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HiperestáticosMétodo de las Deformaciones

Ejercicio N° 6 de la Guía de Problemas Propuestos

Curso de Estabilidad IIb

Ing. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de

empotramiento:

Consideraciones Preliminares

El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos.

q

P

L1 L2

h

A B

C


empotramiento:

Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio.

Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos en la estructura.

Consideraciones Preliminaresq

P

L1 L2

h

A B

C


empotramiento:

Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas


LPM

LPMbLPMa

PRbPRa

8

11

8

1;

8

1

2

1;

2

1

Barra doblemente empotrada cargada con una carga P en L/2


empotramiento:



Barra doblemente empotrada cargada con una carga uniforme

2

22

241

12;

12

2;

2

Lq

M

Lq

MbLq

Ma

Lq

RbLq

Ra


empotramiento:



Barra doblemente empotrada con un desplazamiento L0 en A

02

02

03

03

6

6

12

12

LL

JEMb

LL

JEMa

LL

JERb

LL

JERa


empotramiento:



Barra doblemente empotrada con un giro en A

L

JEMb

L

JEMa

L

JERb

L

JERa

2

4

6

6

2

2


empotramiento:



Barra articulada - empotrada con un desplazamiento L0 en A

02

03

03

3

3

3

LL

JEMb

LL

JERb

LL

JERa


empotramiento:



Barra articulada - empotrada con un giro en A

L

JEMb

L

JERb

L

JERa

3

3

3

2

2

Definimos el Sistema Fundamental:

Resolución

Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal A1), y dos barras empotrada-empotrada (barra vertical 1C y barra horizontal 1B).

q

P

L1 L2

h

A B

C

1

Definimos el Sistema Fundamental:

Resolución

Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q y P) sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto.

q

P

L1 L2

h

A B

C

1

Analizaremos el efecto que tienen las cargas

externas

Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán a las barras 1B y 1C de acuerdo con el siguiente esquema…

…por lo tanto, de tablas, el momento en el vínculo B y en nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores serán: 12

20

),(1

0

),(1

LqMM PqBPqB

q

P

L1 L2

h

A B

C

1

con:2LL

M01B(q, P) M0

B1(q, P)

Analizaremos el efecto que tienen las cargas

externas

…mientras que, de tablas, el momento en el vínculo C y en nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores serán:

8

0

),(1

0

),(1

HPMM PqCPqC

q

P

L1 L2

h

A B

C

1

con: hH

M01B(q, P) M0

B1(q, P)

M01C(q, P)

M0C1(q, P)

0

),(1

0

),(1

0

),(1 PqCPqBPq MMM

812

2

20

),(1

hP

LqM Pq

Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones

impuestas (rotación del nodo 1)

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor unitario de ):

L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEC

41

1C

mC1

con: hL

L

JEmC

21

4EJL 6EJ

L2

6EJL22EJ

L

1

C

6EJL2

4EJL

1 B

6EJL2

2EJL



… en tanto que para la barra 1B (para un valor unitario de ), será:

L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEB

41

1C

mB1

mC1

1B

con:2LL L

JEmB

21



… en tanto que para la barra A1 (para un valor unitario de ), será:L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEA

31

1C

mB1

mC1

1B

1A

1A3EJ

L

3EJL2

3EJL2

CBAM 111

0

11

hLLJEM

443

21

0

11

con:1LL

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas exteriores y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:

Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:

00

11

0

1 MM P

hLLJE

hP

Lq

M

M P

443

812

21

2

2

0

11

0

1

Calculamos ahora los momentos de empotramiento

Aplicando el principio de superposición resulta:

L1 L2

h

A 1 B

C

1C

mC1

1B

1A

mB1q

P

L1 L2

h

A B

C

1M0

1B(q, P) M0B1(q, P)

M01C(q, P)

M0C1(q, P)

+

1

0

,1

0

1

0

,1

0

CPqCC

BPqBB

mMM

mMM

Hallemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)

Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:

coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1 °C.

El efecto resultante será una variación de longitud (L)

11

11

121

LtL

HtL

LtL

A

C

B

C

1

1

L1 L2

h

A1 BA’

1’

ΔL1A + 1


C

1

1

L1 L2

h

A1 BA’

1’

ΔL1A + 1

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor = 1):

L

JEmm CC

611

m’1C

m’C1

con:1 hL

12EJL3

12EJL3

6EJL2

6EJL2


C

1

1

L1 L2

h

A1 BA’

1’

ΔL1A + 1

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1B (para un valor = 1):

L

JEmm BB

611

m’1C

m’C1

con:12 LL

m’1B

m’B1

12EJ

L3

12EJ

L3

6EJ

L2

6EJ

L2


C

1

1

L1 L2

h

A1 BA’

1’

ΔL1A + 1

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra A1 (para un valor = 1):

21

3

L

JEm A

m’1C

m’C1

con:ALLL 11

m’1B

m’B1

1A 3EJL2

3EJL3

3EJL3

m’1A

BCAt mmmM 111

0

1




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEC

41

1C

mC1

con: hL

L

JEmC

21

4EJL 6EJ

L2

6EJL22EJ

L

1

C

6EJL2

4EJL

1 B

6EJL2

2EJL




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEB

41

1C

mB1

mC1

1B

con:2LL L

JEmB

21




h

A 1 B

1

C

L

JEA

31

1C

mB1

mC1

1B

A1

1A3EJ

L

3EJL2

3EJL2

CBAM 111

0

11

hLLJEM

443

21

0

11

con:1LL


Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas de origen térmico y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:

Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:

00

11

0

1 MM t

0

11

0

1

M

M t



L1 L2

h

A 1 B

C

1C

mC1

1B

A1

mB1

+

11

11

CCC

BBB

mmM

mmM

L1 L2

h

A 1 BA’

1’

ΔL1A + 1

m’1C

m’1B

m’B1

m’1A

C

1

1

m’C1

C

L1 L2

h

A 1 B

Hallemos ahora los efectos de un giro del empotramiento C (de valor )


El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C(para un valor de ):

L

JEm C

21

con: hL

L

JEmC

41

m’’1C

m’’C1

4EJL

6EJL2

6EJL2

2EJL 1

C

4EJL 6EJ

L2

6EJL22EJ

L

1

C




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEC

41

1C

mC1

con: hL

L

JEmC

21

6EJL2

4EJL

1 B

6EJL2

2EJL




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEB

41

1C

mB1

mC1

1B

con:2LL L

JEmB

21




h

A 1 B

1

C

L

JEA

31

1C

mB1

mC1

1B

1A

1A3EJ

L

3EJL2

3EJL2

CBAM 111

0

11

hLLJEM

443

21

0

11

con:1LL


Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas debidas a la rotación del vínculo y los girosdel nodo 1 deberán ser nulos:

…donde:

00

11

0

1 MM

CmM 1

0

1

y obtenemos el valor del giro del nodo 1:0

11

1

M

m C



L1 L2

h

A 1 B

C

1C

mC1

1B

1A

mB1

+

11

1

CCC

BB

mmM

mM

C

L1 L2

h

A 1 B

m’’1C

m’’C1

Finalmente hallemos los valores que se producen cuando sucede un asentamiento del

vínculo C (de valor )


C

L1 L2

h

A

1

B

1’

C’

1

1

C El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra A1 (para un valor = 1):

21

3

L

JEm A

con:1LL

A

3EJL3

3EJL3

1

3EJL2

m’’’1A


vínculo C de valor

C

L1 L2

h

A

1

B

1’

C’

1

1

C

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1B (para un valor = 1):

211

6

L

JEmm BB

con:2LL

m’’’1A

12EJ

L3

12EJ

L3

6EJ

L2

6EJ

L2

B1

m’’’1B

m’’’B1

12EJL3

12EJL3

6EJL2

6EJL2


vínculo C de valor

C

L1 L2

h

A

1

B

1’

C’

1

1

C

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor = C):

211

6

L

JEmm CC

con: hL

m’’’1Am’’’1B

m’’’B1

m’’’1C

m’’’C1

BCA mmmM 111

0

1




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEC

41

1C

mC1

con: hL

L

JEmC

21

4EJL 6EJ

L2

6EJL22EJ

L

1

C

6EJL2

4EJL

1 B

6EJL2

2EJL




L1 L2

h

A 1 B

1

C

L

JEB

41

1C

mB1

mC1

1B

con:2LL L

JEmB

21




h

A 1 B

1

C

L

JEA

31

1C

mB1

mC1

1B

1A

1A3EJ

L

3EJL2

3EJL2

CBAM 111

0

11

hLLJEM

443

21

0

11

con:1LL


Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas debidas al desplazamiento del vínculo y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:

…donde:

00

11

0

1 MM

y obtenemos el valor del giro del nodo 1:0

11

0

1

M

M

BCA mmmM 111

0

1



L1 L2

h

A 1 B

C

1C

mC1

1B

1A

mB1

+

11

11

CCC

BBB

mmM

mmM

C

L1 L2

h

A1

B

1’

C’

1

1

C

m’’’1Am’’’1B

m’’’B1

m’’’1C

m’’’C1

CCCCC

BBBBB

MMMMM

MMMMM

0

0… y para una combinación de exceso de vínculos, ΔT, y desplazamiento de vínculos será:

Bibliografía

Estabilidad II - E. FliessIntroducción a la estática y resistencia de materiales - C. RaffoMecánica de materiales - F. Beer y otrosResistencia de materiales - R. Abril / C. BenítezResistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana SantanaResistencia de materiales - V. FeodosievResistencia de materiales - A. Pytel / F. SingerResistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias

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