Calculo de lmitesLmites laterales Aproximacin a un pto. por defecto (izq.), por exceso (der.) Para que exista lmite tienen que existir lmites laterales y que tanto el lmite en el punto como los laterales sean igual a un nmero que no sea infinito. Indeterminaciones : 0/0 , g/g , 0g , 1g, 00, g0 , g-g 1. Funciones racionales ; g(x)/g(x) = 0/0 g/g y 0/0 Se hace el cociente de polinomios. y g/g Se divide por el X de mayor grado. 2. Funciones irracionales ; g(x)/g(x) = 0/0 g/g Multiplicamos por el conjugado de la raz arriba y abajo 3. LHopital, se deriva en el numerador y en el denominador a la vez. 4. 0 g Se transforma en el primer o segundo caso. Ejemplo :

y Si el lmite tiende a infinito se hace por el nmero e e ! Donde F(x) tiende a 0. y Si tiende a K se hace por Logaritmos neperianos Lim Ln( Ln. x ) x ! Ln. k Lim x Ln( Ln. x ) ! Ln. kx p0 xp0

xp

1/ x Ln Lim 1. x2 ! xp 0 x 0 Ln. k ! 0 e ! k k ! 1 Ln ( Ln. x ) ! Ln. k ! Lim 1 xp 0 x

x2 Lim x Ln. x ! x p0

Lim 1 / x ! Lim ( x ) ! 0xp0 x p0

2. g

g Multiplicando y dividiendo por su conjugado

Comparacin de Infinitos : Logb n < n < na < kn < n ! < nn

1. 1 ,0 0 ,

f (x) Lim p 0 1 n g( x ) Lim f ( x ) g ( x ) ! o _ bien np 0 g( x ) Lim p0 1 n f (x)

Da g/g o 0/0

0

108 800

Lim 1 f ( x )1 f (x)

1

Tema 1 : SucesionesEs una aplicacin de los nmeros naturales sobre los reales. Sucesin acotada : n N c R / a n e c Una serie converge cuando su lmite existe, ser divergente cuando su lmite sea s g. Toda sucesin convergente est acotada y el valor de convergencia es la cota.

Carcter de una sucesin : y Convergente : si el lmite del termino general es finito y Divergente : si el lmite del termino general es + o - infinito y Oscilante : si carece de lmite (no es ninguna de las anteriores) MONOTONIAn a n 1 " a n : creciente n N a n 1 a n : decreciente

Si no se verifican estas dos condiciones son oscilantes Para estudiar su monotona " 0 creciente " 1 Creciente a n1 n a n a n1 0 decreciente 1 Decreciente an ! 1 Iguales ! 0 iguales Para calcular los lmites podemos utilizar todo menos LHopital. Comparacin de infinitos : Logb n < n < na < Kn < n ! < nn Criterio de STOLZ a a a n 1 Li n ! Li n npg b b npg b n n 1 n Solo si se cumple : 1

Y Li a nn pg

{bn} es montona creciente con Lim {bn}= s g {bn} es montona creciente y lim {an} = Lim {bn} = 0.

Comparacin con otras sucesiones Dado an En el que no sabemos Lim an , Si hay un bn >= an en el que el Lim bn = K y tambin Hay un cn 0 para todo n perteneciente a los nmeros reales

(bueno para eliminar factoriales o trminos infinitos con relacin)1 bn

a bn 1 bn ! Li n 1 npg a n

Li a n ! 1n pg

1

Si :np g

yn pg

EntoncesLi bn ! g

Li bn ! 0 o

1 a n bn 1 bn Li 1 ! Li a n bn n pg a np g n

Tema 2 : SeriesDada la sucesin {an} la serie formada por los trminos de dicha sucesin se representa como : an y corresponde a la suma de todos los trminos de la sucesin. Carcter de una serie. Convergente : Cuando la suma es un nmero real. Divergente : Cuando la suma da + o - infinito. Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores. Suma de una serie geomtrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + .....+ arn-1 + arn + arn+1 y |R| < 1 Serie convergente a a1 R n y R e -1 Serie oscilante Suma ! 1 1 R y R u 1 Serie divergente Propiedades generales de las series numricas 1. an = S entonces K an = K S Solo si k es n real distinto de 0 Si an es divergente no podemos saber nada. 2. Al suprimir aadir o modificar un nmero finito de trminos de una serie el carcter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada. Condicin necesaria para la convergencia: Sea : an Calculamos : Lim a n ! knp

y Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema) y Si k { 0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo trminos positivosA. Teorema 1 :Toda serie de trminos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante. B. Teorema 2 : Alterando arbitrariamente el orden de los trminos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carcter de la serie, ni vara su suma. 1. Criterio de Cauchy o de la Raz. Calculamos : Li y Si k < 1 la serie converge (Fin) y Si k > 1 la serie diverge (Fin) y Si k = 1 no sabemos (Continuar) Funciona con : ( )n , ( )p(n) 2. Criterio de DAlembert o del cociente. Calculamos : Lin pg n

n pg

an ! k

an !k a n 1

y Si k < 1 la serie converge (Fin) y Si k > 1 la serie diverge (Fin) y Si k = 1 no sabemos (Continuar) Funciona con : kn , n ! , Semifactoriales ( 135 (2n+1)). a 3. Criterio de Raabe. Calculamos : Li n1 n ! k np g a n 1 y Si k < 1 la serie diverge (Fin). y Si k > 1 la serie converge (Fin). y Si k = 1 no sabemos (Continuar). Funciona cuando el criterio de la raz o el cociente sale 1 Log 1a n !k 4. Criterio del Logaritmo. Calculamos : Li np g logn y Si k < 1 la serie diverge (Fin). y Si k > 1 la serie converge (Fin). y Si k = 1 no sabemos (Continuar). Nota : El logaritmo puede estar en cualquier base. 5. Criterio de comparacin. Sea : an e bn y Si an diverge entonces bn diverge. y Si bn converge entonces an converge. 6. Criterio de comparacin por paso al lmite. Buscamos el carcter de an y sabemos el carcter de bn. Entonces : Li y Si k { 0 y k { entonces ambas series tienen el mismo carcter. y Si k = 0 y si bn converge entonces an converge. y Si k = y si bn diverge entonces an diverge. Series de comparacin y S. Geomtrica : a + a r + a r2 + a r3 + ... + a rn Si |r| < 1 serie convergente Si |r| u 1 serie divergente y S. Armnica general : 1/(1p)+ 1/(2p) + 1/(3p) +....+1/(np) Si p > 1 serie convergente Si p e 1 serie divergente k { 0 7. Criterio de Prinsheim : Calculamos : Lim n E a n ! k que cumpla y np s k y Si E > 1 la serie converge y Si E e 1 la serie diverge Nota : Criterio de comparacin con la serie armnica general camufladonpg

!

an bn

Convergencia de series con trminos cualesquieraA. Sea : an . Estudiamos : |an| y an y Si |an| converge (sus trminos son positivos) decimos que an converge absolutamente y que, por lo tanto, converge (Fin) y Si |an| diverge entonces puede ocurrir que: an converge. Se dice que la serie converge condicionalmente. an diverge. La serie es incondicionalmente divergente. B. En toda serie absolutamente convergente se puede alterar arbitrariamente el orden de los trminos sin que altere su suma. C. En toda serie es absolutamente convergente que tenga valores positivos y negativos la serie de trminos positivos y la serie de trminos negativos sern convergentes por separado.

1. Teorema de Leibniz : una serie alternada es convergente si se cumple las siguientes condiciones : y Es montona decreciente en valores absolutos y y El limite en el infinito es 0 (Lim an = 0) 2. Criterio de Dirichet (Para series alternadas) Dado an = bn cn an converge si se cumplen las siguientes condiciones, de no cumplirse es divergente : y Si bn est totalmente acotada y y {cn} una sucesin montona decreciente que convergen en 0 3. Criterio de Abel. Dado an = bn cn, entonces an converge si : y bn de nmeros reales, converge. y {cn} es una sucesin montona decreciente y acotada.

Operaciones con series 1. Dadas an y bn convergentes de sumas a y b respectivamente entonces se verificaque : an s bn es tambin convergente y su suma es : a s b. 2. Sea la serie pn formada por : pn = a1 bn + a2 bn-1 + a3 bn-2 + ..... + an-2 b3 + an-1 b2 + an b1 La serie as definida en la que an y bn son convergentes y una al menos es absolutamente convergente, en ese caso la serie pn es convergente y su suma es ab.

Tema 3 : Funciones de variable real.Funcin real de variable real Funcin creciente en el intervalo I cumple : x , x I , x < x f(x) e f(x) Funcin decreciente en el intervalo I cumple : x , x I , x < x f(x) u f(x) Si sustituimos el e y el u por < y > lo hacemos estrictamente. Funcin es montona creciente o decreciente si lo es para todo R. Funcin es par si : f(x) = f(-x) Funcin es impar si : f(x) = -f(-x) Funcin es peridica si : f(x) = f(x + n a ) (Donde n es un n entero y a es el periodo) Limite de una funcin en un punto Suponemos y = f(x) diremos que Limnp a

f ( x ) ! L cuando al aproximar la x

indefinidamente al valor a la funcin se aproxima indefinidamente al valor l.

Limxpa x pa

f ( x ) f ( I , R) f (x) ! L donde a I

Lim

I "0,H "0/ 0 x a H f (x)L I x I

L+I L L-I a-H a a+H

Lmites laterales Dada una funcin f(x) se dice que tiene limite por la derecha del punto a y se representa como :np a

Lim

f ( x ) ! L1I x I

I " 0, H " 0 / 0 x a H f ( x) L1

Condicin necesaria y suficiente para que f(x) tenga lmite en a es que existan los lmites por la derecha e izquierda y que coincidan. Clculo de lmites (infinitesimos e infinitos) Se dice que f(x) es un infinitesimo en x = a si se comporta la funcin de la misma manera que otra en dicho punto. Tabla de infinitesimos : Lim sen( x ) ! Lim tg( x ) ! Lim xnp 0 np 0 np0 np 0

Lim ar cot g( x ) ! Lim (1 cos( x )) !np 0

Lim arcsen( x ) !np 0

Lim xnp0

Limnp0

x 2

2

Lim enp 0 np 0

x

!

Lim (1 x )np 0

Lim L(1 x ) !

Lim xnp0

Se en todas estas funciones se puede sustituir f(x) por x, mientras que f(x) tienda a 0. Regla de LHopital Para 0/0 y g/g Lim f(x)/g(x) = 0/0 o g/g Entonces Lim f(x)/g(x) = Lim f(x)/g(x) Continuidad f(x) es continua en pe pto x = a si se cumple :

I " 0, H " 0 / 0Li f (x) ! f (a)

x a H f ( x ) f (a ) I

Es condicin necesaria y suficiente para que sea continua en un punto quenpa

f(x) es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos de ese intervalo. Discontinuidad (Tipos) 1. Discontinuidad evitable : Si f(x) no est definida en el punto (x=a) o el limite de la funcin cuando tiende a (a) no es igual a la funcin en dicho punto. 2. Discontinuidad de 1 especie : Si en el punto existen los lmites laterales pero no coinciden. 3. Discontinuidad de 2 especie : Cuando alguno de los lmites laterales o no existen o son infinitos.

Tema 6 : DerivabilidadDado y = f(x) en un intervalo I se define la derivada de f(x) representado como f(x) f (x0 h) f (x0 ) (f ( x ) como : F '( x 0 ) ! Li ! Li hp 0 hp 0 h h Si este lmite existe diremos que la funcin es derivable TEHOREMA : Toda funcin derivable en x = x0 es continua en dicho punto (Ojo al contrario NO !!!!)" "

Tabla de derivadasdadas u, v = f(x)PRIMITIVAS y=k y=ku y=u+v y=uv

y k, m, a = constantesDERIVADAS y = 0 y = k u y = u + v y = u v + u v PRIMITIVAS y = tg( u ) y = sec (u ) y = cosec( u ) y = cotg( u ) y = arcsen (u ) y = arccos( u ) y = arctg( u ) DERIVADAS y = u/cos2u y = u ( 1 + tg2u) y = sec(u) tg(u) u y =-cosec(u)cotg(u)u y = -u/sen2u y = u -( 1 + cotg2u)

y!

u vm

y' !

u'v u v ' v2m-1

y' ! y' !

u' 1 u2 u'

y=u

y = m u

u

y!n u y! uy=Lu y = lga u y = au y = uv y = sen( u ) y = cos( u )

y! u

n

n

u

n 1

y!u

2 u

y = arccotg( u ) y = senh( u ) y = cosh ( u ) y = tgh (u) y = argcosh(u) y = argsenh(u) y = argtgh(u)

1 u2 u' y' ! 1 u2 u' y' ! 1 u2

y ' ! u' u u' 1 u' y ' ! La e ! u La uy = au La u y=uv (v Lu + v u/u) y = cos( u ) u y = -sen( u ) u

y = cosh( u ) u y = senh (u) u

y' !

y' ! y' !

u' cosh 2 u u'

u2 1 u'

1 u2 u' y' ! 1 u2

Derivadas laterales

Sea f(x) una funcin definida en un intervalo abierto y sea x0 un punto generico de este intervalo, llamamos derivada en x0 por la derecha o izquierda y se representa :

f ( x 0 h) f ( x0 ) f ( x0 h ) f ( x0 ) F ' ( x 0 ) ! Li F ' ( x 0 ) ! Li hp 0 hp 0 h h Es condicin necesaria y suficiente para que exista derivada en un punto que existan derivadas laterales y que coincidan.

Por la derecha de x0#

Por la izquierda de x0$

Casos en los que no hay derivada: y Punto anguloso : Ambas derivadas existen y son finitas, pero no coinciden. y Punto de Inversin : Ambas derivadas laterales son + o - con el mismo signo a la vez. y Punto de retroceso : Si son infinito pero con signo distinto.

Derivada de la funcin inversaSi y = f(x) que cumple que es derivable en x0 y adems que f(x0) no es cero entonces cumple : 1 Que la funcin inversa f -(y) definida como : f '( y 0 ) ! f '( x 0 ) Es derivable en x0, de hecho son continuas en el mismo intervalo

Derivada de funciones paramtricasCuando no se puede despejar o es muy complicado, y respecto de x se hace la derivacin implicita. Pasos : 1- Se deriva con x y con y independiente, pero las que derivemos con y ponemos dy/dx. 2- Agrupo en un lado los trminos con dy/dx 3- Dejo solo el dy/dx y lo dems lo paso dividiendo.

Derivadas sucesivasPara calcular esto de lo que se trata es derivar sucesivamente pero se puede utilizar Leibniz Dado u = f(x), v = g(x), dos funciones que admiten derivadas sucesivas. n n n n ( n 1 ( u v )( n ! u ( n u ( n 1 v ' u ( n 2 v '' u ( n 3 v '''........ u v (n u'v 1 2 3 n 1 RECOMENDACIONES : y Si tienes una funcin racional se tiene que descomponer primero, de no tener nada en el numerador se trabaja mucho mejor con subindolo todo de la siguiente forma : 1/x = x -1. y Se suele pasar todo a sen o cos, sumandole T/2

Tema 7 :Series de potenciasSe llama serie potencial a una serie funcional de la forma a0+a1x+a2x2+...+anxn+.... En toda serie entera existe un cierto valor tal que la serie converge para todo x existente para un cierto valor. x ( R, R ) , para calcular este intervalo se utilizan los criterios de Dalembert o del cociente, Cauchy o de la raz Desarrollo en serie de Taylor x!af ' (a ) f ' ' (a ) f n ) (a ) 2 f ( x ) ! f (a ) (x a) ( x a ) ...... ( x a ) n ...... n! 1! 2! Desarrollo en serie de Mc Laurin : Es igual que Tailor pero con x = 0 f ' ( 0) f ' ' (0) 2 f n ) ( 0) n f ( x ) ! f (a ) x x ...... x ..... n! 1! 2! Resto de Lagrange un polinomio de Taylor de grado n : f n 1) ( z ) Rn ! ( x a ) n1 ( n 1)!

Serie Binmica

1 x ! 1 x x 2 x 3 x 4 ....... x n [-1,1] 1 2 3 4 n&

Operaciones con series de potencias Dado f(x) = an xn y g(x) = bn xn f(kz) = an kn zn f(xp) = an knp n f(x) s g(x) = (an s bn) x f(x) g(x) = ( an xn ) ( bn xn) Estas operaciones pueden cambiar el intervalo de convergencia. Si es una suma el intervalo es la unin de los intervalos. 1 0 0 Crece F(x) < 0 Decrece Tambin se puede estudiar esto a partir de mnimos, mximos y asntotas. 8. Mximos y mnimos b) F(x) = 0 (Despejo x) y Hacer F(x) y Si F(x0) > 0 Es un mnimo (la curva est por encima) Si F(x0) < 0 Es un mximo (la curva est por debajo) 9. Puntos de inflexin y F(x) = 0 (Despejar x) y Si F(x0) = 0 No hay inflexin Si F(x0) Hay un punto de inflexin

c) Hacer F(x)

b) Calcular F(x)

10.Concavidad y convexidad F(x) > 0 Cncavo (U) F(x) < 0 Convexo (/\) 11. Recorrido Estudio de los valores que puede tener la funcin

Cuadro de integrales inmediatas

dx ! x cu n 1 u' u dx ! n 1 cn

u' dx ! u cu' u dx ! Lu can u' a dx ! La cn

u' e

u

dx ! e u c

u' sen(u)dx ! cos(u) cu'dx cos 2 u ! u' (1 tg 2 ( u))dx ! tg( u) c

u' cos( u)dx ! sen( u) c! arcsen( u) c 1 u2 u' dx 1 u2 ! arctg(u) c

u' dx

sen

u'dx ! u' (1 cot g 2 ( u )) dx ! cot g ( u ) c 2 u

u' sh( u) ! ch( u) c

u' ch( u) ! sh( u) cu' dx u 12

u' dx2

1 u u' dx 1 u 2 ! arg th( u) c

! arg sh( u ) c

! arg ch( u) c

Sustituciones recomendadasFuncin

R( x, e

x

)dx

Cambio ex = t Lx = t arctg(x) = t

Clculos x=Lt x = et x = tg(t)dt ; dx ! t ; dx = et dt

R( x , Lx )dx R( x, arctg( x ))dx

R( x, arg ch( x ))dx

dt cos 2 x R( x , arcsen( x ))dx arcsen(x) = x = sen(t) ; dx = cos(t) dt t R( x , arccos( x ))dx arccos(x) = x = cos(t) ; dx = -sen(t) dt t R( x, arg th( x ))dx argth(x) = t x = th(t) ; dx ! dt ch 2 x R( x , arg sh( x ))dx argsh(x) = t x = sh(t) ; dx = ch(t) dt

; dx !

argch(x) = t x = ch(t)

; dx = sh(t) dt

Sustituciones en integrales de funciones trigonomtricas

circularesSi es impar en SEN X Si es impar en COS X Si es par en SEN y en COS cos x = t sen x = t tg x = t x = arccos(t); dx ! x = arcsen(t); dx ! x = arctg(t) ; dt 1 t dt 1 t2

; sen( x ) ! 1 t 2 ; cos( x ) ! 1 t 2

2

Si no es ninguno de los casos anteriores : CAMBIO GENERAL

tg

x !t 2

dt ; 1 t 2 1 t cos( x ) ! sen( x ) ! 2 1 t 1 t2 2dt 2t x = 2 arctg(t) ; dx ! ; sen( x ) ! ; 2 1 t 1 t 2 1 t 2 cos( x ) ! 1 t 2 dx !

Sustituciones en integrales de funciones hiperblicasSi es impar en SH X Si es impar en CH X Si es par en SH y en CH Si no es ninguno de los casos anteriores : CAMBIO GENERAL ch x = t sh x = t th x = t x = argch(t); dx ! x = argsh(t); dx ! dt t 1 dt2 2

; sh( x ) ! t 2 1 ; ch( x ) ! t 2 1

th

x !t 2

1 t dt 1 x = argch(t) ; dx ! ; sen( x ) ! cos( x ) ! 2 1 t 1 t2 2 dt 2t x = 2 argth(t) ; dx ! ; sh( x ) ! ; 2 1 t 1 t 2 1 t 2 cos( x ) ! 1 t 2

Formula de integracin por partes udv = uv-vdu

Variosy Funciones Hiperblicase x e x 2 1 arg tgh( x ) ! 1 x2 senh( x )' ! cosh( x ) senh( x ) ! cosh( x ) ! e x e x 2

senh 2 ( x ) cosh 2 ( x ) ! 1

cosh( x )' ! senh( x )

Ojo Sin Signo !!

y Binomio de Newton

a bm ! a m a m1b a m2 b 2 .....

0'

m 1

m 2

m 2 m 2 m m1 m m ab b a b m m 1 m 2

y Ecuaciones de la recta m = pendiente ; Por la derivada con dos puntos m = (x0-x1) / (y0 - y1) (x0,y0) = es un punto Ecuacin tangente = (y - y0) = m (x - x0) Ecuacin tangente = (y - y0) = (1/m) (x - x0) y Combinatoria m m! ! n n !( m n )! m m ! n m n m Propiedades : ! 1 y 0 m m 1 m 1 ! n n 1 n

0 !! 1

y Reglas de los logaritmos (En cualquier base) Loga b = c ac = b log ab = log a + log b log a/b = log a - log b log ab = b log a log b a = 1/b log a

T = 180 = T RadB H 1 H sec x ! ! cos x B cos x ! tg x !

sen x !

A H 1 H ! sen x A

cos ecx !

sen x A ! cos x B cos x B ! cot gx ! sen x A

0 sen x cos x tg x0 !0 2 4 !1 2

301 1 ! 2 2 3 2 3 3

452 2 2 2

603 2 1 1 ! 2 2 3

0

1

Relaciones estudiarlas ? ? ? ? Complementaria : sen( T/2 - x ) = cos x Suplementarios : sen( T-x ) = -sen x Opuestos : sen -x = -sen x Relacin fundamental Dividindola por sen2x Dividindola por cos2 x sen2x + cos2x = 1 1 + cotg2x = cosec2x tg2x + 1 = sec2x

; cos (T/2-x) = sen x ; cos (T - x ) = -cos x ; cos -x = cos x

Transformaciones al ngulo mitad sen 2a = 2 sen a cos a cos 2a = cos2 a - sen2 a tg 2a ! 2 tg a 1 tg 2 a

Transformaciones al ngulo doble x 1 cos x x 1 cos x sen ! cos ! 2 2 2 2 Transformaciones en suma sen( a s b) ! sen a cos b O b cos a sen tg a s tg b tg( a s b ) ! 1 Otg a tg b Transformaciones en producto ab ab sen a sen b ! 2 sen cos 2 2

tg

x 1 cos x ! 2 1 cos x

cos( a s b ) ! cos a cos b O a sen b sen

sen a sen b ! 2 cos

ab ab sen 2 2

0

)

y Trigonometra

904 !1 2 0 !0 2

g

(

H

cos a cos b ! 2 cos

ab ab cos 2 2