3. NÚMEROS ENTEROS

Maestría en Matemáticas

ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE YUCATÁN “ANTONIO BETANCOURT PÉREZ”

Antonio González

Mercedes Muñoz

Luis Pat

Hadasa Rivas

Elvia Rivas

Integrantes

BLOQUE 4

OBJETIVO

PARTICULAR

Al termi-

nar este

bloque

el alumno será capaz de

deducir la construcción

formal de los números

enteros. Demostrar y

utilizar sus propieda-

des básicas

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Grupo BGrupo BGrupo BGrupo B

Son compuestos de los números

naturales, el cero y los números

naturales provistos del signo ne-

gativo. Denotaremos al conjunto

de los números enteros por el

símbolo ZZZZ.

3. 1 Definición

La lista de los números enteros es infi-

nita tanto a la derecha como a la iz-

quierda del origen.

Si se van a multiplicar dos números,

entonces el resultado de la multiplica-

ción es independiente del orden de los

factores.

(7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7)

84 = 8484 = 8484 = 8484 = 84

...en la recta numérica

Se deduce que el conjunto de los números

naturales esta incluido en el conjunto de los

números enteros.

En notación de conjuntos esto se denota co-

mo: N Z, es decir que todos los números

naturales son también números enteros.

No todos los números enteros son números naturales.

3. 2 Propiedades de la suma y la multiplicación

También el cero cumple con la condi-

ción de que cuando se multiplica por

cualquier número el resultado siem-

pre es igual a cero.

(a) (0) = 0 (a) (0) = 0 (a) (0) = 0 (a) (0) = 0

Existe un número entero (el uno)

que tiene la propiedad que al

multiplicarlo por otro, el resul-

tado es igual al segundo número.

(a) (a) (a) (a) ((((1111)))) = a = a = a = a

El uno es el

neutro multip

li-

cativo

Existe un número entero (el cero) que

tiene la propiedad de que siempre que

se suma a otro número, el resultado es

igual al segundo número.

a + a + a + a + 0 0 0 0 = a = a = a = a

El cero es el

neutro aditivo

Para cada número entero “a” existe

otro número entero (----aaaa) con la caracte-

rística que cuando se suman ambos,

el resultado es igual a cero.

(a) + ((a) + ((a) + ((a) + (----aaaa) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0

Entonces el valor absoluto de un nu-mero a será la distancia que existe desde el origen hasta ese número y

se denota por │ a │ .

Del ejemplo de la fig. 1

│ -3 │ = 3

│ 3 │ = 3

3. 3 Recta numérica y valor absoluto de un número

Cuando colocamos los números en-teros en la recta numérica, medi-mos la distancia a partir del punto en que nos movemos y empezamos a contar en el sentido positivo, nun-ca asignamos un numero negativo a una distancia.

Valor absoluto de un número

3.4 Leyes de los signos

Hay 4 leyes de los signos en la multiplicación o división de núme-ros con signo:

1.– Positivo por positivo es igual a positivo.

2.– Negativo por negativo es igual a positivo.

3.-Positivo por negativo es igual a negativo.

4.– Negativo por negativo es igual a negativo.

La explicación del porque es-tos resultados es: Positivo por Positivo: Es claro que cuando se multipli-can dos números naturales el resultado es siempre otro numero natural. Positivo por Negativo o Negativo por positivo: Multiplicar es una forma rápida y compacta de ha-cer sumas. .Entonces, multiplicar un numero positivo a por un numero negativo puede verse como sumar a veces el numero negativo.

3.6 Demostración 2 Justificación de la ley de los signos

CURIOSIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LOS LEYES DE LOS SIGNOS...

Considere la suma:

ab + a(-b) + (-a)(-b)

Usando la ley distributiva:

a [b + (-b)] + (-a)(-b)

Dentro del corchete aplicamos la suma, como ambos son de signo

opuesto entonces la suma es cero(0):

a(0) + (-a)(-b) = 0 + (-a) (-b) = (-a)(-b)

Entonces, si todo número multiplicado

por (0) es (0), tenemos que:

(-a)(-b) = ab

3.5 Demostración 1

Cuando sumamos dos números iguales de signo contrario el

resultado es cero: a + (- a) = 0

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por el número (- b): (- b

[ a + (- a)] = (- b) ( 0)

Pero cualquier número multiplicado por cero es cero, el

lado derecho de la igualdad es

igual a cero. Del lado izquierdo usaremos la ley distributiva: (-

b) a + (- b) (- a) = 0

vamos a sumar en ambos lados

de la igualdad el número: ab

ab + (- b) a + (- b) (a) = ab + 0

lo podemos expresar así :

[ab + (- b) a] + (- b) (- a) = ab + 0

De nuevo, la suma entre los corchetes es igual a cero . Entonces, el resultado de la

expresión es:

0 + (- b) (- a) = ab + 0

(- b) (- a) = ab

3.7 Demostración 3

Tenemos: a + (- a) = 0

considere el número (- a). Para este número existe su negativo,

- ( - a)

Por tanto - (- a) + (- a) = a + (- a)

Sumando el número (a) en ambos lados de la igualdad,

obtenemos:

- (- a) + [ (- a) + a ] = [a + (- a) ] + a

(- a) = a

Otra forma de argumentarlo

consiste en:

“Para que ambas sumas resulten ser iguales, teniendo repetido uno de los números (el número (- a) y el otro sumando debe ser igual en

ambas igualdades

Es decir: - (- a) = a

Esto nos dice que menos por

menos es igual a más.

Cerradura

Considera a todos los números como par-

te de un conjunto, de la siguiente manera

(a, b, c, d, ...), si tomas dos de esos nú-

meros y realizas una operación algebrai-

ca (suma, resta, multiplicación,

radicación...) el resultado estará dentro

de el mismo conjunto de números.

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Sea A =. -α, 1,2,3,4,5,6,7,8, +α

y Ο = operación binaria

5 + 7 = 12.

Entonces : Nos da como resultado el

conjunto cerrado 12 que también es un

número del conjunto A

3.8 Nueva Criba de

Eratóstenes: Conceptos Un número natural es primo si �ene

exactamente dos divisores (naturales).

Número primo

Un número natural es primo si �ene

tres o más divisores.

Ej. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

Número compuesto

Propiedad que poseen los números en-

teros por la cual pueden dividirse por

otro número entero y dar de resultado

Divisibilidad