CALCULO PROPOSICIONAL

Aljallady QuinteroC.I.: 18.071.791

Prof.: Domingo MéndezSAIA B

CALCULO PROPOSICIONAL

Universidad Fermín ToroFacultad de Ingeniería

Escuela de Telecomunicaciones

PROPOSICIONES

• Ejem.: El hidrogeno es un gas.

Verdadero

(1)

• Ejem.: Todo estudiante es Universitario.

Falso

(0)

Las Proposiciones

tienen un único valor lógico

OPERACIONES VERITATIVAS

Los conectivos u operadores lógicos son símbolos que permiten enlazar o conectar proposiciones lógicas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos se dice que es una proposición atómica o simple; si una proposición reúne a mas de una proposición simple o atómica, se dice que es una proposición compuesta o molecular.

Para formar una proposición compuesta o molecular se hace necesario emplear un elemento de enlace entre las proposiciones simples o atómicas, a los cuales se les denomina conectivos lógicos.

p: maría es doctora Proposición Simple

Juan es maestro y carolina es arquitecto Proposición Compuesta

p q

Ejem.:

TABLA DE CONECTIVOS

Operación Símbolo Significado

Negación ~ No, no es el caso que

Conjunción ᴧ Y

Disyunción ᴠ O

Disyunción Exclusiva V O….. O

Condicional Si… entonces

Bicondicional Si y sólo si

CONECTIVOS LOGICOS

La Negación:

Es un conectivo que niega el valor de una proposición o en su defecto, devuelve el valor contrario de la misma.

~p, que se lee “no p”, “no es cierto que p”, “es falso que p”

La Conjunción:

p ~p

1 0

0 1

Este conectivo se lee “Y”, el cual une dos proposiciones y entrega un valor verdadero solo en el caso que ambas tengan valor verdadero.

p ᴧ q se lee, “p y q”

p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La Disyunción Inclusiva:

La Disyunción Exclusiva:

Significa “o” y une dos proposiciones. Su resultado es un valor verdadero siempre y cuando al menos una de ellas tenga valor verdadero

p ᴠ q se lee, “p o q”

p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Significa “o una u otra” une dos proposiciones y resulta en un valor verdadero cuando los valores de las mismas son diferentes entre si.

p V q se lee, “o p o q”

p q (pVq)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Condicional:

Este conectivo se lee “Si .., entonces …”, y une dos proposiciones, cuyo resultado solo es falso cuando p es verdadero y q es falso.

p q se lee, “si p, entonces q”

En el condicional p es antecedente y q consecuente. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.

p q (p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Condicionales Asociados

1. Directo: p q2. Recíproco: q p3. Contrarrecíproco: ~ q ~ p4. Contrario: ~ p ~ q

Bicondicional:

La proposición p q se lee “p si sólo si q” o “p es condición necesaria y suficiente para q” y su resultado es verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.

p q se lee, “p si sólo si q”

p q (p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Formas Proposicionales

Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede decir que las variables proposicionales también son formas proposicionales.

TABLA DE VERDAD

Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta, analizando sus proposiciones simples relacionadas con los conectivos lógicos. La combinación de valores de verdad depende del numero de proposiciones dadas.

Para n proposiciones se tiene combinaciones

p q pVq p q p q ~p

1 1 1 1 0 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1

TAUTOLOGIA

Proposición molecular que es verdadera sin importar los valores de sus variables proposicionales.

CONTRADICCION

Proposición molecular que es falsa independientemente de los valores de sus variables proposicionales.

p ~p

1 0 1

0 1 1

p ~p

1 0 0

0 1 0

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes Idempotentes:

p ᴠ p ≡ pp ᴧ p ≡ p

Leyes Conmutativas:

p ᴠ p ≡ q ᴠ pp ᴧ p ≡ q ᴧ p

Leyes de Identidad:

p ᴠ F ≡ pp ᴧ F ≡ Fp ᴠ V ≡ Vp ᴧ V ≡ p

Leyes Asociativas:

Leyes Distributivas:

Leyes de Complementación:

(p ᴠ q) ᴠ r ≡ p ᴠ p (q ᴠ r)(p ᴧ q) ᴧ r ≡ p ᴧ p (q ᴧ r)

p ᴠ (q ᴧ r) ≡ (p ᴠ q) ᴧ (q ᴠ r)p ᴧ (q ᴠ r ) ≡ (p ᴧ q) ᴠ (p ᴧ r)

p ᴠ ~ p ≡ V (tercio excluido)p ᴧ ~ p ≡ F (contradicción)~ ~ p ≡ p (doble negación)~ V ≡ F, ~ F ≡ V

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes de Morgan:

~ (p ᴠ q ) ≡ ~ p ᴧ ~ q~ (p ᴧ q) ≡ ~ p ᴠ ~ q

Otras Equivalencias Notables:

p →q ≡ ~ p ᴠ q (Ley del Condicional)p ↔ q ≡ (p →q) ᴧ (q →p) (Ley del Bicondicional)p ᴠ q ≡ (p ᴧ ~ q) ᴠ (q ᴧ ~ p) (Ley de Disyunción Exclusiva)p →q ≡ ~ q → ~ p (Ley del Contrarrecíproco)p ᴧ q ≡ ~ (~ p ᴠ ~ q)((p ᴠ q) →r) ≡ (p →r) ᴧ (q →r) (Ley de Demostración por casos)(p →q) ≡ (p ᴧ ~ q →F) (Ley de Reducción al Absurdo)

INFERENCIA

Modus Ponendo Ponens (MPP)

p →q

Modus Tollendo

Tollens (MTT)

p →q

Silogismo Hipotético (S.H)

p →q

Ley de Simplificación

ó

Silogismo Disyuntivo (S.D) ó (Modus Tollendo

Ponens (MTP))

p ᴠ q ó p ᴠ q

INFERENCIA

Ley de Adición

Ó

Ley de Conjunción

p

CIRCUITOS LOGICOS

Es un conjunto de símbolos y operaciones que satisfacen la regla de la lógica, simulando el comportamiento de circuitos eléctricos.

Red en Paralelo (p ᴠ q) Red en Serie (p ᴧ q)