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Año:

José Francisco Noj Xicay

[ESTADISTICA DESCRIPTIVA] La estadística descriptiva es la rama de las Matemáticas que recolecta, presenta y caracteriza un conjunto de datos y los presenta de forma ordenada en tablas, gráficas. Con esta información realizar cálculos con los que mide el comportamiento de la información, la analiza y presenta tendencias para que se tomen decisiones.

NOMENCLATURA

Variable Significado

𝑵 Tamaño de la población

𝑹 Rango

𝑲 Número de clase

𝑰 Amplitud del intervalo

𝒇 Frecuencia del intervalo

𝒇𝒂 Frecuencia acumulada

𝒇𝒓 Frecuencia Relativa

𝒇% Frecuencia Porcentual

𝒇𝒓𝒂 Frecuencia Relativa Acumulada

𝒇𝒂% Frecuencia Porcentual Acumulada

Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 Ángulo

𝑳𝑹𝑰 Limite Real Inferior

𝑳𝑹𝑺 Limite Real Superior

𝒙 Dato cualitativo o cuantitativo

�̅� Media

𝑴𝒅 Mediana

𝑴𝒐 Moda

𝑷𝒙 Percentil “x”

𝑫𝒙 Decil “x”

𝑸𝒙 Cuartil “x”

𝑺�̅� Desviación Media

𝑺 Desviación Estándar

𝑺𝟐 Varianza

𝑪𝑽 Coeficiente de Variación

𝑺𝒆𝒔𝒈𝒐 Sesgo

𝑪𝒖𝒓𝒕𝒐𝒔𝒊𝒔 Curtosis

𝑷(𝑨) Evento

𝑷𝒓𝒏 Permutaciones

𝑪𝒓𝒏 Combinaciones

ECUACIONES UTILIZADAS

Variable estadística Datos Simples Datos Agrupados

Rango 𝑅 = 𝐷𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑅 = 𝐷𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟

Número de clase - - - - 𝐾 = 1 + 3.3 𝐿𝑜𝑔 (𝑁)

Frecuencia relativa 𝑓𝑟 =𝑓𝑥

𝑁 𝑓𝑟 =

𝑓𝑥

𝑁

Frecuencia relativa 𝑓% = 𝑓𝑟 ∗ 100 𝑓% = 𝑓𝑟 ∗ 100

Ángulo Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑓𝑟 ∗ 360 Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑓𝑟 ∗ 360

Media �̅� =∑(𝑥 ∙ 𝑓)

𝑁 �̅� =

∑(𝑥 ∙ 𝑓)

𝑁

Mediana Con datos ordenados, es él valor que está en el centro de los datos 𝑀𝒅 = 𝐿𝑅𝐼 +

(𝑁2) − 𝑓𝑎𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑓∙ 𝑖

Moda

Es el valor que más se repite 𝑀𝒐 = 𝐿𝑅𝐼 +

∆1

∆1 + ∆2∙ 𝑖

∆1= 𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∆1= 𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Desviación Media 𝑆�̅� =∑|𝑥𝑖 − �̅�|

𝑁 𝑆�̅� =

∑|𝑥𝑖 − �̅�| ∙ 𝑓

𝑁

Desviación Estándar 𝑆 = √∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑁 𝑆 = √

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

Varianza 𝑆2 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑁 𝑆2 =

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

Coeficiente de variación

𝐶𝑉 =𝑆

�̅�

Sesgo 𝑆𝑒𝑠𝑔𝑜 =𝑄1 − 2𝑄2 + 𝑄3

𝑄3 − 𝑄1

Curtosis 𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 =1

2(

𝑄3 − 𝑄1

𝑃90 − 𝑃10)

Tabla de Z 𝑧 =𝑋 − �̅�

𝑆

Probabilidad 𝑃(𝐴) =𝑛𝑎

𝑁

Permutaciones 𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Combinaciones (𝑛𝑟

) = 𝐶𝑟𝑛 =

𝑃𝑟𝑛

𝑟!=

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

CONTENIDO

Tema Pag

Nomenclatura 𝑖𝑖

Ecuaciones Utilizadas 𝑖𝑖𝑖

Índice 𝑖𝑣 − 𝑣𝑖

Unidad 1: Conceptos Generales de Estadística 1

Estadística 2

Estadística descriptiva e inferencial 2

Individuo, Muestra y población 2

Variables Estadísticas (cualitativas y cuantitativas) 3

Recolección de datos 4

La observación 4

La entrevista 5

La encuesta 6

El cuestionario 7

Ejemplos observación y entrevista 8

Ejemplo de encuesta 9

Resumen de unidad 10

Unidad 2: Matemáticas para la estadística 11

Sumatoria 12

Tanto por ciento 13

Conjuntos 14

Simbología de conjuntos 14

Forma de definir un conjunto 14

Cardinalidad de conjuntos 15

Tipos de conjuntos 15

Relación entre conjuntos 15

Operaciones con conjuntos 16

Ejemplos 17


Unidad 3: Distribución de datos estadísticos no agrupados 23

Datos estadísticos 24

Tabla 24

Ejemplos 24 – 25

Tabla de distribución de frecuencias 26

Tipos de frecuencias 27

Frecuencia absoluta 27

Frecuencia relativa 27

Frecuencia acumulada 27

Frecuencia relativa acumulada 27

Construcción de distribución o tablas de frecuencias 28

Representación gráfica 28

Gráficas estadísticas 30

Histograma 30

Polígono de Frecuencias 30

Diagrama de barras 30

Diagrama de sectores 31

Pictogramas 31

Medidas de posición 32

Medidas de tendencia central 32

Media aritmética 32

Mediana 32

Moda 32

Medidas de tendencia no central 33

Cuartiles 33

Deciles 33

Percentiles 33

Medidas de dispersión 34

Rango o Recorrido 34

Desviación media 34

Varianza 35

Desviación estándar 35

Coeficiente de variación 35

Ejemplos 36 – 37

Medidas de forma 38

Sesgo 38

Curtosis 38


Unidad 4: Distribución de datos estadísticos agrupados 41

Distribución de frecuencias agrupadas 42

Rango 42

Número de intervalos 42

Amplitud de intervalo 42

Límites de la clase 42

Marca de clase 42

Ejemplo: construcción de una tabla de datos agrupados 42 – 43

Medidas de posición 44

Medidas de tendencia central 44

Media 44

Mediana 44

Moda 45

Medidas de tendencia no central 45

Cuartiles 45

Deciles 45

Percentiles 45

Ejemplo 46

Medidas de dispersión 47

Rango o recorrido 47

Desviación estándar 47

Varianza 47

Ejemplo 47 – 48

Coeficiente de variación 49

Ejemplo 49

Medidas de forma 50

Asimetría (sesgo) 50

Ejemplo 51

Curtosis 52

Ejemplo 52


Unidad 5: Probabilidad 55

Distribución normal o gaussiana 56

Regla empírica para datos con distribución normal 56

Curva Normal 58

Probabilidad 59

Experimento aleatorio, determinístico 59

Espacio muestral discreto y continuo 59

Evento, Evento simple, compuesto seguro e imposible 60

Probabilidades como conjuntos 61

Herramientas para contar puntos muestrales (Diagrama de árbol) 62

Teorema de Probabilidad 63

Permutaciones 64

Combinaciones 65


Tabla de distribución Z 67

Cuaderno de Trabajo de Estadística.

UNIDAD 1

CONCEPTOS GENERALES DE ESTADÍSTICA

Indicadores de logro: Define los términos básicos que fundamentan la estadística como una ciencia. Recolecta datos a través de encuestas, entrevistas o cuestionarios.

ESTADÍSTICA

La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población. Según se haga el estudio sobre todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, vamos a diferenciar dos tipos de Estadística: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población. ESTADÍSTICA INFERENCIAL Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población.

Individuo: cada uno de los elementos, personas u objetos que se van a estudiar. Muestra: el subconjunto de la población que elegimos para hacer un estudio más reducido. Población: que es el conjunto formado por todos los elementos a los que les vamos a hacer el estudio.

······· Población

Muestra

Individuo

Identifique si se trata de un individuo, una muestra o una población:

Descripción Individuo Muestra Población

Juan Pérez, estudiante de 5to Perito Sección H

Alumnos de 5to. Sección H

Todos los alumnos de 5to

Perito del colegio

···

VARIABLE ESTADÍSTICA

Una variable estadística es una característica que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse u observarse. Dependiendo de la característica podemos distinguir varios tipos de variables:

Cualitativas Cuantitativas o Numéricas

Es aquella que se expresarla con palabras.

• Nominales: Si sus valores presentan modalidad no numérica que no admiten un criterio de orden. Ejemplo: Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)

• Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar. Ejemplo: Grado de satisfacción, Intensidad del color.

Es cualquier característica que se puede expresar con números.

• Discretas: Si toma valores enteros. Número de hijos, Número de desempleados

• Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, ingreso mensual,

Que variable estadística aplicaría a las siguientes situaciones:

Descripción Variable Cualitativa Nominal Ordinal

Variable Cuantitativa

Discreta Continua

Carro de color azul

Censo poblacional,

pregunta Edad

No. de Alumnos de 5to. Sección H

RECOLECCIÓN DE DATOS

La recolección de datos se refiere al uso de técnicas y herramientas que buscan información que sea útil en un proceso estadístico. Estos instrumentos se aplican en un momento particular teniendo cada una sus ventajas y desventajas. Generalmente, se utilizan más de un método para complementar un buen trabajo de campo. Métodos de recolección de datos:

• La Observación

• La entrevista

• La encuesta

• Cuestionario LA OBSERVACIÓN

Es una técnica de observación de hechos durante la cual el analista participa activamente actúa como espectador de las actividades llevadas a cabo por una persona para conocer mejor su sistema.

Definición

Empleo Empleado en la industria industrial en:

• Estudios de métodos y tiempos, Ergonomía Empleado en las ciencias como

• Método científico Empleado en la formación profesionales

• En clase de taller en un colegio técnico

El propósito de la observación es múltiple, permite al analista determinar que se está haciendo, como se está haciendo, quien lo hace, cuando se lleva a cabo, cuánto tiempo toma, donde se hace y porque se hace.

Pasos de la observación

1) Determinar y definir aquello que se va a observar. 2) Estimar el tiempo necesario de observación. 3) Obtener la autorización para llevar a cabo la observación. 4) Explicar a las personas que van a ser observadas lo que se va hacer y las razones para ello

Tipos de observación El analista puede observar de tres maneras básicas:

• Puede observar a una persona o actividad sin que el observado se dé cuenta y sin interactuar por parte del propio analista.

• El analista puede observar una operación sin intervenir para nada pero estando la persona observada enteramente consiente de la observación.

• Se puede observar y estar en contacto con las personas observadas. La interrogación puede consistir simplemente en preguntar respecto a una actividad específica, pedir una explicación, etc.

LA ENTREVISTA

Es una técnica de recopilación de información mediante una conversación profesional, con la que además de adquirirse información acerca de lo que se investiga; los resultados dependen en gran medida del nivel de comunicación entre el investigador y los participantes en la misma.

Definición

Empleo

• Comúnmente se emplea en entrevistas de trabajo, donde se busca conocer a un futuro aspirante a un empleo de trabajo.

• Cuando la muestra tomada es muy pequeña

1) La falta de sinceridad en las respuestas (deseo de causar una buena impresión o de disfrazar la realidad).

2) La tendencia a decir "si" a todo. 3) La sospecha de que la información puede revertirse en contra del

entrevistado de alguna manera. 4) La influencia de la simpatía o la antipatía del entrevistador.

Riesgos

Pasos para realizar una entrevista:

Preparación de la Entrevista Conducción de la Entrevista Secuela de la Entrevista

1. Determine que se busca con la entrevista.

2. Preparar las preguntas que van a plantearse.

3. Fijar un límite de tiempo y preparar la agenda para la entrevista.

4. Elegir un lugar donde se puede conducir la entrevista con la mayor comodidad.

5. Hacer la cita con la debida anticipación.

1. Explicar con toda amplitud el propósito y alcance del estudio.

2. Hacer preguntas específicas para obtener respuestas cuantitativas (medibles).

3. Plantee preguntas de forma clara y con sentido.

4. Ser objetivo, cortés y comedido

5. Conservar el control de la entrevista.

6. Escuchar atentamente.

1. Escribir los resultados. 2. Entregar una copia al

entrevistado, solicitando su conformación, correcciones o adiciones.

3. Archivar los resultados de la entrevista para referencia y análisis posteriores.

Tipos de preguntas que pueden plantearse Se seleccionan las preguntas de acuerdo con la naturaleza de la investigación, considerando el nivel de educación de las personas que se van a entrevistar.

Preguntas abiertas Permiten a los entrevistados dar cualquier respuesta que parezca apropiado. Pueden contestar por completo con sus propias palabras.

Preguntas Cerradas Son preguntas cerradas cuando el encuestado sólo tiene una alternativa de respuesta; por ejemplo: sí, no o no sé; de acuerdo, indiferente, o en desacuerdo, etc.

Las entrevistas pueden tener preguntas abiertas y cerradas. Lo que se debe de recordar es que debe haber una planificación adecuada.

LA ENCUESTA

Es una técnica de adquisición de información de interés, mediante un cuestionario previamente elaborado, a través del cual se puede conocer la opinión o valoración del sujeto seleccionado en una muestra sobre un asunto.

Definición

Empleo • Preguntas a través de redes sociales (Facebook, Twitter, E-mail, celular, etc.)

• Empleado en mercadeo y publicidad

1) La falta de sinceridad en las respuestas (deseo de causar una buena impresión o de disfrazar la realidad).

2) La tendencia a decir "si" a todo. 3) La sospecha de que la información puede revertirse en contra del

encuestado, de alguna manera. 4) La falta de comprensión de las preguntas o de algunas palabras. 5) La influencia de la simpatía o la antipatía tanto con respecto al

investigador como con respecto al asunto que se investiga.

Riesgos

Pasos para realizar una encuesta:

Definir el objeto de la encuesta

La formulación del cuestionario

El trabajo de campo Informe

Formular con precisión los objetivos a conseguir, desmenuzando el problema a investigar, eliminando lo superfluo y centrando el contenido de la encuesta, delimitando y diseñando la muestra.

Elaborar los diferentes tipos de preguntas y diseñando un formulario adecuado, el cual debe de ser lo más sencillo posible y debe evitar que se escriban datos personales (no preguntar nombre,…)

Consiste en la obtención de los datos. Para ello será necesario preparar a los que realizarán la encuesta para que recolecten la información de la mejor manera posible.

Los datos obtenidos habrá que procesarlos, codificarlos y tabularlos hasta obtener los resultados de la encuesta que serán presentados en el informe y que servirán para análisis.

Tipos de preguntas que pueden plantearse Para elaborar el cuestionario se puede optar por tres tipos de preguntas:

Preguntas Cerradas Son preguntas cerradas cuando el encuestado sólo tiene una alternativa de respuesta; por ejemplo: sí, no o no sé; de acuerdo, desacuerdo...

Preguntas de Abanico (o de opción múltiple)

Se propone al encuestado un determinado número de respuestas a escoger. Éste puede elegir una o más opciones.

Preguntas abiertas En las preguntas abiertas se deja al encuestado contestar en forma "libre" para que exprese a su manera la respuesta.

EL CUESTIONARIO

Es un instrumento de recolección de datos cualitativa o cuantitativa mediante el uso de un conjunto de preguntas diseñadas para conocer o evaluar a una o más personas con fines didácticos.

Definición

Empleo • Fase escrita en una entrevista de trabajo

• Exámenes de unidad

1) Falta de profundidad en las respuestas y no se pueden ir más allá del cuestionario.

2) Se necesita una buena elección del universo y de las muestras utilizadas 3) Puede provocar la obtención de datos equivocados si se formulan

deficientemente las preguntas, si se distorsionan o si se utiliza términos ilegibles, poco usados o estereotipados.

4) La interpretación y el análisis de los datos pueden ser muy simples si el cuestionario no está bien estructurado o no contempla todos los puntos requeridos

Riesgos

Estructura o partes del cuestionario: El cuestionario, por lo general, tiene la siguiente estructura:

1) Título y encabezado 2) Presentación

Presentación del encuestador y objetivo. 3) Bloque de preguntas

Sencillas, difíciles, abiertas. 4) Despedida y agradecimiento.

Diferencia de entre la encuesta y el cuestionario.

Encuesta

Es un conjunto de preguntas normalizadas dirigidas a una muestra representativa de la población o instituciones, con el fin de conocer estados de opinión o hechos específicos. Se vale del cuestionario para recabar información.

Cuestionario Es de carácter personal y es una alternativa en una entrevista o parte del proceso escrito de una entrevista.

EJEMPLOS Observación Hoja de verificación, también llamada hoja de chequeo, planilla de inspección y hoja de control, es un formato generalmente impreso utilizado para recolectar datos por medio de la observación de una situación o proceso específico. Es una de las siete herramientas de calidad y gestión del negocio.

Hoja de chequeo de un proceso de revisión de un motor Diesel. Nombre de la empresa: Departamento: Sección: Periodo:

Problema Frecuencia Escape de gas en el contenedor IIII IIII IIII

Golpe lateral en la bujía III

Contracción de manguera IIII III

Sobrecalentamiento del motor IIII I

Doblamiento del enfriador IIII IIII II

Otro II

Hoja de chequeo con clasificación por semanas de las quejas recibidas en un Hospital. Nombre de la empresa: Departamento: Periodo:

Tipo de queja MARZO

Sem1 Sem2 Sem3 Total Limpieza de la sala de espera

II III III 8

Limpieza baños IIII II IIII IIII II IIII 23

Atención del personal IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII

40

Calidad de los alimentos II I I 4

Existencia de medicamento III IIII III 10

Limpieza en camas IIII IIII IIII 13

Total 33 34 31 98

Entrevista Ejemplo de una entrevista para solicitud de un empleo. En una entrevista de trabajo están presentes todo tipo de preguntas que intentan descubrir más de lo que dice el currículum. A continuación, tiene una amplia lista de ejemplos de preguntas para una entrevista de trabajo.

Preparación de la Entrevista

1. Se busca un empleado para el departamento de mantenimiento.

2. Preparar las preguntas 3. Tiempo estimado: 30 min. 4. Lugar: Oficinas centrales

Preguntas personales Hábleme de usted. ¿Cómo definiría su personalidad? ¿Cuál considera que es su mayor cualidad? ¿Por qué? ¿Cuál considera que es su mayor defecto? ¿Por qué? ¿Cuáles son sus fortalezas? ¿Cuáles son sus debilidades? ¿Qué hace en su tiempo libre? ¿Cómo se ve dentro de 5 años? Si tuviera que elegir una virtud ¿cuál le gustaría tener? Si tuviera que elegir un defecto que no le gustaría tener ¿cuál sería? Cuénteme un poco de su familia. ¿Qué lo motiva levantarse cada mañana? ¿Cómo emplea usted los ratos de ocio que tiene? ¿Cuál es el último libro que leyó? ¿Podría contar de lo que trata?

Preguntas profesionales ¿Por qué estudió su carrera? ¿Desde cuándo descubrió que le gustaba? ¿Cuál es su mayor anhelo profesional? Recuerda usted su primer día de trabajo ¿podría contarme cómo fue? ¿Podría hablar de su experiencia laboral? Describa la mejor experiencia que tuvo. Cuénteme la situación más crítica que afrontó. ¿Cuál es su plan de vida profesional? ¿Alguna vez ha trabajo en equipo? Cuénteme la experiencia. ¿Cuáles eran las funciones que desempeñó en su anterior empleo? ¿Alguna vez tuvo algún problema con un colega? ¿Podría detallar los hechos? ¿Ha dirigido un grupo? ¿Ha estado a cargo de algún proyecto? ¿Cómo lo ha organizado? ¿Cuál ha sido su mayor decepción laboral? ¿Cuál fue el último curso al que asistió? ¿Cuándo? ¿Qué lo motivo?

Preguntas de opinión …

Preguntas sobre el puesto al que postula …

Encuesta

Un restaurante desea realizar una encuesta de satisfacción de la calidad de sus productos y de atención al cliente. Para lo cual se le solicita elaborar dicha encuentra.

Solución

Encuesta de satisfacción

Gracias por elegirnos. Para que podamos mejorar nuestro servicio, por favor, dé su opinión sobre nuestros restaurantes:

Excelente Bueno Regular Malo

1) Ambiente □ □ □ □

2) Atención al cliente □ □ □ □

3) Calidad de los alimentos □ □ □ □

4) Calidad de las bebidas □ □ □ □

5) Rapidez del servicio □ □ □ □ Sugerencias y comentarios

Se planea realizar un encuenta en línea que indique la cantidad de horas que se pasa un estudiante conectado al telefono revisando una red social. Para lo cual se le solicita realizar un modelo para dicha encuenta.

Solución

En que momento del día te conectas a Facebook (puedes seleccionar varias opciones, si es el caso).

□ Por la noche (después de las 20h)

···

□ Por la tarde (14h a 20h)

···

□ Por la mañana (8h a 14h)

···

□ Siemplre estoy conectado

···

□ No tengo horario, mejor libertad que depender…

···

□ Me conecto al recibir notividaciones

···

+ Agrega una opción …

RESUMEN DE UNIDAD

Estadística Estudia características de una población a través de la recolección de datos y organización en talas y diagramas.

VARIABLE ESTADÍSTICA

Recolección de datos

Estadística

Descriptiva

• Estudia las caracteristicas de la población completas

Inferencial

• Estudia una muestra y para inferir sobre toda la población

• Expresadas con palabrasCualitatias

• Expresadas con númerosCuntitativas

•Análisis realizado mediante la observacion del entornoObservación

•Recolección mediante una conversación.

Entrevista

•Recolección mediante cuestionario (es anonimo)Encuesta

•Recolección de datos mediante un conjunto de preguntas con fines didácticos.

Cuestionario

UNIDAD 2

MATEMÁTICA PARA LA ESTADÍSTICA

Indicadores de logro: Aplicar las herramientas matemáticas a estadística descriptiva en la comprensión de ecuaciones propias de la materia.

Sumatorias

El sumatorio o sumatoria (también conocido como operación de suma, notación sigma o símbolo suma) es una notación matemática que permite representar sumas de varios sumandos, o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de paso al límite. Se expresa con la letra griega sigma mayúscula (𝛴). La notación se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ de la siguiente manera:

∑ 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

= 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚+2 + ⋯ + 𝑎𝑛

Esto se lee: «sumatorio sobre “𝑖”, desde “𝑚” hasta “𝑛”, de “𝑎” sub-𝑖». La variable 𝑖 es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, 𝑚. La variable 𝑖 recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, 𝑛. Necesariamente debe cumplirse que:

𝑚 < 𝑛 Ejemplos: Desarrolle las siguientes sumatorias

∑ 𝑖

7

𝑖=3

𝑖 𝑎𝑖

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7 +

∑ 𝑎𝑖

7

𝑖=3

= 25

∑ 𝑖2

5

𝑖=2

𝑖 (𝑎𝑖)2

2 4

3 9

4 16

5 25 +

∑(𝑎𝑖)2

5

𝑖=2

= 54

∑ 3𝑥 ∙ 𝑥2

5

𝑥=1

𝑖 3𝑥 𝑥2 3𝑥 ∙ 𝑥2

1 3 1 3

2 6 4 24

3 9 9 81

4 12 16 192

5 15 25 375 +

∑ 3𝑥 ∙ 𝑥2

5

𝑥=1

= 675

∑|6 − 𝑥| ∙ 𝑥

5

𝑥=1

𝑖 6 − 𝑥 |6 − 𝑥| 𝑥 |6 − 𝑥| ∙ 𝑥

1 –5 5 1 5

2 –4 4 2 8

3 –3 3 3 9

4 –2 2 4 8

5 –1 1 5 5 +

∑|6 − 𝑥| ∙ 𝑥

4

𝑥=1

= 5 + 8 + 9 + 8 + 5

∑|6 − 𝑥| ∙ 𝑥

4

𝑥=1

= 35

Tanto por ciento

Es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente porcentaje. El tanto por ciento significa «de cada cien unidades». El porcentaje se denota utilizando el símbolo «%», que matemáticamente equivale al factor 0.01 Ejemplos:

El 60% de los empleados de una empresa llegan al trabajo en autobús. Si el número total de empleaos es 1200. ¿Cuántos llegan en autobús? Solución:

Hay que calcular el 60% de 1200 100% → 1200 personas

𝑥 =60%1200

100% = 720 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠

60% → x personas .

En una votación participan 300 persona. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que fue votado por 60 personas? Solución: 100% → 300 personas

𝑥 =60%100

300 = 20%

X % → 60 personas .

En una encuesta en Facebook, sobre preferencias de postres se obtuvo los siguientes resultados: Calcular cuál es el porcentaje de preferencia de cada postre.

Postre Votos

Helado 600

Pastel 500

Frutas 400

Yogur 100

Total 1600

Solución: 100% → 1600 Total

𝑥 =600%100

1600

X % → 600 Postre 1

= 37.5% prefieren helado

100% → 1600 Total

𝑥 =500%100

1600

X % → 500 Postre 2

= 31.25% prefieren Pastel

100% → 1600 Total

𝑥 =400%100

1600

X % → 400 Postre 3

= 25% prefieren Frutas

100% → 1600 Total

𝑥 =100%100

1600

X % → 100 Postre 4

= 6.25% prefieren Yogur

Conjuntos

El concepto de conjunto es primitivo, en el sentido de que no es posible definirlo en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

Simbología de Conjuntos

Símbolo Descripción

{ } conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

| Tal que.

U Conjunto Universo.

∅ Conjunto Vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de.

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de Conjuntos.

𝐴𝑐 Complemento del conjunto A.

= Símbolo de igualdad.

≠ No es igual a.

... El conjunto continúa.

FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: 𝐴 = { … } , siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:

• Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos. Ejemplo: 𝐴 = {1, 2, 3, 4}

• Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Ejemplo: 𝐴 = {𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 5} o 𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 < 5}

Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn.

Cardinalidad de conjuntos El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto. Para el ejemplo anterior, la cardinalidad del conjunto A es 4: 𝑛(𝐴) = 4 Tipos de conjuntos

Conjunto vacío El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por “∅” o { }

El conjunto universal, que denotaremos por 𝑈, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

Conjunto universal

Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacío.

Relaciones entre conjuntos

Relación de pertenecía

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈, si forma parte de él. La expresión 𝑎 ∈ 𝐴 se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.

Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como: Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad). Esto implica que no importa el orden, la forma de representación; si no únicamente que contengan los mismos elementos.

Relación de igualdad

Relación de inclusión. Subconjuntos

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. Lo denotaremos 𝐵 ⊆ 𝐴. Se lee "B está incluido en A", "A contiene a B", "B está contenido en A", "A incluye a B" o "A es un superconjunto de B". Nota: ⊆ significa que está contenido o que es igual. Si B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A. Lo denotaremos B⊂A. (este es el caso de los polígonos regulares)

Operaciones con conjuntos

Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como 𝐴 ∪ 𝐵, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵}

Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como 𝐴 ∩ 𝐵, es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑥 ∈ 𝐵}

Complementario: El complementario de un conjunto A es el conjunto 𝐴𝑐 (o bien, 𝐴′, 𝐴−1) que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.

𝐴𝑐 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑈 ^ 𝑥 ∉ 𝐴}

Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el conjunto 𝐴 − 𝐵 que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

Diferencia simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto 𝐴∆𝐵 con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

𝐴 ∆ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵

Producto cartesiano:

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto 𝐴 × 𝐵 de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.

Ejemplo 1: Realice la operación de conjuntos siguiente 𝐴′∆𝐵

Pasos 1: Realizamos el complemento de 𝐴 = 𝐴′

• Esto es: todo menos A

Paso 2: Se debe realizar la diferencia simétrica entre 𝐴’ y 𝐵 = 𝐴′∆𝐵

• En ese caso hay que recordar que la diferencia simétrica es la unión de ambos conjuntos menos la intersección de ellos. 𝐴′∆𝐵 = 𝐴′ ∪ 𝐵 − 𝐴′ ∩ 𝐵

−

Respuesta:

Ejemplo 2: Que operación se efectuó para obtener la siguiente gráfica: Solución

Para solucionar este problema se dividirá en dos partes:

Parte 1 Al observar la imagen, se puede decir que es esta compuesta del inverso de la unión de A y B

𝐴 ∪ 𝐵 (𝐴 ∪ 𝐵)′

Parte 2 La parte faltante es una intersección: 𝐴 ∩ 𝐶, menos 𝐵

𝐴 ∩ 𝐶 − 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐶)− 𝐵

−

Por último, se debe de unir la parte 1 y la parte 2

(𝐴 ∪ 𝐵)′ ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵] = (𝐴 ∪ 𝐵)′ ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵] Una de forma de escribir la solución

∪

=

Ejemplo 3 En un avión viajan 120 personas, de las cuales:

• 2/3 de ellas no beben café

• 4/5 de ellas no son vegetarianos

• 72 no son vegetarianos y no beben café. ¿Cuántas personas son vegetarianas y beben café? SOLUCIÓN Paso 1

El universo es 120, es el total de personas

Paso 3

Información: Si 4/5 no son vegetarianos

(120 ×4

5= 96)

entonces 24 son vegetarianos

Paso 5

Grupo de no vegetarianos y no beben café: 72

Paso 7

La cantidad de los que toman café es 40 y la unión de los de café y vegetarianos 48, entonces 8 son vegetarianos y no toman café

Paso 2

Si 2/3 no beben café

(120 ×3

2= 80)

entonces 40 toman café

Paso 4

Grupo de no vegetarianos

Paso 6

Si la unión de los que toman café con los vegetarianos es: 120 −72 = 48

Paso 8

Si los que solo son vegetarianos y no toman café son 8, y en total hay 24, la intersección entre ambos es 16.

Por lo que podemos concluir que el diagrama completo quedará de la siguiente forma:

Contestando la pregunta: ¿Cuántas personas son vegetarianas y beben café? R// Las personas que son vegetarianas y beben café es la intersección de ambas y es de 16 personas.

Ejemplo No. 4 A 156 estudiantes de cuarto se les aplico una encuesta respecto de su actividad favorita.

La encuesta arrojó los siguientes resultados: A 52 Jóvenes les gusta el futbol A 63 les gusta jugar en el celular A 87 les gusta los videojuegos. ▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un Actividad: 26 juegan con futbol y con el celular 37 juegan con el celular y con videojuegos 23 juegan con futbol y los videojuegos; por último 7 expresaron su gusto por los tres.

Con la anterior información conteste las siguientes preguntas: a) ¿A cuántos jóvenes les gusta otra

actividad no mencionado en la encuesta?

b) ¿A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar con los videojuegos?

c) ¿A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar futbol?

SOLUCIÓN: Paso 1

Se debe de iniciar por la que contiene mayor información 7 expresaron su gusto por los tres.

Paso 2

Luego la información de las que contienen 2 datos y uno de ellos debe de ser el anterior. 26 juegan con futbol y con el celular

𝐹 ∩ 𝐶 = 26

Paso 3

37 juegan con el celular y con videojuegos

𝐶 ∩ 𝑉 = 37

Paso 4

23 juegan con futbol y los videojuegos

𝐹 ∩ 𝑉 = 37

Paso 5

Al finalizar la fase de dos datos se tiene

Paso 7

A 63 les gusta jugar en el celular 19 + 7 + 30 + 𝑦 = 63

56 + 𝑦 = 63 𝑦 = 7

A 87 les gusta los videojuegos. 16 + 7 + 30 + 𝑧 = 87

53 + 𝑧 = 87 𝑧 = 34

Paso 6 Trabajamos ahora con la información de un solo dato:

• A 52 Jóvenes les gusta el futbol

16 + 7 + 19 + 𝑥 = 52 42 + 𝑥 = 52

𝑥 = 10

Respuestas: a) Jóvenes que les gusta otra

actividad = 33 b) Jóvenes que les gusta solamente

jugar videojuegos = 34 c) Jóvenes les gusta solamente jugar

futbol = 10

RESUMEN DE UNIDAD SUMATORIA Es una notación que permite representar sumas de varios sumandos, o incluso infinitos sumandos. La notación se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ de la siguiente manera:

∑ 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=𝑚

= 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚+2 + ⋯ + 𝑎𝑛

Donde 𝑚 < 𝑛

Tanto por ciento Representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente porcentaje. Se resuelve con reglas de tres simples y directas.

100% → Total X → Dato

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos

Simbología de Conjuntos

Símbolo Descripción

{ } conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

| Tal que.

U Conjunto Universo.

∅ Conjunto Vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de.

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de Conjuntos.

𝐴𝑐 Complemento del conjunto A.

= Símbolo de igualdad.

≠ No es igual a.

... El conjunto continúa.

FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

• Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.

• Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.

Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn.

Cardinalidad de conjuntos Es el número de elementos en un conjunto particular. Tipos de conjuntos

Conjunto vacío { }

El conjunto que no contiene ningún elemento

Es el conjunto que contiene todos los elementos posibles

Conjunto universal 𝑈

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común.

Relaciones entre conjuntos

Relación de pertenecía

∈ / ∉

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto si forma parte de él.

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos.

Relación de igualdad =

Relación de inclusión. Subconjuntos

⊆

Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A.

Operaciones con conjuntos

Unión: ∪

Intersección:

∩

Complementario:

𝐴𝑐

Diferencia: −

Diferencia simétrica:

∆

Producto cartesiano:

Es el conjunto 𝐴 × 𝐵 de todos los pares ordenados (a,b).

.

UNIDAD 3

DISTRIBUCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS NO AGRUPADOS.

Indicadores de logro: Utilizar la información obtenida de datos simples, en la toma de decisiones orientadas a la resolución de problemas trasladándolos a tablas, gráficas y cálculos de medidas de tendencia.

DATOS ESTADÍSTICOS

Es la información que se obtiene de la observación del fenómeno que estamos estudiando, el cual se lleva a cabo a las personas, animales, objetos entre otros a través de las herramientas de recolección de datos antes descritas. TABLA: Se utiliza para recolectar la información, donde se recogen los datos de uno a uno y se clasifican y ordenan.

Ejemplo 1

Una empresa que se dedica al ramo de suministros eléctricos realizo la siguiente encuesta. 1. ¿Cuáles son los problemas más

frecuentes en su casa? o Sobrecarga o Corto circuito o Caída de tensión o Mal estática de la

instalación o Otros

2. Al contratar un electricista, ¿Qué prefiere? o Profesional o Persona sin conocimientos,

pero experimentada o Técnico sin experiencia o Técnico o Otros

3. ¿Cuál de los siguientes tipos de empresas, según usted, hace más falta dentro de su sector? o Instalaciones eléctricas o Mantenimiento eléctrico o Insumos eléctricos o Venta de ferretería o Otros

Para realizar el Conteo de los datos se utiliza una tabla, donde cada línea es igual a un dado. Pregunta No. 1: Variable cualitativa: 𝒙 = Problemas eléctricos frecuentes en casa.

𝑥 Conteo Total (𝑓)

Sobrecarga //// 4

Corto circuito /// 3

Caída de tensión 0

Mal estática de la instalación //// // 7

Otros / 1

Total 15

Pregunta No. 2: Variable cualitativa: 𝒙 = Contratación de Electricista


Profesional //// //// 9

Persona sin conocimientos, pero experimentada

0

Técnico sin experiencia 0

Técnico //// / 6

Otros

0

Total 15

.

Realizar la pregunta No. 3 en el salón de clases, revisando las necesidades que se tiene, luego realice una tabla de datos estadísticos, indicando el tipo de variable que se empleó.

Ejemplo 2

Un grupo de estudiantes investiga cual es la tendencia en cuanto al uso de buscados de internet y obtiene las siguientes respuestas:

Google Bing Google Google Yahoo

Bing Google Google Google Google

Baidu Google Google Google Google

Google Yahoo Bing Google Baidu

Variable cualitativa: 𝒙 = Buscadores de internet.


Google //// //// /// 13

Bing /// 3

Baidu // 2

Yahoo // 2

Total 20

Ejemplo 3

En una fábrica de moto taxis (tuc tuc) obtuvo la siguiente producción durante 25 días hábiles de producción en un mes.

140 152 146 140 160

155 149 152 148 147

150 141 146 152 157

148 155 152 160 148

160 140 152 148 155

Variable cuantitativa: 𝒙 = Producción de moto taxis (tuc tuc)


160 /// 3

157 / 1

155 /// 3

152 //// 5

150 / 1

149 / 1

148 //// 4

147 / 1

146 // 2

141 / 1

140 /// 3

Total 25

Observe que en los datos de tipo cuantitativos es necesario ordenar. Se acostumbra que su ordenamiento se realice conforme al dato iniciando con el dato mayor y terminando con el dato menor.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Es la representación conjunta de los datos en forma de tabla o subgrupo de datos correspondientes a un fenómeno en estudio y su ordenamiento en base al número de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos, adecuados según cronología, geografía, análisis cuantitativo o cualitativo.

Los principales elementos de una tabla estadística son: Título, unidades, encabezado, cuerpo o contenido, nota de pie y referencias. Se elabora colocando en la primera columna los datos diferentes o subgrupos de datos (llamados clases o intervalos de clase) y en la columna siguiente el número de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos (llamada frecuencia).

Ejemplo: Tabla de distribución de frecuencias

deporte favorito de estudiantes de KINAL

Deporte favorito 𝑓

Fútbol 500

Baloncesto 100

Volibol 50

Atletismo 10

Otros 5

Total de alumnos 665

Una tabla de este tipo dará, en forma abreviada, una información completa acerca de la distribución de los valores observados. Estas tablas facilitan el uso de los métodos gráficos y aritméticos. La presentación de los datos en forma ordenada, por medio de una tabla, dependerá de los datos de que se trate, y si estos son cualitativos o cuantitativos como se muestra a continuación:

Cuantitativas o Numéricas Los datos de la primera columna son números los se ordenan de la siguiente forma:

• Ordenamiento Creciente (del menor al mayor)

• Ordenamiento Decreciente (del mayor al menor)

Cierta universidad realizó un experimento sobre el coeficiente intelectual (C.I.) de sus alumnos, para lo cual aplicó un examen de C.I. a un grupo de 20 alumnos escogidos al azar, obteniendo los siguientes resultados:

Datos: C.I. Repeticiones

106 3

109 5

112 7

119 2

124 3

Total 20

Se preguntó a un grupo de alumnos de primer año de KINAL, por la asignatura de su preferencia, arrojándose los siguientes resultados:

CLASE PREFERIDA DE ALUMNOS DE KINAL

Dato: Clase Preferida 𝒇 Taller 11

Tecnología 9

Matemáticas 9

Química 6

Lectura 6

Ética 5

Sociales 4

Total 50

Cualitativas o de Cualidades Son los datos que en su primera columna contienen palabras o códigos con letras. Usualmente se pueden ordenar de la siguiente forma:

• Ordenamiento Alfabético Iniciando en la A y finalizando en Z Iniciando en la Z y finalizando en S

• Ordenamiento

• Del mayor al menor

TIPOS DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta o simplemente frecuencia; es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por (𝑓). La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos (𝑓𝑟). Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por (𝑓%). Frecuencia acumulada La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por (𝑓𝑎). La frecuencia relativa acumulada Es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento, se representa por (𝑓𝑎%)

CONSTRUCCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS

Datos diferentes: Consideraremos como un dato diferente, a cada uno de los distintos datos que se presentan en la muestra, los denotaremos por 𝑥𝑖, y al número total de datos diferentes lo denotaremos por 𝑁. Datos no Agrupados: Cuando el tamaño de la muestra (𝑁) es finito y el número de datos diferentes es pequeño (consideraremos pequeño 𝑘 ≤ 10). O cuando se trata de datos cualitativos, exceptuando que se puedan agrupar (no es común).

Ejemplo

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32 31 28 29 33 32

31 30 31 31 27 28

29 30 32 31 31 30

30 29 29 30 30 31

30 31 34 33 33 29

29 SOLUCIÓN:

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

𝐾 𝑥𝑖 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑒𝑜 𝑓 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓% 𝑓𝑎% 1 27 I 1 1 0.0323 3.23% 3.23%

2 28 II 2 3 0.0645 6.45% 9.68%

3 29 IIII I 6 9 0.1935 19.35% 29.03%

4 30 IIII II 7 16 0.2258 22.58% 51.61%

5 31 IIII III 8 24 0.2581 25.81% 77.42%

6 32 III 3 27 0.0968 9.68% 87.10%

7 33 III 3 30 0.0968 9.68% 96.78%

8 34 I 1 31 0.0322 3.22% 100 %

N 31 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Es la manera de expresar los datos estadísticos, utilizando los medios de representación que proporciona la geometría (puntos, segmentos de recta, curvas, superficies, volúmenes, etc.). En general las gráficas deben poner de relieve las variaciones de la serie estadística, favorecer las consultas y permitir las comparaciones.

Ventajas de utilizar una gráfica: Desventajas de las gráficas:

• Sintetizan los datos, permitiendo un mejor análisis de una ojeada al gráfico

• Destacan características, por ser una manera visual, permiten resaltar hechos esenciales.

• Control, porque permiten ver a simple vista las anomalías que pueden tener la información.

• Comparación, nos permiten de manera más fácil hacer confrontaciones de dos o más series de datos.

• Perdida de detalles de la información.

• Poseen elementos subjetivos

• Puede haber deformaciones tendenciosas con fines comerciales o políticos

• Puede tener errores involuntarios en la construcción.

Debe tomar en cuenta que las gráficas no sustituyen a los cuadros, ya que ambos son complementarios y forman una parte de una investigación científica. Reglas sobre la construcción de las gráficas

1. Título general 2. Nombre en los ejes 3. Fuente de procedencia de los datos 4. La parte más alta de la gráfica debe ser aproximadamente ¾ del ancho total (opcional) 5. Todas las barras deben tener el mismo ancho (no confundir con la altura)

(Esto es solo para diagramas de barras e histogramas)

GRÁFICAS ESTADÍSTICAS

Histograma Es una gráfica de barras donde la escala horizontal representa clases de valores de datos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a los valores de frecuencia; en tanto que las barras se dibujan de manera adyacente (sin espacios entre sí).

Polígono de Frecuencias Utiliza segmentos lineales conectados a puntos que se localizan directamente por encima de los valores de las marcas de clase. El polígono de frecuencias relativas se empela usualmente para comparar dos datos estadísticos estudiados.

Diagramas de Barras Se representan tantas barras como categorías tiene la variable, de modo que la altura de cada una de ellas sea proporcional a la frecuencia o porcentaje de casos en cada dato.

DIAGRAMA DE SECTORES Esta gráfica se utiliza para representar variables cualitativas (cualidades) y sirve para hacer notar las diferencias en las proporciones o porcentajes en que está dada la distribución. Para realizar un diagrama de sectores debe utilizarse un compás y un transportador (para medir los ángulos). Pasos a seguir: 1) Calcule la frecuencia relativa (f%) 2) Calcule el ángulo, esto se realiza multiplicando el porcentaje por 360° Ejemplo 1: Se realizó un estudio a 2,017 usuarios de teléfono preguntándoles sobre la compañía que les brinda el servicio. Los datos están en la tabla.

Empresa Usuarios 𝑓𝑟 Ángulo

A 870,000 0.43 155.5°

B 700,000 0.35 125.3°

C 285,000 0.14 51.1°

D 157,000 0.08 28.1°

SUMA 2,012,000 1 360°

Construya un diagrama de sectores.

PICTOGRAMAS Son representaciones en las que se emplean símbolos o dibujos con el valor determinado y uniforme, que son representativos del fenómeno que se quiere dar a conocer. Ejemplo 1: Un finquero posee cinco fincas, con la cantidad de cabezas de ganado que se indican:

FINCA No. CABEZAS

Sacatepéquez 100

Chimaltenango 150

Chiquimula 400

Quiche 200

Sololá 300

SUMA 1150 .

Construya un pictograma utilizando figuras de vacas.

MEDIDAS DE POSICIÓN Se trata de medidas que dan cuenta de una determinada posición dentro de la distribución de unos datos. Su propósito es resumir en un solo número la posición o la localización de la distribución.

Medidas de tendencia central: Medidas de tendencia no central:

Media: Aritmética, geométrica y ponderada Mediana (𝑴𝒅) Moda (𝑴𝒐)

Cuantiles (𝑄) Deciles (𝐷) Percentiles (𝑃)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA (PROMEDIO)

Es el valor obtenido después de sumar todos los datos y de dividir el total entre el número de datos que haya. Se representa por la letra �̅�

Ejemplo: Halle la media aritmética de los números 16, 17, 19, 20, 22, 22, 23, 28, 29.

�̅� =16 + 17 + 19 + 20 + 22 + 22 + 23 + 28 + 29

9

�̅� = 21.8

MEDIANA

Ejemplo 1: Determinar la mediana de los siguientes números: 3, 5, 8, 7, 4, 8 y 10

1. Ordenamos: 3, 4, 5, 7, 8, 8, 10. 2. Numero de observaciones: Impar.

3. Md = 7. Esto porque: 3, 4, 5, 7, 8, 8, 10.

El valor 7 está justo a la mitad de los valores. Ejemplo 2: Determinar la mediana de los siguientes números: 2, 5, 7, 4, 6, 8, 3 y 9.

1. Ordenamos: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2. Numero de observaciones: Par.

Md = (5+6)/2. Md = 5.5

Esto porque: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Los valores 5 y 6 están en la mitad.

Es cuando se organizan los datos numéricos de menor a mayor, y luego se seleccionar el valor situado en la mitad. Se simboliza con “𝑀𝑑” Pasos para calcular la mediana: 1. Ordenar los valores de menor a

mayor 2. Determinar si el número de

observaciones es par o impar y luego calcule la mediana de la siguiente forma: a) Impares: la mediana es el

valor medio b) Pares: la mediana es el

promedio de los dos valores medios.

MODA

Es el valor de la variable que más veces se repite. En algunos casos existen varias modas, pero normalmente es una, si son dos se llama bimodal.

Ejemplo: Determine la moda de los siguientes números: 1, 2, 4, 4, 3, 7, 2, 4, 3, 2, 5 y 2. Calcule la moda. Ordenamos los valores: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7. Nos damos cuenta que el valor que más veces se repite es 2. 𝑀𝑜 = 2

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL Son medidas de posición que no tiene porqué ser central. Hay varios tipos de cuantiles: 1) CUARTILES

Son valores de la variable que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, por lo tanto, los cuartiles son tres Q1 que deja por detrás de él al 25% de la población, Q2 que divide a la población en dos partes iguales 50% y Q3 que deja detrás de él al 75% de la población.

2) DECILES

Son valores de la variable que dividen a la distribución en diez partes iguales, por lo tanto los deciles son nueve, D1 deja al 10% antes, D2 al 20% y así sucesivamente hasta D9 que deja al 90% antes y al 10% después de él.

3) PERCENTILES.

Son valores de la variable que dividen a la distribución en cien partes iguales, por lo tanto, los percentiles son 99.

Ecuación para obtener la posición del cuantil

Localización Cuantiles: Localización Percentil: Localización Percentil:

𝐿𝑄 = (𝑛)𝑄

4 𝐿𝑃 = (𝑛)

𝐷

10 𝐿𝑃 = (𝑛)

𝑃

100

Criterios para ubicar al cuantil

• Si 𝐿𝑥 es entero, entonces el Cuantil 𝑘 corresponde al valor medio de las observaciones ubicadas en las posiciones 𝐿𝑥 y [𝐿𝑥 + 1].

• Si 𝐿𝑥 no es un entero, el cuantil 𝑘 corresponde a la observación ubicada en la posición entera siguiente, es decir, [𝐿𝑥 + 1]

Ejemplo: Determine los percentiles 25 y 60 de los siguientes datos: 3, 5, 5, 8, 12, 15, 21, 23, 25, 26, 29, 35 Solución: En total hay 12 datos (𝑁 = 12) Percentil 25 (P25) = Cuartil 1 (𝑄1)

𝐿𝑃 = (12)25

100= 3

Resulta un entero, por lo tanto, el P25 corresponde al promedio de las observaciones en las posiciones 3° y 4°, es decir:

𝑃25 =5 + 8

2= 6.5

Percentil 60 (P25)

𝐿𝑃 = (12)60

100= 7.2

Dado que no es un entero, nos movemos al entero siguiente.

3, 5, 5, 8, 12, 15, 21, 23, 25, 26, 29, 35

Es decir, P60 = 23 (observación en la 8ª posición)

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son:

• Rango o Recorrido

• Desviación Media

• Desviación Estándar

• Varianza

RANGO O RECORRIDO El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

𝑅 = 𝐷𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

𝐷𝑖 = 𝑥 − �̅� La desviación media se representa por

𝑆�̅� =∑|𝑥𝑖 − �̅�|

𝑁

DESVIACIÓN MEDIA

VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa 𝑆2

𝑆2 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑁

También llamada desviación típica. Es la raíz cuadrada de la varianza

𝑆 = √∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑁

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Solución: Primero se calcula la media

�̅� =9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9 + 18

8 �̅� = 9

La media es indispensable para la mayoría de medidas de dispersión.

Rango 𝑅 = 18 − 3 𝑅 = 15

Desviación Media 𝑆�̅� =|9 − 9| + |3 − 9| + ⋯ + |18 − 9|

8 𝑆�̅� = 2.25

Varianza 𝑆2 =(9 − 9)2 + (3 − 9)2 + ⋯ + (18 − 9)2

8 𝑆2 = 15

Desviación Estándar 𝑆 = √15 𝑆 = 3.87

COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación es una medida relativa de la variabilidad; mide la desviación estándar en relación con la media, se emplea para comparación de dos poblaciones de datos.

𝐶𝑉 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎∙ 100%

𝐶𝑉 =𝑆

�̅�∙ 100%

Ejemplo:

Se realiza una encuesta a 20 estudiantes de KINAL sobre cuantas horas utilizan redes sociales, los datos en horas se describen a continuación

1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6

Para lo cual se le solicita construir un estudio estadístico completo, el cual involucre:

• Tabla de distribución de frecuencias

• Gráfica de barras

• Medidas de posición (centrales y no centrales “3er. Cuartil”)

• Medidas de dispersión

• Coeficiente de variación. Solución

Tabla de distribución de frecuencias de horas que se utiliza las redes sociales

𝑥𝑖 = ℎ𝑟 𝑓 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓% 𝑓𝑎% 1 1 1 0.05 5% 5%

2 3 4 0.15 15% 20%

3 4 8 0.2 20% 40%

4 6 14 0.3 30% 70%

5 4 18 0.2 20% 90%

6 2 20 0.1 10% 100%

Totales 20 1

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

�̅� =1 + 2(3) + 3(4) + 4(6) + 5(4) + 6(2)

20

Media: �̅� = 3.75

1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6

Mediana: 𝑀𝑑 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Moda: 𝑀𝑜 = 4 ℎ𝑟 (es la que tiene más repeticiones)

1

3

4

6

4

2

0

1

2

3

4

5

6

7

1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h

cAN

TID

AD

DE

esTU

DIA

NTE

S

Horas de Uso de Redes Sociales

MEDIDAS DE TENDENCIAS NO CENTRALES Cálculo del tercer cuartil (Q3=P75)

𝐿𝑃 = (20)75

100= 15

(𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝑜. 15 𝑦 16)

1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6

𝑃75 =5 + 5

2= 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Rango: 𝑅 = 𝐷𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Desviación Media: 𝑆�̅� =∑ |𝑥𝑖−�̅�|𝑛

𝑖=1

𝑁

Desviación Estándar: 𝑆 = √∑ (𝑥𝑖−�̅�)𝑛𝑖=1

2

𝑁

Media: �̅� = 3.75 Rango: 𝑅 = 6 − 1 = 5

Desviación Media: 𝑆�̅� =|1−3.75|+3∙|2−3.75|±⋯

20=

22

20

𝑆�̅� = 1.1

Desv. Estándar: 𝑆 = √(1−3.75)2+3∙(2−3.75)2+⋯

20=√

35.75

20

𝑆 = 1.34 Varianza: 𝑆2 = 1.79

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

𝐶𝑉 =𝑆

�̅�∙ 100% 𝐶𝑉 =

1.34

3.75= 0.357

𝐶𝑉 = 35.7%

RESUMEN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

𝑁 = 20 estudiantes Media: �̅� = 3.75 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Mediana: 𝑀𝑑 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Moda: 𝑀𝑜 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Percentil: 𝑃75 =5+5

2= 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Rango: 𝑅 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Desviación Media: 𝑆�̅� = 1.1 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Desviación Estándar: 𝑆 = 1.34 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Varianza: 𝑆2 = 1.79 Coeficiente de variación: 𝐶𝑉 = 35.7%

Los estudiantes de Kinal utilizan las redes sociales un promedio 3.75 hr (3h y 45 min), con una mayor frecuencia de 4 hrs. La en la posición 75 de los datos están los que utilizan 5 hrs.

El rango entre el que utiliza más horas y el que emplea menos horas es de 5hrs. La desviación con relación al promedio es de 1.3 hrs. Si se compara con otros estudios de otros jóvenes que utilizan redes sociales se puede emplear 35.7% como valor de comparación, que representa a un coeficiente en la que variaron los datos con relación a la media.

1

34

6

4

2

0

2

4

6

8

1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h

CA

NTI

DA

D D

E ES

TUD

IAN

TESHoras de Uso de Redes Sociales

MEDIDAS DE FORMA: Son indicadores estadísticos que permiten identificar si una distribución de frecuencias presenta uniformidad. Las medias de forma son necesarias para determinar el comportamiento de los datos y así, poder adaptarla a algún modelo probabilístico. Las medidas de forma que estudiaremos son:

SESGO Una comparación de la media, la mediana y la moda pueden revelar información acerca de las características de sesgo

Sesgada a la izquierda (sesgo negativo): La media y la mediana están a la izquierda de la moda.

Simétrica (sesgo cero): La media, la mediana y la moda son iguales.

Sesgada la derecha (sesgo positivo): La media y la mediana están a la derecha de la moda.

Ecuación para cálculo de sesgo:

𝑆𝑒𝑠𝑔𝑜 =𝑄1 − 2𝑄2 + 𝑄3

𝑄3 − 𝑄1

Grado de Asimetría Valor del Sesgo

Simetría Perfecta Cero.

Sesgo Positivo Positivo.

Sesgo Negativo Negativo.

.

Es una medida que indica o mide lo plano o puntiaguda que es una curva de distribución.

𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 =1

2(

𝑄3 − 𝑄1

𝑃90 − 𝑃10)

Los tipos de curtosis son los siguientes:

Si 𝑔2 > 0.263 Distribución: LEPTOCÚRTICA

Si 𝑔2 = 0.263 Distribución: MESOCÚRTICA

Si 𝑔2 < 0.263 Distribución: PLATICÚRTICA

LA CURTOSIS

RESUMEN DE UNIDAD DATOS ESTADÍSTICOS Es la información que se obtiene de la observación del fenómeno estudiado. TABLA: Instrumento para recolectar información. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos. Tipos de datos estadísticos:

• Datos Cuantitativas o Numéricas

• Datos Cualitativas o de Cualidades TIPOS DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta (𝑓) Frecuencia relativa (𝑓𝑟), se puede escribir en forma de porcentaje (𝑓%). Frecuencia acumulada (𝑓𝑎) La frecuencia relativa acumulada (𝑓𝑎%) REPRESENTACIÓN GRÁFICA

histograma

polígono de frecuencias

diagramas de barras

diagrama de sectores

pictogramas

MEDIDAS DE POSICIÓN

• Medidas centrales

• Medias no centrales

Medidas De Tendencia Central

• media aritmética (�̅�): es el promedio

• mediana (𝑀𝑑): valor del medio moda (𝑀𝑜): valor con mayor frecuencia

Medidas De Tendencia No Central

• Cuantiles:

Cuartiles Deciles Percentiles

𝐿𝑄 = (𝑛)𝑄

4 𝐿𝑃 = (𝑛)

𝐷

10 𝐿𝑃 = (𝑛)

𝑃

100

Criterios para ubicar al cuantil

• 𝐿𝑥=entero: el Cuantil 𝑘 corresponde al promedio de las posiciones 𝐿𝑥 y [𝐿𝑥 + 1].

• 𝐿𝑥≠ entero: el cuantil 𝑘 corresponde a la ubicada siguiente, es decir, [𝐿𝑥 + 1]

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

• Rango o Recorrido (𝑅): 𝑅 = 𝐷𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

• Desviación Media (𝑆�̅�):

𝑆�̅� =∑|𝑥1 − �̅�| ∙ 𝑓

𝑁

• Desviación Estándar (𝑆2):

𝑆2 =∑(𝑥1 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

• Varianza (𝑆):

𝑆 = √∑(𝑥1 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

Coeficiente De Variación

𝐶𝑉 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎∙ 100%

MEDIDAS DE SIMETRÍA Sesgo:

Sesgo=𝑄1−2𝑄2+𝑄3

𝑄3−𝑄1





Curtosis:

Curtosis=1

2(

𝑄3−𝑄1

𝑃90−𝑃10)

UNIDAD 4

DISTRIBUCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS AGRUPADOS.

Indicadores de logro: Utilizar la información obtenida de datos agrupados, en la toma de decisiones orientadas a la resolución de problemas trasladándolos a tablas, gráficas y cálculos de medidas de tendencia.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Nota: Para facilitar el aprendizaje se tomó la decisión de trabajar únicamente con datos enteros, evitando los datos decimales. Los cuales se trabajan tomando la unidad decimal más pequeña. Para formar los intervalos debe de seguir la siguiente secuencia de paso ordenados:

RANGO (R) 𝑅 = 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Se calcula a través de la fórmula: 𝐾 = 1 + 3.3 ∗ log(𝑁)

Donde N es el total de datos estudiados

NÚMERO DE INTERVALOS ( 𝑲)

AMPLITUD DEL INTERVALO (i) La amplitud del intervalo se obtiene:

𝑖 =𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠=

𝑅

𝐾

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

LÍMITES DE LA CLASE

MARCA DE CLASE (X) La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE DATOS AGRUPADOS Ejemplo:

3 15 24 28 33 35 38 42 43 38 36 34 29 25 17 7 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48. 2º Se calcula el rango: R = 48 – 3 = 45 3°Se calcula el número de intervalos

𝐾 = 1 + 3.3 ∗ log(40) = 6.286797971 Nota: se debe de utilizar como mínimo 5 cifras decimal.

4° Se calcula la amplitud de los intervalos

𝑖 =45

6.286797971= 7.157856863

𝑖 toma el valor entero aproximado. 𝑖 = 7

5° Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

Intervalos

1 3 9

2 10 16

3 17 23

4 24 30

5 31 37

6 38 44

7 45 51

6° Se termina a construir la tabla completa de distribución de frecuencias agrupadas; de la misma forma como se construyó la tabla de frecuencias simples solo que agregando una columna para la marca de clase.

Intervalos 𝑥 𝑓 𝑓𝑎 𝑓𝑟 𝑓% 𝑓𝑎%

1 3 – 9 6 2 2 0.05 5.00% 5.00%

2 10 – 16 13 5 7 0.125 12.50% 17.50%

3 17 – 23 20 3 10 0.075 7.50% 25.00%

4 24 – 30 27 7 17 0.175 17.50% 42.50%

5 31 – 37 34 12 29 0.3 30.00% 72.50%

6 38 – 44 41 9 38 0.225 22.50% 95.00%

7 45 – 51 48 2 40 0.5 5.00% 100.00%

7° Con la tabla ya construida, puede realizarse cualquier tipo de gráfica:

• Histograma (utiliza en el eje x los intervalos)

• Polígono de frecuencias (utiliza en el eje x las marcas de clase)

• Diagrama de barras (utiliza en el eje x los intervalos)

• Sectores circulares

• Pictogramas Las medidas de posición y dispersión llevan un proceso un poco diferente al de datos no agrupados. Esto se tratará en las hojas posteriores.

Diferencia de 7

MEDIDAS DE POSICIÓN Se trata de medidas que dan cuenta de una determinada posición dentro de la distribución de unos datos. Su propósito es resumir en un solo número la posición o la localización de la distribución.

Medidas de tendencia central: Medidas de tendencia no central:

Media: Aritmética, geométrica y ponderada Mediana (𝑴𝒅) Moda (𝑴𝒐)

Cuantiles (𝑄) Deciles (𝐷) Percentiles (𝑃)

Media:

�̅� =∑ 𝑓 ∙ 𝑥

𝑁

Donde f es la frecuencia, x es la marca de clase y N es el número de datos.

Ejemplo: Del ejemplo de la hoja No. 1, agregamos una columna.

Intervalos 𝑥 𝑓 𝑥 ∙ 𝑓

1 3 – 10 6.5 2 13.0

2 11 – 18 14.5 6 87.0

3 19 – 26 22.5 4 90.0

4 27 – 34 30.5 9 274.5

5 35 – 42 38.5 14 539.0

6 43 – 50 46.5 5 232.5

Suma: 1236

�̅� =1236

40= 30.9 R// La media es de: 30.9

Ejemplo: #i = 6; i = 8; N=40 Intervalos Limite real f fa

1 3 – 10 2.5 – 10.5 2 2

2 11 – 18 10.5 – 18.5 6 8

3 19 – 26 18.5 – 26.5 4 12

4 27 – 34 26.5 – 34.5 9 21

5 35 – 42 34.5 – 42.5 14 35

6 43 – 50 42.5 – 50.5 5 40

Para encontrar la posición se calcula con 𝑁

2; en este caso es

20; se elige la fa que sea de 20 o superior. Luego encontramos faa que es la frecuencia acumulada anterior a 21 que es 12 Luego seguimos la ecuación y sustituimos datos:

𝑚𝑒 = 𝟐𝟔. 𝟓 + (20 − 12

9) 8 = 33.61

R// La mediana es de: 33.61

Mediana

𝑚𝑒 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑁2 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

Donde 𝒍𝒓𝒊 es el límite real inferior, 𝑵 es el número de datos, 𝒇𝒂𝒂 es la frecuencia acumulada anterior, 𝒇 es la frecuencia, 𝒊 es la amplitud del intervalo.

Moda

𝑚𝑜 = 𝑙𝑟𝑖 + (∆1

∆1 + ∆2) 𝑖

Donde lri es el límite real inferior. ∆1= 𝑓𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑎𝑙𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

∆2= 𝑓𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑎𝑙𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

i es la amplitud del intervalo.

Intervalos Limite real f fa

1 3 – 10 2.5 – 10.5 2 2

2 11 – 18 10.5 – 18.5 6 8

3 19 – 26 18.5 – 26.5 4 12

4 27 – 34 26.5 – 34.5 9 21

5 35 – 42 34.5 – 42.5 14 35

6 43 – 50 42.5 – 50.5 5 40

La frecuencia mayor es 14 y en esa fila el límite real inferior es 34.5 los deltas serian: ∆1= 14 − 9=5 ∆2= 14 − 5 = 9 Sustituimos en la ecuación:

𝑚𝑜 = 34.5 + (5

5+9) 8 =37.36

R// La moda es de: 37.36

MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL Las medidas de posición no central dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. Las medidas de posición no central son:

Cuartiles: 𝑄𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁4 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

Donde:

• 𝑙𝑟𝑖: Es el límite real inferior.

• 𝑁: Es el número de datos.

• 𝑓𝑎𝑎: Es la frecuencia acumulada.

• 𝑓: Es la frecuencia.

• 𝑖: Es la amplitud del intervalo.

Deciles:

𝐷𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁10 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

Percentiles: 𝑃𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁100 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

EJEMPLO: Intervalos 𝒇

1 3 – 10 2

2 11 – 18 6

3 19 – 26 4

4 27 – 34 9

5 35 – 42 14

6 43 – 50 5

Determine el séptimo decil #i = 6; i = 8; N=40; 𝑘 = 7 (sétimo decil)

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝑘 ∙ 𝑁

10=

7 ∙ 40

10= 28

Intervalos Limite real 𝒇 𝒇𝒂

1 3 – 10 2.5 – 10.5 2 2

2 11 – 18 10.5 – 18.5 6 8

3 19 – 26 18.5 – 26.5 4 12

4 27 – 34 26.5 – 34.5 9 21

5 35 – 42 34.5 – 42.5 14 35

6 43 – 50 42.5 – 50.5 5 40

𝐷𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁10 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

𝐷𝑘 = 34.5 + (28 − 21

14) 8 = 38.5

R// El sétimo decil es: 38.5

Determine el primer cuartil #i = 6; i = 8; N=40; 𝑘 = 1 (primer cuartil)

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝑘 ∙ 𝑁

4=

1 ∙ 40

4= 10

Intervalos Limite real 𝒇 𝒇𝒂

1 3 – 10 2.5 – 10.5 2 2

2 11 – 18 10.5 – 18.5 6 8

3 19 – 26 18.5 – 26.5 4 12

4 27 – 34 26.5 – 34.5 9 21

5 35 – 42 34.5 – 42.5 14 35

6 43 – 50 42.5 – 50.5 5 40

𝑄𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁4 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

𝐷𝑘 = 18.5 + (10 − 8

4) 8 = 22.5

R// El primer cuartil es: 22.5

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son:

• Rango o Recorrido

• Desviación Media


• Varianza

Nota: La desviación media no es estudiada en datos agrupados en este libro.

RANGO O RECORRIDO 𝑅 = 𝐷𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar se representa por 𝑠

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

𝑠 = √∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

VARIANZA

𝑠2 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

Ejemplo:

Intervalos 𝒙 𝒇 1 600 618 609 2

2 619 637 628 5

3 638 656 647 7

4 657 675 666 13

5 676 694 685 0

6 695 713 704 9

7 714 732 723 4

40

Con la información presentada en la tabla termine:

• Media


• Varianza

Primero calculamos la media

Intervalos 𝒙 𝒇 𝒙 ∙ 𝒇 1 600 618 609 2 1218

2 619 637 628 5 3140

3 638 656 647 7 4529

4 657 675 666 13 8658

5 676 694 685 0 0

6 695 713 704 9 6336

7 714 732 723 4 2892

40 26773

Media:

�̅� =𝒙 ∙ 𝒇

𝑁=

26773

40= 669.33

Segundo, calculamos la varianza y desviación estándar

𝒙 𝒇 (𝑥𝑖 − �̅�)2 (𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓 1 609 2 3639.7089 7279.4178

2 628 5 1708.1689 8540.8445

3 647 7 498.6289 3490.4023

4 666 13 11.0889 144.1557

5 685 0 245.5489 0

6 704 9 1202.0089 10818.0801

7 723 4 2880.4689 11521.8756

40 41794.776

Desviación estándar: Varianza:

𝑠 = √∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁= √

41794.776

40

𝑠 = 32.32

R// La Desviación de los datos es de: 32.32

𝑠2 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁=

41794.776

40

𝑠2 = 1044.87

R// La varianza de los datos es de: 1044.87

COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes: El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas

𝐶𝑉 =𝑆

�̅� 𝐶𝑉 =

𝑆

�̅�∙ 100%

Ejemplo: La empresa Juguitos X S.A. en su presentación de jugos de naranja de 1000 ml (1 litro) a tomado una muestra de 50 jugos los cuales los tabulo en la tabla siguiente. Realice el cálculo del coeficiente de variación.

Intervalo 𝒙 𝒇 𝒇𝒂 𝒇% 𝒇𝒂% 1 970 1002 986 3 3 6.0% 6.0% 2 1003 1035 1019 5 8 10.0% 16.0% 3 1036 1068 1052 10 18 20.0% 36.0% 4 1069 1101 1085 16 34 32.0% 68.0% 5 1102 1134 1118 11 45 22.0% 90.0% 6 1135 1167 1151 4 49 8.0% 98.0% 7 1168 1200 1184 1 50 2.0% 100.0%

Total 50

Solución:

𝒙 𝒇 𝑥 ∙ 𝑓 986 3 2958

1019 5 5095

1052 10 10520

1085 16 17360

1118 11 12298

1151 4 4604

1184 1 1184

54019

𝒙 𝒇 (�̅� − 𝑥)2 (�̅� − 𝑥)2 ∙ 𝑓 986 3 8907.58 26722.74

1019 5 3767.5 18837.5

1052 10 805.42 8054.2

1085 16 21.34 341.44

1118 11 1415.26 15567.86

1151 4 4987.18 19948.72

1184 1 10737.1 10737.1

100209.56

Media

�̅� =𝑥 ∙ 𝑓

𝑁=

54019

50 �̅� = 1080.38

Desviación Estándar

𝑆 = √∑(�̅� − 𝑥)2 ∙ 𝑓

𝑁= √

100209.56

50

𝑆 = 44.77 Coeficiente de variación

𝐶𝑉 =𝑆

�̅�𝐶𝑉 =

44.77

1080.38= 0.0414 = 4.14%

MEDIDAS DE FORMA Las medidas de forma son aquellas que nos muestran si una distribución de frecuencia tiene características especiales como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución. Para analizar estos aspectos recurriremos a dos tipos de medida:

• Medidas de asimetría

• Medidas de curtosis ASIMETRÍA Es una medida de forma de una distribución que permite identificar y describir la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. SESGO Una comparación de la media, la mediana y la moda pueden revelar información acerca de las características de sesgo

Sesgada a la izquierda (sesgo negativo): La media y la mediana están a la izquierda de la moda.

Simétrica (sesgo cero): La media, la mediana y la moda son iguales.

Sesgada la derecha (sesgo positivo): La media y la mediana están a la derecha de la moda.

Ecuación para cálculo de sesgo:


𝑄3 − 𝑄1

Grado de Asimetría

Valor del Sesgo




Ejemplo: La empresa Jugitos X S.A. en su presentación de jugos de naranja de 1000 ml (1 litro) a tomado una muestra de 50 jugos los cuales los tabulo en la tabla siguiente. Realice el cálculo del coeficiente de variación.

Intervalo x f

1 970 1002 986 3

2 1003 1035 1019 5

3 1036 1068 1052 10

4 1069 1101 1085 16

5 1102 1134 1118 11

6 1135 1167 1151 4

7 1168 1200 1184 1

Intervalo x f Limites reales

1 970 1002 986 3 969.5 1002.5

2 1003 1035 1019 5 1002.5 1035.5

3 1036 1068 1052 10 1035.5 1068.5

4 1069 1101 1085 16 1068.5 1101.5

5 1102 1134 1118 11 1101.5 1134.5

6 1135 1167 1151 4 1134.5 1167.5

7 1168 1200 1184 1 1167.5 1200.5

Cálculo de Cuartiles:

𝑃𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁100 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

𝑄1 = 𝑃25 = 1035.5 + (

25 ∙ 50100 − 8

10) ∙ 33 𝑄1 = 1050.35

𝑄2 = 𝑃50 = 1068.5 + (

50 ∙ 50100 − 18

16) ∙ 33 𝑄2 = 1082.94

𝑄3 = 𝑃75 = 1101.5 + (

75 ∙ 50100 − 34

11) ∙ 33 𝑄3 = 1112

Cálculo del sesgo:


𝑄3 − 𝑄1

𝑆𝑒𝑠𝑔𝑜 =(1050.35) − 2(1082.94) + (1112)

(1112) − (1050.35) 𝑆𝑒𝑠𝑔𝑜 = −0.057 (Sesgo negativo)

LA CURTOSIS Es una medida que indica o mide lo plano o puntiaguda que es una curva de distribución.


2(

𝑄3 − 𝑄1

𝑃90 − 𝑃10)

Si 𝑔2 > 0.263 Distribución: LEPTOCÚRTICA

Si 𝑔2 = 0.263 Distribución: MESOCÚRTICA

Si 𝑔2 < 0.263 Distribución: PLATICÚRTICA

Ejemplo:

El cociente intelectual o coeficiente intelectual (CI en forma abreviada; del alemán Intelligenz-Quotient, IQ) es una puntuación resultado de alguno de los test estandarizados diseñados para valorar la inteligencia. Al contrario de lo que se suele pensar comúnmente, el CI no es la inteligencia de una persona, sino un estimador de inteligencia general.

Se medio el coeficiente intelectual de 30 personas, dando los resultados siguientes:

Intervalo x f fa

1 80 86 83 1 1

2 87 93 90 4 5

3 94 100 97 8 13

4 101 107 104 9 22

5 108 114 111 7 29

6 115 121 118 1 30

Cálculo de Percentiles: 𝑃𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑘 ∙ 𝑁100 − 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

𝑃25 = 93.5 + (

25 ∙ 30100 − 5

8) ∙ 7 𝑄1 = 95.69

𝑃75 = 107.5 + (

75 ∙ 30100 − 22

7) ∙ 7 𝑄3 = 108

𝑃10 = 86.5 + (

10 ∙ 30100 − 1

4) ∙ 7 𝑃10 = 90

𝑃90 = 107.5 + (

90 ∙ 30100 − 22

7) ∙ 7 𝑄3 = 112.5

Cálculo de curtosis:


2(

𝑄3 − 𝑄1

𝑃90 − 𝑃10) 𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 =

1

2(

108 − 95.69

112.5 − 90)

𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 = 0.274 Distribución: LEPTOCÚRTICA

RESUMEN DE UNIDAD DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

Rango (R): 𝑅 = 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟

Número de intervalo ( 𝑲): 𝐾 = 1 + 3.3 ∗ log(𝑁) Amplitud del intervalo (i):

𝑖 =𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠=

𝑅

𝐾

Límites de la clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. Marca de clase (X): Es el punto medio de cada intervalo.

MEDIDAS DE POSICIÓN

• Medidas centrales

Media �̅� =∑ 𝑓 ∙ 𝑥

𝑁

Mediana 𝑚𝑒 = 𝑙𝑟𝑖 + (

𝑁2

− 𝑓𝑎𝑎

𝑓) 𝑖

Moda 𝑚𝑜 = 𝑙𝑟𝑖 + (∆1

∆1 + ∆2

) 𝑖

∆1= 𝑓𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑎𝑙𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

∆2= 𝑓𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑎𝑙𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

• Medidas de tendencia no centrales = posición

Cuartiles: 𝑄𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (𝑘∙𝑁

4−𝑓𝑎𝑎

𝑓)i

Deciles:

𝐷𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (𝑘∙𝑁

10−𝑓𝑎𝑎

𝑓)i

Percentiles: 𝑃𝑘 = 𝑙𝑟𝑖 + (𝑘∙𝑁

100−𝑓𝑎𝑎

𝑓)i

MEDIDAS DISPERSIÓN

Rango o recorrido

𝑅 = 𝐷𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Desviación estándar 𝑆 = √

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

Varianza 𝑆2 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∙ 𝑓

𝑁

Coeficiente de variación: 𝐶𝑉 =𝑆

�̅�

MEDIDAS DE FORMA

• Medidas de asimetría SESGO Sesgada a la izquierda

Simétrica (sesgo cero):

Sesgada la derecha


𝑄3 − 𝑄1





• Medidas de curtosis


2(

𝑄3 − 𝑄1

𝑃90 − 𝑃10

)

Leptocúrtica 𝑔2 > 0.263

Mesocúrtica 𝑔2 = 0.263

Platicúrtica 𝑔2 < 0.263

UNIDAD 5

PROBABILIDADES

Indicadores de logro: Interpretar la información estadística de diferentes fuentes para enriquecer su labor y predecir la ocurrencia de eventos.

DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA

Función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua. Fue descubierta por Carl Gauss al estudiar el comportamiento de los procesos aleatorios. Es ampliamente utilizada en estadística y teoría de las probabilidades. Representación gráfica La representación gráfica de esta distribución es una curva simétrica y su forma se asemeja a una campana por lo que se conoce como campana de Gauss.

Propiedades de la distribución normal

• La forma de la curva de la distribución depende de sus dos parámetros: la media y la desviación estándar.

• La media indica la posición de la campana, la gráfica se desplaza a lo largo del eje x.

• A mayor desviación la curva será más "plana", dado que la distribución, en este caso, presenta una mayor variabilidad.

• La curva es simétrica respecto a la media.

Intervalos de una distribución normal Por su importancia en el análisis estadístico son de interés los intervalos donde el área bajo la curva corresponde a determinados valores de probabilidad, estos se describen por medio de ecuaciones o por la regla empírica. REGLA EMPÍRICA PARA DATOS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL Esta regla establece que las siguientes propiedades se aplican a conjuntos de datos con una distribución aproximadamente normal.

• Aproximadamente el 68% de todos los valores están dentro de una desviación estándar de la media.

• Aproximadamente el 95% de todos los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media.

• Aproximadamente el 99.7% de todos los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Ejemplo: El tiempo empleado por un grupo de estudiantes durante el último mes tienen una distribución normal, con una media de 100 min al mes y una desviación estándar de 15 min al mes. ¿Qué porcentaje de las puntuaciones se ubican entre 70 y 130 min al mes? Solución: Media: 100 min. Desviación Estándar: 15 min.

Media Desviación Rango %

100 ±15(1) 85 y 115 68%

100 ±15(2) 70 y 130 95%

100 ±15(3) 55 y 145 99.7%

Con base a la tabla se puede indicar que el 95% de todos los usuarios emplearon 70 y 130 min en el mes pasado.

CURVA NORMAL

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. Como existen diferentes fenómenos y todos poseen diferentes distribuciones normales sería imposible tener una tabla para cada distribución normal, por ello se elaboró solo una tabla, la tabla de la distribución normal estándar, que es la distribución con media igual a cero y desviación estándar igual a uno. Para estandarizar los valores de una variable, se utiliza la siguiente fórmula:

𝑧 =𝑋 − �̅�

𝑆

Ejemplos 1: Hallar la probabilidad p ( z ≤ 0.45 )

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.00 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994

0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962

0.20 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871

0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683

0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364

• En la 1ª columna buscamos el valor de las unidades y las décimas.

• En la 1ª fila el valor de las centésimas.

• Basta buscar 0.4 en la columna y 0.05 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad. La probabilidad p ( z ≤ 0.45 ) = 0.6736 = 67.36%

Ejemplo 2: Probabilidad de un valor positivo p(z>1.24)

En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas.

Sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que: p (z > 1.24) = 1 –

1 – p (z ≤ 1.24) = 1 – 0.8925

R// p (z > 1.24) = 0.1075 = 10.75%

Ejemplo 3: Probabilidad entre dos valores p (0.5 ≤ z ≤ 1.76) La diferencia entre ellas es la probabilidad que nos piden.

–

=

p (z≤1.76) – p (z≤0.5)

0.9608 – 0.6915 = 0.2693

R// p (0.5 ≤ z ≤ 1.76) = 0.2693 = 26.93%

PROBABILIDADES

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística. Las estadísticas se utilizan en casi cada industria incluyendo las aseguradoras, productos de consumo, ventas al por menor, productos farmacéuticos e incluso en el gobierno federal. Las estadísticas son importantes en la industria y los negocios debido a distintas razones. Experimento aleatorio: es aquel que, al repetirlo varias veces, se obtienen resultados diferentes en forma aleatoria (al azar). Ejemplo: al realizar la medición del tiempo en que se tardan en contestar un examen de conocimientos, los estudiantes aspirantes para entrar al Colegio; es decir, es aquel que no se puede prever el resultado. Experimento determinístico: Es aquel que nos proporciona siempre el mismo resultado. Ejemplo: Un ingeniero químico, al determinar el número de moléculas de hidrógeno y oxígeno que hay en el agua (H2O) siempre encontrará que es el mismo, no cambia. Espacio Muestral (E). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, pudiendo ser también el equivalente del conjunto universal en términos de la teoría de conjuntos. Ejemplo 1.

Al lanzar un dado al aire y observaremos los posibles resultados siguientes en que puede caer un dado.

Ejemplo 2.

Para el lanzamiento de dos monedas tendremos de acuerdo al conjunto potencia. 2² = 4, donde la base representa el número de caras de la moneda y el exponente el número de monedas, por lo tanto; A = { SS ,CS, SC,SS }, A = { 4 } (Cuatro elementos compuestos).

El espacio muestral se clasifica en dos tipos:

• Espacio Muestral Discreto: Es aquel en el cual los resultados se pueden enumerar. Los espacios muestrales discretos a su vez se dividen en dos tipos:

1. Espacios muestrales discretos finitos. 2. Espacios muestrales discretos infinitos

• Espacio Muestral Continuo: Este se define en intervalos de la recta de los números reales.

Ejemplos

Identifique que tipo de espacio muestral al que pertenece, dando un en el cuadro que corresponda. Espacio muestral

Discreto

Finito Infinito Continuo

Cantidad de cartas en una baraja inglesa

Cantidad de monedas en la tierra

Cantidad de líquido real en una botella de gaseosa de 1L. Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. Pudiendo ser todos los posibles subconjuntos del espacio muestral.

Evento Simple. Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple ya que no se puede descomponer en otros eventos cuando los eventos se representan en un diagrama de Venn) se denominan puntos Muestrales. Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etcétera, son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples. Evento seguro: Es decir que siempre puede ocurrir, por lo tanto: Es un conjunto que contiene todos los elementos S; Evento imposible: Aquel es imposible que ocurra, por lo tanto: Es el conjunto vacío, F={ }

Ejemplos

Identifique que tipo de evento es al que pertenece, dando un en el cuadro que corresponda. Tipo de evento Simple Compuesto Seguro Imposible

Lanzar una moneda una vez

Lanzar una moneda y luego un dado

Al lanzar un dado, obtener un número entre 1 y 6

Al lanzar un dado, obtener un número 8.

PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS

1) 𝑈: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles. 2) 𝐴 ∪ 𝐵: al menos uno de los eventos A ó B ocurre. 3) 𝐴 ∩ 𝐵: ambos eventos ocurren 4) 𝐴𝑐: el evento A no ocurre. Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

A = sale par, B = sale primo. El evento "A ó B" = 𝐴 ∪ 𝐵: "sale par o primo" se describe:

𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

𝐴 ∩ 𝐵 = {2}

A = sale par, B = sale primo. El evento "A y B" = 𝐴 ∩ 𝐵: "sale par y primo" se describe:

Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

A = sale par, B = sale primo. El evento "no ocurre A" = 𝐴𝑐: "no sale par" se describe:

𝐴𝑐 = {1, 3, 5}

HERRAMIENTAS PARA CONTAR PUNTOS MUESTRALES

DIAGRAMA DE ÁRBOL Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Mario debe ir desde su casa a KINAL, pero antes debe pasar por la casa de un amigo. Para ir desde su casa a la de su amigo, le sirven tres buses y para ir desde la casa de su amigo a KINAL le sirven solo dos.

¿Cómo puedes representar gráficamente esta situación? ¿Cuál es el espacio muestral del que dispone Mario para esta situación?

Solución 1er. autobus que toma: A 2do. Autobus que toma: B Total del espacio muestral R// 6

Ejemplo:

En el menú de un restaurante existen dos tipos de entradas, tres platos principales y 3 tipos de postres. ¿Cómo puedes representar gráficamente esta situación? ¿Cuál es el espacio muestral del menú del restaurante?

Solución 1ero. Elije una entrada 2do. Elije un plato principal 3ro. Elige un postre

Total del espacio muestral R// 18

TEOREMA 0 Con 𝑚 elementos 𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎𝑚 y 𝑛 elementos 𝑏1, 𝑏2,…, 𝑏𝑛, es posible formar 𝑚𝑛 = 𝑚 × 𝑛 pares que contengan un elemento de cada grupo.

Si un espacio muestral contiene N puntos muestrales igualmente probables y un evento A contiene exactamente 𝑛𝑎 puntos muestrales, es fácil ver que

𝑃(𝐴) =𝑛𝑎

𝑁

Ejemplo:

Ejemplo:

Un experimento incluye lanzar un par de dados y observar los números de sus caras superiores. Encuentre el número de puntos muestrales en S, el espacio muestral para el experimento.

Halla la probabilidad de sacar un cinco al tirar un dado. Espacio muestral 𝑁 = 𝑚𝑛 = 1 × 6 = 6 Puntos muestrales 𝑛𝑎 = 1 (porque el dado solo tiene un número cinco)

Solución Evento m = 6 elementos Evento n = 6 elementos R// el número total de espacios muestrales es 𝑚𝑛 = 6 × 6 36 puntos muestrales

Solución: Evento A= Probabilidad de sacar exactamente un 5.

R// 𝑃(𝐴) =1

6 o 𝑃(𝐴) = 16.7% o

𝑃(𝐴) = 0.167

Ejemplo:

Ejemplo:

Una moneda balanceada se lanza tres veces al aire. Calcule el tamaño del espacio muestral

Halla la probabilidad de sacar al menos un uno al tirar dos dados. Solución

Solución Evento m = 2 elementos Evento n = 2 elementos Evento p = 2 elementos Total del espacio muestra

𝑚 ∙ 𝑛 ∙ 𝑝 = 2 × 2 × 2 = 8

Espacio muestral 𝑁 = 𝑚𝑛 = 6 × 6 = 6 Puntos muestrales 𝑛𝑎 =?

Puntos muestrales

𝑛𝑎 = sacar al menos un uno = 11

R// 𝑃(𝐴) =11

36= 30.56% = 0.3056

PERMUTACIONES

DEFINICIÓN 1 Un arreglo ordenado de 𝑟 objetos distintos se denomina permutación. El número de formas de ordenar 𝑛 objetos distintos tomados 𝑟 a la vez estará designado por el símbolo 𝑃𝑟

𝑛.

TEOREMA 1

𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Ejemplo 1:

Los nombres de 3 empleados se han de sacar al azar, sin restitución, de un tazón que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña compañía. La persona cuyo nombre sea sacado primero recibe Q100 y aquellos cuyos nombres se saquen en segundo y tercero recibirán Q50 y Q25, respectivamente. ¿Cuántos puntos muestrales están asociados con este experimento?

Solución: Debido a que los premios otorgados son diferentes, el número de puntos muestrales es el número de arreglos ordenados. 𝑛: Cantidad de objetos = 30 nombres de empleados 𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 3 nombres premiados

𝑃330 =

30!

(30 − 3)!=

30!

(27)!= 28 × 29 × 30 = 24,360

R// Pueden elegirse de 24,360 formas diferentes.

Ejemplo 2:

Suponga que una operación de ensamble en una planta de manufacturas consta de cuatro pasos que se pueden efectuar en cualquier secuencia. Si el fabricante desea comparar el tiempo de ensamble para cada una de las secuencias, ¿cuántas secuencias diferentes estarán involucradas en el experimento?

Solución: 4 pasos diferentes, se trata de arreglos ordenados 𝑛: Cantidad de objetos = 4 pasos 𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 4 formas de hacerlo

𝑃44 =

4!

(4 − 4)!=

1 × 2 × 3 × 4

(0)!= 24

R// Puede realizarse de 24 secuencias distintas.

COMBINACIONES

DEFINICIÓN 2 El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño 𝑟, que se pueden formar a partir de los 𝑛 objetos.

Este número estará denotado por 𝐶𝑟𝑛 o (

𝑛𝑟

).

TEOREMA 2 El número de subconjuntos desordenados de tamaño 𝑟 escogidos (sin restitución) de 𝑛 objetos disponibles es

(𝑛𝑟

) = 𝐶𝑟𝑛 =

𝑃𝑟𝑛

𝑟!=

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Ejemplo 1:

Encuentre el número de formas de seleccionar dos solicitantes de entre cinco y por tanto el número total de puntos muestrales “S”

Solución: La elección de los 2 empleados no importa, por lo tanto, se trata de arreglos sin ordenados. 𝑛: Cantidad de objetos = 5 solicitudes 𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 2 solicitudes de empleo

(52

) = 𝐶25 =

5!

2! (5 − 2)!= 10

R// se puede seleccionar de 10 formas distintas.

Ejemplo 2:

En un examen de Lenguaje se requiere contestar cinco de doce preguntas. ¿Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen?

Solución: Quiere contestar solo 5 no importando que preguntas conteste. Se trata de arreglos sin ordenados. 𝑛: Cantidad de objetos = 12 preguntas disponibles 𝑟: Cantidad de objetos elegidos = 5 preguntas

(125

) = 𝐶512 =

12!

5! (12 − 5)!= 792

R// El estudiante puede contestar de 792 formas distintas.

RESUMEN DE UNIDAD DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA Representación gráfica

Propiedades de la distribución normal

• La forma depende de sus dos parámetros: la media y la desviación estándar.

• La media indica la posición de la campana.

• A mayor desviación la curva será más "plana".

• La curva es simétrica respecto a la media. REGLA EMPÍRICA PARA DATOS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

CURVA NORMAL Para utilizar la tabla de Z, se necesita tener los valores en función de Z, si no están debe de estandarizarse con la ecuación:

𝑧 =𝑋 − �̅�

𝑆

PROBABILIDADES Mide cuantitativamente la posibilidad de un suceso. Experimento aleatorio: es aquel que al repetirlo varias veces, se obtienen resultados diferentes en forma aleatoria (al azar). Experimento determinístico: Es aquel que nos proporciona siempre el mismo resultado.

Espacio Muestral (E). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Clasifica en dos tipos:

• Espacio Muestral Discreto: Es aquel en el cual los resultados se pueden enumerar.

• Espacio Muestral Continuo: Este se define en intervalos de la recta de los números reales.

Evento. Es el resultado de un experimento.

• Evento Simple. Cada uno de los posibles resultados de un experimento.

• Evento Compuesto. Se componen de dos o más eventos simples.

• Evento seguro: Siempre puede ocurrir.

• Evento imposible: Aquel es imposible que ocurra. PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS 1) 𝑈: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles. 2) 𝐴 ∪ 𝐵: al menos uno de los eventos A ó B ocurre. 3) 𝐴 ∩ 𝐵: ambos eventos ocurren 4) 𝐴𝑐: el evento A no ocurre. HERRAMIENTAS PARA CONTAR PUNTOS MUESTRALES TEOREMA 0 Espacio Muestral: 𝑚 × 𝑛

Probabilidad: 𝑃(𝐴) =𝑛𝑎

𝑁

DIAGRAMA DE ÁRBOL Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. PERMUTACIONES Se utiliza en arreglos ordenados

𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

COMBINACIONES Se emplea cuando se realizan sub conjuntos desordenados en un grupo de datos.

(𝑛𝑟

) = 𝐶𝑟𝑛 =

𝑃𝑟𝑛

𝑟!=

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Función de distribución (acumulativa) de la distribución normal tipificada.

𝑧 =𝑋 − �̅�

𝑆

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

–3.00 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100

–2.90 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139

–2.80 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193

–2.70 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264

–2.60 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357

–2.50 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480

–2.40 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639

–2.30 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842

–2.20 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101

–2.10 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426

–2.00 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831

–1.90 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330

–1.80 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938

–1.70 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673

–1.60 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551

–1.50 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592

–1.40 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811

–1.30 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226

–1.20 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853

–1.10 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702

–1.00 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786

–0.90 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109

–0.80 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673

–0.70 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476

–0.60 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510

–0.50 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760

–0.40 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207

–0.30 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827

–0.20 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591

–0.10 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465

–0.00 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48404 0.48006 0.47607 0.47209 0.46811 0.46414

0.00 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586

0.10 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535

0.20 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409

0.30 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173

0.40 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.50 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240

0.60 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490

0.70 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524

0.80 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327

0.90 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.00 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.10 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298

1.20 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147

1.30 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774

1.40 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.50 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408

1.60 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449

1.70 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327

1.80 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062

1.90 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670

2.00 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169

2.10 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574

2.20 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899

2.30 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158

2.40 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361

2.50 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520

2.60 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643

2.70 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736

2.80 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807

2.90 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861

3.00 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900

CUADERNO DE TRABAJO.

Estadística

AÑO: ______

Carn et fechaApellido(s) Nombre (s)

Jornada:

Matutina:

Vespertina:

Carrera:

Perito:

Bachiller:

Sección:

A B C

D E F

Código Técnico

Grado:

4to 5to 6to

Unidad 1 Estadística Teoría Estadística Código de sección académica

APELLIDOS NOMBRES No/ CARNET FECHA

1

INSTRUCCIONES: Indique a que rama de la estadística pertenece el concepto. Estadística Descriptiva

Estadística Inferencial

Su función es predecir algo con respecto a la fuente de información.

Es aquella que describe y analiza una muestra, sin pretender sacar conclusiones.

Es la que observa una de las características, calculando uno de sus parámetros.

Es la que extiende sus resultaos a toda la población.

INSTRUCCIONES: Indique a que área de la población se está realizando el estudio. Individuo Muestra Población

Es un subconjunto de la población que elegimos para hacer un estudio más reducido.

Es el conjunto formado por todos los elementos a los que les vamos a hacer el estudio.

Es cada uno de los elementos, personas u objetos que se van a ser estudiados.

Juan, es un estudiante de KINAL, por lo que formaría en un estudio estadístico.

La sección PE5EV de estudiantes de KINAL, formarían en un estudio estadístico.

Todos los contactos de Facebook un estudiante.

Resultados del examen de estadística de Mario Pérez

Resultados de los exámenes de estadística de todos los estudiantes Pérez.

Resultados de todos los estudiantes de estadística.

INSTRUCCIONES: Identifique a qué tipo de variable estadística pertenece cada suceso.

Variable cualitativa Variables cuantitativas

Nominal Ordinal Discretas Continuas

Nombre los buscadores de la web LETRAS NÚMEROS ENTERO DECIMAL

Nombre de los integrantes de mi equipo de futbol preferido

Números de goles marcados por mi equipo favorito

Nombre de mi juego de video favorito

Tiempo que dedico a jugar en el celular

Dirección de correo electrónico de mis amigos

Número de celular de mis amigos

Marca de los celulares que me gustan

Peso de mi mascota

Color del pelo de mis actrices favoritas

Serie de Netflix que más se ve por los jóvenes

Lugar de nacimiento

Escolaridad de mis padres

Velocidad máxima a la que he viajado en un carro

Unidad 1 Estadística Teoría Estadística Código de sección académica


2

INSTRUCCIONES: Asocie las definiciones de la izquierda con los métodos de recolección de datos de la derecha. A) Recopilación de información mediante una conversación profesional, en la

que se adquiere información acerca de lo que se investiga. B) Recolección de datos cualitativa o cuantitativa mediante el uso de un

conjunto de preguntas diseñadas para conocer o evaluar a una o más personas con fines didácticos.

C) Es una técnica de adquisición de información mediante un cuestionario previamente elaborado, a través del cual se puede conocer la opinión o valoración del sujeto.

D) Técnica de observación de hechos durante la cual el analista participa activamente actúa como espectador de las actividades llevadas a cabo por una persona para conocer mejor su sistema.

( ) Observación ( ) Entrevista ( ) Encuesta ( ) Cuestionario

INSTRUCCIONES: Asocie la información de la izquierda con los métodos de recolección de datos de la derecha. A) Es la que se emplea cuando una persona va a solicitar trabajo y ya paso una

prueba escrita, es realizada de forma individual por una persona de recursos humanos.

B) Es la que se emplea en la industria en medición de tiempos, en el colegio se emplea en las hojas de verificación del taller.

C) Es una herramienta que se puede utilizar en una encuesta de redes sociales.

D) Su ejemplo más común es el que todo estudiante practica cuando se somete a un examen de unidad o un examen corto.

( ) Observación ( ) Entrevista ( ) Encuesta ( ) Cuestionario

INSTRUCCIONES: Indique que método de recolección de datos se utiliza Observación Entrevista Encuesta Cuestionario

Hoja de chequeo de limpieza que se encuentra en un restaurante.

En un examen médico se realiza toma de presión, sangre, latidos del corazón, etc. La hoja donde toma esos datos es una:

Marcos reo un hashtag sobre el futbol nacional, para saber quien creen que ganará el torneo Clausura

El examen del misterio de educación para graduandos

Solicitud de pre prácticas al salir de cuarto diversificado

Votaciones presidenciales de Guatemala

Examen de admisión para ingresar a la universidad

Unidad 1 Estadística Métodos de recolección Código de sección académica


3

OBSERVACIÓN Tarea: Realice una hoja de observación sobre la limpieza y condiciones de los salones de clases de KINAL. Cantidad: Debe inspeccionar por lo menos 10.

HOJA DE VERIFICACIÓN (formato de referencia) Nombre del establecimiento: Área a estudiar: No. De Observaciones:

Fecha: Hora: Persona que realizo la observación:

Instrucciones: Marcar con una cruz en la casilla correspondiente. Conocer el significado de las cuatro opciones de respuesta.

(2pts) SÍ: cuando se cumple enteramente con el punto que se está evaluando (1pt) PM: cuando se cumple sólo parcialmente aquello que se evalúa (0pts) NO: cuando no se cumple en absoluto con lo evaluado (------) NA: cuando el punto que se evalúa no forma parte del estudio.

1) Condiciones del salón/taller (Si) (PM) (NO) (NA)

Iluminación adecuada en el salón □ □ □ □

Distribución apropiada del equipo/escritorios □ □ □ □

Estado del equipo/ escritorios □ □ □ □

Limpieza del salón de clases □ □ □ □

….

2) Puertas y ventanas (Si) (PM) (NO) (NA)

…. (De 2 a 4 aspectos) □ □ □ □

3) Pisos y techo (Si) (PM) (NO) (NA)

….(De 2 a 4 aspectos) □ □ □ □

4) Otros elementos … (con uno más es suficiente) (Si) (PM) (NO) (NA)

…. □ □ □ □

Al finalizar deberá de entregar un trabajo escrito que contenga: Carátula, todas las hojas de verificación (con un total de resultados por hoja), recomendaciones y conclusiones.

Aspectos Excelente

25 Bueno

20 Satisfactorio

15 Deficiente

5 Punteo

ACTITUDINALES Puntualidad Limpieza Orden

Cumplió con todos los aspectos indicados

Cumplió con puntualidad y limpieza u orden.

Cumplió con limpieza y orden, pero no puntualidad.

No cumplió con ningún aspecto indicado.

PROCEDIMENTALES Estructura de la Plantilla Evidencia de los pasos seguidos


Solo hay evidencia de los pasos, y posee una mala estructura de plantilla

Tiene plantilla, pero no está claro la evidencia de los pasos.

Deficiencia plantilla y no se entiende los pasos.

CONCEPTUALES Aplica correctamente el método de recolección de datos

Aplicó correctamente el método de recolección de datos.

Aplicó parcialmente el método, fallando en detalles significativos.

Aplicó parcialmente el método, fallando en detalles considerables

No entendió de que se trataba el método de recolección de datos empleado.

CREATIVIDAD Material empleado de forma original, aplicando otras aportaciones que hacen la diferencia.

Se empleó el método de forma original, posee una adecuada elaboración, es fácil de entender y aplicar.

Se empleó el método de forma original, posee una adecuada elaboración, pero no es fácil de entender.

Logró crear un método funcional, pero carece de elementos creativos.

No fue origina, improvisó y solo copio la guía del folleto.

CALIFICACIÓN



4

ENTREVISTA Actividad 1: Realice un scrapbook o álbum de recortes de periódico con el tema: Ofertas de empleo para profesionales de carreras técnicas (Busque únicamente recortes de la carrera que está estudiando), mínimo dos hojas. Actividad 2: Elabore una oferta de trabajo para un estudiante técnico de Kinal (revisar anuncios de prensa). Actividad 3: Usando como referencia la oferta de empleo, diseñe una guía para la entrevista con los aspirantes al puesto de trabajo. Para lo cual debe contener por lo menos los siguientes apartados:

1. Preguntas personales 2. Preguntas profesionales 3. Preguntas de opinión 4. Preguntas sobre el puesto al que se postula

Fase 4: El profesor del curso podrá programar un simulacro de contratación utilizando la información de cualquiera de los trabajos, e invitar algún gerente de KINAL para que emplee la guía en el trabajo (fase 3) y con ella le realice la entrevista al estudiante asignado por el profesor. Esta fase podrá tener un punteo adicional si lo cree conveniente el profesor encargado de la clase. Al finalizar deberá de entregar un Informe escrito con: Carátula, su scrapbook (álbum de recortes), Hoja de oferta de empleo (anuncio) y Hoja de preguntas.

Aspectos Excelente

25 Bueno

20 Satisfactorio

15 Deficiente

5 Punteo





















CALIFICACIÓN



5

ENCUESTA Realizar una encuesta con el tema: “Que red social utiliza mas”

Actividad 1: Investigue que redes sociales hay actualmente y para que fueron creadas. (mínimo 1 pagina) Actividad 2: Realice una encuesta en alguna red social, agregando al reporte tomas de pantalla de los resultados o exportando los resultados obtenidos (la pregunta es sobre que red social utilizan más) Actividad 3: Realice una encuesta de forma física (con hojas como evidencia) en el colegio. Esta encuentra deberá de trabajar sobre el mismo tema, con el agregado que debe idearse un grupo de por lo menos 5 preguntas.

Nota: debe cuidar su redacción y ortografía en cada pregunta. Al finalizar deberá de entregar un Informe escrito con: Carátula, copias de pantalla de la encuesta realizada vía internet, hoja de encuestas realizada. Por último, resumen de resultados obtenidos.

Aspectos Excelente

25 Bueno

20 Satisfactorio

15 Deficiente

5 Punteo





















CALIFICACIÓN

Nota: Esta tarea puede variar de acuerdo al criterio de cada profesor. Algunas variantes: Pregunta “Qué carrera universitaria le llama la atención”. Pregunta “Qué carrera técnica tiene mayor demanda (ver anuncios de periódico)”.

Unidad 2 Estadística Sumatorias Código de sección académica


6

INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes problemas en hojas aparte.

1) ∑𝑖

8

𝑖=2

A) 34 B) 35 C) 36 D) 44

2) ∑𝑖 − 4

7

𝑖=2

A) 27 B) 31 C) –27 D) –31

3) ∑2 ∙ 𝑖

7

𝑖=3

A) 48 B) 49 C) 50 D) 52

4) ∑5 ∙ 𝑖 − 3

7

𝑖=3

A) 122 B) 125 C) 128 D) 50

5) ∑𝑖36

𝑖=1

A) 21 B) 9261 C) 440 D) 441

6) ∑𝑖27

𝑖=3

A) 125 B) 135 C) 525 D) 625

7) ∑𝑖3

𝑖

5

𝑖=1

A) 45 B) 25 C) 44 D) 55

8) ∑2 ∙ 𝑖35

𝑖=1

A) 450 B) 225 C) 448 D) 451

9) ∑(3− 𝑖2)

5

𝑖=1

A) –10 B) 10 C) 40 D) –40

10) ∑𝑖 ∙ (5 − 𝑖)24

𝑖=1

A) 46 B) 16 C) 50 D) 104

11) ∑(3− 𝑖)25

𝑖=1

A) –10 B) 10 C) 40 D) –40

12) ∑𝑖2 ∙ (5 − 𝑖)

6

𝑖=1

A) 14 B) 16 C) 50 D) 10

Con la siguiente tabla conteste las siguientes preguntas.

f f% M D

1 1 4% 100 8.526

2 5 20% 505 18.432

3 6 24% 612 5.078

4 3 12% 309 0.019

5 4 16% 416 4.666

6 5 20% 525 21.632

7 1 4% 106 9.486

13) ∑𝑓% =∑𝑓%

7

𝑖=1

14) ∑𝑀

7

𝑖=1

=∑𝑀

15) ∑𝐷

7

𝑖=1

= ∑𝐷

Unidad 2 Estadística Tanto por ciento Código de sección académica


7


1) El 10 % de Q10 es A) Q10 B) Q100 C) Q1 D) Q0.1

2) ¿Cuál es el 25% de Q 6,000? A) Q 2,40 B) Q 1,500 C) Q 4,166.7 D) Q 4,500

3) Si 3 alumnos inasistentes de un curso corresponden al 10%, ¿cuántos alumnos tiene el curso? A) 13 B) 27 C) 30 D) 110

Con la información del siguiente problema respondas las siguientes dos preguntas.

En un hospital se ha obtenido el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose:

Peso (kg) Nº niños

De 2.5 a 3 6

De 3 a 3.5 23

De 3.5 a 4 12

De 4 a 4.5 9

4) Qué porcentaje de niños tiene un peso de entre

3.5 kg y 4 kg. A) 24% B) 27% C) 30% D) 12%

5) Qué porcentaje de niños tiene un peso de entre 2.5 kg y 3 kg. A) 24% B) 27% C) 6% D) 12%


Dado la siguiente tabla sobre gustos en el deporte realizado gracias a una encuesta a 2500 individuos, se obtuvieron los siguientes resultados:

Deporte favorito f

Fútbol 1000

Baloncesto 625

Tenis 375

Ciclismo 250

Otros 250

6) Qué porcentaje les gusta Fútbol y Baloncesto

A) 25% B) 40% C) 65% D) 16.25%

7) Qué porcentaje les gusta ciclismo A) 1% B) 10% C) 2.5% D) 25%


La siguiente tabla muestra el comportamiento del precio de la gasolina súper y reganar durante los últimos 4 meses

Mes Regular Súper

Enero 20.50 24.50

Febrero 20.00 24.00

Marzo 21.50 25.50

Abril 22.00 26.00

8) Qué porcentaje representa al precio de la

gasolina regular en el mes de febrero.

9) Qué porcentaje representa al precio de la gasolina super en el mes de abril.

Unidad 2 Estadística Conjuntos Código de sección académica


8


1) Ubicar la zona sombreada

A) 𝐴 ∩ 𝐵 B) 𝐴 ∪ 𝐵 C) 𝐴 − 𝐵 D) 𝐵 − 𝐴 E) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐


A) 𝐴 ∩ 𝐵 B) 𝐴 ∪ 𝐵 C) 𝐴 − 𝐵 D) 𝐵 − 𝐴 E) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐


A) 𝐴 ∩ 𝐵 B) 𝐴 ∪ 𝐵 C) 𝐴 − 𝐵 D) 𝐵 − 𝐴 E) 𝐴∆𝐵


A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 B) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 C) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 D) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶


A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 B) 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 C) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 D) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

En los diagramas de Venn

mostradas, sombrear las

operaciones que se indican:

6) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

7) (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵

8) (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵

Número de elementos de un

conjunto = 𝑛

Sugerencia:

realizar un diagrama y colocar en su interior el número de elementos que posee. 9) Calcular:

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) Si se conoce lo siguiente de los conjuntos: 𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10} 𝐵 ∪ 𝐶 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 𝐴 ∩ 𝐵 = {4, 7, 10} 𝐴 ∩ 𝐶 = {4, 5} 𝐵 ∩ 𝐶 = {4, 6} 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {4} 𝐴𝑐 = {1, 3, 6, 8} A) 10 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

10) Calcular: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Si se conoce el número de elementos de las operaciones de conjuntos: 𝑛(𝐴∆𝐵) = 50 𝑛(𝐴) = 25 𝑛(𝐵 − 𝐴) = 30

A) 5 B) 7 C) 12 D) 19 E) 21

Unidad 2 Estadística Aplicaciones de Conjuntos Código de sección académica


9

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice.

1) Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de septiembre (30 días). Si comió tocino 18 mañanas y huevos 25 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino? A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11

2) En una empresa trabajan 260

empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar celulares a la mitad de sus empleados, y por aniversario de la empresa, regalo una tableta a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron un celular y una laptop durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año? A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11

3) En una encuesta realizada sobre la

preferencia de su bebida en el desayuno, se preguntó a las personas si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas bebidas y cuatro tomaban ambas. Responder las siguientes preguntas: A) ¿Cuántas personas no tomaban

té?

B) ¿Cuántas personas tomaban té y café?

C) ¿Cuántas personas tomaban sólo café?

D) ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?

4) En una reunión donde asistieron 44 personas, se sabe que 21 personas hablan alemán; 25 hablan francés y 26 hablan español; 11 hablan alemán y francés; 6 hablan alemán y español pero no francés; 8 hablan los 3 idiomas; 13 hablan español y francés. ¿Cuántos no hablan ninguno de estos tres idiomas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5) En una fiesta a la que asistieron 131

invitados, un estudiante de KINAL observó que:

• De los 79 invitados que comieron pollo, 28 comieron solamente pollo.

• Entre las 60 personas que comieron carne de res, hubo 21 invitados que también comieron pescado.

• De los 50 que comieron pescado, 12 comieron sólo pescado.

• Por alguna razón, 9 comieron las tres cosas.

A) ¿Cuántos comieron pollo y carne

de res?

B) ¿Cuántos comieron sólo carne de res?

C) ¿Cuántas no comieron ninguna de las tres cosas?

D) ¿Cuántas comieron una sola cosa?

E) ¿Cuántas comieron solo dos cosas?

6) Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son:

• 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media (carrera) y Universitaria.

• 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.

• 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.

• 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.

• 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.

• 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.

• 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.

Con la información anterior, deducir:

A) El número de familias que solo tienen hijos universitarios.

B) El número de familias que tienen

hijos solo en dos niveles.

C) El número de familias que tienen hijos que no estudian.

Unidad 3 Estadística Tabla de frecuencias simples Código de sección académica


10


1) El tiempo empleado para detectar la falla en un equipo en el taller ha sido:

15 20 15 18 22 13 13

16 15 19 18 15 16 20

16 15 18 16 14 13

Construir la tabla de distribución de frecuencias (el tiempo está en min)

2) Los siguientes son tiempos están en minutos y

representan al tiempo que los empleados se toman para almorzar en una empresa “X”.

32 23 28 20 31 30 28 25

22 21 23 25 24 28 31 23

26 29 24 22 21 27 28 26

30 21 28 25 21 20

Construya su distribución de frecuencias 3) Un vendedor de autos investiga que color de

autos son de mayor preferencia, por lo que se coloca en una esquina de una calle céntrica y obtiene los siguientes datos:

negro negro rojo azul

rojo verde verde blanco

blanco blanco negro negro

blanco negro rojo rojo

blanco blanco negro blanco

azul rojo negro azul

negro blanco blanco verde

verde rojo Ayúdelo a construya la distribución de frecuencias

4) Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

x Recuento

61 IIII

64 IIII IIII IIII III

67 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II

70 IIII IIII IIII IIII IIII II

73 IIII III

Construya su distribución de frecuencias 5) Un ingeniero registro la frecuencia del sonido en

decibeles en una estación de trabajo, obteniendo los siguientes resultados:

x Recuento

55 db IIII III

65 db IIII IIII

75 db IIII IIII IIII I

85 db IIII IIII IIII

95 db IIII IIII

105 db IIII

115 db II

Construya su distribución de frecuencias 6) Un fabricante de mototaxis desea analizar cuáles

son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades. Para lo cual inspecciono 88 motos obteniendo los siguientes defectos:

x Recuento

Motor no trabaja IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII I

No enfría IIII IIII IIII IIII IIII II

Puerta no cierra IIII IIII III

Rajadura de culata IIII I

No frena IIII

Bota aceite II

Construya su distribución de frecuencias

Unidad 3 Estadística Análisis de Gráficas Código de sección académica


11

INSTRUCCIONES: Analice cada gráfica y luego elija la opción correcta.

1) En la tabla aparece representado el puntaje que obtuvo cada uno de los equipos en su primer juego. El equipo B obtuvo 10 puntos en su primer juego, ¿cuántos puntos obtuvo el equipo C?

A) 10 pts B) 20 pts C) 5 pts D) 2 pts

2) La grafica muestra la cantidad de agua en el organismo de

un niño durante el tiempo que dura jugando. Al cabo de un rato un niño tomó agua para recuperar la que había perdido jugando baloncesto. Según la gráfica ¿en qué momento lo hizo? El niño comenzó a tomar agua.

A) 5 min. B) 20 min. C) 25 min. D) 15 min.

3) Al gato de Manuel le gusta atrapar ratones y, aunque

algunos se le escapan, ha logrado comerse varios. El anterior gráfico muestra cómo ha cambiado el número de ratones en la casa de Manuel. Observa el gráfico. ¿Cuándo compraron el gato?

A) entre marzo y abril B) entre febrero y marzo C) entre junio y julio D) entre abril y mayo

4) La siguiente gráfica muestra la trayectoria de dos carros en carretera. Obsérvela, analícela y luego responda la pregunta.

Carro 1 60 120 180 240

Carro 2 80 160 240 320

¿Qué diferencia en km le lleva el carro 2 al carro 1 a las 6 horas de trayectoria? A) 840km B) 480km C) 360km D) 120km

5) En el gráfico se muestra el número de peces criados en el

estanque durante los dos últimos años. En el 2004 se criaron en total

A) 200peces B) 222peces C) 227peces D) 112peces

6) En el gráfico anterior se muestra el número de peces criados en el estanque durante los dos últimos años. ¿Cuántos peces deberían criarse en el segundo semestre del 2005 para que el promedio del año 2005 sea de 110 peces? A)115 B)105 C)112 D)110

0

60

120

180

240

300

360

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Trayectoria de dos carrios en carretera

Carro 1 Carro 2

Unidad 3 Estadística Gráficas estadísticas 1 Código de sección académica


12

INSTRUCCIONES: Realice cada gráfica en hojas de papel milimetrado y luego péguelas en hoja aparte o en el cuaderno según indique el profesor.

1) En un hospital se ha obtenido el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose:

Peso (kg) Nº niños

De 2.5 a 3 6

De 3 a 3.5 23

De 3.5 a 4 12

De 4 a 4.5 9

Dibuja un histograma que represente estos datos. Y escriba una conclusión que observe.

2) Durante el mes de julio se han obtenido las

siguientes temperaturas:

T° Nº días

27° 2

28° 1

29° 7

30° 7

31° 4

32° 4

33° 4

34° 2

Trace un polígono de frecuencias 3) En una muestra de 100 piezas se han encontrado

59 sin defectos, 12 con 1 defecto, 9 con 2 defectos, 7 con 3 defectos, 6 con 4 defectos, 5 con 5 defectos y 2 con 6 defectos. Representa estos datos mediante un diagrama de barras.

4) Con los datos anteriores realice un polígono de frecuencias.

5) Se conoce que le 40% de una población son hijos únicos y el 25% tienen más de 2 hermanos. Si la población consta de 500 habitantes, elabora una tabla de frecuencia y dibujar un histograma.

6) Dado la siguiente tabla sobre gustos en el deporte realizado gracias a una encuesta a 2500 individuos, realizar un polígono de frecuencias

Deporte favorito f

Fútbol 1000

Baloncesto 625

Tenis 375

Ciclismo 250

Otros 250

7) La siguiente tabla muestra el comportamiento

del precio de la gasolina súper y reganar durante los últimos 5 meses

Mes Regular Súper

Septiembre 30 33

Octubre 28 30

Noviembre 25 26

Diciembre 20 22

Enero 23 25

Trace un polígono de frecuencias relativas para realizar comparaciones.

8) Los precios en Q de memorias USB, en el

mercado guatemalteco, realizado en diferentes establecimientos son.

40 45 50 45 55 60 45 50 65 45

50 75 65 50 55 45 60 65 70 55

60 50 45 60 65 55 45 50 50 65

a) Realiza una tabla de frecuencias. b) Dibuja un diagrama de barras.

Unidad 3 Estadística Gráficas estadísticas 2 Código de sección académica


13

INSTRUCCIONES: Realice cada gráfica en hojas de papel milimetrado y luego péguelas en hoja aparte o en el cuaderno según indique el profesor.

1) Motivos para no donar sangre entre personas mayores de 18 años.

Motivo 𝒇%

Temor a las agujas 50%

Peso < 50 kg. 10%

Padecer alguna enfermedad 20%

Falta de tiempo 20%

Gráfica: diagrama de sectores 2) Haz un diagrama de sectores que represente la

procedencia de los extranjeros residentes en España, recogidos en la siguiente tabla:

Procedencia 𝒇

Europa 353,556

América 166,709

Asia 66,340

África 213,012

Oceanía 1,013

Desconocido 699

Gráfica: diagrama de sectores

3) Las edades de los jugadores de un equipo de

futbol son: 27, 18, 28, 26, 25, 19, 31, 19, 24 y 26 años. Con los datos anteriores trace un pictograma (utilizar figura de balón)

4) Principales destinos de exportación del azúcar guatemalteco, unidad: toneladas métricas (zafra 2018 – 2019).

PAÍS TONELADAS

Korea 315,200

Canadá 117,061

China 104,536

Malasi 82,500

México 65,064

EEUU 37,652

Con los datos anteriores trace un diagrama de sectores y un pictograma.

5) Los siguientes datos representan los salarios en

un día de 50 empleados de una tienda.

Q152 Q154 Q155 Q156 Q152 Q154

Q151 Q155 Q153 Q157 Q155 Q154

Q152 Q157 Q156 Q154 Q155 Q155

Q154 Q151 Q153 Q154 Q153 Q153

Q158 Q156 Q156 Q157 Q150 Q155

Q154 Q152 Q154 Q155 Q153 Q158

Q154 Q155 Q152 Q154 Q151 Q153

Q153 Q153 Q153 Q154 Q155 Q155

Q154 Q156

• Realizar una tabla de Distribución de frecuencias (Nota: es tabla completa)

• Trace un pictograma (símbolo a utilizar una Moneda)

Unidad 3 Estadística Medidas de tendencia central Código de sección académica


14


1) El número de hijos de 10 familias, seleccionadas aleatoriamente, es el siguiente: 5,2,0,6,3,1,1,3,1,4 con estos datos cuales son las medidas centrales: A) Mo=5, Md=2.5 y �̅� =2.6. B) Mo=1, Md=2.5 y �̅� =2.6. C) Mo=2.5, Md=2.6 y �̅� = 1. D) Mo=1, Md=2.6 y �̅� =2.5.

2) En la tabla se registra el largo de los saltos que realizaron 5 niños. ¿Cuál es la mediana en la tabla?

Niños Metros

Carlos 1.9

Ricardo 2.35

Andrés 2

Matías 2.05

Pablo 2.47

A) 2 B) 2.05 C) Aprox. 2.2 D) Número <2 E) Ninguna

3) La tabla muestra la temperatura (en

grados centígrados) para algunos departamentos:

Departamentos Máx. Mín.

Cobán 26 16

Escuintla 31 20

Flores 33 22

Guatemala 26 17

Huehuetenango 25 14

Quetzaltenango 23 13

Puerto Barrios 31 23

Zacapa 32 22

Para los departamentos de la tabla, ¿cuál es el promedio de las temperaturas máximas? (resultados aproximados) a) 28°C b) 18ºC c) 23°C d) 25ºC

4) Los siguientes datos representan gastos diarios de un estudiante por nueve días: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6

I) Media: Q7.67 II) Mediana: Q9 Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF

5) Se sabe que el promedio del siguiente grupo de datos 2, 4, 6, 8, 10, 10, 10, 11, 12, x es 8.8. ¿Cuál de los siguientes valores puede tomar x? A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 10

6) Las tallas de zapato de 11 clientes

consecutivos de una zapatería son: 38, 40, 41, 40, 38, 36, 40, 41, 39, 40, 38. ¿Cuál es la talla más vendida? A) 38 B) 4 C) 40 D) 41

7) En la siguiente gráfica se muestra la

cantidad de vuelos realizados por una aerolínea en los 7 días de la semana. El promedio de vuelos diarios es:

A) 25.14 B) 22.86 C) 24.37 D) 22.5 E) 25.18

8) En el siguiente gráfico, determina la

mediana de la muestra.

A) 15.20 B) 12.75 C) 12 D) 10.67 E) 14

9) En los 19 partidos que el “Patitos

Champion” ha jugado fuera de casa la temporada pasada, los goles que ha marcado han sido: 3, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 4, 0, 2, 3. La moda de goles por partido es: A) 4 goles B) 9 goles C) 1 gol D) 2.5 goles

10) A continuación, se presentan las notas de 4 amigos en los 5 primeros exámenes. ¿Quién tiene de nota media un 70? A) Antonio 60, 60, 80, 75 y 90 B) Alejandro 60, 80, 90, 50 y 80 C) Sandro 60, 90, 50, 60 y 90 D) Daniel 70, 80, 90, 100 y 70

Un estudiante obtiene una tabla con los tiempos que empleo en los últimos 15 días para realizar un proyecto.

10 9 12 8 6 8 5 9 10 7 9 9 7 9 7

Con la información anterior realice: 11) Tabla de distribución de Frecuencias

x f fa fr f% fa%

Calcule las medias de tendencia central: 12) Media: ______________________

13) Mediana: ____________________ 14) Moda: ______________________ 15) Trace una gráfica de sectores.

Unidad 3 Estadística Medidas de Tendencia No Central Código de sección académica


15


1) ¿Qué significado tiene el decil de orden cuarto? A) Que el 25% de los datos están

por debajo de él. B) Que el 25% de los datos están

por encima de él. C) Que el 40% de los datos están

por encima de él. D) Que el 40% de los datos están

por debajo de él. 2) ¿A qué cuantiles es igual la

mediana? A) Al cuartil 2º, el decil 5º y el

percentil de orden 50. B) Al decil 2º y el cuartil 1º. C) Al quintil 3º y el decil 5º. D) Al percentil de orden 100,

cuartil 1º, quintil 2º y decil 3º. 3) Los cuartiles dividen los datos en

cuatro partes, cada una de las cuales contiene aproximadamente: A) 20% de los datos B) 25% de los datos C) 50% de los datos D) 75% de los datos E) 100% de los datos

4) ¿Qué significado tiene el cuartil de

orden uno? A) Que el 25% de los datos están

por debajo de él. B) Que el 25% de los datos están

por encima de él. C) Que el 40% de los datos están

por encima de él. D) Que el 40% de los datos están

por debajo de él.

5) Dada una muestra cuyos valores son 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28 y 25. El percentil 70 corresponde a: A) 28 B) 15.6 C) 27 D) 30

6) Indica el valor de primer cuartil de los datos 4, 5, 6, 7, 9, 10, 2, 6, 8: A) 4 B) 5 C) 6.5 D) 4.5

Los siguientes datos representar las horas que se ven televisión durante 15 días seguidos un estudiante de Kinal. 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6 Con la información anterior responda las siguientes preguntas: 7) Los valores de tendencia central:

I) Media: 3.33 h II) Mediana: 3 h Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF

8) Los valores de tendencia no central:

I) Cuartil 1: 2hrs II) Decil 1: 2hrs Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF


I) Percentil 55: 5hrs II) Decil 4: 2.5h Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF

10) El segundo cuartil es de 3hrs, que

significa esta afirmación: A) El estudiante ve 3h diarias TV

en promedio. B) El estudiante ve con mayor

frecuencia 3h la TV. C) Si ordena los datos, la posición

50; la ocupa 3h. D) Si ordena los datos, el 50% lo

ocupa viendo TV.

A la semana en Guatemala un empleado asalariado debe cumplir con trabajar 44 horas, después de ellas el resto se pagan como horas extras. La siguiente gráfica muestra el número de horas extras trabajadas durante los últimos 15 días.

Con relación a la gráfica conteste las siguientes preguntas. 11) Los valores de tendencia central:

I) Media: 6h II) Mediana: 5.93h Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF


I) Cuartil 1: 4hrs II) Cuartil 2: 6hrs Los enunciados son: Verdaderos/falsos A) VV B) VF C) FV D) FF

13) El percentil 20 tiene un valor de:

A)2 B)2.5 C)3 D)3.5 E)4

14) El (3er. Cuartil) – (Pecentil 70) da como resultado: A)5 B)10 C)9 D)4 E)1

Unidad 3 Estadística Medidas de Dispersión Código de sección académica


16

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. La letra “V” = Verdadero; la letra “F” = Falso.

La altura en cm, de los jóvenes estudiantes de KINAL: 150, 159, 159, 159, 162, 164, 164, 166, 172, 180.

1) Medidas de tendencia central

I) Media = 163.5 cm II) Mediana = 163 cm. Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF

2) Medidas de posición Cuantiles I) 1er. Cuartil = 169 cm II) 7mo. Decil = 165 cm Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF

3) El rango en los valores es:

A) 25cm B) 30cm C) 35cm

4) Medidas de dispersión: I) Desviación media = 6.7 cm II) Desviación estándar = 8.7 cm Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF

5) El valor de la varianza es de:

A) 59.65 B) 32.49 C) 75.69

En la empresa se contrataron 12 exalumnos de KINAL, las edades de los contratados se plasman en el pictograma de arriba. Con relación al pictograma conteste las siguientes preguntas: 6) El valor de la media es:

A) 20.5 años B) 20.08 años C) 21 años D) 21.5 años


A) 5años B) 6 años C) 7años D) 17 años

8) El valor la desviación media es:

A) 1.25años B) 1.55 años C) 2.41años D) 1.12 años

9) El valor la desviación estándar es: A) 1.25años B) 1.55 años C) 2.41años D) 1.12 años

10) El valor la varianza es: A) 1.25años B) 1.55 años C) 2.41años D) 1.12 años

Análisis de datos de peso en libras de 15 jóvenes de 14 años de edad.

x f fa fr f% fa%

85 1 1 0.07 6.7% 6.7%

87 1 2 0.07 6.7% 13.3%

88 2 4 0.13 13.3% 26.7%

89 1 5 0.07 6.7% 33.3%

91 4 9 0.27 26.7% 60.0%

92 3 12 0.2 20.0% 80.0%

93 2 14 0.13 13.3% 93.3%

95 1 15 0.07 6.7% 100.0%

Con relación a la anterior tabla de distribución de frecuencias conteste las siguientes preguntas: 11) Medidas de tendencia central

I) Media = 90.5 lb II) Moda = 91 lb Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF

12) Medidas de posición Cuantiles I) 2do. Cuartil = 91 lb II) 7mo. Decil = 92.5 lb Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF


A) 15 lb B) 10 lb C) 25 lb

14) Medidas de dispersión: I) Desviación media = 2.09lb II) Desviación estándar = 2.55lb Los enunciados son: A) VV B) VF C) FV D) FF

15) El valor de la varianza es de: A) 6.52 B) 4.36 C) 5.69

Unidad 3 Estadística Coeficiente de Variación Código de sección académica


17


Altura de trabajadores de una empresa 1) El valor de la media de alturas es:

A) 163.08 cm B) 163 cm C) 164 cm D) 159 cm

2) El valor la desviación media en la

altura de un estudiante: A) 8.58 cm B) 6.41 cm C) 8.41 cm D) 6.58 cm

3) El valor la desviación estándar en la altura de un estudiante: A) 8.58 cm B) 6.41 cm C) 8.41 cm D) 6.58 cm

4) El valor del coeficiente de variación es

de: R// _________________________

5) Si un grupo de estudiantes de otra

sección posee un coeficiente de variación CV=5.2%, este coeficiente de variación, comparado con el grupo de la gráfica es: A) Mayor B) Menor C) Igual D) Faltan datos

Contratación de exalumnos de KINAL en la industria, durante el último año. Con relación a la información anterior responda las siguientes preguntas 6) El valor de la media de edades es:

A) 19 años B) 20 años C) 21 años D) 19.69 años

7) El valor la desviación media en las

edades de los estudiantes es: A) 1.41 años B) 1.61 años C) 1.69 años D) 2.84 años

8) El valor la desviación estándar en las

edades de los estudiantes es: A) 1.41 años B) 1.61 años C) 1.69 años D) 2.84 años

9) El valor del coeficiente de variación

es de: R// _________________________

10) En otra empresa el coeficiente de

variación en las contrataciones es de 7.6%, con relación a este grupo, si se comparan su CV es: A) Mayor B) Menor C) Igual D) Faltan datos

Con relación al pictograma de peso de estudiantes de KINAL, conteste las siguientes preguntas: 11) El valor de la media en los pesos es:

A) 120 lb B) 116.7 lb C) 126.7lb D) 119.9 lb

12) El valor la desviación estándar en las

edades de los estudiantes es: A) 17.4 lb B) 13.8 lb C) 16.9 lb D) 28.4 lb

13) El valor del coeficiente de variación es

de: R// _________________________

14) El coeficiente de variación de otro

grado ha sido de 12.7%, con relación a este grupo, si se comparan su CV es: A) Mayor B) Menor C) Igual D) Faltan datos

Unidad 3 Estadística Sesgo Código de sección académica


18


Un Jugador de baseball lanza 15 veces la pelota, y sus lanzamientos son tabulados en la siguiente tabla:

85 80 90

85 82 85

80 90 81

84 80 85

82 84 82

Sabiendo que todas las velocidades están dadas en km/h. Responda las siguientes preguntas: 1) Cuál es el valor del primer cuartil

A) 80.5 km/h B) 81 km/h C) 82 km/h D) 81.5 km/h

2) Cuál es el valor del segundo cuartil A) 84.5 km/h B) 83 km/h C) 82 km/h D) 84.5 km/h

3) Cuál es el valor del tercer cuartil A) 85 km/h B) 85.5 km/h C) 82 km/h D) 84.5 km/h

4) Posee un sesgo de: A) 0.5 B) –0.5 C) –0.25 D) 0.25

5) Se puede afirmar que el sesgo es: A) Positivo B) Negativo C) Simétrico

Estudios demuestran que existe una distancia óptima para ver TV, y esta depende del tamaño de la pantalla. En la imagen de arriba se plasma la distancia óptima para una tv de 32’’. En KINAL, se le pregunta a un grupo de 12 estudiantes a que distancia ven TV, tomando los datos en cm, estos son:

205 197 210

203 198 203

190 203 203

195 195 198

Responda las siguientes preguntas, utilizando la información de los estudiantes: 6) Cuál es el valor del primer cuartil

A) 197.5 cm B) 196 cm C) 200.5 cm D) 196.5 cm

7) Cuál es el valor del segundo cuartil A) 199.5 cm B) 201 cm C) 200.5 cm D) 201.5 cm

8) Cuál es el valor del tercer cuartil A) 204 cm B) 205 cm C) 203 cm D) 202 cm



Se realizo una competencia con 16 alumnos para armar un cubo de Rubik, obteniendo los siguientes resultados en segundos:

11 10 9 7

10 8 9 7

9 7 8 8

5 10 10 8


A) 7.5 [s] B) 8.5 [s] C) 8 [s] D) 7 [s]

12) Cuál es el valor del segundo cuartil A) 7.5 [s] B) 8.5 [s] C) 8 [s] D) 7 [s]

13) Cuál es el valor del tercer cuartil

A) 10 [s] B) 9 [s] C) 11 [s] D) 9.5 [s]



Unidad 3 Estadística Curtosis Código de sección académica


19


A un grupo de 14 estudiantes de KINAL se les midió la velocidad con la que patearon un penalti, estas velocidades fueron tomas en km/h.

103 102 103 104 106 102 110 97 90 103 97

104 97 105


A) 97 km/h B) 96 km/h C) 98 km/h D) 96.5 km/h

2) Cuál es el valor del tercer cuartil A) 105 km/h B) 106 km/h C) 104 km/h D) 104.5 km/h

3) Cuál es el valor del primer decil


4) Cuál es el valor del noveno decil


5) Posee un valor de curtosis de:

A) 0.39 B) –0.39 C) –0.49 D) 0.49

La señal wifi, son ondas que no vemos en el aire, pero queremos que lleguen a todos lados, Normalmente los routers wifi utilizados en las casas son muy baratos, no llevan antenas externas direccionables y la potencia de señal que emiten es débil. Así que puedes suponer que más o menos alcanzan unos 25 metros en el interior de una casa.

Un grupo de estudiantes realiza un estudio de la distancia que llega la señal en 12 casas, obteniendo los siguientes resultados:

25 24 27 23 24 25 22 25 23 23 25 24


A) 23 m B) 24 m C) 25 m D) 23.5 m

7) Cuál es el valor del tercer cuartil A) 23 m B) 24 m C) 25 m D) 24.5 m


A) 23 m B) 24 m C) 25 m D) 24.5 m

9) Cuál es el valor del noveno decil

A) 23 m B) 24 m C) 25 m D) 24.5 m


A) 0.5 B) –0.5 C) –0.4 D) 0.4

Se toma el tiempo en el que un grupo de 12 estudiantes resuelven un examen de estadística. Los datos se tabulan en la siguiente tabla.

54 53 60 55 57 51 48 54 53 53 55 51


A) 51 min B) 53 min C) 52 min D) 53.5 min

12) Cuál es el valor del tercer cuartil A) 53 min B) 54 min C) 55 min D) 54.5 min


A) 51 min B) 53 min C) 52 min D) 53.5 min

14) Cuál es el valor del noveno decil A) 57 min B) 54 min C) 55 min D) 58 min


A) 0.25 B) –0.25 C) –0.23 D) 0.23

Unidad 4 Estadística Datos Agrupados Código de sección académica


20


Instrucciones: Con los siguientes datos marque que afirmaciones son verdaderas [V] o falsas [F]. 1) Dato mayor: 94

Dato Menor: 5 Total de datos: 50 (i) número del intervalo = 6.6 (ii) amplitud del intervalo = 13 Las afirmaciones son: A) VV B) VF C) FV D) FF

2) Dato mayor: 54


3) Dato mayor: 100

Dato Menor: 10 Total de datos: 60 (i) número del intervalo = 6.8679 (ii) amplitud del intervalo = 13 Las afirmaciones son:7 A) VV B) VF C) FV D) FF

4) Dato mayor: 150


5) Dato mayor: 80


Instrucciones: Realice la tabla de intervalos y lleno las tablas en esta hoja.

Las notas de estadística de la primera unidad de 36 alumnos son los siguientes:

99 85 79 94 86 93 91 92 87

80 82 85 85 81 96 75 100 100

97 92 93 78 83 92 78 93 87

92 88 82 93 81 89 97 70 82

6) Construye una tabla de distribución de frecuencias por intervalos. Intervalos X f fa f% fa%

1

2

3

4

5

6

7

7) Realice una gráfica de barras con los datos de la tabla anterior.

El precio de 35 memorias usb en Q durante el último mes se registra en la siguiente tabla.

86 88 88 78 86 45 83 79 88

80 77 94 84 66 84 79 75 94

56 49 94 61 84 74 100 72 91

86 91 91 91 72 80 69 94

8) Construye una tabla de distribución de frecuencias por intervalos. Intervalos X f fa f% fa%

1

2

3

4

5

6

9) Construir un polígono de frecuencias relativas. 10) Construya un pictograma para la tabla anterior.

Unidad 4 Estadística Medidas centrales Código de sección académica


21


La fábrica de galletas “Multigrano” durante 40 días registró los siguientes datos de galletas defectuosas por jornada de trabajo:

15 13 12 25 24 15 26 15

24 25 21 24 23 10 28 23

32 12 10 15 32 10 25 26

22 13 25 30 26 9 16 13

17 24 12 28 10 26 32 17 Con los datos anteriores resuelta los problemas 1 – 4. 1) Determinar la media para datos

agrupados. A) 20.1 B) 22.5 C) 21.8 D) 21.5 E) Otra: ____________

2) Determinar la mediana para datos

agrupados. A) 20.4 B) 22.5 C) 25.5 D) 21.5 E) Otra: ____________

3) Determinar la moda para datos agrupados. A) 20.4 B) 22.5 C) 25.5 D) 21.5 E) Otra: ____________

4) Con los datos del problema de la fábrica de Galletas “Multigrano” elaborar:

a. un diagrama de barras b. polígono de frecuencias c. un diagrama de sectores

5) Calcular la mediana de los pesos de un grupo de 50 personas que se distribuyen de la siguiente manera

Intervalo 𝑓 𝑓𝑎

45 52 3

53 60 6

61 68 10

69 76 14

77 84 11

85 92 4

93 100 2

6) Media: ___________________

7) Mediana: _________________

8) Moda: ____________________ 9) Los siguientes son tiempos que un empleado tanda en armar un

electrodoméstico. Calcular el tiempo promedio que se demoran.

Intervalos 𝑓 𝑓𝑎

1 40 46 1

2 47 53 2

3 54 60 10

4 61 67 14

5 68 74 9

6 75 81 3

7 82 88 1

10) Media: ___________________

11) Mediana: _________________

12) Moda: ____________________

Unidad 4 Estadística Medidas no centrales Código de sección académica


22


En una oficina de la caja de ahorros se ha observado la variable X=”tiempo en minutos empleado en atender consultas de los clientes” en 50 ocasiones y los resultados se han tabulado, tal y como recoge el cuadro siguiente.

Intervalo F

15 19 1

20 24 7

25 29 13

30 34 15

35 39 9

40 44 2

45 49 3

Resuelva los problemas del 1 al 3. 1) Cuál es el cuartil tres:

A) 35.33 B) 36.83 C) 34.23

2) Cuál es el decil ocho: A) 38.62 B) 35.82 C) 36.72

3) Cuál es el percentil veintiocho: A) 27.61 B) 26.81 C) 28.11

En una oficina de la SAT se ha observado la variable X=”tiempo en minutos empleado en atender el trámite de pago de impuestos ISR” en 40 ocasiones y los resultados se han tabulado, tal y como recoge el cuadro siguiente.

Intervalo f

118 126 1

127 135 7

136 144 10

145 153 10

154 162 9

163 171 2

172 180 1

Resuelva los problemas del 4 al 6. 4) Cuál es el cuartil uno:

A) 137.9 B) 139.7 C) 137.3

5) Cuál es el decil nueve: A) 161.5 B) 167.5 C) 158.5

6) Cuál es el percentil treinta y cinco: A) 141 B) 141.5 C) 140.9

Los siguientes datos se refieren al diámetro en mm de un engrane.

675 700 700 675 700 715 650 650

650 650 650 625 700 665 650 625

725 670 600 675 710 675 675 600

700 670 650 675 710 675 665 625

725 675 625 625 715 700 675 700

Con los datos de la tabla anterior resuelva los problemas del 7 al 10. 7) Construir una tabla de distribución de frecuencias por intervalos

agrupados. Intervalos X f fa f% fa%

1

2

3

4

5

6

7

8) Cuál es el cuartil tres:

A) 702.83 B) 703.83 C) 705.83 D) 704.95

9) Cuál es el decil tres: A) 651.77 B) 651.07 C) 652.97 D) 648.07

10) Cuál es el percentil ochenta y cinco: A) 712.23 B) 711.98 C) 713.83 D) 711.03

Unidad 4 Estadística Medidas dispersión Código de sección académica


23


Se tomaron 70 datos sobre el tiempo en segundos de espera en la descarga de un app.

Intervalos 𝑓

1 40 48 1

2 49 57 2

3 58 66 8

4 67 75 14

5 76 84 16

6 85 93 18

7 94 102 7

8 103 111 4

Calcular: 1) Desviación estándar

A) 13.68 B) 12.98 C) 13.17

2) Varianza A) 191.9 B) 189.57 C) 187.19

3) Moda A) 85.88 B) 76.83 C) 80.73

En un estudio de calidad tomado de 60 bolsas que en el empaque de 450g de la empresa Azucares SA, se obtienen la siguiente gráfica:

Calcular: 4) Desviación estándar

A) 9.77 B) 11.75 C) 10.17

5) Varianza A) 101.72 B) 102.69 C) 103.39

6) Mediana

A) 466.23 B) 465.7 C) 464.37

La empresa ALTIAZUCAR S.A. ofrece azúcar de 450g. Por lo que lo contratan a usted para realizar un análisis sobre 60 bolsas de esta marcar.

435 443 443 443 443 443

451 451 451 451 451 451

459 459 459 459 459 459

459 459 459 459 459 459

467 467 475 475 475 475

451 451 451 451 451 451

451 451 451 451 459 459

459 459 459 459 459 459

467 467 467 467 467 467

475 475 483 483 483 490

Con la información obtenida deberá de tabularla y calcular: 7) Tabla de distribución de frecuencias agrupadas.

Intervalo X f fa f%

1

2

3

4

5

6

7

8) Gráfica de barras. 9) Desviación estándar

A) 10.97 B) 10.09 C) 11.12

10) Como investigador usted sabe que cuando se comparan dos desviaciones entre dos muestras similares se puede identificar cual es la que representa una mejor opción. Con base a la desviación estándar y la media de la empresa Azucares SA y ALTIAZUCAR S.A; cual recomendaría usted a un potencial cliente.

Unidad 4 Estadística Coeficiente de Variación Código de sección académica


24


La empresa Jugitos X S.A. en su presentación de jugos de naranja de 1000 ml (1 litro) a tomado una muestra de 60 jugos los cuales los tabulo en la tabla siguiente

Intervalo F

970 978 1

979 987 8

988 996 12

997 1005 19

1006 1014 15

1015 1023 4

1024 1032 1

Cuál de las siguientes afirmaciones son Falsas [F] / Verdaderas [V].

1) Medidas de Tendencia Central

I) Media: 996.83 ml II) Mediana: 997.29 ml

A) VV B) VF C) FV D) FF

2) Medidas de Dispersión I) Desviación estándar: 9.94 ml II) Varianza: 98.76 ml


3) Análisis de datos: I) Coeficiente de variación: 9.9% II) Coeficiente de variación: 0.01 A) VV B) VF C) FV D) FF

De la producción diaria de una máquina se eligió una muestra de 40 baterías que se probaron para ver cuánto tiempo operarían en una lámpara. Los resultados fueron los siguientes. Nota: el tiempo se midió en horas

235 220 216 222

217 217 226 229

205 209 214 220

239 215 219 216

232 223 214 228

225 227 228 215

217 220 222 215

207 213 217 213

211 228 218 217

200 217 240 210



I) Media: 217.1 ml II) Mediana: 218.7 ml





Se mide la velocidad de lanzamiento de 51 jugadores de Baseball, anotándolos a continuación.

Intervalo f

70 75 1

76 81 6

82 87 18

88 93 13

94 99 8

100 105 3

106 111 2



I) Media: 88.96 ml II) Moda: 74.85 ml





Unidad 4 Estadística Sesgo Código de sección académica


25

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. Responda en esta hoja Falsas [ F ] / Verdaderas [ V ].

Un grupo de 40 estudiantes realiza tiros desde los 12m (Penal), se mide la velocidad de cada tiro y se tabulan a continuación:

240 215 228 224 226

215 200 223 218 223

211 228 237 238 234

224 234 215 215 233

212 240 236 213 229

220 221 228 250 231

209 226 221 226 238

224 214 216 236 221

Sabiendo que todos los tiros fueron medidos en Newtons. 1) Medidas de cuantiles

I) Q1: 215.5 N II) Q2: 221.5 N

A) VV B) VF C) FV D) FF 2) Medidas de cuantiles

I) Q2: 224.95 N II) Q3: 232.5

A) VV B) VF C) FV D) FF 3) Sesgo en los tiros de penal

I) Sesgo 0.112 II) Sesgo Negativo


Estudios demuestran que existe una distancia óptima para ver TV, y esta depende del tamaño de la pantalla. En la imagen de arriba se plasma la distancia óptima para una tv de 32’’. En KINAL, se le pregunta a un grupo de 25 estudiantes a que distancia ven TV, tomando los datos en cm, estos son:

169 150 178 180 203

219 221 215 183 186

225 180 194 250 198

208 223 198 211 213

219 178 181 202 213

Todos los datos están dados en mm. 4) Medidas de Posición no central

I) Q1: 179.25 N II) Q2: 201.71 N

A) VV B) VF C) FV D) FF 5) Medidas de Posición no central

I) Q2: 204.95 N II) Q3: 214.19 N

A) VV B) VF C) FV D) FF 6) Sesgo los jóvenes que ven TV

I) Sesgo –0.085 II) Sesgo Positivo


Se realizo una competencia con 30 alumnos para armar un cubo de Rubik, obteniendo los siguientes resultados en segundos:

382 300 429 393 352

382 411 388 359 404

443 344 379 406 442

365 394 442 500 393

418 441 413 442 418

361 376 413 434 400

7) Medidas de Posición

I) Q1: 373.17 S II) Q2: 401.5 S

A) VV B) VF C) FV D) FF 8) Medidas de Posición

I) Md: 401.5 S II) Q3: 429.83 S

A) VV B) VF C) FV D) FF 9) Sesgo los jóvenes que ven TV

I) Sesgo 0 II) Sesgo Simétrico


Unidad 4 Estadística Curtosis Código de sección académica


26

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. Responda en esta hoja Falsas [ F ] / Verdaderas [ V ].

Se toma el tiempo en el que un grupo de 25 estudiantes resuelven un examen de estadística. Los datos se tabulan en la siguiente tabla.

Intervalo x f fa

1 30 35 32.5 7 7

2 36 41 38.5 5 12

3 42 47 44.5 9 21

4 48 53 50.5 4 25

5 54 59 56.5 3 28

6 60 65 62.5 2 30

1) Medidas de Posición no central

I) Q1: 35.1min II) Q3: 49.75min

A) VV B) VF C) FV D) FF 2) Medidas de Posición no central

I) P10: 32.07min II) P90: 56.5min

A) VV B) VF C) FV D) FF 3) Datos sobre la curtosis del examen.

I) Curtosis 0.268 II) Leptocúrtica A) VV B) VF C) FV D) FF

Se toma los pesos de un grupo de 30 estudiantes. Los datos se tabulan a continuación.

136 120 146 138 130

136 142 137 132 141

149 128 136 141 149

133 139 149 160 139

144 149 143 149 144

132 135 143 147 140

4) Medidas de cuantiles

I) Q1: 134.67Lb II) Q3: 143.33Lb

A) VV B) VF C) FV D) FF 5) Medidas de cuantiles

I) D1: 129.3Lb II) D9: 151.7Lb

A) VV B) VF C) FV D) FF 6) Datos sobre la curtosis de los pesos

I) Curtosis 0.216 II) Platicúrtica A) VV B) VF C) FV D) FF

Se tabulan los goles que 32 selecciones marcaron en un mundial.

17 0 12 8 15

17 17 5 5 9

12 6 11 8 8

20 10 6 20 6

16 6 6 8 6

6 15 13 15 12

7) Medidas de Posición no central

I) Q1: 10.5 goles II) Q3: 16.83 goles


8) Medidas de cuantiles

I) P10: 9.7goles II) D9: 19.1goles


9) Datos sobre la curtosis de los goles

I) Curtosis 0.26 II) Mesocúrtica A) VV B) VF C) FV D) FF

Unidad 5 Estadística Distribución Normal Código de sección académica


27


Las estaturas de un grupo de hombres

tienen una distribución normal, con una

media de 176 cm y una desviación

estándar de 7 cm. Por medio de la regla

empírica, ¿Cuál es el % aproximado de

hombres entre?

1) Altura de: 169 cm y 183 cm

A) 68% B) 95% C) 99.7%

2) Altura de: 155 cm y 197 cm

A) 68% B) 95% C) 99.7%

La siguiente tabla representan los pesos

de 60 bolsas de un producto que tiene

indica en su presentación que posee un

peso de 1000 g.

Intervalos F

900 928 3

929 957 3

958 986 13

987 1015 20

1016 1044 10

1045 1073 7

1074 1102 4

Con base en los datos anteriores

verifique, que los cálculos son correctos

[V] o incorrectos [F]

3) Medidas centrales

I) Mediana de: 1004.87 g

II) Moda de: 998.44 g


4) Medidas de forma

I) Sesgo: simétrico

II) Curtosis: Platicúrtica.


5) Asumiendo que posee una

distribución normal, cual es la

medida que representa el 99.7%

Los siguientes 48 datos fueron tomados por un ingeniero que realiza un estudio estadístico

915 984 998 1011 1034

931 988 999 1017 1038

935 988 999 1018 1045

951 989 1002 1019 1045

954 989 1003 1020 1068

961 992 1005 1024 1071

962 992 1005 1024 1080

968 994 1006 1025 1087

981 995 1008 1031 1034

982 997 1011

6) Tabla de distribución:

Intervalos 𝒙 𝒇 𝒙 ∙ 𝒇 (𝒙 − �̅�)𝟐 ∙ 𝒇

1

2

3

4

5

6

7

Con relación a los anteriores pesos que están en gramos, determine:

7) Cuáles de las siguientes afirmaciones son [F] / [V]

I) Media: 1003.88 g III) Moda de: 1004.5 g


8) Cuáles de las siguientes afirmaciones son [F] / [V]

I) Sesgo: Negativo II) Curtosis: mesocúrtica. A) VV B) VF C) FV D) FF

9) Asumiendo que posee una distribución normal, cual es la medida que

representa el 99.7%

10) Asumiendo que posee una distribución normal, cual es la medida que

representa el 95%

Unidad 5 Estadística Curva Normal, Tabla Z Código de sección académica


28


1) Calcular P(Z ≤ 0.92)

A) 0.82121 B) 0.81859 C) 0.82381 D) 0.97257

2) Calcular P(Z≤–1.53)

A) 0.93699 B) 0.06681 C) 0.06426 D) 0.06301

3) Calcular P(0.41< Z≤1.62)

A) 0.65910 B) 0.94738 C) 0.28828 D) 0.28628

4) Calcular P(2.3 < X ≤ 3.7) con

�̅� = 1.5 y 𝑆 = 2 (calcular 1ero. z)

Nota: 𝑧 =𝑋−�̅�

𝑆

A) 0.4 B) 1.1 C) 0.65542 D) 0.54380 E) 0.20891

5) Una estación de radio encontró que el tiempo promedio que

una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una

desviación estándar de 3.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de

que un radioescucha sintonice la estación por más de 20

minutos?

Nota: �̅� = 15 min, 𝑆 = 3.5 min, 𝑃(𝑋 ≥ 20𝑚𝑖𝑛)=? 𝑧 =𝑋−�̅�

𝑆

A) 92.3% B) 142.8% C) 7.6% D) 42.9%

6) Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio

de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y

después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que

la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una

desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de

que un ratón viva entre 37 y 49 meses.

A) 31.7% B) 60.6% C) 47.6% D) 92.3% E) 60.8%

7) Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las

tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 cm y una

desviación estándar de 2 cm. Suponga que las longitudes se

distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras están

entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud?

A) 59.7% B) 4.0% C) 96% D) 63.7% E) 36.3%

Un abogado va todos los días de su casa a su oficina en el centro de

la ciudad. El tiempo de viaje en minutos es contabilizado en la

siguiente tabla

83 95 98 100 102 104 84 95 98 100 102 104 84 96 98 100 103 107 90 96 98 101 103 108 90 96 99 101 103 110 91 96 99 101 104 113 92 97 100 102 104 118

Esta distribución

es

aproximadament

e normal, por lo

cual se pide

calcular:

8) Cuál es el valor del tiempo promedio

9) Cuál es el valor de la desviación estándar del tiempo de viaje

10) Si sale de su casa a las 7:30 a.m. y el café se sirve en la oficina

de las 9:00 a.m. a las 9:10 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que

llegue a la hora del café?

Unidad 5 Estadística Teoría de Probabilidades Código de sección académica


29

INSTRUCCIONES: Identifique que tipo de espacio muestral es el que se está utilizando, marcando un .

Discreto Continuo

Finito Infinito

1) Cantidad de moléculas que habitan en la tierra.

2) Peso de los estudiantes de quinto diversificado de KINAL.

3) Cantidad de estudiantes en el salón de clases.

4) Número de alumnos de amigos en mi Facebook.

5) Punteo obtenido en el examen de estadística en el tercer bimestre.

6) Frecuencia de mi estación favorita de radio.

7) Cantidad de habitantes de Guatemala

8) Horas invertidas en un proyecto de taller.

INSTRUCCIONES: Identifique que tipo de evento es al que pertenece, marcando un en el cuadro que corresponda.

Simple Compuesto Seguro Imposible

1) Ganar la clase de estadística, si tengo un acumulado de 90 en el tercer bimestre.

2) Ganar la clase de estadística, si tengo un acumulado de 450 en el cuarto bimestre

3) Para ganar la clase de estadística necesito sacar 90. en el 4to bimestre y 80 en el examen final.

4) Lanzar un dado tres veces

5) Lanzar un dado una ves

6) Lanzar un dado tres veces y que la suma sea menor que 18

7) Para que Guatemala vaya al mundial necesita ganar el siguiente partido o por lo menos empatar.

8) Para que Guatemala vaya al mundial necesita ganar el partido y por lo menor empatar el siguiente.

INSTRUCCIONES: Calcule el espacio muestral en las siguientes situaciones.

1. Para comprar un helado hay 3 tipos de

conos, y 5 tipos de sabores diferentes,

adicional existe 3 cubiertas que puede

llevar el helado. ¿Cuál es el espacio

muestral para seleccionar un helado?

2. Para elegir un teléfono celular

dispongo de tres compañías móviles y

dos tipos de planes. Esto para un

mismo modelo de teléfono. ¿Cuál es

el espacio muestral?

3. Para estudiar una carrera universitaria

dispongo de 10 universidades

diferentes, de las cuales dispongo de

cuatro carreras distintas para elegir.

¿Cuál es el espacio muestral?

Unidad 5 Estadística Probabilidades Código de sección académica


30


1) Cuál es el espacio muestral de tirar un dado una vez.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

2) Lea el enunciado y vea el dibujo

Se lanza un dado al aire. Cuál es la probabilidad de sacar un uno.

I) Espacio muestral N = 6

II) Evento 𝑃(𝐴) =1

6

Las afirmaciones anteriores son

[Verdaderas] o [Falsas]:



Probabilidad de sacar al menos una cara al tirar dos monedas.

I) Espacio muestral N = 8 II) Evento 𝑃(𝐴) = 75%





Probabilidad de sacar al menos dos caras al tirar tres monedas. I) Espacio muestral N=24 II) Evento 𝑃(𝐴) = 75%




5) Echamos a una bolsa las siguientes

bolas:

Sacamos una de estas bolas y

observamos el número y el color.

Cuáles de las siguientes afirmaciones

son verdaderas:

I) 𝑃[𝑅𝑜𝑗𝑎𝑠] =5

10

II) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] =8

10


6) Pedro tira a diana con un dardo. Lo ha

lanzado 250 veces y ha dado en el

círculo rojo 36. ¿Qué probabilidad

asignas al suceso “en la próxima tirada

acertará en el círculo rojo”?

A) 0.144 B) 0.18 C) 0.36

D) 0.25 E) 0.125

7) ¿De cuál de las siguientes bolsas es

más probable sacar bola roja?

1 verde 2 rojas

3 verde 4 rojas

2 verde 3 rojas

A) I B) II C) III D) Igual

8) Con relación al problema anterior,

cuál de las siguientes afirmaciones son

verdaderas:

I) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] =3

3 (bolsa II)

II) 𝑃[𝑉𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠] =3

2 (bolsa III)


9) Luis gana si lanza un dado y saca un

número par. Ana gana si saca un

número menor que 4 ¿Quién tiene

más probabilidades de ganar?

A) Ana B) Luis

C) No se puede determinar

D) Los dos tienen la misma

Probabilidad

10) Una bolsa tiene 12 bolas: 6 rojas, 4

verdes y dos azules. Mario ha hecho

una apuesta en la que tiene 1/3 de

posibilidades de ganar ¿Por qué color

ha apostado?

A) Color rojo

B) Color verde

C) Color azul

D) No se puede determinar

11) En una bolsa, cuyo interior no puedo

ver, tengo estas bolas.

(2 café, 2 amarillas, 4 rojas, 3 verdes, 2

azules y 1 negra)

Al hacer una extracción, ¿qué

probabilidad son verdaderas?

I) 𝑃(𝐴𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠) =2

7

II) 𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑎) =2

7


12) Una experiencia consiste en extraer

una bola de esta urna y, después,

lanzar la moneda.

Escudo Cara E C

3 verdes (V), 1 roja (R) Tamaño del espacio muestral:

________________________

Unidad 5 Estadística Permutaciones y combinaciones Código de sección académica


31

INSTRUCCIONES: Cuál de las afirmaciones anteriores son verdaderas [ V ] o falsas [ F ], marque su respuesta analizando cada enunciado.

1) La directora de personal de una

corporación ha contratado diez

nuevos empleados. Si tres puestos de

trabajo (muy distintos) se abren en

una planta industrial, ¿en cuántas

formas puede ella ocupar los puertos?

I) Si son datos ordenados

II) Pueden ocuparlo de 120 formas


2) Un vendedor quiere visitar 5 ciudades. Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? I) Son datos no ordenados

II) Puede elaborar 120 rutas


3) En la frase “La combinación de la

cerradura es 924"

I) Es una combinación II) Es una permutación porque lleva orden.


4) Un grupo de 8 amigos están jugando

un juego de mesa en el cual los

jugadores compiten para llegar

primero a la última casilla de un

tablero. Los amigos van a reconocer al

primer, segundo y tercer lugar.

¿Cuántas maneras diferentes hay de

que los 8 amigos tomen esos lugares?

A) 6 B) 56 C) 336 D) 40,320

5) Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse? I) Es una Combinación

II) Pueden formarse 120 comités


6) En una carrera de maratón intervienen 3 guatemaltecos, 2 hondureños, 1 salvadoreño, 3 nicaragüenses, 2 panameños y 1 beliceño (12 competidores). Si solo existen 3 premios para los primeros lugares, ¿cuántas posiciones distintas pueden darse al acabar la carrera? I) Es una Combinación

II) Pueden darse 1320 posiciones


7) En la escuela ocurrió un incidente de

los cuales fueron testigos 30 estudiantes. Cuatro de los testigos serán escogidos al azar para entrevistarlos sobre los hechos. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles? I) Es una Combinación

II) Se pueden forman 27405

grupos


8) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? Ayuda: Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas. I) Es una Permutación

II) Pueden colocarse de 3,628,800

formas


9) Con parte de su primer salario un

Joven decide comprar 3 de los siete

discos compactos que le faltan un

grupo musical.

I) Si le importa el orden de los

discos que compre

II) Tiene 35 posibilidades de

elección


10) En una clase de 35 alumnos se quiere

elegir un comité formado por tres

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes

se pueden formar (el comité no

poseerá puestos)?

I) Son datos no ordenados

II) puede formarse 6545 comités


Unidad 5 Estadística Permutaciones y combinaciones Código de sección académica


32


1) En un examen de Religión se requiere

contestar cuatro de doce preguntas.

¿Cuántas maneras diferentes hay de

contestar este examen?

A) 20736 B) 24

C) 495 D) 1320

2) Con relación al problema anterior,

cuáles de las afirmaciones son

verdaderas:

I) No le importa el orden que elija

las cuatro preguntas

II) Es una permutación

Cuál de las anteriores son verdadera o

falsas.


3) Una pizzería ofrece diez ingredientes

adicionales para su pizza. ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza? A) 720 B) 120 C) 5040 D) 360

4) ¿De cuántas formas diferentes se

pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? A) 1320 B) 1302 C) 13 D) 1230

5) Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección? A) 24 B) 3780 C) 210 D) 240

6) Un estudiante que elabora un informe de Grecia antigua ha encontrado quince libros sobre la materia en la biblioteca del colegio. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros. A) 3003 B) 120 C) 30240 D) 1200

7) Un técnico de sonido tiene que unir 6

terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones? I) Es una Permutación

II) Pueden completarse las

conexiones de 720 formas


falsas.


8) Un paquete de diez baterías tiene dos piezas defectuosas ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres de estas baterías y sacar ninguna de las baterías defectuosas (solo 8 son las buenas)

I) Es una Permutación

II) Pueden completarse las

conexiones de 120 formas


falsas.


9) Susana es una de siete oficinistas de

una empresa pequeña. Se seleccionarán a tres de estos trabajadores para formar parte de un comité. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar a tres de estas personas para formar parte del comité?

A) 35 B) 210

C) 5040 D) 56

10) La asociación de estudiantes de matemática a seleccionado a un presidente, un secretario y un tesorero, en la asociación hay 15 miembros ¿De cuantas maneras diferentes puede quedar compuesta el directorio? A) 15 B) 455

C) 2730 D) 56

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