FASE 1

Realizar aportes concernientes a identificar las diferencias entre los sistemas lineales de los sistemas NO lineales (ejemplos que expliquen el concepto)

SISTEMA LINEALEJEMPLOSISTEMA NO LINEALEJEMPLO

Es aquel en donde en cada trmino de la ecuacin aparece nicamente una variable o incgnita elevada a la primera potencia

A manera de ilustracin consideremos la ecuacin del movimiento armnicosimple x00 + x = 0 Vemos que x1(t) = cos t y x2(t) = sen t son soluciones de (2)definidas en < t < . As quex(t) = c1 cos t + c2 sen tes una familia infinita de soluciones de (2)

Representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Ms formalmente, un sistema fsico, matemtico o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolucin o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. {

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin.

En matemticas una funcin lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades. Ya que en un sistema tiene que poner en conjunto de dos o ms ecuaciones. 1. Aditividad: f(x+y)=f ( x)+f( y) 2. Homogeneidad: f(x )= f (x)

Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposicin

En matemticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Ms formalmente, un sistema es no lineal cuando las ecuaciones de Movimiento, evolucin o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no est sujeto al principio de superposicin.

En forma de matriz un sistema de ecuaciones lineales se puede ver y representar as

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible: si tiene solucin, en este caso adems puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado: cuando tiene una nica solucin. Sistema compatible indeterminado: cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solucin. Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento catico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento catico son las olas gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de inters general han sido extensamente estudiados, la vasta mayora son pobremente comprendidos. Las ecuaciones no lineales son mucho ms complejas, y mucho ms difciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho ms difcil que en sistemas lineales. Una ecuacin no lineal es una ecuacin de la forma: f(u)=0

Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incgnitas no estn elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s, ni en el denominador. . Es una ecuacin lineal con tres incgnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas representan una recta en el plano Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, su representacin grfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura: Figura Representacin Grfica de la Recta X+2Y=3 en el plano y la del plano x+y+z =1 en el espacio. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incgnitas. Los nmeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y bj se denominan trminos independientes. En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de y ,y y en el caso de tres, en x,y,z lugar de pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incgnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o ms ecuaciones que comparten dos o ms incgnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son vlidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las grficas de las ecuaciones se intersectan. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitucin y por combinacin lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadrticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas tcnicas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadrticas La solucin de este tipo de sistema es el punto de interseccin entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber ms de una solucin, no solucin, o un nmero infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:

Si las grficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solucin para ambas ecuaciones, como se indica en al anterior figura.

Si las grficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones, como se indica en al anterior figura.

Si las grficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un nmero infinito de soluciones para ambas ecuaciones, como se indica en al anterior figura.

Sistema Compatible: Tiene solucin. Compatible Determinado: Tiene una nica solucin Compatible Indeterminado: Admite un conjunto infinito de soluciones Sistema Incompatible: No tiene solucin. Se dice que un sistema escompatible incompatible (SI),si no tiene soluciones. Grficamente se corresponde con dos rectas paralelas distintas.Condicin necesaria y suficiente para que un sistema sea incompatible es que sean proporcionales los coeficientes de x e y, pero no se mantenga esa relacin con los trminos independiente, es decir:

Se puede manejar la incertidumbre, normalmente se genera esta situacin al existir parmetros que varan en el tiempo y afectan el sistema de forma desconocida.Simplicidad de diseo. Un controlador no-lineal puede transformar un problema no-lineal en uno lineal y por tanto permitir en un segundo paso la utilizacin de la teora de control lineal. La seleccin del control no-lineal puede ser en algunos casos intuitiva. Por ejemplo, el modelo de un convertidor trifsico fuente de corriente como ilustrado en la Fig. 1.3 est dado por,

En presencia de una entrada ( ) se cumple: (a) el principio de superposicin, (b) la estabilidad asinttica implica que para entradas acotadas se tienen respuestas acotadas, y (c) una entrada sinusoidal genera una salida sinusoidal de la misma frecuencia. En el teorema de superposicin en teora de circuitos se establece que la tensin entre dosnodosde un circuito o la corriente que atraviesa unaramaes igual a la suma de las tensiones o de las corrientes producidas por cada uno de losgeneradores de tensiny de losgeneradores de corrientedel circuito. En cada uno de los clculos parciales, se conserva uno solo de los generadores y se remplazan los otros generadores de tensin por cortocircuitos y los otros generadores de corriente por circuitos abiertos.Tiempo de escape finito. Una variable de estado de un sistema no estable lineal se va a infinito a medida que el tiempo va a infinito; en cambio, un sistema no-lineal inestable puede hacerlo en un tiempo finito. El modelo est dado por

Si se define entonces las ecuaciones de estado son:

Por lo que los puntos de equilibrio son, x2o = 0, x1o = n, (n = 0 1, 2, ...) para u = 0. Se sabe que el punto de equilibrio xo = (0, 0) es estable y que el punto de equilibrio xo = (0, ) es inestable. Cmo se puede derivar esto de la ecuacin del pndulo ?. Se destaca que esta ecuacin es tambin vlida para un generador conectado a un bus infinito y para un PLL

Tienen un nico punto de equilibrio Mltiples puntos de operacin. Un sistema no-lineal puede tener mltiples puntos de operacin, los que pueden ser estables o inestables. Los estados del sistema convergen a uno u otro dependiendo del estado inicial

El punto de equilibrio es estable si todos los valores propios tienen parte real negativa Ciclos lmites. Un sistema lineal invariante debe tener dos polos en el eje imaginario para oscilar permanentemente, lo que no se puede sostener en la realidad. Sistemas no-lineales pueden oscilar con amplitud y frecuencia constante independiente del punto inicial.

La solucin general puede obtenerse analticamente Subarmnico, armnico u oscilaciones casi-peridicas. Un sistema lineal bajo excitacin sinusoidal, genera una salida sinusoidal de la misma frecuencia. Un sistema no-lineal ante excitacin sinusoidal puede generar frecuencias que son submltiplos o mltiplos de la frecuencia de entrada. Tambin puede generar una oscilacin casi-peridica (suma de componentes con frecuencias que no son mltiples entre s).

Mtodos de Solucin:

Sustitucin Igualacin Reduccin Mtodo grfico Mtodo de Gauss Eliminacin de Gauss-Jordan Regla de Cramer

Caos. Se produce en sistemas en que la salida es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. La salida no est en equilibrio y no es oscilacin peridica o casi peridica. Mltiples modos de comportamiento. Ms de un ciclo lmite. Dependiendo de la entrada (amplitud y frecuencia) la salida puede exhibir armnicos, subarmnicos, etc.

http://www2.udec.cl/jose.espinoza/SNL/Apuntes.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_superposici%C3%B3n

FASE 2

2. Realizar aportes que permitan construir un sistema de ecuaciones, de acuerdo a los datos de la siguiente tabla y resolver por los siguientes tres mtodos,

TIEMPO4914X

NIVEL DEL AGUA %145079P(x)

14= 50= 79=

Ecuacin resolver en los tres mtodos.

a) Mtodo Gauss Jordn

Respuesta:

b) Mtodo por Eliminacin Gaussiana

Obtenemos la variable de la ecuacin 3

,

Obtenemos la variable de la ecuacin 2

Obtenemos la variable de la ecuacin 1

Respuesta:

C. Mtodo Gauss-Seidel

1. Ordenamos la ecuacin de modo que la diagonal principal estn los coeficientes mayores, esto para asegurar la convergencia.

2. Despejamos las variables sobre la diagonala. b. c.

3. Supongamos que los valores iniciales son

x=0 y=0 z=0Reemplazando variables calculamos el valor de

a. b. c. 4. Teniendo en cuenta los valores de

x=0 y=0 z=0 Se realiza las iteraciones y se procede a sustituir los valores:

xyz

00.8750.60648148150.3552768329

10.70117482760.56915226760.3588300685

20.71028505380.56864499170.3588198217

30.71041251320.56864455670.3588192025

40.71041266070.56864462370.3588191970

50.71041264430.56864462450.3588191970

60.71041264410.56864462450.3588191970

70.71041264410.56864462450.3588191970

80.71041264410.56864462450.3588191970

90.71041264410.56864462450.3588191970

d. comparando los valores calculados en la iteracin cinco y seis observamos que

Dado que se cumple la condicin el resultado es:

x=0,71 y=0,56 z=0,35

FASE 3

3. Realizar aportes que permitan en las condiciones ideales calcular el polinomio de diferencias divididas de newton

TIEMPO4914X

NIVEL DEL AGUA %145079P(x)

Adems identifique los coeficientes de x y

xf()f()f()

0147.20.14

1505,8

279

Reemplazando los valores de la tabla de diferencias divididas obtenemos la ecuacin: