Universidad de ConcepciónFacultad de EducaciónPostítulo de Especialización en Primer Ciclo 2009 Postítulo de Especialización en Primer Ciclo 2009

CAMPO DE PROBLEMAS CAMPO DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS (*)Operaciones AritméticasMilton Sepúlveda Ahumada

(*) Adaptado desde “El campo de los problemas multiplicativos en los programas de estudio” del equipo LEM Matemática UDEC

El campo de problemas multiplicativosp p p

El campo de problemas multiplicativos se puede p p p pclasificar como sigue:

• It ió d didP bl d • Iteración de una medida• De reparto equitativo• Agrupamiento en base a una medida

Problemas de proporcionalidad

directa

• Arreglo Bidimensional• Combinación

Problemas de Producto

CartesianoCartesiano

Problemas de • Comparación por cuocienteProblemas de Comparación

CLASIFICACIÓN PROPUESTA POR LORENA ESPINOZA (2006)

El campo de problemas multiplicativosp p p

Problemas de proporcionalidad directa.p pPor el contrario de lo que se pudiera pensar, no son problemas que se resuelven a través de proporciones, i bl d t t sino que son problemas cuyos datos presentan una

relación proporcional. Esto permite resolverlos mediante una multiplicación o división.Son problemas en los que se relacionan tres tipos de magnitudes

Cantidad de elementosCantidad de elementosCantidad de gruposCantidad de elementos por grupo (medida del grupo)

El campo de problemas multiplicativosp p p

El campo de problemas multiplicativosp p p

Los problemas de producto cartesiano se refieren a Los problemas de producto cartesiano se refieren a problemas en los que ha que determinar el cardinal de una colección ordenada.

Arreglo bidimensional: objetos ordenados en filas y columnas (ej: el número de butacas de una sala de cine)Combinación: es una combinación ordenada de objetos (ej para hacer máscaras se disponen de 2 tipos de (ej: para hacer máscaras, se disponen de 2 tipos de narices y 3 tipos de pelucas, ¿cuántos tipos de máscaras se pueden realizar?)p )

El campo de problemas multiplicativosp p p

Los problemas de comparación por cuociente Los problemas de comparación por cuociente permiten relacionar cantidades de igual magnitud.

¿Cómo cuantificar cuánto más grande es Júpiter que la ¿ g p qTierra?“Júpiter tiene un diámetro 130.000 km más grande que el de la Tierra”“Júpiter tiene un diámetro 11 veces más grande que el d l Ti ”de la Tierra”.

Concepto de multiplicaciónp p

Es posible determinar, sin contar, la cantidad de Es posible determinar, sin contar, la cantidad de objetos que se reparten en total, cuando a cada grupo se le da la misma cantidad de objetos.g p jLa multiplicación es la operación matemática que permite anticipar la cantidad total de objetos que p p j qse repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada grupo, y de la cantidad de grupos.

Concepto de divisiónp

Es posible anticipar la cantidad de objetos que le Es posible anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada grupo que participa en un reparto equitativo, antes de realizarlo.q ,La división es la operación matemática que permite anticipar la cantidad de objetos que le tocará a p j qcada grupo en un reparto equitativo de objetos.

Concepto de divisiónp

Es posible determinar, sin necesidad de contar, la Es posible determinar, sin necesidad de contar, la cantidad de grupos que se pueden formar, cuando se conoce la cantidad total de objetos con los que j qhay que formar grupos y la cantidad de objetos que tiene cada grupo (medida del grupo).La división es la operación que permite determinar, sin necesidad de formar los grupos, la cantidad de grupos que se pueden formar, conocida la cantidad total de objetos y la medida del grupo.

Concepto de divisiónp

La división de un número a por un número b, que se La división de un número a por un número b, que se anota a : b, se define como la cantidad de vecesque a contiene a b. Para calcular el resultado, se q ,resta reiteradamente b al valor a, o bien múltiplos de b al valor a, hasta que sea posible. El resultado de la división es la cantidad de veces que se resta b al valor a hasta obtener 0 o un valor menor que b. El valor a se denomina dividendo, b se denomina divisor y al resultado de la división se d i i tdenomina cociente.

Reversibilidad entre multiplicación y di i iódivisión

Debido a que la división y multiplicación son Debido a que la división y multiplicación son operaciones inversas entre sí, podemos obtener un cuociente pensándolo como el factor que p qmultiplicado por el divisor, da como resultado el dividendo. Asimismo, esta reversibilidad permite formular problemas inversos entre sí.

Por ello, la multiplicación y la división se parecen en Por ello, la multiplicación y la división se parecen en que, para realizar los cálculos, en ambos casos hay que hacer multiplicaciones. q pSe diferencian en que, cuando multiplicamos dos números, sumamos repetidas veces un mismo pnúmero, y el resultado es mayor que cualquiera de los dos factores. En cambio, cuando dividimos un número entre otro (dividendo entre divisor), restamos reiteradas veces el divisor al dividendo, o bi t últi l d l di i l lt d bien restamos un múltiplo del divisor, y el resultado es menor que el número que se está dividiendo.

Técnicas de cálculo para la lti li iómultiplicación

Técnicas de cálculo para la lti li iómultiplicación

Técnicas de cálculo para la divisiónp

Técnicas de cálculo para la divisiónp

P d E di d NB2

P i d l d bl

Programas de Estudio de NB2

Presencia del campo de problemas multiplicativos y las técnicas de cálculo para la multiplicación y la divisiónmultiplicación y la división.

1er semestre NB2

1er semestre NB2

En este semestre, se asocia la multiplicación a problemas en los que aparezca una relación de proporcionalidad, en particular, a problemas de iteración de una medida. Esto permite emplear a la adición reiterada como la primera técnica para el cálculo de productos.En este semestre se asocia además a la división con problemas de reparto equitativo. No se espera que en este semestre los alumnos dominen las que en este semestre los alumnos dominen las técnicas de cálculo de divisiones.

2do semestre NB2

2do semestre NB2

Al fi li l 2d t d 3 ñ Al finalizar el 2do semestre de 3er año, se espera que los alumnos resuelvan problemas de agrupamiento en base a una medida, y aplican g p , y plas primeras técnicas para cálculo de cuocientes.Se espera que los alumnos profundicen en el conocimiento de las operaciones, reconociendo las acciones asociadas y a los significados de los datos involucradosinvolucrados.Además, los alumnos deberán comprender que estas operaciones tienen una relación de estas operaciones tienen una relación de reversibilidad.

3er semestre NB2

3er semestre NB2

Una vez concluido este semestre, se espera que los alumnos sean capaces de resolver nuevos tipos de problemas multiplicativos: de arreglo bidimensional, y de comparación por cuociente.Estos dos tipos de problemas son relevantes para contenidos del programa de estudios del 2do ciclo

fbásico, tales como área de superficies planas, y razones.

4to semestre NB2

4to semestre NB2

Los aprendizajes esperados para este semestre se centran en las técnicas escritas y mentales de cálculo de productos y cuocientes. Es decir, los programas oficiales esperan que los niños dominen estas técnicas al finalizar su 1er ciclo básico.

Presencia en los programas de estudiop g

Lo anterior se traduce en que la enseñanza de las Lo anterior se traduce en que la enseñanza de las operaciones se debe iniciar a partir de la resolución de problemas, asociando a la p ,multiplicación y división a acciones o situaciones específicas.Esto permite que los niños ensayen estrategias que les permitan resolver multiplicaciones y divisiones, con material concreto primero, y de forma mental y escrita, posteriormente.Esta evolución, debe observarse también en el aprendizaje de las distintas técnicas de cálculo.