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INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PILAR

BUCARAMANGA - SANTANDER

GUÍA DE APOYO HABILITACIÒN

11º CÁLCULO

EVALUACIÓN

SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

Resolver una desigualdad consiste en encontrar el intervalo que cumpla con dicha relación de orden. Es decir, se tratará de despejar la variable de la misma forma como se hacía en las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades enunciadas con anterioridad. Para que verifique si su respuesta es correcta, tome algunos números del intervalo solución y reemplácelos en la desigualdad inicial, si esta se cumple es solución, si no, no lo es. De acuerdo a la clase de desigualdad existen procesos que nos llevan a poder encontrar su solución, a continuación se realizará el estudio de cada una de ellas.

DESIGUALDADES LINEALES Son desigualdades en las cuales el mayor exponente de la variable es 1, su proceso de solución es el mismo que se usa para resolver una ecuación lineal, el único cambio es que si se necesita multiplicar o dividir por un número negativo, entonces, tenemos que cambiar el sentido de la desigualdad (propiedades 4 y 6 de monotonía).

Ejemplo: Resolver la inecuación xx 2734

Solución: 5

33547232734 xxxxxx

Respuesta: Gráficamente: En pareja

5

3,

En conjunto

5

3/ xx

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Se llamará una inecuación cuadrática aquella en la que su variable tenga exponente dos (2).

Ejemplos: 0163 2 xx 093 2 x 042 2 xx 02 x

Para resolver una inecuación cuadrática podemos usar uno de los dos métodos siguientes: Primer Método: Ley de las cruces o del cementerio 1. Desigualar a cero (teniendo en cuenta que la variable cuadrada quede positiva). 2. Factorizar o aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática, para hallar los puntos críticos (números que resuelven la

igualdad). 3. Hacer tres rectas horizontales paralelas, en las dos primeras ubicar los valores de x (teniendo en cuenta su

relación de orden), dibujamos una línea vertical por cada valor de x que corte las rectas horizontales 4. Escribir el signo + a la derecha de cada número y el signo – a la izquierda 5. Realizar la ley de los signos (debajo de la tercera recta horizontal) 6. Establecer la solución de acuerdo a lo que se pida (mayores, menores, mayores o iguales, menores o iguales).

Ejemplo: Resolver la inecuación 322 xx

Solución:

01303232 22 xxxxxx , significa que los puntos críticos son 3x y 1x

- 3 1

3x - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

1x - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

Ley de signos + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + Respuesta: Según la desigualdad dada debemos buscar los mayores o iguales que cero, es decir, los positivos,

entonces será: ,13,

Estudiante: Docente: Nancy Patricia Plazas Carrillo

5

3




11º CÁLCULO

EVALUACIÓN

Segundo Método: Análisis de la desigualdad

1. Desigualar a cero (teniendo en cuenta que la variable cuadrada quede positiva). 2. Factorizar o aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática. 3. Analizar si la desigualdad nos pide los mayores (mayores iguales) o los menores (menores o iguales) a cero.

- En caso de que sean mayores (mayores iguales), deben considerarse las dos opciones en que los factores tengan igual signo, es decir (> y >) o (< y <).

- En caso de que sean menores (menores iguales), deben considerarse las dos opciones en que los factores tengan diferente signo, es decir (> y <) o (< y >).

4. Encontrar las soluciones propuestas en el paso anterior y establecer el intervalo solución.

Ejemplo: Resolver la inecuación 322 xx

Solución:

01303232 22 xxxxxx ,

En esta ineciación nos piden los mayores que cero (positivos), entonces debemos considerar (> y >) o (< y <).

Esto es: 01030103 xxxx

Es decir 130103 xxxx Graficamente tenemos

La solución de este intervalo es donde se presenta la intersección, en este caso ,1

130103 xxxx Su representación gráfica es

Acá también debemos determinar la intersección, que es el intervalo 3,

Finalmente debemos tomar como solución la unión de los dos intervalos encontrados, esto es: ,13,

INECUACIONES RACIONALES

Son expresiones que están constituidas por el cociente de dos polinomios (fracciones algebraicas). Estas pueden ser lineales, cuadráticas o de valor absoluto.

Ejemplos: 12

1

x

x

0

3

32

x

xx 2

23

23 2

x

xx 5

1

23

3

62

x

x

x

x

Para resolver una inecuación racional debemos:

1. Desigualar a cero. 2. Resolver las operaciones indicadas (suma o resta de fracciones algebraicas). 3. Determinar los valores del numerador y del denominador que se hacen iguales a cero. 4. Realizar la ley del cementerio.

Ejemplo: Resolver la inecuación 142

3

x

x

Solución: 0142

3

x

x

0

42

4213

x

xx 0

42

423

x

xx 0

42

7

x

x

Entonces 707 xx 22

4042 xxx

2 7 x = 2 - - - - - - - + + + + + + + + + + + + x = 7 +++++++++ +++++++++ - - - - - - - -- Ley de signos -- - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - -

Notas:

Si x aparece antecedida de un signo negativo, el sentido de los valores del punto crítico correspondiente cambian.

En las desigualdades racionales, así

sea , o, , los números del denominador no se deben incluir en

la respuesta.

3 1

3 1




11º CÁLCULO

EVALUACIÓN

Respuesta: Según la desigualdad dada debemos buscar los menores o iguales que cero (teniendo en cuenta la nota),

es decir, los negativos, esto es: ,72,

INECUACIONES SIMULTÁNEAS Una inecuación simultánea es aquella en la cual existe más de una desigualdad. Es decir, son expresiones de la forma a < x < b. Estas pueden ser lineales, cuadráticas, de valor absoluto o racionales. En estos casos deberá considerarse cada inecuación por separado y la solución será la intersección de las dos o más soluciones. Veamos:

Si a < x < b, entonces a < x x < b y su conjunto solución será bxRxaxRx //

Ejemplos:

Resolver la inecuación 453283 xxx

Solución: Primero separamos las dos inecuaciones 45323283 xxxx

Resolvemos cada inecuación por aparte 34528323 xxxx

7311 xx

3

7x

Dibujamos las soluciones en una sola recta numérica

– 11 3

7

Solución:

3

711/ xxRx , es decir

Resolver la inecuación 7123 x

712123 xx

172213 xx

8224 xx

2

8

2

4 xx

42 xx

2 4

Solución: 42/ xRx , expresado como pareja tenemos 4,2

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO VALOR ABSOLUTO El valor absoluto indica la distancia (valor sin signo) que hay desde cero (0) hasta cualquier número en la recta.

En general: para cualquier número real a, se cumple que el valor absoluto de a denotado por a es:




11º CÁLCULO

EVALUACIÓN

0,

0,0

0,

asia

asi

asia

a

Esto indica que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1. 0x

2. 00 xx

3. xx

4. yxxy

5. 0 si , yy

x

y

x

6. axaax

7. axaxax

8. yxyx . Esta es conocida con el nombre de

desigualdad triangular. Ejemplos:

Determinar los valores de x que satisfacen la siguiente expresión 632 x

Solución: Según las propiedades del valor absoluto deberá cumplirse que

632632 xx

Entonces 2

9362632 xxx

2

3362632 xxx

Tenemos como soluciones para la ecuación, los valores 2

3

2

9 xx

Determinar los valores de x que satisfacen la ecuación 632 x

Solución: Teniendo en cuenta la primera propiedad podemos concluir que esta ecuación no tiene solución porque el valor absoluto siempre debe ser mayor o igual a cero.

Resolver la expresión 632 x

Solución: Por la propiedad 6 tenemos que: 6326 x 632326 xx resolvemos esta

inecuación simultánea y el resultado será el intervalo

2

9,

2

3

Resolver la inecuación 632 x

Solución: Teniendo en cuenta la propiedad 7: 632632 xx esta propiedad implica que en la solución

tendremos la unión de las dos soluciones encontradas, así: 2

9

2

3 xx , esto es:

,

2

9

2

3,

ACTIVIDAD:

Determina los valores que satisfacen las inecuaciones planteadas, hazlo en forma gráfica, como conjunto y como intervalo.

1. 1042

3x 2. 6

4

13

x 3. 01522 xx




11º CÁLCULO

EVALUACIÓN

4. 23

7

4

3t 5. 1832 mm 6. 042

2

1 x

7.

02

31

x

xx 8. 0

6

1

6

72 2 mm 9. 2

25

32

x

x

10. 02

12

x

x 11. 3131 xxxx 12. 1043 x

13. 02082 hh 14. 14

3

x

x 15.

0

11

x

xx

16. 2

153 u 17. 0

4

16206 2

x

xx 18.

2

3

5

41

2

7

x

19. 13

1

x

x 20. 3232 uuuu 21. 3,03,19,0 x

22. 132132 xxxx 23. xxx 121641100 24. 5122 xx

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

I. Determina si el valor de la variable es

solución de la inecuación. Justifica tu respuesta

II. Determina una ineación cuyo conjunto

solución sea el intervalo dado. III. Resuelva cada una de las siguientes

situaciones

Tomado de: Proyecto los Caminos del Saber. Matemáticas 11, Editorial Santillana, Págs 30 y 33




11º CÁLCULO

FUNCIONES

FUNCIONES POLINÓMICAS

Definición: Una función RRf : , de la forma 01

1

1 ... axaxaxaxf n

n

n

n

, de donde Rak , y

0 Nn , recibe el nombre de función polinómica.

En este grupo de funciones se estudian con mayor frecuencia: Función constante (grado cero), lineal (grado uno), afín (grado uno), cuadrática (grado dos), cúbica (grado tres). Las de grado cuatro en adelante, no tienen nombre característico. Recordemos las funciones polinómicas especiales:

Función afín: Es una función de la forma bmxy , siendo 0 ,0 ,, bmRbm , su representación gráfica es

una recta inclinada que no pasa por el origen del plano cartesiano, el dominio y el rango de esta función son el conjunto de los números reales.

Son ejemplos de función lineal: 5

32 xy , 43 xy , 5

3

1 xy , 7

5

2 xy

Función cuadrática: Es una función de la forma cbxaxy 2, siendo 0 ,,, aRcba , o

2)(4 hxpky ,

su representación gráfica es una curva llamada parábola, cuyo estudio se realizo en el tema de cónicas. El dominio es el conjunto de los números reales, el rango dependerá de cómo abre la curva así:

Si la parábola abre hacia arriba y tenemos la forma 2)(4 hxpky , el rango será ,k , si tenemos la

forma cbxaxy 2, el rango será

,

2a

bf

Si la parábola abre hacia abajo y tenemos la forma 2)(4 hxpky , el rango será k, , si tenemos la

forma cbxaxy 2, el rango será

a

bf

2,

Ejemplos: 352 2 xxy

5

32 xy

43 xy

53

1 xy

75

2 xy




11º CÁLCULO

Ya dijimos que el dominio es el conjunto de los números reales, analicemos el rango, observemos que la curva abre

hacia arriba, con vértice en

8

49,

4

5, entonces el rango será de la forma

,

8

49

243 2 xxy

FUNCIONES RACIONALES

Definición: Una función racional es una función de la forma xQ

xPxf donde 0xQ .

Ejemplos: Son funciones racionales

15

32)(

x

xxf

254

5)(

2

xxxg

4

352)(

3

xxxh

La última función a pesar de tener la forma de una función racional es mejor analizarla como función polinómica, dado

que puede representarse como 4

3

4

5

4

2)( 3 xxxh , simplificada será

4

3

4

5

2

1)( 3 xxxh , que es una función

cúbica. Domino. El dominio de una función racional será el conjunto de los números reales menos los valores de x que

hagan cero el denominador.

Ejemplo: Hallar el dominio de la función 15

32)(

x

xxf

Solución: Encontremos los valores de x que hacen cero el denominador, esto es:

015 x 15 x 5

1x

Encuentre las coordenadas del vértice, realice el

proceso por completación de cuadrados y luego

compruebe que es de la forma

a

bf

a

b

2,

2

Esta parábola abre hacia abajo, por lo tanto el rango será desde menos infinito hasta la coordenada y en el vértice, en

este caso es de la forma

3

10,




11º CÁLCULO

Respuesta: El dominio de la función 15

32)(

x

xxf es:

5

1R

Rango. Para encontrar el rango de una función racional debemos despejar la variable x de la función dada y luego

hacer el respectivo análisis.

Ejemplo: Hallar el rango de la función 15

32)(

x

xxf

Solución: Despejemos la variable x de la función dada:

15

32)(

x

xxf

15

32

x

xy 3215 xxy 325 xyxy

325 yxxy 325 yyx 25

3

y

yx

Ahora bien, hagamos la interpretación de la ecuación resultante, ésta me dice que y puede ser cualquier número real

menos quien haga cero el denominador (por ser racional). Significa que el rango será:

5

2R .

Observemos la gráfica de dicha función

Interceptos: Recuerda que los interceptos (cortes) de una función serán los valores donde la gráfica de la función toque los ejes cartesianos. De esta manera, dada una función podremos tener interceptos con el eje x o con el eje

y .

Método para encontrar los interceptos: Interceptos con el eje x : Debes reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de x .

Interceptos con el eje y : Debes reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de y

Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 15

32)(

x

xxf

Solución: Interceptos con el eje x :

15

32)(

x

xxf

15

320

x

x 320 x 32 x

2

3x

Interceptos con el eje y :




11º CÁLCULO

15

32)(

x

xxf

105

302

y

1

3

y 3y

Respuesta:

Los valores encontrados indican que la gráfica cortará al eje x en el punto

0,

2

3 y al eje y en el punto 3,0 .

Asíntotas: Recuerda que las asíntotas son rectas (horizontales o verticales) imaginarias que hacen que la gráfica se

extienda hacia ellas de forma indefinida pero que nunca las corte. En las funciones racionales existirán asíntotas en aquellos valores de x y y que no puedan tomar el dominio y rango

respectivamente.

Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 15

32)(

x

xxf

Solución:

Como vimos antes, cuando hayamos el dominio y rango de esta función, los valores 5

1x y

5

2y son los números

que no pueden hacer parte del dominio y rango respectivamente, significa que estas serán las asíntotas de dicha función, la primera será asíntota vertical y la segunda asíntota horizontal.

Crecimiento o decrecimiento: Para saber si una función crece o decrece en un intervalo, basta con tomar dos valores del intervalo, hallar el valor de la imagen de estos y comparar los resultados.

Es decir: si tomamos valores 21, xx que pertenezcan al dominio de xf donde 21 xx y obtenemos que

21 xfxf , podemos concluir que la función xf es creciente, en caso contrario es decir si 21 xfxf la

función será decreciente.

Ejemplo: Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función15

32)(

x

xxf




11º CÁLCULO

Solución: Cuando encontramos el dominio de esta función dijimos que x puede ser cualquier valor menos 5

1x , es

decir

5

1, y

,

5

1, para determinar el crecimiento y decrecimiento debemos analizar estos dos intervalos por

separado así:

Veamos que pasa en el intervalo

5

1, : Sean: 21 x y 12 x

11

11 xf y

6

12 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo decrece.

Ahora analicemos lo que sucede en el intervalo

,

5

1: Sean: 11 x y 22 x

4

51 xf y

9

72 xf , es decir 12 xfxf , significa que la función en este intervalo también decrece.

Gráfica: Para elaborar la gráfica debemos tener en cuenta todo el análisis realizado anteriormente, es decir: dominio,

rango, interceptos, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, de manera especial para la gráfica de las funciones racionales se cumple que están representadas por curvas, nunca líneas rectas.

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 15

32)(

x

xxf

I. Empiece por ubicar las asíntotas II. Ahora ubique los interceptos

III. Elabora la gráfica en cada uno de los intervalos, recuerde tener en cuenta que son curvas decrecientes

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Definición: La función valor absoluto es una función que le asigna a cada elemento x su valor absoluto, está definida

así:




11º CÁLCULO

0

0)(

xx

xxxxf

si

si

Ejemplos: Son funciones de valor absoluto

13)( xxf 325)( 2 xxxg 25

2)(

x

xxh

Domino: Para encontrar el dominio de una función con valor absoluto, debemos analizar lo que hay dentro del valor

absoluto. Ejemplos:

Hallar el dominio de la función 13)( xxf

Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función polinómica (lineal), como ya vimos esta

función tiene como dominio el conjunto de los números reales, por lo tanto 13)( xxf tiene como dominio a R .

Hallar el dominio de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: Lo que se encuentra dentro del valor absoluto es una función racional, en ésta debemos analizar cuando el denominador se hace cero y quitar esto al conjunto de los números reales, es decir , el dominio de la función

25

2)(

x

xxh , es 5R .

Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta el término independiente que hay fuera del valor absoluto,

el rango será un intervalo que tiene como extremo dicho número y que se extiende al infinito, será extremo inicial (si antes del valor absoluto es positivo) o extremo final (si antes del valor absoluto es negativo). Es decir si la función es

axxf )( , el rango será ,a , y si es axxf )( , el rango será a, .

Ejemplos:

Hallar el rango de la función 13)( xxf

Solución: El término independiente fuera del valor absoluto es cero, además antes del valor absoluto está el signo

negativo, por lo tanto el rango de 13)( xxf será el intervalo 0,

Hallar el rango de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: El término independiente es – 2 y el valor absoluto es positivo, entonces el rango de 25

2)(

x

xxh ,

es ,2 .

Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es: Interceptos con el eje x : Debemos reemplazar en la función a y por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de x .

Interceptos con el eje y : Debemos reemplazar en la función a x por cero y luego resolver la ecuación resultante para

encontrar el o los valores de y

Ejemplos:

Hallar los interceptos de la función 13)( xxf




11º CÁLCULO

Solución:

Interceptos con el eje x :

13)( xxf 130 x 130 x 13 x 3

1x


13)( xxf 103 y 1y 1y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el punto

0,

3

1 y al eje y en el punto 1,0 .

Hallar los interceptos de la función 25

2)(

x

xxh

Solución:

Interceptos con el eje x :

25

2)(

x

xxh 2

5

20

x

x

x

x

5

22 , acá debemos analizar dos situaciones:

Cuando 25

2

x

x y cuando 2

5

2

x

x, es decir vamos a tener dos puntos de corte con este eje, veamos:

Si 25

2

x

x xx 522 xx 2102 xx 2210 x12

Si 25

2

x

x xx 522 xx 2102 2102 xx 83 x

3

8x


25

2)(

x

xxh 2

05

20

y 2

5

2

y 2

5

2y

5

8y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en los puntos 0,12 y

0,

3

8 y al eje y en el

punto

5

8,0 .

Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional.

Ejemplos:

Halla las asíntotas (si las hay) de la función 13)( xxf

Solución: Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal.




11º CÁLCULO

Halla las asíntotas (si las hay) de la función 25

2)(

x

xxh

Solución:

Vamos a encontrar una asíntota vertical en 5x , recuerde que es el valor que quitamos de los números reales en el

dominio. No vamos a tener asíntotas verticales. Crecimiento o decrecimiento: La función valor absoluto decrece a un lado del valor de x que corresponde al

valor y inicial en el rango, o al valor x de la asíntota y crece al otro lado. Para esta clase se funciones, se

recomienda analizar intervalos como se hizo en la función racional. Ejemplos:

Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 13)( xxf

Solución: Como vimos anteriormente, el rango es 0, , el valor de x que corresponde a cero en y , será

130 x , es decir 3

1x .

Entonces: La gráfica de la función 13)( xxf , crece en el intervalo

3

1, y decrece en el intervalo

,

3

1

Determinar el crecimiento o decrecimiento de la función 25

2)(

x

xxh

Solución: Como vimos anteriormente, esta función tiene una asíntota en 5x , significa que el análisis lo debemos

hacer en los intervalos 5, y ,5 , pero además encontramos un punto crítico en 2x , significa que el

primer intervalo debe ser analizado en dos intervalos distintos 2, y 5,2 , de esta manera nos quedan

tres intervalos para analizar 2, , 5,2 , ,5

Analicemos el primer intervalo: sean 41 x y 32 x ,

245

24)( 1

xh 2

9

2)( 1

xh 2

9

2)( 1 xh

9

16)( 1 xh

235

23)( 2

xh 2

8

1)( 2

xh 2

8

1)( 2 xh

8

15)( 2 xh

Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo 2,

Analicemos el segundo intervalo: sean 31 x y 42 x ,

225

22)( 1

xh 2

3

4)( 1

xh 2

3

4)( 1 xh

3

2)( 1 xh

245

24)( 2

xh 2

1

6)( 2

xh 26)( 2 xh 4)( 2 xh

Como )()( 21 xhxh , la función crece en el intervalo 5,2

Analicemos el tercer intervalo: sean 71 x y 102 x ,

275

27)( 1

xh 2

2

9)( 1 xh 2

2

9)( 1 xh

2

5)( 1 xh

2105

210)( 2

xh 2

5

12)( 2 xh 2

5

12)( 2 xh

5

2)( 2 xh




11º CÁLCULO

Como )()( 21 xhxh , la función decrece en el intervalo ,5

Gráfica: Debemos tener en cuenta todo el análisis que se ha realizado y de esta manera elaborar la gráfica.

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 13)( xxf

I. Ubique los interceptos II. Grafique la parte izquierda del punto

0,

3

1, en ese

intervalo la gráfica crece, luego la parte derecha del mismo punto, en ese intervalo la gráfica decrece

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 25

2)(

x

xxh

I. Ubique los interceptos II. Grafique las asíntotas

III. Realicemos la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento de la función




11º CÁLCULO

FUNCION PARTE ENTERA

Recuerda: Dado un número decimal, su parte entera corresponde al número que se encuentra antes de la coma

decimal. Ejemplos: Dado el número 2,45 ; su parte entera es el número 2 Si el número es - 4,18; la parte entera será – 4 En el número 0,2945; tenemos que su parte entera es 0

Definición: Se denomina función parte entera, a la función xxf , que asigna a cada número del dominio la

cantidad entera que tenga éste (por truncamiento). Existen otras formas de análisis de la función parte entera que se enuncian pero se dejan para el estudio individual: función techo, función piso, y función por redondeo.

Ejemplos: Son funciones parte entera

12)( xxf 23)( xxg 51

42)(

x

xxh

Domino: Para encontrar el dominio de una función parte entera, debemos analizar lo que haya dentro de ella y

proceder como se ha indicado hasta el momento en el estudio de las otras funciones.

Ejemplo: Hallar el dominio de la función 23)( xxg

Solución: Lo que se encuentra dentro de la parte entera es una función polinómica (lineal), entonces

23)( xxg tiene como dominio a R .

Rango: Para encontrar el rango debemos tener en cuenta tanto lo que está dentro como lo que está afuera de la

parte entera, para una función de la forma axxf )( su rango será el conjunto de elementos de la forman

am donde Zm .

Ejemplo: Hallar el rango de la función 23)( xxg

Solución: Como fuera del valor absoluto está el número 2, entonces el rango será de la forma 2m donde Zm ,

que en este caso genera el conjunto de los números Z. Interceptos: Se sigue procediendo como en las otras funciones, esto es

Ejemplo: Hallar los interceptos de la función 23)( xxg

Solución:

Interceptos con el eje x : 23)( xxg 230 x 32 x 233 x

3233 x 56 x Es decir el intervalo 5,6 .




11º CÁLCULO

Interceptos con el eje y : 23)( xxg 230)( xg 23)( xg 23y

5y

Respuesta:

Los valores encontrados representan que la gráfica cortará al eje x en el intervalo 5,6 y al eje y en el punto

5,0 .

Asíntotas: Esta función tendrá asíntotas, siempre y cuando lo que se encuentra en la función tenga parte racional.

Ejemplo: Halla las asíntotas (si las hay) de la función 23)( xxg

Solución: Esta función no tiene asíntotas dado que está representada por una función lineal. Crecimiento o decrecimiento: La función parte entera no es creciente, ni decreciente, dado que su gráfica serán

segmentos de recta horizontales. Gráfica: Además de tener en cuenta los datos analizados anteriormente, es conveniente tomar algunos valores para poder graficar (en la medida que se practique podrás generalizar la gráfica de cualquier ejercicio que contenga a la función parte entera).

Ejemplo: Elabore la gráfica de la función 23)( xxg

ACTIVIDAD I. Realice el análisis completo de las funciones dadas:

1. 3

12)(

x

xxf

2. 32 xxf

3. 43

25)(

x

xxf

4. 52)( xxf

5. 134 xy

6. 1 xxf

7. 1042)( xxf

8. 132 xy

9. 23 xxf

10. 254 2 xxxf

11. 122 xxxf

12. 1

12

x

xf

13. 452 2 xxxf

14. 123 xy

15. 2

13)( xxf

II. Escriba dos ejemplos de cada una de las funciones estudiadas y realice su análisis completo




11º CÁLCULO

LÍMITES

I. Responda cada una de las siguientes preguntas:

1. Intuitivamente ¿qué significa la expresión Lxfax

lim ?

2. Si xfax

lim existe, entonces ¿ af necesariamente existe?

II. Con base en las gráficas determina si los límites existen, en caso de que exista indique cuál es, de no

ser así diga porqué

3. xfx 3 lim

4. xfx 2 lim

5. xfx 1 lim

6. xfx 3 lim

7. xgx 1 lim

8. xgx 0 lim

9. xgx 1 lim

10. xgx 2 lim

III. Realizar la gráfica de cada función. Luego, determinar los límites que se indican:

11.

2 si 12

2 si 2

xx

xxxf

a. xfx 2lim b. xf

x 2lim c. xf

x 2lim

12.

xx

x-x

xx

xh

2 si 59

21 si 3

1 si 132

a. xhx 1lim

b. xh

x 2lim

13.

xx

x

xx

xx

xf

3 si 4

31 si 5

13 si 3

3 si 65

2

a. xfx 4lim

b. xfx 3lim

c. xfx 1lim

d. xfx 3lim



GUÍAS DE APOYO AL ESTUDIANTE

GUÍA No. 6.4 Período: III Pág. 18 de 20

11º

CÁLCULO

EVALUACIÓN

IV. Elabora en cada caso, la gráfica de una función que cumpla las siguientes propuestas.

14. 0lim0

xfx

3lim2

xfx

1lim2

xfx

3lim1

xfx

2lim1

xfx

21;12;00 fff

15. 4lim3

xfx

xfxfxx

11

limlim

33 f

16. 3lim2

xfx

4lim2

xfx

existe No lim0

xfx

xfxfxx

22

limlim

V. Considera la función parte entera x xf

17. Si Zn , ¿cuánto valen los límites laterales de f en n?

18. ¿Existe x limnx

cuando Zn ?

19. Si Zn , ¿qué ocurre los límites laterales x limnx

y x limnx

?

VI. Determina el valor de los límites de acuerdo con la gráfica

20. xgx 0lim

21. xgx 0lim

22. xgx 2lim

23. xgx 2lim

24. xgx 2lim

25. xgx 4lim

VII. Responde las siguientes preguntas

26. Si cxfax

lim y cxfax

lim , ¿para qué valor de c xfax

lim existe?

27. Si 5lim 2

0

axf

x; 1lim

0

axf

x y además existe lim

0xf

x, ¿cuánto vale xf

x 0lim

?

VIII. Si 1

1

xfLim

x ; 3

1

xgLim

x y 2

1

xhLim

x , aplique las propiedades de los límites para que encuentre lo que se pide

28. xhxfLimx

31

29. xhxgxfLimx

1

30. 31

4 xgxfLimx

31.

xhxg

xfLimx 431

32. xg

xfxhLim

x 41

33.

xg

xhxfLimx

2

1

24





11º

CÁLCULO

EVALUACIÓN

IX. Calcula el valor de los siguientes límites

34. 453 2

1

xxLim

x

35. 22 232 axxLimax

36. 2

83

2

x

xLimx

37. 12

2

x

xeLim

38. 3

12

x

xLim

39. 22

123 xxLim

x

40.

54

433

2

x

xLimx

41. 3

652

3

x

xxLimx

42. 81

xxLimx

43. x

axLim

ax 3

22

con 0a

44. 2232

322 xxxLim

x

45. 3

12

x

xxLim

46. 3

2

11

x

xLimx

47. 5

23

0

x

eeLim

xx

x

X. Demuestra o refuta los siguientes resultados

48. Si cxfLimax

y dxgxfLimax

; entonces xgLimax

existe y equivale a cd .

49. Si xfLimax

existe, entonces 1

12 xf

Limax

también existe.

XI. Calcular el valor de cada límite

50. 21172

3522

2

7

xx

xxLimx

51. 42

13 2

2

x

xLimx

52. 23

32

1

x

xLimx

53. 1

42

3

x

xLimx

54. 2

113

2

x

xLimx

55.

h

xhxLimh

33

0

XII. Determina el valor de los siguientes límites

56. 32

122

2

1

xx

xxLimx

57. 1

133

1

x

xxLimx

58. 12

1582

2

3

xx

xxLimx

59. 6

3522

2

3

xx

xxLimx

60. 185

21

3

x

xLimx

61. 2

11

2

x

xLimx

62. 32

122

2

2

xx

xxLimx

63. 352

30112

2

5

xx

xxLimx

64. 1

133

5

x

xxLimx

65. xx

xxLimx 98

762

3

0

66. 2

11

10

x

xLimx

67. 12

162

2

4

xx

xLimx

68. 8

18923

23

2

x

xxxLimx

69. xx

xxLimx 98

762

3

1

70. 49

3227

x

xLimx

71. 12

1582

2

3

xx

xxLimx

72. x

xxLimx

11

0

73. 1

131

x

xLimx

74.

h

xhxLimh

22

0

75. h

xhxLimh

0





11º

CÁLCULO

EVALUACIÓN

XIII. Calcular el valor de cada límite

76.

x

xLimx

sec3

tan2

77. x

xLimx sin

csc2

2

78. x

xLimx

5sin

0

79. x

xLimx 4sin

3sin

0

80.

2

2

0 2

sin53

x

xxxLimx

XIV. Determina el valor de los siguientes límites

81. x

xLimx

4sin

2

82. x

xLimx 4sin

3cos1

0

83. x

xLimx cot

cos

2

84. xx

xLimx 2cos

3tan2

2

0

85. 20 5

5cos

x

xxxLimx

86. x

xLimx 3

cos1 2

0

XV. Responda la siguiente pregunta. ¿Para qué valores de a xLimax

tan

no existe?. Explique su

respuesta.

XVI. Demuestre que

n

m

nx

mxLimx

sin

0, con m y n diferentes de cero.

XVII. Demuestre formalmente que 0cos1

0

x

xLimx

. (Sugerencia: multiplique por la conjugada del

numerador y utilice el hecho de que 1sin

0

x

xLimx

)

XVIII. Determina, en caso de existir, el valor de los siguientes límites. Justifica los procedimientos.

87.

xxLimx

1

1

1

88. 5

762

x

xxLimx

89. 726

74

954

23

xxxx

xxxLimx

90. 24

1

xxLimx

91. x

xLimx 3

52

92. 14

8524

24

x

xxLimx

XIX. Encuentra una función que cumplas las condiciones propuestas en cada caso.

93.

xfLimx 0

94.

xfLimx 0

y

xfLimx 0

XX. Determine el valor de los siguientes límites

95. 57

48

0 4

23

xx

xxLimx

96. 1

32

1

x

xLimx

97. 5

13 2

5

x

xLimx

98. 2

14

2

x

xLimx

99. 9

5

23

x

xLimx

100. 20 1

1

xLimx

bucaramanga - santander cÁlculo · tratará de despejar la variable de la misma forma como se...

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