c u r s o matemática material n° 22 · ¿cuál es el dominio de la función f(x) = 2 1 ......

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 18

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES

DEFINICIÓN Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como:

f: A → B x → f(x) = y

� Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es pre-imagen de f(x) = y.

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [0, 2]? A) B) C)

D) E) 2. ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al recorrido de f(x) = x2 – 1?

A) 2 B) 0,5 C) -1 D) -0,5 E) -2

x y

1 2 3 4 5 5,5 6

2 3 3 2,5 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 x

y

Recorrido

Dominio

0

C u r s o : Matemática

Material N° 22

y

x 1 2

y

x 1 2

y

x 1 2

y

x 1 2

y

x 1 2

2

3. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa una función en el intervalo [a, b]?

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = 2

1

1 x−

?

A) lR – 2{1} B) ]-1, 1[ C) lR – {-1, 1} D) [-1, 1] E) lR – [-1, 1]

5. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) = x + 9 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Dom f = lR II) La imagen de -5 es 4. III) La pre-imagen de 3 es 0.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

6. Sea f: lR → lR, una función definida por f(x) =1

x 4− . ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es falsa?

A) x = 0 no tiene imagen. B) para todo x > 4, f(x) es positivo. C) la pre-imagen de 1 es 5. D) la imagen de 4 es 0. E) 0 no tiene pre-imagen.

y

a b x

y

a b x

y

a b x

3

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda.

Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente

disminuye. Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable

dependiente toma un único valor.

EJEMPLOS 1. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 2] es creciente?

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

2. Si f(x) es la función señalada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) f(1) < f(4) B) f(2) < f(4) C) f(3) < f(1) D) f(4) < f(2) E) f(2) < f(3)

3. Con respecto al gráfico de la función f de la figura 2, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) f(2)= f(4) B) f(0) > f(2) C) f(1)> f(3) D) f es decreciente en el intervalo [0, 2] E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]

y

x 1 2

y

x 1 2

y

x 1 2

y

x 1 2 3 4

3 fig. 1

x 1 2 3 4

1

4

y

fig. 2

4

4. Si f(x) = -5, entonces ¿cuál es el valor de la expresión 5 + f(-5) · f(0)?

A) -20 B) 10 C) 5 D) 20 E) 30

5. A partir de los gráficos de la figura 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) f(x) es creciente. II) g(x) es creciente. III) h(x) es decreciente.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

6. A partir de los gráficos de la figura 4, ¿cuál de los siguientes valores es equivalente al

valor de (f(3) – g(2)) · f(2)?

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2

7. Si f(x) = x2, entonces ¿cuál es el valor de f(a – b)?

A) a2 + b2 B) a2 – b2 C) (a +b)2 D) (a – b)2 E) (ab)2

g(x)

f(x)

h(x)

y

x

fig. 3

fig. 4

g(x) 1

f(x)

2 3 x

3

y

5

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función. � La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el

desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (fig. 1 y 2). � La función y= f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el

desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (fig. 3 y 4).

� La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x.

Si h y k son positivos, entonces:

y = f(x – h) y = f(x + h) y = f(x) + k y = f(x) – k � La función y = -f(x) es la función f(x) reflejada respecto al eje Ox ( eje de las abscisas)

EJEMPLOS 1. La gráfica de la función y = g(x) es la que aparece en la figura 1. ¿Cuál es la gráfica de

y = g(x – 1)? A) B) C) D) E)

x

y

fig. 1 x

y

fig. 2

x

y

fig. 3

x

y

fig. 4

fig. 1

y

-1 1 x

y

x -2

y

x 2

y

x 2

y

x -1

y

x -1

y

y = f(x)

y = -f(x)

x O

6

2. La gráfica de la función y = 21 x− está en la figura 2

¿Cuál es la gráfica de la función y = 1 – 2x1 − ?

A) B) C) D) E) 3. Si el gráfico de la función y = x2 se desplaza una unidad hacia la izquierda, ¿cuál es la

ecuación de la nueva función?

A) y = x2 – 1 B) y = x2 + 1 C) y = 1 – x2 D) y = (x + 1)2 E) y = (x – 1)2

4. La gráfica de la función y = 3 x es la que aparece en la figura 3. ¿Cuál es la gráfica de

y =1+ 3 1x − ? A) B) C) D) E)

x

y

fig. 2

x

y

x

y

x

y

x

y y

x

y

x

fig. 3

y

x 1

y

x -1

1

y

x 1

y

x 1

y

x 1

1

7

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por x, es siempre un número real no negativo.

f(x) = x = x si x 0-x si x < 0

≥, x ∈ lR

Representaciones gráficas f(x) = x f(x) = -x

EJEMPLOS 1. ¿Cuál es la gráfica de la función y = x – 1?

A) B) C) D) E) 2. ¿Cuál es la función que está representada por el gráfico de la figura 1?

A) f(x) = 1 +x + 1 B) f(x) = 1 +x – 1 C) f(x) = 1 –x + 1 D) f(x) = x – 1 – 1 E) f(x) = x + 1 –1

-1

-2

1

2 -1 -2

y

x 0

1

2

0 1 2

-1 -2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

fig. 1 1

-1

8

2. ¿Cuál es la función que está representada por el gráfico de la figura 2?

A) y = 2 +x + 1 B) y = 1 + x – 2 C) y = 1 – x + 2 D) y = x – 2 – 1 E) y = 2 – x – 1

3. Si f(x) = |x| – x + 1,5, ¿cuál es el valor de f(-1,5)?

A) 4,5 B) 1,5 C) 0 D) -1,5 E) -4,5

4. Si f(x) = 3 – x – 2, entonces f(x + 2) + 1 es

A) 1 – x – 1 B) 5 – x – 1 C) 1 – x – 3 D) 5 – x – 3 E) 3 – x – 3

5. Si S(x)= 3 – x+x, ¿Cuál es el valor de S(-7) – S(7)?

A) 14 B) 3 C) 0 D) -8 E) -14

y

x

fig. 2 2

1

9

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es f(x) = [ x ] OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

EJEMPLOS 1. ¿Cuál es el valor de la expresión [1 – 0,3] + [1 + 0,3]?

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) -1

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas(s)?

I) [0,99] = 1 II) [-0,99] = -1 III) [0,5] = 1


f(x) = [[[[ x ]]]] con x ∈∈∈∈ lR

x f(x) -1,7

-1 -0,3 0 0,5 1 1,6 2 2,3

-2 -1 -1 0 0 1 1 2 2

1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1

-2

-3

-4

1

2

3

4

y

x

10

3. ¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura 1?

A) [x + 1] B) [x – 1] C) 1 – [x] D) -[x] E) [-x]

4. La función correspondiente al gráfico de la figura 2 es

A) [x] B) [x – 1] C) 1 – [x] D) 1 + [x] E) [1 – x]

2. Cierta pintura se vende en tarros de 1 litro que alcanza para cubrir una superficie de

5 metros cuadrados. ¿Cuál de las siguientes funciones representa el número de tarros (n) a comprar para cubrir una superficie de x metros cuadrados?

A) B) C) D) E)

1

-2

2

1 fig. 1

x

y

-1

-1

1 2 3 -1 -2 -1

-2

1

2

3

y

x

fig. 2

1

n

m2 5 10 15 20

1

n

m2 5 10 15 20

1

n

m2 5 10 15 20

1

n

m2 5 10 15 20

1

n

m2 5 10 15 20

11

APLICACIONES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es

necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La

función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.

EJEMPLOS 1. Por cada 180 metros de altura la temperatura del aire disminuye en 1º C. Si la

temperatura en un lugar es de 23 ºC, ¿cuál es la fórmula que permite calcular la temperatura de un punto situado a x metros sobre él?

A) T(x) = 23 + x

180

B) T(x) = 23 – x

180

C) T(x) = 23 + 180x D) T(x) = 23 – 180x

E) T(x) = 23 – x18

2. El plan telefónico contratado por Jimena le permite hablar hasta 6 horas por un costo de

18 mil pesos, pero por cada minuto extra se cancela $ 100. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el costo en función de los minutos hablados?

A) B) C) D) E) 3. Una prueba tiene un máximo de 26 puntos. Si se desea convertir el puntaje x de la

prueba a notas de 1 a 7 aplicando una escala lineal ¿Cuál es la fórmula a utilizar?

A) N(x) = 26x + 1

B) N(x) = 6x26

+ 1

C) N(x) = 26x6

+ 1

D) N(x) = 6x + 126

E) N(x) = 26x + 1

6

$

min

$

min

18.000

$

min 360

$

min

18.000

360

$

min

18.000

360

12

4. El aceite se envasa en botellas de 750 cc, ¿qué fórmula permite determinar el número B de botellas necesarias para envasar x cc de aceite, si todas las botellas deben ir llenas?

A) B(x) = 750x

B) B(x) = x

750 + 1

C) B(x) = x

750 – 1

D) B(x) = x750

E) B(x) = x750

+ 1

5. El tío Gabito transporta escolares en vehículos de capacidad de hasta 6 personas. ¿Cuál

de las siguientes fórmulas determina el número V de vehículos necesarios para transportar x escolares?

A) V(x) = x6

B) V(x) = x6

– 1

C) V(x) = x6

+ 1

D) V(x) = x 16−

+ 1

E) V(x) = x 16−

6. Jorge utiliza un modelo lineal para determinar el precio de sus panes de Pascua. El pan de

medio kilo cuesta $ 1.800 y el de 1 kilo $ 2.400, ¿cuál de las siguientes fórmulas es la utilizada?

A) P(x) = 1.200x + 1.200 B) P(x) = 2.000x + 400 C) P(x) = 1.000x + 1.400 D) P(x) = 1.100x + 700 E) P(x) = 1.300x + 500

13

EJERCICIOS 1. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [0,2]?

A) B) C) D) E) 2. La figura 1, muestra el gráfico de una función y = f(x), definida en los reales. ¿Cuál es el

valor de [f(3) – f(-3)] · f(1)?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6

3. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [-2, 2]?

I) II) III)


x

y

2 x

y

2

y

x 2 ο

y

x 2

y

x 2

fig. 1

y

x

-1

2

3 2 -3

x

y

2

1

-2 x

y

2

1

-2 x

y

2

1

-2

14

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto a la función f(x) representada en la gráfica de la figura 2?

I) dom f = [0 , 2] II) rec f = [0 , 1] III) f es creciente.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

5. De acuerdo al gráfico de la curva f(x) de la figura 3, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La función es creciente en [-2, 2]. II) f(-0,5) = f(0,5) III) f(-1,5) =f(1,5)


6. La gráfica de la figura 4, muestra la altitud alcanzada por un avión durante un vuelo de

2 horas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre la gráfica es (son) verdadera(s)?

I) El avión voló durante 45 minutos sobre los 5000 metros. II) Su altitud máxima no superó los 6000 metros. III) Su descenso fue más rápido que el ascenso.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

ο

y

x 2 1

1

fig. 2

y

x 2 1

fig. 3

-1 -2

0 30 60 90 120

2.000

4.000

6.000

min

metros

fig. 4

3.000

5.000

15

7. De acuerdo al gráfico de la figura 5, que representa la cantidad de dinero en un cajero automático a partir de las 0 horas del lunes, ¿cuál de las opciones siguientes es falsa?

A) Las reposiciones se hacen a mediodía B) Lunes y jueves se agota el dinero C) El día lunes se retira menos dinero que el jueves. D) El día lunes se retira más dinero que el martes. E) El día lunes se detecta el mínimo de retiros.

8. Para calcular el puntaje de una prueba de 45 preguntas por cada 5 respuestas incorrectas

se descuenta una correcta y por cada respuesta correcta se asignan 10 puntos, más 100 puntos de base. ¿Cuál es la función que representa el puntaje para quien responde toda la prueba teniendo x respuestas correctas?

A) p(x) = 12x + 100 B) p(x) = 20x +10 C) p(x) = 12x + 10 D) p(x) = 6x + 100 E) p(x) = 4x + 100

9. Si f(x)= 3x, g(x) = x3 y h(x)= 3x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) g( 3 ) = h( 3 ) II) 2 · f(2) = 3 · h(2) III) h(x) < g(x) < f(x) para todo x mayor a 3.


10. El gráfico de la función f(x)= px3 + q está representado en la figura 6, ¿cuál es el valor de

p?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

fig. 5

0 12 24 36 48 60 72 84 96 horas

Cantidad $

lun mar miér jue

fig. 6 16

-2 2 x 0

16

11. Margarita dispone de 45 días de vacaciones y decide pasar x días en la costa. Si un tercio del tiempo restante lo pasa en el campo y lo que queda permanece en su casa, ¿cuánto gastará en sus vacaciones si un día en la costa sale a $ 27.000 y un día en el campo a $ 18.000?

A) 27.000x + 18.000(45 – x) B) 27.000x + 6.000(45 – x) C) 9.000x + 6.000(45 – x) D) 6.000x + 9.000(45 – x) E) 18.000x + 9.000(45 – x)

12. La función f(x) se define como la diferencia positiva entre la cuarta potencia de x y la

unidad. Entonces, ¿cuál es la expresión de f(x)?

A) 4x – 1 B) x4 – 1 C) 1 – x4 D) 4x – 1 E) x4 – 1

13. Una sala con capacidad para 200 espectadores presenta una obra infantil. Los niños

pagan $ 1.500 y los adultos $ 2.500. Si la sala está llena, ¿cuál es el valor recaudado en entradas en función del número x de niños asistentes?

A) V = (200 – x)2500 + 1500x B) V = (200 – x)1500 + 2500x C) V = (x – 200)2500 + 1500x D) V = (x – 200)1500 + 2500x E) V = (200 + x)2500 + 1500x

14. Se define la función M(x) = x – [x]. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones sobre la

función es (son) verdadera(s)?

I) M(3,45) = 0,45 II) M(x) = 0 si x es entero III) M(x) ≥ 0

A) Sólo I B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

15. ¿Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 7?

A) f(x) = 3 +x – 2 B) f(x) = 3 – x + 2 C) f(x) = 1 –x + 3 D) f(x) = x – 3 – 1 E) f(x) = x + 1 + 2

y

x

fig. 7 3

-2

1

17

16. Para todo número real se define f(x) como

f(x)=

-x si x < 0

4 x 4 si 0 x 8

-4x si x > 8

− − ≤ ≤

Entonces, ¿cuál es el valor de f(-4) – f(2) – f(10)?

A) 42 B) 46 C) 40 D) -30 E) -42

17. La gráfica de la figura 8, corresponde a la función y = 3 – x – 3. El área del triángulo

achurado es

A) 24 cm2 B) 18 cm2 C) 12 cm2 D) 9 cm2 E) 6 cm2

18. Un globo aerostático asciende verticalmente a velocidad constante. Si en el instante

inicial se encontraba a una altura de 50 metros y a los 10 minutos ya había alcanzado 250 metros de altura, ¿cuál es la función que representa la altura H en función del tiempo t, en minutos de ascensión?

A) H(t) = 50 + 20t B) H(t) = 50 + 250t C) H(t) = 50 + 50t D) H(t) = 50 + 10t E) H(t) = 250 + t

19. El exceso de un número y sobre el cuádruplo de otro número x es igual a 5, entonces ¿cuál es la expresión para y en función de x?

A) y = x4 – 5 B) y = 5 – x4 C) y = 5 – 4x D) y = 4x – 5 E) y = 4x + 5

y cm

x cm

fig. 8

18

20. Si A es el área de un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa c, entonces A en función de c se expresa como

A) A(c) = 2c2

B) A(c) = c2

C) A(c) = 2c2

D) A(c) = 2c4

E) A(c) = 2c8

21. Si f(x) = 3x, entonces 3 · f(3x) es igual a

A) 9x B) 27x C) 9x2 D) 27x2 E) ninguna de las expresiones anteriores.

22. El valor de la entrada a un evento depende de la edad, como se indica en el gráfico de la

figura 9. De acuerdo a estas tarifas, ¿cuánto cancela un grupo compuesto de 5 adultos de edades 66, 60, 45, 39 y 20 años y dos niños de 2 y 10 años?

A) 7.500 B) 9.000 C) 10.500 D) 12.500 E) 14.500

23. Si h(x) = x – x1, entonces h(2) – h 1

2

=

A) 4 B) 3 C) 0 D) 5 E) -1

edad

valor

3.000

1.500 1.000

7 12 60

fig. 9

19

24. Juanito decide reducir su peso de manera gradual bajando una décima parte de su peso cada semana. Si su peso actual es 108 kg, ¿cuál será su peso p en n semanas más?

A) p = 108 (0,1)n B) p = 108 (0,1)n – 1 C) p = 108 – 0,9n D) p = 108 (0,9)n E) p = 108 (0,1)n – 1

25. Se puede calcular el valor de x – [x], si :

(1) x es entero.

(2) x es cero.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

26. El gráfico de la función f(x) = x + a + b se puede obtener si :

(1) Se conoce el valor de a y de b.

(2) b = 0


27. El peso de un niño en sus primeros días de vida se puede considerar como una función

de su edad medida en días. Se puede calcular el peso del niño a los veinte días, si :

(1) Se conoce el peso al nacer.

(2) Se conoce el peso a la semana.


20

28. El gráfico de la figura 10, corresponde a la función f(x)= x – a + b si :

(1) a > 0

(2) b > 0


29. Se definen f(x) = g(x) · g(x – 2). Se puede determinar el valor numérico de f(2) si :

(1) g(2) = 4 y g(0) = 0

(2) g(x) =2x


30. El gráfico de la figura 11, corresponde a una función lineal. Se puede determinar el área

del trapecio OABC si :

(1) Se conoce las coordenadas del punto B.

(2) Se conoce las coordenadas del punto C.


DMDMA22

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/

y

x

fig. 10

y

x

fig. 11

A

C

O

B

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