apuntes acero rev.0 (1)
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APUNTES DE DISEÑO EN ACERO
VERSIÓN REVISADA HASTA PÁGINA 37.
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ÍNDICE 1 Introducción: el acero ........................................................................................................................ 4
1.1 Propiedades mecánicas ............................................................................................................ 4 1.2 Nomenclatura y especificación ................................................................................................. 5 1.3 Factores que afectan las propiedades mecánicas del acero .................................................. 7
1.3.1 Trabajo en frío ....................................................................................................................... 7 1.3.2 Temperatura .......................................................................................................................... 8 1.3.3 Tensiones residuales ............................................................................................................ 8
1.4 Criterios de fluencia ................................................................................................................. 11 1.5 Combinaciones de carga......................................................................................................... 12
2 Elementos en tracción (AISC-LFRD 1995) ..................................................................................... 13 2.1 Resistencia última ................................................................................................................... 13 2.2 Área neta y área efectiva ........................................................................................................ 13
2.2.1 Área neta ............................................................................................................................. 13 2.2.2 Área efectiva – conexiones apernadas .............................................................................. 15 2.2.3 Área efectiva - conexiones soldadas .................................................................................. 16 2.2.4 Falla en bloque .................................................................................................................... 16 2.2.5 Placas cortas de conexión (gussets) .................................................................................. 18
2.3 Diseño ...................................................................................................................................... 18 3 Elementos en compresión ............................................................................................................... 20
3.1 Introducción ............................................................................................................................. 20 3.2 Pandeo elástico de columnas doblemente simétricas ........................................................... 24 3.3 Pandeo inelástico .................................................................................................................... 34 3.4 Diseño ...................................................................................................................................... 36
4 PANDEO DE COLUMNAS CON SECCION NO SIMETRICA ....................................................... 44 4.1 TORSION ................................................................................................................................. 44 4.2 PANDEO TORSIONAL ........................................................................................................... 46
4.2.1 ECUACION DIFERENCIAL DE TORSION NO UNIFORME (ALABEO-WARPING) ....... 49 4.3 COLUMNAS CON UN EJE DE SIMETRIA ............................................................................ 53
5 PANDEO LOCAL ............................................................................................................................. 59 5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PLACAS CON CARGA PERPENDICULAR A SU PLANO 59 5.2 ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS ................. 63
6 ELEMENTOS EN FLEXION ............................................................................................................ 67 6.1 INTRODUCCION ..................................................................................................................... 67 6.2 VIGAS AFECTAS A PANDEO LATERAL TORSIONAL (VOLCAMIENTO) ......................... 71 6.3 ESFUERZO DE CORTE ......................................................................................................... 76 6.4 CONTROL DE DEFORMACIONES- SERVICIABILIDAD ..................................................... 77
6.4.1 ESTABILIDAD DEL ALMA DE VIGAS TIPO I ................................................................... 78 6.5 CARGAS CONCENTRADAS .................................................................................................. 83
7 ELEMENTOS SOMETIDOS A ESFUERZOS COMBINADOS DE FLEXION Y COMPRESION (TRACCION) ............................................................................................................................................ 85
7.1 CURVAS DE INTERACCION ................................................................................................. 85 7.2 ECUACION DIFERENCIAL DE ELEMENTOS EN FLEXO-COMPRESIÓN ........................ 87
8 CONEXIONES ................................................................................................................................. 92 8.1 CONEXIONES APERNADAS ................................................................................................. 92
3
8.2 RESISTENCIA DE LOS CONECTORES ............................................................................... 94 8.3 RESISTENCIA DE LAS PARTES CONECTADAS ................................................................ 95 8.4 RESISTENCIA AL CORTE – UNIONES DE FRICCION ....................................................... 98 8.5 CONEXIONES DE CORTE EXCENTRICAS ......................................................................... 98
4
1 Introducción: el acero
1.1 Propiedades mecánicas Las propiedades mecánicas del acero se obtienen principalmente mediante el ensayo de tracción simple en una probeta estándar:
Figura 1
Donde: : ó
: ó : 0
∆: Se obtiene:
∆
Construyendo el gráfico:
Gráfico 1
Donde, se distinguen las siguientes zonas:
: á
5
: :
: ó Luego, se define como ductilidad µ, a la razón:
Otros ensayos actualmente permitidos, son el de tenacidad a temperatura dada.
1.2 Nomenclatura y especificación Típicamente se ha usado la nomenclatura siguiente (NCH 203 of 1997): AXX-YY(ES, E, H)
:
: ó
: ó
: :
: ó Algunos valores típicos de la curva mostrada en el grafico 1, por ejemplo, para acero A42-27ES son:
Tabla 1
Punto % Observaciones
A ( límite de fluencia) 27 0.13 Valores mínimos garantizados B (fin meseta de fluencia) 27 1.30 Valores aproximados C (resistencia máxima) 42 13.00 aproximado, mínimo garantizado D (rotura) 35 20.00 mínimo, aproximado
Los aceros más típicos usados en Chile son:
Tabla 2
Tipo de acero Origen
A37-24ES 3.7 2.4 Fabricación nacional A42-27ES 4.2 2.7
A52-34ES 5.2 3.4 ASTM A36 4.1 2.53 (36Ksi) Importado (básicamente USA)
A partir del año 2006, la norma chilena NCH 203 of. 2006, cambió esta nomenclatura, incorporando nuevas exigencias a cada clasificación, ya que la versión anterior sólo garantizaba niveles de fluencia (, ) y rotura () mínimos, en cuyo caso, por ejemplo un acero A42-27ES también puede
6
ser clasificado como acero A37-24ES, luego, por ejemplo, la cantidad de pernos o soldadura para resistir cargas de fluencia (buscando comportamiento dúctil) puede ser fuertemente subestimada. Luego se establece la siguiente nomenclatura: AXXX(E-ES)(P), donde:
: : ó í
: :
: ñ ñ á
Entonces, se puede establecer una cierta relación entre la antigua y la nueva nomenclatura, sin embargo, esta relación no necesariamente representa equivalencia ya que:
Tabla 3
Acero A240ES 240 360 a 460 A270ES 270 410 a 510 A345ES 345 510 a 610
Para el rango elástico se define el módulo de elasticidad o módulo de Young como la relación de proporcionalidad entre tensión y deformación:
∆∆
2100000 2100
Este valor no depende del tipo de acero, y por lo tanto la deformación de fluencia sí depende del tipo de acero:
Se define además el módulo de Poisson 0.30 como la razón entre las deformaciones perpendiculares a la carga y las deformaciones paralelas a ella. En función de E y se define el módulo de corte:
2 1
2100000
2 1 0.3807692.3 808000 808
Además , con la deformación angular unitaria.
7
1.3 Factores que afectan las propiedades mecánicas del acero
1.3.1 Trabajo en frío Aplicable principalmente a perfiles plegados (ya que los laminados se obtienen del trabajo de laminación del material recién extraído del horno).
Figura 2
El efecto del trabajo en frio consiste en:
Gráfico 2
Luego el trabajo en frío conduce a un cambio en la constitutiva del material aumentando el límite de fluencia y disminuyendo la ductilidad.
Gráfico 3
8
Tal es el efecto del trabajo en frio, que por ejemplo, barras de acero, trabajadas en frio, tienen prohibición de ser usadas en elementos de hormigón armado con responsabilidad sísmica.
1.3.2 Temperatura
Gráfico 4
Como se puede apreciar en el grafico 4 para temperatura del orden de 400°C a 500°C las cargas estáticas no podrían ser adecuadamente resistidas. En efecto, la principal influencia de la temperatura es la reducción de y, u y E por lo que es obligatorio proteger los elementos de acero ante efectos de incendio (norma).
1.3.3 Tensiones residuales Los procesos de laminación en frío o soldadura producen tensiones residuales (carga inelástica i enfriamiento diferido respectivamente) cuyo orden de magnitud varía entre 0.4 y 0.5y
Figura 3
Recordar que necesariamente para cumplir con la condición de equilibrio interno de la secció se tiene que:
0
9
Por ejemplo determinemos la curva P- de un perfil del “antiguo” acero A12-27ES en tracción, si tiene las siguientes tensiones residuales:
Figura 4
Notamos que:
0 Además, para el perfil traccionado:
10 ∙ 1 ∙ 2 30 ∙ 0.6 ∙ 1 38
2700
1000
1700 (Reserva de capacidad elástica)
Luego la capacidad elástica del perfil está limitada por:
38 ∙ 1700 64600 64.6
Mediante el uso de razones y proporciones se puede obtener la deformación unitaria hasta la cual la sección permanece elástica:
1.72.7
∙ 0.63
10
Gráfico 5
Deformaciones en el punto A
Figura 5
La carga máxima que produce fluencia en toda la sección es:
∙ 38 ∙ 2.7 102.6
0.6322.7
∙ 1.37
Propuesto: Demuestre que la curva - de la lámina que se indica en la figura 6, está definida
por las siguientes ecuaciones:
Figura 6
∙ si 1
11
∙ ∙ ∙ Si 1 1
si 1
1.4 Criterios de fluencia Criterio de fluencia de Tresca (conservador):
Para el caso de corte puro:
Figura 7
Criterio de fluencia de Von Misses (más ajustado a los resultados experimentales):
12
Luego para el caso de corte puro, existe fluencia cuando:
12
2 ∙12∙ 6 ∙ 3 ∙
√3
3 √3
0.58
Los códigos consideran:
En fluencia: 0.6 En rotura: 0.6
12
1.5 Combinaciones de carga Para diseño por resistencia última (LFRD) se definen los siguientes estados de carga: D = cargas de peso propio y cargas permanentes en la estructura L = sobrecarga de uso Lr = sobrecarga de techo W = viento R = carga por acumulación de agua (Rain, ponding) E = sismo S = nieve. Y las combinaciones de carga propuestas por el AISC – LFRD (se debe prestar mucha atención ya que varían considerablemente de una versión a otra) corresponden a: 1) 1.4 2) 1.2 1.6 0.5 ó ó 3) 1.2 1.6 ó ó 0.5 ó0.8 4) 1.2 1.3 0.5 0.5 ó ó 5) 0.9 1.3 De la lista anterior se han excluido las combinaciones sísmicas ya que no aplican en el caso chileno, ya que la existen normativas nacionales particulares para el diseño sísmico. La norma NCH 2369 especifica las siguientes combinaciones sísmicas (norma industrial sísmica):
6) 1.2 1.1 1.1 7) 0.9 1.1 0.3 El sismo vertical ( ) debe considerarse para el diseño de los siguientes elementos: Barras de suspensión de equipos colgantes En vigas de acero de estructuras ubicadas en zona 3 en las que D representa más del 75% de la
carga total. En fundaciones y elementos de anclaje
13
2 Elementos en tracción (AISC-LFRD 1995) Debido al efecto de endurecimiento un elemento de acero puede resistir sin romperse una carga superior a ∙ . Sin embargo, deformaciones excesivas debido a fluencia irrestricta no solo marcan el límite de su uso, sino que además pueden precipitar la falla de la estructura completa. Además se deben controlar las deformaciones para evitar los efectos del incremento de esfuerzos producto de efectos P- u otras no linealidades de naturaleza geométrica. Por otra parte, en zonas localizadas del elemento en las que por diversos motivos existen perforaciones o reducciones de área de transferencia el elemento puede fallar por fractura sin producir deformaciones excesivas.
2.1 Resistencia última Distinguimos 3 estados límites: a) Fluencia en el área bruta: ∙ b) Fractura en el área efectiva: ∙ c) Falla en bloque.
Donde: : á ó : á ó , : á ó ó ∙ : ó , :
2.2 Área neta y área efectiva
2.2.1 Área neta En perfiles conectados por pernos debemos reducir el área de las perforaciones, por ejemplo:
Figura 8
14
∙ 2
Sea:
á 116 "
Para considerar el efecto de daño local al realizar una perforación, para diseño se considera:
116 "
∴ 18 " d 3
Ejemplo: Determine la capacidad de tracción de la lámina que se indica en la figura.
Figura 9
Solución: Fluencia:
∙ 10 ∙ 0.6 2.7 16.2
Fractura:
∙ ∙ ∙ 1 ∙ 0.6 ∙ 10 1.8 0.3 ∙ 4.219.9 ∴ 16.2 Estudiemos el efecto de perforaciones no alineadas. En 1922 se establece la siguiente fórmula empírica
15
Ejemplo:
Figura 10
2.2.2 Área efectiva – conexiones apernadas Es común encontrar situaciones en las que la carga del elemento en tracción se transfiere a otros elementos a través de sólo parte de la sección del primero. Por ejemplo:
Figura 11
En la zona de la conexión, la distribución de tensiones en el perfil no es uniforme. Para considerar este efecto, la norma específica el área efectiva en la zona de la conexión, que se calcula como:
∙
1 0.9
16
,
2.2.3 Área efectiva - conexiones soldadas
Figura 12
1. 2
0.87. 2 1.5
0.75. 1.5
∙
: á
2.2.4 Falla en bloque Otra posibilidad de falla en la conexión, es la falla por desgarramiento o falla en bloque
17
Figura 13
Posibles formas de falla:
Figura 14
Caso a) Fractura corte – Fluencia en tracción:
∙ ∙ 0.6 ∙ ∙
Caso b) Fractura en tracción – Fluencia en corte:
0.6 ∙ ∙ La forma de falla es la contiene el mayor término de fractura 0.6 ∙ ∙ ∙ → 0.6 ∙ ∙ ∙ →
Con:
á á ó á á ó
18
2.2.5 Placas cortas de conexión (gussets)
Figura 15
Estados límites igual que antes.
Fluencia: ∙ Fractura: ∙ Falla en bloque.
2.3 Diseño Condición básica de diseño:
ó , es decir, ∅ Luego: Fluencia área bruta: ∅ 0.9 ∙ Fractura área efectiva: ∅ 0.75 ∙ Falla en bloque: i) Fractura corte - Fluencia - corte: ∅ 0.75 0.6 ∙ ∙ ii) Fractura tracción – Fluencia corte: ∅ 0.75 0.6 ∙ ∙ Si 0.6 ∙ ∙ → Si 0.6 ∙ ∙ → También se exige que:
0.85 Se exige además:
19
300 Donde: : :
20
3 Elementos en compresión
3.1 Introducción Consideremos la siguiente columna sometida a compresión. Grafiquemos la relación P v/s δ. por energía determinaremos posiciones de equilibrio.
Figura 16
1 cos 2
Posiciones de equilibrio:
sin 4 0
a) 0, ó .
b) , ó 1 →
Analicemos por ahora la estabilidad de las posiciones de equilibrio:
cos 4
a) 0 → 4
Estable si 4 0 →
Inestable si 4 0 →
21
b) → cos 4 cos 1 →
cos 1 cos 1
2 → cos 0 1 0
Luego, la configuración b) es siempre estable. Definiendo:
4 Sea:
1.01 1.01 4
De: 1.01 → 0.244 , entonces: 2 sin
Sea: 1.02 → 0.344 → 0.169 Sea: 1.10 → 0.749 → 0.34
Gráfico 6
Consideremos el mismo problema pero usemos deformaciones pequeñas:
22
Figura 17
∑ 0 → 2
Se cumple:
Se obtiene la carga crítica, pero la deformada queda indeterminada. Ejemplo 2: Sabemos:
∙ ∅
0
Pero:
Si las deformaciones son pequeñas, entonces: 1 1
∴ 1 → 0
2 0
La solución de (2) es: δsin ∆ cos Condiciones de borde: 0 0 → ∆ 0 0 → sin 0
23
Soluciones distintas de la trivial, entonces sin 0 0, , 2 ,… , ; la solución 0 no sirve.
∙
Figura 18
2 ∙ 2 4
Para todos los fines prácticos
sin 2
Una solución aproximada de la ecuación (*):
1 1 ,
Sea:
1.01 0.09
1.05 0.20
Gráfico 7
24
¿Qué para con las tensiones en la columna si ? Supongamos acero A37-24ES y 3.5 , un perfil IN 20x25.7 32.8 , 200 , 40
Si 33.839
.
.1.03 no hay problema de resistencia a este nivel de tensiones,
1.0001 33.842 ∆ 3
0.0009 0.0009 3.15
∙ 3.15 33.842 ∙ 3.15 106.6 .
.
.1.03 2.665 3.7
Por lo tanto, para todos los fines prácticos la carga de colapso de la columna es:
3.2 Pandeo elástico de columnas doblemente simétricas Antes de ver la formulación general del problema, recordemos las ecuaciones diferenciales de equilibrio cuando no hay carga axial. a) Elementos sin carga axial:
∗ , ;
∴ ;
Figura 19
b) Elementos con carga axial:
25
Figura 20
Se sigue cumpliendo:
Equilibrio: ∑ 0
Usando M EIy, se obtiene: EIy Py V y derivando, se obtiene:
∑ 0 Con Para compresión pura:
0. Ecuación diferencial general de pandeo, cuya solución general es:
sin cos . Con A, B, C, D; constantes de integración. Notar que las ecuaciones tienen implícitas las siguientes hipótesis:
Comportamiento lineal elástico de la columna Deformaciones pequeñas. Sin carga transversal, pero podrían existir momentos en los extremos.
Para analizar cualquier problema de pandeo siempre se debe analizar en la posición deformada. Veamos algunos ejemplos de aplicación. i) Columna simplemente apoyada:
26
Figura 21
sin cos
Condiciones de borde: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 0 1 0 sin 2 1 ∙ sin ∗ sin ∙ sin se tiene la
forma, pero se desconoce la magnitud. 2 sin 0 0, , 2 , … . . , ; 0 → ,
, …… . ,
Figura 22
Recordando que: : á , :
3.6
Con ∶ ii) Columna apoyada Empotrada:
27
Figura 23
sin cos
Condiciones de borde: 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 0 0 cos 0 sincos 0 ó sin cos
0 tan . 4.49; 7; 73;…… , : 4.49
∴ ∙ 4.49 0.7
En términos generales podemos escribir:
3.7
Donde: :
En términos de tensiones:
∶
28
Figura 24
Con
:
û iii) Caso de columna con restricción elástica
Figura 25
Para la columna: 0 0 0 0 0 0
sin 0 1
0 sin 0 2 cos cos 0 3
Exigimos: det 1, 2, 3 0
29
sin 0 1
sin 0
cos0
Lo que conduce a: cos ∙ ∙ 0
1 3.726.
cos sin 0 tan 0.7
0 1
La carga de pandeo de una columna en un pequeño pórtico depende de las vigas conectadas El parámetro que controla la longitud efectiva de una columna es la rigidez relativa entre columnas y vigas que concurren al nudo:
La obtención de la carga de pandeo o coeficiente de luz efectiva de columnas que pertenecen a marcos está basada en el desarrollo anterior, es decir, se avalúa el grado de empotramiento de las columnas en las vigas a través del coeficiente G, definido como:
∑
∑
Figura 26
30
Los ábacos distinguen 2 casos: Con desplazamiento (sidesway permitted). Como se observa en la figura 27 Sin desplazamiento (sidesway prevented). Como se observa en la figura 28
Figura 27
Figura 28
Sin desplazamiento se refiere a desplazamiento relativo y no a absoluto en la estructura. Las ecuaciones que permiten evaluar “k” es en función de GA y GB son los siguientes:
Sin desplazamiento: 1 1.0
Con desplazamiento:
Para el ejemplo iii)
1 , , ó ó , 0
No hay desplazamiento: del ábaco se obtiene 0.87 Análisis exacto de 0.843 Empotramiento: 0 ó
31
Las ecuaciones para GA y GB están basadas en las siguientes hipótesis: Comportamiento elástico de todos los elementos Todas las columnas del marco están en condición de pandeo Si el marco no tiene desplazamiento, las vigas se flectan en curvatura simple con giros iguales,
pero de signo opuesto en ambos extremos Si el marco tiene desplazamiento las vigas se flectan en curvatura doble con giros iguales y del
mismo signo en sus extremos. Las vigas no tienen carga axial y son continuas en sus extremos (con otra viga al menos una
columna).
Figura 29
Modificación de rigidez de vigas Sin desplazamiento
32
Figura 30
Extremo lejano empotrado
Figura 31
Con desplazamiento
Figura 32
En el ejemplo anterior:
Figura 33
0.843(valor exacto calculado) Ábaco sin corrección de rigidez en viga 0.87
Con corrección , .
0.67 0.84
33
Estas correcciones sólo se utilizan en vigas, en la práctica es aconsejable usar:
10 para “rotula” (valor teórico =) G = 1 para “empotramiento” (valor teórico = 0) Demostrar (propuesto)
Figura 34
Otros ejemplos
Figura 35
El resultado es imposible, porque estamos suponiendo que la columna de la izquierda se pandea con carga 0, lo que es falso no se puede usar los ábacos tan simplemente. El problema lo deberíamos analizar de la siguiente manera: Propuesto: determinar . Determinar valor óptimo de
Figura 36
34
3.3 Pandeo inelástico Habíamos obtenido la condición de pandeo elástico mediante la carga de Euler, dada por
o equivalentemente =
Si se considera que el perfil tiene tensiones residuales de magnitud , su curva tensión-deformación queda:
Figura 37
En el caso en que del análisis elástico de Euler, supere , entonces se debe corregir el módulo de elasticidad, para obtener el módulo de elasticidad tangente en , llegando a:
y suponiendo 0.5 , el módulo de elasticidad tangente queda dado por:
El AISC en su versión de tensiones admisibles (ASD) usaba lo siguiente:
∙
∙ 1
y reemplazando en :
Esta expresión conduce a:
∙ 1
Y se define la condición límite de inicio del pandeo inelástico 0.5 en cuyo caso:
la cantidad define entonces la esbeltez límite para que se produzca
pandeo inelástico. Construyendo entonces la curva de comportamiento de una columna en compresión, sujeto a pandeo:
35
Figura 38
El código de diseño AISC-LRFD, para ajustarse mejor (numéricamente) a resultados experimentales en la zona de columnas con esbelteces bajas (pandeo inelástico) y a los resultados del diseño ASD en la zona de pandeo elástico, sin considerar factores de mayoración de carga y minoración de resistencia, caracteriza el comportamiento en compresión afecto a pandeo mediante:
0.658 ∙ 1.5
0.877
∙ 1.5
Con ∙
Notemos que la cantidad definida como:
√2 1.4142 :=esbeltez límite de pandeo inelástico
El código AISC-LRFD la redondea en:
1.5
En efecto, el punto límite entre pandeo elástico e inelástico 1.5 corresponde a:
1.5 1.5 = , luego el comportamiento en función de la esbeltez se puede
graficar como:
36
Figura 39: grafica comportamiento en función de la esbeltez
Notar también que en 0.658 ∙
Luego:
, á
y , á
y de 1.5
∙
.
∙
. y reemplazando en , á , á
∙
.
∙ 2.25 2.25
0.658 ∙ 0.658 ∙ Finalmente para el diseño se considera: ∅ con ∙ y ∅ 0.85 Además se exige cumplir con una esbeltez 200
3.4 Diseño ∅ , con ∙ , luego la condición de diseño está dada por: ∅ ∙ ∙ , con ∅ 0.85
37
Resulta más cómodo expresar en función de
0.658 . ∙ Si
0.877
Si 200
Con 1.5
38
Problema: diseñar el cordón traccionado del reticulado de la figura 37, considerando acero A265ESP y perfiles canal. Considerar L=1.5[m]
Figura 40
4 6 5.5
3 , a) Combinaciones de carga
1 1.4 1.4 ∙ 4 5.5 2 1.4 1.6 0.5 1.2 ∙ 4 1.6 ∙ 6 0.5 ∙ 3 15.9 3 1.2 1.6 0.5 1.2 ∙ 4 1.6 ∙ 3 0.5 ∙ 6 12.6 4 1.2 0.5 0.5 1.2 ∙ 4 0.5 ∙ 6 0.5 ∙ 3 9.3 5 1.2 1.1 1.2 ∙ 4 6 1.1 ∙ 5.5 16.85 6 0.9 1.1 0.9 ∙ 4 1.1 ∙ 5.5 10.2
Controla la combinación 5 16.85 Análisis del reticulado:
39
Figura 41
Entonces, para fluencia en área bruta:
∅ 0.90 ∙ 22.94 ∙ 2.7 55.74
b) Verificar fractura en área efectiva ( ∅ 0.75
2 ∙ 20 ∙ 0.4 16 1.0
∅ 0.75 ∙ 16 ∙ 4.2 50.4 50.55
no sirve se requiere de un área del orden de:
.
.∙ 23.01
11.51 C250x75x3 C300x50x3 Y ambos pesan 9.19[kg/m] (igual costo), miremos entonces el área efectiva en cada caso:
40
25 18.38 2 25 0.3 15 16 30 18.38 2 30 0.3 18 16
Por lo tanto, el cordón inferior tiene una tracción última de diseño =50.54[ton]. (por simetría
) Para el diseño, se puede suponer que controla la falla por fluencia en el área bruta y se verifica luego, la falla por fractura en el área efectiva y la falla en bloque. Fluencia en el área bruta (∅ 0.90) ∅ 0.9 ∙ ∙ 50.54
.
.
. ∙ .20.8
Probemos con perfiles IC (C espalda-espalda) conectados en sus extremos mediante soldadura a placas gusset de 14[mm] de espesor (soldadura en el alma)
Figura 42
para el canal usado se requiere de la mitad del área anterior, entonces probar perfil IC20x18.02 2 perfiles C200x50x4[mm] ó C20x9.01 Luego:∅ 0.75 ∙ 18 ∙ 4.2 56.7 50.55 Para fluencia en área bruta:
∅ 0.90 ∙ 2 ∙ 11.70 ∙ 2.7 56.86
Controla la falla por fractura en área efectiva c) Falla en bloque : no puede haber (en el perfil) d) Diseño del Gusset Para diseñar el gusset, se puede usar la solicitación proveniente del análisis, sin embargo, es más recomendable diseñar tanto los gusset como las conexiones para soportar o ser capaz de transmitir
41
la capacidad de los perfiles conectados, para asegurar el desarrollo de la ductilidad esperada en el sistema. Para gusset ∅ 56.7
Figura 43
∙ 30 1.0 Fluencia:
∅ 0.9 ∙ ∙ 30 ∙ 2.7 56.7 ó50.55
.
.ó .
.
0.77 ó0.69
Fractura:
∅ 0.75 ∙ ∙ 30 ∙ 4.2 56.7 ó50.55 .
.ó .
.
0.6 ó0.53 Usar t=0.8[cm]=8[mm], permite la plastificación del gusset, cerca de la rotura del perfil
56500
∅∙ ∙18.45
Probar usando el perfil C300x50x5 (C30x15.05) en el cordón comprimido, es decir generar un perfil IC30x30.1
2032.6 29.0 2 ∙ 4065.2
19.18 0.84
2 ∙ 0.5 ∙
42
1.5 ∙
∙
121.83 1.78 131.42
84.17 La esbeltez es menor que 200, por lo tanto se cumple la condición de esbeltez. Como , entonces controla el pandeo inelástico.
2.25 ∙ ∙
0.658 ∙ 1834.9
∙ 2 70386.75 ∅ 0.85 ∅ 59828.74 ∅ Por lo tanto, se puede estimar que se requiere un área del perfil canal de aproximadamente:
150 1.0
2100000
2700
1271.3 18.6 2 ∙ 2542.6
11.70 0.75
Tabla 4
Análisis Fluencia Fractura
t=
50.55 56.86 63.18 56.7 75.6 ton 0.69 0.78 0.87 0.78 1.04 cm Placa en fluencia 0.62 0.70 0.78 0.70 0.93 cm Comportamiento en fluencia 0.53 0.60 0.67 0.60 0.80 cm Placa en fractura
0.40 0.45 0.50 0.45 0.60 cm Comportamiento en fractura Usar t=9[mm]
0.9
43
2 ∙ 0.5 ∙
1.5 ∙
∙
70.9 1.74 131.42
86.18 La esbeltez es menor que 200, por lo tanto se cumple la condición de esbeltez. Como , entonces controla el pandeo inelástico.
2.25 ∙ ∙
0.658 ∙ 1800.98
∙ 2 42142.97 ∅ 0.85
∅ 35821.53
44
4 PANDEO DE COLUMNAS CON SECCION NO SIMETRICA
4.1 TORSION a) Secciones circulares
Figura 44
∅ ∅/
∅
Figura 45
Por lo tanto:
∙ ∅
45
Sea ∅
O bien ∅
∙
: Rigidez torsional de la sección (análogo a EI en flexión) b) Secciones rectangulares En secciones rectangulares se tiene:
;∅ conJ
1 0.63 Muy bueno para 2
1 1.5 2 3 5 4.81 4.33 4.07 3.75 3.44 3 0.141 0.196 0.229 0.263 0.291 0.333
Tabla 5
c) Perfiles I L Como se puede apreciar en la tabla número 5, los valores de y son aproximadamente constantes para grande ( 5)
Los perfiles , I , L tienen componentes rectangulares con 5 . Por lo general se comete un
gran error si se considera ∑ 3
d) Secciones cerradas de pared delgada (tubos y cajones)
Figura 46
∮
Donde : área encerrada por la línea media del espesor del perfil ∅
I ∑
46
4.2 PANDEO TORSIONAL a) Sección rectangular (bt)
Figura 47
∶ ó
En términos generales: (4.1)
Con ∶ ó Ejemplo 2: Sección L (bt)
47
Figura 48
Pandeo por flexión eje v-v
Pandeo por torsión en torno al centro de corte c-c
2
∙ 2
∙ ∙
Figura 49
Conclusión: El pandeo torsional controla en perfiles tipo L que tienen razones grandes
48
Ejemplo numérico: L 100x100x3 A=5.91[cm2] Iv=2.0[cm] L=280[cm] Kv=1.0
Controla: .∙
.0.75 ∙ 0.75 ∙ 5.91
4.43
.140
∙ 1.06 ∙ 6.26
b) Sección circular hueca (tR)
Figura 50
∮2
2
∙ 808
Pandeo torsional no se produce c) Sección rectangular hueca (td)
49
Figura 51
Propuesto: demostrar que 3.375 ∙ ∙ 0.42 ( no controla)
Conclusión: El pandeo torsional no controla secciones cerradas, aunque sean de pared delgada; sin embargo, resulta importante en perfiles abiertos tipo T , X y L de pared delgada.
4.2.1 ECUACION DIFERENCIAL DE TORSION NO UNIFORME (ALABEO-WARPING)
50
Figura 52
Se define: (constante de alabeo de la sección)
∅ (2)
51
Si en la sección actúa un torque T, este es resistido por torsión uniforme y alabeo, o sea:
∅ ∅ (4.2) ecuación diferencial de torsión
Para el caso de una columna que se pandea por torsión debido a P
∙ ∅ (4.0), reemplazando en (4.2)
∙ ∅ ∅ ∅ O bien
∅ ∙ ∅ 0
∅ ∅ 0 (4.3)
Con
La solución de (4.3) es: ∅ sin cos (4.4) Condiciones de borde en torsión
Figura 53
Ejemplo: columna con bordes rotulados en torsión
52
Figura 54
∅ sin cos ∅ 0 0 0 ∅ 0 0 0 0
∅ sin 0
Para otras condiciones de apoyo:
(4.4)
1 ∶
0.5 ∶
Dónde:
:
∶
Figura 55
53
4.3 COLUMNAS CON UN EJE DE SIMETRIA Se analiza el caso de un perfil
Figura 56
0
0
a) 0
b) 0
1 0
Sea ∶
1
Se obtiene: 1 1
O en términos de tensiones: 1 1 ∙ (4.5)
Con ;
; 65
54
%
Ecuaciones de Diseño Compresión
Pandeo por flexión eje y-y: según (3.12);
Pandeo flexo-torsional: según (3.12); pero con:
, 0.658 1.5
,
.
∙ 1.5
1 1 ∙
∅ ∅ ∙ (4.7) ∅ 0.85 Ejemplo: determine la resistencia de diseño de una columna de perfil c25x13.1. no considere pandeo local y suponga 750 , 250 usar A37-24ES ¿∅ ?
Figura 57
De la tabla: 19.2 ; 9.28 , 2.18 , 3.76 , 0.865, 9920 , 10.2 , J 1.6 Solución: Pandeo eje y-y:
.114.7
Pandeo eje x-x: .
80.81
1.264∅ 0.85 19.2 1.264 20.6 Pandeo flexo-torsional eje x-x
55
.
3.17
. .807 ∙ 1.6
0.829
1 1 ∙ 1.741.5
.
. .
.0.695
∅ ∅ ∙ 0.85 19.2 0.695 11.34 ∅ 11.34 controla pandeo por F-T Si se quiere utilizar la tabla de :
1.74 ≡
∙ 1,74 ∙ ∙
De la tabla con 161,7 0,6930,695 Algunos Casos Prácticos de Longitudes de Pandeo a) Cerchas
Figura 58
Diagonales y montados: 1 Cordón superior: Plano de la cercha: 1 ; ; Usar max 1, 2, 3 Plano del techo: max 1, 2, 3 Usar 3 ∙
0,75 0,25 ∙
Propuesto: Encontrar K
56
Figura 59
b) Puntal formado por 2 ángulos
Figura 60
Sistema completo: Pandeo Flexural x-x: Pandeo Flexo-torsional y-y: Ángulo por sí sólo: Pandeo Flexural : max , Pandeo Flexo-torsional : max ,
c) Cerchas
57
Figura 61
Cordón superior: Pandeo Flexión y-y: Pandeo Flexo-torsión x-x: Pandeo Flexión para x-x: 2 ∙ d) Arriostramientos en cruz
Figura 62
√ Plano del marco:
Plano perpendicular al marco:
Diagonal fraccionada estabiliza a la compresión
e) Tipos de perfiles usados en compresión
58
Figura 63
f) Recomendaciones sísmicas Esbeltez máxima permitida. 1,5 Para pandeo flexural
1,5 ∙ ∙=139 37131 42117 52
Recomendable no pasar 120 g) Fórmulas aproximadas para coeficiente de luz efectiva “k”. Pandeo flexural.
Columna sin desplazamiento: ≅ , ∙ ,
, ∙ ,
Columna con desplazamiento: ≅ , ∙ ,
,
59
Con ,
∑,
∑,
5 PANDEO LOCAL
Figura 64
Para analizar el problema de pandeo local debemos conocer el comportamiento en flexión y compresión de placas
5.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PLACAS CON CARGA PERPENDICULAR A SU PLANO
Figura 65
60
(1)
Mirando el plano
Figura 66
Mirando un zoom
Figura 67
∙ (2)
Análogamente: ∙ (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:
61
∙
∙
∙ ∙ 2 ∙
(4)
Relaciones : ∙
∙ desprendiendo ante
∙
∙ (5)
Reemplazando (4) en (5) se obtiene:
∙
∙
2 ∙
(6)
Consideremos un elemento de placa de dimensión en planta
Figura 68
Definamos esfuerzos internos por unidad de ancho:
∙ 1 ∙ ∙
Análogamente:
∙ 1 ∙ ∙
∙ 1 ∙ ∙(7)
- ∙ 1 ∙ ∙
62
M y Q son los esfuerzos internos en la placa por unidad de ancho. Si consideramos un elemento de dimensiones dx; dy; t:
Figura 69
Nota: se muestran sólo los esfuerzos internos que dan momento con respecto al eje y Equilibrio: ∑ 0
0
0/
0
0 (8)
De ∑ 0 0 (9)
De ∑ 0 0 (10)
Reemplazando 7, 8, 9 en 10:
; (5.1)
La solución de 5.1) entrega w(x,y) desplazamientos verticales de la placa. Los esfuerzos internos se obtienen haciendo las derivadas correspondientes. Luego:
63
1
5.2 ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS Nos interesa el caso de una placa sometida a compresión uniforme que causa pandeo de la placa. Consideremos lo siguiente:
Figura 70
Calculamos (carga transversal a la placa equivalente a la descompresión producida en las proyecciones de sobre la vertical en ambos extremos del elemento de volumen)
: no es ecuación de equilibrio, sino que una equivalencia
de fuerzas
∙ y reemplazando en 5.1)
2 ∙ 5.2)
La ecuación 5.2) es la ecuación diferencial de una placa sometida a compresión uniforme en una dirección. Es análoga a la ecuación 3.4) para elementos uniaxiales. Ejemplo: Placa con bordes paralelos a la carga simplemente apoyados
64
Figura 71
Recordando que para una columna simplemente apoyada se tiene: sin .
Supongamos una deformada para la placa, del tipo , ∙ sin y reemplazando en
5.2)
∙ sin
2 2 sin
sin
∙ sin y en 5.2) queda:
sin 2 0
Luego sin 0 % 0, sin 0
∀ no importa, porque significa que no hay deformación, solo importa % 0 que es una ecuación de orden 4 pero sólo en 2 “y” resolviendo:
sin cos sin cos Con:
Luego:
65
, sin cos sin cos sin
Las condiciones de borde son 2 0 2 0 , pero por simetría,
, debe ser función “par” 0 sin sin no influyen por ser impares, entonces:
, 2 0 cos 2 cos 2 0
, 2 0,
cos 2 cos 2 0
Solución distinta de la trivial
cos 2 cos 2
cos 2 cos 20
cos 2 cos 2 0
0 0
cos 2 nunca es cero ya que: cos cos 2 0 2 2
luego:
O bien:
Graficando:
Gráfico 8
66
Para razones bastante grande , por ejemplo , en la realidad es normal 10, por lo que no
cometemos error al considerar 4 Para otras condiciones de apoyo:
(5.3)
Con k: coeficiente que depende de las condiciones de apoyo La condición básica de diseño para prevenir el pandeo local es:
Para simplificar las ecuaciones de diseño, se adopta el siguiente criterio:
43.57
Para tomar en cuenta el efecto de tensiones residuales en la sección e imperfecciones iniciales en la columna. La AISC aplica el factor 0.7 a la expresión anterior, quedando:
30.5
Esto lleva a clasificar las secciones de acuerdo a su capacidad de desarrollar deformaciones unitarias, superiores, iguales o inferiores a en compresión Definición: Sección compacta: Capaz de desarrollar sin pandeo local , esbeltez limite
Sección no compacta: Capaz de desarrollar sin pandeo local. Esbeltez limite
Sección esbelta: Falla por pandeo local con . tienen esbelteces Definamos además: Elemento Atiesado: Aquel con sus bordes paralelos a la carga, soportados por otro elemento o
placa. Elemento no Atiesado: Aquel con un borde paralelo a la carga no soportado
67
Figura 72
6 ELEMENTOS EN FLEXION
6.1 INTRODUCCION Nos vamos a referir inicialmente a vigas que no presenten problemas de inestabilidad global por pandeo del ala comprimida (volcamiento o pandeo lateral torsional). La viga debe estar arriostrada lateralmente
68
Figura 73
a) Comportamiento elástico:
Figura 74
∶ ó
Límite de comportamiento elástico es: ∶
Si existen tensiones residuales : ∶
Notar que el momento de fluencia sólo puede alcanzarse si no se produce pandeo local del ala comprimida ni del alma. Esto esta garantizado para secciones no compactas
,
b) Comportamiento inelástico: Es claro que la capacidad a flexión de una viga no está limitada a la fluencia de la primera fibra, sino que a la plastificación total de toda la sección siempre que la esbeltez local de los elementos lo permita. i) Sección rectangular – momento plástico
Figura 75
69
∙ 2 4
4 ; ó ó
1.5 ii) Sección I - Momento plástico
Figura 76
60 21.5 0.8 20.5 16.4 10.25 2 2916.2
2670
Factor de forma: 1.09
Para que sea posible alcanzar el valor de es necesario que la sección sea compacta, es decir
;
Propuesto: Calcular la distribución de tensiones y momento asociado a deformación máxima 4
para la misma viga anterior ( 2908 ; 0.997)
Diseño de vigas afectas a pandeo lateral torsional La condición de básica de diseño es: ∅ 6.1) Con: ∅ :
: ó ∅ 0.90: ó
: ó
a) Sección compacta ;
1.5 6.2)
70
b) Secciones que cumplen exactamente con ( alas y alma exactamente no
compacta) 6.3)
Con:
0.7
1.16
c) Secciones no compactas (alas no compactas, ala no compacta) ;
En este caso se usa una interpolación lineal entre los casos dados por a) y b)
6.4)
Con:
Notar que en la ecuación 6.4) debe usarse el menor valor de obtenido de usar =
d) Secciones esbeltas tipo I o C con y
6.5) Con:
6.6)
Para perfil I laminado: 1834
4 0.35
0.763 Las formulas 6.2) a 6.5) pueden resumirse gráficamente como:
71
Gráfico 9
6.2 VIGAS AFECTAS A PANDEO LATERAL TORSIONAL (VOLCAMIENTO) Analicemos el caso de una viga sometida a un momento flector constante en su longitud arriostrada
Figura 77
Ecuaciones de equilibrio:
72
Flexión eje (x-x): 1
Flexión eje (y-y): ∅ 2
Torsión eje (z-z): ∅ ∅ 3
La ecuación (1) entrega , desplazamientos verticales de la viga. La ecuación (2) y (3) están acopladas, derivemos (3) con respecto a z:
∅ ∅ /∙
∅ ∅ Y usando (2)
∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ 0 (4)
Si no consideramos alabeo 0 ∅ ∅ 0 (5)
Su solución es: ∅ sin cos Con
Condiciones de borde: i. ∅ 0 0 0 ii. ∅ 0 sin 0 (6.6) sin resistencia al alabeo
Si se considera resistencia al alabeo 0 la solución de la ecuación (4) a:
(6.7) caso general
Dónde:
: ó
:
La fórmula (6.7) nos da la resistencia elástica al pandeo lateral torsional de una viga sometida a momento constante en su longitud no arriostrada, L. Para considerar la situación más favorable de momento variable en la longitud no arriostrada, debemos incorporar un coeficiente de ajuste en la ecuación (6.7)
(6.8)
Con: : 1 1
La ecuación (6.8) es válida en el rango elástico, es decir, mientras el momento aplicado sea menor que . Si graficamos su resistencia versus longitud /
73
Gráfico 10
Determinación de : Se obtiene de igualar con de la ecuación (6.8). Con 1 Se obtiene que:
1 1 (6.11)
Con ; ; ;
Estimación de : Para tener una idea de la distancia requerida entre arrostramientos L de manera de alcanzar , igualamos a la ecuación (6.7)
Donde se desprecia, en comparación con el otro término
, pero para un perfil I,
∙
∙
Para un perfil I, si se desprecia el alma:
Figura 78
74
∙ ∙ 2
∙
Los resultados experimentales muestran que un valor menor es requerido para alcanzar valores apropiados de capacidad de rotación de la viga cuando alcanzamos . Entonces se usa:
. ∙ (6.12)
Para se usa lo siguiente: .
. (6.13)
Dónde: : á
: 4
: 2
: 3 4 Todos los valores de M se usan en valor absoluto. Ejemplos:
Figura 79
Resumen de PLT y Fórmulas de Diseño
75
1. Vigas tipo I y C 25
∙ ó √ 1
2. Para perfiles T ó TL (cargados en el plano de simetría)
√11.5 ó1.0 ó
Con
2.3
2.3
Figura 80
Si en alguna parte de la luz el alma entra en compresión usar signo (-) en toda la viga
3. Perfiles tipo cajón 257
;
∙ ∙
ó
76
Figura 81
∮
El volcamiento por PLT, sólo se produce cuando entran flectados con respecto a su eje de mayor radio de giro.
Figura 82
6.3 ESFUERZO DE CORTE a) Tensiones de corte en una viga I: Calculamos la distribución de tensiones de corte en la
sección siguiente, sometida a 30
Figura 83
IN45x82.5 . . 38342
1.8 20 22.5 0.9 777.6 0.8 ∙ 20.7 20.7
2 949
0.761
0.928
77
Propuesto: demostrar que en este caso
28.93 96.4% 1.07 3.6% Para todos los fines prácticos podemos considerar que el 100% del esfuerzo de corte es resistido por el alma y podemos escribir:
, ∙
√ 0.65
Luego 0.6 valida sólo si no hay problemas de inestabilidad o pandeo
1.70 ∞
Con: :
67400
33700
6.4 CONTROL DE DEFORMACIONES- SERVICIABILIDAD Los dos requisitos básicos de diseño son: a) Resistencia ∅ b) Serviciabilidad La resistencia se verifica con cargas mayoradas y resistencias minoradas, sin embargo la serviciabilidad, se verifica usando las cargas reales o de servicio en la estructura. La deformación admisible depende del uso que se le dará a la estructura o elemento estructural y generalmente se expresa como una fracción de la longitud del elemento analizado.
Por ejemplo para vigas de piso 300 Por ejemplo para vigas de techo 200 Por ejemplo para deformaciones laterales sísmicas 500 Consideremos la siguiente situación:
Figura 84
∙∙ ∙
, con
78
: ó á :
si
si suponemos que 0.6 (bajo las cargas de servicio) entonces queda:
Viga de piso 300
∙
123 37 24
121 42 37
116 52 34
Si la tensión de trabajo es distintita de 0.6 , ponderar la razón por 0.6
Si la viga es continua en un extremo , ponderar por 0.6
Si la carga es distribuida concentrándose en el centro de la viga o cargas puntuales, usar lo anterior es conservador
6.4.1 ESTABILIDAD DEL ALMA DE VIGAS TIPO I Las dimensiones del alma usadas en la mayoría de las vigas I (serie IN y HN) son tales que generalmente es posible alcanzar 0.6 .Sin embargo, en vigas altas, lo más eficiente es alejar las alas lo más posible del eje neutro para resistir los esfuerzos de flexión, lo que lleva a usar almas esbeltas, altas, que si pueden presentar problemas de inestabilidad.
Consideremos la siguiente viga
Figura 85
El panel de dimensiones está sometido al siguiente estado de tensiones:
79
Figura 86
Podemos distinguir los siguientes fenómenos de inestabilidad asociada a las tensiones , , Pandeo elástico o inelástico por corte Pandeo del alma por flexión Pandeo del alma por compresión
a) Pandeo elástico o inelástico por corte a.1) Pandeo elástico
Figura 87
Del pandeo de placas, se obtiene: ∙
En este caso:
∙ ∶ dim ,
5.34 4 : dim ,
Es conveniente expresar en función de la esbeltez del alma: .Debemos distinguir dos casos:
i. 1 dim
∙.
/∙
∙. ⁄
ii. 1 dim
∙.
80
Resumiendo:
(6.15)
Con 415.34 1
5.34 4 1
Las ecuaciones de pueden aproximarse bastante bien por:
5 5 (6.15)
Notar que si no existen atiesadores 5 Definamos
.
∙.
∙. .
∙
(6.16) Pandeo elástico
Figura 88
.a2) Pandeo inelástico por corte La ecuación (6.16) es válida mientras el comportamiento sea elástico. Si tenemos tensiones residuales , el comportamiento elástico termina cuando . La norma de diseño supone 0.2 y adopta la siguiente curva de tensiones para en el rango inelástico.
81
∙ 0.8 ∙ ∙ 0.8 0.8
. ∙ . ∙ (6.17)
Determinar : 1. ∙ 49.5
Determinar :.
∙
62
Las ecuaciones de diseño por corte son las siguientes: (6.18)
0.6 49.5
0.6 49.5 62 . ∙
0.6 62 260 →
5 5 , 5 3
5
Los atiesadores, si son necesarios, deben cumplir los siguientes requisitos:
Figura 89
25.1⁄
, 2.0 0.5
Ejemplo: verifique el corte del ejemplo 1, anterior IN30x75.4
22.8 30 0.6 18 44.7
82
5 5 , sin 5
49.5 49.5 67.3
0.6 2.7 18 29.16
∅ 0.9 29.16 ∅ 0.9 ∅ 26.2 b) Pandeo Vertical del Alma
Si el alma de una viga es muy esbelta , el ala comprimida puede pandearse en el
plano vertical. Para analizar este problema, consideremos el diagrama de cuerpo libre de un segmento de viga que ha llegado a la fluencia de las alas
Figura 90
El equilibrio del ala superior o inferior requiere:
∙ 2 , pero 2 / 2
El alma queda sometida al siguiente estado de compresión:
83
Figura 91
∙≅
(1)
Por otra parte la tensión crítica de pandeo de esta columna es:
∙ ; ; √12⁄
∙ (2)
Naturalmente queremos
2
∙
∙∙
Si consideramos que existen tensiones residuales , entonces:
∙∙ , considerando 1.16
0.5
. (3)
La presencia de atiesadores no considerada en el análisis resiente, permite el uso de esbelteces levemente mayores, la norma AISC, establece lo siguiente:
. 1.5
1.5
6.5 CARGAS CONCENTRADAS
84
Las cargas concentradas generan una zona de compresión local en la viga. Como es típico en situaciones que involucran compresión, existen dos tipos de compresión límite, Pandeo y Fluencia. Las actuales recomendaciones de la AISC consideran las siguientes situaciones: Fluencia local del alma Web crippling- pandeo local del alma Pandeo lateral del alma El requisito de resistencia a estos fenómenos es ∅ a) Fluencia local del alma ∅ 1
Figura 92
Carga interna 2
5
Carga externa 2
2.5 : b) Pandeo local ∅ 0.75 Carga interna:
35.8 ∙ 1 3. ∙
Carga externa:
18 ∙ 1 3. ∙
; 0.2
18 1 4 0.2. ∙
; 0.2
c) Pandeo lateral del alma ∅ 0.85 Esto es aplicable solo cuando puede existir desplazamiento relativo entre las alas en el punto de carga Ala cargada impedida de girar.
1 0.4 2.3
Si 2.3 ∞
85
Ala cargada, libre de girar
0.4 1.70
7 ELEMENTOS SOMETIDOS A ESFUERZOS COMBINADOS DE FLEXION Y COMPRESION (TRACCION)
7.1 CURVAS DE INTERACCION a) Sección rectangular
Figura 93
2
2
∙ (1)
2
1 1
1 1
86
Figura 94
b) Sección tipo I
Figura 95
I. Eje neutro en el alma 0 2
2
∙ 2 ∙ ∙ ∙ 2
II. Eje neutro en el ala 2aB
(2)
La curva de interacción se puede aproximar por la siguiente expresión: 1 0.20
1 0.20
Para diseño debemos incorporar un coeficiente de minoración (seguridad)∅ , y la resistencia .Además podemos incorporar el efecto de flexión biaxial. Las ecuaciones de diseño,
considerando lo anterior quedan:
(ccs 7.1) ∅ ∅ ∅
1 ∅
0.20
∅ ∅ ∅1
∅0.20
87
Con: : ñ ó ó , : ñ
Deben incluir efectos de 2°orden : ó ó , : ó
∅ 0.85 ∅ 0.90
7.2 ECUACION DIFERENCIAL DE ELEMENTOS EN FLEXO-COMPRESIÓN Consideremos el caso general de un elemento sometido a flexo-compresión sin desplazamiento relativo entre sus extremos.
Figura 96
Digamos que el diagrama de momentos se puede expresar como:
Con : , , : 1° : momento de 2°orden Sabemos que:
(1)
(2)
Derivando (2) dos veces con respecto a z se obtiene:
, y usando (1) queda:
,
(3)
Su solución es: sin cos
ó ó 3 Llamando queda:
sin cos (4) Para efectos de diseño, interesa conocer , para lo cual derivamos la ecuación (4)
88
cos sin 0
Para los casos usuales de la practica en que el momento de primer orden se debe cargas uniformes, cargas concentradas o momentos en los extremos del elemento, se cumple que 0 se cumple que: cos sin tan √⁄ cos √⁄ Y reemplazando en (4)
√ (5) válida sólo si 0∀
Ejemplo 1 a) Momento en los extremos sin carga transversal
Figura 97
Se cumple 0 la solución de (4) es la solución homogénea
sin cos Condiciones de borde: a) 0 0
b) sin cos
√ ∙⁄ ⁄
Se produce en un “z” dado por:
tan⁄ cos
sin
Si ⁄ ∙ ∙
Además se puede escribir sin momentos extremos
89
Figura 98
la ecuación a resolver es
Solución homogénea sin cos Solución particular: Sea
= Se debe cumplir que: 0
0;
ó : sin cos
Condiciones de borde: 0 0 0
0 sin cos 0
1 cos / sin
∙ ∙ sin cos ; 0
√ 1
sec 1 /2
Procedimiento aproximado Consideremos el ejemplo anterior:
Figura 99
Sea: ó 1°
90
ó
Figura 100
Por teorema de área de momentos tenemos: Ω ∙ ∙
1 ⁄ ∙ ,
∙
1
El momento máximo es:
: 1°
Reemplazando: ; queda: ∙
(7.2)
En la AISC se estipula que para columnas sin deslizamiento lateral entre sus extremos el momento máximo incluido el efecto de 2° orden puede calcularse como:
∙ con 1 y
: á
con
Con carga transversal: En columnas rotuladas en los extremos 1
91
En columnas con restricción al giro en sus extremos 0.85 También puede usarse ecuación (7.3) Sin carga transversal:
0.6 0.4
Con : í : á
Figura 101
Para columnas con deslizamiento relativo entre sus extremos (columnas de marcos no arriostrados) (7.4)
Con:
:
: ó
1.0; 0.6 0.4
1
1∑∑
; :
:
;
; sin
Notar que esto requiere resolver al menos dos estructuras:
92
Figura 102
Es conservador aplicar el coeficiente a los momentos y , o sea, a ′
8 CONEXIONES
8.1 CONEXIONES APERNADAS Modos de falla: a) Falla por corte del conector
Figura 103
b) Falla por corte en las placas de conexión
Figura 104
c) Falla por aplastamiento de la placa
Figura 105
Existen esencialmente dos tipos de aceros usados en conectores: Aceros de resistencia “normal” Aceros de alta resistencia
Acero Tensión de fluencia ⁄
Tensión de rotura ⁄
A37-20 2.0 3.70 Resistencia normal
93
A42-23 2.3 4.20 (pernos de anclaje) ASTM A307 - 4.20 ASTM A325 5.6 a 6.4 8.4 (120 ksi) Alta resistencia (uso
para conectar perfiles) ASTM A490 9.1 10.5 Tabla 6
Existen básicamente 2 tipos de conexiones apernadas: a) Conexiones de aplastamiento (bearing connections) b) Conexiones de fricción (slip critical connections) En las primeras la carga se transmite por aplastamiento (compresión) entre el perno y la placa
Figura 106
Perno sometido a esfuerzo de corte Placas sometidas a aplastamiento (compresión horizontal) En el segundo tipo de conexiones se tiene (tipo fricción)
94
Figura 107
T:fuerza de pretensado inicial Perno trabaja en tracción ,T Fuerza P se transmite por roce
Pretensión mínima de pernos , KN Tamaño perno, mm Pernos A325 Pernos A490
M16 91 114 M20 142 179 M22 176 221 M24 205 257 M27 267 334 M30 326 408 M36 475 596
Igual a 0.70 veces la resistencia ultima de los pernos, redondeada al valor entero más cercano, tal como especifica las Especificaciones ASTM para pernos A325 y A490 con hilo UNC
Tabla 7
8.2 RESISTENCIA DE LOS CONECTORES a) Tracción: Con: : ó
∶ á
95
El área neta varía entre 0.7 y 0.8 veces el área nominal del perno 0.7 0.8
0.75 (8.1)
Con á
∅ con ∅ 0.75 b) Corte: conexión de aplastamiento 0.62
∙ , ° 8.2 0.62
Figura 108
.r: factor de reducción por longitud de la conexión. Sin embargo, se ha demostrado que la resistencia al corte, depende de la longitud de la conexión (a mayor longitud, menor resistencia) por lo que se aplica el factor r
0.80 50′′0.64 50′′
Figura 109
Debemos distinguir dos posibilidades b.1) Hilos excluidos del plano de corte: 50
0.8 0.62 0.5 (8.3)
b.2) hilos en el plano de corte ( 0.75 0.8 ∙ 0.75 ∙ 0.62 0.372
Se usa: 0.40 (8.4) En caso de 50′′ multiplicar por 0.8 En la práctica es razonable usar (8.4) para evitar el problema de control constructivo que
significa verificar que los hilos no incluidos el plano de corte. Para diseño: ∅ , ∅ 0.75
8.3 RESISTENCIA DE LAS PARTES CONECTADAS Debemos distinguir dos mecanismos de falla Falla por corte Falla por aplastamiento Por corte:
96
Figura 110
2 , 0.6 1.2
Por aplastamiento:
Figura 111
2.4 : á Notar que si 2 Luego la resistencia será:
1.2 2.4 (8.5) Si la perforación es ovalada, entonces:
2.0 (8.6) En ambos casos ∅ 0.75 Debe cumplirse: ∅∑ ó ó Requisitos de espaciamiento entre conectores: Se considera los mínimos entre:
3 í 2 2 3 1.75
Figura 112
Requisitos máximos
97
Figura 113
Estos máximos y mínimos se aplican en ambas direcciones Ejemplo: Determine la capacidad de la conexión tipo aplastamiento
Figura 114
Pernos A325 HI ∅3/4′′ Placas A42-27 Solución:
19 Corte en pernos:
2.85
∅ 0.75 0.4 6 ∅ 43.09 Aplastamiento a) Placa 6 Perno externo: 35 19 3 2⁄ 24 2 1.2 1.2 0.6 2.4 4.2 7.26 Perno interno: 60 19 3 38 2 2.4 2.4 1.9 0.6 4.2 11.49 ∅ 0.75 7.25 2 4 11.49 45.36
98
b) Placa 5 Perno externo: 60 15 3 2⁄ 49 2 Perno interno: : 38 2 En ambos controla aplastamiento ∅ 6 0.75 2.4 0.75 2.4 1.9 0.5 4.2 6 43.09 Tracción placa 6 ∶ ∅ 29.16 Falla en bloque placa 6 ∶ ∅ 37.26 Verificar falla en bloque en el Gusset
8.4 RESISTENCIA AL CORTE – UNIONES DE FRICCION Sólo es permitido usar conexiones de fricción con pernos de alta resistencia. Los pernos deben pretensarse a una tensión del 70% de su resistencia última a tracción. La resistencia a deslizamiento proporcionada por un perno de alta resistencia ∅ es: ∅ 1.13μ ∙ Con: : ° :
μ: 0.33 ∅ 1.0 Reemplazando: ∅ 0.373 ∙ Ejemplo: Determine la capacidad de la conexión del ejemplo anterior suponiendo conexión de fricción
∅ 34 → 12.7 ∅ 0.373 12.7 1 6
∅ 28.42 29.16 28.42
8.5 CONEXIONES DE CORTE EXCENTRICAS
Figura 115
Es común encontrar en la práctica, situaciones en que la solicitación es excéntrica con respecto a un grupo de conectores. La distribución exacta de las fuerzas en los conectores es difícil de obtener y depende de muchos factores, tales como fuerza de pretensado en los pernos, roce de las placas, deformación de los conectores, deformación de las placas, la manera como los conectores llevan las perforaciones, etc.
99
Para resolver el problema de carga excéntrica, en torno a conectores, haremos la siguiente hipótesis: Placas rígidas y conectores elásticos (flexibles) La rotación de las placas producen deformaciones de corte en los pernos, que son
proporcionales y perpendiculares a la distancia al centro de giro.
Figura 116
Equilibrio ∑ (1) Compatibilidad geométrica (2) Fuerza – Deformación (3)
Y reemplazando (3) y (2) en (1) ∑
∑ (4);
Reemplazando (4) en (3) ∑ ∑
Luego:
∑
∑, análogamente
∑
Conector i
Figura 117
Efecto de pretensado inicial en pernos sometidos a tracción pretensado inicial: 0.7
resistencia de diseño a tracción de un perno : ∅ .
∑ . ¿¡se corta!?
Veamos que pasa:
100
Figura 118
condición inicial: (1) condición final: (2)
Aumento de la longitud del perno: ∙ (3)
Aumento de espesor de la placa: ∙ (4)
Compatibilidad geométrica: : ∙ (5)
Usando (1) y (2) :
Usando 1) y 2):
∙
Con: : á : á
Atiesadores de carga Si la resistencia a fluencia local a pandeo local no es suficiente se deben diseñar atiesadores de carga de acuerdo a lo siguiente:
101
Figura 119
∅ a) Aplastamiento: ∅ 0.75
1.80 2 →.
b) Pandeo : ∅ 0.85 .
2 122 25
ó í
0.75
Si se excede la resistencia a pandeo lateral del alma, las siguientes soluciones son posibles a) Ala impedida de girar: Arriostrar el ala traccionada, ó Colocar atiesadores dobles, ó Reforzar el alma con una placa de longitud superior a d/2 b) Ala libre de rotar Arriostrar ambas alas ICE 2532-Pandeo Lateral Torsional de Columnas a) Alabeo despreciable Ecuaciones de equilibrio:
ó (1) ó (2)
ó ∅=∅ (3)
102
Las ecuaciones (1), (2) y (3) son independientes, y su solución entrega:
(4)
(5)
(6)
tres cargas independientes la menor es la crítica Pandeo torsional desacoplado de pandeo por flexión Nota: la derivación de lo anterior es válida si el centro de gravedad de la sección coincide con el centro de corte
b) Alabeo no despreciable – secciones doblemente simétricas
Centro de corte y centroide coincidentes ó (1) ó (2)
ó ∅ ∅=∅ (3)
Figura 120
3 ecuaciones independientes (no acopladas)
/
/
NO HAY PANDEO LATERAL – TORSIONAL c) Secciones en las cuales el centro de corte y CG no coinciden
Se produce flexión en torno a ejes centroidales y torsión en torno al centro de corte Ubicamos ejes coordenados en centro de corte
∅ ; ∅ Equilibrio:
ó ∅ ó ∅
ó ∅ ∅=∅
Tres ecuaciones diferenciales acopladas, su solución conduce a:
0
Ecuación general que considera todos los casos anteriores
103
Figura 121