7/18/2019 AUTOEVALUACIÓN 3

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UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Desarrolla estos 6 ejercicios planteados en un documento de Word oescanea las hojas donde haas resuelto! En"#alo a tra"$s de la tarea

%&i Autoe"aluaci'n Desarrollada UA()!

1. Si ( )42 −=   x f   y  hallar * y′

Resolución:

 y= f  ( x2−4 ) → y=f  (h ( x ) ) dondeh ( x )= x2−4

 y´ 

= d

dx [ f  ( h ( x ) ) ]

 y´ =f 

´ ( h ( x ) ) . h´ ( x )

 y´ =f 

´ ( x2−4)2 x

En la pr+ctica haremos lo si,uiente*

 x2−4¿´ 

si y=f  ( x2−4 ) ,entonses y´ =f 

´ ( x2−4)¿

 y´ =f 

´ ( x2−4) .2 x

2. Si( )    

  

  

+−

=−

=′2

1

1   x

 x f   y

 x

 x x f  

 hallar dx

dy

Resolución:

Sea z= x−1

 x+2, y=f  ( z )haciendo

dydx=dy

dz .  dz

dx

 x+2¿2

¿ x+2¿2

¿¿

dy

dx=f 

´  ( z ) . 3¿

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AUT-EVALUA.I N

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 x+2¿2

(¿¿ )3

¿dy

dx=

( x−1

−3

 )¿

 x+2¿2

¿dy

dx=− x−1

¿

3. Si ( (   ,31  23 −=−   x g  x f   hallar ( )2−′  f    si se sa0e 1ue ( )   32   −=−′ g 

Resolución:

f  ( x3−1)=g ( g2−3) , derivando ambos mienbros

 x2−3¿´ 

 x3−1¿´ =g

´  ( x2−3) .¿

f ´ ( x3−1 ).¿

f ´  ( x3−1 ) .3 x

2=g´ ( x2−3 ).2 x

Para o0tener f ´  (−2) ,tomamos x=−1 luego

−1¿2=g2 (−2 ) .2(−1)

f  ´  (−2) .3¿

f ´  (−2)=g

´  (−2 ) .(−2

3 )f 

´  (−2)=(−3 )(−2

3 )=2→ f ´ (−2 )=2

4. 2allar ( )5 g ′   si * ( )6   22211611   +++=+   x x x f    

( ) ( )12   22 +=−   x g  x f  

Resoluci'n*

f  (√  x2+1)=√  x2+1+

6

√ 16 ( x2+1 )

2aciendo un cam0io de "aria0le

 z=√  x2+1→ f  ( z )= z+

6

√ 16 z2

f  ( z )= z+ 6

√ 16 . z13

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 x2−2¿

1

3

→ f  ( x2−2)= x2−2+ 6

√ 16 . ¿

 x2−2¿

1

3

→ g ( x2

+1)= x2

−2+6

√ 16¿derivando ambos mienbros

 x2−2¿

−2

3 (2 x)

g´ ( x2+1) .2 x=2 x+

6

√ 16 .1

3¿

 x2−2 ¿

2

3

3¿

g´ 

( x2

+1 )=1+

6

√ 16

¿

 Para obtener g´  (5 ) tomamos x=2

g´ (5 )=1+

6

√ 16

33

√ 4⇒g

´ (5 )= 4

3

5. 2allar la deri"ada de( )

1+=

 x

 x x f  

respecto de 1+ x  en 1= x

Resolución:

Si z=√  x+1 , entonseshallar laderivada de f conrespectoa √  x+1

 Es equivalente a hallar df 

dzhaciendo

df dz =

df 

dxdz

dx

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 x+1¿2

1

(¿¿ )

1

√  x+1

(√  x+1√  x )¿

df 

dz=

1

2 (   x

 x+1 )−1

2 (   x

 x+1 )´ 

1

2√  x+1

=¿

 x+1¿2

¿√  x¿

¿ X +1∨¿¿df 

dz=¿

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