APLICACIONES GEOLGICAS DE LAS PROYECCIONES ESTEREOGRFICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

DEPARTAMENTO ACADMICO DE GEOLOGA(DAGEO)

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA GEOLGICA (EAPIG)

MODULO PARA ENSEANZA APRENDIZAJE

APLICACIONES GEOLGICAS DE LAS PROYECCIONES ESTEREOGRFICAS

POR:REINALDO RODRGUEZ CRUZADOALEJANDRO CLAUDIO LAGOS MANRIQUE Docentes de la EAPIG de la UNC

CAJAMARCA, MAYO DEL 2012

PRESENTACIN

El presente MODULO PARA ENSEANZA APRENDIZAJE, titulado Aplicaciones geolgicas de las proyecciones estereogrficas se ha realizado con la finalidad de introducir a los estudiantes e interesados en el conocimiento de las tcnicas bsicas de proyeccin estereogrfica e indispensables para cualquier amante de las ciencias de la tierra que vaya a desarrollar trabajos relacionados con orientaciones de planos y lneas en el espacio, Cartografa (relaciones angulares entre estratos, discordancias, etc.), Geotecnia (clculo del factor de seguridad de un talud), cristalografa, etc.

La primera parte de este mdulo contiene los conceptos generales de las proyecciones estereogrficas, su historia y su evolucin. En su parte final se han considerado las diversas aplicaciones y una serie de problemas resueltos.

Esperamos que este manual de enseanza sirva de apoyo en la solucin de una serie de problemas de este tipo.

Los autores

NDICE GENERALPRESENTACIN2NDICE GENERAL3INTRODUCCIN51.CONCEPTOS GENERALES7 1.1.Los crculos mayores11 1.2.Los crculos menores112.APLICACIONES DE LAS ESTEREOFALSILLAS13 2.1.Direccin y buzamiento real del plano13 Direccin del plano:13 Buzamiento real del plano13 2.2. Buzamiento y direccin de buzamiento (dip direction)14 Direccin de buzamiento14 Buzamiento aparente14 2.3. Forma de hallar el crculo mximo:15 Polo de un plano15 2.4.Aplicaciones18 Interseccin de dos planos18 Programas computacionales:193.PROYECCIN CICLOGRFICA DE UN PLANO (PROYECCIN )204.PROYECCIN ESTEREOGRFICA DE UNA LNEA285.MTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO366.MEDIDAS DE NGULOS ENTRE LNEAS Y PLANOS37 6.1. Medida del ngulo diedro entre dos planos 37 6.2. Medida usando crculos mayores (proyeccin ciclogrfica)37 6.3. Medida usando polos de planos (proyeccin polar)38 6.4. Clculo del plano bisector del ngulo entre dos planos39 6.5. Clculo utilizando crculos mayores (proyeccin ciclogrfica)39 6.6. Clculo utilizando los polos (proyeccin polar)407.APLICACIONES EN CRISTALOGRAFA44 7.1.Proyeccin esfrica.44 7.2. Proyecciones de los cristales44 7.3. Utilizacin de las falsillas estereogrficas en cristalografa47 7.4.Ventajas de la falsilla estereogrfica 488.APLICACIONES EN GEOLOGA ESTRUCTURAL499.APLICACIONES EN MINERA SUBTERRNEA5210. APLICACIONES EN MINERA A TAJO ABIERTO55 10.1.Falla en cua:5611. APLICACIONES EN CLCULO DE TENSIONES6212. APLICACIONES EN PETROLOGA ESTRUCTURAL66 12.1. Tcnicas de laboratorio66 12.2. Ejes de referencia67 12.3. Simetra de la fbrica68 12.4. Simetra de movimiento70 12.5. Correlacin entre simetra de fbrica y simetra de movimiento.72

INTRODUCCIN

En la antigedad ya se pensaba en la proyeccin estereogrfica. Se usaba en Grecia, en el siglo II a.C. se logr gran popularidad entre los cristalgrafos que la desarrollaron notablemente para el estudio de la morfologa de los cristales y la ptica. Tambin fue utilizado por los gelogos en el siglo XIX, como una manera sencilla, para representar datos tridimensionales en bidimensionales.

En la antigedad, los astrnomos definieron las posiciones relativas de las estrellas proyectndolas como puntos blancos en la superficie de una esfera de color negro. Esta representacin fue denominada esfera celestial, en la que las distancias relativas de la tierra a las estrellas eran representadas en esta.

La proyeccin estereogrfica es una tcnica que se utiliza para la solucin de problemas geomtricos. Este mtodo utiliza las lneas y planos sin tener en cuenta sus relaciones espaciales, de esta manera se representan los valores angulares. La solucin de problemas por mtodos de geometra descriptiva exige la construccin de vistas auxiliares; lo que significa ms tiempo. Este mtodo determina estas relaciones angulares en forma directa.

Se utilizan para representar un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos dimensiones. En realidad no es la representacin en dos dimensiones sino en tres, debido a que la semiesfera es girada dando la impresin de ser de dos dimensiones. Un mapa geolgico es la proyeccin de la tierra redonda a un plano. La proyeccin estereogrfica es una representacin en un plano de la mitad de la proyeccin esfrica, generalmente la semiesfera inferior. El plano de la proyeccin es el plano ecuatorial de la esfera y el crculo primitivo (que limita a la proyeccin) es el mismo ecuador. Figura 01.

El crear una imagen proyectada en la mente puede parecer difcil al comienzo, pero con una cierta prctica, el alumno puede llegar a ser casi un experto. Se recomienda hacer dibujos en tres dimensiones para plasmar la imagen pensada y pasar a continuacin la misma imagen a dos dimensiones. De esta forma se relaciona la estructura en tres dimensiones con la que vamos a ver proyectada, ya sea mediante proyeccin ortogrfica o estereogrfica.

Figura 01 Hemisferio inferior que se utiliza para las proyecciones estereogrficas

1. CONCEPTOS GENERALESImaginemos un observador situado en el centro de una esfera transparente. Cualquier direccin supuesta, estar representada por un punto determinado, situado en la superficie de la esfera. Por ejemplo, la direccin oeste estar indicada por un punto en el ecuador de la esfera, situado a la izquierda del observador.

Una superficie esfrica en la cual las posiciones de los elementos caractersticos estn indicadas, se denomina proyeccin esfrica, siempre teniendo en cuenta que se representan orientaciones, no distancias entre los elementos proyectados. Las proyecciones esfricas se utilizan para representar orientaciones de lneas y/o planos, siempre que la lnea o el plano pase a travs del centro de la esfera. En ese caso, una lnea intercepta a la superficie de la esfera en dos puntos diametralmente opuestos, mientras que la interseccin de un plano con la esfera ser un crculo mayor. Figura 02. La interseccin de la lnea o el plano con la esfera es su proyeccin esfrica.

a0Proy

circulo

mximoeccincrculo

mximoPBB"0del

Proy

circulo

mximoeccinPB"del

b

Figura 02a y b. Proyeccin de una lnea y un plano en el hemisferio inferior de la esfera.Una proyeccin de este tipo, representa el elemento proyectado en tres dimensiones. Una esfera puede ser proyectada en un plano bidimensional. Las proyecciones planares ms comunes de una esfera se denominan proyecciones azimutales, que se construyen haciendo pasar las lneas de proyeccin desde un punto comn hasta la esfera, intersectando el plano de proyeccin. Este puede ser tangente a la superficie de la esfera, estar a una determinada distancia de ella o pasar a travs del centro de la esfera. Un cambio en la posicin del plano de proyeccin, da lugar a un cambio de escala en la proyeccin. El plano de proyeccin puede tener cualquier orientacin, y esto determina que la proyeccin sea ecuatorial, polar u oblicua, Figura 03.

Figura 03. Proyecciones polar y oblicua, como ejemplos de posibles orientaciones del plano de proyeccin.

La proyeccin estereogrfica es un caso especial de proyeccin azimutal, que en su principio fue desarrollada por los cristalgrafos. Su caracterstica principal es que el punto de referencia usado en su construccin est situado en la superficie de la esfera. En geologa, el plano de proyeccin usado para construir la proyeccin estereogrfica pasa por el centro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial. Figura 04.

a b

c

Figura 04.aPlano en tres dimensiones, orientado tomando en cuenta el rumbo y buzamiento. b. Proyeccin esfrica del plano, en el hemisferio sur. C. proyeccin estereogrfica del plano.

Imaginemos un punto marcado en el hemisferio inferior de una esfera de cristal, que representa la proyeccin esfrica de un punto en el espacio. La proyeccin estereogrfica de este punto se construye dibujando una lnea de proyeccin que conecte el punto situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en la parte superior de la misma. La interseccin de la lnea de proyeccin con el plano ecuatorial (plano de proyeccin) de la esfera, es la proyeccin estereogrfica de ese punto. En Geologa Estructural siempre proyectamos desde el hemisferio inferior de la esfera y el elemento representado (lnea o plano) pasa por el centro de la esfera de referencia.

Cada punto de un crculo mayor en el hemisferio inferior, unido con el zenit, da a su vez un punto en el crculo ecuatorial de proyeccin. La unin de todos estos puntos muestra la proyeccin estereogrfica del plano que pasa por el centro de la esfera y que corresponde a un crculo mayor. Se ha reducido una forma de tres dimensiones a una de dos.

La interseccin del plano ecuatorial con la esfera, se denomina primitiva. Tiene el mismo radio que la esfera de proyeccin original y todos los puntos en la superficie del hemisferio inferior quedan proyectados como puntos en o dentro de la primitiva.

La proyeccin estereogrfica de lneas y planos se efecta con ayuda de una falsilla de proyeccin. Esta falsilla est formada por un conjunto de proyecciones de crculos mayores y menores que ocupa el plano ecuatorial de proyeccin de la esfera de referencia. Estos conjuntos de crculos estn espaciados con intervalos de 2, apareciendo marcados con un trazo ms grueso los que corresponden a valores mltiplos de 10. Figura 05.

Figura 05 Falsilla de proyeccin estereogrfica

Los crculos mayoresRepresentan planos con direcciones Norte-Sur, cuyos buzamientos varan desde 0 a 90 en ambos sentidos. Estos planos se cortan segn una lnea horizontal representada por el norte o el sur de la falsilla.

Los crculos menoresSirven para medir las orientaciones de los planos y lneas en la proyeccin. Tambin se utilizan para hacer rotaciones de distintos elementos estructurales alrededor de ejes horizontales, verticales o inclinados. Representan la proyeccin sobre el plano ecuatorial de un conjunto de planos que no pasan por el centro de la esfera, espaciados de 2 en 2.Cada crculo menor corresponde al corte de una superficie cnica con la esfera, cuyo pice est situado en el centro de la esfera y su altura coincide con el radio de la falsilla.

Existen dos tipos distintos de estereonet: la falsilla de Wulff y la de Schmidt. La primera conserva ngulos, mientras que la segunda conserva reas y por tanto, se utiliza para realizar contajes estadsticos de elementos (planos de falla, ejes de cuarzo, lineaciones, etc.). La forma de proyectar planos y lneas en cualquiera de estas falsillas, es exactamente la misma.

APLICACIONES DE LAS ESTEREO FALSILLASDireccin y buzamiento real del planoAl utilizar la estereofalsilla es necesario visualizarla como si se mirara un hueco semiesfrico y los crculos mximos estn en la superficie interna de esta.Direccin del plano:Una lnea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de lnea de direccin (rumbo en geologa)y corresponde a la interseccin entre el plano y un plano horizontal imaginario.El ngulo de direccin (rumbo) del plano corresponde al ngulo formado entre esta lnea horizontal y el norte geogrfico. En el afloramiento se mide con la brjula.El mejor mtodo es el de la mano derecha, que considera los ngulos de 000 hasta 360 contados siempre hacia la derecha (sentido de las agujas del reloj). Ejemplo: N54Buzamiento real del planoSe define como el ngulo que forma este plano con la horizontal, medido segn la lnea de mxima pendiente del plano, por tanto, medido en el plano vertical que es perpendicular a la lnea de direccin del plano. Se representa con la letra . Figura 06.

Figura 06 Representacin de un plano en tres dimensiones con buzamiento real y aparente.2.2. Buzamiento y direccin de buzamiento (dip direction)Direccin de buzamientoEs el ngulo que forma la proyeccin en la horizontal de la lnea de mxima pendiente del plano con el norte geogrfico. Por lo tanto, su valor angular est situado a 90 del valor angular correspondiente al rumbo del plano. A partir de esta definicin se deduce que cualquier plano se puede orientar en el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ngulo de buzamiento. En este caso, no es necesario aadir al valor del ngulo de buzamiento su sentido, ya que este es conocido.

Para ilustrarlo mejor sera con el ejemplo: rumbo N040 el dip direction ser N130. Se ha sumado 40+90=130

Buzamiento aparenteEs el ngulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano vertical, segn una direccin cualquiera que no sea perpendicular a la lnea de direccin del plano. Su valor angular siempre es menor que el correspondiente al buzamiento real

El valor del ngulo de buzamiento, sea este real o aparente, est comprendido entre 0 (horizontal) y 90 (vertical). El mximo valor del buzamiento aparente estar situado sobre la direccin que coincida con el sentido de buzamiento real, mientras que el valor mnimo del buzamiento aparente ser cuando se mida este sobre una direccin que coincide con la direccin del plano.El crculo mximo es una forma de proyectar un plano geolgico (plano de falla, plano de fractura, plano de estrato etc.). Ventaja: Es til para interpretar algunos datos y sirve de base de algunos interpretaciones avanzadas.El ingreso de los puntos (polos) que son las lneas normales a los planos. Estos puntos forman nubes, buscndose entonces el "promedio grfico" de dicha acumulacin de puntos y solamente este valor se representa como circulo mximo.2.3. Forma de hallar el crculo mximo:Un plano geolgico (plano de falla, fractura, estrato) y la lnea normal de este plano tienen una diferencia de 90 a todos lados los lados. Significa que el punto o polo que sale en la proyeccin (como resultado de la lnea normal) tiene una distancia de 90 al crculo mximo del mismo plano. Polo de un planoCuando en un estereograma aparecen gran cantidad de crculos mayores correspondientes a proyecciones de planos, es difcil hacer una lectura y posterior interpretacin, ya que las trazas de los diferentes planos se cruzan entre si y son difciles de separar e identificar.

Afortunadamente, es posible representar la orientacin de un plano mediante la normal a ese plano (figura 07, 08, 09). La normal es la lnea perpendicular al plano y por tanto se proyecta como un punto que recibe el nombre de polo del plano y por definicin, se sita a 90 del centro del crculo mayor que representa al plano.

Figura 07 Representacin de la lnea perpendicular al plano.

Figura 08. a) Proyeccin en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su polar. b) Estereograma del plano anterior y de su polo.

Figura 09 Representacin del polo de un plano

En la proyeccin esfrica de la figura 8a, se observa la relacin entre la proyeccin ciclogrfica del plano (representada por un crculo mayor) y su normal (representada por un punto). Este corresponde al punto de corte del hemisferio inferior de la esfera con la lnea de esa orientacin que pasa por su centro, y que es perpendicular al plano. El estereograma de la figura 8b, muestra la relacin ortogonal del plano y su polo.

La distancia del polo al centro de la primitiva es rtan(/2) siendo el buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene una nica normal que se proyecta como un nico punto en la proyeccin, por tanto podemos representar la orientacin de cualquier plano mediante su polo. Los diagramas que representan polos de planos se conocen como diagramas o diagramas de polos.

La relacin de perpendicularidad entre normal y plano ha de ser recordada siempre. Esto significa que si el plano tiene un buzamiento de 20, su lnea perpendicular (la normal al plano) tendr una inmersin de 90- 20 = 70. La normal de un plano vertical ser una lnea horizontal que se proyectar sobre la circunferencia primitiva.

La normal de una superficie horizontal ser una lnea vertical, por tanto el polo se proyectar en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales plano/normal significan que la direccin de la normal est a 90 de la direccin del plano, en el sentido opuesto al buzamiento del plano.

PROBLEMATrazar el polo de la falla N40E, 70SEProcedimiento:1 Se coloca la transparencia encima de la falsilla. Anotar el Norte tanto en la falsilla como en la transparencia y en la misma posicin.2 Se cuenta 40 hacia la derecha (que es la posicin del E respecto al norte).3 Se traza una recta, desde los 40 y que pase exactamente por el centro del crculo. (esta recta ser el rumbo de la falla).4 Se gira la transparencia hasta que la lnea construida coincida con la lnea N- S. 5 Se cuenta los 70 a partir de la derecha (que es la posicin del E).6 Existir un crculo mximo que contenga a este punto calculado. Se calca dicho crculo.(ser el buzamiento del plano)7 Se cuenta, tomando como referencia la lnea E-W, los 90 partir del buzamiento para hallar el polo.8 Ahora se gira la transparencia a su posicin inicial (cuando los nortes tanta de la falsilla como de la transparencia estn en la misma posicin).Un crculo mximo recto corresponde a un plano vertical, la orientacin en la proyeccin corresponde a la orientacin en la naturaleza.Un crculo mximo curvado corresponde a un plano con una cierta inclinacin. La curva siempre marca hacia la direccin de inclinacin.La distancia entre el centro y la mxima curvatura corresponde al manteo y de esta curva al extremo del crculo la distancia angular (buzamiento).Los planos con bajo ngulo de buzamiento tienen una curva muy amplia. Planos verticales o subverticales tienen una curva muy estrecha y de ubicacin muy cercana del centro. Planos horizontales coinciden con el margen y planos verticales con las de los rumbos.Aplicacionesa) La interseccin de dos crculos mximos corresponde con la lnea de interseccin en la realidad.b) la interseccin de tres crculos mximos forman una cua.c) Los socavones, piques, tneles forman un alineamiento, de esta manera se puede graficar la simetra entre los labores y los elementos tectnicos y poder planificar la mejor trayectoria de las futuras labores mineras d) Las perforaciones y anclajes forman tambin alineamientos, analizando esto se puede buscar forma ms apropiada para instalar un sistema de anclajes. e) El reconocimiento de estructuras tectnicas como pliegues: Un crculo mximo no solamente proyecta un plano, el crculo mximo tambin puede coincidir con un set de datos tomados en un pliegue. Interseccin de dos planosDos planos (no paralelos) se interceptan dicha interseccin es una lnea. En geologa minera muchas veces la interseccin de dos planos genera una lnea de mucha importancia. Tal es el caso de la interseccin de vetas, en la mayora de las minas del Per, que genera una zona muy rica en minerales (oreshoot, clavos, caballos, etc.)Programas computacionales:La toma de datos de fallas y fracturas en programas de computacin es mucho ms fcil: se introducen los datos en los softwares y automticamente salen todos los resultados. Se recomienda verificar los resultados con los hechos manualmente.

PROYECCIN CICLOGRFICA DE UN PLANO (PROYECCIN )PROBLEMARepresentar en la estereofalsilla el estrato de arenisca de rumbo N 80 y con buzamiento 10 (mtodo de la mano derecha)

Procedimiento marcar sobre la primitiva el valor del ngulo N 80. Giramos la transparencia con este valor hasta hacer coincidir con la recta N-S. En esta posicin, contamos el valor del buzamiento sobre el dimetro E-O de la falsilla (10), teniendo en cuenta su sentido, siempre desde la primitiva hacia el centro de la falsilla, y calcamos el crculo mayor que tiene ese ngulo de buzamiento Giramos la transparencia para volver a su posicin inicial (el N de la transparencia y el N de la falsilla de proyeccin deben estar en la misma posicin).De esta manera habremos representado este rumbo y buzamiento de las arenisca.PROBLEMARepresentar el estrato de caliza (aplicar el mtodo de la mano derecha)Rumbo N 40 y buzamiento 50

Procedimiento Marcar, sobre la transparencia, el valor de 40 hacia la derecha de la falsilla, trazar una lnea recta desde este punto y que pase por el centro de la falsilla. Figura 09a. Girar la transparencia 40 a la izquierda haciendo coincidir esta lnea con el N-S. Contar 50 a partir de la primitiva, de afuera hacia adentro y desde la derecha. Este valor coincidir con un crculo mximo. Calcamos este crculo. Figura 09b. Volvemos a girar la transparencia hasta volver a su posicin inicial. Figura 09c.

a

b

b

c Figura 09 Representacin estereogrfica de un plano. a) Ubicacin de la direccin N40. b) Giro hasta hacer coincidir con lnea N-S y trazado de crculo mximo correspondiente a 50. c) Giro para volver al estado inicial.

PROBLEMADibujar los estereogramas correspondientes a los planos siguientes (Mtodo de la mano derecha). Figura 10.

1 N0,402 N40,503 N90, 10

Solucin

Hacer una marca en la primitiva indicando la direccin dada.Girar la transparencia haciendo coincidir esta seal con la lnea N-S.Contar el buzamiento sobre la lnea E- O. (siempre de afuera hacia adentro)Calcar el crculo mayor correspondiente.

Figura 10 Proyeccin estereogrfica (estereograma)

PROBLEMASe tiene un estrato de caliza cuyo rumbo e N40, 50. Calcular los valores de los buzamientos aparentes segn el sentido 110, 140, 160 y 190

Solucin

Sobre la transparencia marcar la direccin 40 y girar la transparencia hasta que esta direccin coincida con la lnea N-S, (se gira siempre la distancia ms corta al N-S).Figura 11. Calcamos el crculo mximo correspondiente al buzamiento50 contados de afuera hacia adentro del crculo. Giramos la transparencia hasta ponerlo en su posicin original (cuando el N de la falsilla coincida con el N de la transparencia)

Para calcular los buzamientos aparentes segn un sentido determinado, marcamos sobre la primitiva el valor del sentido requerido, giramos hasta hacerlo coincidir con la lnea E-W de la falsilla y contamos sobre l el ngulo entre la primitiva y el estereograma. Este procedimiento se har para todos los sentidos deseados.

Figura 11Resolucin del problemaRespuesta Los buzamientos aparentes sern:Segn 110= 49Segn 140= 48Segn 160= 40Segn 190= 19PROBLEMAEl rumbo de un estrato de caliza es N 40 y su buzamiento es 70. Hallar los sentidos en los que se encontrarn los buzamientos aparentes de 30, 50 y 70.Ubicamos la orientacin N40. Giramos la transparencia haciendo coincidir el dato con la direccin N-S. Dibujar el crculo mximo Una vez dibujado circulo mximo, se mueve la transparencia buscando los valores de los ngulos de buzamiento aparente sobre la lnea E-O. Nota: siempre existirn dos sentidos en los que se cumple para el buzamiento aparente.

Respuesta El buzamiento aparente es 30, segn los sentidos 207 y53.El buzamiento aparente es 50, segn los sentidos 194 y 67El buzamiento de 70 es el buzamiento real.La direccin de buzamiento (dip direction) ser 40+90=130, no existe buzamiento aparente segn ese sentido. Figura 12.

Figura12 Buzamiento real y aparentes de un estrato de caliza de rumbo N40 y buzamiento 70.(mtodo de la mano derecha).PROBLEMAEl plano axial de un pliegue tiene un rumbo de N 340 y se ha medido un buzamiento aparente de 18 segn la direccin de N 30. Calcular el valor del buzamiento real del plano axial.

Respuesta

Marcar sobre la primitiva, N 340 (direccin del plano axial) Marcar la direccin N30, llevarla a un plano vertical de la falsilla y contar desde la periferia de la primitiva hacia adentro el ngulo de buzamiento aparente de 18. Este buzamiento aparente viene representado por un punto dentro de la falsilla de proyeccin.El plano buscado se obtendr llevando la direccin 160 sobre el dimetro N-S de la falsilla y trazando el crculo mayor que contiene el punto que representa el buzamiento aparente dado. El buzamiento real del plano ledo en el estereograma, es de 23 al E. Figura13

Figura13 Buzamiento real y aparente.

PROBLEMAEn un afloramiento se observa una serie pliocnica en discordancia sobre el cretceo. Se han medido dos buzamientos aparentes: 140,15 y 78, 30.Calcular el rumbo del plano que forma dicha discordancia.Solucin Marcar en la transparencia los rumbos N 140 y N 78 y los buzamientos aparentes 15 y 30. Estos dos puntos deben estar contenidos en un crculo mayor. En tal sentido se mueve la transparencia hasta lograr este objetivo. Este valor ser el rumbo del plano que resulta ser 348,30. Observar que en este caso, uno de los supuestos buzamientos aparentes, en realidad corresponde con el buzamiento real del plano.Figura14

Figura 14 Rumbo del plano de discordanciaPROBLEMAUna falla tiene una direccin de buzamiento N 40.En qu direccin el buzamiento aparente ser mximo?Se mantendr la misma direccin de buzamiento si el valor del ngulo de buzamiento vara?.

RespuestaLa direccin del buzamiento de la falla es perpendicular a la direccin (rumbo).En el dibujo se observa que el valor del buzamiento real ser el valor mximo del buzamiento aparente. Bien sea segn el sentido N 0 o N360.Figura15

Figura15Representacinde una falla con rumbo N270 y buzamiento 40 (mtodo de la mano derecha)

PROYECCIN ESTEREOGRFICA DE UNA LNEAEl principio es similar a la proyeccin de un plano. La lnea L pasa por el centro de la esfera y se extiende hasta cortar al hemisferio inferior en un punto (P).Este punto se une con el zenit de la esfera mediante una lnea recta, y la proyeccin estereogrfica de la lnea L se localiza donde esta recta corta al plano de proyeccin, por tanto, en un punto (P). Las lneas se proyectan como puntos en proyeccin estereogrfica. PROBLEMARepresentar las lneas con orientaciones N60, 40. N315, 00Respuesta. Figura 16.

Figura 16. A. Proyeccin esfrica de una lnea. B. Representacin estereogrfica de lneas: horizontal, vertical e inclinada.PROBLEMALnea orientada mediante direccin y cabeceo sobre un plano conocidoEl plano de falla est orientado N40, 20 y la estra tiene un cabeceo de 45S medido en este plano. Representar el estereograma correspondiente

Procedimiento: Dibujar sobre la transparencia el crculo mayor que representa el plano N40E, 20SE. Representar dentro de este crculo mayor el cabeceo 45S. Si el cabeceo es el ngulo entre la lnea y la direccin del plano inclinado que la contiene, solo tenemos que medir el ngulo de 45 en el plano (crculo mayor) colocado sobre un crculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda de los crculos menores. Figura 17. Este punto representa la orientacin de la estra.

Figura 17. Representacin estereogrfica de una lnea, mediante su cabeceo en un plano conocido.

PROBLEMASe tienen dos fallas N220, 30 y 116, 50, ambas con estras L y L respectivamente. Cul ser el valor del ngulo de cabeceo para cada una de las estras?

Procedimiento:Giramos la transparencia haciendo coincidir cada plano con un crculo mayor de la falsilla. Contamos el ngulo desde el norte o desde el sur a partir de los crculos menores, este valor ser el ngulo de cabeceo de esa lnea medido sobre ese plano. A continuacin del valor, colocamos su sentido, que corresponder al cuadrante donde est situada la lnea. Al mismo tiempo, podemos medir su direccin e inmersin, como se ha explicado en el problema anterior. Figura 18Respuesta Los resultados son los siguientes:L: cabeceo. 36S; direccin 252; inmersin. 18, 252, 18L: cabeceo. 40E; direccin 144; inmersin. 38, 144, 38

Las lneas en el espacio se orientan mediante dos ngulos, que pueden ser sentido de inmersin (direccin) e inmersin, o bien direccin y cabeceo medido sobre un plano inclinado que contiene a la lnea. En este caso, es necesario indicar la orientacin del plano en el que se ha medido el ngulo de cabeceo de la lnea.

Figura 18. Medida de direccin, inmersin y cabeceo para dos lneas L y L contenidas en dos planos de orientacin conocida.

PROBLEMAEn una zona de estratificacin, se han medido los siguientes buzamientos aparentes: 23, 330; 36, 208; 16, 184; 290, 46; 276, 30;230, 18; 234, 47; 262, 70. Hallar la orientacin de la estratificacin y comprobar si todos estos buzamientos aparentes pertenecen a esta superficie.

Procedimiento Los buzamientos aparentes dados con direccin de buzamiento (dip direction) y ngulo de buzamiento, son equivalentes a lneas orientadas segn sentido de inmersin y ngulo de inmersin, por tanto, los buzamientos aparentes vienen representados por puntos en la proyeccin estereogrfica.

Hemos visto en los problemas anteriores que dos puntos (dos buzamientos aparentes o dos lneas) contenidos en un plano, son suficientes para dibujar el crculo mayor que nos define la orientacin de ese plano. En este caso, se han medido 8 buzamientos aparentes en el campo, que en el supuesto de que correspondan todos a la misma superficie de estratificacin, todos ellos deben estar contenidos en un crculo mayor que define la orientacin de este estrato. Aquellos que se alejen de este crculo, no son buzamientos aparentes pertenecientes a esta superficie.

Proyectamos cada uno de los buzamientos aparentes en la transparencia, haciendo coincidir la direccin de buzamiento con un plano vertical de la falsilla, y sobre este, contamos el ngulo de buzamiento aparente correspondiente.

Giramos el transparente para hacerlos coincidir en un crculo mayor. Como se observa en el estereograma, los tres buzamientos aparentes 30, 276; 18, 230 y 70, 262 se alejan bastante del resto. Los dems se ajustan a un crculo mayor que nos da una orientacin para esta superficie de estratificacin de N10O, 50O o bien 170, 50O o 262, 50 (direccin de buzamiento y buzamiento).Figura 19.

Figura 19 Estereograma correspondiente al problema 7

PROBLEMASobre un estrato de orientacin N10E, 55O, aparecen cuatro lineaciones con los siguientes sentidos de inmersin:10; 220; 300 y 360. Calcular los ngulos de cabeceo para cada lineacin, medidos en el plano de estratificacin.

Solucin Observar que el sentido de inmersin de la primera lnea, coincide con la direccin del plano en el que est contenida, por tanto, el ngulo de cabeceo en este caso ser de 0.

Dibujar el crculo mayor que representa el plano y marcar sobre la primitiva los sentidos de inmersin dados. Cada uno de estos sentidos de inmersin los llevamos sucesivamente a un dimetro vertical de la falsilla y pintamos la lnea (punto) que est sobre el plano y tiene ese sentido de inmersin (Figura 20). Una vez proyectadas las lneas, contamos el valor del cabeceo sobre el mismo crculo mayor que representa el plano, desde la primitiva hasta la lnea. Observar que cuanto ms cerca estamos de la direccin del plano, menor es el ngulo de cabeceo de esa lnea, hasta llegar a ser 0cuando las direcciones de plano y lnea coinciden.

Respuesta Los valores de cabeceo obtenidos son los siguientes:Para 10, el cabeceo es de 0.Para 220, el cabeceo es de 44S.Para 300, el cabeceo es de 78N.Para 360, el cabeceo es de 18N.

Figura 20 Estereograma correspondiente al problema 8. Ver texto para su explicacin

PROBLEMAHallar la nueva orientacin del plano N30O, 40NE y de su polo, despus de un giro de 40 en el sentido horario, alrededor de un eje vertical.

Solucin Dibujar la orientacin N30 W o (360- 30) = 330 y buzamiento 40 al NE y su respectivo polo (P). Contar sobre la primitiva los 40 correspondientes al giro, a partir de la direccin del plano y del sentido de inmersin del polo respectivamente. Dibujar el plano rotado, conservando elbuzamiento anterior y el polo, con su inmersin correspondiente. Las nuevas orientaciones del polo y el plano rotados son: 280, 50 y 10,40E. figura 21.

Figura 21 Estereograma correspondiente

PROBLEMACul es el ngulo que forman entre s las lneas cuyas orientaciones son 10, 30 y 106, 42?

Solucin Proyectar las dos lneas (como puntos) en la transparencia. Giramos la transparencia haciendo coincidir estos dos puntos con un circulo mayor (dos lneas inscritas en un plano) Se mide el ngulo buscado a lo largo de ese crculo mayor. SE suele dar generalmente el menor de 90. El valor hallado es de 75. Figura 22.

Figura 22 Estereograma correspondiente

MTODO PARA PROYECTAR EL POLO DE UN PLANO

Conocemos la orientacin de un plano definido mediante direccin y buzamiento, y vamos a proyectar este plano tanto en proyeccin ciclogrfica como polar, para visualizar las relaciones entre los dos tipos de proyeccin.

PROBLEMARepresentar el plano N40, 30.

Solucin Marcar la orientacin del plano en la primitiva y girar el transparente haciendo coincidir esta marca con la lnea N-S de la falsilla. Dibujar el crculo mayor correspondiente (proyeccin ciclogrfica). En esta misma posicin. Contamos 90 desde el centro de la falsilla y en sentido contrario al buzamiento del plano, este punto representa el polo (P), o bien, desde la primitiva hacia dentro el ngulo complementario al valor del buzamiento (ngulo de inmersin del polo, en este caso 60, ya que 90-30 = 60) y obtenemos el mismo punto anterior. Para comprobar que efectivamente esta lnea es perpendicular al plano, contamos sobre el dimetro E-O el ngulo entre el plano y su polo, y efectivamente es de 90. Figura 23.

Figura 23. Proyeccin de un plano mediante un crculo mayor (ciclogrfica) y su normal (polar).

MEDIDAS DE NGULOS ENTRE LNEAS Y PLANOS

Medida del ngulo diedro entre dos planosUn ngulo diedro es el ngulo formado por dos planos que se cortan, medidos en un tercer plano que es perpendicular a los anteriores. Se puede medir fcilmente mediante el ngulo entre los polos de los planos en un estereograma, o bien dibujando el plano perpendicular a la lnea de corte de los dos planos, que es el plano perpendicular a los dos planos y contiene ambos polos. Como los polos son lneas, el ngulo entre dos lneas se mide en el plano que las contiene, por tanto, en el estereograma, el ngulo entre los dos polos se mide a lo largo del crculo mayor en el cual estn contenidos.

En muchos casos, el ngulo diedro se especifica como un ngulo agudo (Ejemplo: entre diaclasas conjugadas), pero no siempre es as, ya que el ngulo buscado puede ser mayor de 90 (Ejemplo: ngulo entre un dique y una superficie de estratificacin).

Caso especial es la medida del ngulo interlimbo (ngulo formado por los dos flancos de un pliegue), en ocasiones no muy claro. El estereograma ofrece dos posibles ngulos, uno agudo y otro obtuso. El problema principal es que no siempre es obvio cul de los dos ngulos es el idneo si no conocemos suficientes datos acerca del pliegue.

6.2. Medida usando crculos mayores (proyeccin ciclogrfica)

Proyectar ambos planos como crculos mayores a partir de sus orientaciones.La lnea de interseccin (L) de estos dos planos, corresponde al punto de interseccin de los crculos mayores.

Dibujar el plano perpendicular a esta lnea. Es el plano cuyo polo es la lnea de interseccin, por tanto es el plano perpendicular a los dos planos anteriores. Medir en este tercer plano el ngulo diedro. Tener en cuenta que existen dos posibilidades. En la Figura 3 B se observa que hay un ngulo agudo y otro obtuso entre los dos planos. La suma de ambos es 180.

Si se mide el ngulo en otro plano que no es perpendicular a los anteriores, el resultado obtenido es distinto y no corresponde al verdadero valor del ngulo diedro.

6.3. Medida usando polos de planos (proyeccin polar)Este mtodo se basa en el hecho de que el ngulo diedro entre dos planos es igual al ngulo formado por las normales a estos planos. Proyectar los dos planos anteriores mediante sus polos. Mover el transparente hasta que los dos polos coincidan en un crculo mayor. Dibujar el crculo y medir el ngulo entre los polos (agudo y obtuso).Figura 24

Figura 24 Medida del ngulo entre dos planos, utilizando la proyeccin ciclogrfica (a, b) y polar (c).

Medida del ngulo entre un plano y una lneaEl ngulo entre una lnea y un plano es el mismo que el formado por la lnea y la perpendicular al plano (normal o polo del plano). Este ngulo se mide, en un segundo plano que contiene la lnea y la perpendicular al plano. En proyeccin estereogrfica, el ngulo entre una lnea y un plano se mide en el crculo mayor que contiene a la lnea (L) y al polo del plano (P). Figura 25

Clculo del plano bisector del ngulo entre dos planosEl plano bisector del ngulo entre dos planos, es aquel que contiene a la lnea de interseccin de los dos planos y a la lnea que bisecta el ngulo diedro formado por los dos planos. En el caso de algunos pliegues angulares (kinks, chevron, etc.) es razonable asumir que el plano que bisecta el ngulo entre los dos flancos del pliegue y contiene a la lnea de charnela, es el plano axial del pliegue.

Figura 25 Medida del ngulo entre un plano de orientacin conocida y una lnea L.

Clculo utilizando crculos mayores (proyeccin ciclogrfica)

PROBLEMATenemos las siguientes orientaciones: 275, 60 y 330, 30. Representar utilizando crculos mayores en proyeccin ciclogrfica. Solucin Proyectar ambos planos como crculos mayores. Su punto de corte define la lnea de interseccin de los planos L, cuya orientacin es: 288, 21. Dibujar el plano perpendicular a la lnea de interseccin.

Contar en este plano el ngulo que forman los dos planos y hallar su punto medio (A).

Dibujar el plano que contiene la lnea de interseccin L y el punto medio del ngulo A. Este plano ser bisector del ngulo entre los planos, bien del agudo o del obtuso, segn el que se haya elegido.

En la figura 26, el plano bisector elegido es el correspondiente al ngulo obtuso (100) y su orientacin es 115, 74SO. El punto medio correspondiente al ngulo agudo es el punto B. Uniendo B y L podemos dibujar el plano bisector correspondiente al ngulo agudo. Comprobar que los planos bisectores de los ngulos agudo y obtuso, son perpendiculares entre s.

Figura 26 Clculo de la orientacin del plano bisector entre dos planos conocidos, utilizando la proyeccin ciclogrfica.

Clculo utilizando los polos (proyeccin polar)Proyectar los polos de los planos (P1 y P2) Dibujar el crculo mayor que contiene a los dos polos.La lnea de corte de los dos planos (L), corresponde al polo del plano que contiene a los dos polos anteriores.Contar los ngulos ente polos y hallar sus puntos medios respectivos (A y B). Trazando el crculo mayor que contiene la lnea de corte y cada uno de los puntos medios, obtenemos los planos bisectores agudo y obtuso.PROBLEMAProyectar mediante proyeccin ciclogrfica y polar, las siguientes orientaciones correspondientes a superficies de estratificacin a) 360, 40E; b) N90, 26; c) 45, 90; d) horizontal.

Solucin

Marcar las direcciones dadas en la primitiva y hacerlas coincidir con el dimetro N-S de la falsilla. Contar los buzamientos desde la primitiva hacia el centro, sobre el dimetro E-O. Dibujar los crculos mayores correspondientes.

Sin mover el transparente, con la direccin del plano sobre el dimetro N-S, contar sobre el dimetro E-O el ngulo de buzamiento, desde el centro y en direccin opuesta al sentido de buzamiento del plano. Colocar el polo del plano en ese lugar.

Comprobar que el polo tiene un ngulo de inmersin cuyo valor es complementario al de buzamiento.

Comprobar que el plano y su polo estn a 90 uno de otro, contando el ngulo entre ellos a lo largo del dimetro E-O de la falsilla.

Comprobar que la direccin de la lnea (polo) est a 90 de la direccin del plano. Seguiremos el mismo procedimiento para proyectar cualquiera de los datos del problema. Figura 27.

Figura 27 Resolucin del problema PROBLEMACalcular el valor del ngulo formado entre el plano de orientacin 224, 36 y la lineacin mineral 10, 26.

SolucinComo ya se ha explicado anteriormente, el valor del ngulo formado entre un plano y una lnea, es el mismo que el formado entre la lnea y el polo del plano. Proyectar la lnea L en la transparencia. Proyectar el polo del plano (P1) en la transparencia. Dibujar el crculo mayor que contiene el polo del plano y la lnea. Contar el valor del ngulo a lo largo de este crculo mayor, utilizando los crculos menores. Se ha calculado el valor correspondiente al ngulo agudo, que es de 37.Figura 28

Figura 28 Resolucin del problema

PROBLEMAUn plano de falla de orientacin N16, 32, muestra unas estras de deslizamiento con un ngulo de cabeceo de 30N. En el mismo plano aparece un conjunto de escalones con direccin 150. Orientar ambas lneas mediante direccin e inmersin y calcular el ngulo que forman medido sobre el plano de falla, as como los ngulos entre el plano de falla y cada una de las lneas.

Solucin Proyectar el plano de falla N16, 32 mediante su crculo mayor. Colocar en este plano la lnea correspondiente a las estras, contando desde el norte el ngulo de cabeceo. Llevar la direccin 150 sobre un dimetro vertical de la falsilla y colocar la posicin de los escalones dentro del plano de falla. Colocamos cada una de las lneas sobre un plano vertical de la falsilla, y medimos el ngulo de inmersin. En el caso de las estras medimos su direccin sobre la primitiva que es 42 y su inmersin, 16. La inmersin correspondiente a los escalones es de 24 segn los 150. Proyectamos el polo del plano de falla (F) y dibujamos el plano que contiene este polo y las estras y el plano que contiene el mismo polo y los escalones. En cada uno de estos planos medimos el ngulo entre el plano de falla y estras/ escalones y resulta ser de 90 en ambos casos. Figura 29.

Figura 29 Estereograma correspondiente

APLICACIONES EN CRISTALOGRAFA

La proyeccin de un cristal es una forma de representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional. El mejor mtodo para representar un cristal es la proyeccin clinogrfica

Proyeccin esfrica.Para un estudio detallado de un cristal es necesario reducir a un mnimo su aspecto bien sea tamao y forma. Por otro lado es necesario e importante conocer las relaciones angulares de las caras.Este mtodo consiste en situar las caras de un cristal de acuerdo a sus relaciones angulares sin considerar su tamao ni forma.La proyeccin esfrica de un cristal nos proporciona relaciones axiales importantes debido a que los polos de las caras de una zona se sitan en un crculo mximo de la proyeccin. Figura 30.

Figura 30 Representacin esfrica de un cristal de pirira

7.2. Proyecciones de los cristalesLa proyeccin estereogrfica es una representacin en un plano de la mitad de la proyeccin esfrica. La proyeccin estereogrfica reduce los cristales de una proyeccin tridimensional a una bidimensional preservando la relacin angular de las caras, mostrando de esta manera la verdadera simetra.

El plano de la proyeccin es el plano ecuatorial de la esfera y el crculo primitivo (que limita a la proyeccin) es el propio ecuador. Imaginemos una pelota con un orifico en la parte inferior y con el ojo puesto en este orificio, la interseccin de las miradas con el plano ecuatorial seria la que indicara los polos correspondientes en la proyeccin estereogrfica. Podemos construir una proyeccin estereogrfica trazando lneas desde el polo sur (orificio) a los polos de las caras en el hemisferio norte. Los polos correspondientes en la proyeccin estereogrfica se sitan donde esas lneas cortan al plano ecuatorial.

En el ejemplo anterior las caras del cristal cubico son perpendiculares entre s, por esta razn los polos de dichas caras se proyectan justo sobre la primitiva. Dicho de otra manera los polos perforan a la esfera en 6 puntos, 4 en los bordes y 2 en el centro. Figuras 31a, b, c.

a b

c

Figura 31a, b, c Representacin del cristal de pirita en proyeccin estereogrfica

Se genera un problema cuando se quiere representar una cara inclinada, en este caso se realiza un anlisis trigonomtrico. Figura 32.

Figura 32 Representacin de las caras inclinadas de un cristal, en este caso se recurre al anlisis trigonomtrico. Ntese al observador viendo el interior de la esfera desde un orificio.

Consideremos la cara (011) cuyo polo es visto por el observador desde la parte inferior de la esfera. Este polo perfora la superficie de esta a 45 en el punto A. Al observador le interesa saber a qu distancia de la primitiva se ubica el punto A:El ngulo NOA se denomina rho (). Para determinar la distancia OA en funcin del ngulo se analiza de la siguiente manera:El tringuloSOA es issceles (tiene dos lados iguales)El ngulo OAS = OSA(1) OAS+OSA= SOA = Por lo tanto:2 OSA=(de 1)OSA=/2Donde OS = r, es el radio de la primitiva de la proyeccin tg/2= OA/r (cateto opuesto sobre cateto adyacente)

Despejando se obtiene:

OA= r tg/2Que viene a ser la frmula para hallar la distancia a partir del origen de la proyeccin estereogrfica. Adems de esta medida es necesario determinar tambin su longitud o ngulo phi (). Esto se mide en la primitiva. Figura 33Para = - 45 y = 45 se obtiene la ubicacin siguiente:

Figura 33 Primitiva donde est representado la cara (001)

7.3. Utilizacin de las falsillas estereogrficas en cristalografa

Ya hemos notado, que cuando se conocen los ngulos y es posible ubicar la cara en la falsilla estereogrfica. En primer lugar se ubica la posicin de y luego se calcula la distancia, desde el origen, en donde se ubicar el polo de cara en cuestin.

Ventajas de la falsilla estereogrficaEntre las ventajas de la falsilla estereogrfica se tienen: Se analiza mejor la relacin angular entre las caras de un cristal Se identifica fcilmente las zonas cristalogrficas Se determina fcilmente los ejes de las zonas Se puede reducir una representacin tridimensional a una bidimensional. Basta con ubicar una cara y las otras equivalentes se ubican automticamente.

En la figura 34, se han representado las 6 caras del cristal de pirita del sistema cbico, donde se analiza lo siguiente:

Las caras (100) y (010) forman entre ellas 90 Se observan tres zonas cristalogrficas (ver figura ) Se observan tres ejes de zonas. La zona formada por 4 caras, dos de (100), y dos de (010) tiene como eje de zona a una lnea que pasa por la cara (001).

Figura 34 Falsilla estereogrfica donde se representan las relaciones angulares, las zonas y los ejes de zonas del cristal cubico de pirita

APLICACIONES EN GEOLOGA ESTRUCTURAL

PROBLEMA Dada las fallas: a) rumbo N30 E y buzamiento 40 al NW; b) rumbo N60E y buzamiento 60 al SE; suponiendo que son conjugadas hallar la orientacin de los esfuerzos principales, la direccin y sentido del salto y el ngulo de rozamiento interno.

SolucinRepresentar las fallas en la estereofalsilla solamente como circulo mximo (no es necesario representar ya los rumbos). El punto de interseccin de los buzamientos ser (2).Trazar el crculo mximo de 2. Ser el plano 1 3 y su interseccin con las fallas ser las direcciones de salto.La bisectriz del ngulo que forman los buzamientos y el crculo mximo determina 1. 3 estar a 90de 1y comprendidos en el crculo mximo. El ngulo comprendido entre 1y una de las direcciones de salto de falla es el ngulo .El ngulo de rozamiento interno es: = 90- 2. Como = 42 entonces:= 90- 2 (42)= 08

RESPUESTA Las orientaciones de los esfuerzos principales son:Para 1= N 20 E, 82Para 2=S50 W, 20Para 3= N 40 E, 12El ngulo de rozamiento interno es 08El sentido del salto de las fallas conjugadas es normal por la posicin del 1cerca de la vertical. Figura 35.

Sentido de salto

Figura 35 Falsilla estereogrfica donde se representan las dos fallas conjugadas.

PROBLEMA Dado un plano inclinado N50E con 50 al SE. Hallar su buzamiento aparente en la direccin N70E

Solucin Representar los 50 a la derecha de la falsilla.Girar la transparencia 50 a la izquierda.Calcar el crculo mximo, correspondiente a los 50 de buzamiento contados a partir de la derecha, posicin del E (de afuera hacia adentro). Luego girar a su posicin inicial (cuando los nortes de la falsilla y la transparencia coincidan) Girar el N de la transparencia 20 a la derecha. En esta posicin se hacen las lecturas

RESPUESTAEl buzamiento aparente en la posicin N70E es 24.El cabeceo es N30E que viene a ser el ngulo comprendido entre la primitiva y el punto medido a lo largo de la traza del crculo mximo. Es la distancia angular medida desde el extremo NE del crculo mximo. Para realizar esta lectura es necesario girar la transparencia haciendo coincidir los extremos del crculo mximo con la lnea N-S en su distancia ms corta. Figura 36.

Figura 36 Solucin del problema.

APLICACIONES EN MINERASUBTERRNEA

En una excavacin minera existen tres fallas que se interceptan y que estn ubicadas en el techo. El dip direction y el dip son:

FallasDip directionDip

F13670

F214495

F326255

El ancho de la excavacin es 7 metros y su eje tiene una orientacin de 15 al NE.Hallar el tonelaje de la cua

SOLUCINLos buzamientos de las fallas se representan por los crculos mximos A, B,C.Los rumbos de las fallas por las lneas a, b, c. Las aristas de la pirmide por las letras ab, ac, bc.Se forma una cua por la interseccin por lo menos de tres buzamientos

El vrtice de una cua siempre est en el centro de la red de tal manera que se hace sencillo el anlisis de su estabilidad. En planta este punto est definido por la interseccin de las lneas ab, ac, bc.

La base de la cua est definido por la interseccin de los tres buzamientos y aparece achurad en el ejemplo.

Las lecturas de los valores de los ngulos aparentes alfa () y beta () se obtienen girando la transparencia hasta hacer coincidir el eje del tnel con el dimetro N- S.

La altura (h) de la cua se obtiene construyendo una seccin perpendicular al eje de la excavacin y que pase por el vrtice. Figura 37.

El volumen de la cua es 1/3 del rea de la base (triangulo) por su altura de la cuaDatos pe= 2,7 TN/m3= 70=80Altura de la cua= 4.5mrea del triangulo Clculos:Base x altura/24,9m x 7,6m/2 = 18,62m2Volumen de la cua 1/3(rea de la base x h de la cua) 18,62m2 x 4,5m/3= 27,93m3Tonelaje: Volumen de la cua x peTonelaje=27, 93 m3 x 2, 7 TN/m3= 75,411TN

Figura 37 Representacin mediante estreo falsillas de una cua en minera subterrnea.

APLICACIONES EN MINERA A TAJO ABIERTO

Figura 38 Falla circular generada en roca fuertemente fracturada

Figura 39 Falla en cua, generada por dos fallas que se interceptan

Falla en cua:El mecanismo del deslizamiento de una falla en cua a lo largo de la lnea de interseccin de dos fallas puede ser evaluado de una manera sencilla mediante las estero falsillas:Orientacin de las estructuras y zonas de debilidad: Las fallas que conforman planos de debilidad preexistentes.La estratificacin o estructuras que buzan hacia el talud, pueden ser superficies susceptibles a deslizamientos.

Anlisis de cuas:

Figura39 Las intersecciones de las fallas con la cara y superficie superior del talud

La superficie superior puede ser inclinada con respecto a la cara del talud. La altura total del talud, es la diferencia vertical entre los extremos ms alto y ms bajo de la lnea de interseccin a lo largo del cual se asume que podra ocurrir el deslizamiento.Las condiciones del problema son: La distribucin del agua se asume que est basado en la hiptesis de que la cua es impermeable y que el agua ingresa por la parte superior de la cua (lneas 3 y 4) y sale por (1 y 2). Se asume que el deslizamiento de la cua siempre es a lo largo de la lnea de interseccin 5.

La numeracin de lneas de interseccin de los planos que intervienen en este problema es:Interseccin de falla A con cara del talud.Interseccin de falla B con cara del talud.Interseccin de falla A con la superficie superior.Interseccin de falla B con la superficie superior.Interseccin de fallas A y B.

El factor de seguridad de este talud ser:

Donde: CA y CB=Cohesin de las fallas A y B.A y B =ngulos de friccin de las fallas A y B=Peso especfico de la roca. w =Peso especfico del aguaH =Altura total de la cuaX,Y,A y B =Factores dimensionales dependientes dela geometra de la cua.

Ay B =Buzamiento de las fallas A y B.5 = Buzamientos de la lnea de interseccin 5.

Los ngulos requeridos para la solucin de estas ecuaciones son medidos en las proyecciones estereogrficas de los datos que definen la geometra de la cua y el talud.

PROBLEMA

Se tienen los siguientes datos. Hallar el FS

FALLASRUMBOBUZAMIENTOPROPIEDADES

AN1550A = 20CA = 2446.34 Kg/m2

BN14575B = 30CB = 4892.69 Kg/m2

CARA DE TALUDN9565 = 2568.34 Kg/m3

SUPERFICIE SUP.N19512W = 1000 Kg/m3

La altura total de la cua es: H = 40 m.

Solucin:

La proyeccin estereogrfica de las fallas, la cara del talud y superficie y los ngulos requeridos se muestran en el siguiente grfico. Figura 40.

Figura 40 Proyeccin estereogrfica donde se representan las fallas A y B, la cara y la superficie superior del talud. Las diversas intersecciones definen los ngulos requeridos para la solucin del problema.

APLICACIONES GEOLGICAS DE LAS PROYECCIONES ESTEREOGRFICAS

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A = 50 cosA= 0.6428

B = 75cosB= 0.25885 = 36sen5= 0.5878NANB = 109cos NANB = 0.3256

senNANB = 0.9455

24 = 55sen24 = 0.819245 = 30sen45 = 0.50002NA= 67cos2NA= 0.3907

13 = 54sen13 = 0.809035 = 35sen35 = 0.57361.NB = 72cos1.NB= 0.3090

A =20tgA = 0.3640B =30 tgB = 0.5774

w=1000 Kg/m33CA /H= 0.0714 =2568.34 Kg/m3CA=2446.34 Kg/m2 3CB /H= 0.1428CB=4892.69 Kg /m2APLICACIONES GEOLGICAS DE LAS PROYECCIONES ESTEREOGRFICASH=40m.

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APLICACIONES EN CLCULO DE TENSIONES

Las tensiones en el seno de una masa rocosa pueden ser resueltas en trminos de las tensiones normales y tangenciales que actan sobre un plano determinado, como una falla, mediante proyecciones estereogrficas.

La figura muestra las tensiones sobre un elemento infinitesimal. Sumando las fuerzas en las direcciones x, y, se deducen que las tensiones sobre el plano oblicuo son: = 1 sen2T= 1sencos

Siendo el ngulo formado por el plano principal mayor y el plano oblicuo. La tensin resultante cumple las siguientes relaciones:

2=2+T2=21 cos4+21 sen2 cos2= (cos2 + sen2) 2 1 cos2 donde cos2 +sen2=1; por lo tanto: 2 = 21 cos21= 1 cos

Como la tensin resultante sobre este elemento debe tener una direccin opuesta a 1en este caso la direccin x se designa como x. Con2 en direccin de Y y3 en direccin Z pueden establecerse ecuaciones anlogas es decir: y= 2cos y z= 3 cos , siendo y los ngulos que forman yz con el polo del plano oblicuo. La resultante de las tensiones sobre el plano oblicuo Ten condiciones de tensin triaxial se determina a partir de sus componentes:

2= 2x+2y+2z2= 21cos +22cos +23cos 2= 21l2 +22m2 +23n2

Siendo l, m, n los cosenos directores del polo del plano oblicuo

El procedimiento para resolver la tensin resultante en trminos de sus componentes normal y tangencial puede exponerse ms claramente mediante un ejemplo.

Ejercicio

Se tiene un plano de falla con una orientacin N135, 20 en un campo de tensiones:

S1=703kg/cm2 a 9, 38S2=351.5kg/cm2 a 135, 36 y S3=210.8kg/cm2 a 250, 32

Siendo de compresin todas las tensiones.

Solucin

Para estudiar la estabilidad de un bloque con deslizamiento incipiente sobre un plano deben de hallarse las componentes normales y tengencial de las tensiones ejercidas por el plano sobre el bloque. Los ejes x, y, z tienen la direccin respectiva S1, S2, S3

Las tensione ortogonales de son

x = cos A=ay= cos B=bz= cos C=c

Para obtener la solucin se comienza representando y S1, S2, S3 ,Px= polo del plano oblicuo. Se miden los ngulos , y : (figuras 41, 42, 43)l= cos 36 = 0.81m=cos 76 = 0.24n=cos 57= 0.542= 21l2 +22m2 +23n22= (703 x0.8)2 +(351.5 x0.24)2 +(210.8 x 0.54)22= 340472.3kg/cm2= 583.5kg/cm2Por lo tanto a= (703) (0.81/583.5)= 0.975b= (351.5) (0.24/583.5)=0.141c= (210.8) (0.54/583.5)=0.186a= 13b= 82c= 79Para determinar la orientacin de l basta con situar la proyeccin de su inversa () que se representara en el hemisferio inferior.Para determinar y T sobre el plano de falla es necesario hallar el ngulo formado por T y p el cual se obtendr haciendo pasar un plano por () y p obtenindose el ngulo de 26= 583.5 cos 26= 520.22kg/cm2T= 583.5 sen 26=263.08kg/cm2

Figura 41 Forma de hallar P

Figura 42 Representacin de los ngulos , y y de S1, S2, S3

Figura 43 Forma de determinar el ngulo

El anlisis de estabilidad puede hacerse utilizando la ecuacin de Mohr para el esfuerzo cortante:T=C+(-u) tg

Siendo T la tensin tangencia en el plano de rotura, c la cohesin entre las superficies, la tensin normal entre los planos producidos por el rgimen tensional de la zona, u, la presin del agua entre los planos y el ngulo de rozamiento interno.APLICACIONES EN PETROLOGA ESTRUCTURAL

El anlisis petrofbrico no es solo el estudio de las relaciones espaciales de las unidades que componen una roca sino que se refiere tambin a los movimientos que produjeron esa distribucin.

El anlisis petrofbrico se puede usar para investigar la deformacin de las rocas como tambin la gnesis de las rocas sedimentarias e gneas.

Petrologa estructural se ocupa de las rocas deformadas y de su historia tectnica.

Fabrica estructural se refiere al arreglo o distribucin de las unidades que componen cualquier clase de forma externa. Estas formas pueden ser tomos, granos de mineral, pliegues etc.

Tcnicas de laboratorioSe preparan secciones delgadas para el estudio microscpico, la que pueden cortar en cualquier direccin que se desee. Pero si se va a preparar una sola seccin, esta se corta generalmente perpendicular a la esquistosidad. Es necesario dar instrucciones bastante cuidadosas a las personas que preparan las secciones delgadas.

Para describir la fbrica de la rocas deformadas se usa un juego convencional de tres ejes de referencia mutuamente perpendiculares, estos tres ejes estn realmente definidos dilemticamente, es decir con relacin a los movimientos en la roca

La lnea c es perpendicular al plano que contiene la lineacin, a es la direccin del movimiento en este plano, mientras que b que est tambin en este plano es perpendicular a la direccin del movimiento.es evidente que se introduce inmediatamente un elemento subjetivo en la rotulacin de la muestra. Por ejemplo una lineacin representada por espejos de friccin es paralela a a, una veta de minerales (streaming) es igualmente paralela a a

La seccin delgada se estudia primero por los mtodos microscpicos comunes y se determina los minerales. Se prepara un diagrama petrofbrico. los minerales estudiados ms comnmente son el cuarzo biotita, muscovita y calcita. El diagrama puede estar basado en las siguientes propiedades del mineral: el retculo espacial, el clivaje, el maclado, o la forma del mineral.

Ejes de referencia

Muchos trabajos sobre lineaciones usan un sistema de ejes de referencia. Desgraciadamente, existen confusiones sobre cmo se deben establecer los ejes de referencia. Estos se podran por lo que se ve en la roca o por los movimientos que se supone que han producido a las estructuras observadas.Imaginemos una baraja de naipes estos se deslizan sistemticamente una sobre otra figura 44.

a= direccin del movimiento de los naipes.b= direccin en el plano de los naipes perpendicular a la direccin del movimiento.

c= direccin perpendicular al plano de los naipes.Los ejes de todos los pliegues que se formen bajo este sistema de esfuerzos sern paralelos a b.

Figura 44 Ejes de referencia para lineacin. Hojas que se deslizan en la direccin a

12.3. Simetra de la fbrica

La fbrica de las rocas se puede clasificar de acuerdo con su simetra de manera algo parecida a la forma en que los minerales se pueden agrupar en sistemas cristalogrficos. En realidad, la terminologa que se usa para describir la simetra de las rocas ha sido tomada en parte de la mineraloga. Se pensaba anteriormente que la simetra de la fbrica de las rocas guardaba una relacin bastante simple y directa con los movimientos en la roca durante su formacin y deformacin. Se comprende ahora, sin embargo que la relacin es ms complicada que eso, y que es difcil hacer generalizaciones amplias. Se debe considerar cada caso individualmente, Adems la simetra que exhibe una muestra de campo puede diferir de la que revela un diagrama petrofbrico preparado con una seccin delgada. En consecuencia se debe una distincin clara entre la simetra de fbrica megascpica y la simetra de fbrica microscpica.

Las cuatro clases de simetra de las fbricas son: Esferoidal o axial Rmbica u ortorrmbica Monoclnica TriclnicaLa simetra esferoidal (simetra axial) es la de un esferoide, ya sea achatado o alargado, hay un eje de simetra; es decir la fabrica es la misma en todas las direcciones perpendicular al eje. Figura 45

Un ejemplo macroscpico, es un esquisto que carece de lineacin. La fbrica es uniforme en todas las direcciones dentro del plano de esquistosidad.

Figura 45 La simetra esferoidal

La simetra ortorrmbica (simetra rmbica) es la de un elipsoide; los tres ejes son de longitudes desiguales. Figura 46

Figura 46 Simetra ortorrmbica

La simetra monoclnica se caracteriza por un nico plano de simetra que es perpendicular a la lineacin. Figura 47

Figura 47 La simetra monoclnica

La simetra triclnica que no tiene plano de simetra. Figura 48

Figura48 La simetra triclnica. Las rayas verticales representan un mineral oval que yace en el plano de esquistosidad

12.4. Simetra de movimiento

Durante la formacin o deformacin de las rocas, los granos individuales se mueven bajo la influencia de una fuerza externa.

Los sedimentos detrticos se depositan en cuerpos de aguas quietas bajo la influencia de la gravedad o en aguas corrientes, bajo las influencias combinadas de la gravedad y de la corriente. En las rocas deformadas, los granos individuales se mueven bajo la influencia de fuerzas tectnicas. Cada tipo de movimiento se caracteriza por una simetra particular.

La simetra axial de movimiento est tipificado por la disposicin de sedimentos en agua quietas. Las partculas individuales se mueven perpendicularmente a la superficie de la tierra bajo la influencia de la gravedad. Paralelamente a la superficie de la tierra todas las direcciones son iguales e intercambiables con relacin al movimiento. La simetra es la de un esferoide y es referible a un eje. Figura 49.

Figura 49 Simetra axial de movimiento

La simetra ortorrmbica de movimiento est representada por el movimiento que se produce cuando se constrie por dos lados opuestos una esfera sujeta a compresin simple que acta a lo largo de una lnea vertical. La esfera se deforma en un elipsoide. Figura 50.

Figura 50 Simetra ortorrmbica de movimiento

Se produce la simetra monoclnica de movimiento cuando los naipes de una baraja se deslizan unos contra otros debido a cizallamiento. Cada naipe se mueve en la misma direccin en relacin con el que est directamente debajo. Las superficies a lo largo de las cuales tiene lugar el movimiento son los planos de deslizamiento. Figura 51

Figura 51 Simetra monoclnica de movimiento

La simetra triclnica de movimiento se puede ilustrar con el siguiente ejemplo:El agua que fluye en un rio podra representar una simetra monoclnica de movimiento, si se desprecia el efecto de la friccin contra las orillas. Debido a la friccin las capas del fondo se mueven ms lentamente que las superiores. Todas las partculas individuales de agua se mueven directamente corriente abajo, pero las que estn cerca a la superficie se mueven ms rpidamente. Sin embargo las irregularidades y la resistencia friccional de las orillas pueden causar remolinos alrededor de los ejes verticales, estos remolinos se sobre imponen en el movimiento corriente abajo. Este es de carcter triclnico. Figura 52.

Figura 52 Simetra triclnica de movimiento

Correlacin entre simetra de fbrica y simetra de movimiento.

Un objetivo de la petrologa estructural es el de determinar la naturaleza del movimiento actuante en la formacin y deformacin de las rocas. En muchos casos la simetra de fbrica y la simetra de movimiento se pueden correlacionar directamente; es decir, una simetra axial de fbrica puede indicar una simetra axial de movimiento y una simetra monoclnica de fbrica puede indicar una simetra monoclnica de movimiento.

Las pequeas hojuelas de mica que se depositan en aguas quietas son un ejemplo de simetra axial de movimiento. Estas hojuelas quedaran acostadas sobre el fondo del cuerpo de agua. Si se cortara una seccin delgada paralela a la estratificacin y si el diagrama petrofbrico se prepara para las normales al clivaje de la mica, aparecera un mximo en el centro. Es decir el diagrama mostrar simetra axial. En consecuencia, un movimiento axial producir una fbrica axial.