cálculo de límites
TRANSCRIPT
Cálculo de Límites - Límites indeterminados
Prof. Viviana Lloret
http://aulamatic.blogspot.com
Límites indeterminados
Casos de indeterminación: 0/0, ∞/ ∞, ∞ - ∞, 1 ∞
Calcular :
2
42
2lim
x
xx
Como al reemplazar en dicha expresión x por 2 se obtiene 0/0, lo que haremos será, utilizando la Regla de Ruffini, dividir el polinomio que figura en el numerador por el polinomio que figura en el denominador.
1 0 -4
2 2 4
1 2 0
Con lo cual nos quedará:
4)2(lim2
x
x
Hemos logrado salvar la
indetermina-
ción !!!
Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con radicales:
Calcular:
25
1425
limx
xx
Como al reemplazar , en dicha expresión, x por 5 se obtiene 0/0, lo que haremos será utilizar la siguiente propiedad: (a + b).(a - b) = a 2 -
b2
Es decir: multiplicaremos numerador y denominador por 14 x
)14(
)14(.
)25(
)14(25
limx
x
x
xx
)14).(25(
1)4(2
22
5lim
xx
xx
Al multiplicar llegaremos a la siguiente expresión:
En ella simplificamos, en el numerador: exponente con raíz y en el denominador: aplicamos “Diferencia de cuadrados” a x2- 25
Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con radicales:
Nos quedará:
)14).(5).(5(
14lim
5 xxx
xx
Resolviendo el numerador nos quedará:
)14).(5).(5(
5lim
5 xxx
xx
Por último simplificamos, y reemplazamos x por 5:
20
1
)145).(55(
1
Hemos logrado,
nuevamente, salvar
la indetermin
a-ción !!!
Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con funciones trigonométricas:
Propiedad
Calcular x
xsenx 2
)5(lim
0
1lim0
x
xsenx
Como al reemplazar , en dicha expresión, x por 0 se obtiene 0/0, para salvar la indeterminación será necesario utilizar la siguiente propiedad:
En dicha propiedad observamos que: el argumento del seno debe ser igual al valor que figura en el denominador, para lo cual multiplicaremos numerador y denominador por 5
5
5.
2
)5(lim
0 x
xsenx
Acomodando de manera conveniente, llegamos a la siguiente expresión:
Seguimos con la indeterminación del tipo 0/0, pero en este caso con funciones trigonométricas:
2
5.
5
)5(lim
0 x
xsenx
=1
2
51.
2
5
5
)5(.2
5lim
0
x
xsenx
Aplicando la propiedad anteriormente mencionada, llegamos a: Hemos
logrado, nuevamente, salvar
la indetermin
a-ción !!!
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞/ ∞
kcualquierparax
kx
0lim
Recordar:
Calcular:
1435
4532
2
limxx
xxx
Al reemplazar x por ∞ nos queda ∞/ ∞, por tal motivo trataremos que nos quede x dividiendo, así de ese modo dicho término tenderá a 0.
)1435
(
)453
(
222
2
2
222
2
2
lim
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
Observen que extraemos como factor común la
x con mayor exponente
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞/ ∞
Al aplicar dicho límite, todos los términos en donde figure x en el denominador tenderán a 0, por tal motivo los eliminamos, con lo cual llegamos al siguiente resultado.
)143
5(
)45
3(
2
2
lim
xx
xxx
5
3
Hemos logrado, una vez
más, salvar la
indetermina-
ción !!!
Simplificamos:
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞ - ∞
)14357(
)453(23
2
limxxx
xxx
Calcular
En este caso procedemos de igual modo que en el caso anterior, extraemos factor común x con el máximo exponente con el que figura tanto en el numerador , como en el denominador.
En el numerador extraemos x2 y
en el denominador x3.
)1435
7(
)45
3(
333
2
3
22
2
lim
xx
x
x
xx
xx
xx
x
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo ∞ - ∞
)1435
7(
)45
3(
32
2
lim
xxxx
xxx
Simplificando:
Al aplicar dicho límite los términos en los cuales figura x en el denominador tenderán a 0, con lo cual los eliminamos, quedándonos:
03
.7
3
Hemos logrado, una vez más,
salvar la indeterminación !
!!
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo 1∞
Recordar:
ex
x
x
)1
1(lim
Calcular:
x
x x
x 2)1
(lim
Lo primero que debemos hacer es lograr que nos quede similar a la expresión encerrada en la nube, para ello distribuiremos el denominador a cada término.
x
x xx
x 2)1
(lim
Simplificando y aplicando la propiedad Potencia de otra potencia, nos queda:
2))1
1((limx
x x
Pasamos ahora a la indeterminación del tipo 1∞
Aplicando la siguiente propiedad y dicho límite:
)(lim)()( limlim
)(xg
xxfxfx
xg
x
e
e2
2lim
))1
1((lim xx
x x