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PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES

Análisis de Señales: Aplicaciones en el Área de las Vibraciones Mecánicas

JUAN J. PIÑEYRO, ANDREAS E. KLEMPNOW Y VICENTE H. LESCANO

Grupo de Investigación en Vibraciones Mecánicas

Facultad Regional Delta, Universidad Tecnológica Nacional Campana, Buenos Aires, Argentina

Introducción

El análisis digital de señales es un campo de estudio relacionado al procesamiento de información presentada en forma digital donde el advenimiento en los últimos años de modernos sistemas de computación, ha logrado dar impulso a la introducción de nuevos métodos de análisis en apoyo de los tradicionales, así como un enorme crecimiento en la cantidad de aplicaciones prácticas a una variedad diversa de problemas. Ejemplos de ello lo encontramos en el área de Mecánica Aplicada, donde se la utiliza en problemas de tipo estructural, para el diagnóstico de problemas dinámicos en máquinas rotantes, detección de malfuncionamiento de componentes en plantas nucleares; análisis de imágenes acústicas y de sonar marino en problemas de Acústica y Sonido, así como en reconocimiento y síntesis de voces; en Comunicaciones es utilizada en análisis de sistemas y detección de señales, filtrado en canales múltiples, estimación de funciones transferencia, etc.; en Ingeniería Biomédica permite el monitoreo de la fatiga muscular, investigación en perturbaciones gástricas, en diagnóstico de pacientes con problemas cardíacos y muchas otras aplicaciones dentro de esta área algunas de las cuales se presentan en otros capítulos de este libro; así como un enorme conjunto de otras aplicaciones que han dado cuerpo y vitalidad a este campo de la ciencia y tecnología (ver por ej., Brigham 1988, Bendat 1986-1993, Robinson 1982, Forrester 1992, Leuridan 1994, Ewins 2000). El procesamiento de señales no está limitado a datos unidimensionales ya que es también aplicable en otra diversidad de aplicaciones tales como procesamiento de imágenes, análisis de señales en un conjunto de antenas, en problemas de trayectorias de transmisión de señales, etc. (ver por ejemplo Jansen 1981, Bracewell 1995, Gonzales 2002, Marple 1987, Oguma 1981, Upadhyaya 1980, Brigham 1988 y referencias allí citadas, etc.).

El procesamiento digital de señales se ha vuelto un campo significativamente rico en métodos, conocimientos y aplicaciones debido fundamentalmente a la alta tecnología asociada con las computadoras digitales y diseños de equipos digitales (tales como los analizadores de señales, tarjetas de adquisición de datos, grabadores multicanal, colectores de datos, osciloscopios digitales, filtros, etc.),

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ANÁLISIS DE VIBRACIONES MECÁNICAS Piñeyro J.J. et al

que en combinación con las nuevas técnicas de análisis han generado nuevas vías para llevar adelante estudios de problemas cada vez más complejos.

El principal objetivo de este capítulo es presentar en forma clara y concisa una revisión de los principales métodos de estimación espectral en señales estacionarias, y que son utilizados para el análisis de problemas de vibraciones mecánicas, análisis modal de estructuras y ruido neutrónico en reactores nucleares como técnica de diagnóstico de las vibraciones en componentes internos al núcleo de un reactor nuclear. Se enfatiza particularmente en aquellas técnicas que pueden considerarse como menos tradicionales para la comunidad de analistas en este tipo de problemas. Se introduce en primer lugar una clasificación de señales desarrollando una idea presentada en Bendat (1986). Se discute luego las relaciones matemáticas básicas entre los dominios tiempo y frecuencia desde el punto de vista del procesamiento de señales. A continuación se expone una discusión de diferentes técnicas de estimación espectral, dando énfasis a los métodos basados en modelación autorregresiva, y explorando con mayor detalle aquellas que responden a nuevos desafíos en las aplicaciones al campo de las vibraciones tales como eventos de naturaleza impulsiva y problemas no lineales. Dentro de la primera interesan las aplicaciones en la detección de fallas en rodamientos, dientes de engranajes picados, inadecuadas tolerancias en los rodamientos que dan lugar a golpes repetitivos, golpeteo del pistón de un motor, interacciones impulsivas entre componentes en un reactor nuclear, etc. Se presenta una discusión de diferentes métodos de estimación espectral orientadas a diagnosticar este tipo de problemas. Por último se discuten problemas de estimación con dos y más canales de medición simultáneos utilizando las técnicas de correlación cruzada y de estimación multivariable basadas en modelación autorregresiva. Se ha procurado dar ejemplos de aplicación en la mayoría de los casos. Clasificación de señales

Los fenómenos físicos de mayor interés en ingeniería se miden en términos de una función amplitud versus tiempo, a la que nos referiremos como el registro histórico temporal o señal observada. La amplitud instantánea de la misma representa alguna cantidad física de interés, como por ejemplo velocidad, aceleración, presión, temperatura, deformación, etc.

Los sistemas físicos y de ingeniería se pueden clasificar en lineales o no lineales, con parámetros en cada uno de ellos que pueden ser constantes o variables en el tiempo, lo que nos lleva a la clasificación que se muestra en la Figura 1.

En general, en la mayoría de las aplicaciones dentro del área de las vibraciones mecánicas las únicas variables observables están dadas por la señal de salida en un sistema y representa la respuesta del mismo ante ciertos estímulos (Figura 2). Refiriéndonos a la clasificación dada en la Fig. 1 decimos que la misma puede ser

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lineal o no lineal, lo que de hecho es un fiel reflejo del comportamiento del sistema. Una descripción matemática profunda de sistemas lineales y no lineales se puede ver por ejemplo en Haddad 1975, Ljung 1987, Bendat 1990 y 1993, Schetzen 1980, Stoker 1992.

SISTEMAS

No Lineales

Parámetros Constantes

Variables En Tiempo

Deterministas

Periódicas No Periódicas

Casi Periodicas

Transientes Periódicas Complejas

Aleatorias

No Estacionarias Estacionarias

No ergódicas Ergódicas

A

A

Lineales

Tipos Especiales de Sistemas No Lineales

Señales Armónicas Evolucionarias

Señales de Banda Ancha Evolucionarias

Señales Transientes

Figura 1: Clasificación típica de señales en análisis de vibraciones.

Dos diferencias muy importantes entre sistemas lineales y no lineales es que los primeros satisfacen el principio de superposición, mientras que los segundos no lo hacen, y la segunda es que en un sistema lineal cuando los datos de entrada sean aleatorios con una función de distribución de probabilidad (p.d.f.) Gaussiana, producirán una señal de salida que tendrá también el mismo tipo de distribución teórica; mientras que para un sistema no lineal una entrada de datos similar producirá una señal de salida con una distribución no Gaussiana. Por lo expuesto

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vemos que una forma de detectar un sistema no lineal es por medio de la estimación de la distribución probabilística de los datos de salida ante una excitación de entrada que se supone tiene una p.d.f. Gaussiana. Sin duda alguna, una de las áreas de aplicación más importantes de los métodos de análisis espectral es la identificación de sistemas lineales, un campo en donde existe una formulación general de este problema. En cambio, para analizar un sistema no lineal se requieren diferentes técnicas para llevar a cabo clasificaciones especiales dada la falta de un esquema general de análisis.

Como ya hemos indicado, en un sistema mecánico las señales observables de interés es lo que denominamos la respuesta del mismo ante estímulos externos (entradas o fuerza de excitación) que en algunos casos (por ej. en test de impacto para determinar frecuencias naturales) pueden estar manipulados por el observador, y en otros son el resultado de una falla en algún componente del sistema. Cualquier otro tipo de señal se denomina perturbaciones y se dividen en aquellas que pueden medirse en forma directa y otras que solamente pueden ser observadas a través de su influencia en la señal de salida, tal como se observa en la Fig. 2.

SISTEMA H(f)

Ruido n(t)

y(t)

Señal Medida

z(t) = y(t) + n(t) x(t)

Entrada

Figura 2: Sistema típico de medición. H(f) es la función transferencia del sistema.

En general cualquier conjunto de datos observados se pueden clasificar en

deterministas y aleatorios. Los primeros son aquellos que se pueden describir por medio de una relación matemática explícita. El caso más simple lo representa un función senoidal, mientras que los tipos más generales de funciones periódicas quedan representadas por su serie de Fourier:

;)22cos(2

)(1

110 ∑

∞

=

⋅+⋅+==n

nn tfsenbtfaa

ntx ππ donde x(t) es la señal y f1 = 1/T,

donde T es el período de la señal. El primer término a0 representa la DC en la señal, mientras que los restantes términos consisten en un número infinito de sinusoides de amplitudes decrecientes y frecuencias que son múltiplos de f1. El espectro se caracteriza por un conjunto discreto de líneas.

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Los fenómenos físicos donde las mediciones producen un registro temporal único, el cual muy probablemente no vuelva a repetirse, se denominan aleatorios. En tales casos, la historia temporal resultante de un experimento dado representa solamente una realización física de lo que podría haber ocurrido, de modo que a fin de tener una comprensión completa de los datos, conceptualmente debería pensarse en términos de un número infinito de registros temporales que podrían haber ocurrido tal como está ilustrado en la Fig. 3.

Figura 3: Conjunto de registros temporales de un proceso aleatorio de una señal.

Una historia temporal simple xi(t) es lo que se denomina un registro o función

muestral (observable en un período finito de tiempo), mientras que la colección de todos ellas {xi(t)}es lo que se llama un proceso estocástico. Las propiedades promedios de los datos en cualquier instante t1 se pueden calcular promediando sobre todo el conjunto de datos (como por ejemplo el valor medio �x(t1), la variancia, la función de autocorrelación Rxx(t1,t1+�), etc.):

;)(1lim)(

111 ∑

=∞→⋅=

N

kk

Nx tx

Ntµ ∑

=∞→

+⋅⋅=+N

kkkNxx txtx

NttR

11111 )()(1lim),( ττ

Las señales aleatorias pueden categorizarse a su vez en estacionarias y no

estacionarias, y los primeros dividirse a su vez en ergódicos y no ergódicos. En la mayoría de los casos es posible calcular los estadísticos descriptivos del proceso aleatorio a través de promedios temporales en funciones muestrales del conjunto. Por ejemplo, usando la k-esima función muestral del proceso estocástico podemos estimar �x(k) y Rxx(�,k) mediante:

∫ ⋅⋅=∞→

T

Ndttx

Tk kx

0)(1lim)(µ ; dttxtx

TkRxx k

T

kN⋅+⋅⋅= ∫∞→

)()(1lim),(0

ττ

5


Si el proceso {x(t)} es estacionario, ambos valores no diferirán cuando se los calcule sobre diferentes funciones muestrales, en este caso se dice además que el mismo es ergódico, lo cual implica que los valores medios temporales son iguales a los valores promedios sobre todo el conjunto muestral, en cuyo caso diremos que �x(k) = �x; y Rxx(�,k) = Rxx(�). Los procesos ergódicos constituyen una clase muy importante dentro de los procesos aleatorios, ya que las propiedades de estos se pueden estimar utilizando promedios temporales en una sola función de muestra. La justificación formal de los resultados anteriores proviene del denominado teorema ergódico (ej. Papoulis 1991). Muchos fenómenos físicos responden a este tipo de modelo. La Fig. 4 muestra un conjunto de historias temporales características de un proceso estacionario.

Figura 4: Conjunto de registros temporales estacionaria (presiones en un fluido turbulento).

Sin embargo, también es bastante común encontrarse en la práctica con señales

que miradas integralmente se comportan en forma no estacionaria. Desde un punto de vista puramente computacional, la situación más favorable sería aquella en la cual los datos no estacionarios de interés puedan repetirse en condiciones estadísticamente similares con lo cual serían posibles las estimaciones muestrales tal como se indica esquemáticamente en la Fig. 5.

Sin embargo la situación más común es aquella en que los fenómenos no estacionarios de interés son únicos y no se pueden reproducir en un sentido estadístico. Ejemplos de esta situación la encontramos en ondas oceánicas, turbulencias atmosféricas, en series económicas, etc. Dado que no existe una metodología general, apropiada a todos los tipos de procesos no estacionarios y aleatorios se concluye en la necesidad de desarrollar técnicas especiales que sólo se pueden aplicar a ciertos tipos de procesos. La Fig. 1 muestra una posible clasificación de diferentes señales no estacionarias que se encuentran en problemas de vibraciones mecánicas. La Fig. 6 representa una ráfaga de velocidad atmosférica y es un típico ejemplo de un proceso aleatorio no estacionario, ya que no sería posible diseñar experimentos que puedan producir un conjunto muestral

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con propiedades similares. Simplemente adquirimos lo que ocurre en ese lapso de tiempo.

Figura 5: Registros temporales de un proceso aleatorio no estacionario.

Figura 6: Registro temporal de una señal no estacionaria.

Otro tipo de datos no estacionarios consiste en factores determinísticos que operan en un proceso aleatorio estacionario, tal como se ve en la Fig. 7.

Figura 7: Ejemplos de datos no a) valor medio variable en el tiempo, b) RMS variable, c) estructura con frecuencia variable en el tiempo.

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Desde el punto de vista del análisis de vibraciones, existe una clase de datos no estacionarios que tienen especial interés. Se las denomina señales transientes y son las resultantes de un fenómeno de corta duración con un comienzo y un fin perfectamente definidos. La Fig. 8 muestra un ejemplo de este tipo de señal (una discusión más detallada acerca de las propiedades matemáticas de las señales no estacionarias se pueden ver por ejemplo en Bendat 1986 y Priestley 1987).

Figura 8: Conjunto de registros temporales característicos de una señal transiente

(aceleración durante impactos estructurales). Análisis de Fourier de una muestra discreta

La clasificación de señales dada en el apartado anterior es casi universal para la mayoría de las situaciones encontradas en la práctica. El problema que surge es como analizarlas. Los métodos de procesamiento de señales están diseñados para atacar los problemas de detección y estimación. El primero de ellos se refiere a la cuestión de determinar si una señal específica se encuentra presente en una observación de datos, mientras que la estimación se refiere al problema de calcular los valores de los parámetros que describen las señales de interés. Ciertamente, estas cuestiones dependen del campo específico de aplicación. La forma usual de llevar adelante estas cuestiones es a través del uso de funciones estadísticas en los dominios tiempo y frecuencia que están linealmente relacionados a través de la transformada de Fourier definidas por las conocidas expresiones (Bracewell 1978, Bendat 1986, Brigham 1988, Papoulis 1991, etc.):

dtftjtx{x(t)}fX ⋅−⋅== ∫+∞

∞

}2exp{)()( π-

F (1)

y la correspondiente transformada inversa de Fourier:

8


∫+∞

∞−

− ⋅⋅== dfftjfXfXtx }2exp{)()}({)( 1 πF (2)

en donde se dice que x(t) y X(f) forman un par transformado de Fourier:

)()( fXtxF⇐⇒ (3)

De acuerdo a esta definición, cualquier evento que se pueda asociar a una señal

temporal se puede igualmente describir en términos de su correspondiente espectro en frecuencias. La reversibilidad de la transformada nos asegura que estas representaciones son siempre descripciones equivalentes del evento, y que en principio no habría razón para preferir un dominio respecto del otro.

En la práctica, la mayoría de las señales con las que nos encontramos son siempre aleatorias por naturaleza, ya que aún en aquellos casos en que se trate de una forma de onda periódica pura, la señal observada normalmente está corrompida por ruido.

Por cuestiones prácticas, cada señal que procesamos debe tener extensión finita, la cual puede ser ajustable y seleccionable, pero debe ser finita. El procesamiento de una señal de esta naturaleza impone ciertas características al análisis armónico, que incluye detectar tonos en presencia de otros cercanos y fuertes, la resolubilidad de señales periódicas cercanas, frecuencia variables, etc. Por lo tanto, si consideramos a x(t) en un intervalo de tiempo T finito, X(f) se estima mediante el cómputo de la llamada Transformada Finita de Fourier (Brigham E.O. 1988 y Bendat 1986):

∫ ⋅−⋅=≡T

T dtftjtxTfXfX0

}2exp{)(),()( π

este tipo de transformada de Fourier siempre existirá para registros de longitud finita.

Las técnicas apropiadas para la adquisición y procesamiento de nuestros datos son fuertemente dependientes del fenómeno físico que estamos observando y del objetivo deseado en el procesamiento. En términos amplios, las operaciones requeridas se pueden dividir en cinco categorías primarias (Bendat, 1986 y Otnes, 1978, etc.): � Colección: el elemento primario es el transductor. � Grabación: utilizado en algunas aplicaciones como una forma de

almacenamiento de la señal.

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� Preparación: es la preparación de los datos originales vía una conversión analógica–digital.

� Calificación: implica la verificación de características tales como estacionalidad, normalidad, etc.

� Análisis: este paso se refiere a los procedimientos para analizar las propiedades de los datos aleatorios.

Ahora bien, si tenemos en cuenta que la mayoría de los procedimientos de

análisis se llevan a cabo en equipos digitales, esto implica disponer de una versión muestreada de la forma de onda continua, separadas cada �t segundos. Surgen entonces dos cuestiones críticas: en primer lugar ¿representan adecuadamente el sistema analizado los valores muestreados de la señal?, y en segundo lugar ¿cuál debería ser el intervalo de muestreo a fin de recuperar la señal de manera óptima? Si los valores muestreados son xs(n�t) donde �t es el intervalo de muestreo, podemos expresar la señal por:

∑ ∆−⋅∆=n

s tnttnxtx )()()( δ

que representa una secuencia infinita de impulsos equidistantes. La correspondiente transformada de Fourier se obtiene utilizando el teorema de convolución:

∑ −⋅∆

=n

ss nffXt

fX )(1)(

en dónde fs es la frecuencia de muestreo e igual a 1/�t . Este resultado nos muestra que la transofmrada de Fourier de una forma de onda sampleada es una función periódica dónde un período es igual a la transformada de Fourier de la señal continua x(t), si �t es pequeño. Si incrementamos el tiempo de muestreo vamos a obtener una versión distorsionada de la transformada de Fourier deseada conocida como aliasing, fenómeno que ocurre cuando una señal no esté sampleada a una velocidad suficientemente alta. Para evitar los problemas de aliasing debemos asegurarnos que la componente de mayor frecuencia de X(f) debe ser menor que la frecuencia de corte de Nyquist fc=1/2��t (Poularikas, 1996).

Entonces, si asumimos que la señal x(t) está muestreada en N puntos igualmente espaciados cada �t, el cual ha sido seleccionado a fin de tener una frecuencia de corte suficientemente alta, y llamando tn=n��t con valores Xn=

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x(n��t), n =1,2,…,N, se tiene que la versión discreta de la transformada finita de Fourier está dada por:

};2exp{1

0 NknjxX

N

nnk

π−⋅=∑

−

=

k = 1,2,…,N-1

donde Xk = X(fk)/�t, fk = k/N��t. Esta fórmula es conocida como Transformada Discreta de Fourier (DFT), y la correspondiente fórmula para la transformada de Fourier inversa discreta dada por:

}2exp{1 1

0 NknjX

Nx

N

kkn

π∑−

=

⋅⋅= ; n = 0,1,2,…,N-1

La Transformada Rápida de Fourier (FFT) es el nombre de un conjunto de

algoritmos computacionalmente eficientes para la evaluación rápida de la DFT (Brigham 1988; Bendat 1986, Otnes 1978, Bergland, 1969). El concepto central de la FFT es dividir los N puntos de la DFT en dos o más DFT pequeñas, cada una de las cuales pueden computarse en forma individual y combinarse en forma lineal a fin de obtener la DFT de la secuencia de N puntos originales. Estas DFT más pequeñas pueden a su vez subdividirse en otras aún más pequeñas de la correspondiente subsecuencia. En general una DFT de N puntos requiere log2N etapas con N sumas y N/2 multiplicaciones en cada etapa, lo cual implica que una FFT de N puntos requiere aproximadamente N*log2N sumas y N*log2(N/2) multiplicaciones complejas. Esto representa un significativo ahorro relativo a las N2 operaciones que requerirían evaluarse en forma individual para obtener N valores transformados a partir de N datos. Calificación de los Datos y Análisis

El análisis de los datos aleatorios involucra consideraciones de naturaleza estadística puesto que no es posible escribir una ecuación matemática para las historias temporales producidas por un fenómeno aleatorio.

Los procedimientos para analizar las propiedades de los datos aleatorios se pueden dividir en dos categorías: procedimientos para analizar registros muestrales individuales y procedimientos para analizar una colección de ellos dadas las propiedades de cada registro individual (análisis de señales múltiples). En lo que sigue vamos a suponer que los datos a procesar son series de valores temporales discretos que representan una señal aleatoria, originada en forma analógica y convertida a una serie digital por medio de un ADC apropiado con filtro antialiasing y otros procesamientos analógicos tales como amplificadores, filtros, demoduladores, etc. (la Fig.9 muestra un sistema típico de laboratorio para análisis de rodamientos). Se supone entonces que los datos digitales están 11


constituidos por una secuencia de N valores muestreados cada �t segundos. Denominaremos xn = x(n�t), n= 0,1,…,N-1 a los datos asociados con cada tiempo tn = n�t . La longitud total del registro temporal obtenido está dada por T = N�t . La frecuencia de corte de Nyquist es fc = 1/ 2�t. Para el caso de una señal las propiedades descriptivas básicas están dadas por: � Parámetros estadísticos (valores medios, desviaciones estándar (RMS),

kurtosis, etc). � Funciones de densidad de probabilidad. � Funciones de autocorrelación (ACF). � Funciones espectrales.

Figura 9: Sistema analizador de señales con la electrónica asociada. En la parte

(figura izquierda) se muestra una máquina típica junto al posible montaje de sensores, en la (figura derecha) se observa la configuración típica para la

adquisición de las señales en un sistema de monitoreo de laboratorio. Parámetros estadísticos

El primer paso antes del análisis de los datos es un procedimiento de calificación basado en la estimación de parámetros globales tales como:

� Valor Medio: ∑−

=

⋅=⟩⟨1

0

1 N

nnx

Nx ; RMS: ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⟩⟨−⋅= ∑

−

=

1

0

2)(1 N

nnx xx

Nσ

� Kurtosis: 44

x

mk

σ= ; siendo m4 el momento de cuarto orden de la nuestra.

� Factor de Cresta: CF = Valor Pico/�x

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Este paso es casi universalmente realizado por una o dos razones suficientemente válidas. En primer lugar porque el valor medio, el RMS, la kurtosis son una medida de la tendencia central, la dispersión y diseminación de los datos, y en general su cálculo es usualmente requerido aún para las aplicaciones más rudimentarias. En el caso particular de las vibraciones mecánicas, la kurtosis y el factor de cresta representan parámetros estadísticos de gran valor en la detección de fallas en rodamientos, ya que para el caso de un rodamiento normal la señal que se observa mediante un acelerómetro posee una distribución normal, y cuando algunos de sus elementos comienza a fallar tiende a alejarse de la misma. En estos casos el factor de cresta tiende a aumentar tomando valores superiores a 8. La segunda razón es que el cálculo de valores medios y medios cuadráticos de intervalos cortos de datos suministran una base para evaluar la condición de estacionalidad de los datos. La manera más simple de realizar este segundo punto es a través de considerar la física del fenómeno que producen dichos datos. Si los factores físicos básicos que los generan son temporalmente invariantes, es posible asegurar la estacionalidad de la muestra de datos sin ningún estudio adicional. En la práctica los datos suelen colectarse en circunstancias que no permiten asumir la suposición de estacionalidad basada sólo en simples consideraciones físicas. En tales casos la hipótesis debe evaluarse estudiando los registros temporales disponibles. Esto puede hacerse por inspección visual del registro de datos o bien por la aplicación detallada de tests estadísticos. En este último caso es necesario realizar ciertas suposiciones: por ejemplo, cualquier registro dado reflejará apropiadamente el carácter no estacionario del proceso aleatorio en cuestión, en cuyo caso el registro muestral debería ser suficientemente largo si lo comparamos con la menor componente de frecuencia de los datos. En general, en la mayoría de los casos es suficiente con analizar el comportamiento de la varianza en cada registro de datos. El procedimiento es básicamente el siguiente (Bendat, 1986):

1. Dividir el registro de datos en M intervalos iguales de tiempo. 2. Calcular �1

2, �22, …, �M

2. 3. Verificar la secuencia generada en la presencia de tendencias subyacentes

u otras variaciones que las esperadas variaciones estadísticas. 4. Si la distribución de muestreo de �i

2, i = 1,2,…,M es conocida se pueden aplicar tests estadísticos de inferencia; de lo contrario se pueden utilizar tests no paramétricos tales como Run Test o el Test de Reordenamiento Inverso. Este último es el más poderoso para detectar tendencias monótonas en una secuencia de observaciones. Ambos trabajan con igual eficiencia con cualquier otro parámetro estimado.

Otra situación que debería considerarse durante la etapa de calificación de

datos es la posible remoción de las tendencias, que normalmente ocurren cuando 13


los datos tienen componentes de baja frecuencia con una longitud de onda más larga que la longitud del registro temporal. Ciertamente la eliminación de estas tendencias debería realizarse sólo si ellas son físicamente esperadas o claramente aparentes en los datos. Las técnicas más comunes de eliminación de tendencias son ajustar los mismos por un polinomio de bajo orden utilizando procedimientos de cuadrados mínimos o bien splines.

Otro paso previo a un análisis más detallado de los datos puede ser un proceso de filtrado de los mismos incluyendo la aislación o eliminación de componentes periódicas o bien como un paso integral dentro de una operación de ZOOM. El filtrado digital se puede realizar en el dominio temporal o en el de las frecuencias. Dos de los tipos de filtros más populares son los no recursivos o filtros de respuesta impulsiva finita (FIR), y los recursivos o filtros de respuesta impultiva idnfinita (IIR), Oppenheim, 1975).

El procedimiento correcto para analizar datos aleatorios está fuertemente influenciado por ciertas características básicas, siendo una de ellas el problema de estacionaridad de la señal. La segunda hipótesis comúnmente asumida es que los datos poseen una p.d.f. Gaussiana. Lo usual es omitir un análisis probabilístico de los datos dada la tendencia que existe de suponer que todos los fenómenos aleatorios poseen una distribución normal. Los datos aleatorios pueden desviarse sustancialmente de esta hipótesis, particularmente cuando son el resultado de una medición en un sistema no lineal. Se pueden utilizar dos tests no paramétricos para verificar la hipótesis de normalidad, uno es el test del Chi-Square y el otro el de Kolmogorov-Smirnov. Un histograma de probabilidades se puede construir de la siguiente manera: si P(x) = Prob{x(k)�x}, es la probabilidad de que una variable aleatoria x(k) sea menor que un valor prefijado x, y asumiendo un rango contínuo de valores, la p.d.f. p(x) se puede definir por la relación

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∆∆+<<

=→∆ x

xxkxxobxpx

))((Prlim)(0

por lo que si tenemos un registro temporal de datos x(t), la probabilidad de que asuma valores entre w/2 y x+w/2 en un intervalo de tiempo T se puede estimar por:

TT

tT

wxtxwxobwxp x

ii∑ =∆⋅=+≤≤−=

1)}2/()(2/{(Pr],[ˆ

en donde �ti es el tiempo en que x(t) se encuentra en dicho rango de valores en el i-esimo intervalo. El cociente Tx/T es la fracción total de tiempo en que x(t) se

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encuentra en el rango [x-w/2,x+w/2]. Un estimador de la verdadera p.d.f. es entonces:

wTT

xp x

⋅=)(ˆ

Basado en las consideraciones anteriores el procedimiento para estimar p(x) es

el siguiente (Otnes 1978, Bendat 1986): consideremos N valores xn, n = 0,1,2,…,N-1 provenientes de un registro temporal estacionario con valor medio cero. Si K es el número de clases de intervalos seleccionados que cubre todo el rango de los datos en [a,b], definimos w=(b-a)/K y la secuencia de puntos extremos de la i-esima clase de intervalo como di = a+i�w, para i = 0,1,2,…,K; d0 = a y dK = b, y llamando Ni al número de veces que x(t) está en cada intervalo, obtenemos el estimador anterior a través de wNNpxp ii ⋅== /ˆ)(ˆ . La Fig. 10 muestra la señal típica de un acelerómetro colocado sobre la cajera de un rodamiento en buenas condiciones y el correspondiente histograma estimado con el procedimiento indicado. En el mismo se ha superpuesto una p.d.f. Gaussiana a fin de verificar la normalidad de los datos. Esta señal es típica de un rodamiento en buenas condiciones.

Figura 10: La parte superior es la señal de un acelerómetro montado sobre un rodamiento en buenas condiciones y el histograma respectivo al que se le ha

superpuesto una p.d.f. Gaussiana. Funciones de Correlación y Densidad Espectral

La función de autocorrelación (ACF) Rxx(�) para un registro estacionario de datos es una medida de las propiedades de los mismos relacionadas en el tiempo y separadas por retardos temporales fijos. Es una función par de valor real que tiende a cero a medida que el retardo tiende a infinito. Se puede estimar 15


retardando el registro temporal respecto a sí mismo en un valor �, multiplicando luego ambos registros, y promediándolos en toda la longitud temporal disponible. El estimador de esta ACF queda definido entonces por:

∫−

⋅+⋅⋅−

=τ

ττ

τT

xx dttxtxT

R0

)()(1)(ˆ

Existen dos maneras de calcular la versión digital de la expresión anterior. La

primera es el método directo que involucra el cálculo de la versión discreta de la fórmula anterior. El segundo método es utilizando métodos de FFT. En el primer caso, si consideramos N valores xn, n = 1,2,3 …., N de un proceso estacionario de valor medio cero, muestreados a intervalos regulares �t, el estimador resulta ser:

∑−

=

+⋅⋅−

=∆rN

nxx rnxnx

rNtrR

1)()(1)(ˆ , donde r es el retardo, r = 1,2,…,m; y m<N.

El método indirecto del cálculo de la ACF vía la FFT se basa en las relaciones

de Wiener-Kinchine, que relaciona la densidad de potencia espectral (PSD) de una señal con la correspondiente ACF como un par de transformadas de Fourier:

)()( τxxxx RfSF⇐⇒ , donde Sxx(f) es la PSD de la señal x(t).

De las propiedades de simetría de la ACF se sigue que Sxx(f) es una función de

valor real. Basado en esta relación la ACF se determina calculando la transformada de Fourier inversa de la PSD estimada. Detalles de este procedimiento pueden verse por ejemplo en Bendat, 1986 y Otnes, 1978. El procedimiento de estimación más utilizado es el primero.

La densidad de potencia espectral PSD se define como la transformada de Fourier de la ACF de la señal:

∫+∞

∞−

⋅−⋅== ττπττ dfjRRfS xxxxxx }2exp{)()}({)( F

El segundo método para definir la PSD se basa en la transformada de Fourier

finita de un registro de datos y representa un procedimiento de estimación muy común para esta función. Considerando un registro muestral de un registro de datos estacionario de longitud T segundos, la transformada finita de Fourier está definida por:

)}({ txk

16


dtftjtxTfXT

kk ⋅−⋅= ∫ }2exp{)(),(0

π ; y la PSD por medio de

)],,,(ˆ[lim)( TkfSEfS xxTxx ∞→= donde ),(),(1),,(ˆ * TfXTfX

TTkfS kkxx ⋅⋅=

donde E es el operador de valor esperado sobre el conjunto de índice k, donde, como ya se ha indicado T es la longitud del registro temporal. Ambas definiciones son equivalentes (Bendat, 1986; Marple, 1987). La equivalencia en estas definiciones quedan resaltadas de acuerdo al diagrama triangular siguiente:

SEÑAL

Indirecto

ACF

Los métodos directos utilizan la

calcular la PSD. Estos métodos intransformada de Fourier de una secuestadístico adecuado. Las estimacdirectos de transformación de los dque la estimación por el método indi

Un tópico importante y que es estimación espectrales clásicos se recontrolar el efecto de los lóbulos laefecto primario de la ventana de daten estos estimadores espectrales. Rlos periodogramas, mientras que en evarianza del estimador (Nuttall, 1971

En el proceso de estimación resulde correlación conocida como una pobservada a través de la ventana. expresar como el producto de una fu wr(n) = 1 si 0 � n � N-1, y 0 de ot obteniendo la secuencia de datos transformada de Fourier Xw(f) = X

Directo

PSD

serie de datos temporales xn = x (n�t) para volucran el cuadrado de la magnitud de la encia infinita de datos mediante un promedio iones de la PSD basadas en los métodos atos se denominan periodogramas, mientras recto se denominan correlogramas. una parte integral de todos los métodos de fiere al uso de ventanas. Se las emplea para terales en estos estimadores espectrales. El

os es reducir el efecto de los lóbulos laterales educe también el sesgo en los estimadores de l caso del método del correlograma reduce la , 1981a, 1981b). ta conveniente considerar un registro de datos orción de una secuencia de duración infinita

La secuencia finita xn de N puntos se puede nción rectangular de amplitud unitaria:

ra manera,

xw(n) = xn�wr(n), con la correspondiente (f)*Wr(f), donde * significa la función de

17


convolución. La transformada de la secuencia finita de datos observados es una versión distorsionada de la correspondiente transformada de la secuencia infinita. La Fig. 11 ilustra el efecto de la ventana rectangular sobre una sinusoide. La forma impulsiva de la DFT de la secuencia infinita de la sinusoide ha sido ensanchada por la réplica de la forma de la transformada de la función ventana. Los lóbulos laterales de la transformada de la ventana se denominan fugas y producen un sesgo en las amplitudes de las respuestas en frecuencia adyacentes.

Se han diseñado otras funciones ventanas que tengan mejores niveles de lóbulos laterales que la ventana rectangular. La disminución de estos valores reduce el sesgo pero a expensas de ensanchar la respuesta en frecuencia del lóbulo principal, dando como resultado una reducción en la resolución espectral (Nuttalll, 1981b A; Harris, 1978).

Figura 11: Ilustración del efecto de la ventana sobre una sinusoide (a) secuencia original, (b) PSD teórica, (c) x(t)�w(t), y (d) DFT sobre la secuencia de datos

obtenida en (c).

Se utilizan diversas figuras de mérito para caracterizar a las funciones ventanas (Harris, 1978). El ancho del lóbulo principal es indicativo de la resolución en frecuencia y se puede cuantificar por el ancho de banda a la mitad de la potencia (3 dB por debajo de la respuesta del pico principal); el nivel de los picos de los lóbulos laterales es un indicador de la manera en que la ventana suprime las fugas; la velocidad de decaimiento de los lóbulos laterales indica la rapidez en que decaen aquellos que se encuentran más cercanos al lóbulo principal, y se expresan en dB/octava de ancho de banda. Una discusión más detallada de diferentes tipos de ventanas puede encontrarse en Harris 1978.

El método del correlograma para la estimación de la PSD está basado en la siguiente expresión:

18


∫+∞

∞−

⋅−⋅= ττπτ dfjRxxfS xx }2exp{)()(

y la versión discreta se obtiene por la DFT de la secuencia de autocorrelaciones (ACS) que es la correspondiente versión discreta de la Rxx(�) de los datos:

}2exp{][][)( tfmjmwmRtfSm

xxdxx ∆−⋅⋅⋅∆= ∑

∞

−∞=

π

El correlograma para la estimación de la PSD simplemente sustituye el valor

verdadero de la ACF desconocida de la secuencia infinita de datos por la ACS de la secuencia finita:

}2exp{][][ˆ)(ˆ tfmjmwmRtfSL

Lmxxxx ∆−⋅⋅⋅∆= ∑

−=

π ; para t

ft ∆

≤≤∆−

21

21

donde L<N es el retardo máximo (�.1 a .25 N), y w[m] es una ventana de (2L+1) puntos en el intervalo –L<m<L. Este procedimiento se conoce como el estimador de Blackman y Tukey.

La definición alternativa de la PSD basada en el teorema ergódico tiene la forma (Nuttall 1971):

})(1{lim)(2

fXT

EfSxxT

⋅=∞→

que considera un registro de longitud finita y luego la transformada finita de Fourier de la misma. Ignorando el operador E se obtiene la siguiente definición para la PSD muestral:

2)(1)(~ fXT

fS kxx ⋅= ,

de modo que la versión discreta para un conjunto x(0),x(1),…,x(N-1) de N datos está dada por:

∑−

=

∆−⋅⋅∆⋅∆

=1

0

2|}2exp{][|1)(~ N

nxx tfnjnxt

tNfS π

19


Este método da un valor inconsistente de estimación de la PSD debido a que se ignoró el valor esperado. Por lo tanto debemos realizar un cierto tipo de pseudo promedios a fin de suavizar el estimador del períodograma. Existen tres esquemas básicos para ello. El más popular de todos es el algoritmo conocido como WOSA (Welch, 1967; Nuttall, 1971). Este método implica un solapamiento de segmentos e introduce la aplicación de ventanas para mejorar el sesgo producido por las fugas. En el mismo un registro temporal de N0 muestras x(0), x(1), …,x(N0-1) se divide en P segmentos de N muestras cada una, con un corrimiento de S muestras entre segmentos adyacentes y S< N. El p-esimo segmento pesado se compone de las muestras:

][][][)( Spnxnwnx p ⋅+⋅= , 0 � n � N-1, y 0 � p � P-1. Entonces 2*)()()( |)(|1)]([)]([1)(~ fX

tNUfXfX

tNUfS ppp

xx ∆⋅⋅=⋅

∆⋅⋅= ,

para f en el rango t

ft ∆

≤≤∆−

21

21 , es la DFT de la serie , y )()( fX p ]}[{ nx p

][1

0

2 nwtUN

n∑−

=

⋅∆= , es la energía de la ventana. El promedio de los

periodogramas pesados con la función ventana permite obtener el estimador de Welch de la PSD:

)(~1)(ˆ1

0fS

PfS

P

pxxxx ∑

−

=

⋅=

El factor U elimina el efecto de la pérdida de energía en la ventana en la

estimación de la PSD. La varianza de este estimador para el caso de un proceso Gaussiano indica que para aproximadamente un 75% de solapamiento se obtiene el valor mínimo utilizando una ventana de tipo Hanning, en cuyo caso la varianza está dada por (Welch, 1967):

PfSfS xxxx /)()}(ˆvar{ 2≈

Un esquema que combina aspectos de ambos métodos de estimación de la PSD (periodograma y correlograma) fue presentado por Nuttal, 1982, el cual incluye la mayoría de los métodos no paramétricos de la estimación de la PSD. Este método tiene virtualmente la misma varianza que el método WOSA y utiliza la mitad del tiempo de computación. Resulta particularmente util en aplicaciones de sonar aunque puede aplicarse a otras áreas.

La varianza de cualquier estimador espectral es de fundamental importancia a menos que la misma pueda mantenerse cerca del mínimo posible como en el 20


método WOSA la técnica no será probablemente una alternativa viable de los métodos disponibles. El análisis de esta técnica combinada revela que la dependencia fundamental de la performance de la misma depende de la forma temporal de peso, del retardo de la cantidad de solapamiento, del número de registros individuales, de la longitud total del registro y de la resolución deseada en frecuencia. El proceso consiste en los siguientes pasos:

1. El registro de datos de longitud T0 se particiona en P segmentos. 2. En forma opcional se pueden filtrar los datos o efectuar una eliminación de

tendencias. 3. Se seleccionan los parámetros necesarios. 4. Cada segmento se multiplica por una ventana temporal w1(t). 5. x(p) (t) = x(t)� w1(t-L/2)-pS), donde t es el tiempo, p=0,1,P-1,S es el

corrimiento temporal y L es la longitud de la ventana temporal. 6. Se calcula la FFT de cada segmento y se los promedia sobre todos los

segmentos disponibles: 2)(1

01 |)(|1ˆ fX

PS

pP

pxx ∑

−

=

⋅= ; y calcular

)}(ˆ{)(ˆ11 fSIFFTR xx=τ

7. Se calcula donde ),()(ˆ)(ˆ212 τττ wRR ⋅= )(2 τw es una ventana real

simétrica. 8. Finalmente, )}(ˆ{)(ˆ

2 τRFFTfS xx =

Una ventaja potencial de este método es que los pasos 6 y 7 se pueden repetir muchas veces con diferentes ventanas. Este método combinado logra mejor control sobre la supresión de las fugas. Un diagrama de flujo simplificado de los diferentes métodos no paramétricos de estimación se muestra en la Fig. 12.

21


Figura 12: Diferentes métodos no paramétricos de estimación de la PSD. Técnicas de Estimación Paramétricas de la PSD

Las técnicas de estimación de la PSD basadas en procedimientos de FFT son computacionalmente eficientes y producen resultados razonables para una gran clase de señales de proceso. También hemos visto que estos procedimientos poseen algunas limitaciones. Uno de ellos es la resolución en frecuencia, y un segundo problema se debe al uso implícito de una ventana en los datos para evitar fugas en el dominio espectral, ya que señales débiles pueden quedar enmascaradas por lóbulos laterales altos provenientes de tonos fuertes. Estas dos limitaciones de la aproximación con la FFT son particularmente más complicadas cuando se analizan registros temporales cortos, algo que ocurre frecuentemente en la práctica ya que muchos procesos de medición son de corta duración o tienen un espectro variable en el tiempo tal que las consideraciones de estacionalidad solamente se dan para registros cortos. Un ejemplo típico se da en problemas de radar donde sólo se tienen disponibles unas pocas muestras por cada pulso recibido. En aplicaciones de sonar el movimiento de los blancos dan lugar a una respuesta espectral variable en el tiempo debido a efectos Doppler. En vibraciones mecánicas estas situaciones con pocos datos suelen tenerse en máquinas que giran a bajas vueltas.

En esta sección vamos a dar una presentación de una descripción paramétrica de la estadística de segundo orden. En estos métodos la PSD de una señal será una función de los parámetros del modelo. Uno de tales métodos se denomina modelación autoregresiva (AR), desarrollado originalmente para el procesamiento de datos geofísicos, donde en ese caso el término técnico utilizado eran métodos de máxima entropía (MEM). Esta metodología se ha venido utilizando en aplicaciones de radas en SONAR, imágenes, radioastronomía, biomedicina,

22


oceanografía, sistemas ecológicos, análisis de ruido en un reactor nuclear y en problemas de vibraciones. Otro aspecto importante de la aproximación paramétrica para la estimación espectral es que es posible realizar suposiciones más realistas respecto a la naturaleza del proceso medido fuera del intervalo de medición, en lugar de asumir que la misma es cero o bien cíclicas, y de este modo se elimina la necesidad de utilizar una función ventana (KAY, 1981; Marple, 1987; Ljung, 1987).

La aproximación paramétrica para estimación espectral involucra tres pasos:

1. Se selecciona un modelo paramétrico para representar los datos medidos 2. Se realiza una estimación de los parámetros del modelo y 3. Los parámetros estimados se insertan en la expresión teórica de la PSD

apropiada para ese modelo.

Un modelo de serie temporal que aproxima muchos procesos determinísticos y estocásticos que se encuentran en la práctica está representado por la siguiente ecuación en diferencias de un filtro lineal (Marple, 1987; Kay, 1987; Burg, 1975; Friedlander, 1982; Haykin, 1983, Akaike (1981)):

∑ ∑= =

−⋅−−⋅=q

k

p

kknxkaknukbnx

0 1][)(][)(][

donde x[n] es una secuencia de datos de salida del filtro que modela los datos observados; y u[n] es una secuencia de datos de entrada al filtro, donde se supone que representan un proceso de ruido blanco de valor medio cero y varianza �w, con b(0)=1. La ecuación anterior se denomina un modelo autoregresivo de promedio móvil (ARMA) para la serie temporal x[n]. Los parámetros a(k) forman la parte autoregresiva del modelo y los b(k) representan la porción que corresponde al promedio móvil. La PSD de un modelo ARMA se calcula por:

pH

p

qHH

qARMAxx eaae

ebbetfS rrrr

rrrr

⋅⋅

⋅⋅⋅∆=)(, , donde Tpaaa ))(),...,1(,1(=r , y

, Tqbbb ))(),...,1(,1(=r

donde T indica la transpuesta, T

p tfpjtfjfe })2exp{},...,2exp{,1()( ∆∆= ππr , y una forma similar para qer , y H es la transpuesta conjugada. La PSD de este modelo se calcula en el rango tft ∆≤≤∆− 2/12/1 . A menudo suele utilizarse la notación ARMA (p,q) para indicar un modelo ARMA de p parámetros autoregresivos y orden q del promedio móvil. Para especificar entonces este tipo

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de modelo se hace necesario evaluar barr, y �w. Si b(k) = 0 para k>0 y b(0) =

1 se tiene un modelo AR(p):

∑=

+−⋅−=p

knuknxkbnx

1][][)(][ �

pHH

p

wARxx eaae

tfS rrrr ⋅⋅

⋅∆=

ρ)(,

El estimador espectral AR es el que ha recibido más atención en la literatura

técnica de los modelos de series temporales. Este interés surge por dos razones. En primer lugar los espectros autoregresivos tienden a tener picos agudos, característica asociada con estimación espectral de alta resolución. La segunda razón es que las estimaciones de los parámetros AR se pueden obtener como soluciones de ecuaciones lineales. La PSD necesita conocer los coeficientes a(1), … , a(p) y �w. Las técnicas para llevar a cabo la estimación de estos parámetros se dividen en dos categorías: algoritmos para bloques de datos y algoritmos para datos secuenciales. Nos referiremos al primero de ellos que se aplican en el caso de señales estacionarias y son más robustos. Los pasos necesarios para estimar dichos parámetros a partir de un bloque de datos son:

1. Adquisición de N muestras de datos cada �t segundos. 2. Remoción de tendencias (opcional). 3. Selección de un orden del modelo AR. 4. Estimación de los parámetros autoregresivos mediante alguno de los

siguientes métodos: Yule Walker que utiliza la ACS, método de Burg mediante la secuencia de los coeficientes de reflexión, métodos de covariancia y covariancia modificada basada en cuadrados mínimos, y el método de Akaike que utiliza cuadrados mínimos y la transformación de Householder. Todos estos modelos ajustan el orden del modelo de acuerdo a criterios conocidos (Marple 1987, Akaike 1974, Kayshyap 1980).

5. Estimación de la PSD a partir de los parámetros autoregresivvos calculados.

6. De ser necesario ajustar el orden del modelo se vuelve al punto tres.

El método de Yule Walker es el que produce espectros para registros de datos cortos con la menor resolución de los métodos mencionados. El método de Burg y el de la covariancia producen estimaciones espectrales comparables. Los métodos de la covariancia modificada y de Akaike son los que mejores ajustan el espectro de los datos particularmente cuando la característica de los mismos es la de poseer picos muy agudos. Una discusión matemática más profunda de estos procedimientos se puede obtener en Kay 1981, Marple 1987, etc. La Fig. 13 muestra ejemplos de estimación de la PSD utilizando los métodos indicados 24


anteriormente para un mismo conjunto de 64 puntos generados artificialmente (cuatro sinusoides de diferentes amplitudes más ruido no blanco) y orden del modelo igual a 15.

Figura 13: Este es un ejemplo obtenido con simulación de 4 sinusoides + ruido. (a) Yule-Walker, (b) Método de Burg, (c) Covarianza y (d) Covarianza

modificada. Orden del modelo = 15.

En la Fig. 14 se muestra el espectro de la señal de un acelerómetro montado sobre un rodamiento en una prensa de formación tomado del trabajo de Dron (1998). Las frecuencias típicas observadas están caracterizadas e 7.1 Hz (frecuencia giro del volante), 45 Hz de giro del motor y 5.2 Hz de la polea. La frecuencia BPFI es de 42 Hz y la BPF de 37.9 Hz. Los datos se analizaron con el método de Burg utilizando el criterio de AIC. Las frecuencias detectadas están marcadas en la figura. Estos espectros se compararon con la estimación de Welch de la PSD a fin de demostrar la potencialidad de esta metodología para señales tan complejas como la indicada.

Figura 14: Espectro paramétrico utilizando el esquema de Burg en la señal de un

acelerómetro con fallas inducidas en pista externa e interna.

Un tercer ejemplo se da en la Fig. 15 donde se muestra el espectro obtenido con datos temporales provenientes de la cámara de ionización excore (detector de neutrones) perteneciente al sistema de ruido neutrónico de la CNA-I (Central Nuclear Atucha).

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Figura 15: Espectro de una cámara de ionización del sistema de ruido de la CNA-I. Estimación realizada por el método de Welch y AR-Akaike.

Se observa la frecuencia predominante alrededor de 3 Hz que es debida a la resonancia del conjunto acoplado canal refrigerante – elemento combustible De la figura se observa que el espectro queda mejor definido con la metodología AR, y que para modelar las señales periódicas en 17 y 34 Hz se hace necesario utilizar un mayor orden en el modelo.

En términos generales podemos decir que si el número de datos es grande los espectros obtenidos utilizando técnicas AR, MEM, o FFT dan resultados muy similares, mientras que para un conjunto pequeño de datos los métodos AR son superiores a los de FFT. La razón por la cual se han desarrollado diversos esquemas de estimación AR ha venido indicada por la necesidad de mejorar anomalías en las estimaciones espectrales con los métodos anteriores. Estas anomalías incluyen picos espúreos en el espectro, corrimientos de frecuencia y separación de picos. El primer tipo de anomalía se presenta cuando el orden del modelo es grande relativo al tamaño de los datos. La separación de una línea espectral en dos ha sido fundamentalmente observada con el método de Burg. Para el caso de una señal, las estimaciones con el método de Marple y de Akaike dan resultados similares. Este último presenta ventajas frente al primero en aplicaciones a señales múltiples. Análisis espectrales especiales

ZOOM: Una técnica de estimación espectral de suma utilidad es el denominado análisis de ZOOM. Habíamos visto que la resolución espectral se controla por el espaciado entre líneas �f. Sin embargo hay circunstancias donde se hace necesario incrementar la resolución en frecuencia. Por ejemplo, señales que contienen múltiplos de una componente en frecuencia relativamente baja;

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señales compuestas por dos picos de resonancia muy cercanos entre sí; modulación producida en engranajes a la frecuencia de engrane, etc.

El problema es entonces: ¿cómo se puede incrementar la resolución en frecuencia manteniendo el mismo ancho de banda? La Fig. 16 muestra el principio de ZOOM.

Figura 16: Esquema donde se muestra el principio de trabajo del ZOOM. Sabemos que utilizando una frecuencia de muestreo menor fs, incrementará el

período de la ventana y disminuirá la resolución en frecuencia ya que �f �t = 1/N, lo que significa que si incrementamos �t entonces disminuye tanto fs como �f, pero también se reduce el ancho de banda, una solución a menudo inaceptable.

Una forma de incrementar la resolución en frecuencia manteniendo constante el ancho de banda es aumentando la longitud de la ventana de datos por un factor N0 utilizando la misma frecuencia de muestreo. El nuevo espaciado entre líneas espectrales �fn será: 00 /)/(1 NftNNf n ∆=∆⋅⋅=∆ en donde N es el número de puntos utilizado en un cálculo de FFT y N0 es el factor de incremento en la resolución. Esta ecuación nos muestra que es posible lograr un ZOOM en un determinado rango de frecuencias a fin de obtener una descripción más detallada del espectro analizado. Los pasos necesarios para realizar el análisis de Zoom:

1. La entrada analógica es filtrada mediante el filtro antialiasing, antes de ser digitalizada en el ADC.

2. Las muestras se multiplican por una exponencial compleja que realiza el corrimiento en frecuencias

3. Las muestras temporales se filtran en forma digital mediante un filtro pasabajos

4. Se procede a un proceso de resampleo por un factor No 5. Se realiza la estimación de la PSD.

La Figura 17 es el espectro logarítmico de un motor de 5 HP trabajando a

niveles cercanos a la plena carga, pero en este motor se produjeron daños

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intencionales cortando cuatro barras del rotor y practicando un corte en el anillo que las cortocircuita.

Figura 17: Este caso muestra la forma de detección de problemas en un motor dañado utilizando la técnica de ZOOM en la señal generada por la corriente del

motor.

Lo que se observa es un espectro de la señal de corriente calculado con la técnica de ZOOM donde se destacan la frecuencia de línea y bandas laterales en las componentes de 41.8, 51.4, 68.6, y 77.2 Hz. Estas cuatro frecuencias se las reconoce como indicadores de dos veces la frecuencia de deslizamiento. La amplitud de las mismas medidas en dB comparadas con la amplitud de la frecuencia de línea, es la indicación de un problema presente. Seguimiento de 1x: Esta técnica es mayormente aplicable cuando se dispone de un analizador digital de señales con capacidad de disparo externo. El rango de frecuencias de un analizador FFT está controlado por la frecuencia de muestreo. Fmax = fs/2,56 como se ha explicado previamente. Utilizando una frecuencia de sampleo externa, derivado de la velocidad de rotación de la máquina por un factor de multiplicación, el analizador puede rastrear la velocidad de la misma y realizar un análisis de órdenes, tanto en banda ancha como en modo Zoom FFT. En estos análisis, el rango de frecuencias o ‘span’ varía en simpatía con la velocidad de giro de la máquina de manera que los elementos rotantes relacionados en el espectro permanecen en una línea de posición fija en el espectro.

El seguimiento de 1x puede utilizarse para prevenir los efectos borrosos ocasionados cuando se utilizan altos factores de Zoom en el análisis de máquinas rotantes que exhiben pequeñas variaciones en sus velocidades. Una configuración práctica se grafica en la Fig. 18, mientras que el efecto del rastreo se ve en la Fig. 19, que muestra las vibraciones de un pequeño motor eléctrico, donde se registran pequeñas variaciones de velocidad debido a variaciones de niveles de carga. La resolución normal de la parte superior, muestra un límite borroso entre los componentes. La aplicación del tracking mostrado en la parte inferior, revela

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detalles no visibles en el anterior. Sin embargo, la componente de 250 Hz, que está relacionada con la frecuencia principal está difusa debido a la función de tracking.

Figura 18: Esquema de seguimiento para el análisis de orden con altos factores de ZOOM.

Cuando se utiliza el filtro seguidor para análisis de ordenes de máquinas

rotantes que muestran grandes variaciones en la velocidad, por ejemplo durante las puesta en marcha o parada, aparece un nuevo problema, denominado el control de los filtros anti-aliasing analógicos. Cuando se utiliza un analizador FFT en el modo de banda ancha, los filtros propios solo pueden ser modificados por pasos preestablecidos. Durante la puesta en marcha de una máquina, será imposible el eludir el aliasing por completo, y esto originará una reducción del rango de análisis y del rango dinámico.

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Figura 19: Efecto del procedimiento de seguimiento por variación de 1x en un espectro de ZOOM. El efecto se observa en la parte inferior. Las mediciones se

realizaron en un motor eléctrico. SDPSD: Sabemos que en la estimación de la PSD mediante técnicas de FFT, una componente sinusoidal en un fondo de ruido aleatorio aparece en el espectro como un pico muy agudo el cual puede confundirse con contribuciones aleatorias de banda muy angosta. Una señal periódica o casi periódica diferente a una sinusoide presenta picos armónicos en el espectro, pero las frecuencias múltiples de una fundamental pueden también aparecer en sistemas no lineales. Por lo tanto hay diversas situaciones, particularmente en la presencia de picos agudos en el espectro en frecuencias no esperadas, donde se hace necesario identificar la presencia de componentes periódicas de modo de no malinterpretarla como una componente aleatoria de banda angosta. En este sentido se introduce la llamada técnica de espectros desplazados. Esta técnica es un proceso “de purificación” que permite la reducción o eliminación de cualquier componente aleatoria si su ancho de banda específico no es excesivamente pequeño. Está basado en que la función de autocorrelación (ACF) de una señal aleatoria decae a cero mientras que el de una señal periódica oscila indefinidamente. Cuando la longitud T de cada segmento es suficientemente larga como para que la longitud de correlación de cualquiera de los procesos aleatorios sea menor que la misma, es posible definir un estimador espectral que denominaremos SDPSD (Second Order Power Spectral Density), como el valor esperado que toma sobre la señal estacionaria segmentada, la siguiente función espectral de cuarto orden (Piñeyro 1987a):

24321 )()()()(

)(T

fYfYfYfYfSDPSD

>⋅⋅⋅<= (2)

donde f es la frecuencia, T es la longitud de cada segmento de señal, e

son los segmentos instantáneos que se calculan por medio de: 4,3,2,1),( =kfYk

∫ ⋅−⋅+−⋅=T

kkkkk dtifttTkxtwfY0

}2exp{])1([)()( πν (3)

donde el parámetro � se introduce para dar generalidad a la expresión anterior (en nuestro caso hemos adoptado � = 1 que implica tomar segmentos de señal adyacentes de longitud T), es la función ventana simétrica alrededor de T/2, y es la señal muestreada. La estimación de la expresión (3) se efectúa por rutinas típicas de FFT, y la estimación de (2) se hace a través de:

)(tw)(tx

30


∑=

+++×⋅

∆⋅=

Nav

plplplpp

avT

kYkYkYkYNN

tkSDPSD1

322

24

)()()()()( ς (4)

donde Nav es el número de promedios tomados, k = 1,2,…NT/2+1, y NT es el número de puntos en un segmento de longitud T seg.. La presencia del factor � en (4) representa un factor de normalización a fin de eliminar el sesgo que se produce en el estimador debido a una pérdida de energía en la ventana. El grado de reducción depende de T y � en la estimación y de la ACF de cada componente en x(t). Se demuestra (Piñeyro, 1987b) que en el caso de una señal determinista más una aleatoria de banda angosta la SDPSD por si sola no es suficiente para distinguirlas por lo que se hace necesario disponer de un criterio de validación dado por la siguiente expresión:

∫∫

⋅

ℜ⋅ℜ⋅=

pico

pico

dffPSD

SDPSDSDPSDsgdf

)(

|}{|}]{[ξ (5)

donde las integrales se evaluan solo en el pico de cada una de las funciones espectrales, y ℜ es la parte real de la SDPSD. � está acotada entre 0 y 1. El criterio para reyección de picos no deterministas está dado para aquellos valores de � < 0.8, mientras que para valores de este parámetro entre 0.8 y 0.9 no es posible dar una interpretación exacta y será necesario estudiarlo separadamente. La Fig. 20 muestra un ejemplo de aplicación de esta función espectral. Los datos fueron generados con un circuito analógico donde se mezclaron componentes de banda angosta y sinusoides. Los picos indicados como 1 – 2- 4 representan componentes periódicas, el número 3 es una componente de banda angosta y la indicada como 6 es el pico espectral que aparece debido al término x2(t) de la componente número 3.

31


Figura 20: PSD y SDPSD en una simulación mediante un circuito analógico donde se mezclaron diferentes señales.

Un segundo ejemplo se muestra en la Fig. 21 donde se analizo la señal de un

detector incore del sistema de ruido neutrónico de la CNA-I. En la PSD se observa una señal de banda relativamente ancha alrededor de 7 Hz. Se asume que la misma es la resultante de dos componentes, una periódica debida a la señal generada en las bobinas de las barras de control y la otra debida al movimiento pendular de la vasija y tanque del moderador. El análisis con la SDPSD muestra que en el pico de 6.7 Hz el valor de la parte real de esta función es máximo y la parte imaginaria es cero lo que permite corrobar la hipótesis supuesta.

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Figura 21: PSD y SDPSD de la señal de un detector incore del sistema de ruido de la CNA-I. El objetivo fue detectar la presencia de la señal de alrededor 6.6 Hz

de las bobinas de las barras de control. Cepstrum: El Cepstrum fue originalmente propuesto para analizar señales sísmicas. Entre sus aplicaciones podemos mencionar la determinación de retardos temporales en ecos, y la determinación del espaciado en bandas laterales del espectro (particularmente en un proceso de ZOOM). En el caso de vibraciones mecánicas esta función resulta de ayuda a la PSD o la SDPSD, sobre todo como ya dijimos para el análisis de familias de bandas laterales, un problema que suele aparecer en análisis de cajas de engranajes con fallas en alguno de sus componentes. El Cepstrum fue originalmente definido como el espectro del logaritmo del espectro, o matemáticamente:

)}({log()( fxxSC 1-F=τ

donde SXX es el espectro en frecuencias de la señal temporal x(t), matemáticamente:

2)}({)( txfS XX F= y F { } representa la Transformada Directa de Fourier de la expresión contenida dentro de las llaves. Nótese que la variable independiente, �, del espectro tiene dimensión temporal, pero se la conoce como “quefrequency”. Esta es una terminilogía útil para aquellos que acostumbran llamar a las señales temporales en términos de su contenido en frecuencias, ya que una “alta quefrequency” representa rápidas fluctuaciones en el espectro (pequeños intervalos de frecuencia) y una “baja quefrequency” representa pequeños cambios con la frecuencia (grandes intervalos de frecuencia). Donde los picos en el Cepstrum resulten de familias de bandas laterales, la “quefrequency” de los picos representa el ciclo periódico de la modulación, y su recíproco, la frecuencia de modulación. Nótese que la “quefrequency” no dice nada acerca de la frecuencia absoluta, solo acerca del intervalo de las frecuencias. La Fig. 20 muestra un ejemplo de la forma en que el Cepstrum puede detectar bandas laterales. Ventajas del Cepstrum versus el Análisis Espectral: El Cepstrum puede ser considerado como una ayuda para la interpretación del espectro, particularmente con lo relacionado a bandas laterales, porque presenta la información de una manera mas eficiente. Una ventaja es la falta de sensibilidad a los efectos de paso de transmisión. Por ejemplo, pequeños cambios en la posición de un acelerómetro,

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pueden dar lugar a cambios notables en la forma de espectro, y por consecuencia, influir en el nivel de las componentes de las bandas laterales. La componente del Cepstrum de una dada banda lateral, sin embargo, es un promediado de las amplitudes sobre todo el espectro y en consecuencia es mucho menos proclive de ser afectada. La segunda ventaja en el diagnóstico se ilustra en la Fig. 22.

Figura 22: Espectros y Cepstrum de una caja de engranages de un camión en buenas y malas condiciones (Randall 1981).

Esta figura (extraída del artículo de Randall 1981) muestra el espectro y el

cepstrum para dos cajas de velocidades de camiones en buenas y malas condiciones respectivamente, ambas ensayadas sobre la primera marcha. La caja de velocidades en buen estado no muestra en su espectro ningún signo de periodicidad en el espectro, pero el espectro de la mala contiene una gran cantidad de bandas laterales con un espaciado de aproximadamente 10 Hz. Es difícil determinar el espaciado de una manera precisa en el espectro. En el cepstrum, la “quefrequency” correspondiente es de 95,9 ms (10,4 Hz) mientras que existen también una serie de armónicos correspondientes a la velocidad del eje de entrada (28,1 ms – 35,6 Hz). Con esa velocidad de entrada, la velocidad del eje de salida hubiera sido 5,4 Hz, y se había sospechado primeramente que la frecuencia moduladora era su segundo armónico. Sin embrago, eso hubiera sido 10,8 Hz, y no 10,4 Hz, y al final se concluyó que la última correspondía exactamente a la velocidad de la segunda marcha de la caja, indicando que esta era la fuente de la modulación, a pesar de que la caja funcionaba en su primera marcha, y la segunda marcha trabajaba en vacío. La segunda aplicación presentada fue obtenida con un acelerómetro montado en un compresor tipo Root de una planta siderúrgica. La PSD (Fig. 23) muestra una serie de componentes armónicas pero no está definida la correspondiente a la frecuencia de giro, la que se observa como componente principal en el Cepstrum.

34


Figura 23: Espectro y cepstrum de una señal de un acelerómetro instalado en un

compresor de lóbulos tipo Root. Peak Hold: La técnica de Peak-Hold (retención de picos) es muy útil para el diagnóstico de eventos transientes, como por ejemplo en la determinación de velocidades críticas en rotores, vibraciones inducidas por flujo, e inestabilidad de cojinetes de deslizamiento. Este método retiene el valor pico máximo para cada línea de espectro FFT, de todos los promedios, forzando cada componente de la señal, incluyendo el ruido, a promediarse en su valor máximo.

Los espectros de picos retenidos son muy útiles cuando se adquieren datos durante la puesta en marcha o parada de un máquina. Esta técnica puede ser aplicada también cuando las amplitudes de la vibración son inestables, o para capturar eventos transientes. Asi como con el promediado normal, los parámetros de medición deben ser elegidos de forma coherente para obtener una resolución óptima en el rango de frecuencias de interés, para la puesta en marcha de las máquinas el tiempo requerido para alcanzar la velocidad máxima, o en caso de parada la velocidad cero, es lo que debe tenerse en cuenta para poder elegir la Fmax, número de líneas espectrales, y número de promedios.

Los datos mostrados en la Figura 24 fueron tomados en una máquina de rodillos montados sobre rodamientos y utilizando como mando un motor de inducción de 4 polos. Esta máquina toma aproximadamente 20 segundos para detenerse desde su velocidad de régimen de 1782 rpm. Se requirió de una serie de análisis adicionales para determinar un rotor crítico a una frecuencia sospechada de 16 Hz. Se seleccionó una frecuencia máxima de 200 Hz a 800 líneas, que corresponden a 4 muestras por segundos y 0,25 Hz de ancho de banda. De manera de poder adquirir datos durante todo el proceso de detención de la máquina, se seleccionó un número de 10 promedios (como mínimo se requieren 5).

35


Figura 24: Espectro utilizando la técnica de Peak-Hold durante la parada de una

máquina para detectar frecuencias críticas.

Para puesta en marcha y parada mediante la adquisición con el método de Peak-Hold Averaging, los promedios tomados antes de que comience la puesta en movimiento del sistema, o luego de que la máquina ha alcanzado su velocidad de régimen (estado estacionario), no afectan significativamente a la medición. Se utiliza una ventana uniforme para estas mediciones, ya que las pérdidas no son importantes. Promedio temporal Sincrónico: El promedio temporal sincrónico permite procesar los datos medidos con respecto a un pulso de sincronismo externo, usualmente 1x por revolución de un tacómetro. Esta técnica promedia las componentes de la señal que son sincrónicas al pulso externo y sus armónicos a su valor medio, y todas las otras componentes son promediadas a cero.

Una de las aplicaciones más comunes para el promedio sincrónico temporal es en la industria de rodillos molinera y en las prensas de papel, donde puede ser difícil determinar que componente de la máquina está contribuyendo a la vibración (debido a los componentes o rodillos que están muy próximos y rotan a la misma o cercana velocidad). Usando un pulso de disparo por revolución, el analista puede promediar la energía de vibración que no está sincronizada al rodillo. La energía que no está sincronizada con el pulso del trigger incluye todas las vibraciones de fuentes externas, como por ejemplo, rodillos adyacentes y equipos, como también vibraciones no sincronizadas de los rodillos considerados. Es importante notar que todos los componentes de señales no sincronizadas, se promedian cercanos a cero. Esto incluye energía de vibración de rodamientos defectuosos.

El promedio sincrónico reduce, pero no elimina las vibraciones no sincronizadas del espectro de datos. El monto de la reducción depende del número 36


de promedios. Para componentes de máquinas que corren a velocidades similares, se requiere 100 o mas promedios. Ya que esta técnica es normalmente aplicada a estados estacionarios, el tiempo de sampleo no es un asunto relevante, la Fmax y el número de líneas pueden ser seleccionadas para incluir todas las frecuencias de interés y para una resolución óptima. Para asegurarse una óptima precisión de frecuencia, se podría seleccionar una ventana Hanning. El pulso de uno por revolución (tach) podría ser colocado para un disparo de trigger normal ( es decir, no se requiere un pre-trigger). Como ejemplo de esta técnica, la Fig. 25 muestra la determinación de la deformación del cilindro secador Yankee de una empresa papelera que producía vibraciones anómalas en diferentes partes de la estructura que se hacían más visibles a ciertas velocidades del papel pues la misma entraba en resonancia. Las mediciones se realizaron con un sensor de proximidad Bently Nevada de diámetro 8mm con un rango de medición de 2 mm. A fin determinar la forma que posee la deformación con respecto a una marca de referencia, se colocó un papel reflectante en el eje del Yankee cuyo paso se detecta con un sensor óptico de fase. Se realizó una medición con 80 promedios tomados en forma sincrónica con una marca de referencia utilizando un analizador comercial. En la Fig. 25a se observa la deformación en función del tiempo, siendo los valores positivos cuando el sensor se aleja de la superficie del Yankee (o lo que es lo mismo una deformación hacia dentro del cilindro). En la Fig. 25b se observa el espectro correspondiente a la señal de la Fig. 25a. En este espectro aparecen todas las armónicas del giro del yankee correspondientes a un posible golpe. Bispectrum: La PSD es una función espectral de segundo orden que no es capaz de detectar componentes aleatorias de procesos no lineales, cuyos efectos desde el punto de vista probabilístico es incrementar la parte no-Gaussiana de la señal. Para caracterizar este tipo de señales se deben considerar funciones cumulantes de orden superior o sus correspondientes transformadas de Fourier (Brillinger 1965, Rosemblatt 1965, Piñeyro 1988, Nikias 1993, Brillinger 1994, Birkelund 2003).

37


Figura 25a: Deformación del yankee tomada con el sensor de proximidad y promedios sincrónicos.

Figura 25b: Espectro de la deformación del cilindro Yankee a 1400 m/min.

Usando la definición de espectros de orden superior como una transformada múltiple de Fourier de cumulantes de orden superior es posible mostrar que para un cumulante de tercer orden su espectro está dado por (Biespectro (BSD)):

2122112121 )exp{),(),( τττωτωττ ddiiRffB −−= ∫ ∫∞

∞−

en donde R(�1,�2 ) es la función de correlación triple (TCF):

dttxtxtxT

txtxtxRT

TT

⋅++⋅=⟩++⟨= ∫+

−∞→

)()()(21lim)()()(),( 212121 ττττττ

Utilizando las relaciones de simetría de esta función (Rosenblatt 1965):

),(),(),(),(),(),(),(

21121*

1221

2211221

fffBffBffBffBRRR

−−=−−==

−−== τττττττ

se concluye que la evaluación de la relación anterior se puede efectuar en la zona f1 � 0, 0 � f2 � f1. La Fig. 26 muestra las regiones de simetría de ambas funciones. De dicha expresión se obtiene además una simple extensión para aplicar el procedimiento de Welch a la estimación de esta función espectral utilizando rutinas de FFT. Si la señal tiene valor medio cero la TCF y la BSD solo existen si x(t) contiene contribuciones no Gaussianas ya que las correlaciones de orden par se promedian a cero para una señal Gaussiana.

38


Figura 26: Regiones de simetría para la TCF y la BSD en el plano (�1,�2) y en el (f1,f2).

El método de Welch implica dividir el intervalo 0 � t � T0 en P subintervalos

de longitud T solapados en una cantidad S: {(0,T), (S,S+T), … ((P-1)S,(P-1)S+T)}. De hecho, se demuestra que:

)]()()([),( 32121 fXfXfXEffB ⋅⋅= donde X(f) es la transformada discreta de Fourier de w(t)�x(t), siendo w(t) una función ventana. El correspondiente estimador se obtiene de:

∫

∑

⋅−⋅⋅−−=

+⋅⋅⋅⋅∆⋅

==

psegp

Nav

pppp

av

B

dtftjtxSptwfX

kkXkXkXTNt

kkB

.

12121

3

21

}2exp{)())1(()(

)()()(2

),(ˆ

π

ξ

en donde w(t) es una función ventana introducida para reducir las fugas y la producción de lóbulos laterales en la estimación con la transformada finita de Fourier. )()( twtw B ⋅= ξ , donde se asume además que w(t) es simétrica: w(T-t) = w(t). �B es un factor de normalización de la ventana y está dado por:

∫ =⋅⋅T

B dttwT 0

33

1)(ξ

en donde k2 � k1, k1 = 1,2,…NT/2+1, y tal que k1+k2 sea menor o igual que la frecuencia de Nyquist. De esta forma la región de cálculo en el plano (k1,k2) está dada por un triángulo de base (0,fN) y altura (0,fN/2), siendo fN la frecuencia de Nyquist. En el caso de una señal periódica se demuestra que la línea de frecuencias de mayor intensidad en la BSD(f1,f2), corresponde a f2 = f0, donde f0 es 39


la frecuencia fundamental en el desarrollo en serie complejo de Fourier. Esto se debe a que la amplitud de los picos armónicos disminuyen con el orden de los mismos. Una función asociada a la BSD es la bicoherencia que representa una forma de normalización del biespectro (Collis 1998). Este tipo de funciones espectrales, por ser funciones de dos variables, poseen una representación gráfica tridimensional, la cual es muy difícil de visualizar, particularmente cuando la señal analizada contiene diferentes componentes, por lo que recurrimos al empleo de la representación de contornos. La Fig. 27 muestra la BSD para los mismos datos correspondiente a la Fig. 20.

Figura 27: BSD de los datos de la Fig. 20, y un corte en la frecuencia de 16.4 Hz. La Fig. 28 es la BSD de un sensor de velocidad perteneciente al sistema de

ruido neutrónico de la CNA-I. En el se observa un débil acoplamiento de la señal en 25.5 Hz debida a las correspondientes en 7.3 Hz y 18.2 Hz.

Figura 28: BSD de la señal de un sensor de velocidad colocado en la tapa de la vasija de presión del reactor de la CNA-I. Se observa claramente el acoplamiento de las frecuencias en 7.3 Hz y 18.2 Hz. El mismo es más visible en el gráfico de la izquierda donde la figura superior es la PSD y la inferior la BSD según la línea

de 7.3 Hz.

40


Técnicas de Demodulación: El propósito de esta sección es analizar diferentes técnicas de demodulación de la envolvente en alta frecuencia de una señal (HFE). Esta es una herramienta que nos permite detectar un cierto número de problemas potencialmente severos que de otra manera pasan inadvertidos al analista si este sólo utiliza los métodos tradicionales basados en la forma de onda y el espectro. La primer técnica que veremos se basa en la forma analítica de demodulación a través de la transformada de Hilbert.

La definición formal de la misma está dada por (por ej. Bendat 1986, Poularikas 1996):

)1()()}({)(~t

txtxtxπ

∗==H , donde * representa convolución, x(t) es la señal

analizada y )(~ tx su transformada de Hilbert. El espectro de esta nueva señal está dado por:

∫+∞

∞−

⋅⋅−=⋅−⋅== )()sgn(}2exp{)(~)}(~{)(~ fXfjdtftjtxtxfX πF , donde

es la función signo, que es igual a +1 si f > 0 e igual a –1 si f < 0. Esto significa que la transformada de Hilbert consiste en hacer pasar a x(t) a través de un sistema que deja invariante la magnitud de X(f), pero cambia la fase de X(f) de �

)sgn( f

x(f) a �x(f)+�/2 si f > 0, y �x(f)-�/2 si f < 0. Considerando una señal x(t) y su transformada de Hilbert )(~ tx podemos asociarles la denominada señal analítica definida por:

)}(exp{)()(~)()( tjtAtxjtxtz θ⋅⋅=⋅+= donde A(t) es la envolvente de la señal original; 2/122 )](~)([)( txtxtA += , y la fase instantánea por

tftxtxtgt 0

1 2})()(~

{)( πθ == − , donde f0 es la frecuencia instantánea dt

td )(21 θπ

= .

La transformada de Fourier de la señal analítica es:

)(~)()}(~{)}({)}({)( fXjfXtxjtxtzfZ ⋅+=⋅+== FFF Obviamente, )}(Im{)(~)}({)( 1 tztxfZtz =⇒= −F . Usando las relaciones anteriores se tiene:

41


⎩⎨⎧

<⋅⋅>⋅⋅⋅

=00

0)(2)(

fsifsifX

fZ

con esto en mente, el cálculo digital de la envolvente de la señal están dadas por:

)]}([{2][~)]}([{2][

1

1

fkXfnxfkXfnx

∆ℑ⋅∆⋅=

∆ℜ⋅∆⋅=−

−

FF

donde , y )([)( tnxFFTfkX ∆=∆ 2/122 )]}(~)({[)( tnxtnxtnA ∆+∆=∆

Las principales aplicaciones de estas funciones en el dominio complejo se encuentran en problemas de estimación de retardos (envolvente de la función de correlación cruzada), en el estudio de la respuesta impulsiva en análisis de sistemas, en problemas de comunicaciones, en la identificación de fallas en los cojinetes, en dientes de engranajes, etc. Como ejemplo de aplicación de esta técnica analítica en la Fig. 29 se muestran resultados obtenidos en test de laboratorio donde se ensayaron diferentes rodamientos en un banco de prueba con diversas fallas inducidas y para distintas condiciones operativas.

En estas aplicaciones se realiza en primer lugar un filtrado pasabanda, un corrimiento en frecuencias seguido de una decimación de los datos y un filtrado pasabajos, para luego aplicar la metodología analítica. Se utilizó un cojinete tipo doble hilera de rodillos a rotula 22210, en el que las frecuencias propias son: BPFO = 7.749 x Fr, BPFI = 10.250 x Fr, BSF = 3.484 x Fr, y FTF = 0.430 x Fr.

En la Fig.29a se presenta el espectro y la señal temporal del rodamiento sin falla a 300 r.p.m. observándose que la curtosis toma un valor de 3.06 dando una clara indicación de que la señal es puramente Gaussiana lo que se comprobó con un histograma como ya se indicó anteriormente, y en la Fig. 29b se muestra el espectro y la señal temporal correspondiente al rodamiento con falla severa en pista externa a 300 r.p.m. (observese que la curtosis en este caso alcanzó un valor de aproximadamente 14.5), mientras que en la Fig. 29c se da la correspondiente envolvente estimada por el método analítico presentado, y en el que es fácilmente identificable la BPFO y sus armónicos indicando la presencia de la falla, lo que no fue directamente posible en términos del espectro.

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Figura 29a-b: Señal y espectro correspondiente a mediciones en un rodamiento sin falla (a) y con falla (b) en la pista externa montado en un banco de prueba a

300 rpm.

Figura 29c: Envolvente analítica de la señal de la Figura 29b (rodamiento con falla en la pista externa). Claramente se observa la BPFO.

En la Fig. 30 se muestra la envolvente analítica y su correspondiente espectro

de un rodamiento de una prensa de succión de una máquina de papel número SKF 22338, con una velocidad de giro de 180 r.p.m. Los parámetros FQ (Factor de Cresta) y Kurtosis son sensibles a la falla y la envolvente identifica una frecuencia de 18,75 Hz. que corresponde a la falla en pista externa. (BPFO = 6.19 x 180/ 60 Hz).

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Figura 30: Envolvente del rodamiento de prensa de succión con falla.

El espectro de la envolvente en aceleración se puede obtener también por otro procedimiento basado: en técnicas analógicas para detectar la envolvente y la obtención del correspondiente espectro en forma digital. El procesamiento de las técnicas de HFE en el dominio temporal ( filtrado pasa-altos, detección pico a pico y demodulación, filtrado pasa-bajos para remover la frecuencia portadora y el espectro de la señal resultante). La Fig. 32 ayuda a comprender este proceso con más detalle. Con el objetivo de que se aprecie con mayor detalle el mecanismo por el cual se generan las fallas en rodamientos detectados por medio de la técnica de la envolvente en la Fig. 33 se muestra esquemáticamente como una pequeña fisura genera la señal finalmente observada, y que denominamos la envolvente de los impulsos típicos de una falla en alguna de las pistas o elementos rotantes.

En la Fig. 33 se supone que la falla se produce en la pista externa fija, y que los elementos rodantes impactan en la fisura cada vez que pasan sobre ella ( BPF, Ball Pass Frequency) generando un transiente corto ( fuerza de excitación ) y por lo tanto la correspondiente respuesta vibratoria que dura de 30 a 100 �seg. por cada impacto. Estos son de amplitud muy pequeña y aproximadamente constantes, pero suficiente como para excitar las resonancias del sistema que multiplican a esta señal. Las resonancias actúan como la señal portadora, y están moduladas por las frecuencias BPFO, BPFI, (Frecuencia de pasaje de pista externa e interna) etc, que originan bandas laterales respecto a la portadora. Para detectarlas, es necesario proceder a la demodulación de la señal y determinar su espectro , en el cual normalmente estarán presentes algunas de las frecuencias indicadas y sus armónicas.

La Fig. 31 muestra un ejemplo de estimación del espectro de la envolvente para la detección de problemas en rodamientos siguiendo el esquema analógico. El caso presentado es una medición realizada sobre el rodamiento lado conductor de un rollo en un monolúcido de una empresa papelera. Las mediciones fueron tomadas con un acelerómetro en dirección horizontal. La Fig. 31 superior muestra

44


la correspondiente señal temporal donde se observan los impactos debido a una posible falla en un rodamiento, en la Fig. 31 inferior se muestra el espectro de la envolvente de dicha señal obtenida por la metodología indicada previamente, en donde se observa claramente los picos detectados correspondientes a una falla en la pista externa.

Figura 31: (a) Señal temporal medida en aceleración dirección horizontal sobre el rodamiento lado conductor, y (b) Espectro envolvente de la señal temporal

registrada en el caso (a).

Estas técnicas pueden aplicarse a una variedad de problemas, algunos de los cuales incluyen:

a) Desgaste de rodamientos; b) Carga indebida de los rodamientos (originado por problemas tales como

excesiva presión de montaje, diámetro inadecuado del alojamiento del rodamiento, pre-carga inapropiada y/o excesiva carga de empuje axial);

c) Hermanado inadecuado de engranajes dentro de una caja de engranajes simple o de múltiples etapas;

d) Engranajes con dientes dañados, dientes rotos o quebrados, excesiva excentricidad, (originando cargas desiguales sobre los engranajes hermanados), ejes de engranajes curvos que originan problemas similares a exceso de excentricidad, etc.; 45


e) Inadecuada lubricación de rodamientos, engranajes u otros componentes de la máquina;

f) Barras de rotores flojas o dañadas y/o exceso de excentricidad entre el rotor y el estator de motores de inducción;

g) Contacto entre los lóbulos de un rotor dentro de compresor tipo Roots. (aún en estado incipiente);

h) Estrías de orígen eléctrico sobre las pistas del rodamiento debido al pasaje involuntario de corriente a través del mismo.

i) Problemas de desgaste en grandes rodamientos de muy bajas vueltas (típicamente por debajos de 0-20 RPM) donde ni los espectros de vibración, ni el análisis de las formas de onda temporales pueden revelar el problema.

Figura 32: Esquema para determinar la envolvente de una señal y su correspondiente espectro.

Peak Vue: Una gran cantidad de maquinaria y utilitarios actuales están equipados con rodamientos. En la mayoría de los casos, éstos son los componentes más precisos dentro de la máquina, generalmente mantenidos en 1/10 de tolerancia con respecto a muchos de los otros componentes de la máquina. A pesar de ello, sólo cerca del 10 a 20% de los rodamientos duran lo que deberían, debido a una variedad de factores. Estos incluyen primariamente, lubricación inadecuada, uso del lubricante equivocado, contaminación con suciedad y otras partículas extrañas, almacenamiento impropio fuera de sus cajones de embalaje, entrada de humedad, incorrecta aplicación del rodamiento, etc.

46


Figura 33: Impulsos debido a impactos de los elementos rotantes que pasan por

la fisura en la pista externa.

Cuando los rodamientos se gastan, la señal vibratoria viaja más rápidamente desde los defectos en la pieza externa al acelerómetro. Tales defectos aparecerán normalmente en dos o más de los componentes antes de una falla eventual. Uno de los principales contribuyentes para las fallas en los rodamientos es la vibración excesiva y las altas cargas dinámicas que puede trasmitir al rodamiento. Es de gran importancia la habilidad de diagnosticar la condición del rodamiento y saber cuándo necesitan ser reemplazados, exactamente desde el comienzo en que se adquieren los espectros de líneas de base iniciales. Cuando se trata de diagnóstico, el énfasis se pone en la frecuencia, debido a que permite identificar el problema y su ubicación; la amplitud y el contenido armónicos se relacionan con la seriedad del problema. La tecnología moderna permite hacer diagnósticos precisos de los siguientes problemas en rodamientos.

1. Rodamientos que se encuentran girando sobre el eje o flojos en la cajera. 2. Ubicación de defectos, pista interna, pista externa, bolas, rodillos, y o

carcaza. 3. La naturaleza del defecto como por ejemplo pista interna fisurada,

descascarado superficial, altos niveles de fatiga, corrosión, lubricación inadecuada, estriado, etc.

4. Seriedad del defecto, prioridad 1, 2, o 3 5. Medida del defecto 6. Cargas de empuje y ángulo de empuje

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También pueden identificarse la combinación de los factores mencionados. Los registradores y analizadores digitales de hoy en día poseen una sensibilidad que permite la correcta identificación de los defectos ni bien aparecen como marcas de agua o ranuras capilares. Es posible detectar defectos de fabricación tales como errores de colada en el acero, o bruñidos defectuosos, o partículas metálicas sueltas dentro del rodamiento. Todos los defectos deben identificarse temprano, porque las frecuencias de los rodamientos pueden luego dejar de existir. Las fórmulas para calcular las frecuencias de los rodamientos cuando la pista externa está fija y la interna es rotante son:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

d

d

PCosB

SFTF)(

121 φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

d

db

PCosBN

SBPFO)(

12

φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

d

db

PCosBN

SBPFI)(

12

φ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

22 )(1

2 d

d

d

d

PCosB

BP

SBSFφ

Donde: FTF = Frecuencia fundamental del tren BPFO = Frecuencia de paso de bola en la pista externa BPFI = Frecuencia de paso de bola en la pista interna BSF = Frecuencia de giro de la bola S = Velocidad Bd = Diámetro de la bola Nb = Número de bolas o rodillos Pd = Diámetro primitivo Cos� = Coseno del ángulo de contacto

Sin embargo, a pesar de la sencillez de las fórmulas anteriores no es fácil llevar a cabo un simple análisis espectral para detectar fallas en rodamientos a través del seguimiento de dichas frecuencias. El motivo principal es que en general la señal que producen es muy débil comparada con la de otros efectos que ocurren sobre la misma máquina y que enmascaran totalmente el contenido energético de las mismas. Por esta razón es que surge la necesidad, a fin de tener un indicador temprano de las fallas que ocurren, de disponer de otras técnicas adicionales que permitan lograr el objetivo planteado. Una de ellas es la aplicación de las técnicas de demodulación tanto en su versión discreta como analógica.

A continuación vamos a describir un método muy poderoso para detectar fallas en rodamientos, particularmente en máquinas de bajas vueltas que es donde los otros métodos fallan, denominado en la literatura como Peak Vue (Robinson 1997, 2001). El fundamento del método en forma simplificada es el siguiente: muchas fallas técnicas se manifiestan dentro de la industria a través de excitación

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modal y de ondas de tensión. La primera puede detectarse utilizando acelerómetros. La metodología empleada en análisis de vibraciones consiste en capturar (digitalmente) una señal previamente filtrada con un filtro antialiasing, desde un sensor por un período de tiempo especificado, transformar la forma temporal discreta en el dominio de las frecuencias utilizando la metodología de la FFT y buscar los excesos de actividad comparado con otras máquinas similares o casos históricos anteriores de la misma máquina a frecuencias de falla conocidas. En el caso particular de que el componente sea un rodamiento, las fallas se manifiestan inicialmente como breves impactos que ocurren en la superficie del metal. Las ondas de tensión acompañan acciones como impactos, fisuras por fatiga, asperezas por desgaste abrasivo, etc. Las emisiones de ondas de tensión son cortas, pudiendo durar desde pocos microsegundos hasta algunos milisegundos, y son eventos transitorios que se propagan desde un origen como por ejemplo flexiones y ondas longitudinales a la velocidad del sonido en el metal. Las ondas S introducen un ruido (ripple) en la superficie que excitará un sensor de movimiento absoluto como por ejemplo un acelerómetro. La detección y clasificación de estas ondas proporciona una importante herramienta de diagnóstico (a) para la detección de cierto tipo de problemas y (b) para la determinación de su severidad.

Para un acelerómetro en una ubicación fija, la propagación de la onda será razonablemente un evento transiente muy corto, que puede durar desde fracciones hasta algunos milisegundos. La duración del mismo será dependiente de (1) tipo de evento, es decir, las ondas de tensión producto de impactos serán de mayor duración que aquellas que acompañen el de tensión residual de fisuras por fatiga en propagación, (2) posición relativa del sensor (acelerómetro) respecto al sitio de iniciación, y (3) severidad de la falla responsable de la emisión de las ondas. La atenuación de un paquete de ondas de tensión que se propaga es dependiente de la frecuencia, siendo más importante para las altas frecuencias a medida que nos alejamos con nuestro punto de medición (acelerómetro) respecto al punto de iniciación del evento, lo que necesariamente implica que para tener mayores posibilidades de éxito en la deteción de una falla es importante ubicar el sensor lo más cercano posible al lugar donde se supone que las fallas se producen. La Fig. 34 es ilustrativa por si misma en cuanto a los aspectos mencionados de puntos de colocación del sensor.

La salida analógica de un acelerómetro ubicado en una máquina incluye vibraciones clásicas y ondas de tensión inducidas sobre el ancho de banda total de la respuesta del sensor. Generalmente la componente proporcional a la vibración normal cubrirá una banda de frecuencias mas bajas que las componentes ligadas a la actividad de las ondas de tensión. Los parámetros importantes a capturar de la actividad de las ondas de tensión son:

1. Amplitud de cada evento,

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2. Tiempo aproximado requerido para detectar la ocurrencia del evento, y 3. Relación (periódica o no periódica) a la cual los eventos están ocurriendo,

con énfasis en la relación evento versus frecuencias especiales de falla que son dependientes tanto en la componentes específicas y en la velocidad de rotación de las máquinas

Figura 34: Puntos correctos de medición y camino recorrido por las vibraciones.

El método desarrollado para capturar valores pico de la señal analógica

proveniente del sensor luego del filtrado pasa altos, llamada Peak Vue (por ej. Robinson 1997), proporciona los tres parámetros claves enunciados arriba. El tiempo de muestreo de la señal queda determinada por la selección de la frecuencia máxima Fmax para obtener resolución adecuada a las frecuencias de falla, por ejemplo una Fmax de 3 o 4 veces la frecuencia de falla de pista interna cuando se monitorean rodamientos Una vez que la frecuencia máxima queda especificada, los valores picos serán recolectados a una frecuencia de 2,56*Fmax. La inversa de la velocidad de sampleo define el incremento de tiempo sobre el cual los picos son capturados. Estos valores pico son capturados en forma secuencial hasta que se acumula el tamaño total del bloque deseado. El tiempo total en la onda capturada por el Peak Vue depende del número de revoluciones del eje, y el bloque de datos consiste de valores picos separados a intervalos de tiempo secuenciales y constantes (el espectro Peak Vue se obtiene a través del algoritmo FFT del bloque de datos obtenidos de la misma manera que en al análisis de vibraciones convencionales). Para el análisis de fallas en rodamientos, el bloque de tiempo debe ser lo suficientemente grande para dar buena resolución en las menores frecuencias de falla (fallas en jaula). Esto sugiere un mínimo de 15 revs (preferiblemente 20) a ser incluidos en el bloque de datos de valores pico capturados.

Una vez que se ha adquirido el bloque de datos de valores pico, el análisis posterior procede de la siguiente manera:

50


1. Examen del bloque de datos obtenido buscando valores picos que incurran en un patrón consistente [los valores pico son (a) seguibles por tendencias y (b) útiles para la determinación de la severidad]

2. Análisis de presencia de impactos repetitivos relacionados a la velocidad de giro de la máquina a través de la conversión desde el tiempo, como variable independiente, hacia la frecuencia (generalmente se aplica la FFT para computar los datos espectrales); y

3. Análisis de los valores del bloque de valores pico temporales utilizando la metodología de auto-correlación. La habilidad principal de esta herramienta de análisis provee la extracción de una señal periódica desde una señal consistente de un ruido no periódico significativo.

A modo de ejemplo en la Fig. 35 se analiza la aplicación de esta técnica en la

detección de un defecto en la pista externa del rodamiento de un piñón en una caja de engranajes utilizando un analizador comercial. Esta caja se encontraba incluída dentro del programa de monitoreo mensual de vibraciones mecánicas dentro de una planta industrial. Las técnicas tradicionales de monitoreo utilizando un analizador comercial detectaron una falla incipiente muy pequeña en un rodamiento. Utilizando la metodología Peak Vue fue obvio de los datos suministrados detectar la existencia de un defecto en la pista externa en el rodamiento sobre el eje de entrada. Las lecturas iniciales del Peak Vue mostraron una clara falla en la pista externa de este componente con valores de impacto PK-PK de 18 g’s. Los valores g leídos con la técnica de Peak Vue continuaron con su tendencia hacia arriba (incrementando a 37 g’s); luego comenzó a revertirse la tendencia (decreciendo hasta 14 g’s). El rodamiento fue reemplazado. Luego del reemplazo, los valores g-pico en el nuevo rodamiento eran inferiores a 1 g. Los datos normales de vibración tiempo y espectro de aceleración se muestran en la Fig. 35a. Hay alguna sospecha de un defecto sobre un problema en la pista externa, pero no del todo evidente (ciertamente no al punto de lo exhibido con la técnica de Peak Vue). Los datos de la metodología Peak Vue se observan en la parte inferior de la Fig. 35. Los valores pico absolutos llegan a alcanzar hasta 37,5 g’s a la velocidad de operación de solo 359 RPM (o 5,99 Hz) con un rango consistente con la frecuencia de defecto de la pista externa (BPFO). Análisis con dos Señales: Un amplio rango de aplicaciones en ingeniería del análisis de datos aleatorios está centrado alrededor de la determinación de relaciones lineales entre dos o más conjuntos de datos. Estas relaciones generalmente se extraen en términos de una función de correlación o de su correspondiente transformada de Fourier denominada densidad espectral.

Consideremos dos procesos aleatorios continuos {x(t)} e {y(t)} supuestos estacionarios, de valor medio cero y ergódicos. En estas condiciones definimos la función de correlación cruzada Rxy(�) por medio de la relación:

51


∫ ⋅+⋅⋅=∞→

T

Txy dttxtxT

R0

)()(1lim)( ττ , y si x(t) = y(t) se tiene la clásica ACF. Ya

hemos indicado que esta última es una función par, esto es que )()( ττ xxxx RR =− . En cambio la función de correlación cruzada no posee paridad y satisface la

relación )()( ττ yxxy RR =− . El valor de la ACF para � = 0 es igual a la varianza de los datos. La función de correlación cruzada satisface la relación:

)0()0(|)(| yyxxxy RRR ≤τ .

Figura 35: En la parte superior se muestra el espectro correspondiente a la señal de Peak-Vue (inferior).

La transformada de Fourier de la misma se denomina la función densidad

espectral cruzada Sxy(f):

∫+∞

∞−

⋅−⋅= ττπτ dfjRfS xyxy }2exp{)()( , y en el caso de que x(t) = y(t) esta función

se transforma en la conocida PSD Sxx(f). Sxy(f) satisface las siguientes relaciones las que son obvias a partir de la definición: . Una relación importante (Bendat, 1993) es que la magnitud del espectro cruzado satisface la siguiente desigualdad: que da lugar a la definición de la función coherencia mediante la relación:

)()()( * fSfSfS yxxyxy ==−

)()(|)(| 2 fSfSfS yyxxxy ≤

52


)()(|)(|

)(2

2

fSfSfS

fyyxx

xyxy =γ , tal que 10 2 ≤≤ xyγ

Por lo tanto, para el caso ideal de un sistema lineal de parámetros constantes

con entrada y salida bien definidas la función de coherencia es igual a uno. Si x(t) e y(t) no están relacionadas la función de coherencia será igual a cero. Si la función de coherencia es mayor que cero pero menor que uno probablemente ocurran algunas de las tres posibles situaciones siguientes: ruido extraño presente en las mediciones, la relación entre ambas señales no es lineal, o bien la salida y(t) se deba tanto a la entrada x(t) como a otras posibles excitaciones. Para sistemas lineales la función de coherencia se puede interpretar como una porción fraccional del valor cuadrático medio de la salida y(t) a la que contribuye la cantidad x(t) a la frecuencia f. La función de coherencia se utiliza en numerosas áreas (Carter 1987, Bendat 1993) incluyendo identificación de sistemas, medición de relación señal a ruido, determinación de retardos temporales, análisis modal e identificación de fallas en máquinas. Esta función debe utilizarse cuando su valor puede estimarse con precisión.

El método de estimación más corriente de esta función es por medio de la técnica de solapamientos de segmentos pesados con una función ventana similar al explicado para la estimación de PSD (Bendat, 1986; Carter, 1987). Esta técnica asegura la máxima estabilidad (esto es, varianza mínima) del estimador espectral. Una forma eficiente de llevar a cabo este procedimiento consiste en dividir ambos conjuntos de datos en P bloques de N datos cada uno y se aplica la misma función ventana a fin de reducir fugas laterales; se forma la señal compleja z(n�t) = x(n�t) + j�y(n�t) para n= 0,1,…, N-1, se calcula la FFT de la misma para cada bloque y a partir de aquí se obtiene el espectro de cada señal X(k�f) e Y(k�f), k = 0,1,…,N-1. Se calcula el estimador como un promedio de los estimadores de cada bloque conveniente normalizados por el factor de energía de la ventana. En la Fig. 36 se muestra la función coherencia y la diferencia de fase entre dos sensores de velocidad colocados en la tapa de la vasija de presión en el reactor de la CNA-I, en la parte superior de la figura se observan las PSD correspondiente. Los picos principales observados corresponden a movimientos particulares de la vasija, tales como el movimiento pendular (primer y segundo modo), movimiento de placa (n=2), rpm de la bomba principal de refrigeración del sistema primario, etc. La identificación detallada de cada pico puede verse por ejemplo en Piñeyro 1991. La estimación se baso en la metodología explicada precedentemente.

)(ˆ fS xy

53


0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

Dif. de Fase

Coherencia

Coh

eren

cia

Frecuencia [Hz]

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Lo

g. P

SD [d

B]

Figura 36: En el gráfico superior se muestran las PSD de los sensores de

vibración ubicados en la tapa del reactor. En la inferior se grafican las respectivas funciones coherencias y diferencias de fase entre ambas.

En análisis de sistemas lineales invariantes, la respuesta y(t) del sistema está

dada por la convolución de la entrada x(t) con la función de respuesta impulsiva h(�) que se define como la respuesta del sistema ante un impulso delta como excitación del mismo:

∫+∞

∞−

⋅−⋅= τττ dtxhty )()()( , siendo h(�) = 0 si � < 0 para un sistema causal, en

cuyo caso el límite inferior de la integral anterior cambia a cero. La transformada de Fourier de la función h(�) es la conocida función transferencia del sistema

)}({)( τhfH F= , en cuyo caso la relación de convolución establece que:

)()()( fXfHfY ⋅= Teniendo en cuenta que , que

, y que vemos que: )]()([)( * fXfXEfS xx ⋅=

)]()([)( * fYfYEfS yy ⋅= )]()([)( * fXfYEfS xy ⋅=

54


)(|)(|)( 2 fSfHfS xxyy ⋅= , y )()()( fSfHfS xxxy ⋅=

Es posible mostrar que para un sistema como el anterior, al cual le adicionamos ruido a la salida no correlacionado con ambas señales (que es lo normal en cualquier tipo de medición de esta naturaleza), el mejor estimador para H(f) se obtiene de:

)(ˆ)(ˆ

)(ˆfSfS

fHxx

xy= ,

Esta función tiene importantes aplicaciones en diferentes áreas, siendo una de

ellas su utilización en análisis modal de estructuras. Para el caso de sistemas lineales de parámetros constantes, esta función espectral está relacionada con los parámetros modales que definen el comportamiento dinámico del mismo tales como frecuencias de resonancias, amortiguamiento, formas modales. Por ejemplo, para un sistema simple de un grado de libertad masa – resorte – amortiguador esta función está dada por:

nn ffjffkfH

/2)/(1/1)( 2 ξ+−

=

donde fn es la frecuencia natural y � es la relación de amortiguamiento y k la constante elástica del sistema. Un procedimiento de ajuste de los datos experimentales a esta función permitiría la obtención de los parámetros deseados. El estudio experimental de la dinámica de estructuras ha permitido obtener importantes contribuciones al esfuerzo que se realiza por comprender y controlar muchos de los fenómenos de vibraciones que se encuentran en la práctica, tanto en máquinas rotantes o alternativas como en problemas puramente estructurales.

Los principales objetivos de las mediciones son determinar la naturaleza y los niveles de vibración en operación, verificar las predicciones de los modelos teóricos, así como extraer propiedades esenciales de los materiales tales como capacidad de amortiguamiento, fricción y endurecimiento por fatiga. Los problemas de vibración estructural continúan siendo en la actualidad una limitación dentro de un rango muy amplio de diseños en ingeniería. Hay un gran número de estructuras, desde álabes de turbinas a puentes suspendidos para los cuales la integridad de la estructura es de primordial importancia, y en los cuales es esencial un conocimiento profundo y preciso de las características dinámicas. Además, existen un amplio conjunto de componentes estructurales o subsistemas para los cuales la vibración está directamente relacionada a la performance, ya sea en virtud de que pueda causar un malfuncionamiento temporario debido a

55


excesivos movimientos, o porque genera perturbaciones indeseables incluyendo ruidos. Es importante entonces que los niveles de vibración que se encuentran en servicio puedan ser anticipados y eventualmente corregidos.

En las mediciones de las vibraciones un objetivo es determinar los niveles de las mismas durante operación de la máquina tal como se indico en el apartado anterior, mientras que el segundo objetivo es efectuar un test sobre una estructura en donde la misma se hace vibrar por medio de una excitación externa conocida. Este tipo de análisis es lo que se denomina Análisis Modal. Uno de los primeros trabajos publicados en esta área es el trabajo de Kennedy (1947). Los métodos y técnicas allí aplicadas tuvieron un nuevo impulso recién en la década de 1960 debido al avance logrado en las mediciones electrónicas y en las técnicas de análisis (ver por ej. Bishop 1963). Estas metodologías cobran un segundo impulso a partir de 1970 con el advenimiento de la electrónica digital, siendo en esta etapa donde se establecieron los principales métodos de análisis experimental que hoy día continúan utilizándose. (ver por ej. Allemang 1984).

A partir de aquí ha habido una gran actividad dentro de esta área con numerosas aplicaciones y publicaciones (ver por ej. Maia 1997, Ewins 2000 y referencias allí citadas). La filosofía del análisis modal implica la integración de tres componentes: el modelo teórico de la vibración, las mediciones a realizar y el análisis de las mismas. La función espectral típica que se utiliza en estos tipos de tests es la respuesta en frecuencia del sistema (FRF o función transferencia), pues como ya indicamos, este tipo de medición responde a la relación básica: RESPUESTA = PROPIEDADES × EXCITACIÓN.

De acuerdo a esta relación vemos que es posible determinar la FRF cuando es posible medir dos de estas tres magnitudes, básicamente la excitación y la respuesta del sistema. Si sólo se midiera esta última, no sería posible afirmar si un valor alto de una vibración se debe a una excitación fuerte o a la resonancia de la estructura que actuará amplificando a la misma. Nuestro interés está centrado en la medición de una FRF denominada mobilidad, que implica excitar la estructura en un punto de la estructura y medir en otro. Los principales componentes son un sistema de excitación, el de medición y un analizador de señales.

La fuente excitación puede tomar alguna de las siguientes formas: sinusoidal, periódica, aleatoria o de impacto. La clase de tests más común que se llevan a cabo en análisis modal están asociados, de acuerdo al DTA Handbook (1993), con los niveles 0 y 1 de la clasificación dada en dicha referencia junto a sus objetivos. Estos niveles implican determinar frecuencias de resonancias, factores de amortiguamiento y formas modales de vibración. El esquema básico en este tipo de mediciones se muestra en la Fig. 37a. De los diferentes mecanismos de excitación, hay uno que merece mencionarse por su simplicidad y por ser uno de los más utilizados, particularmente en aquellos experimentos donde la masa a mover no es muy grande: el martillo de impacto. La magnitud del impacto está

56


dada por la masa de la cabeza del martillo y la velocidad con que se golpea una estructura, la que es controlada por el operador.

El rango de frecuencias efectivamente excitado está dado por la elasticidad de las superficies en contacto (k) y la masa del martillo de acuerdo a (k/masa martillo)½. Esta metodología evita la sobrecarga con una masa externa al sistema y es más rápido que utilizar un shaker. Un instrumento de este tipo consta de un martillo con un transductor de fuerza incorporado en la cabeza del mismo.

El impacto producido por el mismo excita en forma simultánea un rango muy amplio de frecuencias, siendo la correspondiente a la de corte del espectro producido por el golpe, aquella en que la magnitud del mismo decae en 10 o 20 dB. La celda de carga es la que suministra una medida de la fuerza de impacto. Una vez que se ha determinado la FRF experimentalmente, el próximo paso corresponde al análisis modal: determinación de las frecuencias de resonancias, cocientes de amortiguación y formas modales asociadas con cada pico medido en la FRF. La Fig. 37b muestra esquemáticamente un típico experimento de análisis modal sobre una estructura y las FRF obtenidas de acuerdo a la posición de la excitación y del punto de medición.

En Ewins (2000) se analizan diferentes metodologías de estimación de estos parámetros a partir de las mediciones de estas funciones. Uno de los métodos más simple consiste en ajustar los datos a modelos de FRF de un solo grado de libertad, el cual trabaja adecuadamente en tanto los picos de resonancia estén lo suficientemente separados de tal modo que no haya acoplamiento entre los mismos, esto es, se asume que en la vecindad de una resonancia la FRF está dominada por un sistema de un grado de libertad.

Para determinar la forma modal de vibración para cada frecuencia natural es necesario medir varias FRFs tal como se indica en la Fig. 37b. En este caso se ajustan los datos a una función del tipo (Ewins 2000):

∑= +−

⋅=

n

i iii

Tii

juu

122 )2()(

)(ωωςωω

ωαrr

En el ejemplo presentado en la Fig. 37b, la medición de la FRF se realiza

excitando en el punto 1 y midiendo con los acelerómetros en las tres posiciones indicadas. En este caso particular n = 3.

La Fig. 37c muestra resultados de un caso real el cual nos ilustra a su vez las dificultades que se presentan en la interpretación de los datos medidos. Las mediciones se realizaron sobre un stand de un tren de laminación en una empresa siderúrgica.

57


Figura 37a: Esquema simplificado de un sistema de medición de Funciones

Transferencias mediante la técnica de excitación de la estructura y respuesta de la misma.

FFT FFT FFT

Acelerómetro

1

2

3 Acelerómetro

Acelerómetro

Impacto Sensor de Fu s erza

Transductor de fuerzas

Método de impacto sobre la estructura

Amplificador de

Potencia Generador

Control

Analizador Acelerómetros

Amplificadores Filtros, etc.

Monitor

Figura 37b: Ejemplo de Funciones Transferencia en test de impacto para el cálculo de las formas modales de vibración a través de los picos en la FRF.

58


F1

F2

F3

Punto 1V

H

Punto 2 Cil Apoyo

Punto 3 Cil Trabajo

Figura 37c: La figura superior es un esquema del stand Nro. 6 y los puntos de impacto y medición. En las dos figuras de la izquierda se muestran la FRF en

magnitud y fase para medición en sentido vertical en el lado conductor, mientras que las figuras a la derecha representan los resultados obtenidos en dirección

vertical sobre el lado mando en componentes real, imaginario y magnitud.

Es conocido el hecho de que en los procesos de laminación, tanto en frío como en caliente, suele aparecer de manera más o menos repentina una forma de 59


vibración conocida como chatter, la que entre otras cosas se caracteriza por producir un ruido audible (� 40 – 100 Hz) y que deriva como consecuencia en productos mal terminados. Un primer conjunto de mediciones tomados durante el proceso de laminado permitió caracterizar las vibraciones excitadas. Una modelación utilizando el método de elementos finitos permitió estimar un conjunto de frecuencias naturales en el rango de frecuencias de interés con sus correspondientes modos normales de vibración, que permitieron sugerir que la causa del fenómeno residía en la excitación de alguna de dichas frecuencias, particularmente las que están relacionadas a un movimiento vertical de la estructura, por algún tipo de fuerza periódica. Estos resultados llevaron a la necesidad de realizar un análisis modal sobre la estructura a fin de determinar las frecuencias de resonancia de la misma y verificar los resultados del modelo. En la Fig. 37c se muestra un esquema del stand analizado junto al punto de impacto (F1) y las posiciones de los acelerómetros. Las respuestas del sistema se obtuvieron en las tres direcciones tanto del lado mando (operaciones) como del lado conductor (LC), vertical y horizontal sobre el cilindro de apoyo y de trabajo superior e inferior en ambos lados. Se utilizaron dos direcciones de impacto: horizontal y axial (paralelo y perpendicular al sentido de laminación).

Las FRF se estimaron mediante un analizador comercial de dos canales y el software asociado para el análisis. Algunos de los resultados de las mediciones se muestran en las FRF de la Fig. 37c, en los típicos formatos utilizados en análisis modal: magnitud y fase (diagramas de Bode) y partes real e imaginaria de las funciones transferencias. En sentido vertical se lograron identificar las frecuencias en 39.5, 60.5 y 84.5 Hz. En el análisis espectral realizado para caracterizar las vibraciones producidas por el fenómeno de chatter surgía que las frecuencias de vibración más importantes se encontraban alrededor de 40 Hz. En un sistema tan complejo como este lo que se debe resaltar es que el análisis modal por si sólo no permitiría identificar la naturaleza del problema si no es acompañado por una modelación adecuada para determinar los movimientos modales que se corresponden con cada frecuencia de resonancia. Modelos Autoregresivos Multivariados

En grandes complejos industriales tales como procesos químicos, manufactura de papel, metalurgia y sistemas generadores de electricidad, las fluctuaciones aleatorias de las señales contiene información relacionada con el funcionamiento de la máquina, la vibración de sus componentes y la interacción de las variables que caracterizan estos procesos.

Las técnicas clásicas de procesamiento digital de señales tienen una aplicación limitada para definir y caracterizar las relaciones de causa y efecto en un conjunto de variables de proceso. A este fin se ha implementado una metodología que permite relacionar un conjunto medido de señales aleatorias utilizando modelos autoregresivos multivariados (MAR). A partir de los mismos se obtiene un

60


conjunto de funciones espectrales cuya interpretación permite establecer las interrelaciones que existen entre las distintas variables que describen al proceso considerado. La implementación de un modelo MAR se compone de las siguientes etapas:

1. Adquisición de los datos, elección de la frecuencia de muestreo y del conjunto de señales a utilizar (esto requiere cierta experiencia por parte del analista).

2. Conocer las limitaciones de las mediciones realizadas y la ubicación de los sensores en relación con las variables dinámicas medidas.

3. Condicionar las señales y seleccionar la longitud de datos a adquirir. 4. Estimar los parámetros del modelo MAR. 5. Calcular las distintas funciones espectrales e interpretarlas. 6. Efectuar un diagnóstico del problema.

Esta metodología ha sido aplicada con éxito en el análisis de señales

provenientes de reactores nucleares del tipo PWR y BWR (Upadhyaya, 1980; Oguma, 1985). El modelo MAR presenta la ventaja de obtener estimadores espectrales de alta resolución a partir de registros temporales de corta longitud. El método se basa en ajustar el conjunto de señales medidas por medio de un modelo lineal estimando los distintos parámetros del mismo a partir de los datos temporales digitalizados y de las matrices de correlación estimadas también a partir de los mismos. El modelo asociado a un vector de medición estacionario

está descripto por: )(tXr

∑=

+∆−⋅=n

itVtitXiAtX

1)()()]([)(

rr,

donde representa el vector de señales medidas al instante t, y �t es el tiempo de muestreo, y el corchete indica que la cantidad encerrada es una matriz. La sucesión de datos aleatorios x

))(),...,(()( 1 txtxtX m=

i(t), i = 1,…,m tiene valor medio nulo y varianza finita. Si se tienen m señales, las matrices [A (i)] son de orden m x m, que son las que deben estimarse y que describen el acoplamiento entre las distintas señales y la memoria del sistema (es decir representan los pesos de las contribuciones de los valores del pasado al actual vector de mediciones). El vector m-dimensional V(t) de ruido blanco Gaussiano representa la contribución instantánea para cada señal que no puede obtenerse por transmisión entre las demás señales. Sus componentes tienen valor medio cero y un espectro independiente de la frecuencia. Estas componentes pueden estar correlacionadas (es decir, los elementos fuera de la diagonal de la matriz de covarianza no son necesariamente iguales a cero).

61


La primera etapa (es decir, determinar los elementos de las matrices de coeficiente del modelo) se logra resolviendo el conjunto de ecuaciones matriciales de Yule-Walker (Marple, 1987) que describen la relación lineal entre las matrices de coeficientes del modelo MAR y las matrices de correlación obtenidas a partir de las señales medidas:

∑=

−⋅=n

iikCiAkC

1)]([)]([)]([ , k = 1,2,…n

∑=

Σ+−⋅=n

i

iCiAC1

)]([)]([)]0([ ,

donde los [C(k)], k = 0,1,2,…,n son los estimadores de las matrices de correlación de los vectores de medición )(tX

r utilizados. Los elementos diagonales de la

matriz [C(k)] son los valores estimados de las funciones de autocorrelación correspondientes al retardo � = k��t, mientras que los elementos extradiagonales representan las funciones de correlación cruzada. El estimador para las matrices [C(k)] está dado por:

∑−

=

⋅+⋅=kN

i

TiXkiXN

kC1

)()(1)]([r

donde N es el número de muestras y k = 0,1,…n

A partir de los valores estimados de las matrices de correlación es posible

resolver las ecuaciones matriciales indicada anteriormente por medio de un eficiente algoritmo computacional el cual es recursivo con respecto al incremento del orden del modelo (Upadhyaya, 1980). El orden del modelo se determina por el criterio de información (AIC) de Akaike (Akaike, 1974). La matriz espectral de las mediciones se obtiene a partir de:

tfHfHfS T ∆⋅⋅Σ⋅=−− 1

)]([][)]([)]([ *1 , donde

∑=

∆−⋅−=n

i

tfijiAIfH1

}2exp{)]([][)]([ π ,

donde [H(f)] es una matriz compleja m x m construida a partir de las matrices de coeficientes MAR. Los elementos diagonales de la matriz [S(f)] corresponden a las densidades espectrales de cada señal, y los elementos extradiagonales son las densidades espectrales cruzadas entre las diferentes señales. La coherencia ordinaria entre las señales i y j se define de la manera usual:

62


)()(|)(|

)(2

fSfSfS

fCOHjjii

ijij ⋅

=

La correspondiente diferencia de fase entre ambas señales se determina por :

)}({)}({

)(fSfS

fFASEij

ijij ℜ

ℑ=

La contribución ordinaria de la fuente de ruido de la señal j a la señal i está

dada por:

tfS

fHfNSCR

ii

jjijij ∆⋅

⋅=

−

)(|)(|

)(21 σ

, donde �jj es j-esimo elemento de [�].

La matriz contiene las funciones transferencias entre pares de

señales las cuales tienen en cuenta todas las posibles vías de transmisión (STP) entre las restantes señales. Con el propósito de obtener las funciones transferencias individuales que vinculan un par de variables medidas en forma directa eliminando el efecto de las demás se introduce el siguiente modelo lineal multivariado a partir del modelo MAR:

)]([ 1 fH −

)()()]([)( fNfXfGfX

rrr+⋅= ,

donde es la matriz de transferencia con elementos diagonales nulos y tal que si i � j, y G

)]([)]([ fGfG ij≡

iiijij HHG /−= ii = 0. El elemento i-j de la matriz espectral de ruido propio [Q(f)] está dado por:

)()()()()( *

*

fHfHfNfNfQ

jjii

ijjiij ⋅

=⋅=σ

estos elementos definen densidades espectrales cruzadas del ruido residual resultante de la descomposición. Por medio de ella la PSD de cada señal se puede dividir en contribuciones de las fuentes de ruido de otras señales y de su propia fuente de ruido. De la misma manera la densidad espectral cruzada se puede separar en dos partes: por un lado un acoplamiento directo entre ambas señales debido a la contribución de la fuente de ruido de una con la otra a través de la correspondiente función transferencia (Gij(f) y Gji(f)) y contribuciones debido a la correlación cruzada de las fuentes de ruido propias (términos Qij(f) y Qji(f)). A 63


partir de la matriz de transferencia [G(f)] y de la de ruido propio [Q(f)] del modelo MAR se obtiene la siguiente expresión de la coherencia parcial:

]}[2||{}[2||{}{

)( *2*2

2**

jijiiijijjijijjjijii

ijjiijiijijjijijij QGQGQQGQGQ

QGGQGQGQfCOHP

ℜ⋅++⋅ℜ⋅++

+++=

donde en el numerador aparece la CPSD parcial entre las dos señales y en el denominador las PSD parciales, excluyendo el efecto de las demás señales y permitiendo sólo la transmisión directa entre las señales consideradas. Teniendo en cuenta solamente los términos que conectan las dos señales directamente, la contribución parcial de la fuente de ruido inherente j a la señal i viene dada por:

)]()([2)(|)(|)()(

)( *2 fQfGfQfGfQfQ

fPNSCRijijjjijii

iiij ℜ⋅++

=

Las funciones de coherencia parcial y de contribución parcial relacionan dos

señales en forma directa excluyendo la influencia de las otras. Este procedimiento es esencial para la correcta interpretación de las relaciones causa efecto entre las señales, y es en este contexto que debe establecerse la importancia en la selección de una correcta combinación de las señales. La comparación de las anteriores funciones espectrales ordinarias y sus correspondientes funciones parciales suministra información sobre los mecanismos de generación y propagación del ruido y de las relaciones de causa efecto entre las señales seleccionadas del sistema dinámico multivariado. La información contenida en las anteriores funciones estadísticas revela las características de los procesos físicos asociados al sistema considerado. Por ejemplo, para el caso de un reactor nuclear se podrían considerar los siguientes procesos: propagación axial de las fluctuaciones de densidad del refrigerante, transferencia del calor del combustible al refrigerante, ondas estacionarias de presión, vibración de componentes estructurales, etc. A diferencia del análisis de Fourier, el análisis STP basado en el modelo MAR puede revelar las interrelaciones entre las señales de un sistema dinámico multivariado procesando todas las señales en forma simultánea en lugar de hacerlo de a pares. Con el propósito de mostrar un ejemplo de esta metodología en la Fig. 37 se presentan resultados obtenidos en señales provenientes del reactor nuclear de Atucha en base a las siguientes siete señales que relacionan variables de proceso del sistema primario (Wentzeis 1994): � Presión del sistema primario Loop 2 (PP2). � Variación de la temperatura del reactor Loop 1 (�T1). � Caudal de vapor en el generador de vapor Loop 1 (CV1).

64


� Caudal de vapor en el generador de vapor Loop 2 (CV2). � Presión de vapor en el generador Loop 1 (PV1). � Presión de vapor en el generador Loop 2 (PV2). � Agua de alimentación al generador de vapor del Loop 1 (AGV1).

Cada señal está compuesta de 16000 puntos muestreados cada 0.5 seg. Los

datos se ajustaron con un modelo MAR de orden m = 33 el cual se obtuvo a partir del criterio AIC. A modo de ejemplo se muestran en la Fig. 37(a) y (b) un espectro y una función coherencia comparado con el obtenido con la FFT. En la Fig. 37 (c) y (d) se muestran los espectros de las señales PV1 y CV1. Se observa que la coherencia entre ambas tiene un valor relativamente alto alrededor de 0.17 Hz, indicando que ambas señales son excitadas por una fuente de ruido común. Además, dado que la coherencia ordinaria coincide con la parcial indica que ambas señales están relacionadas en forma directa y no a través de otras señales (algo que es razonablemente de esperar). En la Fig 37(d) se observa que la contribución de la fuente de ruido de la señal PV1 a la señal CV1 en la zona de 0.17 Hz es mayor que la condición inversa indicando que la primer señal es la causa directa del pico de 0.17 Hz que aparece en la señal CV1. Mediante un análisis similar también se puede afirmar que la señal PV1 es la causa directa del pico en 0.17 Hz que aparecen en las señales CV2, PP2 y PV2. En cambio al considerar los espectros de las señales PV1 y �T1 alrededor de dicha frecuencia se observa que la coherencia ordinaria es distinta de cero pero la coherencia parcial es nula, lo cual implica que ambas señales están relacionadas pero no en forma directa sino a través de una tercera señal (o más de una). En la Fig. 38 se resumen los resultados obtenidos con este análisis en la forma de un esquema que ilustra las vías de transmisión entre las distintas señales (STP) alrededor de la frecuencia de interés para este caso en 0.17 Hz. Las vías de transmisión que presentan valores de coherencia elevados y cercanos a los de la coherencia parcial representan un fuerte acoplamiento directo entre las dos señales en la dirección indicada. Las líneas a rayas representan vías probables de transmisión entre pares de señales, que deben verificarse por medio de otras mediciones. Sistema de ruido neutrónico en la CNA-I

Dado que a lo largo de este capítulo se han presentado una serie de ejemplos con resultados tomados del sistema de ruido neutrónico instalado en la CNA-I, a continuación se hace una breve presentación del mismo. El análisis de las señales aleatorias es una herramienta que como ya hemos dicho permite la extracción de la información contenida en las fluctuaciones provenientes de cualquier tipo de sensor que monitorea fenómenos dinámicos. El caso particular a que nos referiremos es el análisis de procesos que ocurren en un reactor nuclear y que permiten determinar el estado de vibración de componentes estructurales dentro del sistema primario al mismo (canales refrigerantes y elementos combustibles, 65


tubos guía de barras de control, tubos guía de instrumentación in core, movimientos anómalos del tanque del moderados y la vasija de presión, etc.). Estas técnicas de análisis para los reactores se han venido usando a partir de 1980 (Zigler, 1988; Schütte, 1988). La central de Atucha fue sacada de servicio el 15.8.88 como consecuencia de haberse detectado la rotura de un canal refrigerante. Diferentes anomalías operativas previas fueron asociadas a este evento y entre ellas, la fuerte oscilación en la señal neutrónica de una cámara de ionización del rango de potencia, de cuyo análisis (una oscilación de 1.5 Hz) surgió la hipótesis de la causa del problema. Por reparaciones derivadas de este evento, la Central estuvo fuera de servicio durante 16 meses, volviendo a criticidad en enero 1990.

Figura 38: (a) Comparación de la función coherencia y fase de la CPSD entre dos sensores por medio del modelo MAR y procedimientos de FFT; (b) Idem para la PSD de un sensor; (c) Coherencia parcial y global (Mag. Y Fase) entre las señales

CV1 y PV1; y (d) Idem para las NSCR globales y parciales.

Como consecuencia de este incidente la Dirección de la Planta y la Autoridad Licenciante decidieron la implementación de diferentes sistemas de alerta temprana y monitoreo con el fin de disminuir el riesgo de ocurrencia de este u 66


otro tipo de eventos. Uno de estos sistemas, que se viene utilizando en forma rutinaria responde al nombre de sistema de ruido neutrónico. La función de un sistema de esta naturaleza es vigilar las vibraciones de los componentes internos del reactor a fin de poder detectar desviaciones respecto al comportamiento dinámico normal de los mismos. Esto implica que el programa de análisis debe comprender básicamente tres fases: en primer lugar disponer de una base de datos que establezca el comportamiento de los diferentes componentes en condiciones normales de funcionamiento, la segunda implica el monitoreo rutinario a lo largo de la vida útil de la planta, donde los datos de ruido se examinan para tratar de detectar cambios o tendencias; y por último la tercera fase comprende el diagnóstico, donde se llevan a cabo los análisis necesarios toda vez que una señal es clasificada como anómala por el sistema de monitoreo. Durante esta última fase se puede tener la necesidad de contar con información adicional proveniente de otros sensores o métodos de análisis así como conocer aspectos particulares del diseño u operación de la planta.

El sistema utiliza la información proveniente de cinco cámaras de ionización ex core más los sensores in core del tipo SPND (Self Power Neutron Detector) de vanadio dispuestos en seis lanzas largas (siete detectores cada una) y dos lanzas cortas (de tres detectores cada una). En la Fig. 39 se muestra una sección transversal del núcleo del reactor donde se indican la posición de los canales refrigerantes y la posición de los detectores utilizados por el sistema de monitoreo. Adicionalmente se cuenta con dos sensores de velocidad colocados en la tapa del reactor y los sensores de vibración colocados sobre los ejes de las bombas de refrigeración del sistema primario (detalles del sistema, resultados obtenidos etc. pueden verse por ej. en Piñeyro 1991, Wentzeis 2001).

Figura 39: Esquema de la sección horizontal. Distribución espacial de las lanzas

in-core y de los detectores neutrónicos ex-core.

67


Referencias Akaike H. and Kitagawa G. , “On TIMSAC 78”, in Applied Time Series Analysis

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