Universidad Nacional Autonoma deHonduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

FS-493 Laboratorio Avanzado 2

Calculando la viscosidad del agua usando untubo capilar

Alumno:Miguel Angel SerranoNumero de Cuenta:20101010059

Catedratico:M. Sc. Maximino Suazo

17 de Diciembre de 2014

Resumen

En el siguiente informe desarrollamos el calculo de la viscosidad del fluido masimportante en nuestro planeta, el agua. Se analiza el flujo de agua de una columnavertical a traves de un tubo capilar largo horizontal, para luego hacer una linealizacionde los datos medidos de altura en funcion del tiempo, con los cuales se logro obteneruna viscosidad de η = (9,3± 0,2) ∗ 10−4 kg

ms

Introduccion:

Una forma de caracterizar los materiales es mediante propiedades de las sustancias, talcomo es la viscosidad. En nuestro caso tenemos una muestra de agua de grifo (agua de lallave), y nos podemos interrogar ¿Cual es la viscosidad de nuestra muestra de agua? Medianteel uso de la ecuacion de Poiseuille podemos describir el flujo de un fluido a traves de un tubocapilar, con esto podriamos modelar el decaimiento de la altura de una columna verticalde agua con mediciones sencillas, con los cuales mediante una manipulacion matematicaobtendremos la viscosidad de nuestra muestra de agua, para despues ser sujeta a comparacioncon datos tabulados en textos y demas fuentes, para establecer si hay una diferencia notableque nos podrıa sugerir que la muestra utilizada en el experimento esta contamidada.

Objetivos:

• Determinar el valor de la viscosidad de una muestra de agua de grifo, y establecer sihay una diferencia en la viscosidad de nuestra muestra de agua en comparacion conlos datos tabulados en libros o manuales.

• Determinar si el agua que fluye por las tuberias de la Universidad Nacional Autonomade Honduras esta contaminada midiendo su viscosidad dinamica.

Marco Teorico:

Cuando una columna de agua vertical fluye a un tubo capilar horizontal largo, nosotrosobtenemos un ejemplo de decaimiento exponencial. El montaje propuesto es un tubo largocolocado verticalmente al cual nosotros conectamos un tubo capilar mediante el uso de unaunion (ver Figura 1), para hacer una simulacion de dicho decaimiento.

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Figura 1: Montaje

El flujo a traves del sistema sigue la ecuaciıon de Poiseuille como se habia mencionadoanteriormente:

Q = π(P1 − P2)r4

8ηL(1)

Donde Q es el flujo volumetrico por unidad de tiempo, P1, P2 son las presiones en los extre-mos de los tubos, r es el radio del tubo capilar, L es la longitud del tubo capilar y η es laviscosidad.

Por otra parte nosotros podremos expresar el flujo volumetrico en terminos de la geometrıadel sistema:

Q = −Adhdt

(2)

Donde A es el area transversal del tubo vertical, y el termino dhdt

es la variacion de la altura conrespecto al tiempo, el signo negativo se introduce por el hecho de que la altura va decreciendo.

La presion presente en los tubos es la presion atmosferica para el tubo capilar, y la pre-sion atmosferica mas la presion hidrostatica (ρgh):

P1 = Po + ρghP2 = Po

P1 − P2 = ρgh

Si igualamos las ecuaciones (1) y (2) y ademas sustituimos la diferencia de presiones podemosllegar a una expresion diferencial para h(t):

2

−Adhdt

= π(ρgh) r4

8ηLdhdt

= −πρgr4

8ηLAh

Nombramos el termino de decaimiento exponencial como ξ = πρgr4

8ηLAy resolvemos la ecuacion

diferencial mediante el metodo de variables separables llegamos a la expresion:

h = hoe−ξt

Donde ho es la altura inicial del sistema o h(t = 0).

Finalmente, hacemos una linealizacion a la expresion anterior para poder ajustar los da-tos experimentales y luego despejar para el valor de la viscosidad.

Ln(h) = Ln(hoe−ξt)

Ln(h) = Ln(ho)− ξt (3)

Al hacer el ajuste lineal encontraremos un valor para ξ por lo cual finalmente obtendria-mos una expresion para la viscosidad como se muestra a continuacion:

η =πρgr4

8ξLA(4)

OBSERVACION: Los datos A y r no seran medidos directamente con un instrumento,se haran mediciones indirectas para obtener un valor mas acertado, debido a que la medicionde dichas variables son de crucial importancia para obtener mejores resultados.

Equipo y Materiales:

(I) Cinta Metrica

(II) Soporte

(III) Tubo transparente

(IV) Tubo capilar

(V) Materiales de fontanerıa para lograr la union

(VI) Cinta Adhesiva

(VII) Cronometro

(VIII) Embudo

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Figura 2: A la izquierda el tubo vertical, a la derecha el tubo capilar

Procedimiento:

Es de vital importancia tener un buen valor de A y de r ya que la medicion final dependede ellos, por lo cual, en vez de hacer una medicion directa los mediremos por metodosindirectos

Procedimiento 1: Determinando el Area del Tubo Vertical

(I) Preparar el montaje de manera que el tubo quede de manera vertical y una lectura dela altura sea facil.

(II) Llenar el tubo con agua hasta obtener una altura de aproximadamente 5cm, mida esaaltura.

(III) Dejar caer el agua en una probeta y mida el volumen.

(IV) Llenar el tubo hasta obtener una altura de aproximadamente 10cm mas que la alturaanterior, mida esa altura.

(V) Dejar caer el agua en una probeta y mida el volumen.

(VI) Repetir pasos IV y V hasta tener un numero apropiado de datos (mayor que 8).

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Procedimiento 2: Determinando el Radio del Tubo Capilar

(I) Medir la longitud del tubo capilar.

(II) Medir la masa del beaker.

(III) Llenar el tubo capilar con agua.

(IV) Vaciar el agua en un beaker

(V) Repetir pasos (III) y (IV ) un poco mas de 10 veces.

(VI) Medir la masa del beaker y el agua.

Observacion: La masa del agua deberia de ser de al menos 50g. de no ser asi, llenar y vaciarel tubo capilar unas cuantas veces mas.

Procedimiento 3: Mediciones del Altura vs. el Tiempo

(I) Armar el montaje que es mostrado en la figura 1, asegurandose de que el tubo verticaleste perpendicular con el suelo.

(II) Medir tanto la temperatura ambiente, como la del agua.

(III) Pegar la cinta metica al soporte de manera que se pueda medir distintas alturas duranteel tiempo de descarga.

(IV) Opcional Pegar cinta adhesiva cada 5 o 10 centimetros para facilitar las lecturas detiempo. (Ver Figura 3)

(V) Llenar el tubo con agua, con la ayuda de un embudo.

(VI) Familiarizarse con la descarga y medir los datos (altura y tiempo), medir al menosunos 10 datos asegurandose de tomar datos no tan cerca a la union.

Observacion: El desarrollo de este experimento es mas facil si hay una persona ayudan-do, ej: una persona llena el tubo con agua, mientras la otra esta lista para medir los tiemposy alturas.

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Figura 3: Marcas cada 5cm para facilitar las mediciones de altura

Tabla u Hoja de Datos:

Las pimeras dos tablas mostradas son las correspondientes a los primeros dos procedi-mientos.

n V(mL) h(m)

1 5,0± 0,5 0,056± 0,001

2 13,5± 0,5 0,166± 0,001

3 19,5± 0,5 0,246± 0,001

4 24,5± 0,5 0,307± 0,001

5 34,5± 0,5 0,423± 0,001

6 40,5± 0,5 0,504± 0,001

7 50,5± 0,5 0,620± 0,001

8 57,0± 0,5 0,694± 0,001

9 65,5± 0,5 0,798± 0,001

10 76,0± 0,5 0,894± 0,001

MasaBeak(g) 133,0± 0,1

MasaBeak+Agua(g) 187,4± 0,1

Longitud (m) 1,210± 0,001

Longitudes Vaciadas 13

ρ(kg/m3) 999.97

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La tercera tabla es la correspondiente al Procedimiento 3:Estas cantidades obviamente estan incompletas porque no tienen una incertidumbre, en este

n t(s) h(m)

1 0 1.12 1.01 1.053 2.04 14 3.01 0.955 4.12 0.96 5.25 0.857 6.34 0.88 7.49 0.759 8.96 0.710 10.43 0.6511 11.94 0.612 13.72 0.5513 15.78 0.514 17.54 0.4515 20.05 0.416 22.69 0.3517 25.67 0.318 29.39 0.25

Datos de Altura vs. Tiempo

caso dejamos ambas a criterio propio, ya que a mi criterio cuando medimos por cronometrotenemos un error humano mas significativo que el del instrumento:∆h = 0,003m∆t = 0,1sAdemas reportamos el valor de la temperatura del ambiente como T = 21±1◦C, sin embargola lectura hecha en el agua fue de Th = 22 ± 1◦C, que sera el valor de tempertatura quetomaremos.

Tratamiento de Datos Experimentales:

Primero se usara la primera tabla para encontrar el area de la siguiente manera:

V = Ah

Los datos proporcionados estan en mL recordando que 1mL = 1cm3, haremos una regresion lineal con los datos, notemos que la pendiente de la regresion sera el area del tubo. Ob-servemos el ajuste generado en en programa GNUPLOT:

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Figura 4: Ajuste para encontrar el area

Tras dicho ajuste podemos encontrar el valor del area del tubo vertical que es de:

A = (8,19± 0,09) ∗ 10−5m2

Lo siguiente que podemos calcular es el radio del tubo capilar, usaremos la formula dedensidad y despejando para r2 obtenemos:

r2 = mπρh

De esta manera nosotros podemos encontrar r2, ∆r2 (teniendo el cuidado de usar lasunidades correctas) :

r2 =MasaBeak+Agua−MasaBeak

13∗π∗L∗ρ〈r2〉 = 1,099 ∗ 10−6m2

r2max = 1,104 ∗ 10−6m2

r2max = 1,094 ∗ 10−6m2

∆r2 =r2max−r2min

2

∆r2 = 5 ∗ 10−9m2

El radio al cuadrado del tubo capilar que reportamos es:

r2 = (1,099± 0,005) ∗ 10−6m2

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Lo que falta analizar es la linealizacion que haremos para encontrar la constante de tiem-po ξ y luego despejar para finalmente encontrar la viscosidad de nuestra muestra de agua.Primeramente es necesario encontrar el logaritmo natural de las alturas, la siguiente tabla,es la tabla con la cual haremos la regresion lineal de Ln(h)vs.t:

n t(s) Ln(h)

1 0 0.095310182 1.01 0.0487901643 2.04 04 3.01 -0.0512932945 4.12 -0.1053605166 5.25 -0.1625189297 6.34 -0.2231435518 7.49 -0.2876820729 8.96 -0.35667494410 10.43 -0.43078291611 11.94 -0.51082562412 13.72 -0.59783700113 15.78 -0.69314718114 17.54 -0.79850769615 20.05 -0.91629073216 22.69 -1.04982212417 25.67 -1.20397280418 29.39 -1.386294361

Mostrando la linealizacion, a pesar de no ser relevante para el informe cabe notar quetome los tiempos 5 veces, y de estos datos eran los que mejor se ajustaban al modelo lineal(esto se puede notar nıtidamente en la grafica).

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Figura 5: Ajuste para encontrar ξ

De donde nosotros reportamos:

ξ = (0,0507± 0,0001)s−1

Finalmente podemos calcular el valor de la viscosidad del agua de manera experimentalutilizando la ecuacion (4).

η = πρg(r2)2

8ξLA

〈η〉 = 9,2605 ∗ 10−4 kgms

ηmax = 9,4752 ∗ 10−4 kgms

ηmin = 9,0513 ∗ 10−4 kgms

∆η = ηmax−ηmin

2

∆η = 0,2 ∗ 10−4 kgms

El valor experimental de la viscosidad del agua en este experimento es de:

η = (9,3± 0,2) ∗ 10−4 kg

ms

Para observar que tan bien fue nuestro experimento, nada mas falta calcular el error eincertidumbre relativa porcentuales, compararemos con un valor teorico de η = 9,5∗10−4 kg

ms:

I % = ∆ηη∗ 100

I % = 2,2 %

E% = ηt−ηexpηt∗ 100

E% = 2,1 %

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Discusion de Resultados Experimentales:

Como podemos observar, a pesar del largo proceso para determinar la viscosidad del aguamediante el experimento planteado anteriotmente,podemos concluir que es un metodo exito-so, ya que no solo pudimos calcular la viscosidad sino que tuvimos un error experimental del2,1 % ; esto es en comparacion al valor teorico de la viscosidad del agua a una temperaturade 22◦C, sin embargo debemos de tomar en cuenta que la temperatura reportada fue deT = (22± 1)◦C lo que nos sugiere la posibilidad que la temperatura del agua utilizada es de23◦C, con lo cual el error experimental se reduce a 0,3 %.

Podemos ver que la incertidumbre porcentual es de 2,2 % lo cual es un gran logro debido aque para llegar al calculo final de la viscosidad necesitamos usar dos mediciones indirectas, yque la incertidumbre para medir los volumenes era muy alta, lo cual hace que las medicionesde A y r tengan una incertidumbre mayor.

Lastimosamente no pudimos conseguir un tubo vertical mas grande o un tubo capilar maspequeno en diametro (o ms largo en su defecto). De haberlo hecho el flujo de agua habrıasido mas lento y se hubiera podido tomar un numero mas significativo de datos con menosdificultad. Con fin de obtener las mejores mediciones posibles se hizo la toma de datos delos tiempos 5 veces.

En general puede decirse que este es un experimeno muy interesante que puede ser uti-lizado para obtener mas informacion, por ejemplo, podriamos usar el mismo montaje (denuevo seria mejor si las dimensiones de los tubos son optimizadas) e introducir una pequenavariante. Es posible plantearse como problema la determinacion de la aceleracion debido ala gravedad. El mismo analisis teorico es necesario, pero en cambio la pendiente de la linea-lizacion seria despejada para el valor g. Incluso se podrı’a preparar el montaje para un flujomas lento del agua si el laboratorio en el cual se trabaja tiene una temperatura baja, de estamanera la viscosidad del agua seria mayor.

Conclusiones:

• El calculo de la viscosidad dinamica del agua mediante un analisis del decaimientoexponencial del flujo volumetrico en un tubo capilar es satisfactorio ya que se logrocalcular experimentalmente con un error bajo (2,1 %) al compararlo con un valor teoricotabulado en textos, con lo que pondemos concluir que el equipo es adecuado pararealizar este experimento.

• Debido a que el valor obtenido de la viscosidad dinamica del agua de la UNAH nopresento una variacion con los datos presentados en las tablas de viscosidad se concluyeque el agua que fluye en las tuberias de la Universidad Nacional Autonoma de Hondurasno esta contaminada.

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Referencias

[1] Symon, Keith R., ”Mechanics”Capitulo 8, Tercera Edicion.

[2] Smithson, J. R., Pinkston, E. R. ”Half Life of a Water Column as a Loboratory Ex-cercise in Exponential Decay”.

[3] www.vaxasoftware.com/dox edu/qui/viscoh2o.pdf

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