calculo proposicional

Matemtica Discreta Resumen 1 de 12

1.Calculo proposicional

La lgica es esencial para construir y probar programas de computadoras

Determinar cules patrones de razonamiento lgico son validos y cules no lo son es una parte esencial de la lgica

1.1.Argumentos y proposiciones lgicas

Estructura bsica de un argumento lgico

Consta de proposiciones lgicas que no pueden subdividirse(Proposiciones atmicas), las que se relacionan mediante conexiones lgicas.

1. Si la demanda crece las compaas se expanden. 2. Si las compaas se expanden, entonces contratan trabajadores

Conclusin

3. Si la demanda crece, entonces las compaas contratan trabajadores

Premisas

Observaciones

1. Las afirmaciones utilizadas son compuestas, constan de varias partes. 2. Se pude designar a cada afirmacin que aparece en una lnea con una letra

mayscula.

1. Si P entonces Q 2. Si Q entonces R

3. Si P entonces R

Silogismo hipottico

1. P o Q 2. No Q

3. P

1. Si P entonces Q 2. Si Q entonces R

3. Si P entonces R

Silogismo Disyuntivo

Modus Ponens

Silogismo: Es un razonamiento deductivo, categrico, mediato, consistente en inferir juicios particulares de juicios universales.

Ejemplos de argumentos

Proposiciones Definicin Cualquier afirmacin que es o bien verdadera o bien falsa(dicotoma) se denomina proposicin. Variables proposicionales solo pueden asumir dos valores verdadero o falso se designan P, Q, R, etc. Constante proposicional: son los valores que puede tomar las variables proposicionales V o F. P = V Q = F Asignacin: Se utiliza para dar un valor constante a una variable. P = F o Q = F Proposiciones atmicas son las que no pueden subdividirse, son variables o constantes proposicionales. Proposiciones compuestas estn formadas por dos o ms proposiciones atmicas. Conexin lgicas tiene por funcin conectar las proposiciones atmicas.


Definicin Una proposicin que consta de una nica variable proposicional o una nica constante proposicional se denomina proposicin atmica. Todas las proposiciones no atmicas se denominan proposiciones compuestas. Todas las proposiciones compuestas contienen al menos una conexin lgica. Definicin Una tabla de verdad de una proposicin da los valores verdaderos de la proposicin para todas las asignaciones posibles.

1.2.Conexiones lgicas

Es importante para evitar ambigedades cada afirmacin debe tener su propio sujeto y predicado

Negacin(definicin)

Sea P una proposicin. La proposicin compuesta P, que se pronuncia no P, es la proposicin que es verdadera si P es falsa y que es falsa en otro caso. P se denomina la negacin de P. La conexin puede traducirse como no es el caso que o simplementeno.

P P V F F V

Conjuncin(definicin)

Sea P y Q dos proposiciones. Entonces P Q es verdadera si y solo si tanto P como Q son verdaderas. P Q se llama la conjuncin de P y Q, la conexin se pronuncia y. La conexin y puede traducirse al espaol mediante la palabra y pero ms aun adems

P Q PQ V V V V F F F V F F F F

Disyuncin(definicin)

Sea P y Q dos proposiciones. Entonces P Q es falso solo si tanto P como Q son falsos. Si P o Q son verdaderos entonces P Q es verdadero. P Q se llama la disyuncin de P y Q, y la conexin se pronuncia o. Normalmente la conexin puede traducirse con la palabra o.


P Q P Q P QV V V F V F V V F V V V F F F F

Condicional(definicin) Sean P y Q dos proposiciones. Entonces P Q es falso si P es Verdadero y Q falso, y P Q es verdadero en otro caso. P Q se denomina la condicional de P y Q. La condicional P Q puede traducirse utilizando la construccin Si ... entonces..., como en si P, entonces Q. En otras palabras P Q significa que siempre que P sea correcta Q lo es. La afirmacin P se llama antecedente y Q el consecuente.

P Q PQV V V V F F F V V F F V

De la tabla se desprenden las siguientes afirmaciones: Si el antecedente es verdadero entonces el valor de verdad de la

condicional es igual al valor de verdad de la consecuente. Si el antecedente es falso, entonces la condicional es trivialmente

verdadera

P Q significa que puede darse P o Q o ambas ( o inclusivo) Existe otro o que se expresa con la conjuncin en el cual P Q significa P o Q pero no ambas(o Exclusivo)

Tomando solo los valores donde la condicional es verdadera, se puede afirmar que: 1. P es verdadera solo si Q lo es 2. P es verdadera en menos casos que Q lo que la hace una condicin mas

fuerte 3. Q es entonces ms dbil que P 4. Si Q es falsa, P es falsa 5. Q es una condicin necesaria P es una condicin suficiente

Distintas maneras de expresar la condicional: PQ QP Si P, entonces Q Q si P Siempre que P, Q Q siempre que P P es suficiente para Q Q es necesario para P P solo si Q Q si P P implica Q Q es implicada por P


Bicondicional(definicin)

Sean P y Q dos proposiciones. Entonces P Q es verdadera siempre que P y Q tengan los mismos valores de verdad. La propoposicin P Q se denomina bicondicional o equivalencia y se pronuncia P si y solo si Q. Cuando escribimos, frecuentemente utilizamos ssi (en ingles iff) como una abreviatura para si y slo si P Q PQ V V V V F F F V F F F V

Comentarios sobre las conexiones La conexin es la nica conexin unaria: esto es, solo niega una nica

proposicin. Las otras conexiones son binarias: o sea, requieren de dos proposiciones que

estn unidas mediante la conexin. Las conexiones binarias , , son simtricas: o sea, que el orden no

afecta el valor de verdad de la expresin resultante La conexin , no es simtrica, ya que, P Q, Q P tienen distintos

valores de verdad.

1.3.Proposiciones compuestas

Cualquier expresin debe expresarse de algn modo, bien sea verbalmente,

grficamente o mediante una cadena de caracteres

Expresin lgica Una proposicin expresada mediante una cadena de caracteres se denomina una expresin lgica o una formula Las expresiones lgicas pueden ser tanto, atmicas o Compuestas Una expresin atmica consta de una sola variable proposicional o una sola constante proposicional, y esta representa una proposicin atmica Las expresiones compuestas contienen al menos una conexin y representan proposiciones compuestas Para evitar ambigedades: En expresiones tales como PQ, PQ, las variables P y Q se corresponden. Para indicar esto generalmente se escribe (PQ) y (PQ), respectivamente. ((PQ) (PQ)) Expresin completamente entre parntesis (ecep) Se pueden usar identificadores para referirse a las expresiones Ej. (AB)


A = P Q A y B son identificadores no son variables proposicionales. B = P Q Definicin Todas las expresiones que contienen identificadores que representan expresiones se denominan esquemas. Si A y B son dos identificadores se cumple que: 1. (A): Negacin 2. (A B): Conjuncin 3. (A B): Disyuncin 4. (AB): Condicional 5. (AB): Bicondicional Utilizando las condiciones dadas cualquier ecep puede ser construida de acuerdo a las siguientes Reglas de Formacin: 1. Toda expresin atmica es una ecep. 2. Si A es una ecep lo es A 3. Si A y B son ecep, entonces lo son (AB), (AB), (AB), (AB) 4. Ninguna otra expresin es una ecep. La definicin de lo que es y no es una ecep es recursiva, esto es que utiliza el termino ecep en su propia definicin. En la expresin: A : A es el alcance (o mbito) de la negacin, y la conexin se denomina conexin principal (AB): La conexin principal es , A es el alcance izquierdo de la conjuncin y B es el alcance izquierdo. La misma definicin se usa para (AB), (AB), (AB) El alcance o los alcances pueden ser compuestos, y las conexiones encontradas en los alcances son subconexiones de la expresin. (P Q) (P Q)

Subconexin Alcance derecho Conexin Principal

Subconexin Alcance izquierdo


Anlisis de las proposiciones compuestas

La separacin de una afirmacin en sus componentes se llama anlisis. Generalmente a analizar una expresin equivale a hallar todas sus subexpresiones. Si Micaela gana las limpiadas, todos la admiraran y ella se ser rica; pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vano P: Micaela gana las olimpiadas Q: Todos la admiraran a Micaela R: Micaela ser rica S: Todo el esfuerzo de Micaela fue en vano

(P(QR)) (PS) Esquema: A B Esquema de A: P C, con C = QR Esquema de B: D S, con D = P Tanto A como B se denominan subexpresiones de la ecep, A y B contienen a su vez subexpresiones. Si E es una expresin compuesta, entonces los alcances de la conexin son subexpresiones inmediatas de E. Si A y B son subexpresiones compuestas inmediatas de E, las subexpresiones de A y B son subexpresiones de E. Observe que E es una subexpresin por si misma, esta se denomina subexpresin propia, todas las dems son subexpresiones impropias Un tipo especial de expresin es la literal Definicin Una proposicin se denomina literal si es de la forma Q o Q, donde Q es una variable proposicional. Las dos expresiones Q y Q se denominan literales complementarias Muy poca gente trabaja con ecep, porque tales expresiones son largas y con frecuencia difciles de leer. Para interpretar correctamente la expresin resultante, se utilizan las llamadas reglas de prioridad o precedencia

Las subexpresiones se definen como sigue 1. E es una subexpresin de E 2. Si E es de la forma(A) entonces A es una subexpresin de E 3. Si E es de la forma (AB),(AB),(AB) o (AB), entonces A y B

son ambas subexpresiones de E. Estas subexpresiones se denominan subexpresiones inmediatas.

4. Si A es una subexpresin de E y si C es una subexpresin de A, entonces C es una subexpresin de E.

5. Ninguna otra expresin es subexpresin de E.


Reglas de prioridad

Para establecer las regles de prioridad de debemos tener en cuenta que: 1. Cada conexin tiene una prioridad 2. Las conexiones con una prioridad mas alta introducen una unin mas fuerte que las

conexiones con una prioridad mas baja. El orden de prioridades es el siguiente: : P Q se ejecuta: (P) Q : P Q R se ejecuta: (P Q) R : P Q R se ejecuta: P (Q R) : P Q R se ejecuta: P (Q R) En algunas expresiones las reglas de prioridad no son suficientes Ej. P Q R Definicin Un operador binario se denomina asociativo por la izquierda, si el operador por la izquierda tiene prioridad sobre el operador por la derecha. Un operador binario de denomina asociativo por la derecha si el operador por la derecha tiene prioridad sobre el operador por la izquierda. Todas las conexiones lgicas binarias son asociativas por la izquierda. PQR debe ser comprendido como (PQ)R Definicin Sea el operador principal de una expresin. Entonces, se dice que est en posicin prefija si precede su operando, en posicin infija si est insertado entre los operandos y en posicin postfija si sigue a sus operandos. Ej. (, A, B) P Posicin prefija PQ Posicin infija A, B, Posicin Postfija

1.4.Tautologas y contradicciones Definicin Una expresin lgica es una tautologa si es verdadera para todas las asignaciones posibles. Definicin Una expresin lgica es una contradiccin si es falsa para todas las asignaciones posibles. Definicin Una expresin lgica que no sea una tautologa ni una contradiccin se denomina contingencia(casualidad / eventualidad)


El mtodo mas directo para determinar que una expresin lgica es una tautologa, una contradiccin o una contingencia es mediante la tabla de verdad. Las tautolgias son importantes porque todo argumento lgico puede ser reducido a una tautologa. Alternativamente se puede demostrar que un argumento es valido mediante una contradiccin.

Tautologas

Se utiliza la siguiente simbologa para indicar que una expresin lgica es una tautologa. Ej. A P P Este smbolo pertenece al metalenguaje para describir a calculo proposicional, no es parte del calculo proposicional

Si A es una tautologa que contiene la variable P se puede crear una nueva expresin sustituyendo todas las apariciones de P por una expresin arbitraria. La expresin resultante A es de nuevo una tautologa.

Se puede incluso remplazar todas las variables proposicionales de una tautologa por expresiones, y convertir la tautologa en un esquema

Teorema Sea A una expresin tautolgica y sean P1, P2, Pn las variables proposicionales de A. Suponga que B1,B2,,Bn. Son expresiones lgicas arbitrarias. En este caso, la expresin obtenida al remplazar P1 por B1, P2 por B2Pn por Bn es un esquema, y toda particularizacin de este esquema es una Tautologa.

Tautolgica y razonamiento valido Un argumento lgico es valido si la conclusin se deduce lgicamente de las

premisas. Si todas las premisas son verdaderas entonces la conclusin es verdadera. Por lo tanto si la conjuncin de las premisas es A y si la conclusin es C,

entonces AC debe ser verdadera para todas las asignaciones. O sea una tautologa.

Ej. Demostrar la validez del siguiente argumento.

P Q PQ Q (PQ) Q ((PQ) p) PV V V F F V V F V V V V F V V F F V F F F V F V

A = (PQ) Q C = P AC debe ser (PQ) Q P

Argumento logico (silogismo disyuntivo)

1. PQ 2. Q

3. P


Contradicciones

Si A es una Tautologa( A), A es una contradiccin y viceversa. Las contradicciones tambin pueden convertirse en esquemas.

Ej. ((PQ) (PQ)) es una contradiccin porque sigue el esquema (A A). Las contradicciones tambin pueden usarse para demostrar que los argumentos

lgicos son validos. Por lo tanto, si la conjuncin de todas las premisas A y con la negacin de la

conclusin es C, (A C) debe ser siempre falsa o sea una contradiccin.

Ej. Demostrar la validez del siguiente argumento.

Argumento lgico (silogismo disyuntivo)

4. PQ 5. Q

6. P

A = (PQ) Q C = P AC debe ser una contradiccin (PQ) Q P

P Q PQ Q (PQ) Q P ((PQ) p) P V V V F F F F V F V V V F F F V V F F V F F F F V F V F

Tipos importantes de Tautologas

Existen dos tipos importantes de tautologas, Implicaciones lgicas y equivalencias lgicas

Definicin

Si A y B son dos expresiones lgicas, y si A B es una tautologa, decimos que A implica lgicamente a B, y escribimos A > B

Definicin Si A y B son dos expresiones lgicas, y si A y B tienen siempre el valor de valor de verdad. Se dice que Ay B son Lgicamente equivalentes, y escribimos AB si y solo si A B es una tautologa

Los smbolos y > no son conexiones lgicas


1.5 Equivalencias lgicas y su utilizacin

Las afirmaciones que son lgicamente equivalentes pueden sustituirse una por

otra sin afectar sus valores de verdad. Puesto que las equivalencias son tautologas. Pueden trasformarse en esquemas

y utilizarse como tales.

Demostracin de equivalencias mediante la tabla de verdad

Ej. PQ (QP) por lo tanto debe ser PQ (QP)

P Q P Q P Q PQ (PQ) PQ (PQ) V V F F F V F V V F F V V F V V F V V F V F V V F F V V V F V V

Algebra declarativa

En el lgebra declarativa se manipulan expresiones lgicas, esto es,

expresiones donde las variables y las constantes representan valores de verdad. El lgebra declarativa se puede utilizar para simplificar una expresin o

tambin para demostrar que un argumento es valido. Cada ley del lgebra declarativa tiene su pareja dual, que se encuentra

remplazando en la expresin todas las apariciones de V por F, por y por P(ley de la doble negacin) es dual para si misma. Ej. hallar el valor de verdad de la siguiente expresin lgica (P Q) Q P (Q Q) P (Q Q) Ley asociativa

P F Ley de contradiccin F Ley de dominacin

Mtodos abreviados para manipular expresiones

Para la conjuncin

1. Si un conjuncin contiene literales complementarios o si contiene la constante lgica F, siempre produce F; esto es, se trata de una contradiccin.

2. Todas las apariciones de la constante lgica V y todas las copias duplicadas de cualquier literal pueden omitirse

Para las disyunciones 1. Si un disyuncin contiene literales complementarios o si contiene la constante

lgica V, siempre produce V; esto es, se trata de una tautologa. 2. Todas las apariciones de la constante lgica F y todas las copias duplicadas de

cualquier literal pueden omitirse


Formas normales

Existen formas estndar para las expresiones lgicas y estas se denominan

formas normales

Definicin Se dice que una expresin lgica est en Forma Normal Disyuntiva si est escrita como una disyuncin, en la cual todos los trminos son conjunciones literales. De modo similar se dice que una expresin lgica esta en Forma Normal Conjuntiva si est escrita como una conjuncin de disyunciones literales.

Se requieren tres pasos para obtener una forma normal a travs de manipulaciones algebraicas.

1. Eliminar todas las y . 2. Si la expresin en cuestin contiene cualquier subexpresin compuesta negada,

elimine utilizando la ley de la doble negacin o use las leyes de Morgan para reducir el alcance de la negacin.

3. Una vez encontrada una expresin sin ninguna subexpresin compuesta o negada, use las dos leyes siguientes para reducir el alcance de .

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

Tabla de verdad y FND

Para convertir una funcin dada por su tabla de verdad se utilizan los trminos mnimos(minitrms).

Definicin Un termino mnimo (miniterm) es una conjuncin de literales en los cuales cada variable se repite una vez.

Definicin Si una funcin de verdad est expresada como una disyuncin de trminos mnimos se dice que es una Forma Normal Disyuntiva Completa


1.6 Implicaciones y Derivaciones logicas

La implicacin lgica puede utilizarse como base de un razonamiento valido.

(Los argumentos no validos se llaman falacias) Un argumento es valido si la conclusin se deduce lgicamente, siempre que se

cumplan lgicamente las premisas. La conjuncin de todas las premisas implica lgicamente la conclusin. Por lo

tanto si A es la conjuncin de todas las premisas y B la conclusin se tiene que demostrar que AB es una tautologa

Cualquier tautologa de la forma AB se denomina una implicacin Lgica Demostracin de Validez mediante la tabla de Verdad Un argumento es valido si las premisas en su conjunto inplican lgicamente la conclusin. Por lo tanto si A1,A2,A3...An denotan las premisas y si C la conclusin se debe tener A1 A2 A3 ... An C

Demostraciones

Muchos Argumentos lgicos son, realmente, argumentos compuestos en el sentido de que la conclusin de un argumento es la premisa para el prximo. Toda demostracin es una secuencia de tales argumentos

Esta demostracin se realiza mediante la Derivacin Formal. En la derivacin formal se utilizan las Reglas de Inferencia. Existe una lista de argumentos lgicos admisibles, llamadas reglas de inferencia La derivacin por si misma es una lista de expresiones lgicas, originalmente

esta lista esta vaca, se le pueden aadir expresiones a sta si constituyen una premisa o si pueden obtenerse a partir de expresiones previas, aplicando una de las reglas de inferencia. Este proceso se continua hasta que se alcanza la conclusin.

Definicin1.2.Conexiones lgicasVComentarios sobre las conexiones La implicacin lgica puede utilizarse como base de un razonamiento valido. (Los argumentos no validos se llaman falacias) Demostracin de Validez mediante la tabla de Verdad

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