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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II

FASE II- TRABAJO COLABORATIVO 2

PRESENTADO POR:

XIOMARA LIEVANO ROBAYO COD: 95111415731

TUTOR:

JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES

GRUPO:100411_194

UNAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PROGRAMA: INGENIERIA AMBIENTAL

2015


PROBLEMAS PROPUESTOS

La integral definida de f entre a y b es ∫a

b

f ( x )dx= limn→ ∞

∑i=1

n

f (c i )∇ x=F (b )−F (a ) para

cualquier función f definida en [a , b] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, c1 , c2 , …, cn. En tal caso, se dirá que f es integrable en [a , b].

Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.

Sea f (x) una función continua en el intervalo semiabierto ¿, entonces:

∫a

b

f ( x )dx= limt →b−¿∫

a

t

f ( x ) d x

¿¿

Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

Evaluar las siguientes integrales impropias:

1. ∫0

1

ln (x ) dx

Solución

∫0

1

ln (x ) dx=−1

∫0

1

ln (x ) dx

Calculando la integral indefinida ∫ ln (x ) dx=xln ( x )−x+C

∫ ln (x ) dx

Aplicando integración por partes:∫u v '=uv−∫u' v

u=ln ( x ) v '=1

u'=1x

v=x

¿ ln ( x ) x−∫ 1x

xdx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II ¿ x ln (x )−∫ 1dx

∫1dx=x

∫1 dx

Integral de una constante ∫ f (a ) dx=x∗f (a )

¿1 x

Simplificando

¿ x

Agregar una constante a la solución:

Calculando los límites: ∫0

1

ln (x ) dx=−1−0

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )= limt → b−¿ (f ( x ))−¿ lim

t →a+¿ (f ( x ) )¿¿¿

¿¿

limx→ 0+¿ ( x ln (x )−x )=0¿

¿

limx→ 0+¿ ( x ln (x )−x )¿

¿

limx →a

[ f ( x )± g ( x ) ]=limx→ a

f ( x )± g ( x )

limx→ 0+¿ ( x ln (x ))− lim

x →0+¿ ( x )¿¿ ¿

¿

limx→ 0+¿ ( x ln (x ))=0¿

¿

limx→ 0+¿ ( x ln (x ))¿

¿

x ln ( x )= ln (x )14

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II ¿ lim

x→ 0+¿( ln ( x )1x )¿

¿

Probar la condición de L´Hopital: −∞∞

limx→ 0+¿( ln ( x )

1x )= lim

x →0+¿( (ln ( x ) )'

( 1x )

' )¿

¿ ¿

¿

ddx

( ln ( x ) )=1x

ddx

( ln ( x ) )

Aplicar la regla de derivación ddx

( ln ( x ) )=1x

¿ 1x

ddx ( 1

x )=−1

x2

ddx ( 1

x )1x¿ x−1

Aplicar la regla de la potencia ddx

( xa )=a∗xa−1

¿ x−1−1

¿− 1

x2

lim

x→ 0+¿(1x

−1x2 )¿

¿


limx→ 0+¿ (−x ) ¿

¿

Sustituir la variable

¿−0

Simplificando

¿0

limx→ 0+¿ ( x )=0¿

¿

limx→ 0+¿ ( x ) ¿

¿

limx →a

x=a

¿0

¿0−0

Simplificando

¿0

limx→ 1−¿( x ln ( x )− x )=−1¿

¿

limx→ 1−¿( x ln ( x )− x )¿

¿

limx →a

[ f ( x )± g ( x ) ]=limx→ a

f ( x )± limx→ a

g ( x )

limx→ 1−¿( x ln ( x ) )− lim

x→1−¿ ( x )¿¿ ¿

¿

limx→ 1−¿( x ln ( x ) )=0¿

¿

limx→ 1−¿( x ln ( x ) )¿

¿

limx→ 1−¿ (x )∗ lim

x→ 1−¿ ( ln ( x )) =0

¿¿ ¿¿

¿0

¿1∗0

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II Simplificando

¿0

limx→ 1−¿ (x )=1¿

¿

limx→ 1−¿( x )¿

¿

¿1

¿0−1

Simplificando

¿−1

2. ∫2

∞1

( x−1 )2

Solución:

Calculando la integral indefinida: ∫ 1

( x−1 )2dx= −1

x−1+C

∫ 1

( x−1 )2dx

Aplicar la multiplicación de integrales: ∫ f ( g (x ) )∗g' (x ) dx=∫ f (u ) du, u=g ( x )

u=( x−1 )

du=1dx

dx=1 du

¿∫ 1

u21dx

¿∫ 1

u2dx

1

u2=u−2

∫u−2 du


Aplicar la regla de potencia:∫ xa dx= xa+1

a+1, a ≠ ≠−1

¿ u−2+1

−2+1

Sustituir u=( x−1 )

¿ u−2+1

−2+1

Simplificando

¿− 1x−1

Añadir la constante a la solución:

¿− 1x−1

+C

Calcular los límites: ∫2

∞1

( x−1 )2dx=0−(−1 )

∫a

b


t →a+¿ (f ( x ) )¿¿¿

¿¿

limx→ 2+¿( −1

x−1 )=−1¿

¿

limx→ 2+¿( −1

x−1 )¿¿

¿− 12−1

Simplificamos

¿−1

limx→ ∞ ( −1

x−1 )=0

limx→ ∞ ( −1

x−1 )

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II Aplicar las propiedades de infinito:

¿− 1∞−1

Simplificando

¿0

¿0−(−1 )

¿1

3. ∫−∞

∞

e−5 x dx

Solución

∫−∞

∞

e−5 x dx=∞

Calcular la integral de indefinida ∫ e−5 x dx=−e−5 x

5+C

∫−∞

∞

e−5 x dx

Aplicar la integral por sustitución : ∫ f ( g (x ) )∗g' (x ) dx

∫ f (u ) (du ) u=g ( x )u=−5xdu=−5 x

dx=(−15 )du

¿∫eu(−15 )du

¿∫−eu

5du

Tomar la constante ∫ a∗f ( x )dx=a∗∫ f ( x ) dx

¿−15∫ eu du

Usar la integral común: ∫ eu du=eu


¿−15

eu

Sustituir u=−5x

¿−15

e (−5 x )

Simplificando:

¿− e−5 x

5Agregarle la constante a la solución:

¿− e−5 x

5+C

Calcular los limites: ∫−∞

∞

e−5 x dx=0−(−∞ )

∫a

b


t →a+¿ (f ( x ) )¿¿¿

¿¿

limx→−∞

(−e−5x

5 )=−∞

limx →a [ f (x )

g ( x ) ]=limx → a

f ( x )

limx→ a

g ( x ) Donde lim

x →ag ( x ) ≠ 0

limx →−∞

(e−5x )

limx →−∞

(5¿)¿

limx→−∞

( e−5 x )=∞

limx→−∞

( e−5 x )

Utilizar la contiunidad de ex en x=−∞

Calcular el elim

x →−∞(−5 x )

limx→−∞

(−5 x )=∞

limx→−∞

(−5 x )


Aplicar la propiedad de infinito

¿−(−∞ )

Simplificando ¿∞

¿e∞

Simplificando¿∞ lim

x→−∞(5¿)¿

¿5

¿−∞5

¿∞

limx→ ∞

(−e5 x

5 )=0

limx→ ∞

(−e5 x

5 )limx→ ∞

( e5 x

5 )limx →∞

(e−5 x)

limx→ ∞

(5¿)¿

limx→ ∞

( e−5 x )=0

limx→ ∞

( e−5 x )

Usar la continuidad de e5x en x=∞

Calcular e limx →∞

(−5 x )

limx→ ∞

(−5 x )=−∞

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNADEscuela de ciencias agrícolas, pecuarias y del medio ambienteCalculo Integral_ fase II limx→ ∞

(−5 x )

Aplicar la propiedad infinita:¿−∞

¿e−∞

Simplificando

¿0

limx→−∞

(5¿)=5¿

limx→−∞

(5¿)¿

limx →a

c=c

¿5

¿−05

Simplificando

¿0

¿0−(−∞ )

¿∞

BIBLIOGRAFÍA

Rondón. D. Jorge (2010). Calculo integral. Modulo didáctico. Bogotá. Universidad nacional abierta y a distancia- UNAD, disponible en


http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Modulo_Calculo_integral_Cmpleto_Por_Capitulos/Modulo_Calculo_Integral.pdf



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