informe calculo 1

“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del

Compromiso Climático”

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

“Reducción de costos de producción y optimización de ganancias anuales de la empresa “Zapatería PIECITOS”

CURSO: Cálculo 1 FACULTAD: Ingeniería Civil

INTEGRANTES:

Andagua Vergara Maricruz

Espejo Velásquez Spencer

Espinoza Prieto Edward

Portal Angulo Kimberly

Rosario Genebrozo Marisol

Torrejón Grandez Kenny

PROFESOR: Herrera Vega Héctor Alexis

http://www.ikanus.com/2011/12/el-nombre-del-ano-2012-es-ano-de-la.html

http://www.ikanus.com/2011/12/el-nombre-del-ano-2012-es-ano-de-la.html

FACULTAD DE INGENIERIA & ARQUITECTURA

DEDICATORIA

Este trabajo lo dedicamos al profesor del curso y a nuestros

compañeros de matemática básica a los cuales este informe les

servirá de referencia del curso de Cálculo 1.

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ContenidoDEDICATORIA.....................................................................................................................................1

RESUMEN...................................................................................................................................3

INTRODUCCION..........................................................................................................................4

PROBLEMÁTICA..........................................................................................................................5

OBJETIVOS..................................................................................................................................5

OBJETIVOS GENERAL..........................................................................................................................5

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.....................................................................................................................5

JUSTIFICACIÓN...........................................................................................................................6

FUNDAMENTO TEÓRICO............................................................................................................7

Conceptos y definiciones....................................................................................................................7

FUNCIONES................................................................................................................................7

CLASES DE FUNCIONES..............................................................................................................7

Cálculo de los puntos de inflexión:..............................................................................................11

Solución del problema..............................................................................................................12

Etapa de modelación...................................................................................................................12

Toma de datos..........................................................................................................................12

Elaboración de gráficos............................................................................................................13

Planteamiento matemático del problema (Formulación matemática)....................................15

Resultados................................................................................................................................21

Conclusiones............................................................................................................................22

Recomendaciones....................................................................................................................23

Bibliografía...............................................................................................................................24

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RESUMEN

Nuestro proyecto de investigación tiene como objetivo general obtener los valores mínimos del costo de producción y a la vez conseguir los valores que permitan maximizar las utilidades de la empresa ZAPATERIA PIECITOS; para su realización aplicaremos los conocimientos necesarios del curso de Cálculo 1, como son los conceptos básicos de máximos y mínimos en una función determinada, pudiendo así conseguir los costos mínimos e ingresos; los cuales nos ayudaran a obtener las utilidades.

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INTRODUCCION

El tema del de costo de producción y el precio de venta, es la incógnita que todo empresario debe conocer antes de iniciar con la producción ya que en base a esto realizara su inversión con el objetivo de obtener las máximas ganancias.

El siguiente informe tratará acerca de la empresa ZAPATERIA PIECITOS, la cual desea obtener los valores mínimos del costo para así obtener las mayores utilidades.

El curso de CÁLCULO 1 juega un papel muy importante, pues nos brinda las herramientas necesarias para poder determinar el propósito de la siguiente investigación, aplicando nuestros conocimientos previos como es el tema de funciones para determinar nuestros objetivos.

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PROBLEMÁTICAMuchas de las dificultades que tiene una empresa para ser competente y mantenerse en el mercado es optimizar los costos de producción de cada uno de sus productos y los ingresos que estos tengan. En la presente investigación se pretende estimar los costos de producción, ingresos anuales.

Formulación del problema

¿Cómo obtener los Escriba aquí la ecuación.costos mínimos de producción para de esa manera maximizar las utilidades anuales de la empresa ZAPATERIA PIECITOS en un periodo de 5 años?

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERAL Obtener los valores mínimos del costo de producción y a la vez

conseguir los valores que permitan maximizar las utilidades.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Elaborar gráficos de los costos, ingresos y utilidades de la entidad

“ZAPATERIA PIECITOS” presentando sus respectivas funciones. Encontrar el incremento o reducción de los costos e ingresos en

los últimos 5 años de la empresa. Determinar la razón de cambio de la función utilidad de dicha empresa.

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JUSTIFICACIÓNEste trabajo de investigación fue realizado con la finalidad de poder hallar la producción anual de la empresa ZAPATERIA PIECITOS. Utilizaremos funciones reales estudiadas en clase, para así determinar los costos totales, el ingreso y utilidad que obtiene la empresa con función a sus ventas.

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FUNDAMENTO TEÓRICO

Conceptos y definiciones

FUNCIONESEs una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

CLASES DE FUNCIONES

1. FUNCIONES POLINOMICAS

1.1 FUNCIÓN LINEAL

Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:

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http://3.bp.blogspot.com/_bExJD6N28QE/TM91oZpPICI/AAAAAAAAAAg/aGs_AWclesY/s1600/linear-function-image001.gif


1.2 FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica que se origina es una línea recta paralela al eje x.El dominio de la función constante son todos los números reales y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

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http://hotmath.com/hotmath_help/topics/constant-function/constant-function-image002.gif


1.3 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c, donde a, b, c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la gráfica abre hacia arriba y si a es negativa la gráfica abre hacia abajo.La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO:

1.4 FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que an≠0.

EJEMPLO:

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica_11.svg/300px-Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica_11.svg.png

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/textos/pi_web/fun/f1_pol1.gif


1.5 DERIVADA

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

f́ (a )=limh→0

∆ yh

=limh→ 0

f (a+h )−f (a)h

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo tiende a ser α β.

tan β=l ℑh→ 0

∆ yh

= f́ (a)

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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt=f́ (a)

1.6 PUNTOS DE INFLEXION

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Sea y=f (x ) la ecuación de una función.

Si f (a)=0 o f (a no existe, y la derivada f (a cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Cálculo de los puntos de inflexión:Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman

en ella los ceros de derivada segunda y si:f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

3 Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

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Solución del problema

Etapa de modelación

Toma de datos¿Cómo obtener costos mínimos de los costos de producción para de esa manera maximizar las utilidades anuales de la empresa ZAPATERIA PIECITOS en un periodo de 5 años?

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Ilustración 1

Elaboración de gráficos

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115 120 125 130 135 140 1450

10

20

30

40

50

60

70

f(x) = − 0.010416666666665 x³ + 4.05901067323415 x² − 525.926108374294 x + 22716.3201970403R² = 0.998564340000215

COSTO DE PRODUCCIÓN

COSTOPolynomial (COSTO)

MILES DE ZAPATOS EN PRODUCCIÓN

COST

O E

N M

ILES

DE S

OLE

S

Ilustración 2

Función Costo: C ( x )=−0.0104 x3+4.059 x2−525.93 x+22716

Dónde: x=miles de zapatos producidos

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115 120 125 130 135 140 145119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

f(x) = − 0.00494791666666586 x³ + 1.93902658045944 x² − 252.692744252829 x + 11075.1724137911R² = 0.998676648517853

INGRESO POR PRODUCCIÓN

INGRESOPolynomial (INGRESO)


INGR

ESO

EN

MILE

S DE

SO

LES

Ilustración 3

Función Ingreso: I ( x )=−0.0049x3+1.939 x2−25 2.69+11075

115 120 125 130 135 140 14561

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

f(x) = 0.00546874999999919 x³ − 2.11998409277471 x² + 273.233364121466 x − 11641.1477832492R² = 0.990951696770619

UTILIDAD

UTILIDADPolynomial (UTILIDAD)


UTILI

DAD

EN M

ILES

DE S

OLE

S

Ilustración 4

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Planteamiento matemático del problema (Formulación matemática)

Etapa de Resolución del problema (aplicación de métodos matemático)

i. Determinar los puntos críticos de la función costo de producción (Ilustracion2):

C΄=−0.0312 x2+8.118 x−525.93

C΄ (x)=−0.0312 x2

−0.0312+ 8.118 x−0.0312

+−525.93−0.0312

=0

C΄ ( x )=x ²−260.19x+16856.73=0

x=−(−260.19)±√¿¿¿

x=138.34 x=121.85

Puntos Críticos: 138.34; 121.85

− "͚ + "͚

121.85 138.34

Mínimo Máximo

C (121.85 )=81.87 C (138.34 )=105.34

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ii. Determinar los puntos de Inflexión de la función costo de producción (Ilustracion2):

C (x)=-0.0624 x+8.11

C (x)= {-0.0624 x} over {-0.0624} + {8.118} over {-0.0624} =

C (x)=x-130.096=

X=130.1

Punto de Inflexión: 130.1

− "͚ + - + "͚

130.1

La cantidad de producción de zapatos óptima para obtener para obtener el mínimo costo es de 121.85 (miles de zapatos)

Etapa de Resolución del problema (aplicación de métodos matemático)

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i. Determinar los puntos críticos de la función ingresos de producción (Ilustracion3):

I ' ( x )=−0.0147 x ²+3.878 x−252.69

I ' ( x )=−0.0147 x ²−0.0147

+ 3.878 x−0.0147

− 252.69−0.0147

=0

I ' ( x )=x ²−263.81 x+17189.8=0

x=−(−263.81 )±√(−263.81 )2−(4 )(1)(17189.8)

2(1)

x=117.44 x=146.37

Puntos Críticos: 117.44; 146.3

- "͚ + "͚

117.44 146.37

Mínimo Máximo

I (117.44 )=205.3 I (146.37 )=264.6

ii. Determinar los puntos de Inflexión de la función ingresos de producción :

I (x)=-0.0294 x+3.87

I (x)= {-0.0294 x} over {-0.0294} + {3.878} over {-0.0294} =

I (x)=x-131.91=

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x=131.91

Puntos de Inflexión: 131.91

- "͚ + - + "͚131.91

La cantidad de zapatos óptima para obtener el máximo ingreso es de 146.37 (miles de zapatos).

Etapa de Resolución del problema (aplicación de métodos matemático) (Ilustracion4)

La empresa “PIECITOS” fabricante de zapatos da a conocer que el costo por año de producir x unidades de zapatos (en miles) está dado por la siguiente función: C ( x )=−0.0104 x3+4.059 x2−525.93 x+22716 en soles y el ingreso obtenido por la venta de x unidades de zapatos (en miles) está dado por la siguiente función:I ( x )=−0.0049x3+1.939 x2−252.69 x+11075 en soles.

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La compañía actualmente produce 140mil unidades de zapatos por año. Determine la razón de cambio promedio de la utilidad por las unidades de zapatos extras producidas.

Tenemos la Función Costo :

C ( x )=−0.0104 x3+4.059 x2−525.93 x+22716

Tenemos la Función Ingreso :

I ( x )=−0.0049x3+1.939 x2−252.69 x+11075

Hallando la Función Utilidad :

U ( x )=I ( x )−C (x )U ( x )=0.0055 x3−2.12 x2+273.23 x−11641

Determinando la razón de Cambio Promedio de la Utilidad:U ( x )=0.0055 x3−2.12 x2+273.23 x−11641

U ΄ ( x )=0.0165 x ²−4.24 x+273.23

Reemplazando :X=140(miles de zapatos producidos)

U ΄ ( x )=0.0165 (140 )2−4.24 (140 )+273.23

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U ΄ ( x )=3.03

La razón de cambio promedio de la utilidad de los miles de zapatos extras producidas por año es de 3.03.

Resultados

Los intervalos de crecimiento en la producción de zapatos con respecto a la función costo son: ¿

Los intervalos de decrecimiento en la producción de zapatos con respecto a la función costo son: ¿0 ,121.85¿

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Los intervalos de crecimiento en la producción de zapatos con respecto a la función ingreso son: ¿ Los intervalos de decrecimiento en la producción de zapatos con respecto a la función ingreso son:

¿0 ,117.44¿

Conclusiones

Al querer optimizar los costos de la empresa “ZAPATERIA PIECITOS” nos referimos a buscar los valores máximos y mínimos los cuales son 138.34 y 121.85 (miles de zapatos producidos) respectivamente. Al optimizar los ingresos de la empresa “ZAPATERIA PIECITOS” nos referimos a buscar los valores máximos y mínimos los cuales son 146.37 y 117.44 (miles de zapatos producidos) respectivamente.

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Recomendaciones

Para lograr resolver la problemática planteada inicialmente se recomienda esquematizar mediante gráficos estadísticos los resultados anuales arrojados en un periodo de cinco años, que viene a ser la producción y sus respectivos ingresos.Esto con la finalidad de facilitar y reconocer el incremento o decremento de las utilidades generadas y de esta manera obtener referencias con las cuales trabajar y decidir si se CALCULO1 Página

FACULTAD DE INGENIERIA & ARQUITECTURAdebe mantener o reducir los costos de producción para obtener mayores ganancias en la “Zapatería Piecitos”

Bibliografía

o http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem %C3%A1tica

o http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal o http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr

%C3%A1tica

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http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

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http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

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o http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin %C3%B3mica

o http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada o http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/

academicos/emartinez/calculo/inflexion/inflexion.html

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http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/inflexion/inflexion.html

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/inflexion/inflexion.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica

informe calculo 1

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