valores de las constantes las cuales hacen exacta a la ecuación. Una vez hallado el factor integrante, multiplicamos a la ecuación (1), con dicho factor integrante para finalmente utilizar el método de solución de una ecuación exacta.

OBSERVACIÓN: Hay muchas ecuaciones diferenciales que no quedan cubiertas con estos

casos, aunque para ellas exista un factor integrante. Sin embargo, la principal dificultad consiste

en hallar una fórmula explícita para estos factores integrantes, que en general dependerán de e

.

Ejemplo 1:

Resolver la ecuación

Solución

En el ejemplo 4.6, se probó que está ecuación no era exacta, debido a que

En este caso debemos encontrar su factor integrante:

a) En primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .

En efecto:



podemos ver que está expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .

Paso siguiente determinamos el factor integrante:

Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación

Donde:

Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas.

a) Calculamos la siguiente integral

b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos

c) Ahora Integramos

d) Finalmente la solución de la ecuación diferencial es

Ejemplo 2:Resolver la ecuación SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta

Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que En este caso debemos encontrar su factor integrante




En efecto:

podemos ver que está expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .

Paso siguiente determinamos el factor integrante:


Donde:

Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas. Al analizar las funciones que vamos a integrar, podemos notar que nos será mucho más fácil integrar la función que la función , por tal motivo empleamos el siguiente método de solución



c) Ahora Integramos

Finalmente la solución de la ecuación diferencial es

Ejemplo 3:Resolver la ecuación SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta





En efecto:

podemos ver que no se puede expresar sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación no tiene un factor integrante de la forma .

b) En segundo lugar comprobamos si la función , depende sólo de .

En efecto:

podemos ver que queda expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .

El siguiente paso es determinar el factor integrante:


Donde:




c) Ahora Integramos




Ejemplo 4:Resolver la ecuación diferencial: SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta



En efecto:


b) En segundo lugar comprobamos si la función , depende sólo de .

En efecto:

podemos ver que queda expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .

El siguiente paso es determinar el factor integrante:

Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la

siguiente ecuación

Donde:





)(csc),( gdttF )(csc),( gtyxF


c) Ahora Integramos

Finalmente la solución de la ecuación diferencial es

Ejemplo 5:Resolver la ecuación diferencial .SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta


a) En Primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .

En efecto:


b) En segundo lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .

En efecto:


c) Finalmente examinaremos si ésta ecuación admite un factor integrante de la forma , entonces multiplicamos todos los términos de la ecuación por el factor



Por la condición de exactitud se debe cumplir

Luego

Igualando los coeficientes de los términos semejantes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Por consiguiente, la ecuación admite un factor integrante de la forma .Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación

Donde:




c) Ahora Integramos


HOJA DE PRÁCTICA 5

I. Resolver las siguientes ecuaciones exactas



1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.



II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.



22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE PRIMER ORDEN

Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con frecuencia en las

aplicaciones es la ecuación lineal..

Definición: La ecuación diferencial de la forma:

, ………………… (1)



donde y son funciones continuas de , se llama “ECUACION

DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN”

Observaciones:

1º Si , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal

Homogénea, y su solución está dada por:

2º Si , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal no

Homogénea, y su solución está dada por:


Determinar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

1.- 2.-

3.- 4.- 5.-

Ejemplos de Aula Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:

1.- 2.-

3.- 4.- 5.-

ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación diferencial de Bernoulli, es de la forma

, …………………….(2)

Para desarrollar esta ecuación la transformamos en una ecuación diferencial lineal de

primer orden, siguiendo los siguientes pasos:

1º Multiplicar la ecuación diferencial ordinaria (2) por :



2º Multiplicamos por

3º Hacemos el cambio:

4º Remplazamos el cambio de variable en la ecuación diferencial ordinaria

La nueva ecuación diferencial, será una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

1.-

2.-

3.-

Ejemplos de Aula

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

HOJA DE PRÁCTICA 6

I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales: 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-



6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-14.-15.- 16.-17.- 18.-

19.-

20.-

II.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:

1. 15.-

2. 16.

3. 17.

4. 18.

5. 19.

6. 20.

7. 21.

8. 22.

9. 23.

10. 24.



11. 25.-

12.

13.

14.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden con coeficientes

constantes son de la forma:

donde son constantes

Busquemos la solución de la ecuación en forma de exponencial:

Remplazando en el EDO, tenemos:

…… Polinomio Característico

El problema ahora es hallar las raíces del polinomio característico , de donde se pueden considerar los siguientes casos:



CASO 1

Si las raíces son reales y diferentes, el sistema fundamental de

soluciones esta dado por:

Luego, la solución general está dada por:

;

donde son constantes arbitrarias.

CASO 2

Si las raíces son reales e iguales y las raices restantes

son reales y diferentes, el sistema fundamental de soluciones esta dado por:


;


CASO 3

Cuando una de las raíces de son complejas, es decir:

y son reales y diferentes, tenemos:


;



1.- 2.-

3.- 4.-5.- 6.- Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz


Ejemplos de Aula

1.- 2.-

3.- 4.-5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

HOJADE PRÁCTICA 7

I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:

1. 21.-

2. 22.-

3. 23.-

4. 24.-

5. 25.-

6. 26.-

7. 27.-

8. 28.-

9. 29.-

10. 30.-

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINICIÓN: Sea una función en . La Transformada de

Laplace de es la función definida mediante la integral:

El dominio de está formado por todos los valores de para los que la integral

existe.

Denotaremos a la transformada de Laplace de como:

Como tratamos con una integral impropia, tenemos que:

Ejemplo Explicativos

Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

Observación:



Puesto que la Trasformada de Laplace es una integral, cumplirá con las propiedades

básicas de la integral:

PRINCIPALES TRANSFORMADAS DE LAPLACE

1


Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Ejemplos de Aula

Hallar la Transformada de LAplace de las siguientes funciones:



1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. TRASLACIÓN: Si la transformada de Laplace existe para

, entonces para

2. DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: Sea

y suponga que es continua por partes en , y de orden

exponencial . Entonces para se cumple:

Ejemplos Explicativos:

Hallar la transformada de Laplace de:

1.- 2.-

3.- 4.-

5.-

Ejemplos para el aula:

Hallar la transformada de Laplace de:

1.- 2.-

3.- 4.-

5.-

HOJADE PRÁCTICA 8

I.- Hallar las siguientes Transformadas de Laplace :

15. 19.-



16. 20.-

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA

Habiendo estudiado, ya, el caso de hallar la transformada de Laplace de la función

es decir hallar . Ahora consideraremos el problema inverso, es decir, el de hallar la

función )(tf conociendo su transformada de Laplace . Es decir buscamos una

Transformada Inversa para la transformada de Laplace.

Ejemplos:



1. Si , hallar

2. Si , hallar )(tf

3. Hallar )(tf , si

4. Hallar )(tf , si

5. Hallar )(tf , si

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

1.- Sean las transformadas de Laplace de las funciones y

entonces:

2.- TRASLACIÓN:

A) Si

B) Si

C) Si

Ejemplos

1.- , hallar

2.- , hallar

3.- , hallar )(tf

4.- , hallar )(tf

5.- , hallar )(tf



MÉTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR LA

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La función racional , donde y son polinomios donde el grado del

polinomio es menor que el grado del polinomio , tiene un desarrollo en

fracciones parciales cuya forma se basa en los factores lineales y cuadráticos de .

Podemos considerar tres casos.

1. FACTORES LINEALES NO REPETIDOS

Si se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos, es decir

Entonces el desarrollo en fracciones parciales tiene la forma

2. FACTORES LINEALES REPETIDOSSea un factor lineal de )(sQ y supongamos que éste factor se repite veces, es

decir tenemos . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que

corresponde al término , es el siguiente

3. FACTORES CUADRÁTICOS

Sea un factor cuadrático de )(sQ que no se puede reducir a factores

lineales con coeficientes reales. Supongamos que éste factor se repite m veces, es decir

tenemos . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que

corresponde al término 22)( s , es el siguiente

Pero es más conveniente expresar en la forma así tendremos



EJEMPLO

1.- Determinar

2.- Determinar

3.- Determinar

4. Determinar

5.- Determinar

6.- Determinar

7.- Determinar

8.- Determinar

9.- Determinar

10.- Determinar

HOJA DE PRÁCTICA 9

Hallar la transformada inversa de:

1.- 16.-

2.- 17.-

3.- 18.-

4.- 19.-

5.- 20.-



6.- 21.-

7.- 22.-

8.- 23.-

9.- 24.-

10.- 25.-

11.- 26.-

12.- 27.-

13.- 28.-

14.- 29.-

15.- 30.-

SOLUCION DE UNA EDO APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Transformada

Laplace Inversa de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA ( )

i)

ii)


EDO SOLUCION

PROBLEMAALGEBRAICO

SOLUCIONALGEBRAICASOLUCION


iii)

Generalizando:

Ejemplos:

1)

2) ,

3)

4)

5)

6)

7)

HOJA DE PRÁCTICA 10

Con ayuda de la Transformada de Laplace, resolver los siguientes problemas de valor inicial:

1.- , 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- , 7.- 8.-

9.-

10. 11. 12.- 13.- , 14.- , 15.- 16.- 17.-18.-



19.-20.-21.-


capitulo i (edos)

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