UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

ESTRUCTURA CON NUDOS NO ARTICULADOS (MARCOS PLANOS)

Informe N° 6

CURSO: Cálculo por elementos finitos.

SECCIÓN: “G”

FECHA DE ENTREGA: 27/11/2015

ALUMNO: Rafael Maynasa, Anthony Williams.

CÓDIGO: 20130217D

2015-IIÍNDICE.

0

Pág.

1. Enunciado del problema. …………………………………………………………………………… 2

2. Modelado de la viga. ……………………………………………………………….………………… 2

3. Matriz de rigidez local. …………………………………….………………………..……………… 3

4. Matriz de rigidez global. ……………………………………………………………….…………… 4

5. Matriz de fuerzas. ……………………………………………………………………………..……… 5

6. Matriz de esfuerzos. ……………………………………………………………………………….… 6

7. Diagrama de flujo. ……………………………………………………………………………………… 7

8. Programación en MATLAB. ……………………………………………………………………..… 8

9. Análisis del problema en ANSYS. ………………………………………………………………… 11

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA .Para la viga mostrada en la figura, determine las pendientes en 2 y 3 y la deflexión vertical en el punto medio de la carga distribuida.

1

Datos:

A=10¿2

E=30×106 psi

I=100¿4

2. MODELADO DE LA VIGA .Se procederá a hacer el modelado con 2 elementos finitos.

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .

2

3.1 En coordenadas locales.Elemento 1:

Elemento 2:

3.2 En coordenadas globales.

3.3 Coordenadas y cosenos directores.

3

Elemento Nodos x y l m

11 0 0

1 02 120 0

22 120 0

0.5 0.8663 180 103.923

4. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN .

Elemento 1:

L1=[1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

]Elemento 2:

L2=[0.5 0.866 0 0 0 0

−0.866 0.5 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0.5 0.866 00 0 0 −0.866 0.5 00 0 0 0 0 1

]5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS .

5.1 En coordenadas (x’; y’):

4

k e'=[

EAle

0 0 −EAle

0 0

0 12EIle3

6 EIle2 0 −12 EI

le3

6 EIle2

0 6 EIle2

4 EIle

0 −6 EIle2

2 EIle

−EAle

0 0 EAle

0 0

0 −12 EIle3

−6 EIle2 0 12 EI

le3

−6 EIle2

0 6 EIle2

2 EIle

0 −6 EIle2

4 EIle

]Para el elemento finito 1:

k1' =106[

2.5 0 0 −2.5 0 00 0.020833 1.25 0 −0.020833 1.250 1.25 100 0 −1.25 50

−2.5 0 0 2.5 0 00 −0.020833 −1.25 0 0.020833 −1.250 1.25 50 0 −1.25 100

]Para el elemento finito 2:

k 2' =k1

'=106[2.5 0 0 −2.5 0 00 0.02 1.25 0 −0.02 1.250 1.25 100 0 −1.25 50

−2.5 0 0 2.5 0 00 −0.02 −1.25 0 0.02 −1.250 1.25 50 0 −1.25 100

]5.2 En coordenadas (x; y):

k e=LeT×ke

' ×Le

Para el elemento finito 1:

k1=106[2.5 0 0 −2.5 0 00 0.020833 1.25 0 −0.020833 1.250 1.25 100 0 −1.25 50

−2.5 0 0 2.5 0 00 −0.020833 −1.25 0 0.020833 −1.250 1.25 50 0 −1.25 100

]5

Para el elemento finito 2:

k 2=106[0.64062 1.0735 −1.0825 −0.64062 −1.0735 −1.08251.0735 1.8801 0.625 −1.0735 −1.8801 0.625

−1.0825 0.625 100 1.0825 −0.625 50−0.64062 −1.0735 1.0825 0.64062 1.0735 1.0825−1.0735 −1.8801 −0.625 1.0735 1.8801 −0.625−1.0825 0.625 50 1.0825 −0.625 100

]6. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL .

[k ]=106[2.5 0 0 −2.5 0 0 0 0 00 0.020833 1.25 0 −0.020833 1.25 0 0 00 1.25 100 0 −1.25 50 0 0 0

−2.5 0 0 3.1406 1.0735 −1.0825 −0.64062 −1.0735 −1.08250 −0.020833 −1.25 1.0735 1.9009 −0.625 −1.0735 −1.8801 0.6250 1.25 50 −1.0825 −0.625 200 1.0825 −0.625 500 0 0 −0.64062 −1.0735 1.0825 0.64062 1.0735 1.08250 0 0 −1.0735 −1.8801 −0.625 1.0735 1.8801 −0.6250 0 0 −1.0825 0.625 50 1.0825 −0.625 100

]7. MATRIZ DE DEFORMACIÓN TOTAL .

[Q ]=[Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 ]T

[Q ]=[0 0 Q 3 Q4 Q5 Q6 0 0 Q9 ]T

8. MATRIZ FUERZA .8.1 En coordenadas (x’; y’):

F e'=[0 p le

2p le

2

120

p le2

−p le2

12 ]T

F1'=103 [0 −5 −100 0 −5 100 ]T

[F ]2= [0 0 0 0 0 0 ]T

8.2 En coordenadas (x; y):F e=L

T×Fe'

F1=103 [0 −5 −100 0 −5 100 ]T

[F ]2= [0 0 0 0 0 0 ]T

6

INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1: #nodos

Leer posiciones (X,Y)

Para i=1: #elementos

9. ECUACIÓN DE RIGIDEZ .[F ]=[k ] [Q ]

103[0

−5−1000

−5100000

]=106[2.5 0 0 −2.5 0 0 0 0 00 0.020833 1.25 0 −0.020833 1.25 0 0 00 1.25 100 0 −1.25 50 0 0 0

−2.5 0 0 3.1406 1.0735 −1.0825 −0.64062 −1.0735 −1.08250 −0.020833 −1.25 1.0735 1.9009 −0.625 −1.0735 −1.8801 0.6250 1.25 50 −1.0825 −0.625 200 1.0825 −0.625 500 0 0 −0.64062 −1.0735 1.0825 0.64062 1.0735 1.08250 0 0 −1.0735 −1.8801 −0.625 1.0735 1.8801 −0.6250 0 0 −1.0825 0.625 50 1.0825 −0.625 100

][00Q3Q4Q5Q600Q9

][q ]1= [2.70695×10−8 539.24711 −1.96654 2.70695×10−8 303.0303 −1.97435 ]T

[q ]2= [2.70695×10−8 303.0303 −1.97435 206.00114 184.09113 −1.98616 ]T

10.ESFUERZOS EN CADA ELEMENTO FINITO DEL MODELO .10.1 Debido a la flexión.

σ eM=(EyL2 )e [6 ξ (−q1m+q2 l)+ (3 ξ−1 )Le q3−6 ξ (−q4m+q5l )+(3 ξ+1 )Leq6 ]

σ 1M=(30×106×5.1212 ) [6 ξ (539.24711 (1 ) )+(3ξ−1 ) (1 ) (−1.96654 )−6ξ ( (303.0303 ) (1 ) )+ (3ξ+1 ) (1 ) (−1.97435 ) ]

10.2 Debido a la flexión.

σ eN=( EL ) [ (−q1l−q2m )+(q4 l+q5m ) ]

σ 1=0

σ 2=−22537.0059

11. DIAGRAMA DE FLUJO .

7

1 2

Si (SN+SE=1)> (SN-SE=1)

Esfuerzo igual a la suma

Esfuerzo igual a la resta

SI NO

Imprime reacciones, momentos y esfuerzos

12. PROGRAMACIÓN EN MATLAB .

%ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS: MARCOSformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS= ');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= ');E=input('INGRESE EL MODULO DE YOUNG=');d=input('INGRESE EL DIAMETRO=');pes=input('INGRESE EL PESO ESPECIFICO(gr-f/cm^3)=');disp('e===(1) (2)====');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)= ');n=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endle=[];lm=[];A=pi/4*d^2;I=pi*d^4/64;

8

krs=zeros(3*nd);f=pes*9.81e-6*A;fp=zeros(3*nd,1);F=zeros(3*nd,1);Kij=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);kp=zeros(3*nd);le=[];l=[];m=[];for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; L(ps1,ps1)=l(i);L(ps1,ps2)=m(i);L(ps2,ps1)=-m(i);L(ps2,ps2)=l(i);L(ps3,ps3)=1; L(ps4,ps4)=l(i);L(ps4,ps5)=m(i);L(ps5,ps4)=-m(i);L(ps5,ps5)=l(i);L(ps6,ps6)=1; kp(ps1,ps1)=E*A/le(i);kp(ps1,ps4)=-E*A/le(i); kp(ps2,ps2)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps3)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps2,ps5)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps6)=6*E*I/le(i)^2; kp(ps3,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps3)=4*E*I/le(i);kp(ps3,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps6)=2*E*I/le(i); kp(ps4,ps1)=-E*A/le(i);kp(ps4,ps4)=E*A/le(i); kp(ps5,ps2)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps3)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps5,ps5)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps6)=-6*E*I/le(i)^2; kp(ps6,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps3)=2*E*I/le(i);kp(ps6,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps6)=4*E*I/le(i); fp(ps1,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps2,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps3,1)=f*l(i)*le(i)^2/12; fp(ps4,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps5,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps6,1)=-f*l(i)*le(i)^2/12; F=F+L'*fp;Kij=Kij+L'*kp*L; kp=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);fp=zeros(3*nd,1);end

%CONDICIONES DE FRONTERA (Q1,Q2,Q3,Q13,Q14,Q15)=[0]Fc=[];Kc=[];Q=zeros(3*nd,1);F(5,1)=F(5,1)+2000;F(7,1)=F(7,1)+5000;F(8,1)=F(8,1)+4000;

%incluimos las fuerzas externasFc=F(4:12,1);Kc=Kij(4:12,4:12);Q(4:12,1)=Kc\Fc;

%CALCULO DE REACCIONESR1=Kij(1,1:15)*Q-F(1,1);R2=Kij(2,1:15)*Q-F(2,1);M3=Kij(3,1:15)*Q-F(3,1);R13=Kij(13,1:15)*Q-F(13,1);R14=Kij(14,1:15)*Q-F(14,1);M15=Kij(15,1:15)*Q-F(15,1);for i=1:ne ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; ESN=E/le(i)*(-Q(ps1,1)*l(i)-Q(ps2,1)*m(i)+Q(ps4,1)*l(i)+Q(ps5,1)*m(i)); EM1=E/le(i)^2*d/2*(-6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))-4*le(i)*Q(ps3,1)+6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))-2*le(i)*Q(ps6,1)); EM2=E/le(i)^2*d/2*(6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))+2*le(i)*Q(ps3,1)-6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))+4*le(i)*Q(ps6,1)); if abs(ESN+EM1)<=abs(ESN+EM2) ES(i)=ESN+EM2; else ES(i)=ESN+EM1; endenddisp('===== RESULTADOS ==============');

9

disp('REACCION EN PUNTO(1) X(N)=');disp(R1);disp('REACCION EN PUNTO(1) Y(N)=');disp(R2);disp('MOMENTO EN PUNTO(1)(Nxmm) =');disp(M3);disp('REACCION EN PUNTO(5) X(N)=');disp(R13);disp('REACCION EN PUNTO(5) Y(N)=');disp(R14);disp('MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) =');disp(M15);disp('ESFUERZOS(MPa)=');disp(ES);

EJECUCION DEL PROGRAMA

INGRESE EL NUMERO DE NODOS= 3INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= 2INGRESE EL MODULO DE YOUNG=30*10e6INGRESE EL DIAMETRO=50INGRESE EL PESO ESPECIFICO (lb-f/in^3)=0.28179e===(1) (2)====INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2; 2 3]INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1N(X)= 0N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2N(X)= 0N(Y)= 120INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3N(X)= 180N(Y)= -103.92305INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

===== RESULTADOS ==============REACCION EN PUNTO (1) X(N)= -1.54e-8

REACCION EN PUNTO (1) Y(N)= -7.520571515552884e+003

REACCION EN PUNTO (3) X(N)= -1.54e-8

REACCION EN PUNTO (3) Y(N)= 4322.8

ESFUERZOS=5.5118 5.8687 -4.1628 -3.4516 5.2671 -7.0564 0

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13. DIBUJO EN ANSYS .

13.1 En el lado izquierdo se busca “static structural” y se lleva al lado derecho con clic izquierdo presionado.

13.2 Luego seleccionar la opción “Geometry” con el clic derecho y seleccionar “New Geometry”.

11

13.3 El programa te enviará a una ventana de dibujo donde se le pedirá las unidades en que se va a trabajar.

13.4 En la parte superior en la opción “Create” se elige la opción “Point”

12

13.5 Luego las especificaciones del lado izquierdo inferior en “Type” se pondrá “Construction Point”, en “Definition” se pondrá “Manual Input” y luego se colocaran las coordenadas deseadas para luego dar clic en “Generate”, se repite esto dependiendo de cuantos puntos se desea.

13

13.6 En la parte superior se seleccionara “Concept” y se seleccionará “Lines from points” y se unirán los puntos.

13.7 Se seleccionará el plano que se desea trabajar, en este caso se usara el plano xy con clic derecho y elegir la opción “Look at”

13.8 Nos iremos a la parte superior y en la opción “Concept” elegimos “Cross Section” y elegimos el tipo de sección con el que queremos trabajar.

14

13.9 Luego en la parte inferior izquierda se colocarán las medidas de la sección con que se desea trabajar.

13.10 En la opción de la izquierda se seleciona “Line Body” y en Cross Secction se selecciona la sección que escogimos anteriormente y le damos clic en “Generate”.

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13.11 Cerramos la ventana y nos vamos a “Model” de la ventana principal de Workbench.

13.12 En “Mesh” se hace en “Sizing” “Element size” el tamaño aproximado del mallado para el análisis mas exacto. Clic derecho en “Mesh” “Generate Mesh”.

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13.13 En “Static Estructural” se colocaran los soportes y fuerzas según el problema.

13.14 En “Solution” se colocan los resultados que se desean obtener”.

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13.15 Finalmente se da clic en “Solve”

18

19