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Universidad Nacional de San Juan

Facultad de Ingenierí a

MATEMA TICA APLICADA

Ingenierí a Meca nica Ingenierí a Electromeca nica

Equipo de Cátedra

Profesor Titular Ing. Carlos A. Calvo

Profesor Titular Dra Beatriz Morales

Jefe de Trabajos Prácticos Dr. Javier Gimenez

AÑO 2020

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Primer Semana de Clase

CÁLCULO DE VARIACIONES

INTRODUCCIÓN

Problema del cable suspendido:

Encontrar la forma que adopta un cable sometido a la acción de la gravedad (única fuerza

que actúa sobre el cable), amarrado en sus extremos. Se supone que el cable es flexible,

uniforme con densidad (𝜆 =𝑑𝑚

𝑑𝑠) constante. Además es inextensible.

La pregunta es ¿Cuál será la forma que adopta el cable ? Las condiciones son:

Se considera que actúa sobre el cable solamente la fuerza de la gravedad

El cable es flexible

Uniforme con densidad constante

Inextensible

Amarrados en sus extremos

La forma que adopta es la que corresponde a la de mínima energía potencial acumulada

en el cable, dicho de otro modo el cable adopta la forma que minimiza su Energía

Potencial

La energía potencial tenderá a un mínimo, lo que es equivalente a que el centro de

gravedad sea mínimo o sea más cercano a la tierra.

𝑃0 𝑃1

𝑥

𝑦

𝑃0 𝑥0, 𝑦0 = 0,0 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 = 𝑥1, 0

Figura 1

3

Solución

Consideremos un elemento de cable de masa 𝑑𝑚 . Recordar que un elemento de masa

se calcula como la densidad (consideraremos densidad lineal) por elemento de cuerda,

como el cable es uniforme la densidad es constante, luego

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑠

Recordando que si tomamos un pequeño elemento de cable Δ𝑠 se puede aproximar por

un Δ𝑟 (incremento de cuerda) la cual por Pitágora se puede expresar

Δ𝑟 = √Δ𝑥2 + Δ𝑦2

Δ𝑆 ≅ Δ𝑟 = √1 +Δ𝑦2

Δ𝑥2Δ𝑥

Para un elemento muy pequeño Δ𝑆 → 𝑑𝑠 Δ𝑦 → 𝑑𝑦 Δ𝑥 → 𝑑𝑥 luego tenemos que

𝑑𝑠 = √1 + (d𝑦

d𝑥)2

d𝑥

𝑑𝑠 = √1 + 𝑦′2d𝑥

Esta expresión del 𝑑𝑠 se utilizará en todos los ejercicios

Luego

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑠 = 𝜆√1 + 𝑦′2d𝑥

Recordando la expresión de la Energía Potencial y tomando como referencia cero la

energía del piso .

∆𝑥

∆𝑦

Figura 2

4

𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 𝑦

Si consideramos la Energía Potencial Elemental tenemos

𝑑𝐸𝑝 = 𝑔𝑦𝑑𝑚

𝑑𝐸𝑝 = 𝑔𝑦𝜆𝑑𝑠

𝐸𝑝 = 𝑔𝜆⏟𝐾

∫ 𝑦𝑑𝑠𝑥1

𝑥0

Siendo 𝐾 una constante. O sea el problema consiste en encontrar la expresión matemática

de 𝑦 = 𝑦 𝑥 tal que al resolver la integral el número resultante sea mínimo

Expresando todo en términos de x e y

𝐸𝑝 𝑦 = 𝐾∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Si se considera el centro de gravedad en lugar de la energía potencial (según lo visto en

Cálculo II) como estamos integrando sobre un curva será

𝑦𝐺 =∫ 𝑦 𝑑𝑚𝑠

∫ 𝑑𝑚𝑠

𝑦𝐺 =𝜆∫ 𝑦 𝑑𝑠

𝑠

𝜆 ∫ 𝑑𝑠𝑠⏟

𝐿

=

𝑦𝐺 =1

𝐿∫ 𝑦√1 + 𝑦′2

𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Como las constantes 𝐾 o 1

𝐿 no influyen en el mínimo, es equivalente buscar el mínimo

de la Energía Potencial o buscar el mínimo de la ordenada del centro de gravedad y que

matemáticamente corresponde encontrar el mínimo de la integral

∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

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La energía potencial depende de la forma que adopte el cable. A cada curva le corresponde

un valor de energía potencial. Debemos hallar la curva 𝑦 = 𝑦 𝑥 que haga mínimo a la

Ep ó la ordenada y del centro de gravedad.

Conclusión

La curva que hace mínimo la Energía Potencial de un cable suspendido

amarrado en sus extremos se llama catenaria y matemáticamente es la

curva 𝑦 = 𝑦 𝑥 que hace mínima la integral

𝒱 𝑦 = ∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Nota:

Hallar la curva que hace mínima la 𝐸𝑝 , en general, no interesa el valor

mínimo de la energía sino de la curva que hace mínimo la integral

Definición 1

“Se llaman funcionales a la correspondencia entre funciones y números reales”

𝑣: 𝑦 𝑥 → 𝑅

Funcional: es una correspondencia entre funciones y números reales

𝑣: ℱ → 𝑅

Problema Variacional

Un problema Variacional es aquel en el que se busca el máximo o el mínimo de un

funcional

elipses

rectas

círculos

𝑢1

𝑢2

𝑢3

Funciones 𝑅

Figura 3

6

Cálculo Variacional

Es la disciplina de la Física y de la Matemática que estudia los problemas variacionales

𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑑𝑥𝑥1

𝑥0

Historia:

En 1696 Iohanis Bernoulli publicó una carta en la que propuso, a la comunidad de los

matemáticos, el problema de las líneas de desplazamiento más rápido, o braquistócronas.

La solución del problema fue dada por I. Bernoulli, J. Bernoulli, G. Leibnitz, I. Newton

y G. L’Hospital. Este problema junto (al de las líneas geodesias y al isoperimétrico)

ejerció gran influencia en el desarrollo del cálculo de variaciones, que llegó a ser una

disciplina matemática independiente, gracias a los trabajos de Leonard Euler (1707-

1783), quien puede considerarse el fundador del cálculo de variaciones.

Problema de la braquistócrona:

Encontrar la curva que une dos puntos P0 y P1 que sigue una cuenta (perlita de un collar)

desde P0 hasta P1 en tiempo mínimo. Se desprecia el rozamiento, sólo actúa la gravedad.

Planteo Matemático

Si consideramos la velocidad que lleva la cuenta al desplazarse desde 𝑃0 𝑎 𝑃1

𝑉 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑡 =

𝑑𝑠

𝑉 ⇒ 𝑡 = ∫

√1 + 𝑦′2𝑑𝑥

𝑉

La expresión de la velocidad la deducimos usando la ley de la conservación de la energía

mecánica.

𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0

𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1

𝑃 = 𝑥, 𝑦

Figura 4

7

Energía cinética + Energía potencial = cte

En 𝑃0: Ep = 0; Ec =0 En 𝑃: 𝐸𝑝 = −𝑚𝑔𝑦 𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑉2

Igualando

0 = −𝑚𝑔𝑦 +1

2𝑚𝑉2 ⇒ 𝑉 = √2𝑔𝑦

Remplazando en la expresión de t

𝑡 = ∫√1 + 𝑦′2𝑑𝑥

√2𝑔𝑦=

1

√2𝑔∫

√1 + 𝑦′2𝑑𝑥

√𝑦

Debemos hallara la curva “y” que haga mínimo a la funcional 𝑡 𝑦

𝑡 𝑦 = 𝑘∫√1 + 𝑦′2𝑑𝑥

√𝑦

Observación:

Dada la expresión 𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1

𝑥0𝑑𝑥

Nos interesa la y = y(x) (curva, trayectoria) que haga mínimo( ó máximo) “ 𝑣”

No nos interesa el valor de “ 𝑣 ”

En general que el valor de “ 𝑣 ” sera mínimo o máximo, ello surge del planteo del

problema.

“k” no afecta la curva solución.

FUNCIONALES DE LA FORMA

𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Dado 𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1

𝑥0𝑑𝑥 la función 𝑦 𝑥 que minimice (o maximice) a 𝑣 𝑦

debe cumplir la Ecuación de Euler (EE) , es decir debe ser solución de la Ecuación de

Euler dada por 1

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𝐸. 𝐸: 𝜕𝐹

𝜕𝑦−

𝑑

𝑑𝑥(𝜕𝐹

𝜕𝑦 ′) = 0 1

También usamos la notación

𝐹𝑦 −𝑑

𝑑𝑥(𝐹𝑦′) = 0

Aclaración: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ es la función integrando de 𝑣 𝑦 y se considera función de 3

variables x, y, y’ como si fuesen independientes

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 𝐹𝑦 se deriva respecto a “ 𝑦 ” ( x = cte, 𝑦′ = cte)

𝜕𝐹

𝜕𝑦′= 𝐹𝑦′ se deriva respecto a y' (x = cte, y = cte)

𝑑

𝑑𝑥(𝜕𝐹

𝜕𝑦′) es derivada total, se considera 𝑦 𝑥 , 𝑦′ (x)

Nota:

Cuando calculo 𝑑

𝑑𝑥(𝜕𝐹

𝜕𝑦′) debo recordar que 𝑦′ es función de x

Ejemplo 1: Hallar la Ecuación de Euler correspondiente a

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 𝑥𝑦2 − 𝑦2𝑦′2

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 − 2𝑦𝑦′

𝜕𝐹

𝜕𝑦′= −2𝑦2𝑦′

𝑑

𝑑𝑥(𝜕𝐹

𝜕𝑦′) = −2 2𝑦𝑦′2 + 𝑦2𝑦′′

}

⟹ 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 1

2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑦′2 + 𝑦2𝑦 ′′ = 0 𝐸. 𝐸.

F

𝑥

𝑦 𝑥 = 𝑦′ 𝑥

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Ejemplo 2: Hallar la E.E. de

𝐹 = 𝑥𝑦′− 𝑦′2𝑦

𝜕𝐹

𝜕𝑦= −𝑦′2

𝜕𝐹

𝜕𝑦′= 𝑥 − 2𝑦𝑦′

𝑑

𝑑𝑥(𝜕𝐹

𝜕𝑦′) = 1 − 2𝑦′′𝑦 − 2𝑦′2

}

⟹ 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 1

1 − 2𝑦 ′′𝑦 − 2𝑦′2 + 𝑦′2 = 0

La Ecuación de Euler (1) conduce a una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) de

segundo orden que hay que resolver en cada caso.

La solución de E.D.O. se llama extremal, solamente entre las extremales existe la

solución “ que hace mínimo o máximo al funcional 𝑣”

Aquellas extremales que cumplan las condiciones de contorno se llaman solución única

del problema

Observación:

En Cálculo I y Cálculo II se estudiaron problemas de máximos y mínimos pero la solución

eran puntos. O sea los valores (números reales) del Dominio de la función que hacen

mínimo o máxima la función.

En Cálculo de Variaciones lo que se busca son funciones que hacen mínimo o máximo

un funcional (que es una integral) que es un número

Ejemplo 3: Hallar la extremal solución de

{

𝑣 𝑦 = ∫ (𝑥𝑦 − 𝑦′2)

1

0

𝑑𝑥

𝑦 0 = 0

𝑦 1 = 1

𝐹 = 𝑥𝑦 − 𝑦′2

𝐹𝑦 = 𝑥

𝐹𝑦′ = −2 𝑦 ′ 𝑑

𝑑𝑥𝐹𝑦′ = −2𝑦 ′′

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luego la E.E. es

𝑥 + 2𝑦 ′′ = 0 𝐸. 𝐷. 𝑂. 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝑦 ′′ = −𝑥

2

Integramos miembro a miembro dos veces:

𝑦 ′ = −𝑥2

4+ 𝐶1

𝑦 = −𝑥3

12+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Obtenemos una familia de extremales. Aplicando las condiciones de contorno

𝑦 0 = 0 ⟹ 𝐶2 = 0

𝑦 1 = −1

12+ 𝐶1 = 1 ⟹ 𝐶1 =

13

12

Luego la solución es :

𝑦 = −𝑥3

12+

13

12𝑥 =

𝑥

12 13 − 𝑥2

Casos particulares de la fórmula de Euler

a) 𝐹 = 𝐹 𝑥, 𝑦 ′ F no depende explícitamente de y

si aplicamos directamente la fórmula de Euler original 1 se debe calcular

𝐹𝑦 = 0

luego la ecuación de Euler queda

𝑑

𝑑𝑥(𝐹𝑦′) = 0

integrando a ambos miembros

𝐹𝑦′ = 𝐶1 2

La Ecuación de Euler en este caso está semi-integrada (o sea de primer orden )

incluyendo una constante.

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b) 𝐹 = 𝐹 𝑦, 𝑦′ F no depende explícitamente de x

En este caso la EE que se recomienda es:

𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶 3

Es una Ecuación Diferencial de Primer orden

Observación 1:Tanto (2), como (3) son EDO de primer orden. O ecuaciones de segundo

grado semintegrada, que incluyen una cte.

Observación 2: La fórmula (3) es una alternativa a (1), no siempre es más conveniente,

pero si 𝐹 = 𝐹 𝑦, 𝑦′ contiene al factor √1 + 𝑦 ′ 2 (caso común), la ecuación (3) nos

permite aplicar un método de resolución a explicarse en los siguientes ejemplos:

1. Cable Suspendido

El funcional correspondiente es

𝐹 = 𝑦√1 + 𝑦′ 2

Como 𝐹 𝑦, 𝑦′ usamos la Ecuación de Euler (3)

𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶

𝐹𝑦′ = 𝑦𝑦 ′

√1 + 𝑦 ′ 2

Luego reemplazando en la E.E.

𝑦√1 + 𝑦 ′2 − 𝑦 ′ (𝑦𝑦 ′

√1 + 𝑦 ′ 2) =

𝑦 1 + 𝑦 ′2 − 𝑦𝑦 ′2

√1 + 𝑦 ′ 2=

𝑦

√1 + 𝑦 ′ 2= 𝐶1

Luego la EDO a resolver es

𝑦

√1 + 𝑦 ′ 2= 𝐶1 ∗

Para las ecuaciones diferenciales de la forma en que falta una de las variables, existen

métodos de resolución que consisten en la sustitución de 𝒙 , 𝒚 o 𝒚′ por una expresión

paramétrica.

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Para el caso de que aparezca el factor √1 + 𝑦 ′ 2 es conveniente recordar las identidades:

1 + 𝑡𝑔2 𝑡 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑡

1 + 𝑐𝑜𝑡 𝑔2 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑡

1 + sinh2 𝑡 = cosh2 𝑡

Sustituimos en (*)

𝑦 ′ = sinh 𝑡 ⇒ √1 + 𝑦 ′ 2 = cosh 𝑡

𝑦 = 𝐶1 cosh 𝑡 𝑎

Ya tenemos la expresión de 𝑦 = 𝑌 𝑡 ahora debemos encontrar 𝑥 = 𝑋 𝑡 Teniendo en

cuenta que 𝑦 ′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥 entonces despejando de esta expresión 𝑑𝑥 y reemplazando 𝑦′ por

la sustitución elegida se obtiene

𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑦 ′

Luego 𝑑𝑦 se obtiene de la expresión obtenida para 𝑦 𝑡 𝑒𝑛 𝑎 obteniendo

𝑑𝑥 =𝐶1 sinh 𝑡 𝑑𝑡

sinh 𝑡= 𝐶1𝑑𝑡

Integrando miembro a miembro

𝑥 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2

{𝑥 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2 𝑦 = 𝐶1 cosh 𝑡

Solución paramétrica del problema planteado.

Es posible eliminar “ t” quedando

𝑦 = 𝐶1 cosh (𝑥 − 𝐶2

𝐶1)

Solución conocida como catenaria (de cadena).

𝐶1 𝐶2 se determinan de las condiciones de contorno del problema. Un punto importante

es 𝑥 = 𝐶2 𝑦 = 𝐶1 (vértice de la catenaria)

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Braquistócrona (Curva de tiempo mínimo)

Ya vimos que el Funcional para la Braquistócrona es

𝐹 =√1 + 𝑦 ′2

√𝑦= 𝐹 𝑦, 𝑦 ′

La ecuación de Euler a utilizar es la (3) :

𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶

La parcial respecto de y’ es

𝐹𝑦′ =1

√𝑦

𝑦 ′

√1 + 𝑦 ′ 2

Reemplazando en la Ecuación de Euler (3)

√1 + 𝑦 ′ 2

√𝑦− (

𝑦 ′ 2

√𝑦√1+ 𝑦 ′2)

1 + 𝑦 ′ 2 − 𝑦 ′ 2

√𝑦√1 + 𝑦 ′2=

1

√𝑦√1 + 𝑦 ′2= 𝐶1

Luego la EDO a resolver es

𝑦 =𝑐𝑡𝑒

1 + 𝑦′2

Sustituimos 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑡 𝑔 𝑡 resulta

𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛2 𝑡

𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑦′=

2𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡

𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑑𝑥 = 2𝐶1𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝐶1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡

Integrando

𝑥 = 𝐶1 (𝑡 −𝑠𝑒𝑛 2𝑡

2+ 𝐶2)

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𝑥 =𝐶1

2 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2

La solución expresada en forma paramétrica es

{𝑥 =

𝐶1

2 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2

𝑦 =𝐶1

2 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡

Usando una de las condiciones de contorno

a) ( x = 0, y = 0 ) se obtiene

𝑦 = 0 ⇒ 𝑡 = 0

𝑥 = 0 ⇒ 𝐶2 = 0

Llamando 2𝑡 = 𝜃 𝑦 𝐶1

2= 𝑅

Queda finalmente la ecuación paramétrica de la Cicloide

{𝑥 = 𝑅 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 = 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃

La otra condición (que pase por 𝑃1) nos permite calcular 𝑅

Aunque es posible eliminar 𝜃 no es conveniente, pues es más fácil de interpretar en forma

paramétrica.

Geodésicas: Curvas de longitud mínima

Se llaman Geodésicas a las curvas de longitud mínima.

Si recordamos la definición de longitud de arco tenemos

𝑙 𝑦 = ∫ √1 + 𝑦′2𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Luego

𝐹 = √1 + 𝑦′2

La EE que conviene utilizar , como no depende de y es

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𝐹𝑦′ = 𝑐𝑡𝑒

𝐹𝑦′ =𝑦 ′

√1 + 𝑦′2= 𝑐𝑡𝑒

Inviertiendo a ambos miembros y elevando al cuadrado se tiene

1 + 𝑦′2

𝑦′2=

1

𝑐𝑡𝑒2

1

𝑦′2+ 1 =

1

𝑐𝑡𝑒2

1

𝑦′2= 𝐾

Inviertiendo y sacando raíz cuadrada a ambos miembro se llega a la expresión

𝑦′ = 𝐶1

Integrando a ambos miembros se tiene una familia de rectas

𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Lo cual era lógico porque ya sabemos que las curvas de menor longitud son las rectas

Principio de Fermat “La luz tiene prisa por llegar”

La luz se propaga de un punto 𝑃0 𝑥0, 𝑦0 a otro 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 siguiendo el camino del

mínimo tiempo (braquistócronas)

Para obtener el tiempo lo despejamos de la velocidad

𝑉 =𝑑𝑠

𝑑𝑡⇒ 𝑡 = ∫

√1 + 𝑦′ 2

𝑉 𝑥, 𝑦

𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Debemos encontrar la trayectoria que recorre en el tiempo mínimo

Para el caso de medio isotrópico 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 la trayectoria coincide

con la geodésica, es decir se propaga según líneas rectas.

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Ejercicio: encontrar la trayectoria de un rayo de luz para los siguientes casos:

a) v = x b) v = y c) v =√𝑦 d) v =1

√𝑦 e) v =

1

𝑦 f) v = v(y)

Solución:

a) 𝑉 = 𝑥 reemplazando la velocidad en el Funcional

𝐹 =√1 + 𝑦 ′ 2

𝑥

(𝑦 ′

𝑥√1 + 𝑦 ′2) = 𝐶𝑡𝑒

Sustituimos 𝑦′ = 𝑡𝑔 𝑡 resulta

𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑎

Para obtener 𝑦 se despeja 𝑑𝑦 de la derivada, se reemplaza 𝑑𝑥 diferenciando la

expresión de 𝑥 obtenida en 𝑎

𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥

𝑑𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡

Integrando miembro a miembro

𝑦 = −𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2

Luego la solución en forma paramétrica es

{𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 = −𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2

Ecuación paramétrica de la circunferencia que se obtiene eliminando “t” de ambas

ecuaciones

𝑥2 + 𝑦 − 𝐶2 2 = 𝐶1

2

Respuestas para los otros valores de la velocidad

b) Familia de circunferencias

c) Familia de cicloides

d) Familia de parábolas

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e) Familia de catenarias

f) Solución

Problema:

Se acelera una masa m que está en reposo, hasta llevarla a velocidad 𝑉𝑓 en un tiempo T.

Se quiere minimizar la cantidad de combustible consumido por la maquina impulsora,

cuyo gasto (𝑔𝑟

𝑠𝑒𝑔⁄ ) es proporcional al cuadrado de la fuerza 𝑓 𝑡 ejercida sobre la

masa. Suponer que la resistencia (𝛽, cte de frotamiento) es proporcional a la velocidad.

Encontrar la expresión de la 𝑣 𝑡 .

Solución se debe aplicar la Ecuación de Newton

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 ∶ 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝛽𝑣 = 𝑓 𝑡

𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 =𝑑𝑀

𝑑𝑡= 𝑘𝑓2 𝑡

𝑀 = ∫𝑑𝑀 = ∫ 𝑘𝑓2 𝑡 𝑇

0

𝑑𝑡

Donde (M masa de combustible) La funcional queda

𝑀 𝑣 = ∫ 𝑘 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 2𝑇

0

𝑑𝑡

Podemos usar la ecuación (3) de Euler, sin embargo como no está el factor √1 + 𝑦′ 2 la

ecuación de Euler (1) es más conveniente. En este caso el funcional depende de 𝐹 𝑣, 𝑣′, 𝑡

𝐹 𝑣, 𝑣′, 𝑡 = 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 2

𝜕𝐹

𝜕𝑣= 2𝛽 𝑚�̇� + 𝛽𝑣

𝜕𝐹

𝜕𝑣′= 2𝑚 𝑚�̇� + 𝛽𝑣

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐹

𝜕𝑣′) = 2𝑚 𝑚�̈� + 𝛽�̇�

Reemplazando en la E.E.

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2 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 𝛽 − 2 𝑚�̈� + 𝛽�̇� 𝑚 = 0

𝑚2�̈� − 𝛽2𝑣 = 0

Se debe resolver la E.D.O. homogénea

𝑚2�̈� − 𝛽2𝑣 = 0

Sabiendo que las condiciones iniciales son

𝑣 0 = 0𝑣 𝑇 = 𝑣𝑓

Resolviendo la ecuación característica asociada a la E.D.O. como tiene raíces reales y

distintas la solución general es

𝑣 = 𝐶1𝑒𝛽𝑚

𝑡 + 𝐶2𝑒−

𝛽𝑚

𝑡

Aplicando las condiciones iniciales se tiene

𝑣 0 = 𝐶1 + 𝐶2 = 0

𝑣 = 𝐶1𝑒𝛽𝑚

𝑡 − 𝐶1𝑒−

𝛽𝑚

𝑡

𝑣 = 2𝐶1

(𝑒𝛽𝑚

𝑡 − 𝑒−𝛽𝑚

𝑡)

2⏟

𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑚

𝑡)

𝑣 = 2𝐶1𝑠𝑒𝑛 (𝛽

𝑚𝑡)

Aplicando la otra condición 𝑣 𝑇 = 𝑣𝑓

𝑣 𝑇 = 2𝐶1𝑠𝑒𝑛 (𝛽

𝑚𝑇) = 𝑣𝑓

𝐶1 =𝑣𝑓

2𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑚𝑇)

𝑣 =𝑣𝑓

𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑚𝑇)

𝑠𝑒𝑛 (𝛽

𝑚𝑡)

𝑎 = �̇� =𝛽

𝑚

𝑣𝑓

𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑚𝑇)

𝑐𝑜𝑠 (𝛽

𝑚𝑡)