CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CONCEPTOS BSICOSCONTINUIDAD Una Funcin Real de Variable Real con regla de correspondencia y=f(x) es continua en el punto de abscisa a (x-a) si y solo si cumple con las 3 condiciones siguientes: 1.- f(a) 2.-Lim f(x) Exista Exista

x a3.-f(a) sea igual a Lim f(x) f(a) = Lim f(x)

x aTIPOS DE DISCONTINUIDAD: DISCONTINUIDAD EVITABLE Y Y = f ( x )

x a

DISCONTINUIDAD INFINITA Y

a

X

a

X

Y

a

X

DISCONTINUIDAD DE SALTO Ejem: Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trazar la grfica:

f ( x) = x 2 f ( a ) exista f (2) = 4 IR Limf ( x ) exista Limx x a2

= 4 IR

x4 f ( a ) = Limf ( x) 4 = 2

x a La funcin es continua3 enx = 2 x 2 3 3 = = / 2 2 0 3 3 3 Lim = 2 = = / x 2 2 0 x 2 f ( a ) = Limf ( x ) / y=

Es discontinua. Es un tipo infinita

PUNTOS DE DISCONTINUIDAD.- Una funcin racional de la forma p/q donde p q son polinomios en discontinua en los puntos obtenidos al resolver la ecuacin: Q=0

Ejemplo: Obtener los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :f ( x) = 3

x2

P Q = 0 x2 = 0 Q x2f ( x) = x2 5 x 2 15 x + 14

P Q = 0 x 3 8 x 2 20 x = 0 Q( x 14 )( x 1) = 0 x 14 = 0 x 1 = 0 x =14 x =1

La funcin es discontinua x=2 La funcin es discontinua en: x=1 DERIVADA DE UNA FUNCION

x=14

En matemticas, la derivada de una funcin es uno de los dos conceptos centrales del clculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos estn relacionados por el teorema fundamental del clculo.) La derivada de una funcin en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la funcin cambia cuando la entrada de la funcin cambia. Es decir, que una derivada provee una formulacin matemtica de la nocin del coeficiente de cambio. La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la grfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del grfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el lmite de una secante. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad. Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la funcin es aproximable linealmente

INCREMENTO DE UNA VARIABLE.- Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial a y un valor final b, el incremento de la variable que se denota x se define: x=b-a Ejem: Calcule el incremento de la variable cuando esta varia de 3 a 5 a=-3 x=5-(-3) b=5 x=8 INCREMENTO DE UNA FUNCION. Si a la variable x se le asignaran los valores inicial y final de a y b respectivamente, entonces la funcin adquiere los valores f(a) f(b), y el incremento de la funcin que se denota: f(x) =f(b)-f(a) =f(a+x)-f(a) En forma general si a=x f(x)=f(x+x)-F(x) Grafica: Y b=a+ x

f ( x + x ) f ( x ) f ( x )

y ==

f ( x )

f )( x X

x +x

x

Ejem: Obtener el incremento de la funcinf ( x) = x 2 4 f ( x ) = f ( x + x ) f ( x ) = ( x + x ) 2 4 ( x 2 4) = x 2 + 2 xx + ( x ) 2 4 x 2 + 4 = 2 xx + (x ) 2

f ( x ) paraf ( x) = 2 x 2 3 x 5 x f ( x ) f ( x + x ) f ( x) = x x 2 2( x + x ) 3( x + x ) 5 (2 x 2 3 x 5 = x 2 2( x + 2 xx + (x) 2 ) 3 x 3x 5 2 x 2 + 3 x + 5 = x 2 2 2 x + 4 xx + 2( x ) 3 x 3x 5 2 x 2 + 3 x + 5 = x 2 4 xx + 2(x) 3x = x x (4 x + 2x 3) = x f ( x ) = 4 x 2x 3 x

DERIVADA DE UNA FUNCION.- Se define como el limite del incremento de la funcin entre el incremento de la variable cuando este tiende a cero.

x 0

D xfx= Lim

f ( x) x

NOTACION: La derivada de una funcin con regla de correspondencia y=f(x) se denota de la siguiente manera:

y1 ,

dy

dx

D x y

Derivada de y con respecto a x.

f 1 ( x), df ( x)dy dx

dx

D x f ( x)

Derivada de f(x) con respecto a x. Derivada de y con respecto a x.

INTERPRETACION GEOMETRICA.- Dada una funcin real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) y su grafica. Y S f ( x + x ) Q y = e c a n t e

f ( x )

f ( x )

P X

xx

x +

x

Si por los P Q se traza una recta secante, su pendiente es:m= m= y 2 y1 x 2 x1

f ( x + x ) = f ( x ) x + x x f ( x + x ) f ( x ) f ( x ) m= m5 = x x

Si x 0 y obtenemos el lmite: la recta secante se transforma en RECTA TANGENTE, cuya pendiente

mf = Lim f ( x ) x 0

x

= Dxf ( x)

Ejem: Obtener la derivada de las siguientes funcionesf ( x) = x 2 + 3x 4 f ( x + x) 4( x) D x f ( x ) = Lim x x 0 ( x + x) 2 + 3( x + x ) 4 ( x + 3 x 4) D x f ( x ) = Lim x x 0x 2 + 2 xx + (x ) 2 + 3 x + 3x 4 x 2 3 x + 4 D x f ( x ) = Lim x 2 x 02 xx + (x) + 3x D x f ( x ) = Lim x x (2 x + x + 3) D x f ( x ) xLim 0 = x D x f ( x ) = Lim 2 x + x + 3 D x f ( x ) xLim 0 x + 3 = 2

x 0

x 0f ( x) = x f ( x + h) f ( x) h h 0 x +h = x D x f ( x) = Lim h h 0 h D x f ( x) = Lim h D x f ( x h = 10 ) D x f ( x) = Lim

NOTA : x = h

f ( x) = x 3 ( x + h) 3 x 3 h 3 x + 2 x 2 h + 2 xh 2 + h 3 x 3 D x f ( x ) = Lim h 2 h( 2 x + 2 xh + h 2 ) D x f ( x ) = Lim h D x f ( x ) = Lim D x f ( x ) = Lim 2 x 2 + 2 xh + h 2 D x f ( x) = 2 x 2

REGLAS Y TIPOS DE DERIVACIN

La diferenciacin directa de una funcin por medio de la definicin de la derivada, puede ser un proceso tedioso. Por tal motivo existen reglas que permiten efectuar la diferenciacin en forma por completo mecnica y eficiente. Con ellas se evita el uso directo de lmites. REGLA 1. La derivada de una funcin constante es cero. Si c es una constante, entonces d _ (c) = 0 d(x) Esto es, la derivada de una funcin constante es cero.

REGLA 2. La siguiente regla da una frmula para la derivada de x elevada a una potencia constante. Derivada de xn Si n es cualquier nmero real, entonces d _ (xn ) = n x(n-1) d(x) ,

siempre x(n-1) que est definida. Esto es, la derivada de una potencia constante de x es igual al exponente multiplicado por x elevada a una potencia menor en una unidad que la de la potencia dada.

REGLA 3. Regla que trata sobre la diferenciacin de una constante por una funcin. Si f es una funcin diferenciable y c una constante, entonces cf(x)es diferenciable y d _ [cf(x)] = cf(x) d(x) Esto es, la derivada de una constante por una funcin es igual a la constante por la derivada de la funcin.

REGLA 4. Esta regla se refiere a la derivada de sumas y diferencias de funciones.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f +g y f g son diferenciables y d _ [f(x)+g(x)] = f(x) + g(x) d(x) y d _ [f(x) - g(x)] = f(x) - g(x) d(x) Esto es, la derivada de la suma ( o diferencia ) de dos funciones es la suma ( o diferencia ) de sus derivadas.

REGLA 5. Como la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas, podra pensarse que la derivada de un producto de dos funciones es el producto de sus derivadas. NO es este el caso, como lo muestra la regla siguiente.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces el producto fg es diferenciable y d _ [f(x) g(x)] = f(x)g(x) + g(x)f(x) d(x) Esto es, la derivada del producto de dos funciones es la primera funcin por la derivada de la segunda, mas la segunda funcin por la derivada de la primera. d _ (producto) = (primera)(deriv. de segunda) + (segunda)(deriv. de primera) d(x)

REGLA 6. La regal siguiente se usa para diferenciar un cociente de dos funciones. Si f y g son funciones diferenciables y g(x) 0, entonces el cociente f/g es tambien diferenciable y d _[ d(x) f(x)_ ] = g(x) g(x)f(x) - f(x)g(x) _ [g(x)]2

REGLA 7. La regla de la cadena

Si y es una funcin diferenciable de u y u es una funcin diferenciable de x, entonces y es una funcin diferenciable de x, y dy_ = dx dy_ du * du_ d x

REGLA 8. La regla siguiente es llamada la regla de la potencia, generaliza nuestro resultado y es un caso especial de la regla de la cadena. Si u es una funcin diferenciable de x y n es cualquier nmero real, entonces d _ (un) = nu(n-1) d u_ dx d x

RESUMEN DE LAS REGLAS DEL CALCULO DE LAS DERIVADAS1. D X k = 0 2. D x x =1 3. D x k x = k

h 0 h 0

h x 4. D xn0= nx n 15. D x [ f ( x ) + g ( x)] = D x f ( x ) + D x g ( x )

h 0

6. D x [ f ( x ) g ( x)] = D x f ( x ) D x g ( x ) 7. D x [ f ( x ) g ( x )] = f ( x ) D x g ( x ) + g ( x) D x f ( x ) 8. D x g ( x ) D x f ( x) f ( x) D x g ( x) f ( x) = g ( x) [ g ( x)] 2

DEMOSTRACION DE LAS REGLAS O TEOREMAS:Teorema 3 D x kx = k k ( x + h) kx h h 0 kx + kh kx D x kh = Lim h kh D x kx = Lim h D x kx = k D x kx = Lim

h0

Teorema 5

f ( x + h ) + g ( x + h) [ f ( x ) + g ( x ) ] h f ( x + h ) f ( x ) + g ( x + h) g ( x ) Dx [ f ( x) + g ( x)] = Lim h f ( x + h) f ( x) g ( x + h) g ( x ) Dx [ f ( x) + g ( x)] = Lim + h h Dx [ f ( x) + g ( x)] = Dx f ( x ) + Dx g ( x ) Dx [ f ( x) + g ( x)] = Lim

h0

Ejem: Calcular la Derivada de las siguientes funciones utilizando los teoremas:

1. f ( x ) = x f 1 ( x ) = 1 2. f ( x) = 4 x f 1 ( x ) = 4 3. f ( x ) = 15 f 1 ( x) = 0 4. f ( x ) = x 3 f 1 ( x ) = 3 x 2 5. f ( x ) = 3 x 2 f 1 ( x ) = 6 x 6. f ( x ) = x 4 3 x + 2 f 1 ( x ) = 4 x 3 3 7. f ( x ) = 2 x 5 6 x 3 + 4 f 1 ( x ) = 10 x 4 18 x 2 8. f ( x ) = 7 x 2 5 x + 4 f 1 ( x) = 14 x 5 9. f ( x ) = 4 x 10 7 x 8 + 6 x 3 f 1 ( x) = 40 x 9 56 x 7 +18 x 2 10 . f ( x ) =1 1 x f 1 ( x) = 1 x 2 1 = 1 x 2 = 1 2 2 2

x

TIPO DE DERIVACION DERIVADAS DE FUNCIN LOGARITMICA Y EXPONENCIAL FUNCIN EXPONENCIAL.- Es aquella funcin en la cual aparece cuando menos una variable como exponente en la regla de correspondencia, SU FORMA GENERAL es: F = {(x,y) | y = ax] a = cte a > 0 a |

Ejemplo: F = {(x,y) | y = 5x} F = {(x,y) | y = 4x2-3x+2} F = {(x,y) | y = ex} Grfica: Trazar la grfica de la funcin

y F = {(x,y)| y = 2sen x2}

y =2 x

- 3

3

x

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x 2 21/3 = 2-2= 2)=1/4 2-1 = = 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8-3

y =2 x

D = x IR R=y>0

Determinar el valor de e numricamente. FUNCIN LOGARTMICA.- Es Aquella funcin en la cual aparece cuando menos un logaritmo en la regla de correspondencia, su FORMA GENERAL es:

T = {(x,y) | y = logb x]

LOGARITMO: El logaritmo base b de un nmero N, es el exponente L al que hay que elevar la base para obtener dicho nmero, es decir:

Logb N = L

bL = N

Ejem: Log2 32 = 5 Log4 64 = 3 Log5 25 = 2 En General Logb b = 1 b1 = b 2L = 32 4L = 64 5L = 25 Log3 81 = 4 Log10 10000 = 4 Log7 7 = 1 3L = 81 10L = 10000

Existen 2 tipos de logaritmos que se usan frecuentemente y son: a) LOGARITMOS DE BASE 10 (- DECIMALES - COMUNES BRIGGS -) y se denotan de la siguiente manera.

Log N = L

10N

b)

LOGARITMOS DE BASE e. ( - NATURALES NEPERIANOS - ) y se denotan de la siguiente manera.

In N

Qn

Donde e = Lim (1 + x)1/x x o

c = 2.718281828

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:1) 2) 3) 4)

Logb AB = Logb A + Logb B Logb A/B = Logb A = Logb B Logb An = n Logb A Logb nA = logb A1/n = 1/n logb A =

log

b

a/n

GRAFICA DE UNA FUNCIN LOGARITMICA y = log2 x - Obtener su inversa F : y = Log2 x 24 = x F* : 2x = y y X=2y 1 2 4 8 Y -3 -2 -1 0 1 2 3

y =log 2 x

x

D=x>0 R = y IR

Nota: Las funciones logartmica y exponencial son inversas. 5) Logb A =log F A Logb

Teoremas para calcular derivadas de F. Log y Exp. u = f(x)23) 24) 25) 26)

Dx loga u = 1/u loga e Dx u Dx In u = 1/u Dx u Dx au = au |n a Dx u D x eu = eu D x u

PROPIEDADES DE LOGARITMOS1) 2) 3) 4)

Logb AB = Logb A + Logb B Logb A/B = Logb A = Logb B Logb An = n Logb A log A Logb nA = logb A1/n = 1/n logb A = b n Logb A =log A Logb

5)

Teoremas para calcular derivadas de F. Log y Exp. u = f(x)23) 24) 25) 26)

Dx loga u = 1/u loga e Dx u Dx In u = 1/u Dx u Dx au = au |n a Dx u D x eu = eu D x u

Demostracin:1)

Dx loga u = 1/u loga e Dx u Dx loga x= Lim h 0 = Lim h 0 = Lim h 0

f ( x + h ) fx h

Log a a ( x + h ) log a x h log a ( x + h ) x x h x

D x log a x = Lim h 0

1x x +h log a xh x x h

x +h = Lim 1 log a x x h 0 h = Lim 1 log a 1 + x x h 0 Si Si =1 x c=

x

h

1 h = Lim 1 log a ( 1 + c ) c x x

h 0 C 0 Lim

C 01 c

log a ( 1 + c )

C 0 =1/x loga e

Aplicando la regla de la cadena: Dx loga u = 1/u loga e Dx u Demostracin del T. 25: Dx au = au |n a Dx u Y = au Obteniendo el In en ambos miembros In y = in au In y = u in a Derivando 1/y Dx y = Dx u ln = a Dx y = y In a Dx u Dx au = au a Dx u

Ejemplos: Calcular la Derivada de las siguientes funciones: y = log3 (x2-2) y1 = 1/(x2-2) log3 e Dx (x2-2) 2 = 1/(x -2) log3 e 2x y = 7tan(x3-x) y1 = 7tan(x3-x) In 7 Dx tan (x3-x) =7tan(x3-x) In 7 sec2 (x3-x) Dx (x3-x) =7tan (x3-x) In 7 sec2 (x3-x) (3x2-1) 5)f f

( = x) a n g1

c o t

e

x

e n x + c s

x D x e e n x ( = x) + c s = D x s e n 2 I + e x

( )

x

e x Dx x = x + e s e n x c o s I + e 2

x

DERIVACIN LOGARITMICA: Es un mtodo utilizado para obtener la Derivada de FUNCIONES COMPLEJAS como por ejemplo cuando se tiene una funcin elevada a otra funcin, consiste en la siguiente: 1) 2) Se obtiene el In en ambos miembros de la ecuacin y se simplifica utilizando las propiedades de Log. Se obtiene la derivada en ambos miembros de la ec.

3)

Se simplifica la ecuacin (es decir se despeja y1)

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin y = (tan 2x)(3x2-x) |n y = (tan 2x)(3x2-x)y =ta n 2x

(3 x

2

x

)

|n y = (3x2 x) |n tan 2x Dx |n y = Dx (3x2-x) |n tan 2x 1/y y1 = (3x2-x) Dx |n (tan 2x) + |n (tan 2x) Dx (3x2-x) __1__ y1 = y[(3x2-x) tan 2x sec2 2x Dx(2x) + (6x-1)] y1=(tan 2x)(3x2-x) [(3x2-x) cat 2x sec2 2x (2) + |n 8tan 2x) (6x-1)]

TEOREMA: 27) Dx Uv = Uv- v DxU + Uv Dxv In U

Demostracin: En forma general si U V son 2 funciones tales que y = UV, derivada es: Y = Uv In y = In Uv In y = v In u Derivando

Ty y1 = v Dx In u + In u Dx v Y1 = y [u 1/u Dx u + In u (v1)] Dx uv = u1 [v u-1 + v1 In u] Dx uv = uv-1 v u1 + uvv1 In u

y = (4x3 2x)sen 3x u = 4x3 2x u1 = 12x2 2

V= sen 3x V1 = cos 3x Dx 3x V1 = cos 3x (3)

y1 = (4x3 2x)(sen3x)-1 sen 3x (12x2-2) + (4x3 2x)sen 3x (3) cos 3x In 4x3-2x Y = (arc tan x2)In x2 U = arc tan x2 U1 = Dx x2 1+(x2)2 u = 2x_ 1+x4 U = In x2 V1 = 1/x2 DxX2 V1 = 1/x2 2x V1 = 2x/x2

Y1 = (arc tanx2)(im x2)-1 Inx2( 2x ) + )arc tan x2)In x2 (2x/x2) In (In x2) (1+x4) y=(c ) u=c3x-1 u1=c3x-1 Dx (3x-1) u1 = 3e3x-1 T. y1 = uv-1 v DxU + Uv Dxv |n u3x-1 sec2x3

Ty= uv1 vu1 + uu v1 |n u v= sec2 x3 v1 = 2 sec x3 Dx (sec x3) v1 = 2sec x3 sec x3 tan x3 Dx x3 v1 = 6x2 sec2 x3 tan x3

y1 = (e3x-1)sec2 x3-1 sec2 x3 (3e3x-1) + (e3x-1)sec2 x3 (6x2 sec2 x3 tan x3) |n e3x-1 y = x4x2-2x+3 u=x u1 = 1 v = 4x2 -2x +3 v1 = 8x-2

y1 = x4x2-2x+2 (4x2 -2x + 3) + x4x2-2x+3 (8x-2) |n xDERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIN La derivada de una funcin real de variable real es tambin una funcin, que se llama DERIVADA ORDINARIA 1 DERIVADA DE LA FUNCIN. La derivada de la derivada de una funcin es tambin una funcin y se llama SEGUNDA DERIVADA La derivada de la 2 derivada de una funcin es tambin una funcin que se llama: TERCERA DERIVADA, y as sucesivamente hasta obtener la "ENESIMA DERIVADA" +n - ensima. Notacin: Funcin y, f(x) 1 Derivada y1, Dxy, dy, f1(x), Dx f(x), df(x) dx dx II 2 2 ll 2 2 Derivada y , D xy, d y , f (x), D x f(x), d2f(x) dx2 dx2 3. Derivada ylll, D3x y, d3y , flll(x), D3xf(x), d2f(x) dx3 dx2

A las derivadas detenidas a partir de la 2 derivada tambin se les llama DERIVADAS SUCESIVAS de la funcin: Ejemplos: Calcula la 3 derivada de las siguientes funciones: 1) f(x) - x6 -3x2 +4x +1 2) y = sen 2x f'(x) = 6x5 - 6x +4 y' = cos 2x Dx 2x '' 4 f (x) = 30x -6 y' = 2 cos 2x f'''(x) = 120 x3 = 2 (-sen 2x Dx 2x) y'' = -4 sen 2x =-4 (cos 2x Dx 2x) y''' = -8 cos 2x3)

f(x) = x4 + 2x3 -3x2 + 4x -10 f'(x) = 4x3 +6x2 -6x + 4 f''(x) = 12x2 + 12x + 6 f'''(x) = 24x + 12 f''''(x) = 24 f'''''(x) = 0

4) 4-f(x) = sec x f'(x) = sec x tan x = sec x Dx tan x + tan x Dx sec x f''(x) = sec3 x + tan2 x sec x

DERIVACIN IMPLICITA Una funcin implcita es aquella funcin en la cual no se encuentra despejada ninguna variable en su regla de correspondencia. Ejem. F - {(x,y) | 3x2 + y4 = xy + 3} Para obtener la derivada de una funcin implcita se sigue el siguiente procedimiento: 1) Se deriva con respecto a alguna variable la funcin. 2) Se simplifica la ecuacin. 3) Se despeja la derivada de la variable que se desea obtener. Ejem. Obtener la Dxy para las siguientes funciones:F = ( x, y ) 3 x 2 + y 4 = xy + 3 Derivando 6x2 3 1

{

}

Dx y = y1

con respecto a " x"

+ 4 y y = xy 1 + y

4 y 3 y 1 = y 6 x 2 y 6 x 2 4y3 x 4 x 3 y 3 = 2 xy + y 4 y1 =

12 x 2 3 y 2 y 1 = 2 xy 1 + y 2 + y 1 3 y 2 y 1 2 xy 1 y 1 = 2 y 12 x 2 y 1 (3 y 2 2 x 1) = 2 y 12 x 2 y1 = 2 y 12 x 2 3 y 2 2 x 1

4 x 2 y x 2 = sen xy +sen x 4x 2 y 1 +8 xy 2 x = cos xy (xy2 1 1 1

+ y) + cos x

4x y +8 xy 2 x = xy cos xy + y cos xy +cos x y 1 ( 4 x 2 x cos xy) = y cos xy + cos - 8xy + 2x y cos xy + cos x - 8xy + 2x y1 = 4 x 2 x cos xy

Derivada de una raz cuadrada:y= u d u y'= 2 u

y = 7 5x y'= (5x 1/ 7 ) 1 (5x 6 / 7(5) ) 7 5 y'= 7 (5x 6 7 ) y'=

Derivada de un radical:y =n u y'= d u n1 n n u

y = 3 5x y'= (5x 1/ 3 ) 1 y'= 5x2 / 3 (5) 3 5 y'= 3 (5x 2 3 )

y = 4 (2x3 + 6 x 5)5 y'= y'= 5(2x3 + 6 x 5)4 (6 x4 + 6) 44 ((2x3 + 6 x 5)5 )3 5(2x3 + 6 x 5)4 (3x4 + 3) 24 (2x3 + 6 x 5)15

x+ 1 x 1 (x 1 1 (x+ 1 1 )( ) )( ) 2 (x 2) y'= x+ 1 2 x 1 x 1 x 1 (x 2)2 y'= x+ 1 2 x 1 2 (x 2)2 y'= x+ 1 2 x 1 2 y'= x+ 1 2 (x 12 ) x 1 1 y'= x+ 1 (x 12 ) x 1 1 y'= 2 (x 1 (x+ 11/ 2 ) ) 12 / (x 1 ) 1 y'= (x 1 x 11/ 2(x+ 11/ 2 )( ) ) 1 y'= (x 1 x 1 x+ 1 ) 1 y'= (x 1 x2 + 1 ) y=

6 x5 8 6 x5 + 8 240x4 y'= (6 x5 + 8) 36x10 64 y=

Derivada de la raz cuadrada del cociente de dos conjugados:y= y'= tv + k tv k dtv(k ) denom inado conjugado r

En este caso se utiliza el signo del denominador

_ Derivadas Trascendentales: (logaritmos, exponenciales, series, trigonomtricas) Existen 2 tipos de logaritmos: logaritmo decimal (su contrario es 10x) logaritmo natural (loge=ln) (su contrario es ex)

MAXIMOS Y MNIMOSFuncin creciente y funcin decreciente: Una funcin f(x) es creciente cuando su pendiente es positiva, es decir f(x)>0 y ser decreciente si su derivada es menor que cero f(x)0 entonces se tendra una estabilidad de precios. Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflacin continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores econmicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuacin (A2 B2)p(t) + (A1 B1)p(t) = B3 A3. Ejemplo: La demanda y oferta de un cierto bien estn en miles de unidades por D = 48 2p(t) + 3p(t), S = 30 + p(t) + 4p(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio. Solucin: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es, 48 2p(t) + 3p(t) = 30 + p(t) + 4p(t) = p(t) + 3 p(t) = 18 t=0

Resolviendo la ecuacin del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e De este resultado vemos que, s t, p6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios: Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesin, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario. Formulacin Matemtica: Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + t) = q(t) + q es la cantidad disponible en tiempo t + t. As tenemos que: Cantidad acumulada en intervalo t a t + t = q = q(t + t) q(t). S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t. D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t. Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +t estn dados aproximadamente por St y Dt respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por trminos que involucran (t) y mayores. As, cantidad acumulada en el intervalo t a t + t es igual a: St Dt + trminos con (t) o mayores. As q/t = S D + trminos con (t) o mayores. tomando el limite cuando t0, dq/dt = S D. De esta ultima ecuacin podremos decir que servir de base para el posterior anlisis sobre precios. Como una ilustracin, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que: dp/dt = dq/dt

Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuacin dp/dt = (S D). Puesto que S y D se pueden expresar en trminos de p, la ecuacin dp/dt = (S D) es una ecuacin diferencial para p.

Ejemplo: Suponga que la oferta y la demanda estn dadas en trminos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4. Escriba la ecuacin diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0 solucin: de la formula dp/dt = - dq/dt la ecuacin diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240 resolviendo esta ultima ecuacin diferencial tenemos que p = 12 + ce usando p = 8 en t = 0 da c = 4 y as p = 12 4e

BIBLIOGRAFIA IDEM LA EXPECIFICADA EN EL PROGRAMA DE LA MATERIA.