2.-

a) F(x), g(x) funciones pares -> f(x)+g(x) es par y f(x)*g(x) es par.

Como f(x) es par debe cumplir: f(x) = f(-x)

Como g(x) es par debe cumplir: g(x) = g(-x)

Llamemos una nueva función h(x) = f(x) + g(x)

Entonces reemplazando con las definiciones de paridad de f(x) y g(x) y reemplazando en h(x):

h(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = h(-x), luego se cumple que h(x) = h(-x), por lo que es par.

Llamemos una nueva función j(x) = f(x) * g(x)

Entonces reemplazando con las definiciones de paridad de f(x) y g(x) y reemplazando en j(x):

j(x) = f(x) * g(x) = f(-x) * g(-x) = j(-x), luego se cumple que j(x) = j(-x), por lo que es par

b) F(x), g(x) funciones impares -> f(x)+g(x) es impar y f(x)*g(x) es par.

Como f(x) es impar debe cumplir: f(x) = - f(-x)

Como g(x) es par debe cumplir: g(x) = - g(-x)

Llamemos una nueva función h(x) = f(x) + g(x)

Entonces reemplazando con las definiciones de paridad de f(x) y g(x) y reemplazando en h(x):

h(x) = f(x) + g(x) = - f(-x) - g(-x) = - (f(-x) + g(-x)) = - h(-x), luego se cumple que h(x) = - h(-x), por lo que es impar.

Llamemos una nueva función j(x) = f(x) + g(x)

Entonces reemplazando con las definiciones de paridad de f(x) y g(x) y reemplazando en j(x):

j(x) = f(x)*g(x) = - f(-x)* - g(-x) = f(-x)*g(-x) = j(-x), luego se cumple que h(x) = h(-x), por lo que es par.

a) F(x) función par, g(x) función impar -> f(x)*g(x) es impar.

Como f(x) es par debe cumplir: f(x) = f(-x)

Como g(x) es impar debe cumplir: g(x) = - g(-x)

Llamemos una nueva función h(x) = f(x)*g(x)

Entonces reemplazando con las definiciones de paridad de f(x) y g(x) y reemplazando en h(x):

h(x) = f(x)*g(x) = f(-x) * (- g(-x)) = - f(-x)*g(-x)= - h(-x), luego se cumple que h(x) = - h(-x), por lo que es impar.