capítulo 4 modelo de redes objetivos del capítulo 4 conceptos y definiciones de redes. 4...

Capítulo 4Capítulo 4

Modelo de RedesModelo de Redes

Objetivos del CapítuloObjetivos del Capítulo

Conceptos y definiciones de redes.Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redesImportancia de los modelos de redes Modelos de programación lineal, representación Modelos de programación lineal, representación

en redes y soluciones usando el computador en redes y soluciones usando el computador para:para:* Modelos de transporte.* Modelos de transporte.

* Modelos de capacidad de transporte* Modelos de capacidad de transporte

* Modelos de asignación* Modelos de asignación

* Modelo del vendedor viajero* Modelo del vendedor viajero

* Modelos de la ruta mas corta* Modelos de la ruta mas corta

* Modelos de la rama mas corta* Modelos de la rama mas corta

Un problema de Un problema de redes redes es aquel que puede es aquel que puede representarse por:representarse por:

Nodos

Arcos

8

9

10

10

7

6

Funciones en los arcos

4.1 Introducción4.1 Introducción

La importancia de los modelos de redes:La importancia de los modelos de redes:

* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redestravés de modelos redes

* El resultado de un problema de redes garantiza una * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución.solución.

* Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.estructura matemática.

Terminología de RedesTerminología de Redes

* Flujo: * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los conecta. La siguiente notación es usada:conecta. La siguiente notación es usada:

XXijij= cantidad de flujo= cantidad de flujo

UUijij= cota mínima de flujo que se debe transportar= cota mínima de flujo que se debe transportar

LLijij= cota maxíma de flujo que se puede transportar.= cota maxíma de flujo que se puede transportar.

* * Arcos dirigidos /no dirigidos: Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección se tiene un arco transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).dirigido (sin flecha).

* * Nodos adyacentes:Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

Rutas/Conexión entre nodosRutas/Conexión entre nodos

*Ruta: *Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de Una colección de arcos formados por una serie de nodos adyacentesnodos adyacentes

* Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.* Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.

Ciclos / Arboles /Arboles expandidosCiclos / Arboles /Arboles expandidos

* Ciclos :* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.ruta.

* Arbol :* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos. Una serie de nodos que no contienen ciclos.

*Arbol expandido: *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 arcos).nodos de la red (contiene n-1 arcos).

4.2 Problemas de transporte4.2 Problemas de transporte

Un problema de transporte surge cuando Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.1cantidad que se puede transportar.1

Definición del problemaDefinición del problema

* Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Stiene una capacidad de producción Sii

*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda D*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Djj

*Objetivo:*Objetivo:

Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino destino

cumpliendo con las restricciones de los lugares de cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.origen.

Farmacéutica CarltonFarmacéutica Carlton

La farmacéutica Carlton abastece de drogas y La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos.otros suministros médicos.

Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro.Greensboro.

Tiene cuatro centros de distribución en: Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis.Boston, Atlanta, St Louis.

La gerencia de Carlton desea realizar el La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera más trnsporte de sus productos de la manera más económica posible.económica posible.

DatosDatos

Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.

SupuestosSupuestos

* El costo de transporte por unidad es constante* El costo de transporte por unidad es constante

* Todos los transportes ocurren simultáneamente.* Todos los transportes ocurren simultáneamente.

* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destinode origen y el de destino

* La oferta total es igual a la demanda total.* La oferta total es igual a la demanda total.

HaciaDesde Boston Richmond Atlanta St. Louis Oferta Cleveland $35 30 40 32 1200 Detroit 37 40 42 25 1000 Greensboro 40 15 20 28 800Demanda 1100 400 750 750

RED QUE REPRESENTARED QUE REPRESENTA

EL PROBLEMAEL PROBLEMA Boston

Richmond

Atlanta

St.Louis

Destinos

Origenes

Cleveland

Detroit

Greensboro

S1=1200

S2=1000

S3= 800

D1=1100

D2=400

D3=750

D4=750

37

40

42

32

35

40

30

25

3515

20

28

Modelo matemáticoModelo matemático* La estructura del modelo es la siguiente:* La estructura del modelo es la siguiente:

Minimizar <Costo total de transporte>Minimizar <Costo total de transporte>

sujeto a :sujeto a :

cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábricafábrica

cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora.distribuidora.

* Variables de decisión:* Variables de decisión:

XXij ij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora jdistribuidora j

donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)

j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)(St,Louis)

Boston

Richmond

Atlanta

St.Louis

D1=1100

D2=400

D3=750

D4=750

Restricciones de la Oferta

Cleveland S1=1200

X11

X12

X13

X14

Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200

DetroitS2=1000

X21

X22

X23

X24

Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000

GreensboroS3= 800

X31

X32

X33

X34

Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800

El modelo matemático completoEl modelo matemático completo

Restriccione de la oferta:X11+ X12+ X13+ X14 1200

X21+ X22+ X23+ X24 1000X31+ X32+ X33+ X34 800

Restricciones de la demanda:X11+ X21+ X31 1000

X12+ X22+ X32 400X13+ X23+ X33 750

X14+ X24+ X34 750

Todos los Xij mayores que cero

===

====

Solución optima obtenida a través de ExcelSolución optima obtenida a través de Excel

FARMACUETICA CARLTON

COSTOS UNITARIOSBOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS OFERTAS

CLEVELAND 35,00$ 30,00$ 40,00$ 32,00$ 1200DETROIT 37,00$ 40,00$ 42,00$ 25,00$ 1000GREENSBORO 40,00$ 15,00$ 20,00$ 28,00$ 800

DEMANDAS 1100 400 750 750

ALTERNATIVAS DE TRANSPORTEBOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS TOTAL

CLEVELAND 850 350 0 0 1200DETROIT 250 0 0 750 1000GREENSBORO 0 50 750 0 800

TOTAL 1100 400 750 750 COSTO TOTAL = 84000

Rango Optimo

Análisis de Sensibilidad por WINQSBAnálisis de Sensibilidad por WINQSB

Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada.

Rango de factibilidad

Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la distribuidora.

Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.

Interpretación de los resultados del análisis de Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad.sensibilidad.

* Reducción de Costos: * Reducción de Costos:

- La cantidad a transportar que reduce el costo por - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad unidad entrega la ruta más económicamente atractiva.entrega la ruta más económicamente atractiva.

- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi asi en el costo que ello significa, por cada carga en el costo que ello significa, por cada carga transportada , transportada , el costo total aumentara en una el costo total aumentara en una cantidad igual a la cantidad igual a la reducción del costo hecha.reducción del costo hecha.

* Precios Sombra:* Precios Sombra:

- Para las plantas el precio sombra de transporte - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la corresponde al costo de cada unidad disponible en la

planta.planta.

- Para las distribuidoras, el precio sombra de - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte transporte corresponde al costo de cada unidad corresponde al costo de cada unidad extra demandada por extra demandada por la distribuidora.la distribuidora.

Compañía de ski MontpelierCompañía de ski MontpelierUsando un modelo de transporte para un Usando un modelo de transporte para un

itinerario de producciónitinerario de producción

* Montpelier planea su producción de ski para los meses * Montpelier planea su producción de ski para los meses de julio, agosto y septiembre.de julio, agosto y septiembre.

* La capacidad de producción y el costo de producción * La capacidad de producción y el costo de producción unitario puede varia de un mes a otro.unitario puede varia de un mes a otro.

* La compañía puede destinar tiempo de producción * La compañía puede destinar tiempo de producción adicional para la fabricación de skis.adicional para la fabricación de skis.

* El nivel de producción es capaz de satisfacer la * El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario.inventario.

* La gerencia desea un itinerario de producción que * La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el costo del trimestre.minimiza el costo del trimestre.

Datos:Datos:

* Inventario inicial = 200 pares* Inventario inicial = 200 pares

* Nivel de inventario requerido = 1200 pares* Nivel de inventario requerido = 1200 pares

* Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares * Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal)(tiempo normal)

200 pares 200 pares (sobretiempo)(sobretiempo)

* La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski* La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski

* El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, * El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)(en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)

Demanda Capacidad de Producción ProducciónMeses Esperada Producción Tiempo Normal SobretiempoJulio 400 1000 25 30Agosto 600 800 26 32Septiembre 1000 400 29 37

Análisis de la demanadaAnálisis de la demanada* Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares* Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares

en inventarioen inventario

* Demanda neta de agosto = 600* Demanda neta de agosto = 600

* Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares* Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares

demanda esperada inventario req.demanda esperada inventario req.

Análisis de la ofertaAnálisis de la oferta* La capacidad de producción corresponde a la oferta* La capacidad de producción corresponde a la oferta

* Existen dos tipos de “oferta”* Existen dos tipos de “oferta”

1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de 1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción)producción)

2.- Oferta producida en sobretiempo.2.- Oferta producida en sobretiempo.

Análisis de los costos unitarios Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] + [costo unitario de lamacenamiento por mes ][número de meses en inventario] Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) = $26.50

Representación de la Red

252525.7525.7526.5026.50 00 3030

30.9030.9031.8031.80

00+M+M

2626

26.7826.78

00

+M+M

3232

32.9632.96

00

+M+M

+M+M

2929

00

+M+M

+M+M

3737

00

ProducciónMes/periodo

MesVentas

JulyR/T

Julio S/T

Agst.T/N

Agst.S/T

Sept.T/N

Sept.S/T

Julio

Agst..

Sept.

Exceso

1000

500

800

400

400

200

200

600

300

2200

Demanda

Capa

cidad

de

Prod

ucció

n

Julio T/N

Producción Julio: tiempo normalDestino: Demanda para Julio

Producción Agosto:SobretiempoDestino: Demanda de Septiembre

32+(.03)(32)=$32.96Costo Unitario= $25 (producción)

Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento

Resumen de la solución óptima.Resumen de la solución óptima.

* En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo. en sobretiempo.

Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julioTotal Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio

* En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 paressobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares

* En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir:distribuir:

(1300 + 500 ) + 400 - 1000 = (1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet.

Inventario + Producción - DemandaInventario + Producción - Demanda

4.3 Problemas de Asignación4.3 Problemas de Asignación

Definición del ProblemaDefinición del Problema

* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

* Un costo unitario (o ganancia) C* Un costo unitario (o ganancia) Cij ij es asociado al es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j.trabajador i que realizara el trabajo j.

* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.tratando de que esta asignación sea la óptima posible.

Electrónica BallstonElectrónica Ballston

Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas.inspeccionadas.

El tiempo para realizar una buena inspección de El tiempo para realizar una buena inspección de un área de pende de la línea de producción y del un área de pende de la línea de producción y del área de inspección.área de inspección.

La gerencia desea asignar diferentes áreas de La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.tiempo total utilizado sea mínimo.

DatosDatos

* Tiempo de inspección en minutos para la línea de * Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.ensamble de cada área de inspección.

Area de InspecciónA B C D E

1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15

4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19

RED QUE REPRESENTA EL RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMAPROBLEMA

1

2

3

4

5

Línea de ensamble Área de InspecciónA

B

C

D

E

S1=1

S2=1

S3=1

S4=1

S5=1

D1=1

D2=1

D3=1

D4=1

D5=1

Supuestos restriccionesSupuestos restricciones

* El número de trabajadores es igual al número de * El número de trabajadores es igual al número de empleos.empleos.

* Dado a que el problema esta balanceado, cada * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador.exactamente un solo trabajador.

* Para un problema desbalanceado se debe agregar un * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.quedando así el problema balanceado.

Solución mediante el método Solución mediante el método HúngaroHúngaro

Problema:Problema:El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:

CapítulosCapítulos

Secretaría 13 14 15 16Secretaría 13 14 15 16

JuanaJuana 96 99 105 108 96 99 105 108

MaríaMaría 116 116 109 107 96 109 107 96

JackelineJackeline 120 102 113 111 120 102 113 111

EdithEdith 114 114 105 118 115 105 118 115

Restricciones del MétodoRestricciones del Método

* Solo problemas de minimización.* Solo problemas de minimización.

* Número de personas a asignar m es igual al número de * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m.lugares m.

* Todas las asignaciones son posibles* Todas las asignaciones son posibles

* Una asignación por persona y una persona por * Una asignación por persona y una persona por asignaciónasignación

Matriz de CostosMatriz de CostosCapítulosCapítulos


JuanaJuana 96 99 105 108 96 99 105 108

MaríaMaría 116 116 109 107 96 109 107 96


EdithEdith 114 114 105 118 115 105 118 115

Restar el Menor valor de cada filaRestar el Menor valor de cada filaCapítulosCapítulos


JuanaJuana 0 3 9 12 0 3 9 12

MaríaMaría 20 13 11 0 20 13 11 0


EdithEdith 9 9 0 13 10 0 13 10

Restar el menor valor de cada columna en la Restar el menor valor de cada columna en la matriz anteriormatriz anterior



JuanaJuana 0 3 0 12 0 3 0 12

MaríaMaría 20 13 2 0 20 13 2 0


EdithEdith 9 9 0 4 10 0 4 10

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.CapítulosCapítulos


JuanaJuana 0 3 0 12 0 3 0 12

MaríaMaría 20 13 2 0 20 13 2 0


EdithEdith 9 9 0 4 10 0 4 10

Si el número de líneas es igual al número de filas Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las números no rayados y sumarlo en las intersecciones.intersecciones.

Pare este caso corresponde al valor 2Pare este caso corresponde al valor 2



JuanaJuana 0 5 0 14 0 5 0 14

MaríaMaría 18 13 0 0 18 13 0 0


EdithEdith 7 7 0 2 10 0 2 10

Las asignaciones corresponde a los valores Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0donde existen 0Juana Cap. 13Juana Cap. 13

María Cap. 16María Cap. 16

Jackeline Cap. 15Jackeline Cap. 15

Edith Cap. 14Edith Cap. 14

*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

Casos especialesCasos especiales

* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particularparticular

* Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un * Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un trabajo.trabajo.

* Un problema de maximización.* Un problema de maximización.

4.4 Problema del vendedor 4.4 Problema del vendedor viajeroviajero

Se trata de un tour es un recorrido que Se trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de exactamente una vez y volviendo al punto de partida.partida.

El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia.los puntos de vista de tiempo y distancia.

- -

Definición del problema

– Existen m nodos– Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).– El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel costo

total al visitar todos los nodos exactamente una vez.

ImportanciaImportancia

- Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajeroproblema de vendedor viajero

- Ejemplo- Ejemplo

* Rutas a seguir por buses escolares* Rutas a seguir por buses escolares

* Distribución de bombas militares* Distribución de bombas militares

- El problema tiene importancia teórica porque este - El problema tiene importancia teórica porque este representa una clase de problemas llamados NP-representa una clase de problemas llamados NP-completos.completos.

Complejidad Escribir el modelo matemático y resolverlo resulta muchas veces incómodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

AGENCIA GUBERNAMENTAL DE AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIAEMERGENCIA

Se debe realizar una visita a cuetro oficinas Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales de la AGE, partiendo de la oficina locales de la AGE, partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California.ubicada en Northridge, Southern California.

DatosDatos Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otraotra

Hacia la oficinaH 1 2 3 4

F Of. Princ 30 45 65 80r Of. 1 30 25 50 50o Of. 2 45 25 40 40m Of. 3 65 50 40 35

Of. 4 80 50 40 35

Red que representa el problema de vendedor viajero Red que representa el problema de vendedor viajero de AGEde AGE

30

25

40

35

80

6545

50

5040

Of. Princ

1

2 3

4

SoluciónSolución

- Identificación de los posibles ciclos.- Identificación de los posibles ciclos.

* Existen (m-1)1 ciclos posibles* Existen (m-1)1 ciclos posibles

* Solo problemas pequeños pueden ser * Solo problemas pequeños pueden ser resuletos.resuletos.

- Se utiliza una combinación de problemas de - Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la técnica Branch and Bound.asignación con la técnica Branch and Bound.

* Problemas con menos de 20 nodos pueden ser * Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos resueltos en forma eficiente por este método.en forma eficiente por este método.

EL PROBLEMA AGE - Identificación de los EL PROBLEMA AGE - Identificación de los posibles ciclosposibles ciclos

CicloCiclo Costo TotalCosto Total

1. H-O1-O2-O3-O4-H1. H-O1-O2-O3-O4-H 210210

2.2. H-O1-O2-O4-O3-H H-O1-O2-O4-O3-H 195195

3.3. H-O1-O3-O2-O3-H H-O1-O3-O2-O3-H 240240

4.4. H-O1-O3-O4-O2-H H-O1-O3-O4-O2-H 200200

5.5. H-O1-O4-O2-O3-H H-O1-O4-O2-O3-H 225225

6. H-O1-O4-O3-O2-H 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200200

7. H-O2-O3-O1-O4-H 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265265

8. H-O2-O1-O3-O4-H 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235235

9. H-O2-O4-O1-O3-H 9. H-O2-O4-O1-O3-H 250250

10. H-O2-O1-O4-O3-H 10. H-O2-O1-O4-O3-H 220220

11. H-O3-O1-O2-O4-H 11. H-O3-O1-O2-O4-H 260260

12. H-O3-O1-O2-O4-H12. H-O3-O1-O2-O4-H 260260

Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSBDatos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB

Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnicaBranch and Bound

Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnicaBranch and Bound

30

25

40

35

806545

5050

40

Of. Princ

1

2 3

4

4.5 Problemas de la Ruta más 4.5 Problemas de la Ruta más cortacorta

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.destino o nodo terminal.


- - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.en el nodo final n.

- Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dmayores que cero, dijij

- Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.el nodo 1 con el nodo n.

Lineas Fairway VanLineas Fairway Van

Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.Paso para la siguiente red de carreteras.

Salt Lake City

1 2

3 4

56

7 8

9

1011

1213 14

15

16

17 18 19

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyenne

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San Diego Tucson

Phoenix

599

691497180

432 345

440

102

452

621

420

526

138

291

280

432

108

469207

155114

386403

118

425 314

Solución - Analogía de un problema de Solución - Analogía de un problema de programación linealprogramación lineal

- Variables de decisión- Variables de decisión

XXijij = 1 si un transporte debe viajar por la = 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une carretra que une la ciudad i con la ciudad j. la ciudad i con la ciudad j.

00 En cualquier otro caso En cualquier otro caso

Objetivo = Minimizar Objetivo = Minimizar d dijijXXijij

7

2

Salt Lake City

1

3 4

Seattle

Boise

Portland

599

497180

432 345

Butte

[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1X12 + X13 + X14 = 1

De una forma similar:[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1

[El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.

Sujeto a las siguientes restricciones

Restricciones mayores que cero

Solución Optima por WINQSB Solución Optima por WINQSB

Solución-Analogía con un problema de redesSolución-Analogía con un problema de redes

El algoritmo de Dijkstra’s:El algoritmo de Dijkstra’s:

-Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a -Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a los otros nodos, en el orden que se encuentrana los los otros nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto al nodo de inicio.nodos con respecto al nodo de inicio.

- Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el - Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo de inicio a todos los nodos de la red.nodo de inicio a todos los nodos de la red.

SEA.SEA.Salt Lake City

1 2

3 4

56

7 8

9

1011

1213 14

15

16

17 18 19

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyene

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San Diego Tucson

Pheonix

599

691497180

432 345

440

102

452

621

420

526

138

291

280

432

108

469207

155114

386403

118

425 314

BUT599

POR

180

497BOI

599

180

497POR.POR.

BOI432

SAC602

+

+

=

=

612

782

BOI

BOIBOI.BOI.

345SLC+ =

842

BUT.BUT.

SLC

420

CHY.691

+

+

=

=

1119

1290

SLC.

SLCSLC.

SAC.SAC.

Una representación del algoritmo de Dijkstra’s

… Y de esta manera hasta cubrir toda la red..

4.6 Arbol de expansión mínima4.6 Arbol de expansión mínima Este problema surge cuando todos los nodos Este problema surge cuando todos los nodos

de una red deben conectar entre ellos, sin de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.formar un loop.

El árbol de expansión mínima es apropiado El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la reundancia es para problemas en los cuales la reundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.considera instantáneo.

EL TRANSITO DEL DISTRITO EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANOMETROPOLITANO

La ciudad de Vancouver esta planificando el La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito.tránsito.

El sistema debe unir 8 residencias y centros El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales.comerciales.

El distrito metropolitano de transito necesita El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo.todos los centros a un mínimo costo.

La red seleccionada debe permitir:La red seleccionada debe permitir:

- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.

- Mínimo costo posible por línea.- Mínimo costo posible por línea.

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte Universidad

DistritoComercial

Zona EsteShoppingCenter

Zona Sur

Zona Centro

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

RED QUE REPRESENTAEL ARBOL EXPANDIDO.

Solución - Analogía con un problema de redesSolución - Analogía con un problema de redes- El algoritmo que resuelve este problema es un - El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”).procedimiento muy fácil (“trivial”).

- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.

- Algoritmo:- Algoritmo:

* Comience seleccionando el arco de menor * Comience seleccionando el arco de menor longitud.longitud.

* En cada iteración, agregue el siguiente arco de * En cada iteración, agregue el siguiente arco de

menor menor longitud longitud del conjunto de arcos del conjunto de arcos disponibles , tomando la disponibles , tomando la precaución de no formar precaución de no formar ningún loop.ningún loop.

* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están están conectados.conectados.

Solución mediante el computadorSolución mediante el computador

- - Los entrada consiste en el número de nodos, el largo Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los arcos y la descripción de la red.de los arcos y la descripción de la red.

Solución óptima mediante WINQSB

ShoppingCenter

Loop

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte

Universidad

DistritoComercial

Zona Este

Zona Sur

ZonaCentror

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Costo Total = $236 milliones

RED QU EREPRESENTA LASOLUCIÖN ÖPTIMA

4.7 Problema del flujo máximo4.7 Problema del flujo máximo

Este modelo se utiliza para reducir los Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.partida y destino en una red.

Existe un flujo que viaja desde un único lugar Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermediosde arcos que conectan nodos intermedios

Cada arco tiene una capacidad que no puede Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaser excedida

La capacidad no debe ser necesariamente la La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.misma para cada dirección del arco.


- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los - Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.flujos emanan.

- Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.todos los flujos de la red son depositados.

- Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.

- La capacidad C- La capacidad Cij ij que transita del nodo i al nodo j, y la que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Ccapacidad Cjiji para la dirección opuesta. para la dirección opuesta.

El objetivo es encontrar la El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los exceder la capacidad de los arcos.arcos.

COMPAÑÍA QUIMICA UNIDACOMPAÑÍA QUIMICA UNIDA Química unida produce pesticidas y otros Química unida produce pesticidas y otros

productos de control agrícola.productos de control agrícola. El veneno químico necesario para la producción El veneno químico necesario para la producción

es depositado en grandes tambores.es depositado en grandes tambores. Una red de tubos y válvulas regula el flujo del Una red de tubos y válvulas regula el flujo del

químico de los tambores a las diferentes áreas químico de los tambores a las diferentes áreas de producción.de producción.

El departamento de seguridad debe diseñar un El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento que vacíe los tambores de la procedimiento que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos área de depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.y válvulas.

El procedimiento debe determinar:El procedimiento debe determinar:

- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse

- Estimar el tiempo total de descarga.- Estimar el tiempo total de descarga.

DatosDatos

Tambores con químico Tubo de Seg.

1 7

4

2

3

6

5

10

0

80

0

0

0

0

0

0

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

No se permite flujo de 4 a 2.

Solución - Analogía de un problema de programación Solución - Analogía de un problema de programación lineallineal– Variables de decisiónVariables de decisión

XXijij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que conecta ambos nodos.arco que conecta ambos nodos.

– Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1

Max X12 + X13Max X12 + X13– RestriccionesRestricciones

[Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]nodo 7]

X12 +X13 = X47 + X57 + X67X12 +X13 = X47 + X57 + X67 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale][Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]

Nodo 2: X12 + X32Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 = X23 +X24 + X26

Nodo 3:Nodo 3: X13 +X23 + 63X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + = X32 +X35 + X36X36

Nodo 4:Nodo 4: X24 +X64X24 +X64 = X46 + X47= X46 + X47

Nodo 5:Nodo 5: X35 +X65X35 +X65 = X56 + X57= X56 + X57Nodo 6:Nodo 6: X26 +X36 + X46 +X56 X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 = X63 +X64

+X65 + X67+X65 + X67

EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcosEL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1;

X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8;

X63 4; X64 3; X65 2; X67 2; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;

Los flujos no pueden ser negativos: Todos XLos flujos no pueden ser negativos: Todos X ijij >= 0 >= 0

Se debe tener presente que este problema es Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede ser relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal.programación lineal.

Sin embargo para problemas de mayor envergadura Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.se aconseja usar el modelo de redes.

Solución-Analogía con un problema de redesSolución-Analogía con un problema de redes

- La idea básica es la siguiente:- La idea básica es la siguiente:

* Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus * Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.arcos.

* Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima * Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad capacidad de uno de los arcos de la ruta.de uno de los arcos de la ruta.

* Repetir este procedimiento hasta completar la * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de ruta de manera tal que todos los arcos tengan una manera tal que todos los arcos tengan una capacidad capacidad residual positiva.residual positiva.

*Designar un nodo origen y un nodo de flotación*Designar un nodo origen y un nodo de flotación

* Definir las capacidades de todos los arcos en la * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en red ( en ambos sentidos)ambos sentidos)

* A continuación se muestra la solución obtenida * A continuación se muestra la solución obtenida usando usando WINQSB.WINQSB.

El máximo flujo obtenido por WINQSB El máximo flujo obtenido por WINQSB

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

4

2

3

6

5

8

8

2

77

10

7

8

2

Flujo Máximo= 17

capítulo 4 modelo de redes objetivos del capítulo 4 conceptos y definiciones de redes. 4...

Documents