borrador metodologia para solcuon de p (autoguardado)

7/17/2019 Borrador Metodologia Para Solcuon de p (Autoguardado)

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Metodología para la solución de problemas de Cinemática y Dinámica

El método consiste en 5 pasos, las cuales van encaminados a lograr cumplir

con la solución del problema plantado.

Paso . Concepto. !na ve" leído y comprendido el enunciado, se aísla el

concepto#s$ mecánico#s$ involucrado#s$. %e recomienda &ue se subrayen para

&ue estas palabras sobresalgan del resto.

Paso '. De(nición Matemática) !na ve" identi(cado todos los conceptos

involucrados, se procede a relacionarlos con las de(niciones y*o Modelos

matemáticos.

Paso +. ariables a %olucionar) %e identi(ca cuales son las preguntas #variables

incógnitas$, y se asocia a variables dentro de los modelos matemáticos

Paso -. Datos) Del enunciado se etraen todos los datos &ue puedan ser /tiles

para sustituirlos en los modelos matemáticos

Paso 5. Dibu0o o Es&uema) %e dibu0a una pe&ue1a (gura &ue ilustre el

problema y &ueden representadas las variables incógnitas y datos del

problema

Paso 2. Procedimiento de %olución) Como /ltimo punto, se inicia con el procedo

operacional y*o matemático &ue impli&ue.



E0emplo

Se determinó que en cierto instante de alguna línea del metro el

comportamiento del tren en línea recta se describe con el

siguiente modelo x = 4t + 2t + 5 donde x está en ft y t en seg a)

etermine la posición! la "elocidad y la aceleración del metro

cuando t = # seg

. Concepto)

'. De(nición)

+. ariables a solucionar)

v (3 ) ; x (3 ) ; a (3) ; am(1)

-. Datos del enunciado)

Modelo de la posición del metro con respecto al tiempo)

x=4 t 3+2 t +2

5. Dibu0o o Es&uema)

• 3ínea recta

• 4celeración

• elocidad

instantánea• 4celeración media

• Movimiento rectilíneo 4celerado

• elocidad instantánea

v=dx

dt



2. %olución)

%e obtendrán los modelos &ue representan el comportamiento

cinemático del metro, mediante la de(nición de velocidad y aceleración

instantánea.

v=

dx

dt =

d (4 t 3+2 t +2)

dt

v=12t 2+2

Por lo tanto tenemos los modelos &ue nos muestran el comportamiento

cinemático del metro)

x=4 t 3+2 t +2

v=12t 2+2

a=24 t

%ustituyendo para cuando t6+ seg

x (3)=4 (3 )3+2(3)+2

x (3)=119ft

v (3)=12(3)2+2

v (3 )=110 ft

seg



a(3)=24(3)

a (3 )=72 ft

seg2

Para la aceleración media durante el -to segundo

am=δv

δt

am(1)=(194−110)

1

am(1)=84 ft

seg2



7Cuándo es nula la aceleración de un punto &ue se mueve sobre el e0e

de las ordenadas seg/n la ley y 6 5 8 t 8 2t' 9 t-: En dic;a ley, y estáen mm y t en seg. 7Cuál es su posición cuando su rapide" es de <

mm*seg:

. Concepto)

'. De(nición)


a (t 0 )=0 ; y (v )= y

0→ y (7 )= y

0

-. Datos del enunciado)

Modelo de la posición y=5−t −6 t 2+t

4

5. Dibu0o o es&uema)

• 3ínea recta

• 4celeración

• Posición

• apide"• Movimiento rectilíneo 4celerado

• elocidad instantáneav=dx

dt

• 4celeración instantánea en términos de la posición y



2. %olución)

Para saber en &ué instante la aceleración será cero, es conveniente

obtener los modelos matemáticos &ue describen al movimiento.

4plicando la de(nición de velocidad y aceleración, esto signi(ca derivar' veces el modelo &ue posición. 3uego aplicamos la condición para

cuandoa (t

0 )=0 y resolvemos para t

y=5−t −6 t 2+t

4

v=−1−12t +4 t 3

a=−12+12 t 2

0=−12+12 t 2

t =±1

t =1 #seg$

3a condición para resolver cual será la posición cuando su rapide" es de

< mm*seg es) y (v )= y0

→ y (7 )= y0 Puesto &ue no disponemos de un

modelo &ue relacione, la posición con la velocidad. %e calculará el

momento cuando la velocidad es de < mm*seg. = (nalmente se eval/a

en el modelo de posición

7=−1−12t +4 t 3

t 1=¿

' #seg$ y=5−t −6 t

2+t 4

y (2 )=5−(2 )−6 (2 )2+ (2 )4

y=−5mm



3ínea recta

4celeración

Distancia

Movimiento rectilíneo 4celerado #M4$

elocidad instantánea

4celeración instantánea en términos de la posición y tiempo

Posición a partir de la velocidad

Si la grá$ca "elocidad%tiempo de un tren que "ia&a en línea

recta! es la que se muestra en la $gura! diga qu' distancia total

recorre y cuál es su aceleración máxima( Sol 42(5 *m ,(-54#

m.seg2)

. Concepto

'. De(nición

+. ariables a solucionar

x (t 0 )= x

0; a (t o )=a

0

-. Datos del problema.



5. %olución)Para problemas de este tipo, en donde se da como dato la gra(ca de

la velocidad contra tiempo, y se pide la distancia recorrida

recordaremos la de(nición geométrica de la integral, pues

corresponde al área ba0o la curva, &ue en interpretación mecánica

dic;a área, será la distancia recorrida.

drec= A1+ A

2+ A

3

drec=0.1(100)

2+0.35(100)+ 0.05(100)

2

drec=42.5 km

3a aceleración máima se obtendrá, mediante la de(nición

geométrica de la derivada. 3a pendiente más

grande, será la aceleración máima.

m1=100

0.1=1000

km

hr2=0.077

m

s2

m2= 100

0.05=2000

km

hr2=0.01543

m

s2



amax=0.01543 m

s2

/n la $gura se muestra la grá$ca aceleración%tiempo delmo"imiento rectilíneo de una partícula que parte del origen con

una rapide0 de 1 ft.seg( ibu&e las grá$cas "%t y s%t y escriba las

ecuaciones del mo"imiento(

. Concepto)

'. De(nición )

• Movimiento rectilíneo 4celerado

• 3ínea recta

• 4celeración

• Posición

• elocidad

• elocidad instantáneav=

dx

dt

• 4celeración instantánea en términos de la posición y




x ( t ); v (t ) ; a(t )

-. Datos del problema)

v (0 )=8


2. %olución)

En este caso, donde no se nos proporciona una >unción para poderderivar o integrar, se deberá de etraer toda la in>ormación

de la gra(ca, obteniendo por medio de esta el modelo de la

aceleración.

a=12

13t

4 partir de este modelo de aceleración, se utili"ará el concepto de

aceleración, donde se resolverá la ecuación inicial con las

condiciones iníciales, y &ue >ueron dato del problema. 4sí se llegaráal modelo de la velocidad.

a=dv

dt

12

13=

dv

dt



12

13∫ dt =∫dv

12

13 t =v+c

Para obtener el valor de la C, se necesitaran de las condiciones

iníciales, se anali"a de la siguiente >orma? %e observa las variables

&ue están en la ecuación y se intenta etraer estas del problema, en

este caso necesitamos una velocidad para un tiempo.

PVI =v (0 )=15

c=8

v=12

13t +8

%e usa el concepto de velocidad y de nuevo se resuelve la ecuación

di>erencial con valores iníciales. @inalmente obtendremos el modelo

de posición

v=dx

dt

12

13t +8=

dx

dt

∫(1213

t +8)dt =∫dx

PVI → x (0 )=0

c=0

x=24

13t 2+8 t



3ínea recta

4celeración

Distancia


elocidad instantánea

4celeración instantánea en términos de la velocidad y posición

n proyectil "ia&a a tra"'s de una medio de 2 m de espesor( Su

aceleración "aría en función de su posición de acuerdo a la ley

a=−5e−s

! donde a está en m.seg2 y s en m( Si su rapide0 al entrar en

el medio es de 3 m.seg! con qu' "elocidad saldrá de 'l

. Concepto)



'. De(nición)


v (2)=v0


v ( x0 )=v0

→ v (0 )=6

a=−5e−s

5. Dibu0o o Es&uema)

2. %olución)De las dos posibles opciones &ue tenemos para tratar a la aceleración

elegimos la aceleración &ue relaciona la velocidad con la posición. =a

&ue son precisamente esas variables a solucionar.

−5e−s=v dv

dx

%e separan variables para solucionar la ecuación di>erencial, y

utili"amos la velocidad del dato del problema, para plantear los

valores iníciales y calcular la constante de integración

−5∫e−s

dx=∫ vdv



3ínea recta

4celeración

Peso

%egunda ley de AeBton



5e−s=

1

2v2+c

PVI → v (0 )=6

C6+

5e−s=

1

2v2−13

Despe0amos a v y evaluamos cuando s6'

v=2

√ 2 (5e−s+13)

v (2)=2

√ 2 (5e−2+13 )

65.'+m

seg

/n un ascensor en mo"imiento se pesa un cuerpo de 5 *g con una

balan0a de resorte( 6a balan0a indica 5(- *g( 7alle la aceleración del

ascensor(

. Concepto)



'. De(nición)

+. ariables a solucionar)a x



2. %olución%e elabora el diagrama de cuerpo libre para locali"ar las >uer"as &ue

act/an sobre el cuerpo, y se elige un sistema de re>erencia, para este

caso será cartesiano. 4plicando la segunda ley de neBton, se observa

&ue el peso neto es la di>erencia de 5Fg y 5.GFg. = posteriormente

se despe0a la a

∑f x=ma

w1=5kg



3ínea recta

4celeración

Peso




w2=5 .1kg

w=w2−w

1=0.1kg

−w=ma

a=−w

m

a=−0.1

5

9.81

a=0.1962↑ mseg

2

6os pesos de la polea y de la cuerda de la $gura son despreciables(

Sabiendo que la cuerda es 8exible e inextensible y que no 9ay

ninguna fricción en la polea! calcule la aceleración del cuerpo :(

. Concepto)



'. De(nición)


aB



2. %olución)

4l observar el arreglo de la polea se deduce &ue la tensión en lacuerda es la misma en toda su longitud, pues el peso de la polea es

despreciable. Para saber cuál es la relación de la aceleración del

cuerpo H con respecto al 4 se ;ace un análisis cinemático

l=Y A+Y B

H4



O=v A+vB

O=a A+aB

a A=−aB #$

=a tenemos la relación de aceleraciones, a;ora con ayuda de los

diagrmas de cuerpo libre relacionamos las >uer"as &ue están

involucradas con segunda ley de AeBton.

Cuerpo 4

∑f y=m A a A

−w A=m A a A #'$

Cuerpo H

∑f y=m A a A

−w B=mB aB #+$

Ienemos tres ecuaciones, con tres incógnitas. Continuamos a resolver

el sistema de ecuaciones para calcularaB

a A=−aB

−w A=m A a A

−w B=mB aB

aB=6.44 ft

seg2

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