Aritmética 1º bachillerato ciencias

POTENCIAS

1. Opera y simplifica aplicando las propiedades de las potencias.

a) (7)-2 · (73)3 · (-7)4

b) 2-5 · (-2)4 · 20 · (-2)-1

c) (-5)2 · (5)5

52

d)(-9)5 : (-9)-4

(-9) -3· (-9)2

e) [(3 + e)5 : (3 + e)-2]4

f) (3-5 · 3-2)-6 : [(5 – 2)2]-3

g)(-2)3 · 5-2 · 10

54 · (-2)4 · (12 )-3

h)

-102 · 1

10 -3 · (0,01)3

11000

· 105 · (-0,01)2

i)- 92· (13 )

2

· 81

35 · (-3)3 ·(13 )-1

j) 23· 9 · 84 · 3 · 22

k)49 · 70· 7-3 · 52· 257 · 35 · (-5)2· (-7)3

l) (0,1)3· (110 )

-5

(1100 )-2

· ((0,01)-3 )2

m)(-23

a3)3

·(- a4 )3

(2a2)2

n)(13 )

5

· (-13 )-4

·(19 )

2

(19 )-2

·(127 )-2

ñ) [(42 · 3-5

32 )3

·(3 -3· 22

2-2· 32 )-2]

3

o)(0,25)-3 ·(-1

4 )-2

(12 )-3

·(12 )

p)[(23 )

4

:(23 )3]

-1

(23 )2

q) [(- 35 )

3

·(-35 )

2]-3

·(-35 )

15

- (43 )

3

·(32 )4

r) [(32 - 4) :(1-83 )+ 1

2 ]4

-(1+23 )

2

·(1-25 )

3

s){[(13 -1)·(-1+14 )]

2

:(2-32 )

2}+[(-15 )

2

·(-53 )]·(5

4+10)

(-3)5 Exponente

Base ↵

Exponente Potencias Operación PropiedadPositivo a5 = a · a · a · a · a Misma base

distinto exponenteProducto am · an = am + n

Negativo a-2 = 1/a2 Cociente am : an = am - n

Cero a0 = 1 Distinta basemismo exponente

Producto am · bm = (a · b)m

Uno a1 = a Cociente am : bm = (a : b)m

Fraccionario a½ = √a Potencia de una potencia (am)n = am · n

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RADICALES

Para realizar las mismas operaciones cuando el radical no tiene el mismo índice hay que pasar los radicales a

potencias de exponente fraccionario y hacer común denominador con los exponentes para que, al volverlo a

pasar a radical, el índice sea el mismo: 3√5 · √3 = 513 · 3

12 = 5

26 · 3

36 =

6√52 · 6√33 =

6√52 · 33

común denominador de las fracciones de los exponentes ↵

2. Opera aplicando las propiedades de los radicales y exprésalo extrayendo del radical los factores posibles.

a) ( 3√a2 )6

b)3√7

√7

c) √√12

d) √ab3√ab

e ) (√x )3 · 3√x

f) √√x √x

g) 4√3 x18 : 4√x

h) 2√43

·√278

i) 3√ 4√x5 x7

j) √28 x5

75 y3

k) 8√84√4 · √2

l) 3√16 x2 y4 ·

3√2 x5 y3

m)3√a2

a2 ·a3

√a

n) 3√5 3√1

25

o) 3√3 · 4√33 √3

p)[( √16

√163 )- 12 ]

4

q) 3√25 √5

2 √25

r) x3 y5 √x5 y4 z9

√ ( x3 y )2

x2

s) 3√2√2√2 · 3√4 4√4√8

3√16 3. Efectúa las siguientes operaciones simplificando los resultados todo lo posible.

a) -2√7 + 5√7 - 8 √7 + 3√7 - 5√7 + 7√7

b) 5√11 - 3 √17 - 4 √11 - 9√11 + 8√17

c) 3 √12 - 5√27 + √243 - 15

√75

d) 2 3√16 + 3 3√128 - 5 3√54

e) 45

√8 - √50 + 72

√18 - 34

√98

f) 5√4x - 3√36x + 3√25x- 4 √9x + 6 √x

g) 3❑√8x3 – 4 ❑√72 x3 + 2❑√32 x3 + 4 ❑√128 x3 – ❑√288 x3

Índice 3√27 =3√33 = 3

Radicando ↵ Raíz↵

Operación PropiedadProducto de radicales del mismo índice n√a · n√ b = n√a · bCociente de radicales del mismo índice n√a : n√ b = n√a : b

Potencia de un radical ( n√a )m = n√am

Radical de un radical n√m√a = n·m√a

Aritmética 1º bachillerato ciencias

h) (√3 + 2√2 ) (√2 - √3 )·√3

i) (2 +√2 )2- (2 + √2 ) (2 - √2 )

j) (1 + √2 ) (1 - √2 ) + (2 + √2 ) (2 - √2 )

k) (√72 - √5 0- √2 ) (√2 + 2√8- 7√2 )

l) ( 3√250 - 3√16 ) 3√4

m) 3√9 - √17 ·

3√9 + √17

n)2 3√81- 3 3√24 + 3√1923√3

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

TIPO 1 Denominador con un solo radical: Se multiplican numerador y denominador por el mismo radical del

denominador n – 1 veces (siendo n el índice del radical) y se opera:

b c2

3√a =

bc2

3√a·

3√a3√a·

3√a3√a

= b c2 ·

3√a ·3√a

3√a ·3√a ·

3√a =

bc2 ( 3√a)2

( 3√a )3=

b c2 3√a2

a

TIPO 2 Denominador con una suma o resta con radicales: Se multiplica numerador y denominador por el

conjugado del denominador y se opera:

b c2

1 - √a=

b c2

1 - √a·

1+√a1 + √a

= b c2 (1 + √a )(1 - √a ) (1 + √a )

=b c2 (1 + √a )12- (√a )2

=b c2 (1 + √a )1-a

=b c2 + b c2 √a1- a

4. Racionaliza:

a) 3

- √3

b) x √yy √x

c) 3

2 3√4

d) 2

√x + 1

e) √x2 - √x

f) 3 + 2√22 - 2√2

g) √2 + √3√2 - √3

h) √3√ x + 2

i) 1

√3 + √2

j) √7 + 12√7 + 5

k) √15 - √6√35 - √14

l)13√3 - 1

m)√2√7 + 1 2√7 – 1

n) √4236

- √218

ñ)2√5 - 3 √22√5 + 3√2

- 23√2

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LOGARITMO

5. Calcula x en las siguientes expresiones:

a) log2 x= 4

b) log5 x = 0

c) log34

x = 2

d) log12

x = 3

e) log4 x = 32

f) log164

x = 56

g) log15

x = 1

h) logx 81 = 4

i) log x16 = -4

j) logx18

= 3

k) logx 4 =25

l) log x5 = 12

m) log x 4 =-12

n) logx116

= 22

ñ) logx 32=52

o) logx 0,01= -2

p) logx 216 = 3

q) log216 = x

r) log 10000= x

s) log16 4 = x

t) log93√3= x

u) log2132

= x

v) log3 √81= x

w) log2 ( log228)= x

x) log3(√33· 9 ·3 -1

812 · 3-2 )= x

y) 2log2(√64 · 23

32 · √8 )= x

z) lne3 √e3

e2 · e-4 = x

6. Desarrolla las expresiones que se indican:

a) loga3 · b4 · cd2

b) log (√a3 ·3√b2 · c4 )2

c) log4πr3

3

d) log xyzt

e) log4√x

3√x2

f) loga ·

3√b4 · c4

d2 · 4√e2

g) log(√a-3

·3√ b

2·1

c-4 )

h) log x

23 · y

12 · z

5√ t 6

i) log x -2· y23 · x3 · z

13

j) log4√x

3√x2 3√x

log a b= x ↔ ax = b Base ↵

log a 1= 0log a a= 1

log a ax = x

Operación PropiedadLogaritmo de un producto log (A·B) = log A + log BLogaritmo de un cociente log (A:B) = log A - log BLogaritmo de una potencia log Ab = b · log A

Cambio de base log a x =logb x

loga b

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7. Escribe la forma algebraica de las letras mayúsculas de las siguientes expresiones:

a) log A = 3 log x - 5 log y

b) log B = 5 log x + 3 log y2

c) log C = 37

log a + 2 log b - 5 log c – 4log d

d) log D = 2 log5 + 3 log7 - 4 log 11

e) log E = 16

log 2 - 14

log 7 - 18

log 5

g) log G = 12

log a + 3 log b - 2 log c + 2

h) log H = 2 (log a + 3 log b) - 12

(2 log c + log d)

i) log I = 2 log x - 3 log y + 5 log z

8. Sabiendo que log 2 = 0,30103 y que log 3 = 0,47712, calcula:

a) log 0,3

b) log 0,48

c) log 3√40

d) log489

e) log185

f) log 0,072

g) log304,8

h) log (1,8)3

i) log4√9

32

j) log❑√95

k) log(83 )2

l) log(54 )

3

9. Demuestra

a) 2 log √2 = log 2

b) log (a2 - b2 ) = log (ab ) + log(ab - ba )

c) log (a + b ) + log(ab

- 1)= log(ab + 1)+ log (a - b)