anualidades

CAPTULO

4

126

4 .1 INTRODUCCIN Y TERMINOLOGA

En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:

Los pagos mensuales por renta El cobro quincenal o semanal de sueldos Los abonos mensuales a una cuenta de crdito Los pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del ltimo. Renta es el nombre que se da al pago peridico que se hace. Lambin hay ocasiones en las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales. Estas aplicaciones se mane-jan en forma especial, como se ver ms adelante.

4 .2 TIPOS DE ANUALIDADES

La variacin de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferen-tes tipos de ellas. Conviene, por ello, clasificarlas de acuerdo con diversos criterios:

Criterio Tipos de anualidades

) Tiempo ciertas contingentes

b) Intereses simples generales

c) Pagos vencidas anticipadas

d) Iniciacin inmediatas diferidas

a) Este criterio de clasificacin se refiere a las fechas de iniciacin y de terminacin de las anualidades:

Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo: al realizar una compra a crdito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ltimo.

Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del ltimo pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algn hecho que se sabe que ocurrir, pero no se sabe cundo. Un caso comn de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cnyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cnyuge y se sabe que ste morir, pero no se sabe cundo.

ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS 1 2 7

b) En este caso:

Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalizacin de los intereses. Es el tipo que ser analizado en este captulo. Un ejemplo muy simple sera: el pago de una renta mensual x con intereses al 18% anual capitalizable mensualmente.

Anualidad general. A diferencia de la anterior, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalizacin: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente.

c) De acuerdo con los pagos:

Anualidad vencida. Tambin se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Anualidad anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

d) De acuerdo con el momento en que se inicia:

Anualidad inmediata. Es el caso ms comn. La realizacin de los cobros o pa-gos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalizacin del trato: hoy se compra a crdito un artculo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habr de realizarse en ese momento o un mes despus de adquirida la mercanca (anticipada o vencida).

Anualidad diferida. Se pospone la realizacin de los cobros o pagos: se adquiere hoy un artculo a crdito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habr de hacerse 6 meses despus de adquirida la mercanca.

De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos de anualidades:

Anualidades <

simples

ciertas

f inmediatas vencidas < . , [_ diferidas

. . . f inmediatas anticipadas < .... . , [ diferidas

contingentes

vencidas f inmediatas diferidas

. . , f inmediatas anticipadas < ,. ^ diferidas

generales

ciertas

contingentes

vencidas f inmediatas diferidas . . . f inmediatas anticipadas < ,. ._, [ diferidas

vencidas f inmediatas diferidas . . . f inmediatas anticipadas < . . . . , ^ diferidas

1 2 8 MATEMTICAS FINANCIERAS

De estos 16 tipos de anualidades el ms comn es el de las simples, ciertas, vencidas e inmediatas que, por esa razn, se analizar en primer lugar en la seccin siguiente. En captulos posteriores se revisan los otros tipos.

4 . 3 MONTO

Dada su importancia, vale la pena destacar las caractersticas de este tipo de anualidades:

Simples: el periodo de pago coincide con el de capitalizacin. Ciertas: las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipacin. Vencidas: los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos. Inmediatas: los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se reali-

za la operacin.

Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:

R La renta o pago por periodo. C El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento

presente. M El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al

final de la operacin.

Para ilustrar la deduccin de la frmula del monto de una anualidad se utilizar un ejemplo (a partir de aqu, y en el resto del captulo, al mencionar slo el trmino anualidad se estar hablando de simples, ciertas, vencidas e inmediatas).

EJEMPLO 4.3.1 Qu cantidad se acumulara en un semestre si se depositaran $100 000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensual-mente?

SOLUCIN:

Primero, se representa la situacin en un diagrama de tiempo y valor:

100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000

G R F I C A 4 . 1

El inters por periodo, i, es 0.36/12 = 0.03, y el monto de la anualidad sera igual a la suma de los montos de cada uno de los depsitos al final del semestre. Como se muestra mediante curvas en el diagrama, donde el ltimo depsito no aumenta el valor, puesto que se deposita en el sexto mes.


En trminos del monto a inters compuesto ya conocido, el planteamiento sera:

A/= 100 000(1.03)s+ 100 000(1.03)4 + 100 000(1.03)3 + 100 000(1.03)2 + 100 000(1.03) + 100 000 o, invirtiendo el orden,

M = 100 000+ 100 000(1.03)+ 100 000(1.03)2 + 100 000(1.03)3 + 100 000(1.03)4

+ 100 000(1.03)5

M=100 000+ 100 000(1.03)+ 100 000(1.0609) + 100 000(1.092727) + 100 000(1.125509)+ 100 000(1.159274)

M= 100 000 + 103 000 + 106 090 + 109 273 + 112 551 + 115 927 M = $646 841

En este planteamiento con el orden invertido se puede ver que el monto es una progresin geomtrica. Y de lo que se vio en el captulo 1:

f, 100 000, el primer trmino r 1.03, la razn n = 6, el nmero de trminos

Y de la frmula 1.15 que se vio en el captulo 1, de la suma de los trminos de una progresin geomtrica:

(l-O _ tx-txf S = ti

1 - r 1 - r

Sustituyendo los trminos de anualidades:

R-R( 1+0" M-- l - ( l + 0 i ? [ i - ( i + / ) ] _ r i - ( i f /)"] - d + o"

1 - 1 - / -i -i

Multiplicando la fraccin por -1,

M = R (4.1)

que es la versin de esta frmula que comnmente se utiliza. Aplicndola para resolver el ejemplo anterior:

M= 100 000 ( 1 ' Q 3 ) 6 ' 1 = 100 000(6.468409) = 646 841 0.03

Resultado que es igual al obtenido antes.


EJEMPLO 4.3.2 Cul es el monto de $20 000 semestrales depositados durante 4 aos y medio en una cuenta bancaria que rinde 18% capitalizable semestralmente?

SOLUCIN:

R = 20 000 i = 0.18/2 = 0.09 n = 4.5(2) = 9

M = 20 000 ( L 0 9 ) " 1 = 20 000 1 , 1 7 1 8 9 3 = 20 000(13.021036) 0.09 0.09

M = 260 420.73

EJEMPLO 4 . 3 . 3 El doctor Gonzlez deposita $100.00 al mes de haber nacido su hijo. Contina ha-ciendo depsitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 aos de edad para, en ese da, entregarle lo acumulado como herencia. Si durante los primeros 6 aos de vida del hijo la cuenta pag 36% anual convertible mensualmente, y duran-te los 12 aos restantes pag 2% mensual, cunto recibi el hijo a los 18 aos?

SOLUCIN:

tf = 100

= 18(12) = 216

i - 36/12 = 0.03 en los primeros 6 aos i = 0.02 en los ltimos 12

Primero se calcula lo que se acumul durante los primeros 6 aos con un inters mensual de 3%:

M = 100 ( 1 1 ) 3 ) 7 2 - 1 = 100(246.6672422) = 24 666.72 0.03

Esto es lo acumulado al final del sexto ao. Para lo siguiente, representado en un diagrama de tiempo:

24 666.72 1 0 0 100 1 0 0 100 1 0 0 100 1 1 1 . . . 1 1 1

7 2 7 3 7 4 7 5 2 1 4 2 1 5 2 1 6

G R F I C A 4 . 2

El total acumulado al final sera igual al valor de $24 666.72 en el mes 216 ms el monto de las anualidades 72 a 216:


24 666.72(1.02)144 + 100 ( L Q 2 ) 0.02

24 666.72(17.315089) + 100(815.754444) = 427 106.52 + 81 575.44 = $508 681.96

Una exorbitante cantidad de dinero.

4 . 4 VALOR ACTUAL

EJEMPLO 4.4.1 Cul es el valor actual de una renta bimestral de $4 500 depositados al final de cada uno de 7 trimestres, si la tasa de inters es de 9% trimestral?

S O L U C I N :

C = ? R = 4 500 i = 0.09

n =1

0 1 2 3 4 5 6 7

C 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500 4 500

G R F I C A 4 . 3

ste es el caso inverso del monto. El valor actual de la anualidad sera la suma de los valores actuales de las 7 rentas, o:

C = 4 500(1.09)"' + 4 500(1.09)"2 + 4 500(1.09)"3 + 4 500(1.09)"4

+ 4 500(1.09)"5 + 4 500(1.09)-6 + 4 500(1.09)"7

C = 4 500(0.91743119) + 4 500(0.84167999) + 4 500(0.77218348) + 4 500(0.70842521) + 4 500(0.64993139) + 4 500(0.59626733) + 4 500(0.54703424)

C = 4 128.44 + 3 787.56 + 3 474.83 + 3 187.91 + 2 924.69 + 2 683.20 + 2 461.65 C = 22 648.28

Y, al igual que antes, puede verse que esa suma de trminos es una progresin geomtrica con:


tx = 4 5()0( 1.09) ' = R(\ -i)x

n 1 / - (1.09) 1 = (1 - /) 1

e _ t i - t / ' _ 4 500(1 09)~14 500(1.09)-1(1.09)~7

1 - / I (1.09) 1 5 = 22 648.28

Y la correspondiente frmula:

c_ R(\ + iT] ~ R(\ + T] [d + ir1]" _ 1 (1 / ) 1

R(l +i)-l~R{l +iyl (1+0"" c

c

c

(i + o

1 + i ( } + ) R( 1 H-,-) ' [1 ~ (1 + ;') "]

C = J ? J b 0 [ ^ = i l (4.2) i

que es la frmula ms comn del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

Utilizando esta frmula para resolver el mismo ejemplo 4.1:

C = 4 500 ^ 1 ' 0 9 ) 7 = 4 500(5.03295284) 0.09

C = 22 648.28

EJEMPLO 4.4.2 Cul es el valor en efectivo de una anualidad de $1 000.00 al final de cada 3 meses durante 5 aos, suponiendo un inters anual de 16% convertible trimestralmente?

SOLUCIN:

R = 1 000 n = 5(4) = 20(5 por 4 trimestres cada ao) i = 0.16/4 = 0.04

1 _ (1 04 r 2 0 C = 1 000 K

0.04 c - 1 000(13.590326) C = $13 590.33


EJEMPLO 4.4.3 Qu es ms conveniente para comprar un automvil:

) pagar $260 000 de contado o b) $130 000 de enganche y $12 000 al final de cada uno de los 12 meses siguien-

tes, si el inters se calcula a razn de 18% convertible mensualmente?

SOLUCIN:

Para resolver este problema debe compararse el precio de contado con la suma del enganche y el valor actual de los abonos mensuales en el plan de crdito:

Cb = 130 000 + 12 000 1 " ( 1 + - 1 8 / 1 2 r ' 2 0.18/12

Ch = 130 000 + 12 000 1 ~ ( L 0 1 5 )

0.015 Cb = 130 000 + 12 000(10.907505) Cb = 130 000 + 130 890.06 Cb = 260 890.06

que es el valor actual total de la operacin a crdito. Como el valor a crdito es mayor, conviene ms comprar de contado.

EJEMPLO 4.4.4 Encuntrese el importe pagado, en valor actual, por un aparato electrnico por el cual se entreg un enganche de $1 400.00, se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $160.00, y un ltimo pago al final del octavo mes por $230.00 si se considera un inters de 27% anual con capitalizacin mensual.

SOLUCIN:

El importe es igual a:

) enganche +

b) el valor actual de la anualidad con renta de 160 +

c) el valor actual del pago final Si i = 0.27/12 = 0.0225, entonces

C = 1 400 + 160 1 ~ ( L 2 2 5 ) 7 + 230( 1.0225)"8 0.0225

C = 1 400+ 160(6.410246)+ 230(0.836938) C = 1 400+ 1 025.64+ 192.50 C = $2 618.14


EJEMPLOS 4 . 4 . 5 Cul es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos semanales "chiquititos", vencidos, de $240.00? Considrese un inters anual de 15% convertible semanalmente.

SOLUCIN:

Inters semanal:

i = 0.15/52 = 0.002885 t = 52

1 - (1 + 0.002885)"52 C = 240

C = 240

0.002885 0.139123 0.002885

C = 240(48.222987) C = 11 573.52

EJEMPLO 4.4.6 Cul es el valor actual del refrigerador del ejemplo anterior si se realiza un pago inmediato y 51 abonos semanales? El pago semanal y la tasa de inters son los mis-mos arriba enunciados.

SOLUCIN:

El importe es igual a:

a) El pago inmediato (enganche) +

b) El valor actual de una anualidad de 51 pagos semanales

Si = 0.15/52 = 0.002885 f = 51

y R = $240

entonces:

C = 240 + 2 4 0 - 1 - ( 1 + - 0 0 2 8 8 5 r 5 1

C = 240 + 240

0.002885 1 -0.863360

0.002885


C = 240 + 240 0.002885

C = 240 + 240(47.362111) C = 240 + 11 366.91 C = 11 606.91

Este valor es ligeramente superior al del ejemplo anterior en razn del primer pago que se realiza en forma inmediata.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 4.1 A 4 .4

De los planteamientos 1 a 5, dgase a qu tipo de anualidad pertenecen y por qu:

1. Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $600 000 USD y se calcula que se agotar en 5 aos. Cul es el valor actual de la produccin si el rendimiento del dinero es de 11%?

2. El pago de la renta de una casa habitacin. 3. Una persona adquiere en septiembre un televisor a crdito y acepta liquidar mediante pagos

entregados al principio de cada uno de 12 bimestres, comenzando en enero del ao siguiente y con intereses de 20% anual efectivo.

4. Una pensin por jubilacin que asigna cierta cantidad trimestral. 5. Se vende un camin en mensualidades que deben liquidarse cada primer da de mes, a partir del

prximo mes, con intereses de 12% anual con capitalizacin quincenal. 6. Calclense el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples, ciertas, vencidas e

inmediatas:

a) $20 000 semestrales durante 4 aos y medio a 18% capitalizable semestralmente. b) $40 000 anuales durante 6 aos a una tasa anual de 22%. c) $500.00 mensuales durante 7 aos y 5 meses, a una tasa anual de 21% capitalizable men-

sualmente.

7. El seor Lpez deposita $15 000 cada fin de ao en una cuenta de horros que abona 10% de inters. Cunto habr ahorrado al hacer el cuarto depsito?

8. Calclese el valor actual de un terreno, utilizando un inters de 15% con capitalizacin men-sual, si se vendi con las siguientes condiciones:

$40 000 de enganche mensualidades vencidas por $2 250 durante 4.25 aos un pago final de $25 000 un mes despus de la ltima mensualidad

9. Si se calculan los intereses a una tasa de 22% convertible trimestralmente, qu pago nico de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800.00 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses?


4 . 5 RENTA

10. En la compra de un automvil nuevo que cuesta $145 000 le reciben al licenciado Ugalde su automvil usado por $55 000. Le convendra pagar el resto en 36 mensualidades vencidas de $3 500 si lo ms que desea pagar de inters es 2% mensual?

11. Qu cantidad se debera depositar el 31 de enero del ao 1 para poder hacer 15 retiros mensua-les de $5 000 a partir del ltimo da de febrero de ese ao, si la cuenta en que se deposita paga 9% de inters convertible cada mes?

12. Si un taxi rinde $3 850 mensuales vencidos y se considera que esa cantidad es constante por tiempo indefinido, pues incluye gastos, depreciacin, mantenimiento, etctera, qu cantidad mxima deber invertirse en el vehculo si se desea obtener un rendimiento de 30% anual efec-tivo sobre la inversin por un periodo de 3 aos?

Se conoce como renta al pago peridico que se realiza con intervalos iguales de tiempo.

EJEMPLO 4.5.1 Una persona adquiere hoy a crdito una computadora. La computadora cuesta $ 19 750 y conviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas. Cunto tendr que pagar cada mes si le cobran 1.8% mensual de inters?

SOLUCIN:

Se puede ver que los datos con que se cuenta son:

C = 19 750

i? = ?

i = 1.8%

n = 4

y despejando en la frmula (4.2) que se vio en la seccin anterior:

i

R_ Ai _ 19 750(0.018) _ 355.50 1 - ( 1 + y n 1 - (1 .018)^ 0.068873

R = $5 161.67

EJEMPLO 4 . 5 . 2 Cunto debe invertir el seor Jurez al final de cada mes durante los prximos 7 aos en un fondo que paga 13.5% convertible mensualmente con el objeto de acumu-lar $100 000.00 al realizar el ltimo depsito?

S O L U C I N :


i? = ?

M = 100 000

i = 0.135/12 = 0.01125

n = 12(7) = 84

100 000 = R ( L Q 1 1 2 5 ) 8 4 ~ 1 = (138.602198) 0.01125

1 0 0 0 0 0 = $721.49 138.602198

EJEMPLO 4.5.3 Una persona debe pagar $3 000.00 al final de cada ao, durante varios aos. Cunto tendra que pagar a fines de cada mes para sustituir el pago anual, si se consideran intereses a razn de 25% anual convertible mensualmente?

S O L U C I N :

Se puede considerar que la renta de cada ao es un monto y que el pago mensual es la renta de cada anualidad:

R = ?

/ = 0.25/12 = 0.020833

M = 3 000

= 12

3 000 = * (1-020833)12- 1 = R { U A 1 5 U 1 ) 0.020833

3 0 0 0 = 222.63 13.475137

4 . 6 PLAZO

El plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio del nmero de periodos de pa-go n.


EJEMPLO 4.6.1 Cuntos pagos de $607.96 al final de mes tendra que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $8 500, si da $2 550 de enganche y acuerda pagar 24% de inters capitalizable mensualmente sobre el saldo?

SOLUCIN:

n = ? R = 607.96 C = 8 5 0 0 - 2 550 = 5 950 i = 0.24/12 = 0.02

1 - (1 + T C = R

5 950 = 607.96

i 1 - (1.02)"

0.02 5 950(0.02)

1 - (1.02)-" 607.96

0.195736- 1 = -(1.02)-" (1.02)" = 0.80426343

- = 0.80426343 (1.02)"

(1.02)" = 1 = 1.24337369

0.80426343 n log 1.02 = log 1.24337369

log 1.24337369 _ 0.09460167 log 1.02 0.00860017

n = 11

Muchas veces, a diferencia del ejemplo anterior, el nmero de periodos no es entero.

EJEMPLO 4.6.2 Cuntos pagos bimestrales vencidos de $1 550 se tendran que hacer para saldar una deuda, pagadera hoy, de $8 000, si el primer pago se realiza dentro de 2 meses y el inters es de 2.75% bimestral?

SOLUCIN:

= 1 550 C = 8 000


i = 2.75% = ?

1 -(1.0275)" ; 000 = 1 550

8 000(0.0275) _ , ( l 0.0275

= 1 -(1.0275)-" = 0.14193548 1 550

-(1.0275)-" = 0.14193548 - 1 = -0.85806451 (1.0275)-" = 0.85806451

-n log 1.0275 = log 0.85806451 log 0.85806451 n = -

n = -

log 1.0275 log 0.85806451 _ -0.0664806

log 1.0275 0.01178183 n = -(-5.642592) n = 5.642592

Antes de continuar con la solucin, conviene observar las distintas formas en que se resolvieron este ejemplo y el anterior para evitar confusiones. En el ejemplo 4.6.1 se

convirti la expresin (1.02)"" en = ' que es equivalente. 1.02"

En este ejemplo, 4.6.2, se despeja la n directamente de (1.0275)"" para obtener - log (1.0275).

Estos dos procedimientos son vlidos y arrojan los mismos resultados. Se invita al lector a resolver estos dos ejemplos con el otro mtodo para verificar esta afirma-cin.

Volviendo al resultado aqu obtenido, n = 5.642592

al igual que en casos anteriores en los que se ha encontrado que el nmero de pagos o periodos es fraccionario, se pueden hacer dos cosas:

) hacer cinco pagos de $1 550 y un sexto pago menor b) realizar cuatro pagos de $1 550 y un pago final mayor

A saber:

a) Al cabo del quinto pago, el valor de todos los abonos (a su valor futuro) sera:

1 550 ( L 2 7 5 ) 5 - 1 = 8 188.13 0.0275

mientras que el valor del adeudo despus de 5 bimestres sera:

8 000(1.0275)5 = 9 162.19

140 MATEMTICAS FINANCIERAS

Por lo que el valor del adeudo final del quinto bimestre, inmediatamente des-pus de efectuar el pago correspondiente sera:

9 162.19-8 188.13 = 974.06

El valor de esta cantidad un mes despus sera:

974.06(1.0275)= 1 000.84

cantidad que debera pagarse al cabo del sexto bimestre. b) Si se hicieran cuatro pagos de $1 550, su monto en el momento de hacer el

cuarto pago sera:

1 5 5 0 (1 0275) 4- 1 = 6 4 6 Q 4 7 0.0275

y el valor del adeudo:

8 000(1.0275)4 = 8 916.97

El saldo al cuarto bimestre sera:

8 916.97-6 460.47 = $2 456.50

Y al trmino del quinto bimestre sera necesario pagar:

2 456.50(1.0275) = 2 524.05

para saldar completamente la deuda.

EJEMPLO 4.6.3 Con referencia al ejemplo anterior, ntese que se encontr en u) y b) el pago final que es necesario hacer, determinando el valor futuro (monto) tanto de los pagos como del adeudo.

En este ejemplo se mostrar que se obtienen los mismos resultados calculando sus correspondientes valores actuales. Para ilustrar esto se utilizar el caso a) en el que se decide hacer 5 pagos completos y un pago final menor:

El valor actual de los 5 pagos completos es:

1 550 +0-Q275) 5 = j 550(4.612582) = 7 149.50 0.0275

Y dado que el valor actual de la deuda es de $8 000, el saldo de la operacin, a su valor actual, es:

8 0 0 0 - 7 149.50 = 850.50

Y este saldo, llevado a su valor despus de 6 bimestres (que es cuando hay que hacer el ltimo pago) es:

850.50(1.0275)6 = 850.50(1.176768)= 1 000.84

misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo anterior.


EJEMPLO 4.6.4 Cuntos pagos mensuales de $45 000 seran necesarios para liquidar una deuda de $2 000 000 contrada hoy con intereses de 30% anual convertible mensualmente?

S O L U C I N :

C = 2 0 0 0 0 0 0

R = 45 0 0 0 i = 0 .30 /12 = 0 .0250

= ?

Los intereses que genera la deuda cada mes son:

1 - Ci I = 2 0 0 0 000 (0 .0250 ) = 5 0 0 0 0

La deuda no puede pagarse con mensualidades de $45 000 porque lo que la deuda genera por concepto de intereses es superior. Por esto, para ir disminuyendo el adeudo se tendran que pagar mensualidades por cantidades superiores a $50 000.

EJEMPLO 4 .6 .5 Una persona desea acumular $300 000. Para reunir esa cantidad decide hacer depsi-tos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 12% anual convertible trimestralmente. Si deposita $5 000 cada fin de trimestre, dentro de cunto tiempo habr acumulado la cantidad que desea?

S O L U C I N :

Ntese que como se trata de una cantidad ($300 000) realizable a futuro, se est ha-blando de monto:

M = 300 0 0 0

R = 5 0 0 0 i = 0 .12 /4 = 0 .03

n=l (1 .03)" - 1

0 .03

3 0 0 000(0 .03)

3 0 0 0 0 0 = 5 0 0 0

+ 1 = ( 1 . 0 3 ) " 5 0 0 0

2 .8 = (1.03)"

log 1.03 = log 2.8


log 2.8 _ 0.447158 log 1.03 0.012837

n = 34.83 trimestres, o sea 34.83(3) = 104.5 105 meses

Esa persona tendra los $300 000 aproximadamente dentro de ocho aos y nue-ve meses.

4 . 7 TASA DE INTERS

Para terminar este tema se vern algunos ejemplos en los cuales lo que interesa es determi-nar el inters que se paga.

EJEMPLO 4.7.1 Lucero de la Maana debe pagar hoy $350 000. Como no tiene esa cantidad disponi-ble, platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62 000, el primero de ellos dentro de un mes. Qu tasa de inters va a pagar?

S O L U C I N :

R = $62 000 C = $350 000 n = 6 i.= ?

i - a + 'T6 350 000 = 62 000 i

1 - 0 + iy* _ 350 000_ = 5 ^ 6 4 5 1 6 1 i 62 000

Como no es posible despejar la i, se tiene que seguir un procedimiento de aproxi-macin para encontrar su valor. Este procedimiento consta de 2 pasos:

1. Ensayar valores en la expresin donde se encuentra la

1 - 0 l 0 ( "

para encontrar dos valores de ella que estn cercanos a 5.645161, uno mayor y otro menor.

2. Interpolar entre los dos valores encontrados en 1 para determinar el valor de i.

Entonces, en primer lugar se ensayan valores para


Si = 0.02 = _ 5 6 0 1 4 3 , i 0.02

que es bastante cercano al valor de 5.645161 que se busca. Se contina ensayan-do valores para aproximar ms. Cabe destacar que, como se expuso en el captu-lo anterior, al disminuir la tasa de inters se incrementa el valor presente, y viceversa, al incrementar la tasa de inters, disminuye el valor presente.

Si i = 0.017 1 ~ ( 1 ' Q 1 7 ) ' 6 = 5.658585 0.017

ste es mayor que el valor que se busca; ahora uno un poco menor, para lo cual se incrementa la tasa de inters.

Si / = 0.018 1 " ( 1 + - 1 8 r 6 = 5.639435 0.018

Si = 0.0175 l - ( l + 0 - 0 m r * = 5 6 4 g 9 9 8 0.0175

Ahora ya se tienen dos valores muy cercanos al valor deseado, uno mayor y otro menor. El segundo paso es interpolar entre estos 2 valores para determinar en forma ms exacta la tasa de inters que se necesita.

El razonamiento es el siguiente: Se necesita encontrar el valor de i que haga que - - ' "

i sea igual a 5.645161, porque esta i es la que hace que se cumplan las con-diciones planteadas en el ejemplo y es, por lo tanto, la i que se busca.

Ya se determin en el paso anterior que:

si i = 0.0175, entonces ^ C 1 - 0 1 7 5 ) = 5.648998 0.0175

y que

si i = 0.018, entonces 1 ^ ( L Q 1 8 ) & = 5.639435 0.018

De donde se concluye que la tasa i que se busca est entre 0.018 y 0.0175.

Para ilustrar el procedimiento se muestran las condiciones descritas en los p-rrafos anteriores mediante un diagrama:

5.639435 5.645161 5.648998

0.018 i 0.0175

G R F I C A 4 . 4


Lo que se va a hacer a partir de este diagrama para encontrar un valor ms preciso de i es plantear una proporcin y, para comprender mejor lo que se hace, se repasarn las relaciones existentes entre las cantidades que aparecen en el esquema anterior.

Puede calcularse:

5.648998 - 5.639435 = 0.009563 es la "distancia total" entre estas dos cantida-des; 5.645161 - 5.639435 = 0.005726 es tambin la "distancia" que hay entre estas dos cantidades.

Y

5.645161 -5.639435 0.005726 = 0.59876608 5.648998 - 5.639435 0.009563

Lo que significa que 0.005726 (el numerador) representa aproximadamente 59.9% de la distancia total, y como esta proporcin debe ser cierta tambin para la "distancia total" entre las tasas, entonces la tasa que se busca (vase la grfica 4.4) debe ser igual a 0.018 menos 59.7% de la "distancia total" entre las tasas:

0.018 - 0.598766(0.018 - 0.0175) = 0.017700

Se puede verificar que esta tasa da una mejor aproximacin del factor:

1 -0 .0177) - 6

0.0177 5.645169

que es prcticamente igual al valor que se busca. Por ello, entonces, la respuesta del ejemplo es que la persona pagar 1.77%

mensual.

El procedimiento de interpolacin se puede resumir de la siguiente manera:

5.645161 -5.639435 i-0.018 5.648998-5.639435 0.0175-0.018

0.005726 _ i - 0.018 0.009563 -0.0005

En esta expresin 0.0005 es la "distancia total" entre las tasas, y lo que se hizo entonces fue igualar la proporcin de distancias:

0.59876608 = / " - 1 8 -0.0005

-0.018 =-0.0005(0.59876608) 1 = 0.018-(0.000299) i = 0.017701


EJEMPLO 4 . 7 . 2 Dos almacenes, A y B, venden el mismo modelo de lavadora, al mismo precio de $1 250.00.

A la vende con $125.00 mensuales durante 12 meses, y B, mediante un pago de $1 800.00 dentro de un ao. Determnese cul es el plan ms conveniente comparan-do las tasas anuales efectivas de las dos alternativas.

SOLUCIN:

a) Almacn^:

C = 1 250 n = 12 ; = ?

R = 125 1 - ( 1 +0"1 2 1 250 = 125

1 - (1 + Q"12 _ 1 250 _ 125

Ensayando valores:

Si = 0.05 1 ( L 0 5 ) '2 =8.86325161 0.05

i = o.06 1 ~ ( L 0 6 ) ' 2 = 8.38384394 0.06

i = 0.04 1 ~ ( L Q 4 ) '2 = 9.38507370 0.04

1 - 03~T12 i = 0.03 1 } = 9.95400390 0.03

. = Q Q 2 5 1 -(1.025) 12 = 1Q 25776400 0.025

i = 0.029 1 ~ ( 1 Q 2 9 ) '2 = 10.01368600 0.029

Y,

10.01368600 10 9.95400390

0.029 i 0.03

G R F I C A 4 . 5


10.01368600- 10 0 .029- / 10.01368600 - 9.95400390 0.029 - 0.030

0.22931690 = 0 0 2 9 - 0 . 0 0 1

-0.00022931 = 0 .029- / / = 0.029+ 0.000229310 i = 0.02922931

sta es la tasa efectiva mensual. La tasa efectiva anual es:

(1.02922931)12- 1 =0.4130118 = 41.30%

b) Almacn B:

M = 1 800 C = 1 250 n = 1 ao

M = C(1 + i) 1 800 = 1 250(1 + i)

1 j 1 8 0 0 1 + z = = 1.44 1 250

i - 1.44 1 = 0.44 = 44%

Por ello, es ms conveniente el plan del almacn A.

EJEMPLO 4.7.3 A qu tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $500 000 en el mo-mento de realizar el ltimo de 15 depsitos semestrales de $10 000?

SOLUCIN:

M = 500 000 = 10 000

= 15 2=.?

( i + o 1 5 - i 500 000 = 10 000-i

(1 + / ) 1 5 - 1 500 000 10 000

= 5 0


Ensayando valores de i (altos, ya que es semestral):

( l . l 5 ) l s - l i=.0.15

= 0.16

Afinando la aproximacin

i = 0.157

= 0.1560

i = 0.1561

Para interpolar:

49.98504380

0.15 (1.16)15 - 1

0.16

= 47.58041086

51.65950541

(1.157)15 - 1 0.157

(1.156)15 - 1 0.156

(1.1561)15 - 1 0.1561

50

= 50.39819915

49.98504380

= 50.02619735

50.02619735

0.1560

G R F I C A 4 . 6

0.1561

50-49.9850438 / -0 .1560 50.02619735-49.9850438

0.0149562 0.1561 -0.1560 1-0.1560

0.04115355 0.0001 0.36342430(0.0001) = i - 0.1560

i = 0.1560 + 0.00003634 i = 0.15603634

Comprobando el resultado anterior:

(1.15603634)15 - 1 0.15603634

49.99999485 o, aproximando, 50

y, por tanto, se requiere una tasa de 0.15603634(2) = 0.312072, 31.21% aproximada-mente (nominal anual) para hacer que el monto de 15 pagos semestrales de $10 000 sea $500 000.


! EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 4 . 5 A 4 .7

13. Una empresa contrata una deuda de $100 000.00 con un banco. Si ste carga a este tipo de prstamos 22% anual convertible mensualmente, cunto tendra que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses?

14. El seor Luna adquiri una casa en condominio y acord pagar, aparte de cierta cantidad men-sual, anualidades por $95 000. Si acaba de realizar el trato hoy mismo, de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un ao, y si decide hacer depsitos trimes-trales en un fondo de inversin que paga 4% trimestral, de cunto tendran que ser sus depsi-tos para poder acumular a fin de ao la cantidad que necesita?

15. Una persona contrat una deuda que le obliga a pagar $150 000 el lo. de enero de cada uno de varios aos. Como ahora se da cuenta de que le seria ms fcil pagar haciendo abonos trimestra-les vencidos, de cunto tendran que ser los pagos en el nuevo plan, si se considera el inters a 8% convertible trimestralmente?

16. Hoy es 15 de marzo. Dentro de 3 aos, el 15 de noviembre, el primognito del seor Mendoza cumplir la mayora de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costar en ese tiempo (dentro de 3 aos) unos $80 000. Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde 1% mensual. Si la tasa de rendimiento no cambiara en ese tiempo, cunto tendra que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir la motocicleta?

n 17. Para saldar un prstamo de $785 000 contratado hoy, el deudor acuerda hacer 5 pagos semestra-les iguales y vencidos y, finalmente, un pago nico de $300 000, 2 aos despus de realizado el ltimo pago semestral. De cunto deber ser cada uno de los pagos iguales, si el inters es de 25% capitalizable semestralmente?

18. El 12 de abril de este ao, la seorita Soto deposita $20 000 en una cuenta bancaria que paga 1.5% bimestral de inters. Si comienza a hacer depsitos bimestrales iguales a partir del 12 de junio y acumula $130 238 inmediatamente despus de realizar el depsito del 12 de diciembre del ao siguiente, de cunto fueron sus depsitos?

19. La seora Jimnez desea vender un comedor que posee y que considera vale $35 000. Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas:

a) El comprador^ ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3 100 >) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $2 250

Considerando los intereses a razn de 14.4% anual convertible mensualmente, cul oferta le conviene ms?

20. En cunto tiempo se acumularn $200 000 mediante depsitos bimestrales vencidos de $5 000 si se invierten a una tasa de 15% anual convertible bimestralmente?

21. Una deuda de $850.00 contrada hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales iguales y vencidos de $185.00. Si el inters es de 3.9% trimestral, calclese el nmero de pagos comple-tos y el valor del pago final menor que saldan el compromiso.

22. Para pagar una deuda de $525 000 contrada hoy, se van a abonar mensualidades de $15 000 comenzando dentro de un mes. Si el inters que se cobra es de 27% capitalizable cada mes, determnese el nmero de pagos iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda.

23. El 12 de septiembre la doctora Gudio adquiere un automvil usado en $118 000. Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $4 148.53. Si se considera un inters a 16% anual convertible con la misma periodicidad que los pagos, cundo terminar de pagar?

24. Como beneficiario de un plan de jubilacin, el seor Domnguez puede recibir $160 000 de inmediato; o puede recibir $40 000 ahora y el resto con pagos de $6 000 cada 3 meses. Si la compaa paga inters de 12% anual convertible cada 3 meses:


a) cuntos pagos completos recibir? b) con qu cantidad adicional al ltimo pago completo le liquidarn el total de su beneficio

de jubilacin? c) con qu pago final realizado 3 meses despus del ltimo pago de $6 000 le liquidaran el

total?

25. Si un trabajador ahorra $100 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8% anual converti-ble mensualmente:

a) En qu tiempo reunir $ 1 000? b) Si desea juntar esa cantidad en un periodo exacto de meses, cuntos depsitos completos

de $100.00 debe hacer, y de qu cantidad (mayor de $100.00) debe ser el ltimo depsito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1 000.00?

26. El 8 de enero se pag el ltimo abono mensual vencido de $829.14. Con este abono se liquid totalmente una deuda que ascenda a $7 500.00. Si la operacin se pact a 22.4% anual de inters convertible mensualmente:

a) cundo se hizo el primer pago mensual? b) a qu plazo se pact la operacin?

27. A qu inters se deben hacer depsitos semestrales de $1 000.00 para acumular $8 000.00 en 3 aos?

28. Una deuda de $5 000, contrada hoy, se pagar mediante 5 abonos mensuales vencidos de $1 076.23. A qu tasa nominal anual se debe pactar la operacin?

29. Una persona adquiri, mediante 24 abonos quincenales de $280, un televisor que al contado costaba $5 250:

a) Qu tasa nominal anual pag? b) Qu tasa efectiva quincenal pag? c) Qu tasa efectiva anual pag?

30. Un automvil cuesta $238 150. Se vende con 50% de enganche y 6 mensualidades de $20 971.90. Qu inters efectivo mensual se cobra?

31. En 2 almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral, con igual precio de contado: $9 995. Las condiciones del crdito son:

El almacn "La Ganga" la vende mediante 8 mensualidades de $1 395. El almacn "La Bagatela" la vende a 12 mensualidades de $995.

a) En qu almacn es ms conveniente comprar la cocina? b) Qu diferencia existe entre las tasas mensuales efectivas que se aplican en los 2 casos?

32. Ana Isabel desea adquirir una computadora, y para tomar la mejor decisin compara las alterna-tivas que existen en el mercado:

a) La empresa "Rompeprecios" ofrece la computadora marca "Compacta" a slo $22 995 u 8 pagos de $3 245.

b) La casa "Club de Precios" ofrece la misma computadora "Compacta" a $23 700 de conta-do o mediante 6 pagos de $3 950 sin intereses.

Si la tasa de inters del mercado es de 15%, cul alternativa es la mejor para Ana Isabel?

33. Juan Carlos est planeando sus prximas vacaciones. Encuentra la promocin de un banco que ofrece viajes todo incluido a destinos de playa mediante un enganche de $998.55 y 48 pagos semanales de $182.00.

1 5 0 MATEMATICAS FINANCIERAS

a) cul es el valor presente del viaje si el banco le carga un inters de l .2% semanal? b) cunto debera ahorrar durante 48 semanas en una cuenta que paga 10% de inters anual

convertible semanalmente, si deseara pagar el viaje de contado y ste tiene un costo de $5 900?

c) qu le sugerira usted a Juan Carlos?

4 . 8 RESUMEN

En este captulo se introdujo el concepto de anualidades: un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos de tiempo iguales.

Se mencion que resulta conveniente identificar los diferentes tipos de ellas, clasifi-cndolas de acuerdo con cuatro criterios:

Tiempo: anualidades ciertas y anualidades contingentes Intereses: simples y generales Pagos: anualidades vencidas y anticipadas Iniciacin: inmediatas y diferidas

La combinacin de estas caractersticas da lugar a los diversos tipos de anualidades. Se revisaron las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Se derivaron las fr-mulas para calcular su monto y su valor actual o capital, y se ilustraron diversos casos en los que fue necesario calcular esos dos conceptos, as como tambin el plazo, la renta y la tasa de inters.

COMPROBACIN DEL CAPTULO

Si se ha ledo el captulo completo, el lector debe:

Identificar y explicar las diversas caractersticas que definen a los distintos tipos de anualidades. Identificar y plantear situaciones que pueden representarse mediante una anualidad simple, cier-

ta, vencida e inmediata. Plantear y resolver ejemplos de este tipo de anualidades.

TRMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES

Anualidad Anualidades: ciertas contingentes simples generales

vencidas anticipadas inmediatas diferidas

Monto, valor actual, renta, plazo, tasa de inters de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata.


FRMULAS IMPORTANTES

(4.2)

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. 2. 3.

4.

5. 6. 7.

8.

9.

10.

11. 12.

13.

14.

15.

16.

Qu es una anualidad simple, contingente, vencida y diferida? Qu es una anualidad general, cierta, anticipada e inmediata? Cul es el tipo ms comn de anualidad?

Dgase qu clase de anualidad representan los planteamientos 4 a 8.

Una pensin vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total, y que asigna cierta cantidad mensual. Un depsito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 15% capitalizable mensualmente. Una persona subarrienda un negocio. El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad diaria. La adquisicin de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante 6 pagos bimestrales de $ 102 500. La entrega del inmueble tiene lugar al realizar el sexto pago bimestral. La compra a crdito de un automvil. El inters que se carga es 2% mensual global, y los pagos se hacen cada mes.

Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

Cul es ei monto de 18 depsitos mensuales de $500.00 en una cuenta de inversin que paga 1.5% mensual? Cul es el valor actual de 18 pagos mensuales de $500.00 si se consideran intereses de 1.5% mensual? Qu relacin existe entre las respuestas a las preguntas 9 y 10? Exprsese en forma de ecuacin. La profesora Vlez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $3 275.00. Si la cuenta de inversiones rinde 10% convertible mensualmente, cunto tena en su cuenta de inver-siones un mes antes de realizar el primer retiro? (Desde que empez a hacer los retiros no hizo ningn depsito.) El da lo. se depositaron $7 000 en una inversin que paga 16% convertible mensualmente. Adems:

a) se depositaron, comenzando un mes despus, $1 000 mensuales durante 1 ao. b) al final del mes 19 se depositaron $12 000.

Cul es el monto de todas estas inversiones al final del mes 24?

Si se calculan intereses a razn de 22% anual convertible cada 2 meses, qu pago nico reali-zado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $8 500? Si se desea obtener un rendimiento de 100% capitalizable mensualmente sobre una inversin riesgosa, cul es la cantidad mxima que debera invertirse en una operacin que se espera pague $10 000 mensuales al final de cada uno de los 8 meses siguientes? En una cuenta que rinde 1.25% mensual, se hicieron los siguientes depsitos:

a) 5 de $1 750 cada fin de mes, el primero al cabo de un mes. b) 8 de $] 450 cada fin de mes; el primero de stos al cabo de 4 meses.

Cul es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del decimosegundo mes?


17. Qu renta pagada durante cada uno de 12 bimestres es equivalente a un valor actual de $ 100 000, si se consideran intereses a una tasa de 2.8% bimestral?

18. Qu renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular $10 000.00 al cabo del dcimo mes, si se consideran intereses a razn de 17% convertible cada mes?

19. Si se vende un terreno en $228 000 al contado, o mediante 12 pagos semestrales iguales con 20% anual convertible semestralmente, de cunto seran los pagos en el plan a crdito?

20. Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustara adquirir al seor Lpez ser de $170 000 dentro de un ao, qu cantidad debera depositar cada mes en una inversin que rinde 14% convertible mensualmente?

21. El 12 de abril la seorita Prez obtiene un prstamo de $3 0 000 que acuerda reembolsar median-te pagos iguales, cada mes, comenzando el 12 de mayo y haciendo el ltimo el 12 de diciembre del ao siguiente. Si le cobran intereses de 1.8% mensual, cunto debe pagar cada mes?

22. Se deben pagar $78 500 el 23 de agosto del ao prximo. Si hoy es 23 de febrero, cul debe ser el importe de los depsitos bimestrales a una cuenta de inversin que rinde 3% bimestral para tener el 23 de agosto del ao siguiente, en el momento de realizar el ltimo depsito, la cantidad que se debe pagar, y si el primer depsito se hace el 23 de abril de este ao?

23. El 2 de enero se obtiene un prstamo de $324 000. Se va a pagar con 6 abonos mensuales iguales; el primero, el 2 de febrero, ms $112 000 adicionales al ltimo abono mensual. Si el inters acordado es de 18% convertible mensualmente, cul debe ser el importe de los pagos mensuales?

24. Un televisor se vende con las siguientes condiciones en 2 tiendas:

a) En la tienda A cuesta $2 895 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 3% mensual;

b) En la tienda B cuesta $2 995 de contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 2.4% mensual.

Si se desea adquirir el aparato utilizando el crdito, en qu tienda conviene adquirirlo?

25. En cunto tiempo se acumulan $180 000 mediante depsitos semestrales de $9 816.50 en una inversin que rinde 1.2% mensual?

26. En cunto tiempo se acumulan $5 000.00 si se ahorran $200.00 mensuales y los ahorros ganan 0.8% mensual de inters?

27. Cuntos pagos de $ 136 211.25 sera necesario hacer cada fin de ao para liquidar una deuda de $450 000 si el inters es de 30% anual?

28. Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento. El trato se formaliza hoy y se fija el valor del inmueble en $290 000 para dentro de un ao, que es cuando se va a hacer el traslado de dominio. Para pagar, Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de $25 000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operacin. Cuntas mensualidades iguales deber pagar, y cul debe ser el importe del pago final mayor si acordaron un inters de 1.5% mensual? Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes.

29. Existen dos.planes para la compra de un automvil:

a) Precio de contado $135 000 y mensualidades de $7 137.60 con una tasa de inters de 2% mensual, hasta terminar de pagar.

b) Precio de contado $ 139 000, 30% de enganche y 18 mensualidades de $5 551.56.

Cul de los dos planes de crdito conviene ms?

30. A qu inters efectivo anual se tendra que colocar una serie de 15 depsitos bimestrales ven-cidos de $ 13 840.44 para que en el momento de hacer el ltimo depsito se acumularan $250 000?

31. Para pagar una deuda de $950 000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149 620.66. Qu tasa nominal convertible mensualmente se carg en la operacin?


32. A qu tasa efectiva bimestral se cobr un crdito de $42 000.00 si se cubri mediante 18 pagos bimestrales vencidos de $3 371.88?

33. Un mueble fino se vende en $18 600 de contado, o a crdito, con un pago inicial de $1 860 y 6 abonos mensuales vencidos de $2 999. Cul es el inters nominal anual, convertible mensual-mente, que se cobra en la venta a crdito?

34. Cul ser el monto que acumule Tatiana si realiza 14 depsitos catorcenales de $14 000 cada uno, en una cuenta de inversin que rinde 14% de inters anual nominal capitalizable cada 14 das?

35. Yuri desea ayudar a su mam con los gastos del hogar y considera la posibilidad de adquirir una mquina de coser, la cual le ofrecen con un enganche de $506.23 y 24 abonos "facilitos" de $156.00. Cul es el precio de contado de la mquina, si el banco le cobra un inters de 4.5% mensual convertible quincenalmente?

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