cálculo ma459 unidad 1: diferenciaciÓn clase 1.3 la derivada como una razón de cambio cÁlculo1
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Cálculo MA459
Unidad 1: DIFERENCIACIÓN
Clase 1.3 La derivada como una razón de cambio
CÁLCULO 1
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Considere la función utilidad U (en cientos de soles) dada por U(q) = 0,25q2, donde q es la cantidad producida y vendida (en miles de unidades).
¡Reflexión!
¿Cómo determinaría la razón a la que cambia la utilidad respecto a la cantidad vendida, cuando se vende 2 000 unidades?
Recuerde que para la función f continua, se llama al cociente
, razón de cambio promedio de f
respecto a x en el intervalo [x0; x0 + h].
x0 x0+h
f(x0+h)
f(x0)
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Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.
h
xfhxf
x
y )()( 00
)´()()(
limlim 000
00xf
hxfhxf
xy
hx
entonces
CÁLCULO
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Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) = t2 donde s es la posición del objeto en metros en el tiempo t en segundos. Determine: a.La razón de cambio promedio de s en el intervalo de t = 1 a t = 3 segundos.b.La razón de cambio de s cuando t = 1 segundo.
Ejemplo 1:
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La derivada de una función f en x0 es:
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0
La razón de cambio instantánea de la función f en x0
0 0
0limh
f x h f x
h
CÁLCULO
6
Ejemplo 2:La grafica da la relación entre el porcentaje de desempleo U y el porcentaje correspondiente a la inflación I. Utilice la grafica para calcular la razón a que cambia I respecto de U cuando el nivel de desempleo es 3% y cuando es 10%.
(3,15)
(10;0)
Pendiente= -14
Pendiente= -0,4
% Desempleo
% Inflaciòn
CÁLCULO
x
y
7
Para la función f(x) = x2, ¿en cual de los puntos (1; 1) ó (2; 4) , la función tiene mayor razón de cambio?
Ejemplo 3:
CÁLCULO
CÁLCULO 8
Ejemplo 4: Un comerciante determinó que el ingreso por la venta de un producto en miles de dólares es
donde q es la cantidad producida y vendida en cientos de unidades.a.¿Cuál es la razón de cambio promedio del ingreso cuando la cantidad cambia de q = 5 a q = 10 cientos de unidades? Interprete.b. Determine la razón de cambio instantánea del ingreso respecto a la cantidad vendida para q = 5 cientos de unidades. Interprete.
210000010)( qqqI
Si consideramos el cociente
tenemos un medio para comparar la razón de cambio de f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio relativa de f.
Si multiplicamos la razón de cambio relativa por 100% obtenemos las razón de cambio porcentual.
Razón de cambio relativa y porcentual
CÁLCULO 9
Ejemplo 5:
Se estima que dentro de t años, la circulación de un periódico local será:
C(t) = 100t2 + 400t + 5000 ejemplares
a. ¿A qué razón cambiará la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años?b. ¿Cuál será la razón de cambio porcentual de la circulación respecto al tiempo dentro de 5 años?
CÁLCULO 10
Ejemplo 6:
Determine la razón de cambio porcentual de f en x = 4.
f
CÁLCULO 11
Se muestra la gráfica de la función costo total C(q) en dólares por la producción de q unidades.
Si C(4) = 8 dólares, ¿cuál es la razón de cambio porcentual del costo cuando se producen 4 unidades?
CÁLCULO 12
q
1
0,81,2
4
CLT
.Ejemplo 7: