CALCULO I

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CALCULO IINTRODUCCIN A LASINTEGRALESINTEGRANTES:Glvez Lpez LuzLen Arribasplata Laksmi Tasilla Tafur MayraDOCENTE : Llapo Ramos JoseCIUDAD Y AO: Cajamarca, 2015

INTRODUCCIN A LAS INTEGRALES INDEFINIDASINTRODUCCIN:

El clculo de integrales indefinidas es una prctica constante no solo en asignaturas de matemticas que debe cursar un alumno de Ingeniera sino que, adems, aparece frecuentemente en el estudio de otras materias, generales como la fsica, o ms especficas como cualquier tecnologa.

As, por ejemplo, es imposible manejar la integracin mltiple o la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias sin un amplio bagaje en la determinacin de primitivas. Asimismo, son variados los problemas como determinacin de centros de gravedad o momentos de inercia, trabajo realizado por una fuerza, etc..., donde es imprescindible la utilizacin del clculo integral.

Definiremos el concepto de funcin primitiva, resaltando la circunstancia de la existencia de infinitas primitivas de una funcin dada que se diferencian en una constante. Aprovechando las reglas de derivacin construiremos un cuadro de integrales inmediatas para su utilizacin por el alumno.

Destacaremos que, ni mucho menos, todas las funciones admiten primitivas expresables mediante funciones elementales. Intentaremos crear una metodologa en la determinacin de estas primitivas dando los pasos a seguir para cada uno de los tipos ms frecuentes de integracin que se nos pueda presentar.

As, comentaremos los casos ms usuales en la aplicacin de la integracin por partes como producto de polinomios por exponenciales, exponenciales por trigonomtricas, polinomios por logaritmos, etc. Dado que las integrales racionales son muy metdicas en su resolucin bastara un ejercicio de cada tipo para que el alumno adquiera el conocimiento necesario. Las integrales irracionales y las trascendentes se resuelven en los casos generales transformndolas en racionales.

De todas formas, comentaremos algunos casos particulares en que no es necesaria esta racionalizacin, dando el mtodo ms apropiado para su clculo. Haremos notar al alumno que, en general, las integrales indefinidas no se resuelven mediante ideas fciles, sino aplicando esos mtodos ya estudiados que nos permiten hacerlo por la va ms segura y, casi siempre, ms rpida.OBJETIVOS:

Entender el concepto y el significado del proceso de clculo de primitivas. Introducir estrategias elementales de clculo de primitivas inmediatas o reducibles a ellas. Destacar al alumno el concepto de integracin como funcin inversa de la diferenciacin. Conocer los mtodos generales de integracin adquiriendo cierta metodologa en la determinacin de primitivas de funciones elementales. Relacionar las propiedades de la derivacin con las de integracin, aprovechando stas para el clculo de primitivas. Reconocer el papel de inversas entre las operaciones de derivacin e integracin.FUNCIONES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS:

funcin primitiva:

Se dice que la funcin es una primitiva de en un intervalo , si , En este caso, se cumplir tambin que por lo que s es primitiva de tambin lo ser

Al conjunto de las infinitas primitivas de , le llamaremos integral indefinida de , y escribiremos en forma simblica Una condicin suficiente para que una funcinfadmita primitivas sobre unintervaloes que sea continuaen dicho intervalo.El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce comointegracin indefiniday es por tanto el inverso de la derivacin. Las integrales indefinidas estn relacionadas con lasintegrales definidasa travs delteorema fundamental del clculo, y proporcionan un mtodo sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.La primitiva de una funcin impar es siempre par:En efecto, como se ve en la figura siguiente, las reas antes y despus de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe as: F(a) - F (-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F (-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una funcin f par es impar con tal de imponerse F (0) = 0:En efecto, segn la figura, las reas antes y despus de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F (0) - F (-a) = F(a) - F (0). Si F (0) = 0, F (-a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una funcin peridica es la suma de una funcin lineal y de una funcin peridica:

Para probarlo, hay que constatar que el rea bajo una curva de una funcin peridica, entre las abscisas x y x + T (T es el perodo) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres reas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relacin de Chasles, o sencillamente con unas tijeras! (cortando y superponiendo las reas de color).En trmino de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la funcin G(x) = F(x) - Ax/T es peridica de perodo T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, peridica, y de Ax/T, lineal.

Relacin entre la integral de una funcin y la de su recproca:Para simplificar, se impone f (0) = 0; a es un nmero cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relacin:

El rea morada es la integral de f, el rea amarilla es la de f -1, y la suma es el rectngulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetra axial alrededor de la diagonal y = x.El inters de esta frmula es permitir el clculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresin de la recproca.

Integracin y diferenciacin:

Tal como hemos definido la integral indefinida, la integracin resulta ser la operacin inversa de la diferenciacin. Efectivamente:

Integrales inmediatas:

Para encontrar una primitiva de una funcin dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinacin lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revs una tabla de derivadas, y luego aplica la linealidad de la integral:

Aqu estn las principales funciones primitivas:Funcin : primitiva de funcin : derivada de

Linealidad de la integral indefinida:

Siendo y funciones que admiten primitiva y una constante, se verifica:

Estas propiedades nos permiten, si nos conviene, descomponer una integral en suma de otras integrales, que pueden ser ms elementales que la inicial.

MTODOS DE INTEGRACIN:

Integracin por sustitucin o cambio de variable:

Consiste en sustituir x por una cierta funcin de una nueva variable,, de tal forma que resulte otra integral ms sencilla de resolver.

As, supuesto contina en , sustituiremos en , la expresin adecuada, , siendo derivable con derivadas continuas en y Quedar,

Para expresar la primitiva en funcin de la variable , sustituiremos (inversa de que debe existir)

Integracin por partes:

Tiene por objeto transformar una integral en otra ms sencilla, aplicando una expresin deducida a partir de la diferenciacin de un producto de funciones.

Sean , funciones continuas con derivada continua en un intervalo I. Diferenciando,

, despejando,

, integrando,

El mtodo consiste en expresar la funcin subintegral como producto de los factores y , de tal forma que la nueva integral sea ms fcil. Es til en mltiples casos. Enumeraremos algunos de ellos:

; Polinomios en x

;

Integrales racionales:

Son las integrales del tipo donde y son polinomios en .

Si el grado de es mayor o igual que el de se efecta la divisin,

.Quedando reducida la integral inicial a la de un polinomio ms una integral racional donde el grado del numerador, es menor que el grado del denominador . Slo consideraremos, entonces, integrales de este ltimo tipo.

Para resolver esta, descompondremos en fracciones simples lo que equivaldr a sustituir la integral inicial por una suma de integrales ms elementales.

Descomposicin en fracciones simples:

La descomposicin depende de la naturaleza de las races de .

Mtodo de Hermite:

Se aplica cuando tiene races complejas mltiples en la integral . Se podra demostrar, para este caso, que la fraccin racional se podra descomponer en la forma,

En esta expresin, es un polinomio con las mismas races que rebajando en una unidad, respectivamente, sus rdenes de multiplicidad, (se podra obtener, pues, como el m.c.d. de y ) y es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado inferior en una unidad al grado de .

La expresin se descompondra en fracciones considerando como races de las mismas que las de , pero con orden de multiplicidad, para todas ellas, igual a la unidad. Es decir,

Derivando e identificando polinomios se obtendran los coeficientes indeterminados. Integrando cada sumando,

, integrales del mismo tipo que las que figuraban en las integrales racionales.

Integrales irracionales:

En general, las primitivas de las funciones irracionales no pueden expresarse mediante funciones elementales. Consideremos, en este apartado, algunos tipos en los que s es posible encontrar una funcin primitiva. El procedimiento general consistir en transformarlas en integrales racionales realizando los cambios de variable adecuados.

El mtodo de la regla de la cadena inversa El mtodo de fracciones parciales nos permite integrar todas las funciones racionales (fracciones de dos polinomios). El algoritmo de Risch. Integrales tambin pueden calcularse utilizando tablas de integrales.

PROPIEDADES

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin. k f(x) dx = k f(x) dx

Calculo IPgina 1