5.1 Dada la densidad de corriente ( ) ( ) : a)

Encontrar la corriente total que cruza el plano en la dirección de en la región

b) Encontrar la corriente total que abandona la región

integrando sobre la superficie del cubo. c) Repetir el inciso b) utilizando el

teorema de la divergencia.

Solución:

a) Como tenemos en la dirección y en el plano

∫

*∫ ∫ ( )

+ |

[

]

( )

b) La corriente a través de las superficies superior e inferior no existirá, ya que J no tiene

ningún componente z. También no habrá corriente a través del plano ya que

solo en

∫ ( )

| ∫ ( )

| ∫ ( )

|

*∫ ∫ ( )

| ∫ ∫ ( )

|

∫ ∫

| +

*

|

|

(

)

+

[

]

( )

c) Utilizando el teorema de la divergencia tenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

5.2 una cierta densidad de corriente esta dada por ( )

⁄ . Encontrar la

corriente total que pasa a través de las superficies:

a) en la dirección .

b) en la dirección .

c) Cilindro cerrado definido por en la dirección saliente.

a.- z=0 ,

( )

⁄ .

)

⁄ .

∫

∫ ∫

Como z=0 entonces

∫ ∫ ( )

∫ ∫

∫ ( )

( )

b.- z=1,

( )

⁄ .

)

⁄ .

∫

∫ ∫

Como z=1 entonces

∫ ∫ ( )

∫ ∫

∫ ( )

( )

c.- Cilindro cerrado definido por en la dirección saliente.

∫ ∫

( )

∫ ∫

∫

( )

∫

*

+ |

3. Sea

( ) a) Encontrar la corriente total q fluye a través de la porsion

de la superficie esférica r=0.8 , limitada por

b) Encontrar el valor promedio de J en el área en cuestión

( )

∫ ∫

( )

( )∫ ∫

( ) ∫

∫

( )

( ) (

( ))]

( ) [

(

)]

( )

( ) [

(

)]

( )

( )

b) primero encontramos el área en cuestión que va a ser

∫ ∫

∫

( )

( )( )

5.4. Suponer que un rayo electrónico uniforme de sección circular de radio de 0.2 mm

lo genera un cátodo en x=0 y lo recibe un ánodo en x=20 cm. La velocidad de electrones

varía en función a x en la forma , dado x en metros. Si la densidad de

corriente en el ánodo es de , encontrar la densidad volumétrica de carga y la

densidad de corriente como función de x

Se tiene que en términos de la densidad corriente en función de x:

Por tanto expresándolo en función ya que es una constante se lo puede expresar de la

siguiente manera:

Para la otra parte que es la densidad volumétrica tenemos que:

√

5.5 Sea

( ) . a) Encontrar la corriente total que cruza el plano

en la dirección para . b) Calcular . c) Encontrar la corriente

saliente que cruza a la superficie cerrada definida por

. d) demostrar que J y la superficie definida en el inciso c) satisfacen el teorema de

divergencia.

SOLUCION: ∫

a) Como se toma la dirección se suprime el resto de coordenadas.

∫ ∫

( )

( ( )| )

b)

( )

(

)

(

( ) )

( )

(

( ))

( )

c) ∫

Para cada lado

∫ ∫

( )( )

∫ ∫

( )( )

∫ ∫

( ) ( )

∫ ∫

( ) ( )

d) si consideramos que la divergencia del apartado b) es 0 y la integral de volumen de la

sección c) también es 0 podemos observar que el teorema de divergencia (La divergencia de

un vector de tipo de flujo A es el límite de la cantidad de flujo por unidad de volumen que sale de

una pequeña superficie cerrada cuando el volumen tiende a cero) se cumple ya que son iguales.

6. La densidad de corriente en una cierta región es de aproximadamente J=(0.1/r)exp(-

106t)arA/m2 en coordenadas esféricas.

a) En 1us. ¿Qué cantidad de corriente atraviesa la superficie r=5.?

( ) (

)

b) Repetir lo anterior para r=6

( ) (

)

c) Utilizar la ecuación de continuidad para encontrar ( ) suponiendo que a

medida que

(

) (

)

∫

( )

∫

( )

( )

( )

Ahora como , así f(r)=0, entonces la respuesta es

( )

a) Encontrar una expresión para la densidad de carga.

5.7) Suponiendo que no hay transformación de masa a energía y viceversa, se puede escribir una

ecuación de continuidad para la masa. a) Si se utiliza la ecuación de continuidad para la carga

como en nuestro modelo, ¿qué cantidades corresponden a J y a . b) Dado un cubo de 1cm de

lado, algunos datos empíricos demuestran que las velocidades a las que la masa abandona las

caras son 10.25, -9.85, 1.75, -2.00, -4.05 y 4.45 mg/s. Si se supone que el cubo es un elemento de

volumen incremental, determínese un valor aproximado de la rapidez de cambio de la densidad en

su centro.

DESARROLLO

a)

La ecuación de continuidad para la corriente es:

Por lo tanto la ecuación correspondiente para la ecuación de continuidad para la masa sería:

Sabemos que:

Se sabe que cada valor de las expresiones sería en kilogramos dado que se trata de la masa:

Remplazando en la ecuación se tendría:

=

Densidad de flujo de masa.

Densidad de masa.

b)

Tenemos la ecuación de la continuidad para la masa como sigue

∫( )

∫ (

)

∮

Las velocidades de masa que abandonan la superficie del cubo son las siguientes:

∮

10.25 -9.85 + 1.75 -2.00 -4.05 + 4.45= 0.55 mg/s

Dado que cada lado del cubo es de 1cm, su volumen (v) será igual a 1 c , la masa que sale del

centro de cubo es:

1000000 c

g/ s

5.8) La conductividad del carbón es de .a) ¿Qué forma y tamaño de una

muestra de carbón tiene una conductancia de ?b) ¿Cuál es la conductancia si

todas las dimensiones de la muestra encontrada en el inciso a) se redujeran a la mitad?

En la figura 5.3 nos dicen que la resistencia es igual a

; donde es

conductividad, L es longitud y S es el área de la sección transversal. Sabemos que la

conductancia (G), es el inverso de la resistencia; por lo tanto

Para obtener una conductancia (G) igual a

la conductividad ( ), tanto el área como la

longitud tendrían que ser iguales, es decir

con A=L tendríamos

Esto se puede dar en una lámina cuadrada

de dimensiones , el area es

entonces Área

( )( )

( )

Otro caso es un bloque de sección

transversal cuadrada que tiene una

longitud y el área de la sección

transversal es √ √ .

( )(√ √ )

b) Si las dimensiones de las muestras

(longitud y área de sección transversal) se

redujeran a la mitad, la conductancia

también se reduce a la mitad y se lo

demuestra con la misma fórmula de

conductancia

Para el caso de la lámina cuadrada

tendríamos

, el área es entonces

Área

; por lo tanto

( ) (

)

( )

Por lo tanto si las dimensiones se reducen

a la mitad, la conductancia también se

reduce a la mitad.

EJERCICIO 9

a) Utilizando los datos tabulados en el apéndice C , calcular en diámetro que se

requiere para que un alambre de nicromo de 2m de longitud disipe una

potencia promedio de 450W cuando se le aplique un voltaje de 120Vrms a 60Hz.

b) Calcular el valor rms de la densidad de corriente en el alambre.

SOLUCIÓN:

a)

( )

( )

√

√

b)

5.10 Un alambre solido con una conductividad y un radio tiene una cubierta

exterior de un material que tiene conductividad , su radio interior es a y su radio

exterior es b. demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos

materiales es independiente de a y b

De la ecuación 8 del CAP 6 tenemos que

Por lo que tendremos que

Lo que muestra que son independientes de la dimensión de sus radios.

Ejercicio 11:

Dos superficies cilíndricas conductoras de longitud están ubicados en y

La corriente total que fluye radialmente hacia fuera a través del medio entre

los dos cilindros es de 3A de cd. a) Encontrar el voltaje y la resistencia entre los

cilindros y E en la región entre los cilindros si un material que tiene una ⁄

está presente en b) Demostrar que integrando la potencia disipada por

unidad de volumen a través de todo el volumen se obtiene la potencia disipada total.

Solución:

⁄ y

a)

⁄

⁄

∫

∫

(

)|

b)

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫ (

)

∫

(

) (

)

12.-) Dos placas conductoras idénticas que tienen un área A se ubican en y .

La región entre las placas está llena de un material cuya conductividad ( )

depende de z, donde es una constante. Un voltaje se aplica a la placa ; en

, la placa esta a cero potencial. Encontrar en términos de los parámetros dados; a)

la resistencia del material; b) la corriente total que fluye a través de las placas; c) la

intensidad del campo eléctrico E dentro del material.

a) Para el análisis, se inicia con la resistencia diferencial de una lámina fina del

material de espesor , que es.

De modo que

∫

∫

∫

∫

|

( )

( )

b) utilizando la ley de ohm

c) para encontrar el campo eléctrico primero encontramos la densidad e carga

Por lo tanto

( )

5.13 Un tubo cilíndrico hueco con una sección rectangular mide externamente 0.5

pulgada por 1 pulgada y un grosor de pared de 0.05 pulgadas. Suponer que el material

es latón y tiene una ⁄ . Por el tubo fluye una corriente de 200 A de cd.

a) ¿Qué caída de voltaje se presenta en un metro de tubo? b) encontrar la caída de

voltaje si el interior del tubo se llena con material conductor cuyo valor de

⁄ .

a) Transformamos las medidas del tubo:

1 pulgada = 2.54 cm = 0.0254 m

0.5 pulgada = 1.27 cm = 0.0127 m

0.05 pulgada = 0.127 cm = m

0.4 pulgada = 1.016 cm = 0.01016 m

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

b) Transformamos las medidas del tubo:

0.9 pulgadas = 2.286 cm = 0.02286 m

0.4 pulgadas = 0.01016 m

( ) ( )

( ) ( )

La resistencia de los dos materiales en paralelo:

‖

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

5.14 una placa conductora rectangular está ubicada en el plano xy y ocupa la región

0<x<a, 0<y<b. otra placa conductora idéntica se coloca en posición paralela a la

primera en z=d. el espacio entre las placas se llena con un material cuyo ( )

⁄ ,

donde es una constante. Se aplica un voltaje a la placa en z=d; la pl

aca está a potencial cero en z=0. Encontrar en términos de los parámetros dados: a) la

intensidad de campo eléctrico E dentro del material; b) la corriente que fluye entre las

placas; c) la resistencia del material.

Solución:

a) La conductividad varía con x, por lo tanto, no hay ninguna variación de z en E y tener

en cuenta que la integral de línea de E entre las placas superior e inferior siempre

deben dar .

b)

⁄ (

)

⁄

∫

∫ ∫

⁄

( )

(

⁄ )

(

⁄ )

( )

c)

5.15.- Sea ( ) en el espacio libre.

a) Una superficie equipotencial define la superficie conductora. Encontrar la

superficie conductora.

( )

( )

( )

b) Encontrar y en el punto de la superficie del conductor donde y

( )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

c) Encontrar | | en ese punto

| | | | √( ) ( ) ( )

| | | | √( ) ( ) ( )

| |

EJERCICIO 5.16

en coordenadas cilíndricas.

a) Si la región 0.1< < 0.3 m es el espacio libre mientras que las superficies y

m son conductores, especificar la densidad de carga de superficie de cada

conductor.

(

)

PARA dentro del conductor

( )

PARA fuera del conductor

( ) ( )

b) ¿Cuál es la carga total en un metro de longitud de la región del espacio libre, 0.1< <

0.3 (sin incluir los conductores)?

∫

( )

( ( ) )

(( ) )

∫ ∫ ∫

c) ¿Cuál es la carga total en un metro de longitud incluyendo ambas cargas de

superficie?

Carga superficie

∫

∫

∫ ∫ ( )

Carga superficie

∫

∫

∫ ∫ ( )

5.17) Dado el campo de potencial V=100xz/(x2+4) V en el espacio libre:

a) Encontrar D en la superficie z=0

(

)

( )

( ) ( )

b) Demostrar que la superficie z=0 es una superficie equipotencial.

Existen dos razones para demostrar:

1) El campo E en z = 0 tiene la dirección z en todas partes, y así mover una carga alrededor de

la superficie implica hacer ningún trabajo;

2) Al evaluar la función potencial dado en z = 0, el resultado es 0 para todo x e y.

c) Suponer que la superficie z=0 es un conductor y encontrar la carga total en la

porción del conductor definida por 0<x<2, -3<y<0

|

∫ ∫

(

)

( ) |

( )

5.18.- Un campo de potencia está dado por {[( ) ] [( ) ]}

se sabe que el P (2, 1, 1) está en una superficie conductora y que el conductor se

encuentra en el espacio libre. En el punto P encontrar un vector unitario normal a la

superficie, así como el valor de la densidad de carga de superficie en el conductor.

Solución

*( )

( ) +

* ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) +

Ahora evaluando en P(2, 1, 1)

* ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) +

*

( ) ( ) +

[

]

Obtenemos el vector unitario

| |

√( ) ( )

|

|

( ) ( )

( )

( )

5.19 Sea V= 20x2yz-10z2 en el espacio libre.

a) Determinar las ecuaciones de las superficies equipotenciales en las que V=0 y 60V.

V= 20x2yz-10z2

V= 0V

0 = 10z(2x2y - z)

2x2y – z = 0

V = 60V

60 = 10z(2x2y - z)

2x2y – z =

2x2y – z =

b) Suponer que estas son superficies conductoras y encontrar la densidad de carga de

superficie en el punto de la superficie V =60V donde x=2 y z=1. Se sabe que 0

es la región que contiene el campo.

En la superficie en que V = 60V tenemos:

2x2y – z -

= 0

Reemplazamos los valores x=2 y z=1 para obtener el valor de “y”

2(2)2y – 1 -

= 0

8y – 7 = 0

y =

= - V= 20x2yz-10z2

= -

( ) -

( ) -

( )

( )

( )( ⁄ )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ⁄ ) ( ))

( )

⁄

| | √( ) ( ) ( ) ⁄

⁄

c) Proporcionar el vector unitario en el punto que es normal a la superficie conductora

y está dirigida hacia la superficie V = 0.

| |

√( ) ( ) ( )

EJERCICIO 5.20

Dos cargas puntuales de se ubican en ( ) y ( ). La superficie

es una superficie conductora. a) determinar la densidad de carga de superficie en el

origen. b) determinar en ( )

Desarrollo:

a)

si denotamos en ( ) y en ( )

aplicando el método de las imágenes tenemos q las posiciones de las cargas estarán en los

puntos

en ( ) y en ( )

Para una carga puntual tenemos

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

| | √( ) ( ) √

| | (√ )

Remplazando

( )

√

( )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

| | √( ) ( ) √

| | (√ )

Remplazando

( )

√

( )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

| | √( ) ( ) √

| | (√ )

Remplazando

( )

√

( )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

| | √( ) ( ) √

| | (√ )

Remplazando

( )

√

( )

Sumando tenemos

( ) ( ) ( )

( )

| | (

√( ) )

b)

Para una carga puntual tenemos

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

( )

| | √( ) (( ))

√ ( )

| | (√ (( )) )

( ( ) )

Remplazando

( ( ) )

( )

√ ( )

(

( )

( ( ) ) )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

( )

| | √( ) (( ))

√ ( )

| | (√ (( )) )

( ( ) )

Remplazando

( ( ) )

( )

√ ( )

(

( )

( ( ) ) )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

( )

| | √( ) (( ))

√ ( )

| | (√ (( )) )

( ( ) )

Remplazando

( ( ) )

( )

√ ( )

(

( )

( ( ) ) )

Para en ( )

| |

| |

Donde

( ) ( )

( )

| | √( ) (( ))

√ ( )

| | (√ (( )) )

( ( ) )

Remplazando

( ( ) )

( )

√ ( )

(

( )

( ( ) ) )

Sumando tenemos

(

( )

( ( ) ) )

(

( )

( ( ) ) )

(

( )

( ( ) ) )

(

( )

( ( ) ) )

(

( ( ) )

( ( ) ) )

( ) (

( ( ) )

( ( ) ) )

(

( ( ) )

( ( ) ) )

| |

(

( ( ) )

( ( ) ) )

(

(

( ( ) )

( ( ) ) )

√( (

( ( ) )

( ( ) ) ) )

)

(

( ( ) )

( ( ) ) )

(

( ( ) )

( ( ) ) )

5.21Sea la superficie un conductor perfecto en el espacio libre. dos cargas lineales

infinitas y uniformes de

están ubicadas en .

a) Sea en la superficie , encontrar V en p(1,2,0).

b) Encontrar E en P.

Solución

Se encuentra las distancias desde el punto de la carga lineal hasta el punto P

En este caso como son cuatro cargas tendremos cuatro distancias

( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) √

a)

Para encontrar V en el punto primeramente calculamos las distancias del punto hacia la

carga lineal .

el campo en una carga lineal es

Y el potencial es

∫

∫

El potencial total sería igual a la suma de cada uno de los potenciales de cada carga lineal

Para la carga 30nC/m en el punto (0, 2,0) entre los intervalos desde el hasta la dirección

radial√

∫

√

∫

√

|

√

Para la carga de 30nC/m en el punto (0, 1,0) entre los intervalos desde el hasta la

dirección radial√

∫

√

∫

√

|

√

Para la carga de -30nC/m en el punto (0, -1,0) entre los intervalos desde el hasta la

dirección radial√

∫

√

∫

√

|

√

Para la carga de -30nC/m en el punto (0, -2,0) entre los intervalos desde el hasta la

dirección radial√

∫

√

∫

√

|

√

Entonces el potencial total será

|

√

|

√

|

√

|

√

* |

√

|

√

|

√

|

√

+

[ √ √ √ √ ]

[ √ √ √ √ ]

b)

Para encontrar el campo en una carga lineal y un punto

√ ( )

√ ( )

√ ( )

√ ( )

El campo total es igual a la suma de cada campo de línea de carga

√

( )

√

√

( )

√

√

( )

√

√

( )

√

*( )

( )

( )

( )

+

[(

) (

) ]

[(

) (

) ]

[(

) (

) ]

5.22 El segmento de línea , , tiene una densidad de carga lineal

| |

, sea una superficie conductora y determinar la densidad de carga de

superficie en: a) (0,0,0); b) (0,1,0).

Consideremos a la line de carga como una cadena de segmentos diferenciales de longitud , y

de carga . Para el segmento dado en la ubicación (0, y’ , 1) tendremos su

correspondiente imagen en el segmento de carga localizado en (0, y’, -1). El diferencial de la

densidad de flujo en el eje y esta asociado con la imagen del segmento entonces tenemos.

[( ) ]

( )

[( ) ]

( )

( )

El total de la densidad de flujo de la línea de carga es

( ) ∫ ∫ | |

( )

∫ [

( )

( )

]

[

( )

( )

( )

( )

]

[

( )

( )

( )

( )

( ) ]

Evaluando este resultado en el origen (0,0,0) tenemos

a) ( ) |

*

√

√ +

Evaluando en el punto (0,1,0)

b) ( ) |

*

√

√ √ +

5.23.- Un dipolo cuyo valor de está ubicado en A (1, 0, 0) en el espacio

libre de la superficie es perfectamente conductora. a) Encontrar V en P (2, 0, 1),

b) Encontrar la ecuación de la superficie equipotencial de 200V en coordenadas

cartesianas.

a)

*√ +

Tenemos un dipolo en x = 1 entonces tendremos un segundo dipolo en orientación opuesta

que será en x = -1. Nuestro potencial en cualquier punto es:

*

√( )

√( ) +

Ahora sustituimos en el P(2,0,1)

*

√( )

√( ) +

( )[

√

√ ]

[

√

√ ]

b)

*

√( )

√( ) +

( )

*

√( )

√( ) +

( ( ))

*

√( )

√( ) +

*

√( )

√( ) +

5.24) a cierta temperatura, las movilidades de electrones y huecos en el germanio son

de , respectivamente. Si las concentraciones de huecos y

electrones son de , encontrar la conductividad a esa temperatura.

La concentración de huecos y electrones depende significativamente de la temperatura.

A 300°K la densidad volumétrica, tanto de electrones como de huecos es de en

germanio puro. Este valor da una conductividad de en el germanio.

| |

( ) ( )

5.25 las concentraciones de electrones y huecos se incrementan con la temperatura.

Para el silicio puro .La dependencia funcional de las

movilidades con la temperatura esta dada por y

donde la temperatura T esta en grados kelvin. Encontrar

en: a) ) ) .

a)

( )

)

( )

)

( )

26 Una muestra de semiconductor tiene una sección transversal rectangular de 1.5

mm por 2.0 mm y una longitud de 11.0 mm. El material tiene densidades de electrones

y huecos de espectivamente. Si

y

. Encontrar la resistencia ofrecida entre las caras de los extremos de la

muestra.

La carga electrónica =

( )( )

S/m

La resistencia será:

( )( )( )