aplicaciones de la teoría matemática de la elasticidad a problemas de...

Aplicaciones de la teoría matemática de la elasticidad

a problemas de geotecnia

(84.07) Mecánica de Suelos y Geología

Alejo O. Sfriso: [email protected]

Ernesto Strina: [email protected]

Índice

• Elasticidad aplicada a geomateriales

• El problema de Boussinesq

• Presión de contacto y asiento de zapatas

• Coeficiente de reacción de la subrasante

• Un ejemplo numérico

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Ap

lica

cio

ne

s d

e la

Ela

stic

ida

d

Concepto: un sólido tiene comportamiento elástico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energía en forma de trabajo de deformación

La elasticidad lineal isotrópica se escribe como

Tiene dos parámetros materiales: �, �

Ap

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cio

ne

s d

e la

Ela

stic

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d

Elasticidad lineal isotrópica

3

� = � � (unidimensional)

�� = �� + 2�� (general, en componentes)

Deformación plana

Tensión plana

4

Ap

lica

cio

ne

s d

e la

Ela

stic

ida

d

Elasticidad lineal isotrópica, estados 2D

�̇��

�̇��

�̇��

�̇��

=�

1 − 2� 1 + �

1 − � � � 0� 1 − � � 0� � 1 − � 00 0 0 1 − 2�

��̇��

��̇��

��̇��

��̇��

�̇��

�̇��

�̇��

=�

1 − ��

1 � 0� 1 00 0 1 − �

��̇�

��̇�

��̇�

Ap

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ne

s d

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Ela

stic

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d

Restricciones a los parámetros elásticos

El trabajo de deformación debe ser una función definidapositiva

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�̇ = �: �̇ > 0 ∀�̇

�̇ = ��̇ + �� ̇�� = ��̇ + 2��

� ��̇�� > 0∀�̇

�̇ > 0 → � > 0 ∧ � > 0 → � > 0 ∧ −1 < � < 0.5

�� =1 − � �

(1 + �) 1 − 2�� =

�

3 1 − 2�� =

�

2 1 + �

Elasticidad aplicada a problemas geotécnicos

Condiciones necesarias

• Las tensiones inducidas en el terreno son mucho menores a su resistencia(no hay plasticidad por corte)

• Los suelos están sobre-consolidados (no hay plasticidad por compresión)

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Ap

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Ela

stic

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d

resultado

experimental

hiperbola de

Kondner

iE

1

1

1

df

i df

R

E

d

df

u

1f

Índice






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Ap

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ne

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Ela

stic

ida

d

Teoría de Boussinesq para carga puntual

Hipótesis

• El terreno es un sólido elástico tridimensional semi-infinito con parámetros elásticos constantes

• Se aplica una carga concentrada normal a la superficie del terreno

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Ela

stic

ida

d

9

Ap

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cio

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Ela

stic

ida

d


10

Ap

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cio

ne

s d

e la

Ela

stic

ida

d


�� =3�

2��

1

1 +��

�

��

�� =�

2 �

3��

�� + ��

−1 − 2�

�� + �� + � �� + ��

�� = −�

2�1 − 2�

�

�� + ��

−1

�� + �� + � �� + ��

�� =3�

2�

��

�� − ��

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Ap

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Dibuje la base en escala (AB / Profundidad)

Carta de Newmark

�� =�

200�

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stic

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d

• Vista en planta de un espacio semi-infinito dividido en �elementos

• Cuando se carga cada elemento con una tensión uniforme q, se produce un incremento de tensión vertical �/� a una profundidad �, sobre el centro de la carta

• Se divide el espacio mediante 9 círculos concéntricos en 10 anillos, cada uno de los cual se divide en 20 elementos (200 elementos en total).

• El radio de cada anillo se calcula con la ecuación (incremento de tensión debajo de una carga circular)

Carta de Newmark

�� = � 1 − 1 − �/� � ��/�

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Ap

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stic

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d

• Cada anillo incrementa la carga vertical �/10. Entonces el radio de cada anillo se calcula como

• Para construir la carta se elige una escala para � que debe quedarindicada

Carta de Newmark

0.1 = 1 − 1 − ��/� � ��/�→ ��/� = 0.27

0.2 = 1 − 1 − ��/� � ��/�→ R�/Z = 0.40

Índice






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Ap

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Ela

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d

Distribución de tensiones bajo zapatas rígidas y flexibles

Zapata rígida

• Asentamiento uniforme

• Mayor presión en los bordes

Zapata flexible

• Presión uniforme

• Mayor asentamiento en el centro

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Teoría de elasticidad rigidez independiente del

confinamiento

Arenasrigidez nula sin confinamiento

Arcillasplastificación

parcial del borde de zapata

Tensiones verticales bajo zapatas en distintos tipos de suelo

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Tensiones bajo una zapata circular, cuadrada y lineal

Circular

Cuadrada Lineal

Se asume rigidez constanteen cada estrato

Se reemplaza la soluciónexacta por una aproximaday se integra

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Ap

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stic

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d

Método de Schmertmann

�� =1

��∆�� + � ∆�� + ∆��

�� =�

�� = � ��

�

�

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Ela

stic

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d

Método de Schmertmann

� = �� − ��

��

��

��

� < � 2⁄ → �� = 0.2 1 + 4 � �⁄

� < �� → �� = 0.6 1 −� − � 2⁄

�� − � 2⁄

�� = 2� 1 + log (� �)⁄�� = 1 − 0.5�� − ��⁄�� = 1 + 0.2 �� 36��⁄�� = 1.03 − 0.03(� �)⁄ ≥ 0.73

� ≤ � 2⁄ → � �� ⁄ ��

��

=1

5 �

z� − z�

� B + 2 z� + ��

� > � 2⁄ → � �� ⁄ ��

��

=3

5 �

z� − z�

(� − 2 ��) z� + �� − 2��

Índice






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d

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d

Coeficiente de reacción de la subrasante

Cociente entre la presión aplicada sobre una placa rígida y el asentamiento medido

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�� =�

�≅ 1.35

�

��

El coeficiente de reacción depende del tamaño y forma del área cargada

Placa diámetro B0

E constante, base B x L

E creciente con prof, base B x L (fórmula de Terzaghi,obsoleta)

Ap

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d

Coeficiente de reacción de la subrasante – teoría elástica

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��~1.35�

��

��~��

��

�

2

3+

1

3

�

�

��~��

� + ��

2�

�2

3+

1

3

�

�

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Ap

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Ela

stic

ida

d

Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elástico

Una platea sobre medioelástico se resuelve comoun problema de Winkler

Limitaciones

• Existen fuertes acopla-mientos entre “resortes”

• A largo plazo se pro-ducen asentamientosadicionales

�� +�

�= 0

�� +� − ��

�= 0

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Principios de funcionamiento de una platea sobre medio elástico

El acoplamiento se considera usualmente mediante una reducción del módulo de reacción de la subrasante en el centro del área cargada

El método es razonable para el diseño estructural

Sus predicciones de asentamiento son pobres

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Coeficiente de reacción para pilotes con carga horizontal

El coeficiente de reacción se emplea para el diseño estructural de pilotes con carga horizontal

Depende de la rigidez del terreno en profundidad

Es: Módulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)

Ep: Módulo de Young pilote

ν: Módulo de Poisson del suelo

D: Diámetro/ancho del pilote

Ip: Momento de inercia pilote

�� = 0.65 ·�� · ��

�� · ��

��

1 − ��

Índice





• Un ejemplo numérico (Mathematica)

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d

Bibliografía

• Básica

– USACE. Settlement analysis.

– Jimenez Salas et al. Geotecnia y Cimientos. Rueda

– Powrie. Soil Mechanics, Concepts and Applications. Spon Press

– Bowles. Foundation analysis and design. McGraw-Hill.

• Complementaria

– Poulos & Davis. Elastic solutions for soil and rock mechanics. CGR Sidney

– FHWA. Soils and foundations (I & II)

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