Taller 2 cálculo diferencial cdx24: Preparación seg undo parcial Profesor Jaime Andrés Jaramillo González jaimeaj@conceptocomputadores.com. ITM 2016-2

Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Expresa como un único logaritmo.

a) =+ 70log6log aa b) =+ 2log65log bb c) =+ YK cc loglog

2. Expresa como un producto.

a) =3log Xa b) =5log tb c) =6log Yc

3. Expresa en términos de los logaritmos x, y y z.

a) =ZYXa32log b) =345log ZXYa c) =

3

2

logZ

XYb

4. Expresa como un logaritmo único y de ser posible simplifica.

a) =− YX aa log2

1log

3

2 b) =+ 5log7log 33

5. Resuelva la ecuación

a. ( )log log 9 1x x+ − = b. ( )log log 9 1x x+ + = c. ( )log log 3 1x x− + = −

d. ( )log 9 log 1x x+ − = − e. ( ) ( )4 4log 3 log 3 2x x+ + − = f. ( ) ( )5 5log 4 log 4 2x x+ + − =

6. Desafío: encuentre X +Y +Z ,dado que.

( )[ ] 0logloglog 432 =X

( )[ ] 0logloglog 423 =Y

( )[ ] 0logloglog 234 =Z

7. Calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos:

a) 16log36log =+ KK b) 2

916log2log =+ KK c) 16log8log 11 =+ ++ KK

8. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:

9. a) ( ) 99log7 =+X b) 2log3log 44 =+ XX c) 08log2log 52

5 =−− XX

10. Resuelva la ecuación exponencial:

i. 32122

=+x ii.

13x24

1 +x

=

iii. 01224 =−− xx

iv. 232 35 +− = xx v. 03525 1 =x+x −⋅− vi. 1833 1 =x+x −

vii. 6665

256255 =+

xx

viii. 8957*5123427 =+ −xx ix. xx 9*721195129 2 =−

x. 162932 =+ xx xi. ( ) 05 12 =−−− +xxx eeee xii.

11. Resuelva la ecuación logarítmica:

i. 4

7

2log2log −

x=x ii. x=

32

1log2

iii. log6 x= 3

iv. log5 x= 2,5 v. log2 8x= 7 vi. 2 22log ( 1) log 4 5x − + =

vii. 08log2log 52

5 =−− xx viii. 2log3log 44 =+ xx ix. ( ) 99log7 =+x

12. Resuelva la ecuación:

i. ( ) 29log4log2 33 =−+x ii. ( ) 42lnln =++ xx iii. 01222 22 =−+ +xx

iv. ( ) ( ) ( ) ( )3log2log6log1log ++−=+−− xxxx aaaa v. x

x

53

41

=

−

vi. 2.18 =−x vii. ( ) 2

222

3 xx=

− viii. 3

2=+ −xx ee

xiii. ( ) 8434 =− −xx

xiv. ( ) 6262 =− −xx

xv. 2512 67 +− = xx

13. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede expresarse mediante la función te

y4.025.01

25.1−+

= .

Donde y es el peso del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine: a. Cuál será el peso del cultivo para t=0? b. Cuál será el peso del cultivo para t=1? c. Cuál será el peso del cultivo para t=10? d. En qué momento el cultivo tendrá un peso de 1.15 gramos?

14. Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada 26 años. Si a principios de 1 931 su población era de 190 000 habitantes

a. Cuál era la población a finales de 1 957? b. Cuál era la población a finales de 1 983? c. Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al finalizar 2 009? d. Cuál será en 2015? e. Cuándo la población será de 1 000 000 de habitantes?

15. Cierto elemento radiactivo tiene una vida media de 1690 años. Empezando con 60g,

después de t años habrá ( )kt

tm

=2

160 g. Determine la constante k. ¿Qué cantidad habrá

dentro de 2000 años? ¿En cuántos años habrán 10g? Nota: vida media de un elemento radiactivo, es el tiempo requerido para desintegrar hasta la mitad cierta cantidad de este. Por ejemplo la vida media del carbono 14 es de 5730 años.

16. Si una pastilla de 100 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente y si nada de esta droga está presente en el cuerpo cuando se toma la primera pastilla, la cantidad total A en miligramos, en el torrente sanguíneo después de t minutos se pronostica que es:

)9,01(100 tA −= para 0 ≤ t ≤ 10

a) Trace la gráfica de la ecuación. b) Determine la cantidad de miligramos presente en el torrente sanguíneo, a los 5 minutos

de haber ingerido la pastilla.

c) Determine el numero de minutos necesarios para que 50 miligramos de la droga hayan entrado al torrente sanguíneo.

17. La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se duplica cada 20 minutos. i. Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento

exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t. ii. Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo?

18. El yodo radiactivo 131I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glándula

tiroides, se desintegra según tNN )5,0(0= , donde 0N es la dosis inicial y t es el tiempo en días.

a) Trace la gráfica de la ecuación si 640 =N

b) Encuentre la vida media del 131I.

19. La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población

continúa creciendo con la razón actual de aproximadamente 2% por año: i. encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de

millones) como función del tiempo t (en años), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.

ii. Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio de 2007?

20. Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: 0.0327500 tP e−= , donde t son los años después de 1995.

i. Encuentre la población en 2006. ii. En cuantos años la población será de 15092 habitantes.

21. Una máquina se compra en 10 000 USD y se deprecia de manera continua desde la fecha

de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: 0.210000 tV e−= . b. Determina el valor de la máquina después de 8 años. c. ¿Cuándo su valor será de 7 000 USD ?

22. La población en una ciudad en el año 2000 era de 83,750 personas. ¿Cuándo alcanzará

esta ciudad una población de 100,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del 3% anual?

23. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?

24. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede

ser modelado con la siguiente ecuación ( ) kteA=tA 0 . Si inicialmente habían 1000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrán en

la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

25. Un cuerpo en un experimento, tiene una velocidad, en metros por segundo, dada por:

tev 01.0391

80−+

= ; donde [ ]600,0∈t es el tiempo en segundos, transcurrido después de haber iniciado

el experimento. a) Cuál es la velocidad inicial del cuerpo (con 0=t ) b) Cuál es la velocidad a los 5 minutos? c) A los cuantos segundos de haber iniciado el experimento, la velocidad será de 68 m/s? d) Trazar la gráfica de la función (usar puntos de la gráfica correspondientes a las respuestas

de los puntos anteriores).

26. Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será:

( ) tetN 468,0200=

¿Cuándo habrán 10.000 bacterias?

27. La relación de Ehremberg dada por:

hW 84.14,2lnln += Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio W(en Kg) para niños entre 5 y 13 años de edad. a. Exprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de 12 años que mide 1,50 m. c. ¿Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 30 Kg?

Funciones seccionalmente definidas (función por tra mos) 28. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función

a.

>≤≤−+−

−<−

=2,

23,2

3,5

)(3 xsix

xsix

xsi

xg

b.

≥−

−<−=

2,4

2,13)(

2 xsix

xsixxG

c.

<≤+

<≤−−=60,3

03,9)(

2

2

xsix

xsixxF

Inversa de una función 29. Determine si la función es o no uno a uno:

30. Encuentre la inversa de la función

Composición de funciones

31. Dadas x

xxf

314

)(−= , 281)( xxh −= y xxg −= 7)(

determinar:

a. ))(( xgf o b. ))(( xgh o

c. ( ) )()( xgfh oo

32. Exprese la siguiente función, como combinación de funciones:

5)( 2 += xxf

33. Dadas x

xxf

253

)(−−= y ;18)( −= xxg determinar la inversa de la función:

d.

>−<<−−

−≤−−=

2,214

21,64

1,35

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf

e.

≥<<−−

−<−

=1,2

12,4

2,4

)( 2

2

xsix

xsix

xsix

xf

f.

≥+

−<−=

1,1

3,12)(

2

xsix

xsixxf

a.

24)( += xxf

b.

22

1)(

2 −=

xxf

c.

22

1)(

2 −=

xxf , 0≥x

d.

22

1)(

2 −=

xxf

1−>x

a.

3453

)(+

−=x

xxf

b.

53 −= xy

c.

331

)( 2 −=

xxf , 0≥x

d.

x

xy

6517

−−=

a.

( )( )xgfxH o=)(

b.

( )( )xfgxH o=)(

Límites

34. Calcule los siguientes límites: a.

3

4

0

2

x

xlimx

−→

b.

2

2

5 )4(

89lim

−+−

→ x

xxx

c.

124

322

3 −−−

→ x

xxlimx

d.

2

3

4 916

74lim

xx

xxx −+

+−→

e. 495

322lim

2

23

1 ++−−+

−→ xx

xxxx

f.

( )2

3

0

)25(2lim

x

xxx

++→

g. 212

2253lim

7 +−+

−→ x

xx

h.

4

862

4 −+−

→ x

xxlimx

i.

( )6574

251lim

2

2

5 −−−+

→ xx

xxx

j.

416

390 −+

−+→ x

xlimx

k.

522

155124lim

23

3 −+−+−

→ x

xxxx

l. 2

2

2 )2(

156lim

+−−

−→ xx

xxx

m.

( )189

362lim

2

2

6 +−−+

→ xx

xxx

n. xx

xxxx 5814

567817lim

23

9 −−+−−

→

o.

x

xxlimx

+−−→

110

p.

3

213 −

−+→ x

xlimx

q.

−−+−

−+

→ xx

xx

x

xlimx 2

2

2

12

22

2

r.

x

xxx 318

665lim

6 −−+

→

s.

522935

23lim

3

2

6 −−+−

→ xx

xxx

t.

49143

3557lim

2

23

7 −−+−−

→ xx

xxxx

u. 722

879lim 26 −

+−−→ x

xx

35. Calcule los siguientes límites:

a.

1

12

1 −−

→ x

xlimx

b.

1

38lim

2

2

1 −−+

→ x

xx

c.

1442

122

3

5 +−+−

→ xx

xxlimx

d. 418

2lim

2 −++

−→ x

xx

e. 6

5432lim

2

6 −−−

→ x

xxx

f.

9257

5275lim

2

2

4 −+−+

−→ xx

xxx

g.

32

562lim

2

23

1 −−+++

−→ xx

xxxx

h.

3

27lim

327 −−

→ x

xx

i.

5692

2lim

2

3

8 −++

−→ xx

xx

j.

64

4lim

3

64 −−

→ x

xx

k. ( )9

2lim

2

2

3 −→ x

xx

l.

3234

lim24

3

1 −++−

→ xx

xxx

m. 20113

3575lim

2

23

5 −−+−−

→ xx

xxxx

n. 132235

lim35

24

1 −−−−

−→ xx

xxx

o. 4113

26234lim

24 −++−−

−→ xx

xxx

p. x

xxx 520

443lim

4 −−+

→ q.

33

1321lim

6 −−+−

−→ x

xx

r. 4131374

14lim

3

2

7 −−−

→ xx

xx

36. Calcule el límite:

a. ( ) 93

x

im 24x 2

xl −∞→

+ b.

−+

∞→ 1323

limx

xx

c.

++∞→ x

xx

4lim d.

xxxx

xxx 2435

436lim

223

2

−−

+−∞→

e. 254

2967lim

2

223

+−−−

∞→ xx

xxxxx

f. 17136

2967lim 23

223

++−−

∞→ xx

xxxxx

g. ( )1354

3296lim 23

322

−−++

−∞→ xxx

xxxxx

h. 254

23255lim 2

22

+−+

∞→ xx

xxxx

37. Calcule el límite:

i. x

im45

72

4

++

∞→ x

xxl j. 973436

lim2

2

−+−+

→∞ xx

xxx

k. 973

4974lim 2

2

−++−

−∞→ xx

xxxx

l. 99

lim2

2

3 −+

+−→ x

xx

m. 1353

9467lim 2

22

+−++

→∞ xx

xxxx

n. 16

6033lim 2

2

4 −−+

−→ x

xxx

o. 6434

5lim

223

3

++−∞→ xxx

xx

p. 1433

2253lim

2

2 +−+−+

→ xx

xxx

q. 15

416lim

2

+−

→∞ x

xxx

r. xx

xx 536

44lim

2 ++

−∞→

s. 65

124lim 2

2

3 +++

−−→ xx

xxx

t. 209

3110116lim 25 +−

+−++→ xx

xxx

38. Calcule el límite:

a. 73

22

23

+−+−

−∞→ xx

xxxlim

x b.

52

3

351

147

xx

xxlim

x +−+−

+∞→

c. xxxx

xxx 2929

375lim

223

2

−−

+−∞→

d. 95

35lim 2

3

+−+−

−∞→ xx

xxx

e.

xxxx

xxx 5924

7612lim

223

3

−−+−

−∞→

f.

xxxx

xxx 2435

436lim

223

2

−−

+−∞→

39. Determine si la función tiene asíntotas verticales y elabore su representación gráfica

a. ( )3

1−= xxf b. ( )

5

252

−−=

x

xxf

40. Determine, para la función, intersecciones con los ejes, asíntotas, signo y elabore su representación

gráfica:

a) ( )1

2

−=

x

xxf b)

1212

)(−+=

x

xxf c) ( )( )31

21)(+−=

x

xxf

d) ( )4013

5432

2

++−−=

xx

xxxf e) ( )

592

21542

2

−+−+=

xx

xxxf f)

423)(−

−=x

xxf

g) ( )125

843

3

+−−=

xxx

xxf

1

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 2 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD1

OBJETIVO Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.

1. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si existe

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

2. Si y determine el valor de:

A.

B.

1 Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo,

profesores de la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.

C.

D.

2

E.

F.

G.

H.

3. Evalúe los siguientes límites:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

P.

Q.

R.

S.

T.

U.

V.

W.

X.

Y.

Z.

AA.

BB.

4. Determine los siguientes límites trigonométricos.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

3

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

P.

Q.

R.

S.

T.

5. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada

caso.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

6. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el punto

indicado y analice la existencia del límite.

A. B.

2en =x

y

2 x

9

6

5en =x

x5

y

4

4

C.

D.

E.

F.

G. H.

6=xen

6

3

y

x

2

x

3en =x

3

2

y

5

y

2en =x

2x

1en =x

1

y

x

1

2en =x

x2-

y y

x x

y-

3en -=x

5

I.

J.

7. Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el punto indicado

A. ( )îíì

³-

á-=

33

32 2

xsix

xsixxxg en 3=x

B. ( )ïî

ïí

ì

-³+

-á-=

12

11

1

2 xsixx

xsixxh en 1-=x

C. ( )îíì

ñ

£+=

22

21

xsi

xsixxf en y

D. ( )îíì

ñ+

á+=

342

312

xsix

xsixxg en y

E.

F. ( )îíì

³

<=

0cos

0

xsix

xsiexf

x

en

G.

x

y

4en =x

1-

4

2-

0en =x

x

y

0=x

6

H.

8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de para que el límite exista en el punto indicado.

A. ( )ïî

ïí

ì

-<-+

-³-=

1131

14

2

2

xsixx

xsiAx

xf 1-=xen

B. ( )îíì

<

³=

320

3

xsi

xsiexg

Ax

3=xen

9. Dada:

( )( )( )ïï

î

ïï

í

ì

³

£á+

£á--

-£+

=

2

201

021

212

3

2

2

xsix

xsix

xsix

xsix

xf

Determinar:

A.

B.

C.

D.

E. ¿Existe ( )xfLimx 0®

? Justifique su respuesta.

10. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M. N.

7

O. P.

Q.

R.

T.

U.

11. Calcule los siguientes límites al infinito:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

M.

N.

O.

P.

Q.

R.

S.

T.

12. Si está representado por la siguiente gráfica:

56-

2-

x

1

3

y

56-

2-

x

1

3

y

3- 2

8

Determine

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.

J. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.

K. ¿Existe el ? Justifique su respuesta.

13. Sea representada por:

A. ¿ pertenece al dominio de ? Justifique su respuesta.

B. Determine y

C. ¿Existe el ?

D. ¿Puede afirmarse que la recta es una asíntota vertical para el gráfico de la

función ? Justifique su respuesta.

x5-

y

9

14. Sea representado por:

A. ¿ está en el dominio ? Justifique su respuesta.

B. Determine y

C. ¿Existe el ?

D. ¿Puede afirmarse que en hay una asíntota vertical? Justifique su respuesta.

E. Determine y .

F. ¿Puede afirmarse que la recta es una asíntota horizontal? Justifique su respuesta.

15. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y horizontales, si las tiene:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

16. Proponga una gráfica para , tal que se cumplan las siguientes condiciones:

( ) ¥=-¥®

xfLimx

, ( ) 12

-=-®

xfLimx

,

1

3-

x

y

2

10

( ) 30

=-®xfLim

x

,

( ) ¥=+®xfLim

x 0

,

( ) 0=¥®

xfLimx

17. Proponga la expresión analítica de una función f(x) que cumpla las siguientes

condiciones.

( ) -¥=--®xfLim

x 5

y ( ) ¥=+-®xfLim

x 5

18. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.

4en =x

5

x

y

4

1en -=x

x

2

1-

y

4

x

y

6

5

5en =x

2

x2

02en == xyx

0

1

3

x

y

1eny3en == xx

1

2

3-

2-

x

y

0en =x

a. b.

c. d.

f.e.

11

19. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.

A.

B.

C. 2

)(x

Tanxf = en p=x y p4=x

D. 63

12)(

-

+=x

xxf en 1=x y 2=x

£

E.

£ F.

G. =)(xf4

2

-

-

x

x 4=x 9=x

£

H.

20. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar para que sean continuas en el punto indicado.

A.

³

B.

³

12

4

2

-+x

x 1<x

C. 1=x

1³x

21. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar y , para que sean continuas en el punto indicado.

A.

B.

C.

D.

22. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de las

funciones dadas. “Teorema (Límite de una función compuesta): Si y

es continua en , entonces .”

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

13

23. Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de

las funciones dadas. “Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si es

continua en y es continua en , entonces la función compuesta

es continua en ”

A.

B.

C.

D.

24. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado.

A. 216)( xxf -= [ ]4,4-

B. 1

1)(

-=x

xf [ ]3,2

C.

³

Bibliografía ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina y QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial.

Límites y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.

STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.

THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-

Wesley, 2010. ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición.

México: Mc Graw-Hill, 2011.