1

UCV Matemática II

Problemas de Aplicación de la MÀXIMOS Y MÌNIMOS

1. Una empresa desea construir envases grandes con forma de

paralelepípedo rectangular de 90 m3 de volumen

(Vol.=largo*ancho*altura), con la parte superior abierta. El largo del

rectángulo base debe ser doble del ancho. El material de la base tiene un

costo de 1 sol / m2 y el de las paredes de 0.8 soles / m2. Determina las

dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales sea

mínimo, así como el correspondiente costo del envase.

2. Durante los treinta días consecutivos de un mes las acciones de una determinada compañía han tenido unas

cotizaciones dadas por la función (cientos de dólares), donde es el número de

días transcurridos. Halla los días en que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los

que estuvieron en alza. ¿Qué día de mes alcanzaron el valor máximo? ¿Y el valor mínimo?.

3. Una empresa tiene la siguiente función de producción: , donde representa el número de

horas de trabajo aprovechadas por la empresa diariamente, y el número de sacos obtenidos de un

determinado producto agrícola.

a) Halle el valor de para el cual el producto total es máximo. Halle el producto total máximo.

b) Haga el gráfico de esta función y describa el comportamiento.

Guía de Teoría y Práctica

Matemática II

1

UCV Matemática II

4. El costo de producir x artículos por semana es:

Para el caso del artículo en cuestión, el precio en que artículos pueden venderse por semana está dado por

la ecuación de demanda: . Determine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad

es máxima.

5. Una empresa de transporte interprovincial ha podido determinar que el costo total y el ingreso total por viaje

depende el número de pasajeros “ ” según: . Los

servicios que brinda son tan buenos que en promedio, por viaje, está llevando 220 pasajeros. Determine la

conveniencia o no de seguir operando en las mismas condiciones.

6. Una pequeña empresa dedicada a la confección de prendas de polos ha podido determina que sus costos de

fabricación tienen el siguiente comportamiento soles. La variable “ ” expresa la producción

de polos en miles. Determine el nivel de producción que debería tener la empresa para alcanzar el menor

costo por cada polo confeccionado.

7. La empresa avícola Barrantes a partir de los buenos resultados obtenidos y de la aceptación del mercado,

1

UCV Matemática II

piensa solicitar alguna forma de crédito para adquirir mejor tecnología y mejorar sus procesos de producción.

Sin embargo aún no sabe qué política seguir con respecto al personal que laboran con ellos. Lo que si se ha

podido determinar es que la producción de la avícola considerando la inversión a realizar estaría determinada

por Considerando a “t” como el número de trabajadores que laboran en los

galpones. Determine el número de trabajadores que sería más conveniente para Barrantes. Analice el

comportamiento de los niveles de producción según la cantidad de trabajadores.

8. El director de mercado de una compañía ha estimado que la ganancia depende de la inversión hecha en

publicidad (en miles de soles), del siguiente modo: (en miles de soles). Determine para

qué valor de se tiene ganancia máxima. Esboce gráficamente la función de ganancia y describa su

comportamiento.

9. Suponer que ¨t¨ meses después de la introducción de un nuevo producto al mercado, la fracción f de la

población que compra dicho producto se modela por

a. Hallar el tiempo en el que más personas adquieren el producto.

b. Determinar la porción máxima de la población que adquiere dicho producto.

c. Grafique y explique el comportamiento del modelo.

10. Se desea construir un tanque cilíndrico con fondo plano y tapa semi esférica de 1000 ; si el

costo del material de la parte cilíndrica es el doble al de la parte semiesférica; encontrar las

dimensiones que hagan mínimo el gasto de material.

1

UCV Matemática II

11. Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para

cercarlo posee un alambre de 200 m de longitud. Calcular el radio que debe tener el sector para

que el campo sea lo más grande posible.

12. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados coincide con la orilla de un

río rectilíneo, por lo tanto este lado no se necesita cercar. Para realizar la cerca paralela al río

tiene un costo de $2 por cada metro lineal y por los extremos de $3 por metro lineal.

El granjero dispone de $900 para ejecutar la obra. Hallar.

a) dimensiones del cercado para poder encerrar la mayor área.

b) perímetro de la cerca.

13. Una fábrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y área A m2 para estiba de

materiales. Para cerrar esa superficie se construirán paredes de espesores fijos de a metros y b

metros como indica la figura.

a) Dimensiona el rectángulo de estiba para que la superficie rectangular exterior necesaria sea mínima.b) Demuestra que en ese caso también es mínima la superficie de piso ocupada por las paredes.c) Aplicar los resultados para el caso A = 100 m.², a = b = 0,20 m.

5

UCV Matemática II

14. Un depósito en forma de un cono invertido, tiene una altura de 10 m. y una base de 10m. de diámetro. Si el deposito está llenándose a razón de 2 m3 /seg. ¿A qué velocidad se está elevando el nivel del agua cuando el nivel se encuentra a 3 metros de la parte superior del depósito.

15. Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16millas por hora, y otro B, situado 32millas al sur de A, lo hace al este con una velocidad de 12millas por hora. Hallar la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haber iniciado el movimiento.

16. ¿En qué punto de la parábola y2=18x, la ordenada crece dos veces más deprisa que la abscisa?

17. Huyendo de un perro una ardilla trepa por un árbol, corre a 12m/s y la ardilla a 6m/s ¿Cuál será el cambio de distancia relativa entre los dos cuando el perro está a 12m del árbol y la ardilla ha trepado 5m?

18. Un tren que sale a las 11 horas de la mañana se dirige hacia el este a una velocidad de 45km/h, mientras que otro, que sale al medio día desde la misma estación, se dirige hacia el sur a una velocidad de 60km/h. Hallar la velocidad a que se separan ambos trenes a las tres de la tarde.

19. Un niño lanza su cometa a una altura de 150 metros. Sabiendo que la cometa se aleja del niño a una velocidad de 20 metros por segundo, Hallar la velocidad a la que se suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del niño.

20. Una plancha circular está siendo calentada y su diámetro está exponiéndose a razón de 2 cm./seg. Encuéntrese la razón de cambio respecto al tiempo del área cuando el diámetro es de 3 cm.