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3. NÚMEROS ENTEROS
Maestría en Matemáticas
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE YUCATÁN “ANTONIO BETANCOURT PÉREZ”
Antonio González
Mercedes Muñoz
Luis Pat
Hadasa Rivas
Elvia Rivas
Integrantes
BLOQUE 4
OBJETIVO
PARTICULAR
Al termi-
nar este
bloque
el alumno será capaz de
deducir la construcción
formal de los números
enteros. Demostrar y
utilizar sus propieda-
des básicas
Maestría en MatemáticasMaestría en MatemáticasMaestría en MatemáticasMaestría en Matemáticas
Grupo BGrupo BGrupo BGrupo B
Son compuestos de los números
naturales, el cero y los números
naturales provistos del signo ne-
gativo. Denotaremos al conjunto
de los números enteros por el
símbolo ZZZZ.
3. 1 Definición
La lista de los números enteros es infi-
nita tanto a la derecha como a la iz-
quierda del origen.
Si se van a multiplicar dos números,
entonces el resultado de la multiplica-
ción es independiente del orden de los
factores.
(7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7) (7) (12) = (12) (7)
84 = 8484 = 8484 = 8484 = 84
...en la recta numérica
Se deduce que el conjunto de los números
naturales esta incluido en el conjunto de los
números enteros.
En notación de conjuntos esto se denota co-
mo: N Z, es decir que todos los números
naturales son también números enteros.
No todos los números enteros son números naturales.
3. 2 Propiedades de la suma y la multiplicación
También el cero cumple con la condi-
ción de que cuando se multiplica por
cualquier número el resultado siem-
pre es igual a cero.
(a) (0) = 0 (a) (0) = 0 (a) (0) = 0 (a) (0) = 0
Existe un número entero (el uno)
que tiene la propiedad que al
multiplicarlo por otro, el resul-
tado es igual al segundo número.
(a) (a) (a) (a) ((((1111)))) = a = a = a = a
El uno es el
neutro multip
li-
cativo
Existe un número entero (el cero) que
tiene la propiedad de que siempre que
se suma a otro número, el resultado es
igual al segundo número.
a + a + a + a + 0 0 0 0 = a = a = a = a
El cero es el
neutro aditivo
Para cada número entero “a” existe
otro número entero (----aaaa) con la caracte-
rística que cuando se suman ambos,
el resultado es igual a cero.
(a) + ((a) + ((a) + ((a) + (----aaaa) = 0 ) = 0 ) = 0 ) = 0
Entonces el valor absoluto de un nu-mero a será la distancia que existe desde el origen hasta ese número y
se denota por │ a │ .
Del ejemplo de la fig. 1
│ -3 │ = 3
│ 3 │ = 3
3. 3 Recta numérica y valor absoluto de un número
Cuando colocamos los números en-teros en la recta numérica, medi-mos la distancia a partir del punto en que nos movemos y empezamos a contar en el sentido positivo, nun-ca asignamos un numero negativo a una distancia.
Valor absoluto de un número
3.4 Leyes de los signos
Hay 4 leyes de los signos en la multiplicación o división de núme-ros con signo:
1.– Positivo por positivo es igual a positivo.
2.– Negativo por negativo es igual a positivo.
3.-Positivo por negativo es igual a negativo.
4.– Negativo por negativo es igual a negativo.
La explicación del porque es-tos resultados es: Positivo por Positivo: Es claro que cuando se multipli-can dos números naturales el resultado es siempre otro numero natural. Positivo por Negativo o Negativo por positivo: Multiplicar es una forma rápida y compacta de ha-cer sumas. .Entonces, multiplicar un numero positivo a por un numero negativo puede verse como sumar a veces el numero negativo.
3.6 Demostración 2 Justificación de la ley de los signos
CURIOSIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LOS LEYES DE LOS SIGNOS...
Considere la suma:
ab + a(-b) + (-a)(-b)
Usando la ley distributiva:
a [b + (-b)] + (-a)(-b)
Dentro del corchete aplicamos la suma, como ambos son de signo
opuesto entonces la suma es cero(0):
a(0) + (-a)(-b) = 0 + (-a) (-b) = (-a)(-b)
Entonces, si todo número multiplicado
por (0) es (0), tenemos que:
(-a)(-b) = ab
3.5 Demostración 1
Cuando sumamos dos números iguales de signo contrario el
resultado es cero: a + (- a) = 0
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por el número (- b): (- b
[ a + (- a)] = (- b) ( 0)
Pero cualquier número multiplicado por cero es cero, el
lado derecho de la igualdad es
igual a cero. Del lado izquierdo usaremos la ley distributiva: (-
b) a + (- b) (- a) = 0
vamos a sumar en ambos lados
de la igualdad el número: ab
ab + (- b) a + (- b) (a) = ab + 0
lo podemos expresar así :
[ab + (- b) a] + (- b) (- a) = ab + 0
De nuevo, la suma entre los corchetes es igual a cero . Entonces, el resultado de la
expresión es:
0 + (- b) (- a) = ab + 0
(- b) (- a) = ab
3.7 Demostración 3
Tenemos: a + (- a) = 0
considere el número (- a). Para este número existe su negativo,
- ( - a)
Por tanto - (- a) + (- a) = a + (- a)
Sumando el número (a) en ambos lados de la igualdad,
obtenemos:
- (- a) + [ (- a) + a ] = [a + (- a) ] + a
(- a) = a
Otra forma de argumentarlo
consiste en:
“Para que ambas sumas resulten ser iguales, teniendo repetido uno de los números (el número (- a) y el otro sumando debe ser igual en
ambas igualdades
Es decir: - (- a) = a
Esto nos dice que menos por
menos es igual a más.
Cerradura
Considera a todos los números como par-
te de un conjunto, de la siguiente manera
(a, b, c, d, ...), si tomas dos de esos nú-
meros y realizas una operación algebrai-
ca (suma, resta, multiplicación,
radicación...) el resultado estará dentro
de el mismo conjunto de números.
Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Sea A =. -α, 1,2,3,4,5,6,7,8, +α
y Ο = operación binaria
5 + 7 = 12.
Entonces : Nos da como resultado el
conjunto cerrado 12 que también es un
número del conjunto A
3.8 Nueva Criba de
Eratóstenes: Conceptos Un número natural es primo si �ene
exactamente dos divisores (naturales).
Número primo
Un número natural es primo si �ene
tres o más divisores.
Ej. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18...
Número compuesto
Propiedad que poseen los números en-
teros por la cual pueden dividirse por
otro número entero y dar de resultado
Divisibilidad