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ARTÍCULOS Ana Bertha Nova. Los procedimientos demostrativos de los Primeros Analíticos . . . 1 - 33 Juan Manuel Espinosa Sánchez. La obra científica y matemática de Newton en la biblioteca de Antonio de León y Gama, en la época de la ilustración novohispana. . . .35 - 50 Elena Ausejo. Lógica y teoría de conjuntos en la enseñanza secundaria en España . . . . 51 - 62 FUENTES Pedro Roiz. Libro de relojes solares. . . . .63 - 196 RESEÑAS Marco Arturo Moreno Corral. Las ciencias

Exactas en México. Época colonial por Alberto Saladino García . . . . . . 197 - 202

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Mathesis III 41 (2009) 1 - 33. Impreso en México. Derechos reservados © 2009 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Los procedimientos demostrativos de los Primeros Analíticos1

Ana Bertha Nova

Resumen Los procedimientos demostrativos de Primeros Analíticos son el tema central del ensayo. Un breve análisis de cada uno de ellos, su ejemplifi-cación y la relación que guardan entre sí para observar su sencillez y claridad en este sistema deductivo formal. El estudio sólo se hace desde la perspectiva de la lógica asertórica y no desde la modal. Se estudia la conversión, la exposición y la reducción por separado, se toma en cuen-ta las características de cada una de ella y se las contrasta para recono-cer su finalidad en las deducciones formales. Así, el estudio directo de los procedimientos demostrativos, su ejemplificación y posibles demos-traciones formales son las principales preocupaciones de este trabajo.

Abstract The demonstrative procedures of First Analytics are the main topic in the essay. A brief analysis of each one of them, their exemplification and the relation they sustain between themselves to observe their sim-plicity and clearness in this formal deductive system. The study only takes place from the perspective of the asertoric logic and not from the modal one. It studies conversion, exposition and reduction separately; it makes use of their characteristics and contrasts them in order to recog-nize their purpose in formal deductions. Therefore, the direct study of demonstrative procedures, its exemplification and possible formal de-monstrations are the main concerns of this project.

Palabras clave: Aristóteles, lógica, Primeros Analíti-cos, asértivos Key Words: Aristotle, logic, Prior Analytics, asertive MSC 2000: 03-03, 03A05, 03B05

1. El término analítico tiene diversos sentidos en la obra aristotélica y vale la pena obser-

var su origen. [Véase: Byrne, 9 ss.]; por otra parte, en nuestros días la preocupación por el estudio de los planteamientos aristotélicos aún es vigente [Cfr. Boger, 3 ss]. En cuanto al origen de la deducción puede verse [Doyle, 131 ss. y Kaap 1979, 35 ss].

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En este trabajo se señala cómo funciona cada uno estos procedimientos y los elementos que les son propios, con la intención de mostrar su relevancia en el sistema deductivo formal de PA1. A partir del análisis de cada procedimiento será visible su importancia en la lógica formal; asimismo, será posible considerar si acaso lo que se realiza con uno de ellos puede llevarse a cabo con otro y si los resultados que se obtienen son los mismos. Además, se contrastarán los métodos demostrativos deductivos de PA para reconocer sus límites y alcances en este sistema formal. Cier-tamente, la contrastación entre estas vías demostrativas favorece que se vean sus elementos constitutivos y sus diferencias de los otros dos.2 Así, se observa lo que tiene una que no es visible en las otras, sus ca-rencias que no comparten las otras y, en cierta medida, la razón por la que es empleada una en vez de otra en un caso específico. Ahora se verá el primer procedimiento demostrativo que aparece en PA, esto es, la conversión. Este breve estudio sobre la conversión toma en cuenta un análisis de lo que Aristóteles afirma que ella es, su aplicación en el lenguaje formal y su finalidad en la obra. I. La conversión La conversión es un procedimiento que se ejemplifica en el lenguaje natural, en las premisas donde puede llevarse a cabo, esto es, la univer-sal afirmativa, la negativa y la particular afirmativa.3 Aristóteles la emplea con frecuencia, con la intención de pasar de una deducción4 imperfecta,5 donde no aparecen distribuidos los términos de las premi-sas y la conclusión, esto es, donde el término medio no asume el papel

1. Para estudiar el lugar que ocupa la lógica en el pensamiento aristotélico véase:

Weil1975, 89 ss]. 2. Vale la pena recordar que también existen otros tipos de deducciones que aunque

Aristóteles no las trata aquí son centrales en su sistema demostrativo [Cfr. Owen 1975, 113 ss].

3. Este procedimiento también se aplica sobre la lógica modal, explicada por Aristóteles tam-bién en PA [véase: Patterson 1990, 159 ss y 1995, 48 ss]. Una aproximación a la lógica mo-dal está en Van Rijen [1989, 132 ss]. Hintikka también ilustra al respecto en [1979, 119 ss]. Lo mismo hace en [1975, 135 ss]. Finalmente, Cresswell [2001, 137 ss].

4. El estudio de la deducción es el punto de partida de Aristóteles para reconocer la relación que mantiene con la inducción, considerada como un tipo especial de deduc-ción. Cfr. Hamlyn [1976, 169]. También Engeberg-Pedersen [1997, 303 ss y Upton 1976, 175]. Asimismo, vale la pena tomar en cuenta el artículo de Gifford [1999], donde ya se asume la epagoge como fundamental en la epistemología aristotélica.

5. Es una deducción donde no es obvia su validez ya que requiere una demostración mediante la que se introduzcan los pasos necesarios para que entre las premisas y la conclusión se haga evidente la necesidad que de las premisas se sigue la conclusión [cfr. Smith 1995, 36].

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de sujeto en la premisa mayor ni el de predicado en la menor. Ello su-cede en la segunda o tercera figura, por lo que se desea pasar a la per-fecta,1 donde el término medio aparece distribuido, ya que en la premi-sa mayor aparece como sujeto y en la menor como predicado, lo que se presenta en la primera. La conversión es una vía por la que se invierten los términos de las premisas o de la conclusión para pasar de una figura a otra. Ella es empleada en todo tipo de deducciones que por su constitución son consideradas perfectas o imperfectas. Con la conversión al invertir el orden de los términos de una premisa o conclusión se alcanza la primera figura, puesto que ellos, aun cuando cambian de lugar, no pierden ni alteran la deducción. La sencillez de este método y la manera como lo emplea Aristóteles en PA muestra un dominio2 y confianza en el papel que juega en este sistema deductivo formal. Lo importante es señalar que la conversión favorece que se pase una deducción de una figura a otra sin transgredir las reglas que consti-tuyen este sistema deductivo formal. Da la impresión de que las ideas que tiene Aristóteles sobre el tema y las consecuencias que podrían observarse en cada caso son diversas, aunque sólo dé los rasgos genera-les y no se detenga, casi en ninguna afirmación, a señalar las conse-cuencias lógicas de lo que sostiene. No obstante, la conversión, aun cuando es la vía demostrativa que más emplea Aristóteles no puede aplicarse sobre todas las premisas o conclusiones. El uso más claro de ella es en la universal negativa AeB y en la particular afirmativa AiB, pero en la universal afirmativa AaB sólo se aplica de manera parcial, en la medida en que habrá de pasar a una particular afirmativa BiA y en la particular negativa AoB no se aplica. Más adelante se darán ejemplos; por el momento se verá lo que expone Aristóteles sobre ella. Aristóteles expone la conversión cuando señala cómo se aplica en la deducción. Este procedimiento se lleva a cabo en la deducción que se establece desde un principio. La meticulosa descripción que se hace de ella favorece que se observe PA como un sistema riguroso desde un principio. Aristóteles afirma:

Y como cada premisa se da, o se da necesariamente o se da posible-mente, y de ellas unas son afirmativas y otras son negativas, según cada

1. Es un tipo de deducción donde es evidente que la conclusión se sigue necesariamente

de las premisas sin ayuda externa alguna. 2. Ello se observa en todo PA [véase: Lear 1994, 239; Bochenski 1984, 75; Düring 1989,

151; Kneale & Kneale 1984, 67 y Mignucci 1977, 70].

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atribución,1 y a su vez, de las afirmativas y negativas [unas] son univer-sales, [otras] particulares y [otras] indefinidas, ciertamente, en la universal negativa es necesario que los términos se conviertan, por ejemplo: ‘si ningún placer es un bien’ tampoco ‘ningún bien será un placer’; pero la afirmativa necesariamente se convierte, aunque no de manera universal sino particular, por ejemplo: ‘si todo placer es un bien’ también ‘algún bien es un placer’; pero en las particulares, ciertamente, la afirmativa se convierte necesariamente de manera particular (pues ‘si algún placer es un bien’ también ‘algún bien será un placer’), pero las negativas no [se convierten] necesariamente, (pues no [se sigue que] ‘si hombre no se da en algún animal’, ‘animal no se dará en algún hombre’).2

Este procedimiento demostrativo deductivo directo, esto es, la conver-sión se aplica sobre los tipos de premisa o conclusión que sería factible encontrar en las demostraciones deductivas de PA.3 En este caso, las premisas o conclusiones pueden ser de tres tipos, a saber, las que sólo señalan la relación del sujeto y predicado, las que la señalan de manera necesaria y las que lo hacen de manera posible. Así, las premisas o conclusiones serán de deducciones asertóricas, necesarias y posibles. Puede observarse que el sistema deductivo de PA tiene una amplia pers-pectiva que no sólo se queda en el nivel asertórico. Asimismo, se men-ciona que las premisas pueden ser afirmativas o negativas y que en esta clasificación es posible observarlas como universales o particulares. En esta minuciosa descripción de cómo se convierten las premisas es muy claro el orden intelectual y la completa concepción del tema que discretamente afirma paso a paso Aristóteles ya desde estas prime-ras líneas. Ahora bien, la conversión4 para que se lleve a cabo requiere

1. pro/srhsij señala que hay tantos tipos de atribución como se enuncien, de acuerdo con

un modo en cada caso, como premisa asertórica, necesaria o posible. También es posi-ble encontrar explicaciones sobre las premisas en otros tratados de Aristóteles [cfr. Bäck 2000, 115 ss.]

2. PA 25ª1. ¹Epeiì de\ pa=sa pro/tasi¿j e)stin hÄ tou= u(pa/rxein hÄ tou= e)c a)na/gkhj u(pa/rxein hÄ tou= e)nde/xesqai u(pa/rxein, tou/twn de\ ai me\n katafatikaiì ai de\ a)pofatikaiì kaq' e(ka/sthn pro/srhsin, pa/lin de\ tw½n katafatikw½n kaiì a)pofatikw½n ai me\n kaqo/lou ai de\ e)n me/rei ai de\ a)dio/ristoi, th\n me\n e)n t%½ u(pa/rxein kaqo/lou sterhtikh\n a)na/gkh toiÍj oÀroij a)ntistre/fein, oiâon ei¹ mhde-mi¿a h(donh\ a)gaqo/n, ou)d' a)gaqo\n ou)de\n eÃstai h(donh/: th\n de\ kathgorikh\n a)ntistre/fein me\n a)nagkaiÍon, ou) mh\n kaqo/lou a)ll' e)n me/rei, oiâon ei¹ pa=sa h(donh\ a)gaqo/n, kaiì a)gaqo/n ti eiånai h(donh/n: tw½n de\ e)n me/rei th\n me\n katafa-tikh\n a)ntistre/fein a)na/gkh kata\ me/roj ñei¹ ga\r h(donh/ tij a)gaqo/n, kaiì a)gaqo/n ti eÃstai h(donh/Ÿ, th\n de\ sterhtikh\n ou)k a)nagkaiÍon: ñou) ga\r ei¹ aÃnqrwpoj mh\ u(pa/rxei tiniì z%%, kaiì z%½on ou)x u(pa/rxei tiniì a)nqrwp%. Las diversas versiones sobre PA se vieron en un principio; no obstante la de Smith [1989] es la más actual.

3. Una perspectiva sobre una teoría axiomática en PA, como sistema demostrativo está en Scholz [1975, 63]. También puede verse Barnes [1969, 68 ss].

4. Esta vía demostrativa es considerada por Lukasiewicz como regla del cálculo proposi-cional. Por una parte, la identifica con el silogismo hipotético (p ⊃ q) ⊃ [(q ⊃ r) ⊃ (p ⊃ r)]. La segunda vía sería el principio del factor: (p ⊃ q) ⊃ [(p . r) ⊃ (q . r)]. Es-tas reglas parecería que las presenta Aristóteles de manera intuitiva. p 51.


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que los términos que componen las premisas puedan invertir su lugar en ella. Comienza con señalar que la conversa de la universal negativa AeB1 ‘ningún placer es un bien’ es:

‘ningún bien es un placer’2

Aquí ya ha pasado Aristóteles de la simple descripción de clases de premisas a la ejemplificación directa en este sistema deductivo formal, sin hacer algún tipo de comentario que pudiera generar alguna confu-sión. De la misma manera, cuando asume la universal afirmativa AaB anuncia que no sólo se invierten sus términos en la medida en que pase a particular, pues de ‘todo placer es un bien’ se obtiene:

‘algún bien es un placer’3

En efecto, la esquemática descripción, acompañada de ejemplos que Aristóteles hace, favorece que no surjan dudas en cuanto al sentido de la conversión en PA. Sobre la particular afirmativa AiB no se presenta problema alguno, ya que se observa su conmutabilidad, es claro que de ‘algún placer es un bien’ se sigue:

‘algún bien es un placer’

También señala que no es posible que en la premisa particular negativa AoB pueda aplicarse la conversión en la medida en que no se alcanzaría un resultado semejante al de los casos anteriores, así de ‘hombre no se da en algún animal’ no se sigue:

‘animal no se da en algún hombre’

Queda claro en qué tipos de premisa o conclusión es posible que se aplique la conversión. Aquí, lo importante no es si son asertóricas nece-sarias o posibles sino sólo si son afirmativas o negativas, universales o particulares. De las cuatro posibles premisas o conclusiones que apare-cerían en la demostración deductiva de PA sólo en la particular negativa AoB no se puede aplicar la conversión. La descripción que hace aquí Aristóteles es indiscutiblemente rigurosa, visible desde el mismo lenguaje. Primero, enuncia los tipos de las premisas, esto es, asertórica, necesaria y posible; en segundo lugar, habla de premisas afirmativas o negativas. Más adelante aludirá a ellas con positiva y negativa. En último lugar, da la detallada y clara exposi-ción de la conversión en las cuatro premisas.

1. En la Edad Media se designo a cada premisa o conclusión que postulaba Aristóteles

[cfr. Smith 1995, 35] 2. Claramente se observa la simetría de AeB en su conversa BeA. 3. Podría considerarse que AaB pasa primero a AiB y luego se convierte.

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Por otra parte, vale la pena tomar en cuenta que PA no sólo presenta un sistema deductivo formal que pueda aplicarse sobre premisas asertóri-cas, como ya se dijo. Éste también puede llevarse a cabo sobre premisas modales, es decir, premisas que estén precedidas por un functor de nece-sidad o posibilidad, lo que ciertamente es muy complejo de desarrollar sin error alguno. Por ello, sólo se toma en cuenta el empleo de premisas asertóricas. No obstante, Aristóteles también presenta los tipos de pre-misas o conclusiones donde puede aplicarse la conversión, esto es, las afirmativas universales y particulares y las negativas universales. I.2 La conversión en el lenguaje formal La primera parte de la descripción que hizo Aristóteles fue en el lengua-je natural, se señaló los tipos de premisa o conclusión donde puede llevarse a cabo la conversión y se ejemplificó cada una de ellas. Ahora, el lenguaje cambia y ya es riguroso y esquemático, similar al que se emplea en la matemática. Aristóteles considera:

Ciertamente, en efecto, sea primero la premisa universal negativa A[e]B. Entonces si A no se da en ningún B, tampoco B se dará en ningún A; pues si [se da] alguno, como por ejemplo C, no será verdadero que A no se da en ningún B, puesto que C es uno de los B.1 Pero si A se da en todo B, tampoco B se da en algún A, pues si [B] no se da en ningún [A], tampoco A se dará en ningún B, pero se supuso que [A] se da en todo [B]. Y de igual manera también si la premisa es particular, puesto que si A se da en algún B, también necesariamente B se da en algún A; porque si no se da en ninguno, tampoco A se da en ningún B. Pero si, en efecto, A no se da en algún B, no necesariamente tampoco B se da en algún A, por ejemplo: B es animal y A es hombre, ciertamente, en efecto, ‘hombre no se da en todo animal’, pero ‘animal se da en todo hombre’.2

La descripción coloquial anterior ahora aparece de manera esquemática y nuevamente se comienza con la universal negativa AeB, pues:

PS3├ SP

1. Aquí aparece por primera vez la exposición que se verá más adelante, por lo que el

análisis que se desarrolla sobre la conversión no tiene en cuenta este otro procedi-miento demostrativo.

2. PA 25ª14ss. Prw½ton me\n ouÅn eÃstw sterhtikh\ kaqo/lou h( A B pro/tasij. ei¹ ouÅn mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxei, ou)de\ t%½ A ou)deniì u(pa/rcei to\ B: ei¹ ga/r tini, oiâon t%½ G, ou)k a)lhqe\j eÃstai to\ mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxein: to\ ga\r G tw½n B ti¿ e)stin. ei¹ de\ pantiì to\ A t%½ B, kaiì to\ B tiniì t%½ A u(pa/rcei: ei¹ ga\r mhdeni¿, ou)de\ to\ A ou)deniì t%½ B u(pa/rcei: a)ll' u(pe/keito pantiì u(pa/rxein. o(moi¿wj de\ kaiì ei¹ kata\ me/roj e)stiìn h( pro/tasij. ei¹ ga\r to\ A tiniì t%½ B, kaiì to\ B tiniì t%½ A a)na/gkh u(pa/rxein: ei¹ ga\r mhdeni¿, ou)de\ to\ A ou)deniì t%½ B. ei¹ de/ ge to\ A tiniì t%½ B mh\ u(pa/rxei, ou)k a)na/gkh kaiì to\ B tiniì t%½ A mh\ u(pa/rxein, oiâon ei¹ to\ me\n B e)stiì z%½on, to\ de\ A aÃnqrwpoj: aÃnqrwpoj me\n ga\r ou) pantiì z%%, z%½on de\ pantiì a)nqrwp% u(pa/rxei.

3. En la notación de Aristóteles el predicado está antes que el sujeto, en el sentido de que pertenece a él. Aquí, en todo momento, se respetará el orden original que aparece en PA [véase: Smith 1989, xx].


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AeB ├ BeA

En este caso se implica que de ‘ningún placer es un bien’ se pase a ‘ningún bien es un placer’, como ejemplo de la universal negativa. Así, en la universal negativa AeB se aplicó la conversión. Lo mismo sucede en la universal afirmativa AaB y se da:

PS1 ├ SP2 AaB ├ BiA

En la universal afirmativa de ‘todo placer es un bien’ se pasa a ‘algún bien es un placer’. Se aprecia la particularidad que adquiere la universal afirmativa AaB en la conversión. Cabe destacar que en este caso no sólo se invierte el lugar del sujeto y el predicado sino que también de uni-versal se pasa a particular. Por su parte, la particular afirmativa AiB se convierte de manera semejante que la universal negativa AeB, así:

PS ├ SP AiB ├ BiA

La particular afirmativa ‘algún placer es un bien’ pasa a ‘algún bien es un placer’. En estos tres casos se aplicó la conversión y sólo la universal afirmativa AaB tuvo un cambio especial ya que pasó a particular afir-mativa BiA. Esto no puede llevarse a cabo con la particular negativa AoB, pues ella no daría una conversa que fuese considerada como con-secuencia de su antecedente. Aristóteles considera que mediante un ejemplo en el lenguaje natural será más claro que de la afirmación ‘hombre no se da en todo animal’ no se siga ‘animal no se da en todo hombre’, por lo que no hay conversión, en la medida en que sus conse-cuencias no son las deseadas. En el primer acercamiento a la conversión como procedimiento demostrativo de PA se señaló dónde se lleva a cabo. Así:

PS ├ SP AaB ├ BiA AeB ├ BeA AiB ├ BiA

El sentido de la conversión se entiende a partir de como explica AeB y que de allí se pasa a la de AaB y a la de AiB. Con un mismo ejemplo que relaciona ‘el placer’ y ‘el bien’ se aplica la conversión. Ahora,

1. Véase la nota 8. 2. Sobre el uso de variables véase: Nidditch [1962, 8 ss].

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puede observarse el procedimiento en el lenguaje coloquial y formal, pues: ‘ningún bien es un placer’ pasa a ‘ningún placer es un bien’ [Mignucci 1977, 87].

PS ├ SP AeB ├ BeA

También se da en: ‘todo placer es un bien’ pasa a ‘algún bien es un placer’

PS ├ SP AaB ├ BiA

Al igual que: ‘algún placer es un bien’, ‘algún bien es un placer’

PS ├ SP AiB ├ BiA

El empleo sistemático de fórmulas, en este caso AeB, AaB, AiB, en la explicación que realiza Aristóteles evita cualquier tipo de ambigüedad y muestra los elementos propios de esta vía demostrativa en este sistema formal. En efecto, no se deja de lado el lenguaje natural, con los ejem-plo del placer, y en un momento dado se introduce el formal, por lo que la exégesis es de una claridad inobjetable que favorece que se com-prenda la conversión como procedimiento demostrativo de PA. Sin embargo, da la impresión de que la conversión tiene el mismo peso en las partes de la demostración, en la medida en que se aplica sobre una premisa o una conclusión. No obstante, la conversión de AaB es posterior a la de AeB, en cuanto a que primero explica Aristóte-les la universal negativa. En este caso de la universal afirmativa el cambio es significativo, pues no sólo se cambia de lugar el sujeto y el predicado sino que también de universal pasa a particular.1 Así, en la universal negativa se intercambia el lugar de sus elementos mientras que en la universal afirmativa se pasa de universal a particular y tam-bién se invierte el orden de sus elementos La conversión de AeB y AiB es clara, lo que no sucede con AaB ya que los cambios que sufre hacen que pase de universal a particular y cambie el orden de sus términos. Estos pasos, aun cuando Aristóteles los expone como independientes, sólo pueden ser aceptados a partir del ejemplo de AeB. No obstante, la conversión es la vía más simple y la más empleada en la teoría deductiva de PA, lo que le da una maleabilidad que no es visible en los otros dos procedimientos demostrativos de PA. Por otra parte, sólo AeB y AiB pueden convertirse fácilmente. Su 1. En este caso no se observa la simetría presente en AeB y AiB.


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consecuencia es clara, sus componentes sólo cambian de lugar en la premisa original y en la convertida:

PS ├ SP AeB ├ BeA AiB ├ BiA

Lo que no sucede ni con AaB ni con AoB pues en sus términos no se da la conversión directa como AeB y AiB. En el caso de AaB la distribu-ción de sus términos hace que se convierta en BiA. Por su parte, en AoB no se puede aplicar cambio alguno. Aristóteles no se preocupa por explicar la razón, se conforma con señalar que la relación entre los términos de AoB no es la misma que en los otros casos. En conclusión, son tres casos donde se puede aplicar la conversión y han sido expresados en lenguaje coloquial y formal para evitar algún equívoco. Con ello en mente, podrá observarse qué finalidad tiene la conversión. I.3 Ejemplo de la conversión La minuciosa descripción de la conversión en los primeros pasajes del libro A de PA será complementada con la que aparece en el libro B. En los explicativos lugares del libro B señala con el mismo detalle los elementos que considera centrales en su comprensión. En estos pasajes lo hace de manera esquemática, con la intención de evitar equívoco en cuanto a los aspectos generales que implica. Así, sobre la conversión en la primera figura dice:

Pero el convertir1 es cambiar de sentido la conclusión y probar que o bien el [término] extremo no se dará en el [término] medio o bien éste [término medio] no se dará en el último. Pues es necesario que al con-vertirse la conclusión y al permanecer una premisa, la restante sea eli-minada, puesto que si [la premisa] es [válida], también lo será la con-clusión.2

El pasaje se explica cómo es posible que se dé la conversión en las deducciones para pasar a la primera figura. En la deducción original habrá de reemplazarse el orden de los términos, a veces de alguna pre-misa y a veces de la conclusión. La relación de los términos será tal que no haya nexo entre el mayor y el medio o que no lo haya entre el me- 1. Vale la pena señalar que el lenguaje que emplea Aristóteles en PA tiene una gran influencia

matemática, como sería este caso y otros: sumpe/rasma, a)nelu¢ein, upo¢keitai, etc. Lo que implica el rigor que da a la demostración deductiva de PA. [Véase: Einarson 1936]

2. PA 59b1ss. To\ d' a)ntistre/fein e)stiì to\ metatiqe/nta to\ sumpe/rasma poieiÍn to\n sullogismo\n oÀti hÄ to\ aÃkron t%½ me/s% ou)x u(pa/rcei hÄ tou=to t%½ teleutai¿%. a)na/gkh ga\r tou= sumpera/smatoj a)ntistrafe/ntoj kaiì th=j e(te/raj menou/shj pro-ta/sewj a)naireiÍsqai th\n loiph/n: ei¹ ga\r eÃstai, kaiì to\ sumpe/rasma eÃstai.

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dio y el menor. Por ejemplo: Cesare1 (II) pasa a Celarent2 (I). La conversión como procedimiento demostrativo favorece el paso de la universal a la particular, en el caso de las afirmativas. En el libro B se observa un intento de Aristóteles por llegar a las últimas conse-cuencias de la conversión en cuanto a procedimiento demostrativo sobre las figuras. Es posible observar que en el libro B de PA ya se da la explicación teórica de la manera como procede la conversión, ex-puesta de manera minuciosa sobre cada una de las figuras. Se reconoce que la conversión puede aplicarse de manera directa y clara en la se-gunda y tercera figura con la finalidad de alcanzar un resultado desea-do, esto es, pasar a la primera. 2. La exposición en PA La segunda vía demostrativa que expone Aristóteles en PA es la expo-sición. La exposición3 es un procedimiento por el que se explica cómo se construye una deducción cuya conclusión es particular afirmativa o negativa. Con la exposición4 se posibilita que de una premisa universal y una particular, se asuma como consecuencia una particular. Como ya se dijo, el procedimiento demostrativo por exposición es el menos desarrollado en PA. Se pueden contar los pasajes5 en las de- 1. El nombre de las deducciones de PA se debe a Pedro Hispano, quien lo hizo con el afán

de mostrar sus características y facilitar su memorización [véase: Bochenski 1984, 78]. Por otra parte, La estructura griega presenta primero el predicado y luego el sujeto con la intención de señalar que el primero pertenece al segundo o se da en él.

2. El paso es a Celarent (I) y las de Cesare (II) muestra la conversión que habrá de practi-carse a la premisa mayor. Por otra parte, un interesante estudio sobre los ejemplos que emplea Aristóteles en PA está en Ierodiakonou [2002, 129 ss]. Una posible demostra-ción formal sería: Cesare (II)-Celarent (I). En esta formalización traduzco a fórmu-las las afirmaciones de Aristóteles y empleo las reglas de inferencia básicas que él mismo aplica. Asimismo, número los pasos que se siguen y anoto de donde proceden. Asimismo, se emplea como signo de inferencia y las diagonales // para separar las deducciones, es decir, de la que se parte y a la que se llega y la diagonal en la segunda premisa para señalar la conclusión a la que se desea llegar:

MeN, MaO NeO // NeM,MaO

NeO 1) MeN P

2) MaO P / NeO 3) NeM Conv. 1

4) NeO 3 + 2 3. Algunos comentarios que ilustran el papel de esta vía demostrativa esta en Thorn

[1981, 166 ss]. 4. Un valioso trabajo que toca sólo el aspecto lógico del procedimiento es el de Smith, quien se

preocupa por realizar reconstrucciones formales de ella [cfr. Smith 1983, 27 ss]. 5. En lógica asertórica sólo son cuatro pasajes: 25ª14ss, 28ª18ss, 28b5ss, 28b15ss. En la

lógica modal son dos: 30ª6ss, 30b31ss [véase: Candel [1994, 27 nota 23]. En cuanto a la lógica modal otros problemas esenciales sobre la filosofía aristotélica están en So-rabji [1980, 202].


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ducciones asertóricas donde es empleada. No obstante, no es explicada de manera detallada como la conversión y la reducción, aunque siempre que aparece está al lado de ellas. Desde el principio de PA describe Aristóteles cómo procede la exposición, pero no tiene el mismo tratamiento que los otros dos méto-dos, pues a diferencia de ellos sólo la aplica en algunos pasajes del libro A de PA y no se la explica con mayor rigor en alguna parte del libro B. Quizás, resulta un poco sorprendente que Aristóteles la emplee tan brevemente en PA. Da la impresión de que tiene muy elaborada su idea de lo que significa la exposición en este sistema deductivo y sólo bre-vemente lo ejemplifica siempre al lado de la conversión o de la reduc-ción. No obstante, vale la pena señalar que, por la manera como trata Aristóteles la exposición, parece que no es de gran importancia para el sistema deductivo formal de PA. En los ejemplos en los que aparece, se observan consecuencias enriquecedoras, que le dan mayor trascenden-cia al sistema demostrativo deductivo de PA. La conversión y la reducción tienen como meta el pasar una de-ducción imperfecta, de la segunda o tercera figura a la primera. La exposición no tiene ese fin y no se presenta de la misma manera que las otras dos, aunque se afirma que mediante ella también se demuestra. Parece que con la exposición se explica cómo se relacionan los térmi-nos de una deducción. Sin embargo, sólo a partir de una instancia indi-vidual que se propone en las premisas se alcanza una conclusión parti-cular afirmativa o negativa. Pero no se hace mucho por explicarla con mayor precisión y cuidado en PA. 2.1 Los pasajes en PA sobre la exposición Aquí se toma en cuenta los lugares donde aparece la exposición, su empleo en la particular afirmativa y su aplicación en la particular nega-tiva en la tercera figura. Se inicia su estudio al retomar ciertos pasajes. Aristóteles emplea la exposición directamente en un pasaje donde des-cribe la conversión como vía demostrativa de PA, sin que lo diga direc-tamente. De hecho, en este pasaje aparecen los tres métodos demostra-tivos aplicados en un mismo ejemplo, pero en este momento sólo se atenderá a la exposición. Es sorprendente que lo aplique y no enuncie ni explique qué es en sí este procedimiento ni exponga las razones por las que lo considera un método demostrativo del sistema formal de PA. Aristóteles lo emplea cuando afirma: “Ciertamente, en efecto, sea pri-mero la premisa universal negativa A[e]B. Entonces si A no se da en ningún B, tampoco B se dará en ningún A; pues si [se da] alguno, como por ejemplo C, no será verdad que A no se da en ningún B, puesto que

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C es uno de los B.”1 En este breve pasaje Aristóteles inicia su descripción de la manera cómo trabaja la conversión en la premisa negativa AeB. Sin embargo, también demuestra mediante la exposición,2 la existencia de un elemen-to común que se da entre el término mayor y el término medio. Al aplicar la conversión en AeB se pasa a BeA pero Aristóteles dice que podría darse al menos un elemento en B por lo que ya no se hablaría de una universal negativa sino que se presentaría una particular afirmativa, AiB. A partir de la negación3 de la conversión se infiere la particular afirmativa BiA. La conversa de AeB es BeA y no tendría sentido de ser si en algún momento se diese la opción de que existiese algún elemento que perte-neciera a B. Así, ya no se podría hablar de una universal negativa BeA sino que se habría generado una particular afirmativa BiA. La exposición se aplica inmediatamente después de que se lleva a cabo la conversión de AeB que pasa a BeA. Sin embargo, cuando afirma que si acaso apareciera un elemento que se diera en B, como sería C, entonces se podría hablar de una premisa particular afirmativa BiA. Ello implicaría el empleo de la exposición en tanto que Aristóteles rechaza la premisa o conclusión universal negativa para asumir que podría darse una particular afirmativa. En este caso, es innegable la riqueza propositiva de Aristóteles en este sistema deductivo formal. Este procedimiento por exposición bien podría darse como un punto de partida para la obtención indirecta de BiA, ya que mediante la conversión aplicada a AeB de manera indirecta se llegó a BiA,4 que es su contradictoria [véase: Alexander 1883, 33.25 ss]. No obstante, Aristóteles no menciona aquí la exposición, sólo la emplea al pasar de una universal negativa AeB a una particular afirmativa BiA, por lo que resulta todavía más atractivo el pasaje y dá diversas opciones de interpretación. Cuando se observa el sistema deductivo formal de PA se considera que la conversión y la reducción son suficientes para demostrar las deducciones que allí aparecen. Pero Aristóteles sorprende cuando intro-

1. PA 25a14ss. Prw½ton me\n ouÅn eÃstw sterhtikh\ kaqo/lou h( A B pro/tasij. ei¹

ouÅn mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxei, ou)de\ t%½ A ou)deniì u(pa/rcei to\ B: ei¹ ga/r ti-ni, oiâon t%½ G, ou)k a)lhqe\j eÃstai to\ mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxein: to\ ga\r G tw½n B ti¿ e)stin.

2. Lukasiewicz [1958, 22] considera que esta vía demostrativa bien puede ser el antece-dente de la cuantificación existencial.

3. La exposición bien puede explicarse a partir de que si no es cierto que ningún B se da en A, es que hay un B que es A.

4. Al respecto vale la pena observar lo que opinaron los comentaristas posteriores a Alejandro [véase: Maconi 1985, 94 ss].


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duce otro procedimiento, que en contados pasajes aparece en la obra y procura otros resultados. En conclusión, la conversión de AeB, esto es, BeA se deja de lado al asumir un término expuesto, C, como un elemento de B, lo que posibilita se genere su contradictoria AiB. Así, es la exposición con la que se genera BiA y Aristóteles aclara lo que sucede al menos en un término, mediante una instancia del mismo. También, se señala que cuando existe un elemen-to que pertenece a uno de los términos que componen alguna premisa, en este caso B entonces ya no se puede hablar de premisa universal sino de particular. Así, aquí se trabajó con la exposición sin que se aludiera a ella ni se explica su papel en este sistema de deducción formal. 2.2 La exposición en la premisa particular afirmativa Ahora se verá cómo se aplica la exposición en la premisa particular afirmativa en las deducciones propias de la tercera figura. El uso de la exposición como procedimiento demostrativo lo realiza Aristóteles en PA en contados pasajes, como se ha dicho, ya que en general mediante la conversión y la reducción demuestra una deducción de la segunda o tercera figura en la primera. No obstante, también enuncia que, aunque la deducción imperfecta puede llegar a ser perfecta a través de las otras dos vías, es posible también con la exposición explicar cómo se cons-truye la conclusión de una deducción particular afirmativa o negativa.

Ciertamente, en efecto, al ser universales, cuando P y R se dan en todo S, es necesario que P se dé en algún R; porque, en efecto, la predicativa se invierte, S se da en algún R; de modo que como P se da en todo S, y S se da en algún R, es necesario que P se de en algún R, porque llega a ser deducción de la primera figura. También es posible hacer la demos-tración a través de lo imposible y por la exposición, puesto que si am-bos [términos] se dan en todo S, en caso de tomar uno de los S, por ejemplo N, éste se dará en P y R, de modo que P se dará en algún R.1

Lo primero que hace Aristóteles es señalar cómo Darapti (III) puede pasar a la primera por conversión, lo que en este momento no se toma en cuenta de manera detallada. Sin embargo, cuando afirma Aristóteles que también puede ser demostrada mediante reducción2 o exposición, lo importante es que lo desarrolla a partir de la exposición.

1. PA 28a18ss. Kaqo/lou me\n ouÅn oÃntwn, oÀtan kaiì to\ P kaiì to\ R pantiì t%½ S

u(pa/rxv, oÀti tiniì t%½ R to\ P u(pa/rcei e)c a)na/gkhj e)peiì ga\r a)ntistre/fei to\ kathgo-riko/n, u(pa/rcei to\ S tiniì t%½ R, wÐst' e)peiì t%½ me\n S pantiì to\ P, t%½ de\ R tiniì to\ S, a)na/gkh to\ P tiniì t%½ R u(pa/rxein: gi¿netai ga\r sullogismo\j dia\ tou= prwtou sxh/matoj. eÃsti de\ kaiì dia\ tou= a)duna/tou kaiì t%½ e)kqe/sqai poieiÍn th\n a)po/deicin: ei¹ ga\r aÃmfw pantiì t%½ S u(pa/rxei, aÄn lhfqv= ti tw½n S oiâon to\ N, tou/t% kaiì to\ P kaiì to\ R u(pa/rcei, wÐste tiniì t%½ R to\ P u(pa/rcei.

2. Aunque no da detalle alguno de cómo llevarlo a cabo.

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Brevemente, Aristóteles aplica la exposición al señalar que si ambos términos en este caso el mayor P y el menor R se dan en el término medio S. Con ello sería posible tomar uno de los S, en este caso N, por lo que éste también se daría en P y R como una instancia de S, lo que garantizaría la relación particular que se establecería entre P y R. Aristóteles presenta Darapti (III):

PaS, RaS ├ PiR

En el caso de la exposición, al afirmar que P y R se dan en S de manera universal, cabe la posibilidad de que una instancia de la universal afir-mativa AaB, en este caso N bien puede darse en P y R, por lo que se alcanzaría PiR, la conclusión particular afirmativa. La construcción de PiR, conclusión particular afirmativa, se dio como consecuencia de que en la premisa mayor, la universal afirmativa, S se relaciona con P y en la menor con R, por lo que de las relaciones universales de los términos se obtiene una instancia particular, en este caso afirmativa. Con la exposición en un momento dado puede inferirse PiR de premisas universales afirmativas como PaS y RaS, en tanto que es una instancia de ellas. De modo que, con la exposición es posible asumir que al menos un elemento de una clase, entendida como término que compone la deducción se da en otra, lo que permite que se relacionen los términos universales de la deducción de manera particular. Asimis-mo, lo primero que surgirá como consecuencia de la exposición serán conclusiones particulares, en este caso afirmativas o negativas. En efecto, la exposición se explica mediante una cuestión intuiti-vamente verdadera, en el sentido de que de dos premisas universales puede surgir una conclusión particular, pues al afirmar categóricamente algo es posible concluir al menos la existencia de un elemento que confirmase lo afirmado por las premisas. Como se ve en el ejemplo:

PaS, RaS ├ PiR, donde se acaba de construir Darapti (III).

No hay problema en asumir que N es una instancia de S por lo que bien puede ocupar un lugar en la deducción original. En este caso, P y R pueden darse en N, lo que señala que se postula la existencia de una instancia del término medio S, presente en la mayor con P y en la me-nor con R, ello explica cómo se alcanza una conclusión particular, en este caso PiR. Una conclusión particular afirmativa es consecuencia de que se aceptó la existencia de un elemento que pertenece a S, en este caso N, que podría ser asumido como a instancia del término medio o subclase de una universal que sería S. Al relacionarse N, la instancia de S, térmi-


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no medio con P y R favorece la generación de una deducción de la tercera figura. Queda claro que sólo se analizó un pasaje donde puede observarse la exposición en la tercera figura, cuando se termina de construir Darapti (III). Se puede afirmar que Aristóteles trata la exposición de manera esquemática y rápida, sin que señale problemas insolubles como su empleo en este caso de Datapti (III). No obstante, aparecen otros ejem-plos de exposición,1 pero con el ya señalado se observa el proceder de tal vía demostrativa. 2.4 La exposición en la particular negativa Vale la pena observar lo que sucede con la particular negativa, aunque el empleo de la exposición también lo realiza Aristóteles en ella, nue-vamente son escasos los pasajes donde lo desarrolla. Los lugares donde se emplea la exposición en la tercera figura han sido relacionados con premisas y conclusiones afirmativas, lo que muestra como incompleto el desarrollo del tema por Aristóteles. No obstante, es incorrecta esa opinión ya que inmediatamente después de la explicación sobre ellas lo hace sobre la particular negativa. A diferencia de los anteriores casos, donde afirma que con la exposición se concluye una deducción ahora lo ejemplifica así:

Pero, en efecto, si un [término] es predicativo y el otro es privativo, y el predicativo es universal, ciertamente cuando el [término] menor sea predicativo, habrá deducción. Puesto que si R se da en todo S, y P no se da en algún [S], es necesario que P no se dé en algún R. Porque si [P] se da en todo [R], y R [se da] en todo S, también P se dará en todo S, pero no se dio. Y también se demuestra sin la reducción, si se toma uno de los S que no se da en P.2

Lo primero que se toma en cuenta es que en la tercera figura no se de-muestra conclusión universal alguna, sólo particulares por lo que es factible que:

PoS, RaS ├ PoR

se obtenga Bocardo (III). La deducción no se ve alterada, pues si se toman en cuenta los supuestos:

PaR, RaS ├ PaS 1. PA 28b7ss y 28b15ss. 2. PA 28b15ss. ¹Ea\n d' o( me\n vÅ kathgoriko\j o( de\ sterhtiko/j, kaqo/lou de\ o( kath-

goriko/j, oÀtan me\n o( e)la/ttwn vÅ kathgoriko/j, eÃstai sullogismo/j. ei¹ ga\r to\ R pantiì t%½ S, to\ de\ P tiniì mh\ u(pa/rxei, a)na/gkh to\ P tiniì t%½ R mh\ u(pa/rxein. ei¹ ga\r panti¿, kaiì to\ R pantiì t%½ S, kaiì to\ P pantiì t%½ S u(pa/rcei: a)ll' ou)x u(ph=rxen. dei¿knutai de\ kaiì aÃneu th=j a)pagwgh=j, e)a\n lhfqv= ti tw½n S %Ò to\ P mh\ u(pa/rxei.

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se hablaría de la primera figura en Barbara (I) pero Aristóteles dice que la demostración se puede realizar sin la reducción. En este caso, se asume la exposición como vía demostrativa al considerar que: “[…] P no se da en alguno de los S.” En este sentido, es difícil asumir que si P no se da en algún S término medio, entonces existe un M tal que se de en S y que no se da en P ni en R, por lo que se obtiene una conclusión particular negativa:

PoS(M), RaS(M) ├ PoR

Aristóteles emplea la exposición primero para generar conclusiones particulares afirmativas y después también lo hace para alcanzar la particular negativa. Lo importante es reconocer que la conclusión PoR es consecuencia de asumir que hubo una instancia del término medio S, que no se dio en el menor R, por lo que se construyó Bocardo (III). En efecto, este procedimiento empleado en Bocardo (III) es similar al de Darapti (III) pero en este caso con la intención de asumir la particular negativa AoB como conclusión. Puede observarse que Aristóteles pre-tende dar el mayor número de posibilidades demostrativas, como en el caso de AoB ya que mediante la exposición fue posible obtenerla en la deducción. Aristóteles demuestra que la conclusión particular negativa PoR surge de la misma manera que la particular afirmativa PiR. Su diferen-cia está en que en la particular afirmativa se considera que existe al menos un elemento en S, el término medio, que se daría al menos en P, el mayor. En la particular negativa se considera la no existencia de al menos un elemento en el medio que se dé en el menor. Ésta es una explicación de cómo puede entenderse la exposición en la construcción de Bocardo (III), en el sentido de que se considera que “[…] P no se da en alguno de los S.” Este procedimiento poco empleado en PA no fue visto como claro y capaz de facilitar la demostración de deducciones de la segunda y tercera figura en su paso a la primera. Más bien podría observarse como una vía por la que se explica cómo se construye una deducción a partir de introducir premisas particulares, con la finalidad de alcanzar una conclusión particular afirmativa o negativa. Lo importante es observar que mediante la negación también se puede alcanzar una deducción con conclusión particular, que conse-cuencia de una instancia de alguna universal, al menos. En la antigüe-dad se consideró que la exposición era un método por el que se obtendr-ía algún tipo de evidencia perceptual, en el sentido de que se daría una instancia particular como consecuencia de una universal [véase: Alexander 1883, 32.12]. Así, se observa que la exposición nada tiene


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que ver con la finalidad de PA, en el sentido de demostrar el paso de una deducción de la segunda o tercera figura a la primera, por lo que se podría dejar de lado. Por otra parte, la exposición más bien parece una vía por la que se puede señalar una excepción de la regla, esto es, de alguna premisa universal es posible que se extraiga al menos un elemento mediante el que se genere alguna conclusión particular. Lo importante de la exposi-ción es que facilita que se entienda cómo se construye una deducción con conclusiones particulares afirmativas o negativas. Con la exposi-ción se alcanza una conclusión particular afirmativa como AiB o una particular negativa como AoB, aunque no queda claro el procedimiento para ello, ya que sólo se lo señaló. Sin embargo, aún con lo poco que la expone Aristóteles se la puede observar como una vía para entender cómo se concluye una deducción en PA. Su capacidad constructiva es innegable y las consecuencias que se pueden observar en este sistema formal bien pueden trascender. 3. La reducción La reducción es una vía demostrativa por la que se pasa de una figura a otra. A diferencia de la conversión que trabaja sobre la deducción ori-ginal, la reducción introduce la falsedad como punto de partida para al-canzar la figura deseada. Con ella se asume como falsa la conclusión de la deducción original y verdadera su contradictoria. La reducción es un pro-cedimiento por el que se pasa de la segunda y tercera figura a la primera, considerada perfecta por el orden que tienen sus términos en las premisas y en la conclusión. Al igual que la conversión, la reducción es ampliamente explicada y ejemplificada en PA, pues en el libro A se la enuncia, describe y ejemplifica a cada momento. Por otra parte, en el libro B ya se la asume de manera más abstracta, en el sentido de mostrar paso a paso cómo se realiza y lo que sucedería si acaso se toma la contraria o la contradictoria1 de una conclusión cuando se la emplea en una deducción. Aristóteles considera que todo lo que se demuestra por reduc-ción también puede probarse por la conversión. En todo PA no deja de señalar que la reducción en su proceder ha de echar mano de un elemento externo a la deducción original, a saber, de la falsedad. Lo que significa que se considera como falsa la conclusión de una de-ducción y su contradictoria como verdadera, el punto de partida para la construcción de una nueva deducción.

1. Al respecto es muy valiosa la explicación de Lukasiewicz sobre la contradicción en

Aristóteles [véase: “Aristotle on the Law of Contradiction” p 51 ss.

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En todo momento, Aristóteles señala cómo funciona dicho proce-dimiento demostrativo, aunque ciertamente, en algunos casos no es muy fácil seguir sus planteamientos por lo breve y sistemático que aparece; no obstante, un cuidadoso análisis de los pasajes muestra una gran riqueza intelectual en los planteamientos. Aquí sólo se destaca su presencia en PA como procedimiento demostrativo. No obstante, la reducción será comprendida a partir de los ejemplos que da Aristóteles en las tres figuras. Por ello, primero se verá cómo procede esta vía en la segunda figura, su desarrollo en la tercera y su finalidad como procedi-miento demostrativo. 3.1 Un ejemplo de reducción en la segunda figura Quizás, los casos más claros donde se aplica la reducción en PA apare-cen cuando se trata de mostrar Baroco (II) y Bocardo (III). Aristóteles lo hace de manera directa, sin preámbulos, pues asume las deducciones como tales y poco a poco las desarrolla por reducción. Al enunciar las deducciones de la segunda figura y tratar Baroco (II) afirma:

Nuevamente, si, en efecto, M se da en todo N, pero [M] no se da en algún O, necesariamente N no se da en algún O, porque si [N] se da en todo [O] y también M se predica de todo N, necesariamente M se da en todo O, pero se asumió que en alguno no se da.1

En efecto, se propone Baroco (II) cuando se afirma:

MaN, MoO ├ NoO

Inmediatamente realiza Aristóteles la reducción, al tomar en cuenta la contradictoria de la conclusión que es NaO y aparece como premisa menor, que une a la premisa mayor MaN que es universal afirmativa para alcanzar también una conclusión universal afirmativa en Barbara2 (I): La reducción es comprensible aun cuando es esquemática la postu-

1. PA 27ª37ss. pa/lin ei¹ t%½ me\n N pantiì to\ M, t%½ de\ C tiniì mh\ u(pa/rxei, a)na/gkh

to\ N tiniì t%½ C mh\ u(pa/rxein: ei¹ ga\r pantiì u(pa/rxei, kathgoreiÍtai de\ kaiì to\ M panto\j tou= N, a)na/gkh to\ M pantiì t%½ C u(pa/rxein: u(pe/keito de\ tiniì mh\ u(pa/rxein.

2. Una posible demostración formal sería: Baroco (II)-Barbara (I). Para la explicación de la formalización véase la nota 22.

MaN, MoO NoO // MaN,NaO

MaO 1) MaN P 2) MoO P

3) NoO P ∴ MaO 4) NaO red 3 5) MaO red 2


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lación de Baroco (II) y su paso a Barbara (I). En este breve pasaje se aplica la reducción en una deducción de la segunda figura para pasarlo a la primera. Como se asume la hipótesis de la falsedad de NoO enton-ces se introduce su contradictoria NaO y se la toma como premisa me-nor de Barbara (I). Por otra parte, en el caso de la segunda figura el término medio de la deducción original, Baroco (II) aparece como término mayor de la conclusión de la deducción reducida, esto es, Bar-bara (I). Aristóteles emplea la reducción sin preocuparse por explicarla o introducirla de manera teórica sino que la aplica directamente a un caso específico; asimismo, tampoco, después de llevarla a cabo, se interesa en exponer por qué lo hizo ni lo que significa cada paso que realizó, sino que solamente la empleo sobre una conclusión de la segunda figura. Ciertamente, aunque aquí se asume la reducción no hay explicación alguna de cómo y por qué se empleó, simplemente se pasó una deduc-ción de la segunda figura, imperfecta, a uno de la primera, perfecta. 3.2 Un ejemplo de reducción en la tercera figura Ahora se verá la reducción en la tercera figura, su manera de proceder y su diferencia de la segunda figura. De todas las deducciones que apare-cen en PA hay dos que, como ya se ha dicho, sólo pueden ser demos-tradas mediante la reducción. La primera es Baroco (II) que está com-puesta por una premisa mayor universal afirmativa AaB y una menor particular negativa AoB, lo que señala cierta relación con Bocardo (III), aunque en este caso la universal afirmativa AaB aparece como premisa menor y la particular negativa AoB como mayor. Aristóteles expone:

Porque si R se da en todo S, y P no se da en algún [S], es necesario que P no se dé en algún R,1 puesto que si [P] se da en todo [R], y R se da en todo S, también P se dará en todo S, pero no se dio. Y se demuestra también sin la reducción, si se toma que P no se da en uno de los S.2

En este esquemático pasaje se formula una deducción de la tercera figura que también la pasa a la primera mediante una reducción que es comprensible, pues se asume Bocardo (III):

PoS, RaS ├ PoR

inmediatamente realiza Aristóteles la reducción. Pasa la contradictoria

1. Enuncia primero la premisa menor y luego la mayor de Bocardo (III). 2. PA 28b17ss. ei¹ ga\r to\ R pantiì t%½ S, to\ de\ P tiniì mh\ u(pa/rxei, a)na/gkh to\ P

tiniì t%½ R mh\ u(pa/rxein. ei¹ ga\r panti¿, kaiì to\ R pantiì t%½ S, kaiì to\ P pan-tiì t%½ S u(pa/rcei: a)ll' ou)x u(ph=rxen. dei¿knutai de\ kaiì aÃneu th=j a)pagwgh=j, e)a\n lhfqv= ti tw½n S %Ò to\ P mh\ u(pa/rxei.

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de la conclusión PoR a PaR y la toma como premisa mayor de la de-ducción de la primera figura, afirma:

PaR, RaS ├ PaS

que puede observarse como Barbara (I). En efecto, no anticipa que hará una reducción ni explica por qué la lleva a cabo sino que la realiza y no hay dificultad en comprender Bocardo (III) ni la reducción y el resultado que se obtiene con su empleo, esto es, Barbara (I). Lo importante es obser-var que la conclusión de Barbara (I), PaS es la contradictoria de la premisa mayor de Bocardo (III). Por otra parte, el término medio de la deducción original pasa como término menor de la conclusión reducida. La manera como se emplea la reducción en el pasaje bien podría tomarse en el mismo sentido que apareció en Baroco (II), ya que la contradictoria de la conclusión aparece como premisa de una nueva deducción que se formará. Se puede concluir que en Baroco (II), la contradictoria de la conclusión, al pasar a Barbara (I) se presentó como premisa menor y en Bocardo (III) como mayor. En todo caso, la reduc-ción favorece que en un momento dado pueda generarse una nueva deducción. Ésta tiene como punto de partida asumir la falsedad de la conclusión de una deducción imperfecta para construir una perfecta. Por otra parte, en Baroco (II) su término medio pasa como mayor en Barbara (I), en tanto que el término medio de Bocardo (III) pasa como menor en Barbara (I). Así, las dos reducciones más vistosa de PA, a saber Baroco (II) y Bocardo (III) también mantienen una cierta simetría en su paso a Barbara (I), en premisas y en el orden de los términos. 3.3 Finalidad de la reducción El sentido de la reducción como procedimiento demostrativo de PA cumple con una función clara que es pasar el orden de los términos de una deducción imperfecta a una perfecta, lo que habrá que verse con detalle. Asimismo, en obtener la contradictoria () de una de las premi-sas y al emplear la otra premisa, esto es la contradictoria de la conclu-sión, es lo que demuestra la validez de la deducción original. Así como la conversión fue descrita en el libro A de PA y en el B ya analizada y expuesta para su mejor comprensión, lo mismo sucede con la reducción que juega un papel central en este sistema deductivo. En este caso, vale la pena tomar en cuenta un breve pasaje del libro B donde Aristóteles dice:

Pero hay reducción cuando es evidente que, ciertamente, el [término] primero se da en el [término] medio, pero no es evidente, en efecto, que el [término] medio se da en el [término] último, aunque fuese igualmen-te confiable o más que la conclusión. Aún si los [términos] medios son


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pocos el [término] último y el [término] medio, porque en todos estos casos ocurre que se está más cerca de la ciencia.1

Aquí ya se está en el nivel de la teoría más depurada que explica el sentido formal de la reducción, cuando se señala la finalidad con la que se la emplea. Aristóteles considera que habrá de existir una relación estrecha entre los términos mayor y medio, en la medida en que la conclusión altera su orden en la deducción que se genera a partir de la reducción. El término medio habrá de aparecer en la conclusión de una deducción que surgirá en el momento en que se introduzca la contradic-toria de la conclusión en una deducción imperfecta. En este sentido, el término medio sólo aparece en las premisas y mediante la reducción se posibilita que se vea en la conclusión, al asumir el lugar del término mayor o del menor. La finalidad de la reducción es pasar de una figura a otra a través del empleo de la hipótesis de la falsedad que habrá de presentarse en la conclusión de la deducción original y que sustituye la premisa negativa de la deducción que se deja de lado. Asimismo, con ella se posibilita que el término medio aparezca en la conclusión de la nueva deducción ya como término mayor ya como término menor. No obstante, la finali-dad de la reducción es favorecer que los términos de una deducción estén distribuidos, como ya se dijo, circunstancia que sólo se presenta en la primera figura, ya que la posición que tiene en ella es diferente en premisas y conclusión. Por otra parte, habrá que ver lo que sucede al asumir la reducción en las deducciones científicas, si acaso se daría esta relación entre los términos o no; asimismo si mediante ello sería posible reconocer algún tipo de certeza que mostrase que una deducción estuviese más cerca del conocimiento. Esta cercanía con el conocimiento sólo significaría eso, no implicaría una identificación con él ni tampoco una imposibilidad de error en lo que se concluyese. Con estos pasajes no se agota lo que implica la reducción en PA pero se reconocen sus elementos distintivos, por lo que no se la confunde con la conversión ni tampoco con la expo-sición, en la medida en que su proceder tiene matices específicos que no poseen ellas. Con la demostración de Baroco (II) no existe problema alguno en asumir como se lleva a cabo la reducción pues inmediatamente después de formularlo lo pasa a Barbara (I), aunque en ningún momento anun- 1. PA 69a20. ¹Apagwgh\ d' e)stiìn oÀtan t%½ me\n me/s% to\ prw½ton dh=lon vÅ u(pa/rxon,

t%½ d' e)sxa/t% to\ me/son aÃdhlon me/n, o(moi¿wj de\ pisto\n hÄ ma=llon tou= sumpe-ra/smatoj: eÃti aÄn o)li¿ga vÅ ta\ me/sa tou= e)sxa/tou kaiì tou= me/sou: pa/ntwj ga\r e)ggu/teron eiånai sumbai¿nei th=j e)pisth/mhj.

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ció que haría uso de ella, por lo que da la impresión de que Aristóteles tenía muy claro lo que exponía. En cuanto a Bocardo (III), ciertamente, sucede lo mismo que en Baroco (II). Aristóteles lleva a cabo la reducción sin necesidad de anticipar que haría uso de ella ni tampoco se preocupa por explicarla después de emplearla. Lo que llama la atención en este caso es que, después de ello, considera que Bocardo (III) también podría alcanzarse con la exposición, aunque no lo lleva a cabo. En este momento, una contrastación entre los procedimientos demostrativos favorece que se distinga la característica propia de cada uno de ellos. Asimismo, con ello se reconocerá que ninguno interfiere en el proceder del otro o es necesario para que los otros se lleven a cabo. 4. Contrastación Las características propias de los procedimientos demostrativos de PA son el punto de partida para llevar a cabo una contrastación entre ellos. En efecto, la conversión y la reducción presentan sus claras diferencias en su proceder y no existe dificultad en señalarlas; por el contrario, la exposición no está muy ejemplificada ni explicada, lo que no impide que puedan observarse ciertas características esenciales. En general, se pueden señalar diferencias como sería el que con la conversión sólo se cambia el orden de los términos que aparecen en las premisas y en la conclusión; asimismo, se observa una clara simetría cuando se aplica sobre AeB y AiB. En tanto que en la exposición se explica cómo es posible concluir una deducción cuya conclusión es particular, ya sea afirmativa o negativa. Por su parte, la reducción favo-rece que se alcance una deducción de la primera figura a partir de intro-ducir la hipótesis de la contradicción. En este sentido, es importante reconocer su papel de la exposición al lado de las otras dos vías demos-trativas,1 lo que resulta más claro mediante una contrastación que mues-tre hasta dónde se relaciona una con otra, en este sistema demostrativo formal. En efecto, son pocos los pasajes donde se trabaja la exposición2 y aún más escasos aquellos donde puede observarse el empleo de los tres procedimientos demostrativos de PA en un mismo momento. Pues, o bien Aristóteles sólo emplea uno o bien a veces dos, la conversión y la exposición o la reducción y la exposición. Por esta razón, se valoran más los pasajes donde se aplican uno tras otro los tres procedimientos demostrativos, lo que permite su contrastación y que se tenga una idea 1. Hay diversos pasajes en PA donde se exponen las diferencias entre conversión y reduc-

ción. Cfr. 62b23ss. No sucede lo mismo con la exposición. 2. Véase nota 28.


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más clara de lo que pensaba Aristóteles cuando desarrolló este sistema deductivo formal. Cada lugar, donde se emplean los tres métodos, cuando se anali-zan de manera particular, se observa una gran riqueza argumentativa formal y en esa medida pueden señalarse características específicas que Aristóteles consideró importante exponer. Asimismo, el que se trabaje con ellos en un mismo ejemplo permite que se comprenda cómo fun-cionan, ya que es muy específico cada procedimiento y el observar uno al lado de los otros dos, aclara su papel en el sistema deductivo formal de PA. 4.1 La contrastación de las vías demostrativos de PA en AeB Los temas centrales que se abordan son: la contrastación de las vías demostrativas a partir de la universal negativa, después en Darapti (III) y finalmente en Bocardo (III). El primer pasaje donde es posible con-trastar los tres procedimientos demostrativos de PA está al inicio de la obra, cuando se describe por primera vez la conversión como método demostrativo. En él se ejemplifica de manera formal las premisas en los que ello se puede llevar a cabo. Aristóteles considera que lo que ex-presó en el lenguaje natural, esto es, la manera como se convierte una parte de una deducción, vale la pena realizarla en el lenguaje formal, así:

Ciertamente, en efecto, sea primero la premisa universal negativa A[e]B. Entonces si A no se da en ningún B, tampoco B se dará en ningún A; pues si [se da] alguno, como por ejemplo C, no será verdade-ro que A no se da en ningún B, puesto que C es uno de los B. Pero si A se da en todo B, también B se da en algún A, pues si [B] no se da en ningún [A], tampoco A se dará en ningún B, pero se supuso que [A] se da en todo [B]. Y de igual manera también si la premisa es particular, puesto que si A se da en algún B, también necesariamente B se da en algún A; porque si no se da en ninguno, tampoco A se da en ningún B. Pero si, en efecto, A no se da en algún B, no necesariamente tampoco B se da en algún A, por ejemplo: si B es animal y A es hombre, ciertamen-te, en efecto, ‘hombre no se da en todo animal’, pero ‘animal se da en todo hombre’.1

1. PA 25ª14ss. Prw½ton me\n ouÅn eÃstw sterhtikh\ kaqo/lou h( A B pro/tasij. ei¹

ouÅn mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxei, ou)de\ t%½ A ou)deniì u(pa/rcei to\ B: ei¹ ga/r tini, oiâon t%½ G, ou)k a)lhqe\j eÃstai to\ mhdeniì t%½ B to\ A u(pa/rxein: to\ ga\r G tw½n B ti¿ e)stin. ei¹ de\ pantiì to\ A t%½ B, kaiì to\ B tiniì t%½ A u(pa/rcei: ei¹ ga\r mhdeni¿, ou)de\ to\ A ou)deniì t%½ B u(pa/rcei: a)ll' u(pe/keito pantiì u(pa/rxein. o(moi¿wj de\ kaiì ei¹ kata\ me/roj e)stiìn h( pro/tasij. ei¹ ga\r to\ A tiniì t%½ B, kaiì to\ B tiniì t%½ A a)na/gkh u(pa/rxein: ei¹ ga\r mhdeni¿, ou)de\ to\ A ou)deniì t%½ B. ei¹ de/ ge to\ A tiniì t%½ B mh\ u(pa/rxei, ou)k a)na/gkh kaiì to\ B tiniì t%½ A mh\ u(pa/rxein, oiâon ei¹ to\ me\n B e)stiì z%½on, to\ de\ A aÃnqrwpoj: aÃnqrwpoj me\n ga\r ou) pantiì z%¯%, z%½on de\ pantiì a)nqrw¯p% u(pa/rxei.

24 Ana Bertha Nova

Mathesis

Mediante la conversión fue posible pasar de AeB a BeA, puesto que ella sólo trabaja con los términos presentes en las premisas o en la conclu-sión. Con la reducción fue posible pasar de AeB a AiB, esto es, se al-canzó la contradictoria de la conclusión, que aparecerá como premisa de una nueva deducción, lo que señala su diferencia de la conversión. Finalmente, con la exposición se pretende generar una conclusión para introducirla en una deducción. En efecto, la conversión de AeB es comprensible:

AeB ├ BeA

También es claro que si por alguna razón se da algún A en B, esto es, que existe un elemento de la clase B que se dé en la clase A, lo que bien podría representarse como C entonces sería errado afirmar AeB, pues:

AiB

sería una consecuencia de ese elemento común que podría aparecer entre A y B lo que significa que de:

AeB se puede alcanzar:

AiB En este caso AiB también podría ser considerada como contradictoria de AeB. En un primer momento está la conversión:

AeB ├ BeA

después la exposición al asumir un elemento cualquiera, en este caso C que pertenece a B y también a A, por lo que se asume:

AiB

lo que sería la presencia de la contradictoria de AeB, por lo que se ob-tiene:

AiB

Así, hablar de la contradicción es reconocer el elemento central de la reducción. Puede observarse que a partir de una misma postulación, en este caso de la universal negativa AeB, se aplicaron los tres procedimien-tos demostrativos sin que se diera mayor explicación o importancia a uno que a otro. En resumen, los tres métodos están aquí a partir de AeB; no obstante, se observa su diverso proceder ya que la conversión da:

AeB ├ BeA Mientras que la exposición introduce un nuevo elemento con el que se forma en este caso la conclusión de la deducción:


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A se da en C y B se da en C

por lo que se obtiene: AiB

La particular afirmativa que señala la existencia de al menos un ele-mento común en A y B. En tanto que la reducción se asume como con-secuencia de que aparece la contradictoria de AeB, esto es:

AeB ├ AiB

Vale la pena tomar en cuenta que el ejemplo de esta conversión permi-te que se observe la exposición como un procedimiento por el que se puede explicar cómo se genera una deducción. Este es el único pasaje en PA donde se aplican las tres vías demostrativas una tras otra. No obstante, no en una deducción completa aunque sí se trabaja en una parte de ella, en este caso en una universal negativa AeB, en los siguien-tes ejemplos ya se trabaja sobre deducciones. 4.2 La contrastación de las vías demostrativas en Darapti (III) En este momento, se contrastan los procedimientos demostrativos de PA, para resaltar las características más propias de cada uno de ellos en una deducción con conclusión afirmativa, en este caso Darapti (III). Lo más relevante en el empleo de esos métodos demostrativos está en las deducciones que aparecen en cada figura, ya que al observar la deducción completa y la manera como se demuestra es posible contra-star cabalmente cada uno de los procedimientos. Cuando Aristóteles trabaja en la tercera figura, al hacerlo sobre deducciones que contienen premisas universales afirmativas considera:

Ciertamente, en efecto, al ser universales, cuando P y R se dan en todo S, necesariamente P se da en algún R; porque, en efecto, la predicativa se in-vierte, S se da en algún R, de modo que como P se da en todo S, y S se da en algún R, es necesario que P se de en algún R, porque llega a ser deducción de la primera figura. También es posible hacer la demostración a través de lo imposible y por la exposición, puesto que si ambos [términos] se dan en todo S, en caso de tomar uno de los S, por ejemplo N, también éste se dará en P y R, de modo que P se dará en algún R.1

Lo primero que se observa es una deducción de la tercera figura: 1. PA 28a18ss. Kaqo/lou me\n ouÅn oÃntwn, oÀtan kaiì to\ P kaiì to\ R pantiì t%½ S

u(pa/rxv, oÀti tiniì t%½ R to\ P u(pa/rcei e)c a)na/gkhj: e)peiì ga\r a)ntistre/fei to\ kathgoriko/n, u(pa/rcei to\ S tiniì t%½ R, wÐst' e)peiì t%½ me\n S pantiì to\ P, t%½ de\ R tiniì to\ S, a)na/gkh to\ P tiniì t%½ R u(pa/rxein: gi¿netai ga\r sullogismo\j dia\ tou= prwtou sxh/matoj. eÃsti de\ kaiì dia\ tou= a)duna/tou kaiì t%½ e)kqe/sqai poieiÍn th\n a)po/deicin: ei¹ ga\r aÃmfw pantiì t%½ S u(pa/rxei, aÄn lhfqv= ti tw½n S oiâon to\ N, tou/t% kaiì to\ P kaiì to\ R u(pa/rcei, wÐste tiniì t%½ R to\ P u(pa/rcei.

26 Ana Bertha Nova

Mathesis

PaS, RaS├ PiR

que queda: Darapti (III) A PS A RS I PR

donde se reconoce que la conversión de la premisa menor:

RaS da como resultado:

SiR

En tanto, la universal pasa a particular, por lo que no hay problema en que se alcance Darii (I):

PaS, SiR ├ PiR que queda: Darii (I)1

A PS I SR I PR

Así, de Darapti (III) se pasa a Darii (I) por conversión. Aristóteles dice que se puede pasar a dicha deducción también con la reducción, aunque no lo lleva a cabo. Sin embargo, sí explica como la concluye con la exposición, al tomar en cuenta que si ambos términos, en este caso P y R, mayor y menor, se dan en alguno de los S, que bien podría ser N, entonces:

PaS(N), RaS(N) ├ PiR

Lo que favorece que se genere Darapti (III). Con la exposición se ex-plicó cómo se podría concluir una deducción que tuviera, como en este caso, premisas universales. No importa que Darapti (III) no haya sido demostrada en este

1. Una posible demostración formal sería: Darapti (III)-Darii (I) PaS,RaS PiR // PiR 1) PaS P 2) RaS P / PiR 3) SiR Conv 2 4) PiR 1+3


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momento por reducción, lo que vale la pena resaltar es que primero se construyó la deducción, después se le aplicó la conversión y pasó a la primera figura, en este caso en Darii (I). Asimismo, que a partir de la relación que se daba entre los términos PRS fue posible observar cómo se alcanza una conclusión particular mediante la exposición. Así, en las deducciones de la tercera figura, imperfecta, con la conversión se pasa a la primera, perfecta y con la exposición explica cómo se termina de construir una deducción en la tercera, al mostrar que de premisas uni-versales se puede alcanzar una conclusión particular. Por otra parte, vale la pena señalar que no son vías demostrativas que se complementan sino vías demostrativas que se emplean sobre un mismo tipo de deducciones. Aunque la reducción y la conversión ten-gan la misma finalidad no necesitan la una de la otra para alcanzar su meta. 4.3 La contrastación de las vías demostrativas en Bocardo (III) Ahora, se verá cómo se presentan estas vías demostrativas en una de-ducción con conclusión particular negativa. Aquí Bocardo (III) es presentado como una deducción donde se practica la reducción para pasarlo a la primera figura y la exposición para explicar cómo se termi-na de construir, pero a diferencia de Darapti (III) la conclusión es parti-cular negativa. Por otra parte, en Darapti (III) se aplicó la conversión y exposi-ción en premisas y conclusiones universales afirmativas, por lo que vale la pena saber qué sucede con otro tipo de deducciones que están constituidas por otro tipo de premisas. Ahora se verá lo que sucede con Bocardo (III), constituida por una premisa mayor particular negativa y una menor universal afirmativa:

Pero, en efecto, si un [término] es predicativo y el otro es privativo, y el predicativo es universal, ciertamente cuando el [término] menor sea predicativo, habrá deducción. Puesto que si R se da en todo S, y P no se da en algún [S], es necesario que P no se de en algún R. Porque si [P] se da en todo [R], y R se da en todo S, también P se dará en todo S, pero no se dio. Y también se demuestra sin la reducción si se toma uno de los S en que no se da P.1

Lo primero que se observa es que se construye:

1. PA 28b15ss. ¹Ea\n d' o( me\n vÅ kathgoriko\j o( de\ sterhtiko/j, kaqo/lou de\ o(

kathgoriko/j, oÀtan me\n o( e)la/ttwn vÅ kathgoriko/j, eÃstai sullogismo/j. ei¹ ga\r to\ R pantiì t%½ S, to\ de\ P tiniì mh\ u(pa/rxei, a)na/gkh to\ P tiniì t%½ R mh\ u(pa/rxein. ei¹ ga\r panti¿, kaiì to\ R pantiì t%½ S, kaiì to\ P pantiì t%½ S u(pa/rcei: a)ll' ou)x u(ph=rxen. dei¿knutai de\ kaiì aÃneu th=j a)pagwgh=j, e)a\n lhfqv= ti tw½n S %Ò to\ P mh\ u(pa/rxei.

28 Ana Bertha Nova

Mathesis

PoS, RaS ├ PoR

donde se garantiza la deducción en la medida en que la premisa menor:

RaS

es universal y se demuestra mediante la reducción. Se afirma que es posible como se concluye a partir de la exposición, que se da cuando se toma en cuenta, en este caso, que “[…] uno de los S no se da en P.” Ciertamente, el que Bocardo (III) puede ser demostrado por reducción no ofrece problema alguno, pues de:

PoS, RaS PoR al asumir la falsedad de la conclusión:

PoR

se obtiene la contradictoria de la conclusión que sería:

PaR

por lo que: PaR, RaS ├ PaS

sería Barbara (I). Así, se demuestra el paso de una deducción de una figura imper-fecta a una perfecta. Aquí, sólo enuncia Aristóteles Bocardo (III) y lo demuestra por reducción, aunque considera que no era necesaria la reducción si acaso se lleva a cabo la exposición. Pues a partir de la premisa menor universal:

RaS

considera que se señala la no existencia de un elemento N cualquiera en S, el término menor, tal que habría de darse:

PoR

Pero no se sabe de qué manera ello garantiza este resultado, semejante al de las afirmativas. Por otra parte, tampoco se ve cómo termina de construir Bocardo (III) a partir de la exposición, ya que es posible al-canzar la existencia de una particular a partir de una instancia de la universal afirmativa o negativa. Parece que de manera semejante podría darse en el caso de la particular negativa, sólo que se asume la no exis-tencia de al menos un elemento en R, el término menor, por lo que se alcanza PoR. En conclusión, Bocardo (III) pasa a Barbara (I) mediante la re-ducción y sólo se alude a la exposición como vía para terminar de construirlo en la tercera figura, al tomar en cuenta sus premisas. A


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diferencia de Darapti (III) en el que se parte de premisas universales afirmativas y se alcanza una conclusión particular afirmativa. En Bo-cardo (III) se parte de una menor universal afirmativa para llegar a una conclusión particular negativa. Por otra parte, en Darapti (III) se em-plea la conversión y la exposición mientras que en Bocardo (III) se alude a la reducción y a la exposición, algo comprensible por el tipo de deducción que se presenta en cada caso. Así, con estos ejemplos en la contrastación de los procedimientos demostrativos de PA, se observa que sólo puede aplicarse de manera parcial la exposición, en la medida en que en Darapti (III) se alude a la reducción y no se ejemplifica y en Bocardo (III) se aplica la reducción y se afirma que también puede emplearse la exposición. 5. Conclusiones El análisis directo de los procedimientos demostrativos de PA favorece que se los analice en su justa dimensión, en la medida en que son des-critos, ejemplificados y, en el caso de la conversión y la reducción explicados minuciosamente en el libro B de PA. Cada uno de ellos tiene un sentido específico en este sistema formal. Asimismo, al tomar en cuenta su contrastación es factible reconocer cuáles están más cerca entre sí en finalidad y cuán acabada estaba la concepción de Aristóteles sobre cada uno de ellos. En cuanto a los métodos demostrativos en sí es claro que sólo la conversión y la reducción son empleados para pasar de una figura a otra, lo que no sucede con la exposición. Ella es empleada como proce-dimiento para explicar cómo se alcanza una deducción con conclusión particular afirmativa o negativa. Puede observarse que la conversión y la reducción posibilitan el cam-bio de figura a figura, con el objeto de mostrar cómo se puede pasar de una deducción imperfecta a una perfecta y viceversa. En tanto que la exposición permanece en el esquema de la figura original, en este caso, la tercera. Aristóteles afirma que lo que se demuestra con la conversión tam-bién se hace con la reducción, en la medida en que ambas trabajan con los mismos términos y sobre una deducción dada, aunque su proceder tuviese características propias en cada caso. Finalmente, con la exposi-ción se explica cómo se concluye una deducción. Podría observarse que la conversión transpone los términos de la premisa o la conclusión, así:

AaB ├ BiA AeB ├ BeA AiB ├ BiA

30 Ana Bertha Nova

Mathesis

La reducción sólo trabaja con la contradicción y en esa medida puede pasar de una deducción imperfecta a una perfecta:

AaB ├ AoB AeB ├ AiB AiB ├ AeB AoB ├ AaB

En tanto que la exposición facilita que se termine de construir una de-ducción al alcanzar una conclusión particular afirmativa: AaB AeB AaB 1 AiB � AoB La conversión es la por la que se obtiene un resultado simétrico en la deducción. Por otra parte, la reducción es el procedimiento por el que una deducción de una figura diferente a la primera es demostrada al pasarlo a ésta; aquí no hay relación de simetría como en la conversión. En tanto que la exposición favorece que se alcance una conclusión particular como consecuencia de que se parte al menos de una premisa universal. Finalmente, con la contrastación se reconoce que no hay depen-dencia de los procedimientos entre sí y cómo se aplica cada uno en algunos ejemplos. Así, aun cuando es posible demostrar las mismas cosas mediante la conversión y la reducción es innegable que proceden de manera específica cada una. Ni qué decir sobre la exposición que, aunque no comparte la misma finalidad que los otros dos, muestra cómo de una premisa universal que se de en la deducción es posible alcanzar una conclusión particular. Referencias ALEXANDER [of Aphrodisias]1883. “Alexandri in Aristotelis Analy-

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alcanzar una conclusión particular.


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34 Ana Bertha Nova

Mathesis


La obra científica y matemática de Newton en la biblioteca de Antonio

de León y Gama, en la época de la ilustración novohispana

Juan Manuel Espinosa Sánchez

Resumen En la Nueva España del último tercio del siglo XVIII, algunos novohis-panos egresados de los colegios jesuitas se dedicaron a la lectura de obras científicas, en particular, las siguientes obras de Isaac Newton: la Óptica, los Opúscula, los Principia y la Aritmética Universal. Antonio de León y Gama fue uno de esos novohispanos, quien además albergó dichas obras en su biblioteca particular. León y Gama estaba familiarizado con la matemática newtoniana. Conocía el hecho de que en la Arithmetica —cuya temática es la adi-ción, la resta, la multiplicación, la división y las fracciones, con sus anexos: ecuaciones cúbicas y álgebra— se encontraban las bases alcan-zar el entendimiento del desarrollo de las matemáticas y el álgebra new-tonianas que lo llevaría a un estudio posterior de la geometría dinámica y el cálculo infinitesimal. En este artículo se explorará el hecho de que León y Gama conoc-ía la matemática newtoniana antes de que la Corona española fundara el Colegio de Minería y la Academia de San Carlos, instituciones en don-de se enseñó la matemática de Newton.

Abstract

During the last third of the eighteenth century, in New Spain, some of the New-Hispanics who studied in Jesuit colleges dedicated their time to read scientific works like Isaac Newton’s: Opticks, Philosophiae Na-turalis Principia Mathematica, Opuscula and the Arithmetica Universa-lis. The scientific sage Antonio de León y Gama was one of them and his private library included these works. León y Gama was familiar with Newtonian mathematics. He knew the fact that Arithmetica —addition, subtraction, division and fractions subjects, and its annexes, cubic equations and algebra— lay down the necessary stepping stones to reach an understanding of New-ton’s mathematics and the development of algebra; necessary elements for the further study of dynamic geometry and infinitesimal calculus. We explore the fact that León y Gama knew Newtonian mathe-

36 Juan Manuel Espinosa Sanchéz

Mathesis

matics before the Spanish Crown opened educational institutions —Colegio de Mineria and Academia de San Carlos— where Newton’s mathematics were taught.

Palabras clave: Nueva España, Ilustración, Newton, León y Gama,

biblioteca Key words: New Spain, Illustration, Newton, León y Gama, library MSC 2000: 01A50, 01A74

La nueva ciencia se engendra, pues, en un cambio radical de la concepción

del mundo, en un largo camino que sustituye al hombre proyectado en

el universo por la precisión matemática y la búsqueda de leyes universales.

Arturo Azuela

Introducción La práctica de la lectura científica newtoniana se vuelve extensiva, es decir, forma parte de la norma cultural de la ciencia a lo largo del siglo XVIII. Para identificar a los lectores de Newton, hay que estudiar de una manera crítica las fuentes disponibles, sean éstas impresos o ma-nuscritos de archivo. A mi juicio, los científicos novohispanos hicieron una lectura culta, para comprender y entender los Principia [Philosop-hiae Naturalis Principia Mathematica], la Óptica [Opticks] y su ma-temática. Estos científicos fueron parte de la élite intelectual de la épo-ca, aquellos que tienen los medios económicos, políticos, religiosos y sociales para comprar libros y tener su propia biblioteca particular.1 Un ejemplo de ello es la biblioteca de Antonio de León y Gama en donde se localizó la Aritmética Universal, [Arithmetica Universales]. En el prólogo de la citada obra se informa al lector que la intención de este libro es servir al ‘estudio de la juventud en la matemática y su aplicación en la geometría y la mecánica’ [Newtoni 1732, 2r-3r]. El contenido temático de la Aritmética es la adición, la resta, la multiplica-ción, la división y las fracciones, así como los anexos de Halley sobre ecuaciones, de Colson, sobre ecuaciones cúbicas, de MacLaurin sobre álgebra y ecuaciones y de Campbell, sobre el método determinado [Newtoni 1732, 11-344]. León y Gama conoció la matemática newto- 1. Gómez y Escamilla [1999, 57] comentan que la “importancia del estudio de bibliotecas

particulares radica en que a través de ellas se puede estudiar la personalidad de su pro-pietario, el ambiente cultural que lo rodeó y las influencias intelectuales que recibió”.

La obra científica y matemática de Newton en la biblioteca ... 37

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niana a través de la lectura de estas obras científicas. El libro impreso fue un factor importante en la difusión de la obra de Newton en Europa y en América. Los Principia, la Óptica y la Aritmética Universal de Newton, en sus diversas ediciones del siglo XVIII, y en diferentes lenguas como la francesa y la latina suplieron a las editadas en Inglaterra. Éstas se agotaron y sólo circularon en la isla inglesa. Las reediciones hechas en el continente europeo circularon en Europa Continental y América siendo el número de lectores ‘elevado’ [Grafton 1998, 297], a juzgar por las diferentes reediciones que se hicieron de sus diversas obras científicas en distintos años del siglo de las luces. Otro fenómeno, no menos importante, se dió durante el último tercio del siglo XVIII. Diversos colegios, tales como la Real y Pontifi-cia Universidad de México, la Academia de San Carlos, el Real Jardín Botánico y el Real Colegio de Minería, contaban con su propia biblio-teca,1 por lo que ahí se da el llamado ‘lector institucionalizado’. Esto es, el lector usaba el material bibliográfico de la institución educativa, dando lugar a las ‘bibliotecas de lectura’ donde el material se guardaba en salas particulares [Wittman 1998, 435-472]. Una consideración importante en nuestro estudio sobre la circula-ción de los Principia, la Óptica y la Aritmética de Newton en Nueva España, es que no todos los lectores poseían en sus bibliotecas particu-lares estas obras científicas. El caso de Antonio de León y Gama es excepcional ya que, por el contrario, él si conservaba copias de las obras mencionadas, como discutiremos a continuación. Antonio de León y Gama, su biblioteca y sus relaciones científicas Uno de los discípulos de Joaquín Velázquez de León, el astrónomo Antonio de León y Gama, quien a pesar de no ocupar cargo alguno en la educación novohispana, sí colaboró con los virreyes Flores y Revi-llagigedo siendo reconocido como hombre de ciencia por las autorida-des del estado colonial, las cuales solicitaron sus servicios en múltiples ocasiones. Por ejemplo, el virrey Manuel Antonio Flores (1787-1789) demandó su asesoría en cuestiones de astronomía y le encomendó in-vestigar la aparición del cometa pronosticado por el astrónomo inglés Maskelyne, para el año de 1788 [Valdés 1802, 160-161 y Moreno 1981, 73]. Por su parte, el virrey Revillagigedo (1789-1794) le ordenó colaborar con la expedición de Malaspina. Con este fin, León y Gama 1. Para Chartier la biblioteca está formada por los textos, es decir, es una colección de

libros y no son los edificios, y da un ejemplo de la Biblioteca Real de París en 1750, que son los libros personales del rey [Chartier 1997, 51-75].


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se reunió el 12 de abril de 1791 con Alejandro Malaspina, el ingeniero Miguel Constanzó, el maestro de matemáticas de la Real Academia de San Carlos, Diego de Guadalajara y Tello y con el teniente de fragata, Francisco Antonio Mourrelle. [González 1988, 330]. En la casa de León y Gama, ubicada en la Calle del Reloj, en la capital de la Nueva España, pudieron observar una estrella oculta por la luna y comparar sus resultados con los de Velázquez de León y con los obtenidos por los expedicionarios en Acapulco y San Blas. Malaspina asentó en su diario y en su correspondencia con el virrey Revillagigedo que el éxito de las observaciones se debió en gran parte al talento de León y Gama. Además, León y Gama sostuvo un epistolario con el astrónomo francés Lalande, quien en una carta fechada en París el 6 de mayo de 1773 menciona:

El eclipse de 6 de noviembre de 1771 me parece calculado en vuestra carta con mucha exactitud: la observación es curiosa; y pues no fue po-sible hacerla en este país, ya haré que se me imprima en las Memorias de nuestra Academia [...]. Veo con placer que tiene México en vos un sabio astrónomo. Este es para mí un precioso descubrimiento y me será la vuestra una correspondencia que continuaré con ardor. Agradezco vuestra observación sobre la altura del polo respecto á esa ciudad y la haré insertar en el primer cuaderno del Conocimiento de los tiempos [...] confesando ser vos el autor. Os ruego con el mayor en-carecimiento que repitáis observaciones sobre los satélites de Júpiter, y me las enviéis; yo os remitiré las mías en el asunto [García 1889, 372].

Con esto, la comunidad científica novohispana tiene contacto directo, a través de dicho epistolario, con uno de sus contemporáneos científicos europeos. Otro ejemplo notable es el de José Antonio Alzate, quien dominaba el francés y sostenía correspondencia con la Academia de Ciencias de París. Alzate realiza un importante intercambio de ideas científicas a través de la comunicación escrita con sus contemporáneos franceses [Bret 1999]. Con esto vemos que existió un intercambio de resultados científicos a nivel internacional que, en su momento, fueron publicados para tener una noción más amplia de la ciencia y la natura-leza en su época. La preparación científica de León y Gama fue muy amplia, ya que tenía conocimientos de la trigonometría y el cálculo infinitesimal. Contó con una retórica analítica sobre física newtoniana y con una sólida cultura general en física experimental y matemática, tal y como veremos a través del inventario de su biblioteca. Todo ello le permitió fundamentar su conocimiento sobre el cosmos.


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La Biblioteca de León y Gama y la identificación de las obras de Newton A nuestra consideración León y Gama es un científico que sigue los planteamientos newtonianos. En el inventario de su biblioteca particular aparecen obras científicas modernas:1 Chappe. Viaje a California, publicado por Cassini. Benito Bails. Compendio de Matemáticas. Primera edición. Boerhaave. Química y su obra Médica. S’Gravessande. Física y elementos Matemáticos. Jacquier. Instituciones Filosóficas. La Caille. Tratado de Óptica, Astronomía Fundamental y Lecciones Elementales y Efemérides. La Condamine. Extracto de Observaciones. La Hiré. Tratado de Mecánica. De Mairan. Tratado Físico e histórico de la Aurora Boreal. Maupertuis. Obras. Nollet. Física. Saverian. Ciencias Exactas, Diccionario de Matemáticas. Teodoro de Almeida. La recreación filosófica o diálogo sobre la Filo-sofía Natural, Cartas Físico Matemáticas. Alberto de Ulloa. Elementos Matemáticos. Jacob Bernoulli. Opera. Joannis Bernoulli. Opera Omnia. Newton. La Aritmética Universal. Newton. Los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural. Newton. La Óptica en edición latina. Newton. La Óptica en edición inglesa.2 Medrano. La Cuadratura del Círculo. Boscovich. Elementos matemáticos. Clairaut. Elementos de álgebra. Newton. Opúsculos. Halley. Tablas Astronómicas. Diccionario de Cheleo en francés. 1. Gómez [2000] menciona que la comunidad de lectores sugiere la ‘especialización’

cuando en sus bibliotecas existe un importante número de lecturas dedicadas a una temática, en nuestro caso a la ciencia newtoniana.

2. A.G.N. Inquisición, v.947, f6r.-15r [Moreno 1989, 165-196]. Un primer ensayo sobre la ‘Biblioteca newtoniana de León y Gama’ fue leído y criticado por I. Bernard Cohen en enero de 1992. Cohen recomendó quitar la obra de Cassini, La astronomía, grande-za de la Tierra, de la lista de obras newtonianas por ser una obra con influencia carte-siana [Espinoza y Aceves 1992, 1-15].


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Memorias de la Academia de la Ciencia. Paulian. Diccionario de Matemáticas, Diccionario de Física. Deschales. Elementos de Euclides. Tratado de Cometas. Sigaud de la Fond. Física Experimental. Ulloa. Noticias americanas. Elementos Matemáticos. En la anterior lista es difícil identificar cuál edición de los Principia estuvo en poder de León y Gama y en cuanto a La Óptica en edición inglesa y la latina aún falta por determinar la edición o una reedición posterior dado que en el inventario no aparecen los años y el lugar de la impresión de esta obra científica. En el presente trabajo abordaremos los textos estudiados de Newton como su Aritmética y sus Opúsculos, que nos muestran datos reveladores, dado que sus contenidos están dedicados al algebra y al calculo infinitesimal, que serian nuestros obje-tivos principales, como veremos a continuación. Cabe señalar que en dicho inventario, aparece otra obra de New-ton, aparte de los Principia y la Óptica, la Aritmética Universal. Esta obra se editó en Inglaterra en 1707 por William Whiston1 [Newton 1977, LXXVI]. En la lista del inventario de la biblioteca de León y Gama también aparece otra obra de Newton llamada Opúsculos [Opus-cula Mathematica]. Al buscar este libro en el Fondo Reservado de la Biblioteca Nacional, encontramos la obra, Opuscula Mathematica, una versión latina realizada por Johan Castillioneus2 en 1744 y que com-prende tres volúmenes,3 y otra edición realizada por Marcum Michaelen impresa en Lausana & Genevae (Ginebra). Posiblemente el escribano que redactó el inventario de dicha biblioteca sólo puso los Opúsculos, como abreviatura de esta obra de varios volúmenes. La Arithmetica Universalis se localizó en la Biblioteca de Miguel

1. La Arithmetica Universalis de Newton, comprende las conferencias de álgebra que él

mismo enseñó en la Universidad de Cambridge entre 1669-1677, La importancia de esta obra estaba en la teoría de ecuaciones elaborada por Newton ya que es un trabajo que contiene álgebra y geometría para explicar la posición de la raíz de una ecuación, estableciendo un número imaginario en la raíz, que puede ser positivo o negativo. La matemática newtoniana es superior a la cartesiana porque esta última no trató la com-plejidad matemática. La física y matemática newtoniana era mucho más preciada y más exacta que la cartesiana. Al respecto se pueden consultar a los especialistas de Newton [Turnbull, 1962, 97-106; 1945, 48-52; Cajori, 1929, 201-202; Pycior, 1997, 167-208; Hall, 1992, 90-115 y Westfall 1993, 61-84].

2. Johan Castillioneus (1704-1792) nació en Toscana y realizó estudios de matemáticas en Pisa [Gjertsen, 1986, 91].

3. Esta obra aparece en un catálogo electrónico del Fondo Reservado de la Biblioteca Nacional.


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Lerdo de Tejada en las Colecciones Especiales. Cabe mencionar que la obra fue impresa en Lugduni Batavorum, (Leiden, Holanda) [Coudart y Gómez 2003, 85 y Minard 1989, 95 y 127], por la imprenta de John et Herm, Verbeek, en el año de 1732. En sus primeras páginas se men-ciona que existe una primera edición producida en Cantabria1 en 1707 y una segunda edición en Londres de 1722 con el prefacio de S´Gravessande. También se indica que esta reedición en lengua latina de la Aritmética de 1732 fue revisada por John Petri Bernard y Jacobi Bernard. En el prólogo se informa al lector que la intención de este trabajo es servir al estudio de la juventud en la matemática y su aplica-ción en la geometría y la mecánica [Newton 1732, 2r-3r.] El contenido temático de la Aritmética es la adición, la resta, la multiplicación, la división y las fracciones, así como anexos de Halley sobre ecuaciones; de Colson, sobre ecuaciones cúbicas; de MacLaurin sobre álgebra y ecuaciones; y de Campbell, sobre el método determinado [Newton 1732, 2r-3r.] Al final de esta Aritmética aparece una nota sobre la im-portancia de estudiar la aritmética y el álgebra para realizar con exacti-tud las operaciones matemáticas [Newton 1732, 2].2 Siguiendo con la Aritmética Universal, se localizó una edición diferente que comprende varios volúmenes. El primer volumen está en el Fondo Reservado de la Biblioteca del Palacio de Minería y el segun-do y tercer volumen en el Fondo Reservado de la Biblioteca Nacional. Esta obra está escrita en latín. El primer volumen de la Aritmética con-tiene un comentario del jesuita Johanis Castilliones donde afirma que la primera edición de esta obra se hizo en Cantabrigiane (Cambridge, Inglaterra) en 1707; una segunda edición en Londres en 1722; una ter-cera edición que comprende tres volúmenes producida en Mediolanum (Milán) en 1752; y, una reedición de esta última en Amstelodami (Amsterdam) en 1761 [Mantecón 1973, 20 y 38]. Además existe una edición de dos volúmenes realizada en Amstelodami en 1761. Casti-lliones también menciona que la obra está dedicada al matemático ‘newtoniano Gravesande’ y está estructurada con problemas algebrai-cos que corresponden a la adición, multiplicación, división, sustracción, reducción de fracciones y resolución de ecuaciones de geometría [New-toni 1761 I, 14-16, 20-34, 35-45, 59-60 y 133-310]. 3 Sin embargo, el jesuita Johanis Castilliones omite la edición latina de 1732, de la Aritmética editada en Lugduni Batavorum, (Leiden, Holanda). 1. La ciudad de Cambridge aparece latinizada en las introducciones de la Aritmética de

1732, como Cantabrigia y en la misma obra, editada en 1761, como Cantabrigiane [Keynes 1994, 35].

2. La paginación es nuestra. 3. La traducción del latín al español es nuestra.


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El segundo volumen de la Aritmética presenta un comentario al lector realizado por el jesuita Antonio Lequio donde señala que la obra es para la juventud erudita y la enseñanza de geometría mecánica y estática para los adolescentes [Newtoni 1752 II, 1]. En dicho libro Newton redactó una sinopsis al inicio de la obra para explicar el método sintético, el cual es de resolución y composición. Si bien el método analítico es de invención y composición, ambos son utilizados para el estudio de la geometría y el cálculo analítico, en la construcción de ecuaciones, desarrollo y resultado final para resolver problemas alge-braicos [Newtoni 1752 II, 2]. En este volumen, la obra presenta una división, la primera parte se titula: “Analysis Methodus resolutionis synthesis” y la parte segunda se llama: “De Analysi simplici et deter-minata”. El volumen tres de la Aritmética Universal se titula: “De rationibus et progressiunibus” en donde Newton explica que la razón de esta parte es que la utilidad del cálculo de los números y la literatura científica estriba en tener un conocimiento amplio de la geometría, la física y de las ciencias naturales [Newtoni 1752 III, 5].1 La Aritmética de Newton es un tratado de álgebra y sigue la cons-trucción de sus Principia, es decir, inicia con definiciones, axiomas y procede con proposiciones y demostraciones matemáticas. Al final del tercer volumen se menciona el agradecimiento del prepósito provincial de Mediolanesi, el jesuita Gaspar José Gagna por los comentarios de Antonio Lequio. También agradece al prepósito general de los jesuitas Ignacio Vicecomite, quien aprobó la obra newtoniana para llevarla a la imprenta en la provincia de Medialani en 1752 [Newtoni 1752 III, 1]. La Arithmetica Universales, editada en dos volúmenes en Amste-lodami (Amsterdam) en 1761, en la imprenta de Marcum Michaelem Rey con comentarios de Johannis Castillionei, fue localizada en la Bi-blioteca Francisco de Burgoa en el Ex-convento de Santo Domingo en la ciudad de Oaxaca (México). El primer volumen contiene explicaciones sobre la adición, multi-plicación, división, reducción de fracciones y resolución de ecuaciones. [Newtoni 1761 I, 12-60]. Esta versión de la Aritmética no contiene los comentarios del jesuita Antonio Lequio que aparecen en la edición de 1752 y su reedición de 1761. El segundo volumen contiene la composición y resolución de pro-blemas aritméticos que comprende la suma, resta, multiplicación, divi-sión, factorización, álgebra, ecuaciones con números enteros y quebra-

1. La paginación es nuestra.


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dos, raíz cuadrada, raíz cúbica y el binomio n (a + v – b) [Newtoni 1752 II, 1-236]. Además, este volumen contiene un apéndice sobre la cons-trucción de ecuaciones lineales [Newtoni 1752 II, 237-288] y una aden-da que comprende escritos matemáticos de Halley, Colson, MacLaurin, de Moivre, Campbell, Frider, Kaestner y Boscovich, [Newtoni 1752 II, 1-130].1 Concluye con la fe de erratas sobre la corrección en diferentes ecuaciones, ya que existieron errores en la impresión. Por ejemplo: Errata Pag. 82, línea 16 x5 – x4 + x2 – x2 + 1 Corrección X5 – x4 + x3 + x – 1.2 Al concluir el segundo volumen de la Aritmética, hay un comentario del editor Castillioneus sobre la fe de erratas y dice que las enmiendas y las correcciones las debe de realizar el lector al momento de leer esta obra y al realizar las operaciones matemáticas [Newtoni 1752 II, 134].3 La otra obra de Newton es una edición rara, que circula en la Nue-va España, y su título completo es Opuscula Mathematica Philosophica et Philologica, en tres volúmenes, en versión latina de Johan Castillio-neus, quien además es el editor y selector de los escritos de Newton aquí llevados a la imprenta. El volumen uno de el Opuscula está dedi-cado a la Matemática y el Prefacio del editor menciona que la publica-ción de esta obra está dedicada a los lectores de la ciencia newtoniana. El libro está impreso en latín, el idioma de los lectores eruditos y estu-diosos de la ciencia [Newtoni, 1744 I, I-II]. El volumen contiene: Analysis per Aequationes Numero Terminoorum infinitas, de la edición de Londres de 1711. Methodus fluxionum et serierum infinitarun cum ejustem applicatione ad curarum geometrian, de la edición inglesa de Johanne Corsono de 1736. Tractatus de quadratura curarum, de la edición de Londres de 1706. Enumeratio Linearun Tertii Ordinis, también de la edición londinense de 1706. 1. Nota aclaratoria a los lectores. Con los tratados matemáticos de los autores arribe

señalados se reinicia la paginación en este volumen. 2. La paginación es nuestra [Newtoni 1752 II, 135]. 3. Newton usa el álgebra para explicar los puntos en movimiento de una línea curva y “lo

lleva a constituir el cálculo” [Martínez 2002, 28]. Agradezco a la Dra. Magally Martí-nez el obsequio de su tesis.


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Methodus Differentialis, de Londres de 1711. Solutiones Problematum Quorundam, editados por la revista Philosop-hical Transactions de la Royal Society, del año de 1716. Además contiene el epistolario de Newton con Collin´s, Oldemburg y Leibnitz entorno al cálculo infinitesimal, así como la correspondencia que sostuvo Newton con Wallis Chamberlay, el abate Conti y Leibnitz acerca del método de fluxiones [Newtoni, 1744 I, 3-420]. Con esta obra, León y Gama demuestra que estuvo al tanto de la matemática más avanzada de Europa, conocida en el siglo XVIII como el método de fluxiones. Él fue conocedor de la obra científica de la ciencia de los números hecha por Newton. El cálculo infinitesimal era conocido en la Nueva España antes que se impartiera en la Academia de San Carlos y en el Seminario de Minería, por lo que el número de lec-tores newtonianos se amplió. No sólo los jesuitas y sus estudiantes de filosofía leían y estudiaban a Newton. El Opuscula Mathematica, volumen primero, fue impreso en Lau-sana y Genevae (Ginebra), en la imprenta de Marcos y Miguel Busquet en 1744. El segundo volumen de los Opúsculos, editado e impreso en el mismo sitio y año que su antecesor en la carátula, hace mención que está dedicado a la filosofía, pero al revisar su contenido, la sorpresa y satisfacción fue grande, por que sugiere que los novohispanos lectores de la ciencia newtoniana estaban al tanto del conocimiento difundido en Europa. La obra contiene: De Mundi systemate, de la edición de Lon-dres de 1731; Lectiones Opticae, de los años 1669-1671, de la edición de Londres de 1729; ciertos escritos de Newton publicados en la Philo-sophical Transactions de la Royal Society, el número ochenta que trata sobre la nueva teoría de la luz y los colores, el número ochenta y uno que es sobre la invención y descripción del telescopio catadióptrico, el número ochenta y dos que es la descripción de las lentes del nuevo telescopio y el número ochenta y tres contiene el comentario y dibujo del mencionado telescopio [Newtoni 1744 II, 1-213]. 1 La importancia de este segundo volumen radica, en que los no-vohispanos no sólo fueron lectores sobre el sistema newtoniano del mundo sino también de los experimentos llevados a cabo por Newton en óptica. En las Lecciones Ópticas, Newton explicó la refracción de la luz y utilizó el cálculo infinitesimal. Pero ya no lo volvió a usar para analizar matemáticamente otros fenómenos ópticos. Su nueva teoría de 1. Newton presenta una teoría nueva de la luz, en el número ochenta de la revista de la

Royal Society, que explica la emisión de la luz corpuscular; su estructura es de átomos y contradice la visión cartesiana [Guzzo 1954, 383-419 y Shapiro 1975, 194-210].


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la luz y los colores aparecida en la revista de la Royal Society titulada Philosophical Transactions contradijo a Descartes. Allí Newton sostu-vo una polémica con Robert Hooke sobre óptica y posteriormente sobre matemática, física y macromecánica, para explicar el Sistema Solar. Newton analizó con experimentos prismáticos la dispersión y composi-ción de la luz solar y la naturaleza de los colores. Dado que el modelo cartesiano no explicaba el movimiento de la luz [Sabra 1967, 46-68], frente a la teoría newtoniana la óptica cartesiana adquiriría un carácter hipotético [Koyré 1965, 95-96]. La óptica newtoniana difiere de la cartesiana, dado que la primera explica el movimiento de la luz en línea recta en el espacio y se comprueba con la experimentación, la observa-ción y la matemática. La óptica cartesiana explica el movimiento de la luz en ondas pero no lo comprueba [Espinosa 1994, 10-53]. Con respecto al Opuscula volumen tercero, la diferencia de sus antecesores radica no sólo en el año de su edición en 1745, sino en cuanto al pie de imprenta. Se realizó en Lausana y Ginebra con la im-presión de Marcos y Miguel Bousquet. Esta obra está dedicada a la Filosofía y presenta rasgos de corte histórico como la cronología de los griegos, el imperio egipcio, el imperio asirio, el imperio babilónico, el imperio persa, la descripción del Templo de Salomón, así como un escrito sobre la profecía de Daniel y la visión del Apocalipsis de San Juan [ Newtoni 1745 III, 37-510]. 1 La biblioteca de León y Gama muestra la riqueza científica culti-vada en la Nueva España en torno a la física, óptica y matemática new-toniana [Chevalier 1976,13-64]. León y Gama estudió la ciencia mo-derna con Velázquez de León, pero sus estudios iniciales en el campo de la ciencia fueron con los jesuitas y, posteriormente, en la Universi-dad de México, por lo que la difusión de la obra de Newton se da a través de las instituciones educativas, así como la circulación y la lectu-ra de las obras científicas. Conclusión La biblioteca de Antonio de León y Gama, como podemos observar, muestra una riqueza especializada en el saber del conocimiento de la 1. Sin duda la Inquisición Española y la Casa de Contratación de Sevilla permitieron la

entrada de libros dedicados a la ciencia newtoniana hacia América. Mi intención no es abordar esta temática sobre la circulación de las obras científicas en la Nueva Espala del siglo XVIII, dado que sería el tema de otra investigación, pero al respecto pueden consultarse las siguientes obras: [Pérez-Merchand 1945, 47-49; 96 y 97; Carrera 1953, 322, 323; Gortari 1988, 241; González 1988, 125 y 128 y Flores 1994, 90-106]. Agra-dezco a Cristina Gómez por proporcionarme una copia del artículo de José Abel Ramos Soriano [1989, 123-132].


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ciencia newtoniana, en el citado acervo aparecen obras matemáticas del propio científico inglés y es una pauta a seguir en el estudio de bibliote-cas particulares de personajes relacionados con la investigación cientí-fica de la época colonial. Nuestro sabio, León y Gama, poseyó no so-lamente obras como los Principia y la Óptica, sino también diversos libros, como la Aritmética Universal, en cuyo tratado newtoniano vie-nen las bases del álgebra, además de contener problemas algebraicos para su resolución como la adición, multiplicación, división, sustrac-ción, reducción de fracciones y resolución de ecuaciones de geometría. Como demuestra el volumen uno del Opuscula, que contiene el cálculo infinitesimal, León y Gama estuvo en la vanguardia matemática internacional que rige el cosmos, por lo que su biblioteca particular pertenece al mundo laico novohispano ilustrado. La ciencia newtoniana en el siglo XVIII es dueña del saber científico mundial y se puede ana-lizar mediante la circulación de los libros de Newton en el mundo y su respectiva localización en acervos coloniales. Los tratados newtonianos representan el avance cognitivo de la ciencia, el orden para explicar con sabiduría la naturaleza [Sloterdijk 2004 II, 841-846]. La ciencia newtoniana, que llegó a la biblioteca de León y Gama en forma de libros, está en lengua latina, que fue el lenguaje mundial de los intelectuales [Mazin 2007, 165], por lo que nuestro sabio novohis-pano tuvo que ser políglota, para leer en varios idiomas, lo que repre-senta un intercambio científico internacional [Chartier 2007, 74-81]. Así de esta manera, los lectores del conocimiento newtoniano debían saber varias lenguas, para estudiar una sabiduría global: el saber new-toniano en ambos lados del Atlántico, en Europa, en las Américas; inglesa, portuguesa y española, que fue la época de la Ilustración domi-nada por la sapiencia de Isaac Newton y sus seguidores [Elliot 2006, 487-488]. Referencias A. G. N. Inquisición, v. 947, f.6r.-15r. AZUELA, Arturo. 1994. Las Armonías del Universo. México: Instituto

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Juan Manuel Espinosa Sánchez


Lógica y teoría de conjuntos en la enseñanza secundaria

en España

Elena Ausejo

Resumen La reforma mundial de las matemáticas de los años sesenta y setenta también alcanzó a la aislada España franquista, a la sazón embarcada en un proceso tecnocrático de reforma económica. Así, en 1961, dos años después del famoso Seminario de Royaumont (1959), el Ministerio de Educación promovió una reunión de catedráticos de matemáticas de en-señanza media en el que el catedrático de Geometría Proyectiva de la Universidad Central de Madrid, Pedro Abellanas, explicó la necesidad de una reforma global de los planes de estudio de matemáticas de la en-señanza secundaria. El álgebra moderna, la teoría de conjuntos y, en menor medida, la lógica matemática iniciaron una andadura en la ense-ñanza no universitaria que les llevaría hasta la enseñanza primaria con la Ley General de Educación de 1970.

Abstract The world wave of mathematics reform of the sixties and seventies also reached the isolated Spain under Franco, at that time committed to a technocratic process of modernizing the economy. Thus, in 1961, just two years after the famous Royaumont Seminar (1959), the Ministry of Education promoted a meeting of Professors of Mathematics in Sec-ondary Education in which the Professor of Projective Geometry of the Central University of Madrid, Pedro Abellanas, explained the need for a comprehensive reform of the mathematics syllabus of secondary educa-tion. Modern algebra, set theory and to a lesser extent, mathematical logic started an entry in non-university education that would lead them to primary school with the Education Act of 1970.

Palabras clave: Teoría Conjuntos, Lógica, Enseñanza, España, Pedro Abellanas. Key words: Theory of sets, logia, teaching, Spain, Pedro Abellanas. MSC 2000: 01A60, 97-04

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Introducción Es bien conocido que la reforma mundial de la enseñanza de la ense-ñanza de las matemáticas que tuvo lugar en los sesenta y setenta fue lanzada en Europa en 1958, no sólo con el informe de Marshall Stone, Albert W. Tucker, E. G. Begle, Robert E. K. Rourke y Howard F. Fehr presentado por la delegación estadounidense en el Congreso Interna-cional de Matemáticos, sino también en la reunión de la Organización para la Cooperación Económica Europea (OCEE, posteriormente OC-DE), cuya primera consecuencia fue el famoso Seminario de Royau-mont (23 noviembre – 4 diciembre de 1959, Cercle Culturel de Royau-mont, Asnières-sur-Oise, Francia), donde se establecieron las líneas centrales de la reforma. La necesidad de modernizar las matemáticas desde la educación primaria a la superior se planteó en el contexto del alto desarrollo científico y tecnológico de la Guerra Fría. Así, grupos de expertos uni-versitarios (matemáticos profesionales) definieron programas y diseña-ron libros de texto bajo la influencia principal de los bourbakistas fran-ceses, sobre la base epistemológica de la unidad de las matemáticas a través de sus estructuras axiomáticas y del potencial resultante de su abstracción ―también en términos docentes―. Esta nueva forma de platonismo matemático ponía el acento en los aspectos lógicos y forma-les al concebir las matemáticas como conocimiento a priori (no expe-rimental) que produce verdades absolutas mediante el razonamiento deductivo de los mejores. Los resultados prácticos en términos de pla-nes de estudio fueron la introducción de la teoría de conjuntos, el sim-bolismo moderno, las estructuras algebraicas, los sistemas axiomáticos y la erradicación de la geometría euclídea ―el famoso ¡Abajo Eucli-des! de Dieudonné―.

La matemática moderna en España La introducción de la matemática moderna en España se produjo entre 1967 y 1975, al final de la dictadura de Franco, en el contexto general de un desarrollo económico liderado por los llamados tecnócratas en el gobierno. En 1967, España superó la cifra de un millón de estudiantes de enseñanza secundaria (sobre treinta y cuatro millones de habitantes), aunque ésta no era ni obligatoria ni gratuita. Este contexto de desarrollo económico y modernización fue indudablemente receptivo a la retórica de la reforma matemática. Es más, la industria editorial apoyaba un cambio que reportaría beneficios sustanciales asociados a la producción de nuevos libros de texto. 1970 fue el año de la nueva Ley General de Educación, pero el trabajo previo se había venido desarrollando con

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anterioridad, en matemáticas a partir de 1961, cuando el Centro de Orientación Didáctica del Ministerio de Educación Nacional convocó en Madrid una Reunión de Catedráticos de Matemáticas de Enseñanza Secundaria sobre Nuevas Orientaciones en la Enseñanza de las Ma-temáticas. Pedro Abellanas, Catedrático de Geometría Proyectiva de la Universidad Central de Madrid, participó en la reunión como gran par-tidario de la necesidad de adaptar los planes de estudio de matemáticas en la enseñanza secundaria a la matemática moderna, aconsejó trabajo experimental previo y ofreció, como Director del Instituto ‘Jorge Juan’ de Matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), la colaboración de su Departamento de Metodología. Abellanas estaba firmemente convencido de que las matemáticas del futuro se construirían sobe la base de la matemática moderna, no sobre los Elementos de Euclides. Argumentaba que la matemática mo-derna ofrecía un plan más simple para presentar las matemáticas en la enseñanza secundaria, una organización más racional. Es más, la ma-temática moderna era más eficiente tanto en términos formativos como instrumentales. Los estudiantes pensarían de forma más clara y precisa puesto que sólo se considerarían los temas fundamentales, siendo el resto ejercicios para el alumno. Según Abellanas [1961a; 1961b], uno de los objetivos de la educa-ción secundaria era proporcionar al estudiante formación específica para manejar las técnicas fundamentales de su especialidad. Para ello la organización de la enseñanza secundaria era insuficiente, debía ser actualizada debido a la reciente explosión de técnicas matemáticas. La selección de temas a enseñar era especialmente complicada en matemá-ticas por la coexistencia de dos clases de matemáticas, clásicas y mo-dernas, y también porque los usuarios de las matemáticas y los matemá-ticos no eran neutrales frente a estas dos clases. No obstante, la axiomá-tica euclídea era insuficiente para dar cobertura a la producción ma-temática a partir de mediados del siglo XIX, siendo la nueva axiomática moderna el único fundamento posible de los nuevos desarrollos ma-temáticos y sus rápidas aplicaciones, lo que justificaba la necesidad de educar a las jóvenes generaciones en el nuevo estilo. Un problema bien distinto era el de la enseñanza de la matemática moderna, especialmen-te debido a su elevado grado de abstracción, pero en este punto Abella-nas simplificaba el problema descargando la responsabilidad sobre los métodos de enseñanza y las deficiencias formativas del profesorado [Abellanas 1961b, 10; 1979, 25-26]. Desde el punto de vista didáctico, decía, razones de economía de pensamiento y organización del conoci-miento justificaban la introducción de una nueva estructura de las ma-

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temáticas en la enseñanza secundaria, con una nueva presentación orgánica acorde con la sistematización de la matemática moderna. El Ministerio de Educación Nacional adoptó las recomendaciones de Abellanas y creó oficialmente, en el seno de su Centro de Orienta-ción Didáctica, una Comisión para el ensayo didáctico sobre Matemá-tica moderna, presidida por Abellanas, ‘para estudiar la posibilidad de introducir en los cursos de Bachillerato superior algunos puntos de vista de la Matemática moderna que, sin alterar el contenido de esos cursos, podría mejorar sus enseñanzas’. La Comisión habría de dirigir la reali-zación de dicho ensayo en los Institutos Nacionales de Enseñanza Me-dia que señalara el Ministerio en conexión con el Instituto ‘Jorge Juan’ de Matemáticas del CSIC y con la OCDE. Miembros de la Comisión fueron Joaquín García Rúa y Alfredo Rodríguez Labajo, ambos Inspec-tores de Enseñanza Media adscritos al Centro de Orientación Didáctica, y José Royo López, Catedrático del Instituto ‘Ramiro de Maeztu’ de Madrid y Jefe de la Sección de Didáctica del ‘Jorge Juan’. La Dirección General de Enseñanza Media vigilaría la realización de este ensayo didáctico y designaría, a propuesta de la Comisión, a los catedráticos de Instituto encargados de desarrollar en sus clases el programa acordado (Orden de 7 de diciembre de 1961). El trabajo piloto empezó en 1962 en el Instituto ‘Cervantes’ de Madrid, a cargo del profesor José Ramón Pascual Ibarra; en el Instituto ‘Milá y Fontanals’ de Barcelona, a cargo del profesor Juan Casulleras Regás; y en el Instituto ‘Padre Suárez’ de Granada, a cargo del profesor Francisco Marcos de Lanuza. Como resultado, el Ministerio de Educa-ción publicó una serie de cuadernos didácticos titulados Matemática Moderna. Apuntes, que fueron reunidos en dos monografías [Casulleras et al., 1962; Casulleras et al., 1963], ambas con una introducción de Abellanas en la que se proponía un nuevo argumento en favor de la matemática moderna: su simplicidad. La primera monografía constaba de quince capítulos (el undécimo y el decimoquinto en dos partes) y la segunda de cuatro. En ambos casos los capítulos desarrollados se corres-ponden básicamente con los nuevos capítulos y enfoques de los dos tex-tos piloto definitivos posteriormente publicados [Abellanas et al., 1967; Abellanas et al., 1969], ambos firmados por Abellanas, Joaquín García Rúa, Alfredo Rodríguez Labajo, Casulleras y Marcos de Lanuza. Concebidos como libros de texto extremadamente rigurosos, ambos están estructurados y construidos sobre la teoría de conjuntos, con un lenguaje altamente simbólico y abstracto. Sin rastro alguno de aspectos instrumentales o aplicados, se trata de libros eminentemente teóricos ilustrados con unos pocos ejemplos.


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Sus respectivos prefacios explican que ambos textos han sido con-cebidos más como guías del profesor que como libros para el estudian-te. Más aún, ambos incluyen, antes del prefacio, un Cuestionario ―el término utilizado en España para regular legalmente los contenidos de los planes de estudio― que difiere del formal y legalmente válido en el momento (Orden de 5 de junio de 1957 que aprueba los cuestionarios para el Bachillerato). El prólogo del texto de 1969 se refiere a la simili-tud de contenidos entre el cuestionario propuesto y el plan de estudios oficial, y a la posibilidad de adaptar el desarrollo del curso explicado en el texto piloto a dicho plan de estudios. Por último, ambos prefacios insisten en presentar los respectivos libros de texto piloto como el resul-tado del trabajo desarrollado en 1962 y 1963 por la ya citada Comisión oficialmente creada por el Ministerio de Educación Nacional en 1961, con lo que cabe suponer que se pretendiera destacar cierto carácter oficial de los textos, pero también se consigue resaltar el tiempo trans-currido hasta la publicación (1967 y 1969) de estos libros de texto pilo-to para un plan de estudios oficialmente inexistente. Esta curiosa situa-ción podría indicar un inminente cambio de plan de estudios, acaso un intento de forzarlo. Lo que de hecho ocurrió fue que la reforma completa de la ense-ñanza no universitaria en España se produjo al año siguiente (1970), pero estableció un nuevo bachillerato en tres años que dejó los textos piloto de Abellanas inservibles. Antes ya (1969) Abellanas había sido cesado como Consejero Nacional de Educación, lo que parece marcar el declive de su influencia política con el nuevo equipo ministerial de 1969-73. La aproximación a la carrera académica de Abellanas arroja algo más de luz sobre el azaroso proceso de introducción de la lógica y la teoría de conjuntos en la enseñanza secundaria en España.

Abellanas, arquitecto de la reforma de las matemáticas en España Pedro Abellanas Cebollero (Zaragoza 1914 - Madrid 1999) fue una de las personalidades más influyentes de la matemática española entre 1949 y 1984, cuando se jubiló siendo todavía Director del Departamen-to de Álgebra de la Universidad Complutense de Madrid. Tras licen-ciarse en Matemáticas en la Universidad de Zaragoza en 1934, fue herido y hecho prisionero durante la Guerra Civil española (1936-39), en la que luchó en el ejército de Franco. En 1941 obtuvo su doctorado en Matemáticas en la Universidad Central de Madrid, con una tesis sobre geometría diferencial. En 1942 pasó algunos meses en Leipzig, adonde fue para estudiar con Van der Waerden, quien le orientó en el estudio de los trabajos de Zariski sobre geometría algebraica.

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De vuelta a España, obtuvo la Cátedra de Geometría Analítica de la Universidad de Zaragoza, que desempeñó hasta 1949, cuando se tras-ladó a la Cátedra de Geometría Proyectiva de la Universidad Central de Madrid, tradicionalmente considerada la más importante de la matemá-tica española. Diez años después, en 1958, llegó a la cumbre de su carrera académica al ser nombrado Director del Instituto ‘Jorge Juan’ de Matemáticas del CSIC, un puesto que conservó hasta su jubilación. Asistió a los Congresos Internacionales de Matemáticos de Harvard (1950) y Edimburgo (1958), donde probablemente cabe situar el origen de sus inquietudes didácticas. Próximo al Ministerio de Educación Nacional desde la Reunión de Catedráticos de Matemáticas de Enseñanza Secundaria sobre Nuevas Orientaciones en la Enseñanza de las Matemáticas de 1961, y pilotan-do oficialmente la reforma de las matemáticas en la enseñanza secunda-ria desde la presidencia de la Comisión para el ensayo didáctico sobre Matemática moderna del mismo Ministerio, también desde 1961, fue además Consejero Nacional de Educación entre 1963 y 1969 y continuó asistiendo a reuniones sobre la enseñanza de la matemática moderna, tales como OECD International Working Session on New Teaching Methods for School Mathematics (Atenas, 1963), Segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática (Lima, 1966), Colloque international UNESCO Modernisation de l’enseignement des mathéma-tiques dans les pays européens (Bucarest, 1968). No obstante, en los setenta las referencias a Abellanas en relación con la enseñanza de las matemáticas parecen desvanecerse, al tiempo que co-mienza el éxodo de sus discípulos tanto de la Universidad como del CSIC.1 Así, su periodo de influencia corresponde al Ministerio de Manuel Lora Tamayo (1904-2002), un químico orgánico que presidió el CSIC entre 1967 y 1971 y fue Ministro de Educación desde 1962 hasta su dimisión el 28 de marzo de 1968, como consecuencia de las huelgas universitarias. Conviene precisar que en el momento del nombramiento de Abe-llanas como presidente de la Comisión para el ensayo didáctico sobre Matemática moderna era todavía Ministro de Educación Jesús Rubio García-Mina, falangista cuyo mandato siguió en cuanto a la enseñanza no universitaria la política de su predecesor, el demócrata-cristiano Joaquín Ruiz-Giménez Cortés (1913-2009). En términos de enseñanza de las matemáticas la figura clave de estas dos etapas ministeriales fue 1. Este éxodo se explica en relación con el difícil carácter de Abellanas y su estilo de

organización personalista en el contexto del proceso político de democratización que se desarrollaba en España [Recio 2001, 119-122], donde Abellanas representaba al anti-guo régimen autoritario.


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Pedro Puig Adam (1900-1960), con el respaldo de Julio Rey Pastor (1888-1962) como coautor de sus libros de texto.1 Así pues, el nom-bramiento de Abellanas se produce tras el fallecimiento de Puig Adam, aunque con un mandato del que estaba expresamente excluida la posibi-lidad de modificar los planes de estudio. Su posición se ve reforzada en 1963, tras el fallecimiento de Rey Pastor, con su nombramiento como Consejero Nacional de Educación por el ministro tecnócrata Lora Ta-mayo, y aunque su propuesta de reforma de los planes de estudio del Bachillerato Superior (14-16 años) no fue finalmente llevada a efecto, sí que puede seguirse el rastro de su influencia en el Bachillerato Ele-mental (10-14 años), que fue reformado en 1967. Según la nueva regulación [Orden de 4 de septiembre de 1967 por la que se aprueban los Cuestionarios del Bachillerato Elemental, pp. 13429-13430], se proporciona a los alumnos “la posibilidad de adquisición de los conceptos y de los medios de trabajo de la Matemática actual”, se resalta “el sentido unitario de la Matemática fundiendo todas las nociones en unidades funcionales basadas en la teoría de los conjuntos, en las ideas de correspondencia y de relación y en las estructuras algebraicas fundamen-tales” y se suministra “a los alumnos que han de continuar sus estudios en el Grado Superior las nociones y el simbolismo que facilitan los procesos de deducción y de axiomatización”. Más concretamente, “la distribución de las materias en los distintos cursos se ha hecho procurando agrupar los temas alrededor de ciertas estructuras algebraicas fundamentales”: semi-grupo en primero, grupo y anillo en segundo, cuerpo en tercero, sedi-mentación y revisión de estos conceptos en cuarto. A mayor abundamiento, Abellanas publicó, bajo los auspicios de la OC-DE,2 libros de texto piloto para los dos primeros cursos del nuevo Bachillerato Elemental [Abellanas et al., 1964 y 1965] cuyos prólogos presentan los cam-bios en la enseñanza con afirmaciones exageradas ―por ejemplo, “un niño de ocho años puede aprender las reglas de la derivación y la integración“― e incluso lemas como “prohibido medir” [Abellanas et al., 1964, IX].3 1. El estudio de las tensiones en la emergencia de las nuevas tendencias en la enseñanza

de las matemáticas en España, que se aprecia en las diferentes posiciones didácticas de Puig Adam y Abellanas, es objeto de otro estudio separado en curso de publicación.

2. Proyecto Especial STP-4/SP. Matemáticas. España [Abellanas et al.1964, v]. 3. El documento UNESCO/AVS/DST/6114/3, titulado Teaching of mathematics: recom-

mended list, incluye como Pilot material on the teaching of mathematics published under the auspices of OECD los libros de Abellanas Matemáticas, 1er curso, bachille-rato, texto piloto (Madrid: Instituto Jorge Juan de Matemáticas, 1964, 257pp.), y Ma-temáticas, 2ème curso, bachillerato, texto piloto (Madrid: 1965, 261pp.). En realidad, ambos fueron publicados por la Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Ense-ñanza de la Matemática (una especie de versión nacional de CIEAEM). (http://unesdoc.unesco.org/images/0014/001417/141776mb.pdf).

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El caso es que, una vez introducidos los elementos de lógica y teoría de conjuntos propios de la matemática moderna en el Bachillera-to Elemental, parecía lógico consolidar la tendencia en el Bachillerato Superior. Veamos de que manera.

La propuesta de programas de matemáticas para el Bachillerato superior Los cuadros 1 y 2 comparan los programas propuestos en 1967-69 con los todavía vigentes (desde 1957). El nuevo enfoque en términos de teoría de conjuntos (teoría de conjuntos, correspondencias, relaciones binarias), estructuras algebraicas (semigrupo, grupo, anillo, ideal, cuer-po) y espacios vectoriales (plano vectorial, plano afín, producto escalar) aparece claramente desde el principio, especialmente en 5º curso. Tam-bién es apreciable la desaparición de los enfoques geométricos clásicos (geometría del triángulo, geometría métrica, lugares geométricos). Indudablemente cabe apreciar un aumento de nivel en cuanto a la cantidad de temas contemplados, al abarcar teoría de conjuntos y es-tructuras algebraicas, aunque también hay que señalar que los cambios afectaron fundamentalmente al 5º curso; el 6º curso, que concentraba el grueso de la parte analítica del programa, apenas varió. Este aumento de nivel hay que entenderlo en el contexto de las orientaciones metodológicas que acompañan a los programas. Los de 1957 se rigen todavía por las de 1954 (Continuación a la Orden de 21 de enero de 1954), que pretender completar las matemáticas elementa-les para los estudiantes de ciencias e iniciarles en los estudios superio-res a los que en principio han de dedicarse. Las matemáticas

deben desarrollarse sin dejar de presentarlas en contacto con la realidad dándoles un carácter más riguroso, en un desarrollo lógico deductivo, intensificando, además, el propio descubrir del alumno, haciendo a los estudiantes pensar más y reduciendo al mínimo la información directa.

También conviene recordar que todo el plan de estudios de secundaria se concibe sobre los principios de ‘descongestión’ de la enseñanza teórica y reducción de contenidos [Decreto de 31 de mayo de 1957]. Las propuestas de programas de 1967-69, según se desprende de los textos piloto [Abellanas et al., 1967 y 1969], están diseñadas para introducir la matemática moderna según el trabajo piloto desarrollado desde 1962 y los Apuntes sobre Matemática Moderna para profesores de matemáticas publicados en 1962-63. Pretenden implantar normas didácticas “eficaces y modernas, dentro de la nueva estructuración establecida”, al objeto de proporcionar “la formación matemática indis-


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pensable para desembocar en los estudios superiores” y “despertar inquietudes de conciencia profesional” [Abellanas et al., 1967, 9 y 12].

Cuadro 1. Matemáticas 5º Curso (Ordenados conforme al Cuestionario de 1967.

Nuevos temas o enfoques resaltados) 1957 1967

Iniciación al método racional (axio-mas, teoremas, …) Teoría de conjuntos

Métodos de resolución de problemas Correspondencias Desarrollo racional de algún capítulo de la aritmética y de la geometría Relaciones binarias

Números naturales (semigrupo) Combinatoria Combinatoria Anillo Z (e ideales) Divisibilidad en Z Cuerpo Q Probabilidad y estadística Estadística Polinomios (grupo) División de polinomios en Q Fracciones algebraicas Sucesiones Números reales (ideal) Geometría del triángulo Plano vectorial Cálculo elemental de vectores Plano vectorial Números complejos 6º Curso Métodos especiales de la geometría métrica. Lugares geométricos Plano afín

Funciones de variable real Funciones de variable real Derivada de una función 6º Curso

Funciones exponencial y logarítmica Funciones exponencial y lo-garítmica

Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas

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Cuadro 2. Matemáticas 6º Curso

(Ordenados conforme al Cuestionario de 1969. Nuevos temas o enfoques resaltados)

1957 1969 Números reales Números reales Producto escalar Funciones de variable real Funciones de variable real Derivada y Diferencial Derivada de una función Estudio analítico de la recta Plano euclídeo Cónicas Cónicas

Nociones de Estadística (Procesos estocásticos)

Aplicaciones del cálculo diferen-cial e integral Aplicaciones de la derivada

Números complejos (Cuerpo C) Cálculo integral Cálculo integral

Conclusión La aplicación de la nueva Ley General de Educación de 1970 fue inme-diata en la educación primaria (entonces ya de seis a catorce años), pero se demoró en la secundaria (catorce - diecisiete años) hasta 1975, ya en la España democrática. Por lo que respecta a la enseñanza de las ma-temáticas, el ‘moderno’ estilo estructural se mantuvo en la enseñanza primaria hasta principios de los ochenta, cuando se hicieron los prime-ros ajustes y correcciones en respuesta al severo criticismo de profeso-res y padres. En secundaria la ausencia de regulación legal específica para los textos piloto y la sustitución del examen nacional de grado para el Bachillerato por diferentes exámenes de acceso a las distintas univer-sidades (Ley de 24/1963, de 2 de marzo) permitió la coexistencia de libros de texto correspondientes a los programas de 1957 y 1967-69 hasta la publicación, a partir de 1975, de los nuevos textos, que también fueron objeto de un amplio debate en los ochenta. Finalmente, la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo de 1990 pondría punto final a la accidentada introducción de la lógica y la teoría de conjuntos en la enseñanza secundaria en España. Referencias Abellanas, Pedro. 1961a. La Matemática Moderna y la Enseñanza Me-

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Libro de relojes solares

Pedro Roiz


Fuente para cultivar la

autoestima en tiempos aciagos

Alberto Saladino García

Marco Arturo Moreno Corral, Las ciencias exactas en México. Época colonial. México: Universidad Autónoma de la Ciudad de México. 2007. 196 pp. ISBN: 968-5720-96-7

Marco Arturo Moreno Corral, académico del Instituto de Investigacio-nes Astronómicas de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), adscrito al Observatorio Astronómico de San Pedro Mártir (Ensenada, Baja California), además de realizar investigaciones as-tronómicas estudia, paralelamente, la historia de las ciencias exactas en México, como lo prueban sus libros, pioneros por cierto, sobre temas históricos de la astronomía mexicana, afortunadamente con amplia difusión, como la Historia de la astronomía en México (Fondo de Cul-tura Económica, 1986) y Odisea 1874 o el primer viaje internacional de científicos mexicanos (Fondo de Cultura Económica, 1986), y sobre historia de la matemática según lo constata su erudito y amplio ‘Estudio histórico’ al facsimil de la obra de Juan Diez Freyle, Sumario Compen-dioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son nece-sarios a los mercaderes y a todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmética (Centro de Investigaciones Interdisci-plinarias en Ciencias y Humanidades de la UNAM, 2008). Dentro de esa temática debe sumarse su libro Las ciencias exactas en México. Época colonial, espléndida contribución a la historia de la ciencia mexicana por las informaciones, interpretaciones y exposiciones acerca de la astronomía, matemática, física y química novohispanas, con lo cual se está convirtiendo en el primer estudioso mexicano dedi-cado exclusivamente a atender estas ramas de la ciencia durante los trescientos años de dominio colonial. Dicho libro ganó el ‘Concurso Nacional de Divulgación de Ciencia y Tecnología Juan B. De Oyarzabal’, convocado por la Universidad

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Autónoma de la Ciudad de México en 2006. Juan Bautista de Oyarzabal (1913-1977) fue un profesional de la física, oriundo de España, llegó a nuestro país en 1939 donde le fue concedida la nacionalidad mexicana en 1941. La labor científica de este exiliado la desplegó en cátedras de física, tanto en la UNAM (1944-1977) como en el Instituto Politécnico Nacional (1945-1962), en la investigación y sus resultados los dio a conocer en diversas publicaciones. Marco Arturo Moreno, asiduo promotor de la historia de la ciencia mexicana, ha planteado con conocimiento de causa: “La mayoría de mexicanos desconoce el desarrollo histórico que la ciencia ha tenido en el país” [p. 13]; en efecto ha mostrado que el cultivo de la ciencia, en-tendida como generadora de conocimiento, ha sido constante por lo que entonces le parece pertinente inventariar su situación durante la época colonial al centrar su exposición particularmente en la revisión histórica de las ciencias exactas, ejemplificadas con la astronomía, la física, la matemática y la química, por lo cual planteó como motivo principal de su obra “[…] mostrar que tales disciplinas fueron cultivadas en la Nue-va España, si bien con los matices propios de aquella época, y que en algunos casos ello se hizo de manera notable” [p. 14]. El libro está estructurado en siete partes: la primera contiene el contexto de la Revolución Científica y en su marco desarrolla el estado de la génesis moderna de las astronomía, la física, la matemática y la química y sus aplicaciones tecnológicas para contar con informaciones con las cuales “[…] valorar adecuadamente los esfuerzos que realizaron los habitantes de Nueva España por entender, implantar y desarrollar la ciencia occidental […]” [p. 47]; de modo que el contenido del resto de la obra está dedicada específicamente a llenar de contenido el título de la obra. Entonces la segunda y tercera partes se refieren a la introduc-ción, institucionalización e implantación de las ciencias exactas en Nueva España durante los siglos XVI y XVII; en la cuarta, quinta y sexta partes se exponen, sucesivamente, la astronomía y matemática, la física y la química en el siglo XVIII novohispano; en el último capítulo desarrolla breves comentarios sobre la fundamentación de la importan-cia del conocimiento histórico de la ciencia mexicana. De las múltiples formas como pueden añadirse argumentos para invitar al lector a internarse en la lectura de este libro destacan el reco-nocimiento de la buena escritura —en el caso que nos ocupa debe aplaudirse pues el estilo permite una lectura ágil, cronológica y lógi-ca— y la novedad del contenido. Para ensalzar la que pienso principal virtud del texto de Moreno Corral destacaré las informaciones e inter-

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pretaciones originales que contiene, en atención al propósito del autor quien sustenta que durante los trescientos años de vida colonial se:

[…] desarrolló una cultura muy rica que, en muchos casos, fue pionera en el continente americano. De ahí que los mexicanos podamos sentir-nos orgullosos de haber producido los primeros libros científicos y creado las primeras instituciones académicas y científicas del Nuevo Mundo [p. 48].

Entonces paso a exponer algunas de las principales novedades gnoseológi-cas contenidas en este libro. La mayor parte de las informaciones y explicaciones se refieren o están vinculadas con tópicos astronómicos, lo cual se explica por la principal ocupación académica del autor. Tal señalamiento en nada demerita su apreciación: “No es exagerado afirmar que el surgimiento de la nueva ciencia en la Europa de los siglos XVI y XVII se debió, en buena medida, a los avances logrados en el terreno astronómico […]” [p. 18]. En abono a esta interpretación debe reconocerse, como lo saben los historiadores de la ciencia, que la llamada Revolución Científica tuvo su concreción material con la aparición de la obra de Nicolás Copérnico, Revolutionibus Orbium Coelestium (1543) donde se usa por primera vez en el ámbito científico el término revolución cuya semánti-ca de cambio y motor de la modernidad y del progreso se gestó con su expansión más allá de la astronomía al convertirse en referente para hablar y promover cambios tanto científicos como, sobre todo, socio-políticos. En el campo de la matemática informa y comenta la publicación del libro de Juan Díez Freyle Sumario Compendioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son necesarios a los mercaderes y a todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Aritmé-tica por Juan Pablos en 1556. Dice: “Es un texto que, sin duda, debe ser considerado el primer libro científico producido en el Nuevo Mundo” [p. 52]. Asimismo menciona que al fraile Alonso de la Veracruz cabe el mérito de: “[…] iniciar los primeros cursos formales en los que se habló de astronomía y de física, y escribir y publicar el primer texto universitario de la disciplina en el continente americano” [p. 58], Physi-ca Speculatio publicada en la Ciudad de México en 1557. Labor pionera también correspondió a fray Diego Rodríguez quien promovió la creación de la primera cátedra de astronomía y matemáti-cas en la facultad de medicina de la Real y Pontificia Universidad de México en 1637, en la cual fungió, durante treinta y un años, como su primer catedrático. Esta cátedra fue la primera en su género que se estableció en el Nuevo Mundo.


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Asimismo dedica amplias referencias a la obra científica de Carlos de Sigüenza y Góngora y nos aclara que sólo se conserva la Libra as-tronómica y filosófica con cuyo amparo señala que este científico no-vohispano de la segunda mitad del siglo XVII

[…] manejaba con soltura la Teoría de los Números […]. Con seguri-dad también dominó a fondo los logaritmos, pues los empleó como herra-mienta de cálculo para construir efemérides astronómicas. La Teoría Com-binatoria fue otro de sus conocimientos matemáticos […]. En cuanto a la trigonometría, la Libra muestra lo bien que Sigüenza manejó esa dis-ciplina, pues buena parte de sus cálculos se apoyan en la resolución de triángulos y en sus propiedades [p. 113].

De igual manera nos recuerda que la primicia de trabajos científicos en el siglo XVIII correspondió a las ciencias exactas pues José Sáenz de Escobar escribió Geometría práctica y mecánica; que Joaquín Velás-quez de León fundó y presidió una Academia de Matemáticas, en el Colegio de Todos Santos de la Ciudad de México, en 1754; que Juan Benito Díaz de Gamarra, en su obra Elementos de filosofía moderna (1774) en el tomo dos dedicado a la física, introdujo la mecánica new-toniana y su discípulo José Ignacio Fernández del Rincón, en sus Lec-ciones de filosofía, aborda la teoría eléctrica sustentada en experimen-tos, un tema de frontera de ese entonces. Incluso añade:

[…] puede atribuirse a Díaz de Gamarra la creación del primer labora-torio de física que hubo en el país. Sus experimentos […] los realizó con la intención explícita de construir una teoría sobre los fenómenos eléctricos. Así pues, fue también el primer mexicano que se planteó un claro programa de investigación en física experimental [p. 166].

Recuerda que la química se venía practicando en Nueva España de manera experimental para lo cual apunta como contribución de José Ignacio Bartolache la producción de unas “pastillas marciales o de fierro sutil” en 1774 las que, dijo, “son excelentes para conservar la salud y, por consiguiente, retardar la vejez […]” [p. 181], lo cual lleva a Marco Arturo Moreno a sustentar: “Se trata, posiblemente, del primer medicamento, o más correctamente, del primer complemento nutricio-nal producido en México mediante manipulación química” [p. 182]; asimismo refiere que el primer curso de química lo impartió Fausto de Elhuyar en el Nuevo Mundo, en 1797, apoyado en la obra de Antonio Lorenzo Lavoisier, Tratado elemental de química, publicado en París en 1789, traducido al español y editado en la capital de Nueva España por Mariano de Zúñiga y Ontiveros en 1797. Ese ambiente de renovación cultural introducido por la enseñanza, investigación y difusión de la ciencia moderna contextualiza y, a la vez,

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explica los aportes de Andrés Manuel del Río quien escribió y publicó el libro

[…] Elementos de Orictognosia, para enseñarla a sus alumnos, llevó a cabo investigaciones de campo en diferentes minas del país, como la Vizcaína de Real del Monte, donde instaló una bomba para desaguarla, que Humboldt calificó de única. Su actividad científica le permitió des-cubrir, en 1801, un nuevo elemento químico, primero descubierto en la-boratorios de América. En efecto, en ese año encontró en muestras de plomo procedente de Zimapán un elemento al que llamó Eritronio […] treinta años después, el químico sueco Seftrön reportó el mismo ele-mento que Del Río […] lo bautizó como vanadio […] A pesar de la protesta de Del Río, ya no fue posible hacer las rectificaciones corres-pondientes […] [p. 186].

También en el libro se incluye el proceso de creación del Real Semina-rio de Minería (1792), primera casa de las ciencias de América porque institucionalizó la enseñanza de la física, la matemática y la química modernas en México, y lo hizo con pertinente criterio laico. Por eso concluye el autor:

[…] podemos sentirnos orgullosos de nuestro pasado científico […] fuimos capaces de producir cultura científica. Lo que no hemos logrado aún es que esa cultura se haga extensiva a toda nuestra sociedad y for-me parte integral de ella […] para ello, primero debemos conocer y di-vulgar nuestra historia científica […] [p. 193].

El recuento de algunas de las hazañas científicas acontecidas en Nueva España, forjadas tanto por criollos como por peninsulares, da cuenta de que la ciencia occidental echó raíces fructíferas en tierras americanas. Obviamente el contenido de este libro dejó fuera o por lo menos no señaló referencia alguna sobre la labor de mujeres en la conformación de la cultura científica durante la época colonial, por ejemplo nada se dice de Juana Inés de Asbaje y Ramírez de Santillana en el siglo XVII ni de Francisca Gonzaga del Castillo en la centuria siguiente. Otros límites que se advierten al leer la obra de Marco Arturo Mo-reno Corral son la falta de explicitación de la metodología empleada toda vez que los criterios usados para exponer el contenido del libro se circunscribieron al cronológico y la agrupación de la información de las cuatro ciencias exactas casi al mero inventario; de igual manera la au-sencia de ilustraciones disminuye el valor didáctico inherente al libro y por ende puede resultar menos interesante al público en general, pues téngase en cuenta que esta obra no fue escrita sólo para especialistas. De todos modos este pequeño libro de Marco Arturo Moreno Co-rral resulta una estupenda fuente para alimentar la necesaria autoestima de los mexicanos en este inicio aciago del segundo milenio, con base en el conocimiento de las proezas de los intelectuales que, sin haberse


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formado académicamente para desempeñarse como astrónomos, físicos, matemáticos o químicos, contribuyeron a sentar las bases de la cultura científica de nuestro país durante la etapa de dominio español mediante el cultivo y enriquecimiento gnoseológico de las ciencias ahora clasifi-cadas como exactas.

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En caso de ser una traducción deberá tratarse, dentro de lo posible, de indi-car inmediatamente la fuente original (entre corchetes y conteniendo los mis-mos datos, pero cambiando y normalizando el orden de los nombres del autor y trasladando el año de publicación a la posición final). Por ejemplo:

POINCARÉ, Henri. 1944a. Ciencia y Método. Madrid: Espasa Calpe. (Col. Austral # 409. Tercera edición, 1963). [Henri Poincaré. Science et Méthode. Paris: Flammarion. 1908].

En el caso de un artículo contenido en una revista, la referencia debe contener los siguientes datos: Nombre del autor; fecha de publicación; título del artículo, entre comillas; título de la revista subrayado (itálicas); número del volumen, (en negritas), seguido por dos puntos; y, finalmente, el número de las páginas entre las que está comprendida la mencionada referencia. Por ejemplo:

PALTER, Robert. 1987a. ‘‘Saving Newton's text: Documents, Readers, and Ways of the World’’. Studies in History and Philosophy of Science 18: 385-439.

Para el caso de un ensayo contenido en un libro o colección de ensayos deberá seguirse el modelo indicado por el siguiente ejemplo:

DAUBEN, Joseph. 1984a. ‘‘El desarrollo de la teoría de conjuntos cantoriana’’, contenido en: Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introduc-ción histórica. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 387. Traducción de Ma-riano Martínez Pérez). Pp. 235-282. [Ivor Grattan-Guinness (editor). From Calculus to Set The-ory, 1630-1910. An Introductory History. London: Duckworth. 1980].

Es también importante marcar con claridad —a fin de evitar al impresor cualquier tipo de confusión— todos aquellos símbolos, ecuaciones y fórmulas matemáticas; alfabetos poco usuales; fórmulas químicas y físicas, caracteres especiales y acentos diacríticos. También es publicable un reducido número de dibujos o esquemas, los cuales deben ser reproducibles directamente de la copia enviada por el autor; en este caso sólo es posible imprimir motivos a línea en blanco y negro y no en medio tono. El material gráfico deber estar separado del texto con la respectiva indica-ción, señalando dónde ha de ser incluido cada uno de los diagramas.

Una vez aprobada, revisada y corregida, el autor debe enviar la versión fi-nal de su ensayo impresa, y capturada en disco o CD, utilizando alguno de los siguientes procesadores de palabras para IBM-PC: Microsoft Word, Word Perfect; o enviar un archivo ‘adjunto’ dentro de un mensaje electrónico a la dirección: [email protected]

Finalmente, ya publicada la revista, el autor recibirá veinticinco sobretiros de su trabajo, sin cargo alguno, para su uso personal.

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Enseñanza, pero no sólo aquella que se da, sino también aquella que se busca.

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ESTRUCTURA: la revista está integrada por las siguientes secciones, que no necesariamente aparecen en todos los fascículos:

Artículos. Incluye ensayos originales y panorámicos, tanto en historia como en filosofía. Los artículos históricos y filosóficos deben incluir nuevos datos provenientes de fuentes primarias, análisis inéditos de datos ya conocidos, reseñas de trabajos históricos y filosóficos previos, evaluaciones de trabajos recientes de investigación histórica y filosófica, manuscritos originales inéditos, traducciones o reimpresiones de materiales inaccesibles al común de los lectores y bibliografías anotadas y comentadas.

Clásicos matemáticos. Presenta traducciones al español de trabajos pasados que se consideran paradigmáticos en la disciplina. Estas traducciones (e.g. Descartes y Cantor, entre otros) se realizan directamente del lenguaje original y están precedidas por textos introductorios que explican la naturaleza y relevancia de su contenido.

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Proyectos de trabajo. Contiene información de proyectos académicos en preparación o en pleno desarrollo, incluyendo temas de tesis, retos, preguntas y respuestas.

Noticias y avisos. Informa a los lectores de congresos, reuniones, conferencias, invitaciones, notas necrológicas y otros eventos de interés que realice la comunidad de filósofos e historiadores.

Ensayo-reseña. Presenta reseñas extensas que intentan, en detalle, inspeccionar trabajos contemporáneos y pasados. Los ensayos están dedicados a algunas obras que se consideran clásicas en estas disciplinas.

Reseñas. Presenta revisiones críticas de obras, tanto pasadas como actuales, que conforman estas materias.

Fuentes. Informa a los lectores de los acervos de bibliotecas y archivos de instituciones de países hispanohablantes para facilitar la localización de libros y revistas. También propone describir el contenido de las distintas revistas que se publican o se han publicado en lengua española (e.g., Matemáticas y Enseñanza, Ciencia y Desarrollo, Investigación Científica, Historia Mexicana, Naturaleza, Revista de Occidente, etc.).

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