Cálculo de Límites

MATE 3031 – Cálculo 1

18/01/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 13

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Actividades 1.3

Referencia del Texto

• Sección 1.3 Cálculo analítico de Límites, Ver ejemplos 1 al 10

• Ejercicios de Práctica: Páginas 67-69: Impares 1 – 55, 63-

67,75-77

• Asignación 1.3: Páginas 67-69; 26, 44, 54 y 76. En esta última

use GRAPH para graficar.

Referencia del Web

– Prof. JGR Ahumada – Cálculo de Límites

– Khan Academy – Encontrando Límites algebraicamente

– Michael Kelleys Tutorials For de Calculus Phobe – How to

evaluate a limit?

– Paul Online Notes – Calculus - The Limit

– Visual Calculus - Introduction to Limits

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Propiedades de Límites

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

limxcax n ac n

limxc

f (x) g(x) limxcf (x) lim

xcg(x)

)()()()( limlimlim xgxfxgxfcxcxcx

limxc

f (x) n (lim

xcf (x))n

limxc

f (x)n limxcf (x)n

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Calculando límites sustituyendo

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

lim𝑥→3

3𝑥4 − 𝑥3 − 5𝑥 + 10

= 3(3)4 − 3 3 − 5(3) + 10

= 211

lim𝑥→−2

2𝑥 + 1 5 = 2(−2) + 1 5

= −243

lim𝑥→2

43𝑥4 + 5𝑥2 + 13 814

3

4 de 13

Cálc

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• Ejemplos:

Límite del cociente de funciones

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

0)(lim

xgcx

4

13lim

2

2

x

xx

x

9

6

3

2

4lim

13lim

2

2

2

x

xx

x

x

5 de 13

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Límite del cociente de funciones

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

0127lim 2

3

xx

x

127

6lim

2

2

3

xx

xx

x?

127lim

6lim

2

3

2

3

xx

xx

x

x

¡NO! …. Por que el …

• Es

¿Existe?

Aparentemente SI y es

aproximadamente …

5127

6lim

2

2

3

xx

xx

x

6 de 13

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Calculando límites algebraicamente

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

Calcule:

Trate de simplificar la

expresión factorizando 4

2lim

3

x

x

x

4lim

2lim

3

3

x

x

x

x

5

15

43

23lim

3

xx

xx

x127

6lim

2

2

3

xx

xx

x

Calcule:

lim𝑥→3

2𝑥2 − 5𝑥 − 3

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

(𝑥 − 3)

= lim𝑥→3

(2𝑥 + 1)

= 2 3 + 1 = 7

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Calculando límites algebraicamente

• Calcule

Prof. José G. Rodríguez Ahumada18/01/2016

x

x

x

11lim

0

x

x

x

11lim

0

11

1111lim

0 x

x

x

x

x

11

1)1(lim

0 xx

x

x

11

1lim

0 xx

11lim

0 xx

x

x

2

1

110

1

Trate de multiplicar por una expresión que preserve el valor original de

la expresión pero que elimine el factor del denominador que tiende a 0

8 de 13

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TE

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• Calcule:

• Observe que la

expresión no

puede

simplificarse

algebraicamente.

Por lo tanto,

¡grafique y vea si

el límite existe!

Coteje si el límite existe

1

6lim

2

1

x

x

x

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Limites especiales

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xx

1sinlim

0existe no

x

x

x

sinlim

01

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Uso de propiedades de límites

• Calcule

• Solución:

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5sinlim

0

5sin

5

5lim

0

5

5sinlim5

0

15

5

5

5sin

1

5lim

0

x

x

x

sinlim

01

11 de 13

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Límites de funciones

Trancendentales• Sea c un número real en el dominio de una función

transcendental. Entonces:

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cxcx

sinsinlim

cxcx

coscoslim

cxcx

tantanlim

cxcx

csccsclim

cxcx

secseclim

cxcx

cotcotlim

cx

cxbb

lim cx bb

cxlogloglim

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Resumen• Para calcular límite de una función en un valor 𝑎 :

1. Si la función es continua en 𝑎 calcule el valor de la

función en 𝑎 sustituyendo. Esto es, 𝑓(𝑎) .

2. Si es un cociente de dos funciones 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)tal que

𝑔 𝑎 = 0 manipule algebraicamente la expresión de

manera que elimine el factor que hace 𝑔 𝑎 = 0 .

Trate:

– Factorizando numerador y denominador y simplifique.

– Multiplicando el numerador y denominador para eliminar el

valor indeseado.

3. Si no funciona, coteje si el límite existe.

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)(lim xfax

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