aplicaciÓn del mÉtodo de las deformaciones

CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.CATEDRA DE ESTRUCTURAS III FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

1111 www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htmwww.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES

RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURASIng. CARLOS A. VERDI

Ing. CLAUDIO F. PERNICEDIEGO J. CERNUSCHI

INTRODUCCION

Resolver una estructura implica conocer la relación causa-efecto y estos pueden ser unos uotros estáticos o cinemáticos, en otras palabras significa que a partir de las cargas laresolución de la estructura nos permitirá saber el valor de las reacciones exteriores y losdesplazamientos, el estado de solicitación interna y su deformación en cualquier punto, bajocualquier carga, estática o cinemática.

El método de las deformaciones permite resolver estructuras que poseen indeterminacióncinemática, utilizando como incógnitas a los desplazamientos de los nudos.

En este método suponemos descompuesta la estructura en barras y nudos (nodos), lasprimeras son rectas y poseen características mecánicas uniformes y los segundos vinculan lasbarras entre ellas. Además estas barras están resueltas para cualquier solicitación estática ocinemática, cuya solución se obtuvo mediante el método de las fuerzas.

Definiremos Indeterminación Cinemática a la cantidad de desplazamientos nodalesdesconocidos. Este método tiene la particularidad que si bien tiene como objetivo principalresolver estructuras hiperestáticas, lo que realmente resuelve son estructuras que tienenindeterminación cinemática las que pueden ser tanto hiperestáticas como isostáticas. En estasúltimas se pueden obtener los desplazamientos nodales por un procedimiento indirecto o seaprimero encontrando las solicitaciones internas N, Q y M mediante la utilización de lasecuaciones de estática, y luego aplicando el TFV encontrar los desplazamientos deseados. ElMétodo de las Deformaciones no hace distingo con relación a la indeterminación estática,porque su objetivo es otro: el conocimiento de la cinemática general de la estructura paraluego a partir de la misma obtener las solicitaciones internas. El método de las fuerzas operaal revés o sea primero encuentra las fuerzas y luego la cinemática de las estructuras.

Para poder aplicar el método, a igual que en el método de las fuerzas debemos previamentehaber predimensionado la estructura, o sea que debemos tener la estructura definida por sugeometría (dimensiones) y propiedades mecánicas (material).

PLANTEO DEL MÉTODO (METODOLOGÍA GENERAL)

1.- Enunciado del problema: se define la estructura eligiendo una nomenclatura alfabética onumérica para designar los nudos y barras. Cada barra queda determinada en cuanto alsentido de sus coordenadas locales teniendo como origen el nudo designado como nudoinicial de la barra y sentido positivo hacia el nudo designado como final.

El sistema global de coordenadas será único y sobre él estarán referenciados los nudos.

2.- Incógnitas cinemáticas: Designamos por “n” al número de incógnitas (Ui) del método yque determina los grados de libertad que tienen los nudos de la estructura, o lo que es lomismo el número de desplazamientos libre (traslaciones y rotaciones) que pueden



experimentar dichos nudos. Estas incógnitas cinemáticas Ui se las designa según el sistemaglobal de coordenadas y por lo tanto su dirección positiva coincide con dicho sistema.

3.- Estructura fundamental: se modifica la estructura que es cinemáticamente indeterminadaen una determinada; para tener una solución resuelta solicitada por el sistema de cargasdado. Esta estructura modificada se llama estructura fundamental o primaria y su soluciónbajo las cargas se llama solución particular del problema en la cual las incógnitas valencero (Uj=0).

La estructura fundamental se logra agregando vínculos en cada dirección nodal libre. Deesta manera todos los nudos quedan empotrados y de esta manera todas las barras estaráncon una condición de vinculación en sus extremos del tipo empotrada-empotrada,empotrada-articulada o articulada-articulada cuya solución conocemos. De esta forma cadabarra puede ser analizada independientemente de su vecina.

El análisis de cada barra individual bajo las cargas actuantes efectuada en forma conocidaconstituye la solución particular. El agregado de vínculos a la estructura por un ladoimpide los desplazamientos y por otro generan fuerzas reactivas que en la estructuraoriginalmente no estaban modificando el sistema de fuerzas nodales. La restitución delequilibrio original se realiza mediante la solución complementaria.

La estructura fundamental, nos dará la solución particular del problema, es una estructuraideal con todos los nudos bloqueados (Ui=0), con las cargas en las barras y cargasaplicadas directamente a los nudos.

4.-Solución complementaria: Esta solución tiene como misión restituir las condicionesmodificadas en la estructura fundamental por el agregado de vínculos a través de losdesplazamientos (Ui) que son las incógnitas de método. Estas soluciones se denominancomplementarias; las que sumadas a la solución particular (fundamental) nos dan lasolución completa del problema.

La solución complementaria que restituye el equilibrio de nudos, que no ofrece la soluciónprimaria donde los desplazamientos son nulos (Ui=0), consiste en determinar losdesplazamientos (traslaciones y rotaciones) de nudos necesarios para verificar el equilibriode los mismos, mediante las acciones que ellos generan.

La solución complementaria consiste en imponer a la estructura libre de cargas, losverdaderos valores de los desplazamientos (Ui) que experimentarán los nudos de laestructura, impedidos en la solución particular y lo hacemos dando cada uno de dichosdesplazamientos por vez, permaneciendo la estructura bloqueada para los restantes.

Así, si damos el desplazamiento U1 únicamente, para que la estructura mantenga esacondición de desplazamiento es necesario aplicar en los nudos y en dirección de lasincógnitas cinemáticas fuerzas de fijaciones fuerzas reactivas (R11; R21... Rij)que seránigual a la suma de las fuerzas que actúan en los extremos de barras afectadas por eldesplazamiento dado. Estas fuerzas tienen por misión mantener la estructura con losdesplazamientos impuestos.

5.- Ecuaciones de equilibrio: Finalmente una vez aplicados todos los desplazamientosincógnitos (Ui) se habrá alcanzado el estado cinemático final de la estructura y cada nudodeberá estar en equilibrio. Para poder cumplir esta exigencia se plantearán “n” ecuaciones



de equilibrio en dirección de las incógnitas cinemáticas (U1,....Un). Estas se denominanecuaciones de equilibrio, y determinarán qué valores de las incógnitas originarán fuerzasnodales que anulen las fuerzas de la solución particular (sistema fundamental)

Este es el momento de considerar el equilibrio de los nudos, donde debemos incluir todasfuerzas aplicadas directamente en los mismos, y debe incluir a las provenientes de lascargas exteriores (causas) y a las fuerza de las soluciones particulares y complementariasdescriptas anteriormente y que son reactivas, las carga de nudos deberán aparecer del otrolado de la igualdad con su propio signo.

Por ejemplo:

R10 + R11 + ... + R1j = P1

R20 + R21 + ... + R2j = P2

R30 + R31 + ...+ R3j = M3 (suponiendo que M sea un momento aplicado en ladirección de la incógnita U3)

Definiendo una expresión Kij como coeficiente de rigidez de nudo, que se define como: esla fuerza reactiva que aparece en la dirección i cuando solamente en la dirección j seimpone un desplazamiento unitario. Su valor se obtiene sumando las fuerzas reactivasque aparecerán en los extremos de barras en la dirección de la incógnita Ui, cuando se daun desplazamiento o giro en la dirección de la incógnita Uj, de valor unitario, y por lotanto podemos indicar:

Pij = kij . Uj

Las ecuaciones anteriores se pueden expresar reemplazando la anterior expresión:

P10 + k11 U1+... + k1j Uj = P1

P20 + k21 U1+... + k2j Uj = P2

P30 + k31 U1 + ...+ k3j Uj = M3

En general podemos expresar

Pio + k1j U1 + ........+ kij Uj = Pj

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores obtenemos U1, U2 ... Uj, luego para obtenerlos esfuerzos internos en la estructura hacemos lo siguiente:

M = M0 + M1 U1 + M2 U2 + ...+ Mj Uj

Q = Q0 + Q1 U1 + Q2 U2 + .... +Qj Uj

N = No + N1 U1 + N2 U2 + ...+ Nj Uj

COMPORTAMIENTO DE UNA BARRA ANTE DESPLAZAMIENTOS IMPUESTOS

A modo de repaso veremos las rigideces de una barra. Para un desplazamiento unitarioimpuesto obtendremos las fuerzas correspondientes en extremo de barra para distintasvariantes de vinculación.



Barra empotrada-empotrada con giro unitario impuesto

2

6

l

EJ2

6

l

EJ

l

EJ4

l

EJ2

2

6

l

EJ2

6

l

EJ

Q

l

EJ4 l

EJ2−

M

Barra empotrada-empotrada con desplazamiento transversal unitario impuesto

3

12

l

EJ

3

12

l

EJ2

6

l

EJ

2

6

l

EJ

3

12

l

EJ3

12

l

EJ

Q

2

6

l

EJ 2

6

l

EJ−

M

Barra empotrada-articulada con giro unitario impuesto

l

EJ32

3

l

EJ2

3

l

EJ

2

3

l

EJ2

3

l

EJ

Q



l

EJ3

M

Barra empotrada-articulada con desplazamiento transversal unitario impuesto

2

3

l

EJ3

3

l

EJ3

3

l

EJ

3

3

l

EJ3

3

l

EJ

Q

2

3

l

EJ

MEn este caso el desplazamiento transversal se produce en el apoyo que se encuentraempotrado. A idéntica solución se llega si el desplazamiento se produce en el apoyoarticulado.

Barra articulada-articulada con desplazamiento axil unitario impuesto

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

NLa solución de desplazamiento axil unitario también es válida para las barras empotrada-empotrada y empotrada-articulada.



ESQUEMA DE LA ESTRUCTURA

AB

BC

CD AC

2 T×m

0.01 m

10 T

4 T/m

A

B

C

D

∆Ti=10oC ∆Ts=50oC

4 m

3 m 3 m

VALORES DE LAS CARGAS

Cargas EstáticasP = 10 TnM = 2 Tn×mq = 4 Tn/m

Desplazamiento de vínculo impuestoδA = 0.01 m

Cargas térmicas∆Ti = 10 ºC∆Ts = 50 ºC

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICASTodas las barras (salvo el tensor AC) tienen la sección transversal constante del siguienteancho y altura:b = 0.20 mh = 0.40 m

CARACTERÍSTICAS MECÁNICASJ = b × h3 / 12 = 0.001067 m2

A = b × h = 0.08 m2

Atensor = 0.0010 m2 (∅=0.0357m)

CARACTERÍSTICAS DE LOS MATERIALESHormigón Eh = 3000000 Tn/m2 λ=1×10-5 1/oCAcero (tensor)Ea = 21000000 Tn/m2 λ=1×10-5 1/oC



ESTRUCTURA FUNDAMENTAL

Determinaremos a continuación el grado de indeterminación cinemática para llegar a plantearel fundamental para el método de las deformaciones. Sabemos que cada nudo tiene 3 gradosde libertad (dos desplazamientos y un giro).

Nudos (4 nudos × 3 direcciones por nudo) 12 direcciones libres –

Vinculación ExternaEmpotramientos (2 × 3 direcciones) 6 direcciones restringidas

Indeterminación cinemática (grados de libertad) 6 direcciones libres

Por lo tanto tendremos seis incóngitas cinemáticas en nuestra estructura fundamental. Ellasserán el desplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical y la rotación del nudo B y eldesplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical y la rotación del nudo C.Identificaremos las incógnitas sobre la estructura.

AB

BC

CD AC

A

B C

D

u1

u2

u3 u4

u5

u6

Incógnitas cinemáticas

RIGIDECES kij

El fundamental planteado previamente cumple con la compatibilidad de deformaciones encada nudo de la estructura.Para garantizar el equilibrio en cada nudo se deben plantear las ecuaciones de equilibrio delmétodo de las deformaciones, las que pueden expresarse como

ioiiijuk pp =+

donde pi es la fuerza en la estructura correspondiente con la incógnita Ui. Cada una de lasecuaciones es de por sí una ecuación que suma fuerzas en la estructura fundamental paraigualarlas con las fuerzas existentes en la estructura original.



Cada uno de los términos kij de la matriz rigidez es la fuerza correspondiente con la incógnitaUi cuando en Uj actúa un desplazamiento unitario. Ante cualquier desplazamiento unitarioconocemos las fuerzas que se generan en los nudos ya que las barras empotrada-empotrada,empotrada-articulada y articulada-atriculada tienen una solución conocida. Restará entoncesevidenciar estas fuerzas sobre los nudos y hallar su valor en la dirección de la incógnitacorrespondiente para poder hallar la matriz rigidez.

Aplicamos entonces desplazamientos unitarios a cada una de las incógnitas para poder hallarlas rigideces kij.

Desplazamiento U1 unitario

AB

BC

CD AC

BC

BCEAl BC

BCEAl

2

6

AB

ABEJ

l

3

12

AB

ABEJ

l

2

6

AB

ABEJ

l

3

12

AB

ABEJ

l

Siendo el desplazamiento U1 unitario podremos hallar las rigideces ki1 dado que fisicamentees la magnitud estática resultante en la dirección de la incógnita i cuando en la dirección de U1

actúa un desplazamiento unitario

A

B C

D

k11

k21

k31 k41

k51

k61

Centremos entonces nuestra atención en el nudo B donde se encuentran las incógnitascinemáticas U1, U2 y U3



BCBC

BCEAl

2

6

AB

ABEJ

l

3

12

AB

ABEJ

l

B

AB

k11

k21

k31

la rigidez k11 será la fuerza en la dirección de 1 cuando U1 es unitario, resultando ser la sumade fuerzas horizontales que actúan sobre el nudo B

k11 = 3

12

AB

AB

BC

BC EJEA

ll+ = 80000 + 600 = 80600

del mismo modo k21 será la fuerza en la dirección de 2 cuando U1 es unitario, al no haberfuerzas verticales en el nudo la rigidez es nula

k21 = 0

k31 se obtiene con el momento resultante en el nudo B entonces tendremos

k31 = 2

6

AB

ABEJ

l = 1200

Las incógnitas cinemáticas U4, U5 y U6 se encuentran en el nudo C, de modo que para hallarlas restantes rigideces correspondientes con el desplazamiento U1 unitario debemos analizareste nudo.

BC

CD

BC

BCEAl

C

k41

k51

k61

la rigidez k41 será la fuerza en la dirección de la incógnita 4 cuando U1 es unitario, en estecaso será



k41 = BC

BCEA

l− = –80000

Vemos que k41 es negativa ya que la fuerza está en sentido opuesto al de la incógnita U4.

Al no haber magnitudes estáticas correspondientes con las incógnitas U5 y U6, las rigidecesk51 y k61 serán nulas

k15 = 0

k16 = 0

Hallaremos a continuación las reacciones en los vínculos externos para U1 unitario

RxA RyA RzA RxD RyD

-600 0 1200 0 0

Los diagramas de solicitaciones para U1 unitaria serán los siguientes

AB

BC

CD AC

-80000

Diagrama de esfuerzo axil para U1=1

AB

BC

CD AC

-600

Diagrama de esfuerzo de corte para U1=1



AB

BC

CD AC

-1200

1200

Diagrama de momentos para U1=1


AB

BC

CD AC

AB

ABEAl

2

6

BC

BCEJ

l

3

12

BC

BCEJ

l

2

6

BC

BCEJ

l

3

12

BC

BCEJ

l

AB

ABEAl

Haciendo un análisis similar al realizado para U1 unitario, podemos hallar las rigideces ki2,

A

B C

D

k12

k22

k32 k42

k52

k62



k12 = 0

k22 = 3

12

BC

BC

AB

AB EJEA

ll+ = 60000 + 1422.22 = 61422.22

k32 = 2

6

BC

BCEJ

l= 2133.33

k42 = 0

k52 = 3

12

BC

BCEJ

l− = –1422.22

k62 = 2

6

BC

BCEJ

l = 2133.33

Las reacciones en los vínculos externos son

RxA RyA RzA RxD RyD

0 -60000 0 0 0

Los diagramas de esfuerzos para U2 unitario resultan

AB

BC

CD AC

6000060000




AB

BC

CD AC

-1422.23


AB

BC

CD AC

-2133.34

2133.34



AB

BC

CD AC

BC

BCEJ

l

4 2

6

BC

BCEJ

l

BC

BCEJ

l

22

6

BC

BCEJ

l

AB

ABEJ

l

4

2

6

AB

ABEJ

l

2

6

AB

ABEJ

l

AB

ABEJ

l

2



A

B C

D

k13

k23

k33 k43

k53

k63

k13 = 2

6

AB

ABEJ

l= 1200

k23 = 2

6

BC

BCEJ

l= 2133.33

k33 = BC

BC

AB

AB EJEJ

ll

44+ = 3200 + 4266.66 = 7466.66

k43 = 0

k53 = 2

6

BC

BCEJ

l− = –2133.33

k63 = BC

BCEJ

l

2 = 2133.33


RxA RyA RzA RxD RyD

-1200 0 1600 0 0

Diagramas de solicitaciones para U3 unitario



AB

BC

CD AC

-1200

-2133.34


AB

BC

CD AC

-1600

3200

-4266.66

2133.33





AB

BC

CD AC

BC

BCEAl

2

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅3

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅

BC

BCEAl

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅CD

CDCD xEAl

∆⋅

3

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅

α β

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅

α

β

α u4=1

1

β

C

∆yCD∆xCD

∆xAC

α = β = tan-1 (4/3) =53.13 o

∆xAC = 1 ⋅ cos α = 0.6

∆xCD = 1 ⋅ cos β = 0.6

∆yCD = 1 ⋅ sen β = 0.8

Estamos en condiciones de hallar las rigideces ki4.

A

B C

D

k14

k24

k34 k44

k54

k64



k14 = BC

BCEA

l− = –80000

k24 = 0

k34 = 0

k44 = )sen(3

)cos()cos(3

βαβ CD

CD

CDAC

AC

ACAceroCD

CD

CD

BC

BC yEJ

xAE

xEAEA

∆+∆+∆+llll

= 98841.16

k54 = )cos(3

)sen()sen(3

βαβ CD

CD

CDAC

AC

ACAceroCD

CD

CD yEJ

xAE

xEA

∆+∆+∆−lll

= –20987.14

k64 = CD

CD

CD yEJ

∆2

3

l = 307.2


RxA RyA RzA RxD RyD

-1512 -2016 0 -17329.15 23003.14

Los siguientes son los diagramas de esfuerzos internos para U4 unitario

AB

BC

CD AC

80000

-28800

2520




AB

BC

CD AC

-61.44


AB

BC

CD AC

-307.20



3

12

BC

BCEJ

l

AB

BC

CD AC

2

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅

3

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅CD

CDCD xEAl

∆⋅

3

3

CD

CDCD yEJ

l

∆⋅

α β

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅

2

6

BC

BCEJ

l

3

12

BC

BCEJ

l

2

6

BC

BCEJ

l



α

β α

u5=11

β

C

∆yCD

∆xCD∆xAC

α = β = tan-1 (4/3) =53.13 o

∆xAC = 1 ⋅ sen α = 0.8

∆xCD = 1 ⋅ sen β = 0.8

∆yCD = 1 ⋅ cos β = 0.6

Las rigideces ki5 son las siguientes

A

B C

D

k15

k25

k35 k45

k55

k65

k15 = 0

k25 = 3

12

BC

BCEJ

l− = –1422.22

k35 = 2

6

BC

BCEJ

l− = –2133.33

k45 = )sen(3

)cos()cos(3

βαβ CD

CD

CDAC

AC

ACAceroCD

CD

CD yEJ

xAE

xEA

∆+∆+∆−lll

= –20987.14



k55 = )cos(3

)sen()sen(12

33βαβ CD

CD

CDAC

AC

ACAceroCD

CD

CD

BC

BC yEJ

xAE

xEAEJ

∆+∆+∆+llll

=34857.87

k65 = 22

63

BC

BCCD

CD

CD EJy

EJ

ll−∆ = –1902.93


RxA RyA RzA RxD RyD

-2016 -2688 0 23003.14 -30747.65

A continuación se muestran los diagramas de esfuerzos internos para U5 unitario

AB

BC

CD AC

384003360


AB

BC

CD AC

1422.23

-46.08




AB

BC

CD AC

-2133.33

2133.33

-230.40



AB

BC

CD AC

BC

BCEJ

l

4

2

6

BC

BCEJ

l

BC

BCEJ

l

2

2

6

BC

BCEJ

l

CD

CDEJ

l

3

2

3

CD

CDEJ

l

2

3

CD

CDEJ

l

A

B C

D

k16

k26

k36 k46

k56

k66

k16 = 0

k26 = 2

6

BC

BCEJ

l = 2133.33



k36 = BC

BCEJ

l

2 = 2133.33

k46 = αcos3

2CD

CDEJ

l = 307.2

k56 = 22

6sen

3

BC

BC

CD

CD EJEJ

ll−α = –1902.93

k66 = CD

CD

BC

BC EJEJ

ll

34+ = 6186.66


RxA RyA RzA RxD RyD

0 0 0 -307.2 -230.4

Diagramas de esfuerzos resultantes para U6 unitario

AB

BC

CD AC

-2133.33

-384.00




AB

BC

CD AC

-2133.33

4266.66

-1920.00


TERMINOS DE CARGAS poi

Los términos de carga poi son las fuerzas en la dirección de Ui cuando sobre las barras del

fundamental actúa un determinado estado de cargas. Si conocemos los resultados de esascargas para las distintas barras estaremos en condiciones de hallar cada uno de los términos decarga. Se obtendrá el po

i para cada carga por separado para simplificar los cálculos. Luegoaplicaremos el principio de superposición para hallar el po

i del estado de cargas que será lasumatoria de los po

i de cada una de las cargas.

A

B C

D

po1

po2

po3 po

4

po5

po6

Carga concentrada

AB

BC

CD AC

P = 10 TP/2 P/2P⋅lBC/8 P⋅lBC/8



po1p = 0

po2p = P/2 = 5 T

po3p = P⋅lBC/8 = 3.75 T×m

po4p = 0

po5p = P/2 = 5 T

po6p = –P⋅lBC/8 = –3.75 T×m

Las reacciones en los vínculos externos de los nudos A y D son

RxA RyA RzA RxD RyD

0 0 0 0 0

Los diagramas de esfuerzos en la estructura resultan

AB

BC

CD AC

-5.000

5.000

Diagrama de corte para carga concentrada en barra BC



AB

BC

CD AC

-3.750

3.750

Diagrama de momentos para carga concentrada en barra BC

Carga distribuida

AB

BC

CD AC

q = 4 T/m

q = 4 T/m

q⋅lAB/2

q⋅l2AB/12

q⋅l2AB/12

q⋅lAB/2

po1q = –q⋅lAB/2 = -8 T

po2q = 0

po3q = –q⋅l2

AB/12= -5.333 T×m

po4q = 0

po5q = 0

po6q = 0


RxA RyA RzA RxD RyD

-8 0 5.3333 0 0



Diagramas de solicitaciones para carga distribuida

AB

BC

CD AC

-8.000

8.000

Diagrama de corte para carga uniformemente distribuida

AB

BC

CD AC

-5.333

2.667

-5.333

Diagrama de momentos para carga uniformemente distribuida

Carga térmica

AB

BC

CD AC

∆Ti=10oC

∆Ts=50oC

λ⋅⋅∆−∆⋅l

EJ

h

TT si

2

3

λEJh

TT si ⋅∆−∆

⋅2

3

λ⋅⋅∆−∆

⋅l

EJ

h

TT si

2

3

λ⋅⋅∆ EATg

λ⋅⋅∆ EATg



po1t = 0

po2t = 0

po3t = 0

po4q = λ⋅⋅

∆−∆⋅−

l

EJ

h

TT si

2

3⋅ cos β + λ⋅⋅∆ EATg ⋅ sen β = 42.432 T

po5q = – λ⋅⋅

∆−∆⋅

l

EJ

h

TT si

2

3 ⋅ sen β – λ⋅⋅∆ EATg ⋅ cos β = -58.176 T

po6q = λEJ

h

TT si ⋅∆−∆⋅2

3 = -4.8 T×m


RxA RyA RzA RxD RyD

0 0 0 -42.432 58.176

Diagramas de esfuerzos para carga térmica

AB

BC

CD AC

-72.000

-72.000

Diagrama de axil para carga térmica



AB

BC

CD AC

0.960

0.960

Diagrama de corte para carga térmica

AB

BC

CD AC

4.800

Diagrama de momentos para carga térmica

Desplazamiento de vínculo impuesto

AB

BC

CD AC

δ=0.01 m

δ3

6l

EJ

δ2

12l

EJ

δ3

6l

EJ

δ2

12l

EJ

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅

AC

ACACAcero xAEl

∆⋅



αA

α

δ = 0.01 m

∆xAC

α = tan-1 (4/3) =53.13 o

∆xAC = δ ⋅ cos α = 0.01 m × 0.6 = 0.006 m

po1δ = δ

212

l

EJ = 6 T

po2δ = 0

po3δ = δ

36l

EJ = 12 T×m

po4δ = αsen⋅∆ AC

AC

ACAcero xAE

l = 15.12 T

po5δ = αcos⋅∆ AC

AC

ACAcero xAE

l = 20.16 T

po6δ = 0


RxA RyA RzA RxD RyD

-21.12 -20.16 12 0 0

Diagramas de esfuerzos para desplazamiento de vínculo impuesto



AB

BC

CD AC

25.20025.200

25.200

Diagrama de axil para desplazamiento de vínculo impuesto

AB

BC

CD AC

-6.000

-6.000

Diagrama de corte para desplazamiento de vínculo impuesto

AB

BC

CD AC

-12.000

12.000

Diagrama de momentos para desplazamiento de vínculo impuesto

Para obtener los valores totales de los términos de carga, aplicamos el principio desuperposición. Sumando los po para cada carga tenemos



po1 = -2 T

po2 = 5 T

po3 = 10.417 T×m

po4 = 57.552 T

po5 = -33.016 T

po6 = -8.55 T

TERMINOS DE CARGAS pi

Cada una de las ecuaciones del método de las deformaciones es una ecuación de equilibrio encada dirección libre y la suma de la solución particular y complementaria debe ser igual a lasfuerzas que originalmente actuaba en dicha dirección o sea pi.En nuestro caso tenemos carga aplicada correspondiente con una incógnita cinemática: elmomento del nudo C es correspondiente con la incógnita cinemática U3. Por lo tanto eltérmino de carga pi sólo tendrá valor para i=3.

p1 = 0

p2 = 0

p3 = -2 T×m

p4 = 0

p5 = 0

p6 = 0

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

A continuación se plantearán y resolverán las ecuaciones de equilibrio del método de lasdeformaciones. Las ecuaciones tienen la siguiente forma

PPUK o =+⋅ o bien, término a término ioiiijuk pp =+

Para la estructura que se está resolviendo, la matriz rigidez y los vectores de carga toman lossiguientes valores



80600 0 1200 -80000 0 00 61422.22 2133.33 0 -1422.22 2133.33

K = 1200 2133.33 7466.66 0 -2133.33 2133.33-80000 0 0 98841.16 -20987.14 307.2

0 -1422.22 -2133.33 -20987.14 34857.87 -1902.930 2133.33 2133.33 307.2 -1902.93 6186.66

-2 05 0

Po = 10.417 P = -257.552 0-33.016 0-8.55 0

)(1 o

o

PPKU

PPUK

−⋅=

−=⋅−

1.602E-04 1.556E-06 -6.690E-06 1.488E-04 9.045E-05 2.220E-051.556E-06 1.657E-05 -3.444E-06 1.516E-06 1.146E-06 -4.251E-06

K-1 = -6.690E-06 -3.444E-06 1.512E-04 -4.472E-06 3.714E-06 -4.959E-051.488E-04 1.516E-06 -4.472E-06 1.498E-04 9.118E-05 2.163E-059.045E-05 1.146E-06 3.714E-06 9.118E-05 8.495E-05 1.993E-052.220E-05 -4.251E-06 -4.959E-05 2.163E-05 1.993E-05 1.853E-04

de donde U resulta

-0.004991-0.000123

U = -0.001918-0.005083-0.002144 0.001679

y entonces los desplazamientos incógnitos Ui serán

U1 U2 U3 U4 U5 U6

-0.004991 -0.000123 -0.001918 -0.005083 -0.002144 0.001679

Para obtener los diagramas finales y las reacciones debemos aplicar el principio desuperposición

a = a° + ai1 U1 + ai2 U2 + ai3 U3 + ai4 U4 + ai5 U5 + ai6 U6

Así por ejemplo si queremos obtener la reacción horizontal en el nudo A tendremos

RxA = RxA° + RxA1 U1 + RxA2 U2 + RxA3 U3 + RxA4 U4 + RxA5 U5 + RxA6 U6



Finalmente, las reacciones en los vínculos externos de la estructura son

RxA RyA RzA RxD RyD

-11.8175 3.2126 8.2753 -4.1825 6.7875

Representando la estructura con sus cargas y reacciones tenemos

AB

BC

CD AC

2 T×m

0.01 m

10 T

4 T/m

A

B

C

D

∆Ti=10oC ∆Ts=50oC

4 m

3 m 3 m

11.8175

3.2126

8.2753

4.1825

6.7875

Los diagramas finales de la estructura obtenidos por superposición son los siguientes

AB

BC

CD AC

-7.364

-7.296

-7.939

5.189

Diagrama de axil en la estructura



X

Y

AB

BC

CD AC

-8.704

7.296

-7.364

2.636

0.726

0.726

Diagrama de corte en la estructura

AB

BC

CD AC

-8.275

1.132

-3.460

7.5863.632

-5.460

Diagrama de momentos en la estructura

Los diagramas de desplazamientos resultantes de la estructura son

X

Y

AB

BC

CD AC

Deformada de la estructura bajo cargas



AB

BC

CD AC

-0.01

-0.004991 = U1 -0.005083 = U4

Desplazamiento según X

AB

BC

CD AC

-0.003104

-0.000123 = U2

0.000226

-0.002144 = U5

Desplazamiento según Y

AB

BC

CD AC

-0.001918 = U3

0.001679 = U6

-0.000484

-0.001044

Rotaciones según Z

aplicaciÓn del mÉtodo de las deformaciones

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