Interpolacin polinmica: Es una tcnica de interpolacin de un conjunto de datos o de unafuncin por un polinomio, es decir, dado cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Tambin se define como un mtodo usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta funcin de la cual slo se conoce su imagen en un nmero finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocer la expresin de la funcin y slo se dispondr de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo ser hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la funcin con una precisin deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondr de una frmula del error de interpolacin que permitir ajustar la precisin del polinomio.

Matemticamente esta definido de la siguiente manera: Dada una funcin de la cual se conocen sus valores en un nmero finito de abscisas

, se llama interpolacin polinmica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o igual a m, cumpliendo A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la funcin f. .

Interpolacin de Lagrange

Sea

la funcin a interpolar, sean

las abscisas conocidas de

y

sean los valores que toma la funcin en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado de Lagrange es un polinomio de la forma

Donde

son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

Ntese que en estas condiciones, los coeficientes distintos de cero.

estn bien definidos y son siempre

Se muestra en el ejemplo siguiente el clculo de un polinomio interpolador de Lagrange usando interpolacin por Lagrange y diferencias divididas de Newton:

Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la funcin polinomio interpolador de Lagrange de grado 2. Para ello se usan los siguientes datos:

para

usando un

Se usa primero el mtodo directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:

Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:

Ahora evaluamos este polinomio en de :

para obtener un valor aproximado

Si se usase una calculadora para efectuar el clculo

obtenemos siguiente:

, por lo que el error cometido es el

Se trata de un error del orden del 0.66 %.

Se procede a realizar ahora la interpolacin mediante el mtodo de las Diferencias Divididas de Newton:

Se disea una tabla de Diferencias Divididas esquemtica y se realiza los pertinentes clculos para obtener los siguientes coeficientes:

Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesitasen para escribir el polinomio interpolador. Hay que recordar, segn lo apuntado anteriormente, que slo se usan aqullos coeficientes que involucren a . De esta forma se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange de grado 2:

Y, como se puede apreciar, se llega al mismo polinomio pero con relativamente menos trabajo.

Ejemplo:

EJEMPLO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE APLICADO EN LA INGENIERA QUMICA. a) Las densidades del sodio para tres temperaturas estn dados como sigue:i 0 1 2 Temperatura Ti (x) 94 C 205 371 Densidad Pi (f) 929 kg/m3 902 860

Escriba la frmula de interpolacin de Lagrange que se ajusta a los tres datos. b) Determine la densidad para T = 251 C utilizando la interpolacin de Lagrange (al calcular el valor de g (x), no desarrolle la frmula en una serie de potencias). Solucin. a) Ya que el nmero de datos es tres, el orden de la frmula de Lagrange es N = 2. La interpolacin es Lagrange queda:

(T 205)(T 371) X (929) g (T) = (94 205)(94 371) + (T 94)(T 371) X (902) (205 94)(205 371) + (T 94)(T 205) X (860) (371 94)(371 205) b) Sustituyendo T = 251 en la ecuacin anterior, obtenemos g (251) = 890.5 kg/ m3(Comentarios: al evaluar g (x) por un valor dado x, no se debe desarrollar la frmula de interpolacin de Lagrange en una serie de potencias, porqu no slo es molesto sino adems se incrementa la posibilidad de cometer errores humanos.)

Formula de interpolacin de Lagrange Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los mtodos fundamentales para encontrar una funcin que pase a travs de datos es el de usar un polinomio.

La interpolacin polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre s. Entre stas se encuentran las series de potencias, la interpolacin de Lagrange y la interpolacin de Newton hacia atrs y hacia delante. Un polinomio de orden N que pasa a travs de N + 1 puntos es nico. Esto significa que, independientemente de la frmula de interpolacin, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemticamente idnticas. Suponga que se dan N + 1 puntos como

Xo X1

...

Xn

fo

f1

...

fn

Donde X0, X1, . . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a travs de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como

g(x) = a0 + a1x + a2x*2 + . . . + aNx*N

Donde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1 puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales:

f0 = a0 + a1xo + a2xo*2 + . . . + aNx0*N

f1 = a0 + a1x1 + a2x1*2 + . . . + aNx1*N

. . .fN = a0 + a1xN + a2xN*2 +. . . + aNxN*N

Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solucin de la computadora quiz no sea precisa. (Realmente las potencias de xi en la ecuacin pueden ser nmeros muy grandes, y si es as, el efecto de los errores por redondeo ser importante.) Por fortuna, existen mejores

mtodos para determinar una interpolacin polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre stos estn la frmula de interpolacin de Lagrange y la frmula de interpolacin de Newton hacia delante y hacia atrs. Para presentar la idea bsica que subyace en la frmula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:

V0(x) = (x x1) (x x2). . . (x xN)

Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La funcin V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0(x) entre V0 (x0), la funcin resultante

(x x1)(x x2). . . (x xN) V0(x) = (x0 x1)(x0 x2) . . .(x0 xN)

Toma el valor de uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN. En forma anloga, podemos escribir Vi como

(x x1)(x x2) . . . (x xN) Vi(x) = (xi x0)(xi x1) . . . (xi xN)

Donde el numerador no incluye (x xi) denominador no incluye (xi x). La funcin Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en x = xj, j no pertenece a i. As, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado ser un polinomio de orden a lo ms N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N. La frmula de interpolacin de Lagrange de orden N as obtenida se escribe como sigue (Conte / de Boor):

(x x1)(x x2) . . . (x xN) g (x) = (x0 x1)(x0 x2) . . . (x0 XN)

f0

+ (x x0)(x x2) . . . (x xN)

f1

(x1 x0)(x1 x2). . .Formula de interpolacin de Lagrange Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los mtodos fundamentales para encontrar una funcin que pase a travs de datos es el de usar un polinomio.

La interpolacin polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre s. Entre stas se encuentran las series de potencias, la interpolacin de Lagrange y la interpolacin de Newton hacia atrs y hacia delante.

Un polinomio de orden N que pasa a travs de N + 1 puntos es nico. Esto significa que, independientemente de la frmula de interpolacin, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemticamente idnticas. Suponga que se dan N + 1 puntos como

Xo X1

... ...

Xn

fo

f1

fn

Donde X0, X1,. . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a travs de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como

g(x) = a0 + a1x + a2x*2 + . . . + aNx*N

Donde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1 puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales:

f0 = a0 + a1xo + a2xo*2 + . . . + aNx0*N

f1 = a0 + a1x1 + a2x1*2 + . . . + aNx1*N fN = a0 + a1xN + a2xN*2 + . . . + aNxN*N

Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solucin de la computadora quiz no sea precisa. (Realmente las potencias de xi en la ecuacin pueden ser nmeros muy grandes, y si es as, el efecto de los errores por redondeo ser importante.) Por fortuna, existen mejores mtodos para determinar una interpolacin polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre stos estn la frmula de interpolacin de Lagrange y la frmula de interpolacin de Newton hacia delante y hacia atrs. Para presentar la idea bsica que subyace en la frmula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:

V0(x) = (x x1) (x x2). . . (x xN)

Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La funcin V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0(x) entre V0 (x0), la funcin resultante

(x x1)(x x2). . . (x xN) V0(x) = (x0 x1) (x0 x2) . . .(x0 xN)

Toma el valor de uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN. En forma anloga, podemos escribir Vi como

(x x1)(x x2) . . . (x xN) Vi(x) = (xi x0)(xi x1) . . . (xi xN)

Donde el numerador no incluye (x xi) denominador no incluye (xi x). La funcin Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en x = xj, j no pertenece a i. As, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado ser un polinomio de orden a lo ms N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N. La frmula de interpolacin de Lagrange de orden N as obtenida se escribe como sigue (Conte / de Boor):

(x x1)(x x2) . . . (x xN) g (x) = (x0 x1)(x0 x2) . . . (x0 XN)

f0

+ (x x0)(x x2) . . . (x xN) (x1 x0)(x1 x2) . . . (x1 xN)

f1

+ (x x0)(x x1) . . . (x xN-1) (xN x0)(xN x1) . . . (xN xN-1)

fN...........................Ec1

La Ec1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la ecuacin lineal. Parece complicado, pero incluso la memorizacin no es difcil si se entiende la estructura.

(x1 xN) + (x x0)(x x1) . . . (x xN-1) (xN x0)(xN x1) . . . (xN xN-1) fN...........................Ec1

La Ec1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la ecuacin lineal. Parece complicado, pero incluso la memorizacin no es difcil si se entiende la estructura.

Anlisis del Error:La frmula de interpolacin de Lagrange nos ayuda ampliamente para acercar un polinomio interpolante a una funcin en determinados puntos, sin embargo al aproximar una funcin por un polinomio de grado n, se comete un error, por ejemplo, cuando se utiliza un polinomio de primer grado, se reemplaza la funcin verdadera con una lnea recta. El error producido es el que nos interesa averiguar ya que los polinomios de Lagrange se usan en la construccin de mtodos numricos de derivacin e integracin y las cotas de los errores de estas tcnicas se obtienen a partir del error de polinomio de LaGrange. Interpolacin por diferencias divididas de Newton El caso ms sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, obtenindose la muy conocida funcin lineal que une dos puntos: Si los puntos pertenecen a la grfica de una funcin , la pendiente , que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximacin muy global de la primera derivada de , con variando en el intervalo . En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomio de interpolacin de grado dos de la forma .Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando , y , se obtiene: Una forma sencilla de hacer los clculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular: Donde para en la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores, y . A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el mtodo de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos.

Interpolacin de newtonExiste una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolacin polinomial. El polinomio de interpolacin de Newton en diferencias divididas es entre otros una de las formas ms populares y tiles. Este mtodo es muy algortmico y resulta sumamente cmodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

Diferencias divididas de NewtonSea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:

Este mtodo es muy algortmico y resulta sumamente cmodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado resultante tendr la forma

Definiendo

como:

y definiendo

como

Los coeficientes

son las llamadas diferencias divididas.

Una vez se hayan realizado todos los clculos, ntese que hay (muchas) ms diferencias divididas que coeficientes . El clculo de todos los trminos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los trminos finales. Sin embargo, los trminos usados en la construccin del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a . Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la funcin . Queda definido, como:

Se muestra ahora una tabla mnemotcnica con las diferencias divididas de una cierta funcin dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:

Ejemplo:

Formula de interpolacin de newton:

Anlisis del error:

Trazadores cbicos:

Spline:

Ejemplo:

Interpolacin lineal:

En una tabla se representan algunos valores de la funcin, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la funcin para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el ms prximo al buscado, o aproximarnos un poco ms por interpolacin, la interpolacin casi siempre nos dar un pequeo error respecto al valor de la funcin verdadero, pero siempre ser menor que tomar el valor ms prximo de los que figuran en la tabla, veamos como se calcula al valor de la funcin para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolacin lineal. Por la tabla sabemos que: y Queremos, pues, saber: Siendo:

La interpolacin lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios segn esta recta en lugar de la funcin y = f(x)

Para ello nos basamos en la semejanza de tringulos Esto es:

y

Despejando, tenemos:

O lo que es lo mismo:

El valor buscado es:

Esto es:

Ejemplo:

Como dijimos, cuando las variaciones de la funcin son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha funcin es lineal y usar para estimar los valores la interpolacin lineal.. Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolacin lineal consiste en hallar una estimacin del valor y, para un valor x tal que x0