TEMA 1.- LAS MAGNITUDES MECANICAS Y SU MEDIDA.

1.1. EL CARÁCTER DE LA MECÁNICA.Los primeros estudios fueron los relacionados con el movimiento de los cuerpos

materiales. Mas tarde ampliados con sus causas. Ésta se denomina mecánica clásica en contraposición con otra más reciente que se llama cuántica.

1.2. OBSERVABLES Y MAGNITUDES.Observable, magnitudes (comparables, condiciones de igualdad y suma, criterio de equivalencia: Para que dos magnitudes sean iguales sus efectos deben ser iguales. Magnitudes primarias (sin hablar de unidades ni medidas) y secundarias (efectuando previamente las medidas).

1.3. NATURALEZA DE LAS LEYES FUNDAMENTALES DE LA FÍSICA.Las leyes de la física consisten en relaciones de proporcionalidad entre determinadas potencias de magnitudes que intervienen en un determinado fenómeno. Estas leyes vienen reflejadas mediante ecuaciones algebraicas pasándose de la proporcionalidad a la igualdad mediante la inserción de la correspondiente constante de proporcionalidad. Hay constantes universales y constantes particulares.

1.4. SISTEMA DE UNIDADES.Condición de homogeneidad: toda fórmula física deber ser homogénea.Sistema coherente de unidades: el mayor número de constantes de proporcionalidad es 1Unidades fundamentales (son las tres magnitudes seleccionadas y los valores adoptados para las correspondientes unidades. Unidades derivadas. SI es el más ampliamente adoptado, CGS, técnico, GI, AI.

1.5. ECUACIONES DIMENSIONALES.Ecuación dimensional: En un sistema de ecuaciones homogéneas se van eliminando las diferentes magnitudes, quedando al final la ecuación de las magnitudes fundamentales y una cuarta que es la que debemos hallar. Se prescinde de las constantes. [A]=MaLbTc.Dimensión de una magnitud es la magnitud objeto del estudio. Y es la que depende de las unidades fundamentales en función de los exponentes. Llamado base de dependencia. Utilidad: 1) comprobar la homogeneidad de las fórmulas. 2) determinar las relaciones entre las unidades derivadas de los distintos sistemas.

1.6. EL TEOREMA DE PI O DE BUCHINGHAN.Número de monomios pi = nº de variables – nº magnitudes fundamentales. Factores de forma: si tenemos dos o mas magnitudes de las mismas dimensiones, se sustituyen por los factores de forma que son los cocientes de dividir cada uno de ellas por la que conservamos.

1.7. ANÁLISIS DIMENSIONAL.Escribir la matriz dimensional. Asignar una letra a cada columna. Resolver el sistema dando valores a las unidades principales.

1.8. SEMEJANZA.Razón de semejanza: R= r1/r2 . Semejanza geométrica. S1={l1,l2,l3} S2={rl1,rl2,rl3}. Semejanza cinemática y dinámica. V=v1/v2=cte.

1

TEMA 2.- MAGNITUDES VECTORIALES Y VECTORES.

2.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.Magnitudes escalares: aquellas que quedan perfectamente determinadas por su valor numérico. Magnitudes vectoriales: se precisa de dirección y sentido.

2.2 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES.Libres: carece de punto de aplicación. (equipolentes: iguales) Deslizantes: punto de aplicación a lo largo de la línea de acción. Fijos: punto de aplicación fijo. Pseudovectores: polares y axiales.

2.4. ÁLGEBRA VECTORIAL.a) producto de un vector por el escalar de otros dos. a(bc) =a(cb)=(bc)a=(cb)a.b) Producto mixto: a(bxc)=(a.bxc)=(b.cxa)=(c.axb)=-(a.cxb).c) Triple producto vectorial: ax(bxc)=b(ac)-c(ab).d) Producto escalar de dos vectoriales: (axb).(cxd)=(ca)(bd)-(cb)(da).e) Producto vectorial de dos vectoriales: (axb)x(cxd)=c(axb.d)-d(axb.c).

2.5.DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO A UN ESCALAR.

En función del tiempo . En función del arco r’=

Derivada de un vector de modulo constante:

Derivada de un vector tangente:

2.6. VECTORES GIRATORIOS.Características: Utilidad en la descripción de algunos fenómenos físicos como el movimiento armónico y corrientes alternas. Modulo constante. Giro en el plano xy. Velocidad angular constante. Posición inicial o fase inicial. Componentes:A = (x,y) = [a.cos(wt + &), a.sen(wt + &)] = e(wt + &)i

2.7. VECTORES DESLIZANTES. MOMENTOS.Momento respecto a un punto o: Coordenadas del vector deslizante: Campo de momentos de un vector deslizante: MA = MB + AB x aMomento respecto a un eje. (Producto mixto: unitario del eje, punto y vector)

2.8. SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES.Resultante: Suma de todos los vectores. MR: Suma de todos los momentos.Campo de Momentos: MA = MB + AB x R; MO = MA + OA x RLas componentes de R y MR constituye las seis coordenadas del sistema.

Invariantes: 1. Resultante (R). 2.

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2.9. EJE CENTRAL Y TORSOR.

Eje central: Es la recta del Mm

Torsor: (R, Mm)

2.10. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS.a) (R, Mm) 0: Torsor completob) R 0 Mm = 0: Vector único.

a. Ecuación del eje central: Se determina imponiendo esta condición a un P

(x,y,z) que pertenezca al eje central. =

0b. Vectores recurrentes: El MR en cualquier punto es igual al momento del vector

resultante.c. Vectores paralelos: R también paralela y MR perpendicular.d. Vectores coplanarios: Se pueden hacer concurrentes.

c) R = 0 Mm 0: equivalente a un par. El momento del par es igual al módulo de uno de los vectores por la distancia que los separa.

d) (R, Mm) = 0: Sistema nulo.

2.11. CENTRO DE UN SISTEMA DE VECTORES FIJOS PARALELOS.

TEMA 3.- CALCULO VECTORIAL INFINITESIMAL.

3.1. EL CONCEPTO DE CAMPO.Cuando una magnitud adopta un valor en el espacio.Campo escalar: si la magnitud es de naturaleza escalar ej. P.atmosferia, Temp..Para el calculo se define una función uniforme u = u(x,y,z).Superficie de nivel o isoescalar: la magnitud adopta el mismo valor.Campo vectorial: si la magnitud es de naturaleza vectorial.(gravedad, vel. Viento)Para representarlo v= f(r), se representa por las líneas de campo, que son las líneas tangentes al vector campo en cada punto.

3.2. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR.Importante saber la variación del valor de la magnitud u en función de dl.La derivada direccional du/dl tomará diferentes valores en función de la dirección en que se considere el desplazamiento. Grad u = .u=du/dl: du=grad u . dl . cos .La dirección del gradiente se obtiene en función del ángulo que forma con la superficie de nivel. Obtenemos un campo vectorial a partir de uno escalar.

3.3. CIRCULACIÓN DE UN CAMPO DE VECTORES.Circulación abierta y cerrada C = v.dl = lvxdx + vydy + vzdz Campos conservativos: son aquellos en que la circulación es nula. Y en ellos el camino recorrido es independiente del valor de la circulación.

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Campos de potenciales: es el escalar V o sea el vector depende de V(superficies equipontenciales) v=grad u=-grad VDiferencia de potencial: diferencia de valores que adquiere V en ambos puntos.Posibilidad de representarlo de dos formas: por el campo de vectores o por el de potenciales escalares V. C=v.dl=-grad V dl=-dV=V1-V2

3.4. FLUJO Y DIVERGENCIA. TEOREMA DE GAUS-OSTROGADSTY.Concepto de flujo: dF=v.ds Flujo saliente o positivo: el ángulo que forma v y ds es agudoFlujo entrante o negativo: el ángulo que forma v y ds es obtuso.

Div v: es el flujo a traves de un volumen . Divergencia positiva(fuente) si es

negativa(sumidero) si es nula (solenoidal).Teorema de Gaus-ost: El flujo de un vector v a traves de una superficie cerrada S, que envuelve al volumen , es igual a la integral de la divergencia del vector extendida a todo el

volumen. expresión que transforma integrales de superficie en cúbicas div

v = . v

3.5. LOS OPERADORES NABLA Y LAPLACIANA.; aplicado a un escalar u = grad u. Aplicado a un vector div v.

si el vector deriva de un potencial v = -grad V = - V

div v = v = - v = -V

3.6. ROTACIONAL DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES.

Rotacional de un campo de vectores: el cual es dependiente de

la superficie y de la orientación.. Para el cálculo de sus componentes rot v = x vLas denominaciones de campo conservativo y campo irrotacional son equivalentes.Teorema de Stoke: En todo campo vectorial la circulación del vector campo a lo largo de un contorno es igual al flujo rotacional de dicho vector a través de la superficie encerrada por dicho contorno. Nos permite transformar integrales curvilíneas cerradas en integrales de superficie o viceversa. Concepto físico del rotacional: el ejemplo del río.

3.7. CALCULO DE EXPRESIONES COMPLICADAS.a) grad ab = a grad b + b grad ab) div av = v grad a + a div v.c) div (v x w) = -v rot w + w rot vd) rot av = grad a x v + a rot ve) div grad a = a = af) rot rot v = grad div v - v

dado un vector para comprobar si v deriva de un potencial V:

; ;

para calcular V =

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ecuaciones de las líneas de campo:

TEMA 5.- TENSORES.

5.1. TENSORES. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.Necesidad de las magnitudes tensoriales (medios no isótropos).Componentes del tensor: son funciones de las coordenadas. El número de componentes N viene dado por nm siendo n el número de dimensiones y m el orden del tensor.Traspuesto: se cambian filas por columnas. Propiedades: . Si a es un vector entonces:

5.2. TRANSPOSICIÓN DE UN TENSOR EN LAS TRASLACIONES Y GIROS DE EJES.Los tensores en la traslación de ejes no alteran su matriz de componentes.En caso de giro de ejes:

multiplicando por G

5.3 EL TENSOR COMO OPERADOR.Suma: w = T1v ; w’= T2v T1v + T2v =(T1 + T2)v = w + w’Producto: T1T2v = T1w’ = w’’Toda transformación que queda reducida a una traslación más giro se puede solucionar con los tensores ortogonales y simétricos.

5.4. TENSOR INVERSO.

5.5.TENSORES UNITARIOS Y ORTOGONALES.T es ortogonal si

5.6. TENSOR SIMÉTRICO.Aquel que coincide con su traspuesto: Valores propios: i

Vectores propios: resolviendo el sistema formado para cada valor propio completado con otra ecuación: Si la ecuación tiene raíces simples serán valores propios no degenerados.

5.7 INVARIANTES DE UN TENSOR SIMÉTRICO.1. Norma o suma de la diagonal 2. Suma de adjuntos de la diagonal 3. del determinante:

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Todo tensor simétrico adimensional cuyo determinante valga 1 aunque produzca deformaciones no cambia su volumen.Toda transformación se descompone en un giro dado por su tensor ortogonal R y por una deformación dada por un tensor simétrico S. Lo que implica que todo tensor T = SR

5.8 CUÁDRICA TENSORIAL.Tr = r’; q = r’r grad q = 2 r’ Dando el valor 1 al parámetro q se obtiene la cuádrica tensorial. Esta propiedad permite obtener gráficamente la dirección del transformado.

5.9. TENSORES INFINITESIMALES.Son los que producen transformaciones infinitamente pequeñas.Propiedades:

a) Todos son permutables.b) El inverso se obtiene cambiando la suma por la resta.c) El determinante esd) Se reconoce a simple vista si son ortogonales.

Ejemplos de aplicación:a) rotación de su sólido alrededor de una recta.b) Los giros elementales conmutan.c) Transformación elemental de una figura.

TEMA 6.- CINEMATICA DEL PUNTO.

6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.- Posición: viene dado por el vector de posición r que en función del tiempo nos da las

ecuaciones horarias en relación a los ejes cartesianos.- Trayectoria: se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones horarias.- Velocidad: es la derivada del vector posición respecto del tiempo.- Hodógrafa: se obtiene eliminando el tiempo entre las componentes de la velocidad.- Aceleración: es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.- Problemas cinemáticos: el problema general consiste en hallar la ley horaria partiendo

de una unción que relaciona las magnitudes cinemáticas.

6.2. ESTUDIOS EN COORDENADAS CURVILÍNEAS.Como norma general se utilizará hasta tres coordenadas.

- Posición en cilíndricas: - En polares-esféricas: - Eliminando el tiempo resultará dos ecuaciones que es la trayectoria.

6.3. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILÍNDRICAS.

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6.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.

6.5. COORDENADAS INTRÍNSECAS.

Arco recorrido:

Velocidad: sólo tiene componente tangencial. Celeridad:

Aceleración: tangencial: normal:

6.6. CINEMATICA EN EL PLANO.Se necesitan sólo dos coordenadas.Llamándose a las componentes de la velocidad y aceleración: radial y transversal.

6.7. NOTACIÓN COMPLEJA EN EL PLANO.Fórmula de Euler: Vector posición: r = r(t) = (t)Trayectoria: Eliminando el tiempo.

Velocidad: derivando la fórmula de Euler:

Siendo su módulo, la componente radial y transversal: Aceleración: derivando dos veces la posición se halla la radial y transversal:

derivando la velocidad se halla la tangencial y la normal:

6.8. VECTORES GIRATORIOS Y MOVIMIENTO ARMÓNICO.Vector de posición:

6.9. VELOCIDAD AREOLAR:

área barrida en un tiempo determinado:

Ley de las áreas: si el vector aceleración pasa por un punto fijo la velocidad areolar es constante.

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TEMA 7. CINEMATICA DEL SÓLIDO:

7.1. CAMPO DE VELOCIDADES INSTANTÁNEO.Para determinar la posición de un sólido rígido bastan 6 parámetros ya que entre los puntos hay una relación de invariancia entre las distancias.El campo instantáneo de velocidades no puede ser cualquiera ya que debe cumplir las condiciones de rigidez del sólido.Generalmente todos los movimientos del sólido se reducen a dos movimientos simples: traslación y rotación.En la Traslación, el campo de velocidades es uniforme y todas las partículas se mueven con idénticas velocidades.En la rotación, la velocidad de las partículas dependen proporcionalmente con la distancia que tengan con el centro o eje de rotación.La composición de una traslación y una rotación es un movimiento helicoidal y a su eje se le denomina eje instantáneo de rotación-traslación.El estudio del campo de velocidades se realiza considerando la velocidad angular de rotación como un vector deslizante situado en el eje de rotación. Así pues se puede considerar a vp(velocidad de un punto p) como el momento en p del vector deslizante w.

. Si además el punto O se mueve (traslación) la velocidad de punto p sería.

Condición cinemática de Rigidez. Las proyecciones de las velocidades de un punto de un sólido rígido sobre la recta que unen dichos puntos coinciden. va . AB = vb . AB.Equiproyectividad del campo de velocidades. Conocidas las velocidades de 3 puntos no alineados de un sólido rígido, es posible saber la velocidad de cualquier otro punto además de la rotación resultante del sólido.

7.2. EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN TRASLACIÓN.Las rotaciones pueden ser multiples: p ej. La rueda de un coche.Invariantes: a) resultante: b) Momento mínimo (velocidad mínima o de deslizamiento: es la componente de la velocidad de cualquier punto sobre el eje instantáneo de rotación:

.

Eje central instantáneo de rotación-traslación: es el lugar geométrico de los puntos de velocidad mínima (en el caso del plano, nula). Y en el que se aplica la resultante w.Hay dos formas de hallarlo:

- haciendo que un punto Q(x, y, z) pertenezca al eje e imponiendo la condición de perpendicularidad con la rotación instantánea. .

- con lo que despejando nos da las ecuaciones paramétricas del eje.

Tipos de coordenadas cartesianas (averiguar eje instantáneo en los dos): triedro fijo y móvil.Cualquier movimiento del sólido puede considerarse equivalente a una rotación en torno al eje instantáneo y a una traslación en la dirección del mismo, es decir, un movimiento helicoidal.

7.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.Rotación y velocidad mínima distinta de cero: movimiento helicoidal ya visto.

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Rotación distinta y velocidad igual: Rotación simple. Para hallar el eje se iguala a cero las velocidades.Rotación igual y velocidad distinta: traslación simple “par de rotaciones”.Los dos cero: en reposo.

7.4. AXOIDES.Es el lugar geométrico de las rectas que sucesivamente van siendo ejes instantáneos y que va formando una superficie reglada. Según el triedro escogido puede ser fijo o móvil y se hallan eliminando el tiempo de las ecuaciones del eje instantáneo. El móvil va rodando sobre el fijo y en el instante en el que una recta e eje instantáneo coinciden en ambos axoides.

7.5. MOVIMIENTO PLANO DEL SÓLIDO.Es un movimiento en el que las velocidades de todos los puntos son paralelas a un plano fijo. La rotación resultante será pues perpendicular al plano así pues el segundo invariante será nulo (velocidad mínima). El eje instantáneo de rotación es un eje normal al plano por lo que se reduce su estudio a un solo punto(punto en el que se cruza con el plano) así pues se llama centro instantáneo de rotación (CIR). Para hallar el CIR en el sistema fijo y móvil se iguala a cero las velocidades. Determinación gráfica del CIR.

7.6. BASE Y RULETA.Al lugar geométrico de los puntos que van siendo sucesivamente CIR se le denomina curva polar. Según el triedro escogido será polar fija o base y polar móvil o ruleta. Las ecuaciones de ambas se obtienen eliminando el tiempo en las ecuaciones del CIR. El movimiento se realiza de tal modo que la ruleta rueda sin deslizar sobre la base. En un instante dado el CIR coincide para los dos. Generalmente el CIR se encuentra en el punto de contacto entre los dos cuerpos. (rueda).

TEMA 8.- MOVIMIENTO RELATIVO

8.2. SISTEMAS DE REFERENCIA MÓVILES.Imposibilidad de un sistema de referencia fijo.

8.3. DERIVACIÓN DE LOS VERSORES DE LOS EJES MOVILES.Primera derivada: lo mismo con j y k.Segunda derivada: lo mismo con j y k.

8.3. DERIVADA DE UN VECTOR EN EJES MÓVILES.

Las componentes del vector y los versores son funciones del tiempos

8.4. VELOCIDAD EN EJES MOVILES.

8.5. ACELERACIÓN EN EJES MOVILES.

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8.6. OBSERVACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE CORIOLIS.Para que exista se requiere. Que posean velocidad angular los ejes de referencia móviles. Que el punto se mueva respecto a los ejes móviles y que su velocidad no sea paralela a w. Ejemplo: el disco que rueda (1. con el punto obligado a circular por un camino y cuando el punto puede abandonar el camino). La aceleración de coriolis toma el camino de las x negativas por lo que se invierte el orden.

8.7. EFECTOS DE LA ROTACIÓN TERRESTRE.Interpretación de la aceleración de arrastre para w=cte. Por lo que la aceleración angular es cero entonces la aceleración de arrastre en la superficie terrestre es:

siendo dirigida al eje de rotación.Lo demás de la ecuación también es un vector normal por lo que la aceleración de arrastre es la aceleración normal del cuerpo que esté en la superficie.En caso de caida vertical libre la aceleración relativa es la gravedad y la velocidad relativa es la gravedad por el tiempo: en este caso el móvil trataría de desviarse en el sentido dado por la aceleración de coriolis. En caso de movimiento horizontal (proyectiles, viento, etc) la desviación en el hemisferio norte será hacia la derecha de su trayectoria.

Componentes vertical y horizontal de la ac:

Siendo la latitud y la componente del viento respecto la meridiano.Influencia en la gravedad: depende de g1(campo gravitatorio) y de g2(aceleración centrípeta)

Donde el componente vertical es r y el otro es el componente horizontal.

TEMA 9. LA ESTÁTICA.

9.1. LA ESTÁTICA.Es un caso particular de la dinámica. Objetivos:

- determinar y estudiar las posibles posiciones de equilibrio, conocida las fuerzas aplicadas.

- Obtener algunas de las fuerzas aplicadas que intervienen, si se conoce la posición de equilibrio.

- Calcular esfuerzos o tensiones internas del sistema.Concepto de equilibrio: un cuerpo o sistema material está en equilibrio cuando se mantiene en reposo bajo la acción de un sistema de fuerzas. Las condiciones de equilibrio que deben cumplir estas fuerzas son tantas como grados de libertad.El equilibrio puede ser estable, inestable e indiferente.

9.2. EQUILIBRIO DEL PUNTO.Un punto está en equilibrio si la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula. En el espacio su ecuación tendrá tres componentes que son sus grados de libertad. En caso de que las fuerzas procedan de un campo conservativo, entonces existe la función potencial V. Por lo que la anulación de la resultante equivale a anular su gradiente. En este caso la estabilidad depende del potencial: en los mínimos (estable) en los máximos (inestable) y en las zonas de potencial uniforme (indiferente).

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9.3. LOS ENLACES O LIGADURAS.Si limitan la posición se denominan holónomos, si limitan los movimientos no holónomos. El enlace se expresa como una relación entre las seis coordenadas . por ejemplo si la distancia entre dos puntos es constante se reduce los grados de libertad a 5. Las fuerzas de enlace son iguales y opuestas a las fuerzas que tratan de llevar al sistema a la zona prohibida. Además esta fuerza de enlace es normal a la superficie que constituye el enlace. En caso no ideal(real) las fuerzas de enlace son limitadas y tienen componente tangencial (rozamientos).

9.4. ESTÁTICA DEL PUNTO LIGADO.La ligadura se traduce a una limitación a los valores que puedan tomar las coordenadas.

a) punto ligado a una superficie (ligadura incompleta y ligadura completa =(xyz).La condición de equilibrio es que la fuerza aplicada sea paralela a un vector normal a la superficie: Fapc + grad = 0. Las tres componentes de esta ecuación junto con la ecuación de la superficie se resuelve dando las posiciones de equilibrio del punto.Ejemplo: superficie de enlace esfera con péndulo de varilla rígida en el campo gravitatorio.

b) punto ligado a una línea. O sea el punto no puede abandonar la línea por ej. Un anillo insertado en un alambre rígido. La línea vendrá generalmente dada como intersección de dos superficies aunque también pueden darnos su ecuación paramétrica o vectorial. Siendo la ecuación de equilibrio Fapc + 1 grad1 + 2 grad2 = 0 cuya solución nos da la posición de equilibrio del punto más la fuerza de enlace. En los cos casos si la Fapc deriva de un potencial, entonces la fuerza es normal a las superficies equipotenciales, y en el equilibrio dicha fuerza ha de ser normal a la curva de enlace, así pues las posiciones de equilibrio son aquellas en la que la curva es tangente a la superficie equipotencial.

9.5. ESTATICA DE SISTEMA DE PUNTOS.En sistema de n puntos cada punto tendrá su ecuación de equilibrio, teniendo pues n ecuaciones y cada punto tiene 3 grados de libertad por lo que serán necesarias 3n condiciones de equilibrio. Además de la nulidad de las Fext, es necesaria la nulidad de las Fint. Para el equilibrio. En caso de que exista entre estas partículas un enlace, perdería un grado de libertad, reduciéndose las condiciones de equilibrio a 3n-m.

9.6. ESTÁTICA DEL SÓLIDO.Para el equilibrio del sólido se necesita que sea nulo el torsor de las fuerzas exteriores (ya que las interiores se anularían entre sí). O sea que sea nula la resultante (si no se desplazaría) de las fuerzas aplicadas y el momento resultante ( si no rotaría). En total tendríamos 6 ecuaciones o condiciones de equilibrio las 3 de la resultante y las 3 del momento resultante. Si el sólido está sujeto a enlaces, cada ecuación de enlace hace disminuir una condición de equilibrio. En un sólido en equilibrio la suma de las fuerzas de enlace y las aplicadas ha de ser nula, por lo que se puede dar el caso de tener más incógnitas que ecuaciones (hiperestático o estáticamente indeterminado) entonces habría que aplicar otro método para su resolución. En caso de poder solucionarlos con métodos exclusivamente estáticos se llama isostático. Ejemplos:

a) sólido con un punto fijo: al dar las tres coordenadas del punto fijo se dán las tres ecuaciones de enlace que tomando momentos respecto al punto nos da las tres ecuaciones con tres incógnitas.

b) Sólido con un eje fijo: en este punto tenemos tres casos: 1. obliga a dos puntos a estar sobre el eje por lo que el equilibrio vendría dado al limitar el giro y el desplazamiento por lo que tendríamos 4 ecuaciones e incógnitas. 2. considerando dos puntos del sólido fijo: por lo que el equilibrio vendría dado al limitar sólo el giro, siendo este problema hiperestático ya que se dispone sólo de 5 ecuaciones para 6 incógnitas. 3. fijando un punto del sólido y

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obligando al otro a estar sobre el eje. Tendríamos pues 5 incógnitas para 5 ecuaciones y si además la fuerzas aplicadas son normales al eje z se reduciría en uno el número de ecuaciones e incógnitas.

c) Sólido pesado apoyado. Las fuerzas gravitatorias equivalen a un vector único, cuya resta pasa por el centro de gravedad del sólido. En función de los apoyos tendremos: 1. con un solo apoyo. Sólo es posible el equilibrio si el centro de gravedad pasa por dicho apoyo.2. con dos apoyos. El equilibrio exige que el centro de gravedad se encuentre sobre el plano de las normales de la recta que une dichos puntos. 3. con tres apoyos. Existe equilibrio y el centro de gravedad está dentro del triangulo que forma los tres apoyos. Siendo éste y los anteriores problemas isostáticos. 4. con 4 o más apoyos. El equilibrio es como en el caso anterior pero el problema es hiperestático.

d) Problema plano del sólido. Es cuando todas las fuerzas (aplicadas y de enlace) seencuentran en un mismo plano. El equilibrio pues se reduce a tres ecuaciones con tres incógnitas, la resultante de las componentes x e y y el momento resultante respecto a cualquier punto del plano.

9.7. ESTÁTICA DE SISTEMAS DE SÓLIDOS.Las fuerzas que actúan sobre un sistema de sólidos son de 3 tipos: 1. fuerzas exteriores solicitantes. 2. fuerzas exteriores de enlace 3. fuerzas interiores de enlace o reacciones. Si el sistema está en equilibrio, cada sólido debe estarlo individualmente (torsor nulo). Hay dos métodos para resolver problemas de estática de sistema de sólidos: 1 estática analítica 2. de las reacciones.En algunos hay que hallar las fuerzas aplicadas en función de las restantes en otros hay que hallar las fuerzas de enlace del sistema. Cuando hay suficientes ecuaciones para despejar las incógnitas es isostático en otro caso hiperestático. Ejemplos de sistemas de sólido con un grado de libertad son las máquinas. En la polea fija, el torno y la palanca se comprueba que para que exista equilibrio basta con igualar los momentos de las fuerzas aplicadas: Fap . P = FR . b siendo P y b los radios o distancias de aplicación. En la polea móvil hay que tomar momentos respecto al eje instantáneo de rotación: Fp . 2 a = FR . a si las cuerdas son paralelas. Si son inclinadas: (E+Fap)sen = FR que con E=Fap tenemos que Fap=FR/2sen. En el plano inclinado sin rozamiento: 1. si la fuerza actua paralelamente al plano Fp=FRsen. 2. si la fuerza actúa horizontalmente Fp=FRtg. El tornillo es un caso particular del plano inclinado en el que tg = h/2r.

9.8. ENLACES CON ROZAMIENTOS.Entre dos sólidos en contacto se producen fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento. Para que exista equilibrio entre los dos sólidos en la que se aplica a uno de ellos una fuerza, la componente tangencial de ésta es la que tiende a producir el deslizamiento, mientras que la componente normal se equilibra con la fuerza de enlace normal. La fuerza de rozamiento es tangencial y de sentido contraria a la componente tangencial de la aplicada. La fuerza de rozamiento es .Fn donde es el coeficiente de rozamiento que dependerá de los materiales y de la superficie en cuestión. Cuando la fuerza tangencial supere a la de rozamiento se romperá el equilibrio: Fsen>Fcos o sea tg> por lo que vemos que el equilibrio dependerá del ángulo que forme la fuerza aplicada con la normal. Al cono que forma este ángulo en el que el cuerpo permanece en equilibrio se le denomina cono de rozamiento.

9.9. ESTÁTICA GRÁFICA.Muchos de los problemas de fuerzas tienen solución gráfica, que en muchos casos son más rápidos y simples que los analíticos. El fundamento gráfico es la regla del paralelogramo para la suma y resta de vectores concurrentes. Realización del método:

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- se establece una escala para dibujar las fuerzas actuantes y alargar lo suficiente los ejes o vectores de acción.

- A parte se forma el polígono de fuerzas o de varignon que consiste en dibujar una después de la otra las fuerzas. La unión del primer extremo con el último es la resultante de las fuerzas.

- Se elige un punto arbitrario que llamaremos polo y lo unimos con todos los extremos de las fuerzas asignándoles una notación.

- Se forma el polígono funicular que se trata de trasladar los segmentos a los que hemos asignado notación al primer dibujo que se empezó con la particularidad que cada segmento esté entre las fuerzas donde se hallaba en el polígono de fuerzas y además uno consecutivamente después del otro. El comienzo es arbitrario.

- Prolongando los dos segmentos extremos, convergerán en un punto que será el de aplicación de la recta resultante obtenida en el polígono de fuerzas.

Si el sistema es plano, el sistema formado de vectores deslizantes no tendrá el torsor completo entonces: 1. puede equivaler a un vector único ( polígono de fuerzas abierto y resultante no nula). 2. a un par de fuerzas ( polígono de fuerzas cerrado R=0 y polígono funicular abierto) 3. sistema nulo ( los dos polígonos cerrados).

9.10 DETERMINACIÓN GRAFICA DE FUERZAS DE ENLACE O REACCIONES EN DOS APOYOS.

a) equilibrantes de un sistema de fuerzas paralelas: caso de una viga con dos apoyos y sometida a varias fuerzas. 1. se traza el polígono de fuerzas 2. se traslada los segmentos nombrados la polígono funicular 3. se señalan los puntos en que el funicular corta a las fuerzas de apoyo y se unen los extremos. 4. se traslada este segmento de unión al polígono de fuerzas siendo éste el que determina el módulo de los apoyos.

b) Determinación de dos fuerzas de enlace no paralelas. Caso de un sólido con un apoyo articulado y sujeto por un cable sometido el sólido a un sistema de fuerzas. Se diferencia del anterior en que el punto 2 se empieza a trazar los segmentos por el punto de apoyo articulado y que el punto sujeto por el cable tiene componente perpendicular a las demás fuerzas en el polígono de fuerzas. En el caso de una sola fuerza aplicada ( o si sustituimos las que hay por su resultante), las tres fuerzas (aplicada, apoyo y sujeción) tienen que concurrir en un punto. Por lo que si tenemos dos de ellas es fácil dibujar y hallar la otra, y no se necesita dibujar el polígono funicular.

9.11. EJE POLAR O RECTA DE CULLMANN.Es la construcción de un polígono de fuerzas con dos polos por lo que nos da dos polígonos funiculares. La recta se haya por la prolongación de los segmentos homólogos y que se cortan en un punto. La unión de todos estos puntos forma el eje polar. Esta recta debe ser paralela a la que une los dos polos. Se emplea como auxiliar para trazar los polígonos funiculares que pasan por dos o tres puntos dados, o por un punto y una recta.

9.12. ENTRAMADOS PLANOS. METODO DE CREMONA.Es el estudio de las fuerzas y barras en un mismo plano. 1. se estudia las fuerzas exteriores (como un sólido rígido) 2. se calculan los esfuerzos interiores (compresión y tracción). El método de cremona cosiste en reunir en una sola figura los polígonos de todos los nudos con lo que se resuelve de una vez y fácilmente. Consiste en: 1. dibujar el entramado con sus fuerzas exteriores y darle una notación (notación de Bow) entre los espacios de las fuerzas y en los huecos del entramado. 2. dibuja la figura de cremona, empezando por el polígono de las fuerzas exteriores, y dando notación también a los vértices o nudos. 3. para calcular los módulos y sentidos de los esfuerzos, hay que considerar que el equilibrio de cada nudo

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requiere que el polígono de las fuerzas que en él actúan sea cerrado. 4. generalmente para saber el sentido en un entramado hay que situarse en el hueco con la misma notación que el nudo a estudiar y si de una observación anterior tenemos que un brazo es de tracción el otro del mismo nudo y entramado es de compresión.

TEMA 10.- ESTATICA DE HILOS.

10.1. SISTEMAS DEFORMABLES: HILOS. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN. TENSIÓN.Hilo es un sistema de una dimensión, flexible e inextensible. Principio de solidificación: Cuando el hilo alcanza su forma de equilibrio se comporta como si fuera un sistema rígido. Tensión: es la fuerza que mantiene a toda porción del hilo en equilibrio. Esta debe ser siempre tangente a la forma del hilo. Para su cálculo en un punto de aplicación, ésta se descompone sobre las dos direcciones del hilo en ese punto.

10.2. HILO SOMETIDO A UN SISTEMA DISCRETO DE FUERZAS COPLANARIAS. CONCURRENTES O PARALELAS.

a) fuerzas coplanarias: cuando las fuerzas y las tensiones aplicadas a un hilo se encuentran en un mismo plano. Un hilo sometido a un sistema plano de fuerzas es una materialización del polígono funicular.

b) Si las fuerzas exteriores son concurrentes, la figura de equilibrio es plana.c) Paralelas: la figura de equilibrio es plana y la proyección de la tensión en cada punto

sobre una dirección perpendicular común es constante.

10.3. HILO SOMETIDO A UN SISTEMA CONTINUO DE FUERZAS: INTEGRALES GENERALES.Considerando una porción de hilo sometido a una fuerza F y teniendo en cuenta la acción de las otras partes del hilo –T y T+dT dirigidas sobre la tangente, la condición de equilibrio vendrá dada por la fórmula dT + Fds = 0. llamada ecuación fundamental del equilibrio de hilos. Descomponiendo esta ecuación en sus tres escalares y expresando el vector T en función de sus cosenos directores tendremos un sistema de tres ecuaciones diferenciales de 2º orden cuya solución tendrá 6 constantes indeterminadas que vendrá dada por las condiciones

de contorno.

10.4. ECUACIONES INTRÍNSECAS DEL EQUILIBRIO DE HILOS.Aplicando la ecuación fundamental al triedro intrínseco, se obtendrán las ecuaciones intrínsecas del equilibrio del hilo. Descomponiendo la fuerza en las tres direcciones del triedro. . Ya que el vector T es tangente a la curva del hilo que sustituidas en la ecuación fundamental nos da las componentes siendo la componente binormal nula por ser una figura de equilibrio plana.

10.5. EQUILIBRIO DE HILOS EN EL CASO QUE EXISTA FUNCIÓN POTENCIAL DE FUERZAS.Si existe una función potencial de fuerzas, entonces habrá que expresarla de esta forma:

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quedando la ecuación fundamental teniendo en cuenta la primera fórmula de

frenet: ; y

multiplicando escalarmente por

con lo que resulta que es constante su suma y expresa que los puntos que tengan el mismo potencial, tendrán la misma tensión.

10.6. HILO BAJO LA ACCIÓN DE SU PROPIO PESO. CATENARIA.Partiendo de la ecuación fundamental descompuesta en sus componentes:

y al ser la forma de equilibrio plana las componentes del peso en los ejes

X e Y serán nulas, por lo que sólo hay que operar con dos variables por lo que los componentes de la ecuación fundamental será:

que integrando la primera nos da la tensión mínima y ésta

sustituyéndola en la segunda y simplificando:

que sustituyendo ds por su valor y

dando a la componente y el sentido negativo que tiene el peso:que ordenando e integrando:

; en las integrales anteriores para que c sea nulo hemos

dado las siguientes condiciones de contorno:

Para hallar el valor de la tensión en un punto cualquiera:

Otras ecuaciones empleadas:

10.7. PUENTE COLGANTE. CABLE PARABÓLICO.Partiendo de la ecuación fundamental y considerando que la componente del peso tiene la

dirección y en sentido negativo tendremos: que integrándola

y sustituyendo en la segunda: en las integrales

anteriores para que c sea nulo hemos dado las siguientes condiciones de contorno: por lo que nos da la ecuación de una parábola.

Otras ecuaciones empleadas:

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10.8. HILO SOBRE UNA SUPERFICIE, SIN Y CON ROZAMIENTO.a) Sin rozamiento:

Fuerzas que actúan: tensión, resultante de las fuerzas exteriores y la reacción que al no tener rozamiento es normal a la superficie. Por lo que la condición de equilibrio es:

siendo = (xyz) la ecuación de la superficie N = grad que descomponiendo todos los vectores en sus componentes cartesianos nos dará la ecuación que nos permita resolver el problema. También se puede trasladar las componentes al triedro

intrínseco:

b) con rozamiento.

Tomando las ecuaciones intrínsecas del equilibrio que al haber

rozamiento Ft Fn y como caso límite de equilibrio Ft = Fn por lo que las ecuaciones

quedan: y como sabemos que

ecuación que nos permite calcular la

tensión en cualquier punto.

TEMA 11.- DINAMICA DEL PUNTO LIBRE.

11.1. INTRODUCCIÓN.En cinemática no se tienen en cuenta la causa que motiva el movimiento en estática se define la fuerza intuitivamente y en dinámica se expresará la fuerza con rigor con lo que será preciso un sistema de referencia absoluto. Por la imposibilidad de esto tomaremos un sistema de referencia inercial.

11.2. LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA.Son los tres principios de Newton: Principio de inercia. Todo cuerpo permanece en reposo o con movimiento rectilíneo y uniforme a no ser que se modifique por la acción de fuerzas exteriores. Principio fundamental. La aceleración es proporcional a la fuerza motriz y tiene la misma línea acción que ella. En esta fuerza se define la constante de proporcionalidad llamada masa. Principio de acción-reacción. La reacción es siempre igual y de sentido contrario al de la acción.

11.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DEL PUNTO MATERIAL LIBRE. INTEGRALES GENERALES Y CONDICIONES DE CONTORNO.Partiendo de la ecuación fundamental de la dinámica y descomponiéndola en sus tres componentes nos dará tres ecuaciones de 2º orden que integrando nos dará las ecuaciones generales del movimiento cuyas 6 constantes averiguaremos por las condiciones de contorno que nos den como dato.

11.4. ECUACIONES INTRÍNSECAS.Proyectando la ecuación fundamental de la dinámica sobre el triedro intrínseco y como la fuerza está contenida en el plano osculador de la trayectoria, la figura es plana y no tiene

componente binormal: en la que hay casos particulares:

Si Ft= 0 entonces dv/dt=0 y v es constante.

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Si Fn= 0 entonces v =0 o entonces no tiene movimiento o es un punto de inflexión.

11.5. TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.Vectorialmente se expresa que aplicando la ecuación fundamental de la dinámica

ya que la masa es una constante por lo que nos dice que la derivada respecto al tiempo de la tantidad de moviento es igual a las fuerzas aplicadas. Pero no siempre la masa es constante (cohetes). Por lo que se estudia el teorema del impulso o variación de la cantidad de movimiento. Si proyectamos la ecuación anterior sobre un eje unitario constante en el

tiempo por lo que ya proyección de la fuerza sobre el vector unitario es

igual a la derivada respecto del tiempo de la cantidad de movimiento proyectada sobre el mismo eje.

11.6. TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO.Vectorialmente es El teorema expresa que la derivada respecto del tiempo del momento cinético de un punto, es igual al momento, respecto de ese mismo punto de la fuerza aplicada al punto. O sea partiendo de la ecuación fundamental y multiplicando vectorialmente

por r

11.7. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS. O DE LA ENERGÍA CINÉTICA.Se llama fuerza viva al escalar, producto de la masa del cuerpo por la norma de su velocidad. Es pues una cantidad siempre positiva. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y la ecuación del trabajo. y como

teorema de la energía cinética que expresa que el trabajo realizado por una fuerza F es igual a la variación de energía cinética. Si la fuerza deriva de un potencial que nos indica que la diferencia de energía cinética entre dos puntos es igual a la diferencia entre sus potenciales inicial y final.

TEMA 12. DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE. APLICACIONES.

12.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.De la ecuación fundamental de la dinámica e integrándola dos veces nos da las coordenadas con dos constantes que dependerá de las condiciones de contorno.

a) la fuerza depende solo del tiempo.

b) la fuerza depende solo de la velocidad:

c) la fuerza depende solo de la posición.

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12.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UN PUNTO EN UN MEDIO RESISTENTE. VELOCIDAD LIMITE.

a) movimiento descendente: La fuerza de oposición depende de la velocidad la función (v) debe ser igual o menor que uno ya que el

caso extremo de llegar a 1, anularía el segundo miembro y quedaría el primero igualado a cero con lo que la velocidad sería constante que es la llamada velocidad límite (vl) expresemos la ecuación del movimiento con la sustitución del 1 por una función de velocidad límite.

si cambiamos dt por dx/v

tenemos:

b) movimiento ascendente:lo mismo pero con el signo de (v) cambiado.

12.3. MOVIMIENTO DE UN PUNTO PESADO EN EL VACIO. PARÁBOLA DE SEGURIDAD.Es el tiro parabólico (proyectil en el aire) que es un movimiento plano.Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica:

que despejando t en el primero y sustituyendo en el segundo nos da la ecuación de la

trayectoria.

Alcance: igualando y a cero tenemos dos soluciones (el origen y el alcance) que será máximo para el ángulo igual a 45. Para un mismo alcance se pueden tomar dos valores de ángulo uno por encima de 45 y otro por debajo (por elevación y rasante). Para conocer el ángulo con que batir un punto

dando las dos soluciones reales (por elevación y rasante) si es

complejo la solución el punto no puede batirse. La parábola de seguridad es la envolvente de las distintas trayectorias para una misma velocidad inicial y que se halla igualando a cero la

raíz:

12.4. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UN PUNTO MATERIAL EN MEDIO RESISTENTE.Es otro caso de fuerzas coplanarias por lo que la trayectoria es plana. Es por lo que sólo se utilizará las coordenadas x e y. Primero lo resolveremos sobre el triedro intrínseco.Saberos que R(v) se opone a la velocidad por lo que tendrá la dirección de la tangente.

que es la llamada ecuación general del movimiento de un punto en medio resistente.Si proyectamos sobre los ejes cartesianos:

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TEMA 1.- LAS MAGNITUDES MECANICAS Y SU MEDIDA...............................11.1. EL CARÁCTER DE LA MECÁNICA..........................................................................................................11.2. OBSERVABLES Y MAGNITUDES.............................................................................................................11.3. NATURALEZA DE LAS LEYES FUNDAMENTALES DE LA FÍSICA...................................................11.4. SISTEMA DE UNIDADES............................................................................................................................11.5. ECUACIONES DIMENSIONALES..............................................................................................................11.6. EL TEOREMA DE PI O DE BUCHINGHAN..............................................................................................11.7. ANÁLISIS DIMENSIONAL..........................................................................................................................11.8. SEMEJANZA.................................................................................................................................................1TEMA 2.- MAGNITUDES VECTORIALES Y VECTORES.....................................2

2.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.......................................................................................22.2 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES.......................................................................................................22.4. ÁLGEBRA VECTORIAL..............................................................................................................................22.5.DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO A UN ESCALAR....................................................................22.6. VECTORES GIRATORIOS...........................................................................................................................22.7. VECTORES DESLIZANTES. MOMENTOS................................................................................................22.8. SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES..............................................................................................22.9. EJE CENTRAL Y TORSOR..........................................................................................................................32.10. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS.....................................................................................................32.11. CENTRO DE UN SISTEMA DE VECTORES FIJOS PARALELOS........................................................3TEMA 3.- CALCULO VECTORIAL INFINITESIMAL.............................................3

3.1. EL CONCEPTO DE CAMPO........................................................................................................................33.2. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR..................................................................................................33.3. CIRCULACIÓN DE UN CAMPO DE VECTORES.....................................................................................33.4. FLUJO Y DIVERGENCIA. TEOREMA DE GAUS-OSTROGADSTY......................................................43.5. LOS OPERADORES NABLA Y LAPLACIANA.........................................................................................43.6. ROTACIONAL DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES..................................................................43.7. CALCULO DE EXPRESIONES COMPLICADAS.....................................................................................4TEMA 5.- TENSORES.................................................................................................5

5.1. TENSORES. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES............................................................................................55.2. TRANSPOSICIÓN DE UN TENSOR EN LAS TRASLACIONES Y GIROS DE EJES.............................55.3 EL TENSOR COMO OPERADOR.................................................................................................................55.4. TENSOR INVERSO.......................................................................................................................................55.5.TENSORES UNITARIOS Y ORTOGONALES.............................................................................................55.6. TENSOR SIMÉTRICO...................................................................................................................................55.7 INVARIANTES DE UN TENSOR SIMÉTRICO...........................................................................................55.8 CUÁDRICA TENSORIAL..............................................................................................................................55.9. TENSORES INFINITESIMALES..................................................................................................................5TEMA 6.- CINEMATICA DEL PUNTO.....................................................................5

6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.............................................................................................................56.2. ESTUDIOS EN COORDENADAS CURVILÍNEAS....................................................................................56.3. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILÍNDRICAS.................................................56.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.....................................................56.5. COORDENADAS INTRÍNSECAS................................................................................................................56.6. CINEMATICA EN EL PLANO.....................................................................................................................56.7. NOTACIÓN COMPLEJA EN EL PLANO....................................................................................................56.8. VECTORES GIRATORIOS Y MOVIMIENTO ARMÓNICO.....................................................................56.9. VELOCIDAD AREOLAR:.............................................................................................................................5TEMA 7. CINEMATICA DEL SÓLIDO:....................................................................5

7.1. CAMPO DE VELOCIDADES INSTANTÁNEO..........................................................................................57.2. EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN TRASLACIÓN...............................................................................57.3. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS..............................................................................................57.4. AXOIDES.......................................................................................................................................................57.5. MOVIMIENTO PLANO DEL SÓLIDO........................................................................................................57.6. BASE Y RULETA..........................................................................................................................................5TEMA 8.- MOVIMIENTO RELATIVO......................................................................5

8.2. SISTEMAS DE REFERENCIA MÓVILES...................................................................................................58.3. DERIVACIÓN DE LOS VERSORES DE LOS EJES MOVILES................................................................5

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8.3. DERIVADA DE UN VECTOR EN EJES MÓVILES...................................................................................58.4. VELOCIDAD EN EJES MOVILES...............................................................................................................58.5. ACELERACIÓN EN EJES MOVILES..........................................................................................................58.6. OBSERVACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE CORIOLIS.........................................................................58.7. EFECTOS DE LA ROTACIÓN TERRESTRE..............................................................................................5TEMA 9. LA ESTÁTICA.............................................................................................5

9.1. LA ESTÁTICA...............................................................................................................................................59.2. EQUILIBRIO DEL PUNTO...........................................................................................................................59.3. LOS ENLACES O LIGADURAS..................................................................................................................59.4. ESTÁTICA DEL PUNTO LIGADO..............................................................................................................59.5. ESTATICA DE SISTEMA DE PUNTOS......................................................................................................59.6. ESTÁTICA DEL SÓLIDO.............................................................................................................................59.7. ESTÁTICA DE SISTEMAS DE SÓLIDOS...................................................................................................59.8. ENLACES CON ROZAMIENTOS................................................................................................................59.9. ESTÁTICA GRÁFICA...................................................................................................................................59.10 DETERMINACIÓN GRAFICA DE FUERZAS DE ENLACE O REACCIONES EN DOS APOYOS.... .59.11. EJE POLAR O RECTA DE CULLMANN..................................................................................................59.12. ENTRAMADOS PLANOS. METODO DE CREMONA............................................................................5TEMA 10.- ESTATICA DE HILOS.............................................................................5

10.1. SISTEMAS DEFORMABLES: HILOS. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN. TENSIÓN.......................510.2. HILO SOMETIDO A UN SISTEMA DISCRETO DE FUERZAS COPLANARIAS. CONCURRENTES O PARALELAS.....................................................................................................................................................510.3. HILO SOMETIDO A UN SISTEMA CONTINUO DE FUERZAS: INTEGRALES GENERALES.........510.4. ECUACIONES INTRÍNSECAS DEL EQUILIBRIO DE HILOS...............................................................510.5. EQUILIBRIO DE HILOS EN EL CASO QUE EXISTA FUNCIÓN POTENCIAL DE FUERZAS.........510.6. HILO BAJO LA ACCIÓN DE SU PROPIO PESO. CATENARIA............................................................510.7. PUENTE COLGANTE. CABLE PARABÓLICO.......................................................................................510.8. HILO SOBRE UNA SUPERFICIE, SIN Y CON ROZAMIENTO.............................................................5TEMA 11.- DINAMICA DEL PUNTO LIBRE...........................................................5

11.1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................511.2. LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA...................................................................................511.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DEL PUNTO MATERIAL LIBRE. INTEGRALES GENERALES Y CONDICIONES DE CONTORNO...........................................................................................511.4. ECUACIONES INTRÍNSECAS...................................................................................................................511.5. TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO...............................................................................511.6. TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO.................................................................................................511.7. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS. O DE LA ENERGÍA CINÉTICA.............................................5TEMA 12. DINÁMICA DEL PUNTO LIBRE. APLICACIONES..............................5

12.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO....................................................................................................................512.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UN PUNTO EN UN MEDIO RESISTENTE. VELOCIDAD LIMITE..................................................................................................................................................................512.3. MOVIMIENTO DE UN PUNTO PESADO EN EL VACIO. PARÁBOLA DE SEGURIDAD.................512.4. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UN PUNTO MATERIAL EN MEDIO RESISTENTE.....................5

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