Instituto Superior Tecnico

Departamento de Matematica

Seccao de Algebra e Analise

Prof. Gabriel Pires

CDI-II

Resumo das Aulas Teoricas (Semana 2)

1 Funcoes Contnuas. Classificacao de Conjuntos

Seja f : Rn R um campo escalar contnuo, R e consideremos o conjunto

A = {x Rn : f(x) }.

Seja (xk) uma sucessao de termos em A e convergente para um ponto a. Dado que f euma funcao contnua, teremos

limk

f(xk) = f(a)

e, sendo f(xk) , necessariamente f(a) , ou seja a A.Portanto, o conjunto A e fechado.Do mesmo modo se mostra que os conjuntos da forma

{x Rn : f(x) }

sao tambem fechados.Aos conjuntos da forma {x Rn : f(x) = } da-se o nome de conjuntos de nvel da

funcao escalar f.Assim, os conjuntos de nvel de uma funcao escalar contnua sao fechados.Sabendo que o complementar de um aberto e um fechado, conclumos que os conjuntos da

forma{x Rn : f(x) > }

ou da forma{x Rn : f(x) < }

sao abertos.

1.1 Exemplos de Conjuntos Fechados

a) Um Crculo em R2.

i) Crculo de raio um e centro na origem de R2. (ver fig. 1).

ii) {(x, y) R2 : x2 + y2 1}. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.

xy

0

x2 + y2 1

Figura 1: Crculo definido por {(x, y) R2 : x2 + y2 1}

b) Uma Esfera em R3.

i) Superfcie esferica de raio um e centro na origem de R3. (ver fig. 2).

ii) {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 1 = 0}, ou seja, conjunto de nvel zero da funcaocontnua F : R3 R definida por F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 1. Trata-se, portanto,de um conjunto fechado.

iii) Pilha de circunferencias de raio1 z2 e centro em (0, 0, z) em que 0 z 1. De

facto temos x2 + y2 = 1 z2.iv) Pode ser vista como o resultado de uma rotacao, em torno do eixo Oz, de uma semi-

circunferencia tal como se ilustra na figura (2).

De facto, definindo =x2 + y2, temos 2 + z2 = 1.

Note-se que representa a distancia de um ponto de coordenadas (x, y, z) ao eixo Oz,ou seja, ao ponto de coordenadas (0, 0, z). Portanto, fazendo rodar a semi-circunferenciaem torno do eixo Oz obtemos a esfera.

c) Um Cilindro em R3.

i) Superfcie cilndrica de raio um em R3. (ver fig. 3).

ii) {(x, y, z) R3 : x2 + y2 1 = 0}, ou seja, conjunto de nvel zero da funcao contnuaF : R3 R definida por F (x, y, z) = x2 + y2 1. Trata-se, portanto, de um conjuntofechado.

iii) Pilha de circunferencias de raio um e centro em (0, 0, z) em que 1 < z < 1.iv) Pode ser visto como o resultado de uma rotacao, em torno do eixo Oz, de um segmento

de recta vertical tal como se ilustra na figura (3).

De facto, definindo =x2 + y2, temos = 1.

2

xy

z

0

z

2 + z2 = 1

Figura 2: Esfera definida por {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1}

d) Um Paraboloide em R3.

i) {(x, y, z) R3 : z = x2 + y2}, ou seja, conjunto de nvel zero da funcao contnuaF : R3 R definida por F (x, y, z) = z x2 y2. Trata-se, portanto, de um conjuntofechado.

ii) Pilha de circunferencias de raioz e centro em (0, 0, z).

iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotacao, em torno do eixo Oz, de uma parabolatal como se ilustra na figura (4).

De facto, definindo =x2 + y2, temos z = 2.

e) Um Cone em R3.

i) {(x, y, z) R3 : z =x2 + y2}, ou seja, conjunto de nvel zero da funcao contnua

F : R3 R definida por F (x, y, z) = z2 x2 y2, em que z 0. Trata-se, portanto,de um conjunto fechado.

ii) Pilha de circunferencias de raio z e centro em (0, 0, z).

iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotacao, em torno do eixo Oz, de uma rectatal como se ilustra na figura (5).

De facto, definindo =x2 + y2, temos z = .

f) Um Toro em R3.

3

xy

z

0

z

= 1

Figura 3: Cilindro definido por {(x, y, z) R3 : x2 + y2 = 1 ; 1 < z < 1}

i) {(x, y, z) R3 : (x2 + y2 3)2 + z2 = 1}, ou seja, conjunto de nvel zero da funcao

contnua F : R3 R definida por F (x, y, z) = (x2 + y2 3)2 + z2 1. Trata-se,

portanto, de um conjunto fechado.

ii) Pode ser visto como o resultado de uma rotacao, em torno do eixo Oz, de uma circun-ferencia tal como se ilustra na figura (6).

De facto, definindo =x2 + y2, temos ( 3)2 + z2 = 1.

1.2 Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass

Um conjunto A Rn diz-se limitado se existir uma bola centrada na origem que o contenha,ou seja,

R > 0 : A BR(0) R > 0 x A : x < RUm conjunto A Rn diz-se compacto se for limitado e fechado.

Exemplo 1.1 i) E claro que uma bola em Rn e um conjunto limitado.

ii) A superfcie cilndrica (3) e um conjunto limitado porque, sendo

x2 + y2 = 1 ; 1 < z < 1,

teremosx2 + y2 + z2 2,

ou seja, esta contida na bola de raio2 e centro na origem.

4

x y

z

0 x

y

z = 2

Figura 4: Paraboloide definido por {(x, y, z) R3 : z = x2 + y2}

iii) O toro (6) e um conjunto limitado. De facto, sendo

(x2 + y2 3)2 + z2 = 1,

e claro que2

x2 + y2 4 ; z2 1,

e, portanto,x2 + y2 + z2 < 17.

iv) O paraboloide (4) e o cone (5) nao sao conjuntos limitados.

E sabido que em R uma sucessao limitada tem pelo menos uma subsucessao convergente.Em Rn acontece o mesmo.

Para vermos que assim e, consideremos apenas o caso de R2. Seja (xk, yk) uma sucessaolimitada, ou seja,

R > 0 k (xk, yk) Re, sabendo que

| xk | (xk, yk) ,a sucessao (xk) e limitada em R e, portanto, tem uma subsucessao convergente. Seja (xk)essa subsucessao.

A sucessao (xk, yk) e uma subsucessao de (xk, yk) e note-se que (yk) e tambem limitadaem R e tem, portanto, pelo menos uma subsucessao (yk) convergente.

Assim, a sucessao (xk , yk) e uma subsucessao convergente da sucessao (xk, yk).

5

xy

z

0

z

z =

Figura 5: Cone definido por {(x, y, z) R3 : z =

x2 + y2}

Recorde-se que uma sucessao convergente, com termos num conjunto fechado, tem limitenesse conjunto.

Portanto, um conjunto A R e compacto se qualquer sucessao com termos em A tempelo menos uma subsucessao convergente com limite em A.

Seja f : Rn Rm uma funcao contnua e D Rn um conjunto compacto e consideremoso respectivo conjunto imagem f(D).

Seja (yk) uma sucessao em f(D) e consideremos a sucessao (xk) de termos em D tal queyk = f(xk).

Sendo D um conjunto compacto, a sucessao (xk) tem uma subsucessao (xk) convergente

x

y

z

0

z

( 3)2 + z2 = 1

Figura 6: Toro definido por {(x, y, z) R3 : (

x2 + y2 3)2 + z2 = 1}

6

com limite a D e, dado que f e uma funcao contnua, teremos

limx

ka

f(xk) = f(a)

e, portanto,limk

yk = f(a) f(D),ou seja, a sucessao (yk) tem uma subsucessao (yk) convergente com limite em f(D).

No caso escalar, f(D) sera um conjunto compacto em R e, portanto, tera maximo e mnimo.

Teorema 1.1 (Weierstrass) Seja D Rn um conjunto compacto e nao vazio. Entaoqualquer funcao escalar contnua em D tem maximo e mnimo nesse conjunto.

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2 Funcoes Diferenciaveis

Definicao 2.1 Uma funcao f : D Rn Rm diz-se diferenciavel num ponto a int(D)se existir uma aplicacao linear Df(a) : Rn Rm, denominada derivada de f em a, tal que

f(a+ h) f(a)Df(a)h = o(h),

ou seja,

limh0

o(h)

h = limh0f(a+ h) f(a)Df(a)h

h = 0

Seja {e1, e2, , en} a base canonica de Rn. Fazendo h = tek com t R, teremos

f(a+ tek) f(a) = Df(a)(tek) + o(tek)

e, sabendo que Df(a) e uma aplicacao linear, entao

f(a+ tek) f(a) = tDf(a)ek + o(tek),

ou seja,f(a+ tek) f(a)

t= Df(a)ek +

o(tek)

t.

Portanto,

limt0

f(a+ tek) f(a)t

= Df(a)ek.

Note-se que

a = (a1, a2, . . . , ak, . . . , , an) ; a+ tek = (a1, a2, . . . , ak + t, . . . , , an)

e a razao incremental

f(a+ tek) f(a)t

=f(a1, a2, . . . , ak + t, . . . , , an) f(a1, a2, . . . , ak, . . . , , an)

t

obtem-se, fixando todas as coordenadas excepto a k-esima.Sendo f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)), temos

limt0

f(a+ tek) f(a)t

=

(limt0

f1(a+ tek) f1(a)t

, . . . , limt0

fm(a+ tek) fm(a)t

).

Note-se tambem que o conjunto de pontos definido por {a+tek : t R} e a recta que passapelo ponto a e com a direccao do vector ek. Assim, a razao incremental

fj(a+ tek) fj(a)t

e

a taxa de variacao da funcao escalar fj na direccao ek.

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Definicao 2.2 Ao limite

fj

xk(a) = lim

t0

fj(a+ tek) fj(a)t

chamamos derivada partial de fj , com j = 1, 2, . . . , m, no ponto a em ordem a` variavelxk, com k = 1, 2, . . . , n.

Note-se que para calcular a derivada partialfj

xk(a) devemos fixar todas as variaveis excepto

xk. Portanto, trata-se de calcular a derivada de uma funcao de uma variavel real xk.Por outro lado, Df(a)ek e a k-esima coluna da matriz que representa a derivada Df(a).

Portanto, a matriz que representa a derivada Df(a) sera

Df(a) =

f1x1

(a) f1x2

(a) f1xn

(a)

f2x1

(a) f2x2

(a) f2xn

(a)

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

fmx1

(a) fmx2

(a) fmxn

(a)

A` matriz Df(a) tambem se da o nome de matriz Jacobiana de f.No caso em que m = 1, ou seja, f : D Rn R, entao Df(a) tera apenas uma linha

Df(a) =[f

x1(a) f

x2(a) f

xn(a)

]

e podemos representa-la na forma vectorial

Df(a) =

(f

x1(a),

f

x2(a), , f

xn(a)

),

a que chamaremos gradiente de f em a.Passaremos a designar este vector pelo smbolo f(a), ou seja,

f(a) =(f

x1(a),

f

x2(a), , f

xn(a)

).

Exemplo 2.1 i) A funcao f(x, y) = x, definida em R2 e diferenciavel em qualquer pontode R2.

Seja (a, b) um ponto qualquer de R2. Fixando y = b e derivando f como funcao apenasde x obtemos

f

x(a, b) = 1.

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Fixando x = a e derivando f como funcao apenas de y obtemos

f

y(a, b) = 0.

Portanto,

Df(a, b) =[f

x(a, b) f

y(a, b)

]=[1 0

]e

Df(a, b)(h, k) =[1 0

] [hk

]= h.

Assim,

lim(h,k)(0,0)

f(a+ h, b+ k) f(a, b)Df(a, b)(h, k) (h, k) = lim(h,k)(0,0)

a + h a h (h, k) = 0

e, portanto f e diferenciavel em (a, b), de acordo com a definicao (2.1).

ii) O gradiente da funcao f(x, y) =x

yno ponto (x, y) do respectivo domnio e o vector

f(x, y) =(f

x(x, y),

f

y(x, y)

)=

(1

y, x

y2

)

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