Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 1E. Del Valle T.CAPITULO 2.-TEORA SSMICA.2.1 .- Teora de la elasticidad .2.1.1.- Principios fundamentales.Durante unterremoto, la Tierra es sbitamente sacudida por movimientos que se originan en un lugar de la corteza, en la que se rompe debido a las fuerzas que actan sobre ella y sobrepasan su resistencia, generndose las ondas ssmicas que se propagan en todas direcciones.En sus orgenes la sismologa se encauz al estudio de los terremotos, debido principalmente a sus efectos superficiales altamente destructivos, pero a medida que se fue conociendo mejor su mecnica , se pudo establecer su relacin con la propagacin de movimientos ondulatorios.Los principios que rigen la propagacin de las ondas ssmicas se conocen desde el siglo XVI, sin embargo, su correlacin con los sismos y la afinidad de la corteza terrestre para transmitirlos se estableci hasta fines del siglo XIX y principalmente a principios del siglo XX, los cuales se relacionan con el Principio de Huyghens y el Principio de Fermat, que originalmente fueron planteados para la propagacin de ondas luminosas y acsticas. H.Reid, al estudiar los efectos del terremoto de San francisco de 1906, propuso la teora del Reboteoreaccinelstica(1910)yqueexplicanlacurvaturaydiferente desplazamiento que se observan a ambos lados de las fallas superficiales que se produjeron durante el sismo, los cuales se relacionan con un comportamiento elstico, y desde entonceslas ondas ssmicas se definen como movimientos ondulatorios de origen elstico.Esbien conocido quelaactividad ssmica en forma naturalest restringida a ciertas zonas de la Tierra, relacionadas en un alto porcentaje con movimientos tectnicos como el movimiento de las placas ocenicas y otros diastrofismos.Est comprobado que toda la corteza terrestre es capaz de transmitir ondas elsticas se se presenta un mecanismo que las genere, y como se indic en el captulo anterior se pueden producir microsismos en forma artificial que permiten determinar las caractersticas del subsuelo.Las perturbaciones que se originan en la superficie ,o muy cerca de ella, se propagan en forma de ondas elsticas de compresin ,dilatacin y transversales, con velocidades que dependen de la naturaleza del terreno, y en particular de sus propiedades elsticas, de ah laimportancia derevisar las caractersticas delateoradelaelasticidadpara comprender la mecnica de los movimientos ssmicos.Entrminos generales, seentiende por ELASTICIDAD, la propiedad que tienen algunos materiales sometidos a esfuerzos ydeformaciones, de recuperar suforma original, dentrodeciertos lmites , cuandodesaparecenlos esfuerzos alos cuales estaban sometidos.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 2E. Del Valle T.Esta definicin en realidad solo corresponde a una consecuencia de la Ley de Hooke que establece que las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos aplicados, por lo qu si un cuerpo no est sujeto a esfuerzos no tiene porqu tener deformaciones.

Figura2.1 .1.- Ley de Hooke.En la figura 2.1.1 se muestra la grafica que ejemplifica el comportamiento de la Ley de Hooke , en la que se observan dos tipos de comportamiento : la primera como una lnea recta que indica que al incrementar los esfuerzos, las deformaciones unitarias aumentan proporcionalmente, mientras nose rebase el punto que se conoce como el lmite elstico, y en ste tramo se considera que existe un comportamiento elstico, a partir de ste punto se presenta lo que se conoce como comportamiento plstico, en el cual las deformaciones ya nosernproporcionales a los esfuerzos, presentndose mayores deformaciones alincrementarse los esfuerzos.Durante el comportamiento elstico, al desaparecer los esfuerzos tambin desaparecen las deformaciones, recuperando el cuerpo su forma original. Durante el comportamiento plstico, al desaparecer los esfuerzospermanecen algunas deformaciones, y no se tiene una recuperacin completa. Si se alcanza el punto de ruptura, sobreviene el colapso y el cuerpo se rompe.Con el comportamiento elstico est ntimamente ligado el concepto de mdulo elstico , el cual relacionalosesfuerzosconlasdeformaciones, yquesedefinecomouna constante :Esfuerzo Mdulo elstico = ---------------------=CONSTANTE DeformacinEn la prctica se conocen varios mdulos elsticos dependiendo del tipo de deformaciones posibles en un cuerpo y los esfuerzos ( fuerzas unitarias ) que los producen.Sepuedenconsiderar dos tipos bsicos de deformaciones : las que seproducen conservandoel volumendel cuerpo, ylas quenecesariamente vanamodificar el volumen.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 3E. Del Valle T.Las deformaciones que conservan el volumen son : las longitudinales y las angulares, siendo producidas las primeras por esfuerzos de tensin o compresin , y las segundas por esfuerzos tangenciales o de corte.Las ms comunes son las deformaciones que conservan el volumen , y para que ste cambie es necesario que los esfuerzos estn actuando en toda la superficie o caras del cuerpo.Para el casode que se conserve el volumen , cuando se originandeformaciones longitudinales, en el sentido transversal tambin se producen deformaciones longitudinales en el sentido transversal para compensar las que se tienen en el sentido de la aplicacin de los esfuerzos.

DEFORMACINTRANSVERSAL ----------------------------------------------------= =Relacinde Poisson DEFORMACINLONGITUDINALFigura 2.1.2.- Mdulos de deformaciones longitudinales sin cambio de volumen.En la prctica , para que se conserve el volumen, la relacin de Poisson es menor o igual a0.5.En el caso de que estn actuando esfuerzos tangenciales o cortantes : Figura 2.1.3 .- Mdulo elstico para deformaciones angulares sin cambio de volumen.Enel casodequesepresentencambiosenel volumen, larelacindeesfuerzosy cambios de volumen se conoce como compresibilidad. Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 4E. Del Valle T. Figura 2.1.4 .-Mdulo elstico de compresibilidad.Comolas propiedades elsticas dependen del tipode material, sehanestablecido relaciones entre los diferentes tipos de mdulos elsticos, los cuales son determinados experimentalmente , y son las siguientes :Mdulo de Youngn kknE+39Relacin de Poissonn kn k2 62 3+ Rigidez ( ) +1 2En Compresibilidad ( ) 2 1 3 Ek2.1.2.-Relacin esfuerzos y deformaciones longitudinales.En la Teora de la elasticidad es necesario analizar el comportamiento de dos estadosde equilibrio de un cuerpo sujeto a esfuerzos : el esttico y el dinmico.

Figura 2.1.5 .- Esfuerzos unitarios aplicados a un elemento diferencial : (A) esfuerzos en todas las caras.(B) deformaciones longitudinales producidos por esfuerzos en la direccin YEn el caso de equilibrio esttico se considera un cuerpo sujeto a esfuerzos de tensin o compresindemaneraquenosegenerendeformacioneslongitudinales, paraelloes necesarioque los esfuerzos se compensen entre si , es decir, que se tenga un par de esfuerzos colineales del mismo valor y con direcciones inversas pero como el cuerpo Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 5E. Del Valle T.tratadeconservarsuvolumen,se generan deformaciones en el sentido transversal, para evitarlos deben actuar esfuerzos similares en todas las caras del cuerpo.Considrese un elemento unitario de dimensiones dx, dy, dz, que se comportara como un medio homogeneo e isotrpico, en el cual se aplicaran esfuerzos iguales en cada una de sus caras, los cuales se pueden descomponer en los esfuerzos normales a cada una de las caras y los esfuerzos tangenciales correspondientes en ellas.Para identificarlos se utilizar la siguiente notacin :Esfuerzos normales : Sxx , Syy , Szz .Esfuerzos tangenciales : Sxz , Szx , Sxy , Syx , Sxz , Szx .El primer ndice corresponde al eje al cual es paralelo el esfuerzo, y el segundo al eje perpendicular a la cara en la cual estn actuando los esfuerzos, por lo qu en un estado de equilibrio : Sxz= Szx , Sxy= Syx, Sxz= Szx Las deformaciones unitarias longitudinales se anotarn : xx ,yy, zzLas deformaciones transversales debidas a esfuerzos longitudinales :xy, zy,zx, etc.Para un adecuado anlisis se examinar primero la relacin entre esfuerzos y deformaciones producidas por los esfuerzos longitudinales en la direccin y :

deformacin longitudinal = esfuerzo longitudinal / mdulo de Young =yy=ESyydeformaciones transversales = relacin de Poisson x deformacin longitudinalpor lo qu :

yy x y yy y z y y ESyyxy y ESyyzy loque indicaqueelesfuerzonormalenladireccin"y"produciruna deformacin longitudinal enla direccin"y" ydeformaciones longitudinales enlas direcciones transversales "x" y "z".Si se analizan las deformaciones producidas por los esfuerzos normales actuando en las otras caras , cada una de ellas producir una deformacin longitudinal y dos transversales , y las deformaciones totales en cada direccin sern :FUERZA DEFORMACIONES Normal Direccin X Direccin YDireccin Z Fx ESxxxx xx yx x x z x Fy yy x y ESyyyy y y zy Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 6E. Del Valle T. Fz

z z x z z z y z ESzzzz La deformacin total en la direccin Y ser : ( ) [ ]yvS S SEzz xx yy yz yx yy + + + 1De manera similar , las deformaciones suma en las otras direcciones sern: ( ) [ ]zz yy xxS S SE xu+ 1y ( ) [ ]yy xx zzS S SE zw+ 1La deformacin total al actuar simultneamente los esfuerzos en todas las caras

zwyvxu++ se obtiene al sumar las deformaciones en cada direccin

( ) ( ) ( ) [ ]yy xx xx zz zz yy zz yy xxS S S S S S S S SE+ + + + + 1desarrollando y despejando : ( )( ) [ ]zz yy xxS S SE+ + 2 11 2 1 + +ES S Szz yy xxregresando a la ecuacin de la deformacin en la direccin Y , si se le suma : 0 yy yySESE tendremos [ ]xx zz zz yy yyS S S S SE yv + 1por lo qu:( ) ( ) [ ]zz yy xx yyS S S SE yv+ + + 11y en trminos de la deformacin total : ( )1]1

+ 2 111 ESE yvyydespejando yyS : ( )( )+ +

,_

+ 1 2 1 1Eyv ESyyhaciendo : ( )( ) + 1 2 1E y ( )+ 1 2Ela ecuacin toma la forma:

yvSyy+ 2y de forma anloga se pueden establecer las ecuaciones que corresponden a los esfuerzos aplicados en las otras caras : xuSxx+ 2 y zwSzz+ 2; y se utilizan como operadores matemticos y se conocen como constantes elsticas de Lamme.Las constantes de Lamme se pueden en trminos equivalentes a los mdulos elsticos experimentales : ( )( ) 322 1 1 + kE ( )nE+1 2Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 7E. Del Valle T.2.1.3.-Relacin esfuerzos tangenciales y deformaciones angulares.

Figura 2.1.6.- Esfuerzos tangenciales y deformaciones angulares en la cara perpendicular al eje X . ( A ) .- deformaciones angulares con respecto a las caras dz y dy. ( B ) .- rotacin de los vrtices considerando la suma de los ngulos individuales.Los esfuerzos tangenciales no producen cambios en las longitudes sino cambios angulares que pueden considerarse como rotaciones de las aristas de cuerpos ortogonales.El anlisis simultaneo de todos los esfuerzos tangenciales que actan en un cuerpo de dimensiones unitarias, resulta complicado, por lo que conviene aislar una cara y considerar los esfuerzos que se le estn aplicando, hacer el anlisis correspondiente, y generalizar lo a las otras caras , y posteriormente integrarlas .En la figura 2.1.6 se muestra una de las caras perpendiculares al eje de la X, en las que seindicanlos esfuerzos tangenciales aplicados alas caras dzydy, endondese producenlasdeformacionesangularesyzyzyrespectivamente, yenlaparte derecha la deformacin angular total zy yz + , as como la rotacin total producida.Partiendo del concepto del mdulo de rigidez tenemos :

+ Szy Syzangular n deformacigencial esfuerzon.tan . y considerando que el medio es homogneo e isotrpico : Syz = Szy; nSzyzy2 ; nSyzyz2 por lo qu :yz zy Los ngulos pueden establecerse en funcin de las tangentes y los desplazamientos v y w de los lados dzydy: dzvyz tan ydywzy tancuando las deformaciones y los ngulos son muy pequeos se puede hacer que tan. zvdzvyz y zwdywzy los ngulos estn relacionados con una rotacin de los lados dyydzalrededor del eje Xqueesperpendicular al planoyz, locual equivalematemticamenteal producto Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 8E. Del Valle T.vectorial dedos vectores deposicinquerepresentanlos puntos deinicioyfinal despus de la rotacin, cuyo resultado es un vector perpendicular al plano de giro que contiene a los vectores de posicin.Deacuerdoalas propiedades delos productos vectoriales quecorrespondenalas rotaciones , los resultados son vectores colineales que pueden ser sumados, y para ste caso se puede poner :

( )nSyzSzy Syzn ywzvzy yz + + + 21generalizando y tomando en cuenta las equivalencias entre los mdulos elsticos :

,_

+

,_

+xvyuxvyun Sxy

,_

+

,_

+ywzvywzvn Syz

,_

+ ,_

+zuxwzuxwn Szx Si consideramos ahora que : Syz = -Szy, las rotaciones sern :

zvywx alrededor del eje X

xwzuy alrededor del eje Y yuxvz alrededor del eje Z2.1.4.- Ecuaciones de movimiento en medios elsticos. Cuando un cuerpo elstico se deforma por efecto de los esfuerzos, las caras y vrtices de un cuerpo unitario elemental sufren un desplazamiento en un determinado tiempo, que aunque sea muy pequeo, fsicamente tiene las caractersticas de un movimiento.De forma similar, la propagacin de los esfuerzos a travs del cuerpo presentan caractersticas que se relacionan mejor con un estado de equilibrio dinmico que con un estado de equilibrio esttico que corresponde al estado de reposo.Para analizar las condiciones de equilibrio dinmico es necesario considerar los incrementos deesfuerzos ydeformaciones enuninstantet , inmediatamente despus de que se ha aplicado el impacto externo en el tiempo to, de manera que t= to + dt .Una fuerza externa aplicada a un cuerpo tiene 3 componentes, en las direcciones X , Y, Z, que dan origen a un esfuerzo normal y dos esfuerzos tangenciales en la cara en la que estn actuando.Enlacaraadelantadadel cuerpoelemental, el esfuerzotendrunincrementoque dependerDe la distancia entre las dos caras. Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 9E. Del Valle T.

Figura 2.1.7.- Esfuerzos aplicados en dos caras paralelas en un elemento diferencial.En la figura 2.1.7 se puede observar que al actuar componentes de las fuerzas en las tres caras originales, se tienen tres componentes paralelas a cada eje, en la cara original y en lacaraadelantada, yenlafigurasolosemuestranlasquesonenladireccinX, actuando en las caras x,y,z.Tomando en cuenta los desplazamientos que corresponden a las caras adelantadas, los esfuerzos aplicados sern los siguientes : Caras originales Caras adelantadasSxxdxxSxxSxx+SxydyySxySxy+SxzdzzSxzSxz+Estos esfuerzos aunque provienen de diferentes caras tienen los mismos incrementos en ladireccinX,ylasumatotalde ellos definir el efectototal en la propagaciny deformacin producidas, por lo qu en la direccin X se tendr un ritmo de incremento del esfuerzo de la forma :

zSxzySxyxSxxSx++ en la ecuacin anterior no aparecen las distancias dx,dy,dz, que corresponden al caso particular de un elemento diferencial, y en ste caso Sxrepresenta el caso general de la " rapidez " con la que se propaga el esfuerzo.Para hacerlo congruente con el aspecto dinmico, debe ponerse en funcin del movimiento : F = m.a , y considerando que no existe ninguna otra fuerza adems de la generada por un impacto transitorio puede ponerse : ( )1]1

22tudxdydz dFx en donde : = densidadProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 10E. Del Valle T.dxdydz= volumen 22tuaceleracin en la direccin X con desplazamiento u .Para un elemento de volumen unitario el volumen es igual con 1, por lo qu se puede poner :

zSxzySxyxSxxtu++22 ; en la direccin X

zSyzySyyxSyxtv++22 ; en la direccin Y

zSzzySzyxSzxtw++22 ; en la direccin ZEstas ecuaciones seconocencomo"ecuaciones demovimiento"yrelacionanlos esfuerzos con las deformaciones.Comolosdesplazamientosodeformacioneslongitudinalesdependendelosmdulos elsticos, stas ecuaciones pueden ponerse en trminos de las constantes de Lamme , y para el caso del desplazamiento en la direccin X :

1]1

,_

++1]1

,_

++ ,_

+ zuxwz xvyuy xux tu 222 resolviendo y agrupando trminos :

,_

+++

,_

+++ zwyvxux zuyuxux tu 22222222pero :

zwyvxu++ y2222222zuyuxu++ ( Laplaciano de u )substituyendo :

xux tu + + 222procediendo de manera similar para los movimientos en las direcciones Y y Z se obtienen las ecuaciones de movimiento : ( ) ux tu222 + + ( ) vy tv222 + + ( ) wz tw222 + + El movimiento total ser la suma de los movimientos parciales : ( )

,_

++ +

,_

+ + +

,_

++zwyvxuz y x twtvtu2222222222222 que se puede poner en la forma :( ) ( ) + + + 2 2 2222 ty se obtiene la " ecuacin de onda " :

+ 2222 tProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 11E. Del Valle T.como 222 tes la aceleracin ,la velocidad con la que se propaga la deformacin ser : 2 +En un medio homogneo e isotrpico la dilatacinse propagar en las direcciones X, Y, Z, conlamismavelocidad, perosi enalgunadireccinnoloes, lavelocidad depender de los valores de las constantes elsticas y , que a su vez definirn las propiedades elsticas en la direccin considerada.Comolaecuacindeondasehaestablecidoenfuncindelos desplazamientos o deformaciones longitudinales, la velocidad corresponde a las ondas longitudinales o compresionales en las direcciones X, Y, Z .Al analizar el efectosimultaneodelosdesplazamientos u , v y w , enuna determinada direccin, se tiene que uno de ellos corresponde a deformacin longitudinal generada por los esfuerzos normales longitudinales, y otros dos que producen distorsiones en la forma del elemento unitario o del cuerpo, segn sea el caso, las que estn asociadas a rotaciones alrededor del eje que corresponde a la direccin en la que se produce la elongacin, y las cuales se relacionan con los esfuerzos tangenciales.

Figura 2.1.8 . Desplazamientos y rotaciones generadas por los esfuerzos tangenciales.Enla figura 2.1.8se muestran los desplazamientos producidos por las rotaciones alrededor del eje X , generadas por los esfuerzos tangenciales aplicados en los lados de la cara en el plano YZ, perpendicular al eje X.Enel casodeesfuerzostangenciales igualesenlasdireccionesperpendiculares, las rotacionesseneutralizanylosdesplazamientosfinalessernnulos, peroenel caso general en que no sean iguales, el efecto total ser el que corresponde a la diferencia de rotaciones.Larapidezconlaquesegeneracadaunadelasrotacionessepuedeexpresardela manera siguiente : Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 12E. Del Valle T. ( )zvy z t zv + + 2222 ( )ywz y t yw + + 22222 la rotacin neta ser la diferencia de rotaciones : ( )

,_

+

,_

+

,_

zvywy z z y t zvt yw 2 22222

en el caso de quy z z y 2 2;

,_

+

,_

zvywzvywt2220 y como : xzvyw ; xtx 222 22tx que es la Ecuacin de Onda de rotacin.Y la velocidad con la que se propagan las deformaciones angulares ser : Realizando un anlisis similar se pueden obtener las velocidades correspondientes en las direccionestransversalesalosejesYyZ, yenel casodeunmediohomogneoe isotrpico, la velocidad ser la misma.en las tres direcciones .Entrminos delos mdulos elsticos las velocidades conlas quesepropaganlas deformaciones sern :Ondas longitudinales : ( )( )( ) 2 3 / 42 1 11 ++ +n k E

Ondas transversales :( ) 1]1

+n E1 21

Lo anterior indica que la velocidad de propagacin de las ondas longitudinales es mayor que las de las ondas transversales.2.2 .- Ecuaciones del movimiento ondulatorio.2.2.1 .- Ecuaciones de onda y sus soluciones.2.2.1.1.- Ecuacin escalar de onda .Al hacer el anlisis de la propagacin de esfuerzos y las deformaciones producidas por una fuerza transitoria,aplicada a un elemento de masa de un medio continuo, se Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 13E. Del Valle T.establecen las ecuaciones de movimiento que expresan las deformaciones en trminos de los desplazamientos longitudinales, generados por las componentes normales de los esfuerzos, y las rotaciones producidas por las componentes tangenciales de los esfuerzos,obtenindose:Componente de esfuerzo En trminos del movimiento En trminos de las constantes elsticasNormales2221t =2 2 = +

Tangencialesxt2221=2 x 2=en donde : = cambio de longitud o volmen .

2 = Laplaciano del desplazamiento

x = rotacin

2x= Laplaciano de la rotacin.

2 = aceleracin de la onda longitudinal. 2= aceleracin de la onda rotacional.

,= constantes de Lamme La forma general de la ecuacin de onda se puede escribir como : 22221t V .en donde :+ + 2222222z y xy =funcin de onda .Cuando la perturbacin es una dilatacin Cuando la perturbacin es una rotacin i i = x, y, zCuando la ecuacin de onda se obtiene utilizando mtodos vectoriales adquiere las formas : 222) ( + + ty 22221t desplazamiento vectorial = ui + vj + wk rotacin vectorial=k j iz y x + + 2.2.1.2.- Ondas planas en una sola direccin. Una onda que se propaga paralelamente al eje de las X , y cuya velocidad es c , tendrdesplazamientosu,v,w, quesernfuncindeunsoloparmetroyqueest definido por :=x - cten este caso se tiene :Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 14E. Del Valle T.u c ut22222 ;v c vt22222 ;w c wt22222 desplazamientou ux2222 ; v vx2222 ; w wx2222 deformacinComo solo se consideran las propagaciones en la direccin X, los trminos diferenciales con respecto aY y Zsern iguales a cero.Bajo stas condiciones solo son posibles dos tipos de ondas, las longitudinales en las que el movimiento se realiza a lo largo de la direccin de propagacin ( x ) , y las que tienen movimientos transversales y paralelos al frente de onda, en donde :

+2Lc movimiento longitudinal

2Tc movimiento transversalLa velocidad de las ondas de distorsin dependen exclusivamente de la densidad( ) ydel mduloderigidez() , el queasuvezestrelacionadoconel mdulo volumtrico ( k ) que se define como : k = 32+En la prctica, fsicamente, en la propagacin de las ondas de dilatacin el medio no se encuentrasujetoexclusivamenteasimplescompresionessinoaunacombinacinde compresiones y cizallamientos transversales. Sin embargo, en el caso de una dilatacin quesepropagaenladireccindel ejedelasX, laseccintransversal nosealtera cuando pasa la onda, mientras que las dimensiones en la direccin de propagacin si se modifican, producindoseuncambioenlaformadeloselementosdemasayensu volumen, haciendose presente la resistencia del medio tanto a la compresin como al cizallamiento.Partiendo de la ecuacin general de onda :

2 222 ct ;2222222z y x ++ se puedeestablecer la ecuacin de onda que corresponde al caso en que la deformacin es funcin de la coordenadaX, y adquiere la forma :

22222xct En su aplicacin a casos particulares es muy frecuente utilizar una ecuacin a partir de la " funcin de onda " , que en su forma ms general se conoce como Solucin de DAlembert , y que se expresa como :Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 15E. Del Valle T.

) ( ct x f En casos especiales pueden utilizarse otras formas de solucin como las siguientes :sen ( x - ct );( x - ct )3 ;e) ( ct x k En el caso de la solucin de DAlembert , cuando y sus primeras dos derivadas son finitas y continuas, la segunda derivada anula el signo, y se tiene :

= f (x -ct ) + F ( x + ct )Esta ecuacin expresa el caso general en el que las funciones fyFdependen de las condiciones iniciales del movimiento( fasecero), enlaquef correspondeala propagacin en el sentido positivo, yFen la direccin opuesta.Para una determinada onda en la cual es funcin de la distancia ( x ),la forma de la deformacin que se tiene a un tiempot1 se repetir a un tiempo t2 y a una distancia x' , de manera tal que x' = c ( t t1 2) .Ejemplo :S una onda en un punto P1 a una distancia X1 , y un tiempo t1 , tiene una funcin de onda 1 , al avanzar a una posicinP2 a una distancia X2, y un tiempo t2 , se tiene : en el punto P1 ) (1 1 1ct X f en el puntoP2[ ] ) (1 1 2t t c X X f + +

en donde : 1 2X X X ,1 2t t t ,tXc como tiene el mismo valor en los puntosP1y P2

) (1 1 1 1t t c X X t c X + + por lo que : ) ( ) (1 1 1 1t c X t c X t c X + Como el valor dees independiente de Y y Z , el disturbio ser el mismo en cualquier punto de un plano perpendicular a X , por lo que la onda ser plana.Las cantidades correspondientes a los trminos ( X -ct ) y ( X + ct ) se les conoce como la fase .Las superficies en las cuales el movimiento ondulatorio es el mismo y tienen la misma fase se les identifica como frente de onda , que para ste caso est representado por el plano perpendicular a la direccin X en la que se propaga la energa y que se identifica como la trayectoria .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 16E. Del Valle T.Cuando una onda tiene una trayectoria diferente a la de los ejes cartesianos, la ecuacin de onda se puede expresar en trminos de sus proyecciones que estn definidas por los cosenosdirectores ( l , m ,n ) para la direccinX ': X'= lx + my + nz ) 'X = f ( lx + my + nz -ct ) +F ( lx+ my + nz+ ct )2.2.1.3 .- Ondas esfricas .Cuando el disturbio se origina en un punto P ( x, y, z ) , o en una regin limitada que puede considerarse como un punto , la deformacin producida por la onda al propagarse depender exclusivamente de la distancia radial " r " al punto P , con respecto a la fuenteoriginal ubicada en el origen del sistema de coordenadas, en donde :

2 2 2 2z y x r + + En ste caso se tiene : r rx rr r rxx

,_

+ 22 22222221

r ry rr r ryy

,_

+ 22 22222221

r rz rr r rzz

,_

+ 22 22222221Para stas condiciones la ecuacin de onda toma la forma : ( )222222222rrcr r rct

,_

+ que es del mismo tipo de la ecuacin para la onda que se propaga en una sola direccin, por lo que la solucin puede expresarse como : ( ) ( ) t c r F t c r f r + + endondef(...)representaaunaondaesfricadivergentequesealejadel origen, mientras queF (....) representa a una onda esfrica convergiendo al origen . En ambos casos la amplitud de las ondas ser inversamente proporcional a la distanciar.Enalgunoscasos resultamsconvenientemanipular ondas esfricas concntricasen funcin del tiempo, expresndolas en trminos de coordenadas esfricas . ( ) , , ren donde los cosenos directores sern : xl cos , ym cos y zn cos .En el caso general se tendr :Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 17E. Del Valle T. 1]1

+

,_

+

,_

22222 2221 1 1 1 sensensen rrr r t c Cuandoelmovimientoondulatorioesindependientede y, ylafuncinsolo depende dery det , la ecuacin toma la forma :

,_

rrr r t c22 2221 1que admite las soluciones .( ) ( ) ( ) ( ) t c r Frt c r frt c r Frt c r fr+ + + 1 1;1;1S r y t son constantes , ( r - ct ) es constante y tambin, por le que en un tiempo tla onda tiene el mismo valor en todos los puntos de una superficie esfrica de radior, y las trayectorias sern perpendiculares.Adistancias grandes delafuente, unaporcinpequeadeunaondaesfricase aproximaaunaondaplana. Cuandolos objetivos sonprofundos resultams fcil utilizar una onda plana sin tener errores de importancia.2.2.1.4.-Ondas armnicas .Lafuncin nodependeexclusivamentedesuscaractersticasgeomtricasysus relaciones con las coordenadas espaciales sino tambin del tiempo.Cuando la forma de la onda depende del tiempo t se repite a intervalos de tiempo proporcionales y constantes, se tiene una onda armnica .En las ondas armnicas se identifican varios parmetros que se relacionan con su forma ytiempodepropagacin, ylas ms comunes correspondenaproyecciones deun movimiento armnico simple .Las amplitudes de la onda se repiten para valores que son mltiplos de la distanciax , o valores de tiempo que corresponden a un ciclo completo, o sea un movimiento circular completo con una frecuencia angular .Los parmetros representativos de una onda armnica son los siguientes :Periodo :el tiempo necesario para completar n ciclo(T).Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 18E. Del Valle T.Frecuencia : el nmero de ciclos por unidad de tiempo( ) , expresado en ciclos por segundo ( hertz ) .Longitud de onda : la distancia a la que se repite una determinada amplitud( ) .Nmero de onda : el nmero de ondas completas por unidad de distancia(k) Las equivalencias entre los parmetros que definen la forma de la onda son : Frecuencia angular....................................c k 2 Velocidad de propagacin lineal .............ck Periodo......................................................T =c Frecuencia.................................................. cT1 Longitud de onda....................................... ck 2

Nmero de onda.k = c 2 2Para el caso de ondas armnicas la funcin de onda se relaciona con expresiones que contienensenos o cosenospor ejemplo :( ) t c r k A cos;( ) t c z n y m x l k sen A + + ; ( ) t c r krB+ cos Los valores de quedan comprendidos entre los valores+Ay-A para ondas planas , rByrB +para ondas esfricas , que representan la amplitud de la onda a un tiempot .El valor de se repite cada vez que el tiempotse incrementa en un periodoT.La funcin tambin puede expresarse de las formas siguientes :

( ) ( ) t c x A t c x A

,_

2cos cos

( ) ,_

tcxA t x k A cos cos

( )

,_

txA t x k A 2 cos 2 cosEnalgunos problemas enlos quesetienenquemanejar combinaciones deondas armnicas de formas diferentes , resulta ms conveniente expresar la funcin de onda en trminos exponenciales con nmeros complejos :( )et r k jA tcz n y m x lj A ,_

+ + exp=( ) t r k j A expen donde : r = distancia a la fuente en la direccin de la trayectoria . l , m , n=direcciones cosenoidales .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 19E. Del Valle T.utilizandoloscosenosdirectores: z n y m x l , cos , cos, ypara satisfacer la ecuacin de ondase tiene que2 2 2n m l + +=1y para nmeros imaginarios puros: 1cos l................ j 1 2cos m...............212

3cos n............. j 213s es real y positivo senh j j sen j n m j l ,_

2cos ; 0 ; cosh cospor lo que : ( ) ( ) 1 cosh2 2 2 2 2 + + senh n m ly la funcin de onda adquiere la forma :

,_

,_

tVxj senhVzA cosh exp expexpresinquerepresenta unaondaplanaqueviaja enla direccinX, endonde coshVV y la amplitud: ,_

senhVzA explo cual indica que la amplitud de la onda decrece exponencialmente con la distancia y depende de la frecuencia .En los trabajos de exploracin ssmicafrecuentemente se simplifica la propagacin de la onda , considerando una trayectoria lineal entre la fuente y el sismodetector y que se encuentraen unplanovertical que los contiene , por lo que la ecuacin de onda se reduce a una sola dimensin , y se considera que la deformacin depende exclusivamente de Xy det .u ( x , t ) = ,_

cxt j A exp...........;t dx dc en el tiempo0t:( )

,_

cxt j A t x u00 0 0exp , a la distancia 1x :( )

,_

cxt j A t x u10 0 , 1exp Staumenta , el argumento de la funcin cambia.Sx aumenta , el argumento de la funcin permanece constante y la fase de la funcin no cambia .2.3 .- Ondas Ssmicas .2.3.1 .- Ondas de cuerpo .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 20E. Del Valle T.Alrededor de de1760 JohnMitchellse percat de que los efectos de los terremotos se relacionaban con la propagacin de ondas elsticas en el interior de la Tierra , desde un punto de disturbio hasta el lugar en que se detectan sus manifestaciones.Estudios posteriores demostraron que las ondas ssmicas tenan las caractersticas que se propagan en cuerpos susceptibles de ser deformados , por lo que podan representarse como ondas elsticas .De acuerdo con la teora de la elasticidad , el comportamiento elstico de los materiales que se encuentran en la vecindad de una determinada regin , se describe en trminos de dos parmetros elsticos , que generalmente son la rigidez y la compresibilidad , aunque enlaprcticastospuedendeterminarseexperimentalmenteapartir del mdulode Young y la relacin de Poisson .El anlisis delcomportamiento elstico derivado de la relacin esfuerzo-deformacin normalmente se refiere a un medio homogneo e isotrpicoperfectamente elstico , sin embargo la experiencia ha demostradoque muchos de los materiales que constituyen a la Tierra difieren considerablemente de sta condicin .Las limitaciones que se tienen para obtener informacin sobre el interior de la Tierra , ha obligado a los sismlogos a utilizar modelos tericos ideales que sirvan de referencia , y posteriormente adecuarlos a las condiciones particulares de las regiones en estudio , as como a la resolucin de los sistemas instrumentales utilizados.En los terremotos , que son sismos de origen natural , el mecanismo de generacin de la energaenel focoesunaincgnita, loquehacedifcil identificar losmovimientos ondulatorios que estnpresentesen sus manifestaciones y efectos en un determinado lugar .En la prospeccin sismolgica generalmente se conocen las caractersticas de la fuente ssmica , por lo que se pueden prever razonablemente los tipos y nmero de ondas que se generan , aunque siempre se presenta la tendencia de simplificarlas para facilitar su manejo .En las cercanas de la fuente ssmica , bajo el supuesto de que el medio es homogneo e isotrpico, segeneraunaondaesfricaquetericamentepropiciatrayectorias con direcciones radiales de propagacin , alejndose de la fuente .Mientras latrayectoriadeunaondaseencuentredentrodeunmismomedio, las caractersticas y su forma no variarn sustancialmente , y puede representarse elsticamente por una onda compresional y dos ondas tangenciales , por medio de las ecuaciones de onda que correspondan a las caractersticas del medio .S el medio no es homogneo e isotrpico , o estratificado , y estn presentes variaciones en sus propiedades elsticas , las ondas sufrirn modificaciones que dependern del ngulo de inclinacin de la trayectoria con respecto a la estratificacin y a la distribucin de las propiedades elsticas .Enel casode que las ondas ssmicas se propaguenen unmedio homogneoe isotrpico , la funcin potencial de la onda se puede relacionar con la dilatacin y la Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 21E. Del Valle T.rotacin, identificndose dos tipos de ondas que se conocen comoondas longitudinales y ondas transversales respectivamente , aunque frecuentemente tambien se denominan compresionales a las primeras y de cizallamiento o distorsionales a las segundas .Lasvelocidades destasondasdependendesuspropiedades elsticas ytienenlos valores siguientes :

212

,_

+ Onda longitudinal 21

,_

Onda transversalLa relacin entre stas velocidades es : +121222

=relacin de Poissonpara los materiales de la corteza terrestre: 7 . 0 0 Los fluidos son incompresibles por lo que = 0, y por lo tanto = 0Como lo indican las ecuaciones , la velocidad de las ondas longitudinales es mayor que la de las ondas transversales por lo que llegan primero a un punto alejado de la fuente ssmica , y posteriormente llegan las ondas transversales , por esta razn en sismologa de terremotos se han denominado a las ondas de compresin ( longitudinales ) como ondas P( primera)y a las transversales de distorsin como ondas S .Las ondas P y S fueron identificadas en el anlisis de las ondas que se presentan en un terremoto, ycorrespondenalas quesepropaganentreel focoyel puntodela superficieen que son detectadas, en el interior de la Tierra , por lo que tambin se conocen como ondas de cuerpo precursoras.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 22E. Del Valle T.Haciendocoincidir el ejedelas Xdeunsistemacartesianoconlatrayectoria de propagacin , se considera que las ondas P se mueven en la direccin X .Las ondas S se mueven en el plano YZ , perpendicular a la direccin X de propagacin .Como las ondas transversales S tienen dos grados de libertad , cuando se propagan muy cerca de la superficie , en la prctica se consideran dos componentes que son paralelas y perpendiculares a la superficie del terreno y que se denominan SH y SV respectivamente .En el caso de que las ondas de cuerpo se propaguen en medios de diferentes propiedades elsticas , los movimientos ondulatorios se modifican en su comportamiento dependiendo de la distribucin de las propiedades elsticas , las que se conocen como condiciones de frontera .En las proximidades de una interfase que separe dos medios diferentes , pueden presentarse diversas aceleraciones y desplazamientos que influyen en la forma y caractersticas de las ondas .Las condiciones de frontera establecen s el medio es isotrpico en todas direccioneso solamente en un sentido , as como la direccin con la cual incide la trayectoria de la ondaenlainterfase, puestoqueel comportamientonoesigual cuandosepropaga paralelamente a la interfase , si incide perpendicularmente o incide en cualquier direccin intermedia .Lascondicionesdefronteraylasconsideracionesquesedesprendendeellas, son vlidastantoparalascomponentesnormalescomoparalastangenciales, pudiendo generarse varias ondas con diferentes caractersticas , dependiendo de la manera como influye la distribucin de las propiedades elsticas en cada direccin .Cuando uno delos medios de la interfase no es slido sino un fluido o el vaco , el comportamiento es diferente , pudiendo restringirse el nmero de las ondas generadas .2.3.2 .- Ondas superficiales .Dentrodelasdiversascondicionesdefrontera, lasquetienenmayor relevanciase tienen cuandolas ondas se propagan paralelamente a una interfase en el que uno de los mediosesel aire, stacondicinsepresentaparticularmenteenlasuperficiedela Tierra cuando las ondasssmicas se propagan en la superficie , o muy cerca de ella, dando origen a ondas superficiales que por sus caractersticas son de gran inters en la sismologayquesonlas responsables delos daos ymanifestaciones perceptibles durante los terremotos, yenel casode la prospeccinssmica soneventos que interfieren en alto grado a la informacin que proviene del subsuelo .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 23E. Del Valle T.Las ondas superficiales ms importantes y caractersticas son las llamadasondas Rayleigh , ondas Love y las ondas Stoneley , stas ltimas que se presentan en interfases slido-slido cercanas a la superficie .En el caso de una interfase slido - aire ( o vaco ) , la ecuacin de onda no corresponde exactamente a un comportamiento elstico si se considera al aire como vaco , puesto que en ste ltimo no se producen deformaciones elsticas al no existir una propagacin de los esfuerzos , aunque en la prctica se observa que pueden generarse ondas de aire y ocasionalmenteondassonoras, dependiendodelascaractersticas delafuenteque produce el disturbio .Enunainterfaseslido-lquido, dentrodel mediolquidosolopuedenpropagarse ondas irotacionales de compresin , no existiendo ondas de deformacin rotacional o transversales puesto que los lquidos no aceptan deformaciones angulares dando origen a un comportamiento muy peculiar que se observa en la superficie de los lquidos y que se conoce como ondas de gravedad o Seiche .Rayleigh(1887) demostrqueenlos casos anteriores lageneracindelas ondas elsticasproducidasporundisturbioseencuentrarestringidaalasvecindadesdela frontera , bajo la condicin de que las constantes elsticas y la densidad de los medios sean muy pequeas comparadas con las de las rocas que subyacen.Rayleightambinencontrqueenlasuperficielibreseproducendistorsiones que adquieren un perfil ondulante , polarizado en un plano vertical , que se puede considerar comounaondasenoidal quedecrecerpidamenteconlaprofundidad, siendosu velocidad de propagacin , menor que las de las ondas de cuerpo que le corresponden al medio slido.Este tipo de ondas superficiales adquiere gran relevancia en los estudios ssmicos , tanto en el anlisis de los terremotos , en donde se tipifica como ondas Rayleigh , como en el anlisis de eventos indeseables que se conocen como ruidos en la prospeccin ssmica, y que se denomina " ground roll " o simplemente onda superficial .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 24E. Del Valle T.Lasllamadas ondaslargasqueseobservanenel sismogramadeunterremoto, se relacionan en una elevada proporcin con las ondas Rayleigh , mientras que en estudios deprospeccinssmicalasondasquesepropaganenlasuperficiedel terrenoson precisamente de ste tipo .Ladefinicinycuantificacinfsico-matemticadestetipodeondassuperficiales puede establecerse a partir de las funciones potenciales de los desplazamientos de las partculas deunmedioelsticosujetoaesfuerzos, enlascualesseintroducenlas condiciones de frontera que corresponden a un medio " vaco " a las de un medio lquido , que esencialmente son diferentes .En el caso de un medio lquido se puede hacer la simplificacin de considerarlo como un semiespacio incompresible , y en ausencia de la gravedad , sus efectos se transmitirn casi ntegramente hacia la superficie libre .Por simplicidad , en el anlisis de una interfase slido-vaco ( aire ) se considera que la fronteracorrespondeal planohorizontal XY, yqueel sentidovertical Ztienesu direccin positiva en el sentido hacia el interior del slido , o hacia el subsuelo. Otra simplificacin que puede hacerse es considerar que a cierta distancia de la fuente ( foco) la porcin del frente de onda que afecta a la interfase , es plana en lugar de esfrica , y que la onda se desplaza con una trayectoria en la direccin del eje de las X .Al hacer el anlisisde la trayectoria en una sola direccin , entre la fuente y el punto de deteccin , los desplazamientos resultan ser independientes de la direccin Y , por lo que solo es necesario tomar en cuenta las funciones potenciales y que corresponden a las direcciones X y Y respectivamente , y que tienen la forma : x zwz xu + + por lo que las deformaciones totales sern :dilatacin : 2 + zuxu rotacin en el plano XZ , alrededor de Y: 2xwzuycomo la funcin est asociada con la dilatacin , y la funcin con la rotacin y, yambasestnrelacionadasentresisegnloindicanlasecuaciones,nose pueden separar fcilmente los efectos de cada una de las funciones . Sin embargo , los efectos combinados pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de movimiento :

( ) uxut222 + +

( ) vyvt222 + + ( ) wzwt222 + + en donde :

,_

++ 2222222z y xProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 25E. Del Valle T.Las ecuaciones de movimiento pueden generalizarse con la siguiente expresin :

( ) ( ) ( ) w v uz y xw v ut, , , ,222 +

,_

+ + + Para el caso particular en el que los desplazamientos son independientes de Y , solo se satisfacenlasecuacionespara uypara w, ysi sesubstituyenenlaecuacin anterior en trminos de las funciones potenciales yy se tendr :

( ) + +

,_

+

,_

2 222222z x t z t x ( ) +

,_

,_

2 222222x z t x t z estas ecuaciones se satisfacen cuando 2 212222

,_

+ct ;

,_

2 22222ct en donde :

21+ c velocidad de la onda de dilatacin

2cvelocidad de la onda de rotacin Las expresiones obtenidas son las ecuaciones de onda que corresponden a la interfase slido - vaco , e indican que la combinacin de ellas produce una onda que se polariza en el plano XZ , y que se propaga en la direccin X ,condiciones que se observan en las ondas Rayleigh y en las ondas superficiales en trabajos de prospeccin ssmica .Estas ecuaciones adquieren formas especficas cuando se hacen intervenir las caractersticas particulares de un determinado tipo de onda . En sismologa el movimiento ondulatorio es aproximadamente senoidal y que est definido por la frecuencia , la longitud de onda , la velocidad angular o por el nmero de onda , estando todas ellas relacionadas entre si .Las soluciones de las ecuaciones de onda ms comunes que se utilizan para las ondas senoidales , se expresan en notacin compleja de la forma : ( ) ( ) [ ] x k t j z F exp ( ) ( ) [ ] x k t j z G expF y G son funciones que generalmente definen las condiciones con las cuales vara la amplituddelaondaconlaprofundidadz. Al hacer unanlisisdetalladodelos Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 26E. Del Valle T.factores que influyen en la amplitud de las ondas y su relacin con los desplazamientos , se encuentra que el efecto combinado de los desplazamientos origina que las partculas del medioadquieranunatrayectoriaelpticamovindoseenel planoXZ, cuyoeje mayor es perpendicular a la superficie y que las ondas Rayleigh de alta frecuencia se atenuarn ms rpidamente con la profundidad que las de baja frecuencia .EnlaprcticasehaencontradoquelarelacindePoissonparalosmaterialesque forman la corteza terrestre varan entre 0.05 y 0.4 , por lo que se acostumbra utilizar el valor promediode0.25. por otroladoexperimentalmentesehaencontradoquela relacin entre las velocidades de las ondas de distorsin y las de desplazamiento , se aproxima al valor31 .Apoyndose en estos valores y los factores de atenuacin ms usuales se ha establecido que los desplazamientos de las ondas superficiales en la direccin X tienen la forma :

( ) x k t sen A k u 423 . 0 ( ) x k t sen A k w 62 . 0Comoconsecuencia destos valores , una partcula enunpuntode la superficie describe una elipse , en donde el eje horizontal tiene una magnitud de aproximadamente dos tercios de la del eje vertical .El anlisis matemtico yla observacin experimental de las ondas Rayleigh han permitido establecer varias propiedades que le son caractersticas :1.- La velocidad de propagacin CRes un porcentaje ligeramente menor que la velocidad de las ondas tangenciales de cuerpo .CR 0.919 ; 2.-Lavelocidaddepropagacinenlasuperficieesindependientedelafrecuencia, debido a que la onda no presenta tendencia a ser dispersiva .3.- Las partculas enla superficie libre se mueven enunplanovertical conuna trayectoria elptica , y con un sentido retrgrado .4.- La direccin de vibracin de la componente horizontal es paralela a la direccin de la propagacin .5.- Lasondassuperficialessedistribuyensoloendosdimensiones, ydecaenms lentamente con la distancia , que las ondas elsticas de cuerpo .6.- son de baja velocidad , baja frecuencia , y tienen un espectro que no presenta un valor mximo definido , estando constituido por una amplia gama de frecuencias .7.- Su amplitud presenta un decaimiento exponencial con la profundidad .8.- Acierta profundidad , que depende de la frecuencia natural del medio , el movimiento de la partcula es controlado por la componente vertical SV , conservando su movimiento elptico , pero girando en el sentido de la propagacin .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 27E. Del Valle T.9.- El movimientoresultantedelapropagacindelas ondas Rayleighcorresponde geomtricamente a una trocoide . 2.3.2.2.-Ondas LoveCuando se presenta el caso de considerar una capa superficial de cierto espesor, en lugar de analizar simplemente el lmite exterior , se pueden presentar ondas del tipo SH con movimientos transversales paralelos a la superficie del terreno y que pueden alcanzar valores de importancia .Este tipo de movimiento es frecuentemente observable en los sismos naturales , particularmente en los de gran magnitud , y fueron estudiados por Love ( 1911 ) , de quien tomaron el nombre con el cual se le designa.Love estableci la posibilidad de su presencia debido a queladensidad y constantes elsticas de las capas externas de la Tierra difieren considerablemente de las que se han determinado para las capas interiores yprofundas , por loquepuedenpresentarseondas transversales quese propagan por la superficie y que no penetrana las capas interiores .Las ondas Love constituidas bsicamente por ondas de cizallamiento, polarizadas horizontalmenteenel planoXY, yel desplazamientodelaspartculassepresenta exclusivamente en la direccin Y , y su propagacin en la misma direccin Y .Las ondas Loveproducendeformaciones tangenciales enel planohorizontal dela superficie libre .En el anlisis matemtico de ste tipo de onda se acostumbra considerar , en el caso ms simple , un medio semi-infinito M 1, con una velocidad de la onda ,que est limitado en la parte superiorpor la superficie libre , en donde Z = 0 , y en la parte inferior de la interfase colinda con un segundo medio M2 , con una velocidad de onda 1 .

Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 28E. Del Valle T.EldesplazamientodelaspartculassemanifestarexclusivamenteenladireccinY perpendicular al sentido de propagacin. En ste caso la funcin potencial del desplazamiento que se relaciona con la ecuacin de onda tiene la forma : ( ) ( ) [ ] t c x K j Z H v exp en dondeKcque al substituirlo en la ecuacin de onda correspondiente : 02 222 +H s KZH ; 122 csS se toma solo la raz cuadrada positiva , la solucin de la ecuacin que corresponde a H ser : ( )eeZ s K jZ s K jF C Z H+ Enel casodequelaondaestconfinadaesencialmenteenlasuperficie, yquela propagacin sea exclusivamente en la direccin X , el exponencial de la ecuacin debe ser real y negativa , y por lo tanto s debe ser imaginario mientras que la constante F tender a desaparecer .En stas condiciones las soluciones que corresponden a los medios M1 y M2 sern :( ) [ ] ( ) [ ] t c X sZ jK F Xct sZ jK C v + + + exp exp1 en M1 ( ) t c X Z s jK C v + 2 2 2exp en M2Las condiciones de frontera establecen que los esfuerzos se desvanecen en la superficie libre, yquelosdesplazamientos ylosesfuerzosseancontinuosalolargodela interfase entre M1 y M2 , que se expresan de la manera siguiente : para Z = 0 .:.....0 ZV; para Z = h : ..... V = V1yZVZV2211 Haciendo las substituciones correspondientes :C1 - F = 0( ) [ ] ( ) [ ] ( ) h jKs C h jKs F h jKs C2 2 1 1 1exp exp exp +( ) [ ] ( ) [ ] ( ) h jKs C s h jKs F s h jKs C s2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1exp exp exp que al aplicarse a ondas senoidales se expresan como :( ) ( ) 0 exp cos 22 2 1 1 h jKs C h Ks C( ) ( ) 0 exp 22 2 2 2 1 1 1 1 h jKs s C h Ks sen js C Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 29E. Del Valle T.Para que estas ecuaciones tengan solucin , el determinante de los coeficientes de las ecuaciones de onda debe disminuir hasta anularse , obtenindose : ( ) 0 tan1 1 1 2 2 + h Ks s j s tenindose la restriccin de que s2 sea imaginario , y se puede tener una solucin cuando s1 sea real , lo cual solo puede ocurrir cuando:2 1 .al substituir los valores de s1ys2se tiene :

,_

1 tan 1 121221212222 cKhc c en forma de relacin :

111 tan21212222212

,_

cccchEsta ecuacin sugiere que la onda Love es dispersiva con relacin a la velocidad de fase c , por lo que se tendruna serie de formas diferentes que corresponden a las mltiples soluciones que corresponden a la tangente .Enlaprctica paraquesegenerelaondaLovees necesarioquelas velocidades 2 1 ysean fuertemente contrastantes , y entonces la velocidad de la onda Love ( CL)tendrunvalorintermedioentreellas . Tomandoen cuentasu relacin conla frecuencia : L LC C 2 2 = frecuenciaEsto indica que conforme aumenta la frecuencia a partir de cero , la tangente tiende a aumentar hacia el infinito y s tender a cero , por lo que la velocidad de la onda Love se aproximar al valor de 1 que corresponde al medio superior .Cuando la frecuencia se aproxima a cero , la velocidad de las ondas Love se acercar a la velocidad del medio inferior .En los trabajos de prospeccin sismolgica , por las caractersticas de las fuentes que se utilizan, generalmentelas ondas Lovequesegeneransonpocosignificativas , y ademscomo los sismodetectores estn diseados para responder exclusivamentea la componente vertical , en la prctica normalmente no son detectadas, o su influencia es de poca importancia.Por lo general de acuerdo a sus caractersticas , las ondas Rayleigh y Love solo pueden registrarse agrandesdistancias, y es de esperarse quese generen ydesarrollencon mayor facilidad en focos someros que en focos profundos .Stoneley estudi el caso general de las ondas Rayleigh que se propagan en la superficie de separacin de dos medios slidos muy cercanos a la superficie libre , encontrando questas ondasde interfasepresentan sus amplitudes mximas en las cercanas del plano interfacial de dos medios , y bajo condiciones muy restringidas sus caractersticas difieren de las ondas Rayleigh normales . A ste tipo de ondas superficiales modificadas se les conoce como ondas Stoneley .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 30E. Del Valle T.Estetipodeondaspuedenpresentarseenunaltogradodeposibilidadeninterfases slido-lquido, teniendounavelocidadmenor quelaquelecorrespondealaonda Rayleigh en la superficie libre de un medio slido .Para que puedan generarse las ondas Stoneley en una interfase slido-slido se requiere quelasvelocidadesdelasondastangencialesenlosdosmediosseanprcticamente iguales .Cuando unacapa superficial slida de espesor h estsobrepuesta a un medio slido semi-nfinito , se pueden presentar ondas Stoneley s 2 1 y son semejantes , y si la longitud de onda es menor que h , y en ste caso la velocidad de la onda est expresada poruna ecuacin decuarto grado , en la que intervienen las constantes elsticasde ambos medios, y solo tiene solucin para ciertos rangos de valores de las relaciones de rigidez 21y de la de las densidades 21 .( ) ( ) ( ) [ ] ( ) + + + + + 2 1 1 1 2 2 2 121 2 2 1 1 2 2 122 142 B A B A c K B B A A C ( ) ( ) 0 1 12 2 1 12 + B A B A Ken donde :

21211cA 22221cA

21211cB 22221cB ( ) ( )2 122 221 12 2 KLa velocidad de fase de la onda Stoneley tiene un valor intermedio entre la de la onda Rayleigh y la que resulte mayor de 1 y 2.En capas estratificadas cercanas a la superficie , las ondas stoneley pueden comportarse en forma similar a las ondas Rayleigh , pero a medida que se profundizan su comportamiento se aproxima ms a las caractersticas de las ondas de cuerpo .2.3.3.- Ondas superficiales en la prospeccin sismolgica .En la prospeccin sismolgica si el medio est estratificado y presenta variaciones en sus propiedades elsticas , se denominan ondas de cuerpo a las que se propagan en el subsuelo , no importando si son refractadas o reflejadas , siempre que stos fenmenos ocurran en el interior y permanezcan dentro de la Tierra .Las ondasdecuerpoque llegan a la superficie o muy cerca de ella , encontrarn un cambio brusco en las propiedades elsticas en el contacto subsuelo-aire , generndose ondas de caractersticasmuy especiales que se conocen como ondas superficiales o " "groundroll " ,las que se propagan por la superficie y / o inmediatamente debajo de Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 31E. Del Valle T.ella , y que generalmente se conocen como " ruido " porque interfieren a los eventos ssmicos que provienen del subsuelo.En la prctica , a un determinado punto de la superficie pueden llegar diversas ondas que han seguido diferentes trayectorias , con tiempos de propagacin y caractersticas quedependerndelaspropiedadeselsticasdelosmediosoestratosenquesehan generado o atravesado.Las posibilidades de que a un sismodetector en la superficie arriben simultneamente ondas de cuerpo y superficiales son mltiples , en particular a distancias intermedias , debido a que la baja velocidad de propagacin de las capas superficiales con respecto a las de capas ms profundas, propiciar que a distancias cortas sean detectadas primero las"ondasdirectassuperficiales" y posteriormente las que provienen de capas ms profundas .A distancias largas de la fuente , por efecto de la diferencia de velocidades arribarn primero ondas de cuerpo y posteriormente las superficiales.

A distancias intermedias de la fuente , los eventos ssmicos , tanto superficiales como los provenientes de estratos profundos , pueden ser detectados casi al mismo tiempo y cuya superposicin producir seales de forma complicada o confusa , en las que no ser fcil separar los diferentes eventos que estn contenidos en la seal suma , a menos que se conozcanlas caractersticas particularesde cada uno de los eventos , por lo que resultadegranimportanciadefinir las condiciones yefectos defronteraparacada evento , y en su caso identificar dentro de un grupo de ondas la que sea representativa del objetivodel trabajo, quepermitaaplicar procesosdeatenuacinde"ruidos" generados por las ondas superficiales o que enfaticen los eventos ssmicos representativos de la morfologa del subsuelo .Desdeunpuntodevistarigurosodeacuerdoalateoraelstica, los esfuerzos y deformacionessepresentanentresdimensiones, ascomosusefectosenlasondas Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 32E. Del Valle T.generadas , pero en la prctica , por simplificacin ,el anlisis se enfoca en la direccin de las trayectorias que se localizan entre la fuente y los puntos de deteccin . con lo que se hace una reduccin de las ecuaciones de onda , eliminando los efectos de las ondas rotacionales y de dilatacin , considerndolas unidireccionales . Aunque sta costumbre proporciona un modelo ms sencillo para los casos ms comunes , en situaciones en las que estn presentes variaciones locales de las condiciones elsticas , no permiten tener una clara idea del tipo de eventos que se estn detectando , con lo que puede incurrirse en errores de concepto que dificulten el anlisis de los eventos ssmicos.En algunos casos ,cuando la variacin de las propiedades elsticas no es muy importante , las caractersticas de las ondas son muy semejantes , por lo que se puede utilizar una onda promedio para todas las trayectorias , lo que proporciona una aproximacin aceptable , pero que puede tener un comportamiento muy distinto en uno o varios puntos de deteccin , si estos presentan una variacin brusca en sus propiedades elsticas ygeomtricas locales , loque conduce a una interpretacin conflictiva .por las razones anteriores conviene establecer las caractersticas y ecuaciones de onda que pueden esperarse para los diferentes tipos de ondas que normalmente se presentan en los estudios de prospeccin sismolgica . 2.4.- Forma de la seal ssmica en los sismogramas.2.4.1 .- Las ondas ssmicas en una traza Cuando se habla de un movimiento ondulatorio o simplemente de ondas armnicas, se refiereacondiciones cualitativas decarcter general enlas cuales sepresentauna secuencia o tren de ondas en donde la alternancia puede presentarse n veces, conservando sus caractersticas de amplitud y frecuencias mientras se propague en un mismo medio.En el caso de que el movimiento ondulatorio haya sido generado por un pulso transitorio, es decir, que el impacto y el esfuerzos generados hayan tenido una accin que se limite a un tiempo muy corto, la seal ondulatoria puede reducirse a una onda formada por un solo ciclo o un nmero reducido de ciclos, que puedan ser identificados como un eventoindependiente.En los trabajos de prospeccin ssmica, en un determinado punto de deteccin de las seales ssmicas se reciben eventos que son independientes entre si yque provienen de diferentes fuentes oquesehanpropagadopor diversas trayectorias enmedios de caractersticas muy variadas.Frecuentementeel eventossmicosemanifiestaconunaformaquenocorresponde exactamente a una onda senoidal o cosenoidal, y su forma particular depender de la naturaleza del disturbio en la fuente, ya sea por la forma de los pulsos generados y/o por las variaciones que sufre la onda al atravesar diferentes medios, los cuales debern ser definidos adecuadamente por una funcin.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 33E. Del Valle T.Para poder aplicar las ecuaciones de onda a un evento aislado es necesario examinar la relacin que existe entre la onda particular, de uno o varios ciclos, con un movimiento ondulatorio tericamente infinito.Conviene tomar en cuenta que la forma de una onda o evento ssmico est definida por la amplitud, frecuencia y fase, por lo qucualquier variacin que se presente en alguno deestosparmetrosproduciruncambio en la forma del evento, el cual tiene gran importancia en la suma de seales.Una onda senoidal armnica representa en su forma la amplitud y periodo que corresponde a una determinada frecuencia, en un solo ciclo, pero no define el tiempo absoluto en un punto cualquiera, sino el que le corresponde dentro del ciclo considerado.Geomtricamentelaondasenoidal representadacomolafuncinsenx, tieneuna longitud de onda igual a 2 , y su amplitud mxima igual a la unidad.En trminos de tiempo, el valor de x se relaciona con la velocidad angular , que se entiende como la variacin angular por segundo, de manera que para cada periodo de tiempo corresponde una variacin angular y una longitud de onda determinadas.Porotrolado, debetenerseencuentaquelosperiodosdetiemposoninversamente proporcionales a las velocidades angulares, y que las funciones cosenoidales se comportan de la misma forma que las senoidales, pero defasadaso90( /2 ) .Fourier estableci que cualquier funcin peridica puede expresarse como la suma de una serie de funciones seno o coseno, lo que se conoce como Teorema de Fourier . Partiendo de ste teorema , si se conoce la ecuacin de una funcin peridica arbitraria puedencalcularselas ondas senoidales ycosenoidales queal sumarseproducenla funcin considerada.Con base en ste teorema se acostumbra suponer que una seal ssmica es la suma de un nmerofinitodefrecuencias, cadaunadeellasconunaamplitudycambiodefase nicas..Aunque el concepto de onda armnica es de aplicacin general a cualquier movimiento peridico, cuando se refiere a lo establecido por el Teorema de Fourier y en particular a la sntesis deuna seal a partir de sus componentes de frecuencia , adquiere un significado especial.Se dice que una onda es armnica de otra onda, si la funcin que representa a las dos ondas es la misma, y si la armnica tiene una frecuencia que es mltiplo de la frecuencia de la onda principal o fundamental con la cual se compara.En este casolas componentes de frecuencia se denominan primera armnica, segunda armnica, etc., para el doble de la frecuencia fundamental, el triple de la frecuencia, y as sucesivamente.Esta simplificacin facilita el manejo matemtico de la suma de ondas, puesto que al existir unarelacinbiendefinidaentretodaslascomponentes sepuederepresentar Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 34E. Del Valle T.como una serie , y en particular como una Serie de Fourier aplicable a funciones senoidales ycosenoidales , cuyasolucinycomportamientorespondeareglas ya establecidas.Enel casodeondas quesepropaganconunadeterminadavelocidadc, las ondas armnicas de frecuencia , tambin pueden expresarse en funcin de su longitud de onda , debido a la relacin que existe entre ellas : c Si lavelocidadpermanececonstante, laslongitudesdeondadelasarmnicassern submltiplosdelalongitud deonda de la fundamenta,es decir : la mitad, la tercera parte, etc.Engeneral , losmovimientosondulatoriosquesepropaganenlosmediosterrestres sufren una atenuacin en su amplitud con la distancia, por lo que la forma de la onda ssmica puede cambiar aunque conserve sus frecuencias. En el caso de que el intervalo de tiempo o distancia sea pequeo, la atenuacin puede no ser perceptible.En la exploracin los eventos que son detectados se encuentran dentro de una gama muy grande de amplitudes que sera muy difcil representarlas con su verdadera magnitud, por lo que los sistemas de instrumentacin que se utilizan para presentar los resultados de los eventos que se detectan los normalizan entre amplitudes mximas y mnimas preestablecidas, que aproximan los eventos ssmicos a una amplitud casi constante para poder visualizarlos mejor.De acuerdo a los objetivos que se persiguen, las componentes armnicas de una onda pueden establecerse con amplitud constante o variable, sin embargo la sntesis o suma de ellas darn resultados diferentes. Enlasuma de eventos ssmicos, las variaciones de la amplitud,frecuencia y fase de alguna o varias de las componentes, puede producir cambios de forma muy importantes llegando inclusive a cancelarlas. En la practica pueden presentarse variaciones simultaneas que producen un efecto combinado en la forma de la onda resultante que no siempre es posible identificarlas a simple vista, figura 2.4.1Lasvariacionesdefasetienengraninfluenciaenlaformaresultantedelaonda, un cambio de fase representa tambin un cambio en el tiempo.En el caso de que las seales tengan la misma amplitud y frecuencia , los defasamientos producen cambios comprendidos en tres situaciones bsicas : . Defasamiento de 0 o 360 grados, la resultante conserva sus caractersticas de frecuencia y fase, incrementndose su amplitud. . Defasamientode90grados( /2), laresultanteconservalafrecuencia, el incremento de amplitud es pequeo y cambia la fase. .Defasamiento de 180 grados( ) , la resultante se anula para un nmero par de sumandos, para un nmero impar puede conservar la forma o invertirla, segn sea el caso .FIGURA 2.4.1FFFFFFFFFFFFFFFFProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 35E. Del Valle T.FIGURA 2.4.1.-Suma de seales armnicas con diferentes atributos.Lasumadeseales dediferentes frecuencias puedeproducir seales generalmente complejas, ya que simultneamente se presentan efectos similares a los generados por variaciones de fase y de amplitud.En la suma de seales de diferentes frecuencias y de la misma amplitud, se observa que existe unaperiodicidad definidaen la seal resultante, y el patrn se repite en cada periodoque corresponde a la frecuencia ms baja delas seales que intervienen, reproducindose cada vez que la seal se encuentre en fase. La amplitud ser variable con la tendencia a incrementarse cuando las amplitudes mximas de las seales (crestas) se encuentren en fase, atenundose cuando estn defasadas.Cuando se presenten seales que varan adems de la frecuencia en fase y amplitud, es imprevisible la forma que puede adquirir la resultante, aunque conserva la propiedad de que el patrn estar condicionado por la frecuencia ms baja del conjunto de seales.Conforme aumente el nmero de seales de diferentes caractersticas que se suman, la onda resultante es ms compleja.El casodela suma deeventos ocomponentes defrecuencias armnicas presenta caractersticas muy especiales debido al factor de multiplicidad de las frecuencias,que propicia que las seales se encuentren en fase peridicamente. Esta propiedad permite manejarlas como series de Fourier, que matemticamente aceptan diversos tratamientos utilizandolasposibilidadesdeserdiferenciables, integrablesytransformables, enel dominio de la frecuencia o de la fase.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 36E. Del Valle T.La forma ms simple es la suma de la frecuencia fundamental con su primera armnica, el resultadoindicaunadiferenciaenamplitudes, predominandolaamplitudenlas crestas correspondientes a la frecuencia fundamental, que es la de ms baja frecuencia.Conforme se incrementa el nmero de componentes armnicas se agudiza la atenuacin de las crestas que corresponden a frecuencias diferentes a la fundamental, observndose que el evento predominante tiende a reducir su anchura hacia el valor de la componente de ms alta frecuencia, mientras que la mxima amplitud se alcanza en la cresta de la componente de ms baja frecuencia o fundamental.Enelcasolmitedeunasumadeunnmero infinitodecomponentes armnicas,el resultado producira un pulso vertical, lo cual solo podra presentarse tericamente en el punto de impacto.2.4.2.- Densidad e intensidad de la energa en movimientos ondulatorios.El desplazamiento de una onda armnica se puede expresar como :

( ) + t A u cos, en donde : = ngulo de fase.La velocidad del desplazamiento es: tuc La energa cintica por unidad de volumen : 221mc Ec y221

,_

tuV Ec por lo qu : ( ) + ,_

t sen AtuVEc2 2 222121Tomando en cuenta los valores que puede tener la funcin seno

2 2210 AVEc ,en un determinado instante la onda tambin posee energa potencial que est relacionada con las deformaciones estticas , y como Ec+Ep= constante , se puenen presentar dos condiciones extremas :a) Cuando el desplazamiento es nulo ( u=0 ) , la energa potencial es nula , y la energa cintica es mxima.b) Cuandoel desplazamientoesmximo, laenergapotencial esmximayla energa cintica es nula.En el caso de que la energa cintica sea mxima, la densidad de energa ser :

22 2 2 2221AA en donde= frecuenciaPara indicar el ritmo o velocidad con el que fluye la energa se utiliza el concepto de intensidad que se define como :I =cantidad de energa quefluye por la unidadde superficie perpendicular ala direccin de propagacin.Entonces :2 221A c I c : velocidad de propagacinPara elcasodeunaondaarmnica esfrica ,la intensidad de energa en un instante cualquiera depender de la energa generada en la fuente y distribuida en la superficie esfricaquecorrespondaalaondaenel instanteconsiderado, demaneraquesi se Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 37E. Del Valle T.comparan los flujos de energa a los tiempos 1t y 2t, con superficies 1S y 2S ,respectivamente, se tiene que : 2 2 1 1S I S I , puesto que la energa total debe ser la misma.Como la superficie de una esfera est definida por el radio,1S y 2Ssern propor cionales a los radios 1R y 2R que equivalen a las distancias recorridas en los tiempos 1t y 2t por lo qu : 2212112

,_

RRSSII.A partir de sta expresin se puede establecer que la expansin geomtrica que sufren las ondas al propagarse, hace disminuir la densidad y la intensidad de energa con el cuadrado de la distancia. Este fenmeno se conoce como Divergencia esfrica .2.4.3.-Atenuacin de la energa ssmica.Enelanlisisdelassealesqueseobtienen en unregistrossmicoun aspecto muy importante y que en ocasiones no se le presta la atencin debida, se refiere a la energa que est presente en los movimientos, la cual se manifiesta en la amplitud de la seal.Desafortunadamente las amplitudes varan entre lmites muy amplios, lo que hace difcil representarlos con sus verdaderas magnitudes en un sismograma, por lo que es necesario amplificarlas o atenuarlas de manera que puedan observarse simultneamente todosloseventos quehansidodetectados,con amplitudesentrelmites previamente seleccionados.La experiencia indica que la energa, y por lo tanto la amplitud, disminuye rpidamente con la distancia que generalmente se le atribuye a la divergencia esfrica.Tericamente se considera que en condiciones de propagacin ideales, ninguna de las energas presentes en la onda ssmica deban desaparecer, sin embargo, en los resultados obtenidos en la prctica se observa que conforme la onda atraviesa diferentes medios, la energacinticaasociadaal movimientoondulatorioesatenuadagradualmentehasta que finalmente desaparece del movimiento..Por simplicidad frecuentemente se menciona que la atenuacin de la energa es gradual y constante, lo cual no es rigurosamente cierto, ya que intervienen diversos factores que consumeno generan energa, muchos de los cuales no ha sido posible identificarlos totalmente o comprender adecuadamente su influencia.Unfactor importantedeatenuacinseatribuyeal fenmenodeabsorcinquese asocia a varias causas, entre las que se encuentra el calor generado durante la etapa de compresindelas partculas del medioensucomportamientoelstico, lafriccin interna, prdidas de energa relacionadas con el fracturamiento del material cercano a la fuente ssmica cuando se utilizan explosivos, la existencia de algunos efectos de tipo piezoelctrico y termoelctrico, as como a perdida de la viscosidad de algunos de los fluidos contenidos en los poros del material, entre otros.El control o conocimiento del grado de influencia de stos factores resulta muy difcil, y en ocasiones casi imposible en el desarrollo cotidiano de los trabajos exploratorios, y Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 38E. Del Valle T.aunquesehanrealizadodiversasinvestigaciones experimentales, losresultados son incompletos o de aplicacin exclusiva al rea particular en estudio.2.4.3.-Atenuacin de la energa ssmica.Enelanlisisdelassealesqueseobtienen en unregistrossmicoun aspecto muy importante y que en ocasiones no se le presta la atencin debida, se refiere a la energa que est presente en los movimientos, la cual se manifiesta en la amplitud de la seal.Desafortunadamente las amplitudes varan entre lmites muy amplios, lo que hace difcil representarlos con sus verdaderas magnitudes en un sismograma, por lo que es necesario amplificarlas o atenuarlas de manera que puedan observarse simultneamente todosloseventos quehansidodetectados,con amplitudesentrelmites previamente seleccionados.La experiencia indica que la energa, y por lo tanto la amplitud, disminuye rpidamente con la distancia que generalmente se le atribuye a la divergencia esfrica.Tericamente se considera que en condiciones de propagacin ideales, ninguna de las energas presentes en la onda ssmica deban desaparecer, sin embargo, en los resultados obtenidos en la prctica se observa que conforme la onda atraviesa diferentes medios, la energacinticaasociadaal movimientoondulatorioesatenuadagradualmentehasta que finalmente desaparece del movimiento..Por simplicidad frecuentemente se menciona que la atenuacin de la energa es gradual y constante, lo cual no es rigurosamente cierto, ya que intervienen diversos factores que consumeno generan energa, muchos de los cuales no ha sido posible identificarlos totalmente o comprender adecuadamente su influencia.Unfactor importantedeatenuacinseatribuyeal fenmenodeabsorcinquese asocia a varias causas, entre las que se encuentra el calor generado durante la etapa de compresindelas partculas del medioensucomportamientoelstico, lafriccin interna, prdidas de energa relacionadas con el fracturamiento del material cercano a la fuente ssmica cuando se utilizan explosivos, la existencia de algunos efectos de tipo piezoelctrico y termoelctrico, as como a perdida de la viscosidad de algunos de los fluidos contenidos en los poros del material, entre otros.El control o conocimiento del grado de influencia de stos factores resulta muy difcil, y en ocasiones casi imposible en el desarrollo cotidiano de los trabajos exploratorios, y aunquesehanrealizadodiversasinvestigaciones experimentales, losresultados son incompletos o de aplicacin exclusiva al rea particular en estudio.Es posible demostrar que en el decaimiento de la energa intervienen en forma importante fenmenos de dispersin de las ondas como es el caso de las difracciones, y enespecialladistribucindela energa en las interfases como consecuencia de los fenmenos de reflexin y de refraccin.Porotroladolaexperienciahademostradoquelaabsorcinestrelacionadacon variaciones de la frecuencia de las ondas y que est condicionada por las caractersticas Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 39E. Del Valle T.elsticas y las condiciones de frontera de los diversos medios que son atravesados por los movimientos ondulatorios durante su trayectoria.Enlapartesuperiordelacortezalaspropiedadeselsticasdelosmaterialesvaran dentro de lmites muy amplios que contribuyen a producir formas de onda muy complejas, las cuales nopueden ser representadas apropiadamente por medio de expresiones matemticas muy rigurosas.En general la teora aplicable a los movimientos ssmicos se basa en modelos simplificados que utilizan medios con distribuciones y propiedades elsticas ideales, o que permitan representar razonablemente las condiciones reales promedio, que muestren los aspectos cualitativos y cuantitativos predominantes.En casos especiales pueden analizarse individualmente algunos fenmenos particulares partiendo de modelos simples, a los cuales se les van incorporando restricciones hasta que representen aceptablemente el problema que se est analizando.2.4.3.1.- Absorcin.Se conoce como absorcin al fenmeno de la prdida de la energa de una onda con respectoaladistancia, que se manifiesta como una modificacin en la forma de las ondas por la atenuacin de las componentes de alta frecuencia.La experiencia ha mostrado que sta atenuacin es exponencial del tipo : xe I I 0 en donde := coeficiente de absorcin.Los efector caractersticos de la absorcin son : . Prdida de altas frecuencias producindose un ensanchamiento del pulso.. Prdidadelaamplituddebidoaladisminucindelascomponentes dealta frecuencia. . Una ligera disminucin de la velocidad de propagacin de las crestas y valles de las ondas. Figura 2.4.2Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 40E. Del Valle T.FIGURA 2.4.2.-Prdida de las altas frecuencias al aumentar la distancia de porpagacinLos estudios que se han hecho atribuyen la reduccin en la amplitud a la energa que se consume por la friccin,slida o viscosa, de las partculas al desplazarse la onda, teniendo una relacin de amplitudes del tipoxxe A A 0.Ladisminucindelaamplitudpuedeexpresarsecomo:xeAAx0log yla frecuencia fundamental de resonancia 0 , como :0cc00 ,siendoc la velocidad de propagacin.Parael casodefriccinviscosa, ladisminucindeamplitud puedeponerseen funcin de una constante K y de la frecuencia : K , por lo quecKs2 De acuerdo a los resultados experimentales anteriores se puede expresar la atenuacin como :Friccin slida: txcxe A e A A 0 0Friccin viscosa :t KxcKxe A Ae A220 En donde : cxt = tiempo de propagacin.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 41E. Del Valle T.Debido a la diversidad de materiales es necesario considerar que los mdulos elsticos sondiferentes paralas diferentes frecuencias devibracin, as comodeterminar la solucin de la ecuacin de ondapara una determinada frecuencia.Norman Ricker propuso que como el coeficiente de absorcin se incrementa en funcin de la frecuencia, tambin representa una variacin de la potencia q de la frecuencia , y se puede expresarqK

,_

0, en donde 0 es la frecuencia de corte.Por lo anterior la propagacin peridica de las ondas con respecto a la distancia puede representarse con la ecuacin de onda ( ) ct xcsen e XKzq

,_

201como existe cierta dependencia entre 0 y K , se pueden reemplazar por una constante qKm0para simplificar la expresin, y se obtieneqVVk

,_

0En el espectro de absorcin de la Tierra obtenido por Ricker, se puede observar que la banda de absorcin se incrementa de acuerdo de acuerdo a las variaciones de los valores deq, siendoms agudaconformetiendeal infinito, mientras quelas frecuencias inferioresa0setransmitenlibrementeylasfrecuenciassuperioressonabsorbidas totalmente. Figura 2.4.3FIGURA 2.4.3.- Espectro de absorcin de la Tierra ( Norman Ricker ) Enlaprcticasehaobservadoquelasvibracionesdealtafrecuenciasetransmiten pobremente a diferencia de las de baja frecuencia que se propagan bastante bien.Al atenuarse las componentes de alta frecuencia la onda modifica su forma, convirtindola en una ondcula de forma muy caracterstica y definida , que depende de la naturaleza delespectro de absorcin del medio.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 42E. Del Valle T.Norman Ricker encontr que el periodo aparente de la ondcula aumenta con el tiempo de propagacin , y que el coeficiente de absorcin es proporcional al cuadrado de la frecuencia, lo cual concuerda bastante bien con los resultados obtenidos en sus trabajos experimentales.Aldesarrollar el pulsooriginal ensuespectrodefrecuenciasseencuentraquepara distancias grandes la velocidad con la que se propaga el centro de la ondcula correspondealavelocidaddelapropagacin. Adistanciasdel ordendelos200m. adquiere una forma con tendencia a la simetra.Ricker propuso una ondcula terica simtrica para representar el pulso de velocidad, y seconocecomoPulsodeRicker , el cual seaproximabastantealosresultados experimentales y que tiene las caractersticas que se muestran en la figura 2.4.4 .

732 . 1 3 ab 241 . 221 23 edc

FIGURA 2.4.4.- Pulso de RickerLas caractersticas instrumentales tambin influyen en la forma de los pulsos ssmicos que se registran en un sismograma, teniendo en cuenta que los sismodetectores que se utilizan normalmente estn diseados para medir el desplazamiento de las partculas del terreno, que normalmente se manifiestan en funcin de la velocidad del desplazamiento o de la aceleracin en las formas propuestas por Ricker.2.4.3.2.-Dispersin.En los trabajos de prospeccin ssmica la seal que se obtiene en un punto de deteccin en la superficie no necesariamente corresponde a un evento aislado, sino que generalmente es la suma de varios eventos que llegan defasados y probablemente con diferentes frecuencias, los que se manifiestan como un tren de ondas , en el que la alternancia de las vibraciones pueden repetirse n veces, conservando sus propias caractersticas de amplitud y frecuencia.En el caso de que el movimiento ondulatorio sea generado por un pulso transitorio, el nmero de ciclos es limitado, aunque dependiendo del nmero de eventos que puedan combinarse, el tren de ondas puede tener formas complejas.En la prctica,adems de la atenuacin de los eventos por efectos de la distancia, la forma de la onda est condicionada por las caractersticas de diseo de los Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 43E. Del Valle T.sismodetectores, losqueamortiguanel movimientodesuselementosconobjetode minimizar el nmero de ciclos, y aislar en lo posible los eventos ssmicos individuales, y tomando en cuenta que tiene una cierta inercia inicial, los trenes de onda detectados presentan una amplitud creciente la que posteriormente disminuye , despus de haber alcanzado una amplitud mxima.En el caso de un solo evento, el tren de ondas amortiguado contiene un determinado nmero de ciclos de la misma frecuencia, que depende del factor de amortiguamiento del sismodetector, mientras que la frecuencia depende de las propiedades elsticas del mediodepropagacin, yqueseacostumbrarelacionar conlafrecuencianatural de resonancia o de respuesta.Cuandoeneltrendeondasestnpresentesvarioseventosdiferentes, nosiemprees posibleidentificarlos, porloqueseacostumbraanalizarloscomounsologrupoque queda definido por la envolvente que los agrupa y que se asemeja a una onda, con una cresta o valor mximo de amplitud, con una longitud de onda aparente que se desplaza con una determinada velocidad que se conoce como velocidad de grupo , y que no necesariamente corresponde a la velocidad con la que se propaga la energa de acuerdo a la ecuacin de onda. Figura 2.4.5Conforme se propaga el movimiento, la cresta de la envolvente cambia de posicin con respecto a las crestas de cada uno de los eventos que se encuentran dentro del grupo, las cuales se mueven con sus propias velocidades, definidas por sus ecuaciones de onda, a las que se les denomina velocidades de fase para distinguirlas de la velocidad de grupo.En general se define a la velocidad de grupo U, a la distancia recorrida en la unidad de tiempo por un punto de la envoltura del grupo o tren de ondas : tgxU .Se acostumbra definir a la velocidad de fase ( c, , ) como la distancia recorrida en la unidad de tiempo por un punto de una onda ( cresta o valle ) de fase constante : txc ; t = tiempo del pulso en donde : ( ) ct x f ( ) ct x k A 2 cosy ( x ct ) se conoce como la fase .Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 44E. Del Valle T.FIGURA 2.4.5.- Efectos de la dispersin en la velocidad de grupo y la velocidad de fase.Si la velocidad de fase es la misma para todas las frecuencias, la forma del evento se conservar y entonces la velocidad de grupo ser igual a la velocidad de fase.Por el contrario, si la velocidad vara con la frecuencia, la forma del evento cambiar conforme se propague, y entonces la velocidad de grupo es diferente a la velocidad de fase, y cuando esto sucede se dice que el medio es dispersivo.Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 45E. Del Valle T.Existeunarelacinentrelavelocidaddegrupoylavelocidaddefasequepuede expresarse de la manera siguiente :

dkdck cddccddcc U + + ; 2ken donde : c , , , k , ddc, ddc y dkdc , son los valores promedio del rango de funciones que conforman la parte principal del evento.Un tren deondasdispersivoendonde la velocidad de fase aumenta con la distancia puede considerarse como una funcin del tiempo.Si seconsideraqueuntrendeondas estformadopor varias ondas dediferentes frecuencias, y cada una se desplaza con una velocidad propia que le es caracterstica, durante lapropagacindel trenlas diversas componentes defrecuencias ocuparn posiciones de orden diferentes dentro del tren de ondas, aunque el conjunto conserva la misma velocidad de grupo la velocidad de fase es diferente, pudiendo cambiar de forma con la distancia.La velocidad de fase est determinada por las caractersticas fsicas del medio, mientras que la velocidad de grupo depende del efecto resultante de la suma de los elementos de diferentes frecuencias , con diferentes velocidades, que forman el tren.Cuando la dispersin depende de la variacin de una de las coordenadas, por ejemplo la profundidad, se le denomina dispersin geomtrica.Cuandoladispersindependedelasvariacionesdelafrecuencia, producidaporlos parmetros fsicos que determinan la velocidad de la onda, se le denomina dispersin material.Enunsismogramaquecontienelallegadadeloseventosenpuntosdedeteccin ubicados a distancias diferentes de la fuente, conviene tomar en cuenta lo siguiente :. Cada frecuencia del tren de ondas se propagar dentro del grupo con su propia velocidad,que serconstantepara una determinada frecuencia,y diferente para cada una de las diversas frecuencias. . Debe distinguirse que la velocidad de grupo estar representada por una lnea cuya pendiente depender de la frecuencia ..La velocidad de fase estar indicada por una curva que une el valor mximo deltrendeondas, el queestarasociadoaunafrecuenciadiferenteencadatraza, yla pendienteencadaunadeellas representarlavelocidaddefaseparticular quele corresponda a la frecuencia en ese punto. 2.4.3.3.-Distribucin de la Energa en una Interfase.Enunainterfase sepresentansimultneamente cuatrocondiciones defrontera que influyen en la distribucin de la energa que tiene la onda incidente. De acuerdo con la teora de la elasticidadse tienen componentes longitudinales o normales y tangenciales que pueden expresarse en trminos de desplazamientos o de esfuerzos :Prospeccin Sismolgica.-Captulo 2 46E. Del Valle T.Desplazamientos normales : 2 1u uDesplazamientos tangenciales : 2 1v vEsfuerzos normales : ( ) ( )2 1 Sxx Sxx en trminos de los desplazamientos :212 2

,_

+ ,_

+ yuxu Esfuerzos tangenciales : ( ) ( )2 1 Syx Syx ;( ) ( )2 1 Szx Szx en trminos de los desplazamientos :2 1 1]1

,_

+1]1

,_

+yuxvyuxv 2 1 1]1

,_

+1]1

,_

+zuzwzuxw

La representacin geomtrica de lo anterior se presenta en la figura2.4.5 Vp 2> Vs2> Vp1 > Vs1FIGURA 2.4.5 .- Distribucin de la energa en una interfase

De acuerdo a las leyes de Snell : 2 2 1 1 1 VssenRsVpsenRpVssenrsVpsenrpVpsenip Tomandoencuentaquelaamplituddelasondasesproporcional alaenergaque contienen :Api ( )1A : amplitud de la onda compresional incidenteApr ( )2A : amplitud de la onda compresional reflejadaProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 47E. Del Valle T.ApR : amplitud de la onda compresional refractadaAsr ( )3A: amplitud de la onda tangencial reflejadaAsR: amplitud de la onda tangencial refractadaLos desplazamientos normales al frente ondas armnicas son de la forma :( ) y g x f t sen A1 1 1 1+ + en donde : 1cos1Vpif y11Vpsenigpor lo que en la onda incidente:i u cos1 1 ;seni v1 1 La onda al reflejarse sufre un cambio de fase, por lo que su expresin ser : ( )1 2 2 2 2 + + y g x f t sen Aen donde : 1cos2Vprpf ; 12Vpsenrpg1:constante que se relaciona con el cambio de fase.Tomando como base lo anterior puede ponerse : rp u cos2 2 ysenrp g2 2 Procediendo de forma similar se puede establecer para la onda tangencial reflejada: ( )2 3 3 3 3 + + y g x f t sen A13Vssenrsf ;13Vssenrsg;senrs u3 3 ;rs v cos3 3 Para determinar las ecuaciones de los desplazamientos correspondientes a las ondas refractadas es necesario hacer un anlisis anlogo al anterior.La energa presente en la onda incidente , ya sea que se trate de una onda compresional o tangencial, se subdividir en las ondas generadas como reflejos y refracciones , compresionales y tangenciales , como lo establece el Principio de Huyghens.Las amplitudes de las ondas que son proporcionales a la subdivisin de la energa, al cumplirse las condiciones de frontera para las ondas armnicas, pueden expresarse de la manera siguiente :a) .- 2 1u u ( ) 0 cos cos + AsRsenRs Rp APR Asrsenrs i Apr Apib).- 2 1v v( ) 0 cos cos + + Rs ASR APRsenRp rs Asr seni Apr ApiProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 48E. Del Valle T.c).-( ) ( )2 12 2 1]1

++ 1]1

++yvxuyvxu

( )

,_

+ Rs Apr rs sen AsrVs rs Vpi Apr Api 2 cos 2 1 2 cos12

0 2 212

,_

Rs sen AsRVsd).-

( ) ( )2 1 yx Syx ( ) ( ) 1]1

,_

rsVsVpAsr i sen Apr Api Vs 2 cos112 121 ( ) 0 2 cos212212221]1

,_

,_

RSVSVPASR RP senVpVpAPR Vs Para cada caso particular se resuelven simultneamente en funcin de los ngulos y velocidades correspondientes.Para el caso de que i = 0 rp = rs = RP = RS = 0y no se generan ondas tangenciales.Para las ondas compresionales : ( )1 21 21 21 2VP VPVP VP ApiApr +: onda reflejada ( )1 221 21VP VPVpi ApiAPR +: onda refractadaVn2:impedancia caracterstica = impedancia acstica.Las amplitudes,direcciones y fases de las ondas reflejadas y refractadas son independientes de la longitud de onda.En ssmica de exploracin se acostumbra indicar las amplitudes en trminos de las impedancias acsticas de los medios que separa la interfase.1 1 2 21 1 2 21 21 2V VV VAir rr rAi Ar ++;1 1 2 21 1 2 2V VV V +: coef. de reflexin1 1 2 22 21 222 2V VVAir rrAi AR ++:1 1 2 22 22V VV +: coef. de transmisinProspeccin Sismolgica.-Captulo 2 49E. Del Valle T.Caso de incidencia inclinada(0 i)Coeficiente de reflexin=2 1 1 22 1 1 2cos coscos cos r rr r+Coeficiente de transmisin = 2 1 1 21 2cos coscos 2 r rr+En donde : 2121sensenVVCUESTIONARIO DE EVALUACIN. 2.1.-Explique el concepto de la teora de la elasticidady la influencia de las constantes elsticas.2.2. Explique el concepto de ecuacin de onda , y las diversasformasen que se expresa.2.3.- Explique el concepto de ondas armnicas .2.4.- Explique la diferencia entre ondas de cuerpo y ondas superficiales, indicando las mas importantes.2.5.- Explique el concepto de densidad de energa y su influencia en la intensidad de la seal ssmica.2.6.- Explique la influencia de la absorcin y dispersin en la forma de la seal ssmica2.7.- Explique el efecto de distribucin de la energa en una interfase, que se conoce como impedancia acstica.