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Primera parte. Artículos, resultado de investigaciones

Análisis de las anualidades: Consideraciones

estocásticas en la tasa de interés*

Jesús María Godoy Bejarano**

Diego Fernando Téllez Falla***

Resumen

El objetivo de este documento era determinar el cambio en el valor presente de una

anualidad con tasas de interés estocásticas independientes. Al efecto, con base en la

aplicación de la simulación de Montecarlo y la utilización de siete distribuciones de

probabilidad, se generaron un igual número de procesos estocásticos independientes que

permitieron conocer las variaciones en el valor presente producto del cambio en los

supuestos de distribución de tasa de interés y que dejan al descubierto las grandes

** Jesús María Godoy Bejarano es administrador de empresas de la Universidad del Tolima. Cuenta con

especializaciones en Administración de Operaciones y Tecnología, en El comportamiento de la Innovación

en Colombia y en Matemáticas Avanzadas en la Universidad de Ibagué. Cursó una maestría en

Administración con énfasis en finanzas en el Instituto tecnológico y de estudios superiores de Monterrey,

México y actualmente hace un doctorado de Administración en la Universidad de los andes. Está vinculado

al programa de Administración de negocios internacionales de la Universidad de Ibagué. ***

Diego Fernando Téllez Falla es administrador financiero de la Universidad de Ibagué y especialista en

Gerencia de Mercadeo de la misma Universidad. Cuenta a con una maestría en Administración con énfasis en

Finanzas del Instituto Tecnológico de Monterrey de México y hace parte del programa de Administración de

negocios internacionales de la Universidad de Ibagué.

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implicaciones que tiene este supuesto para la toma de decisiones en la presupuestación de

capital. De hecho, la probabilidad de que un proyecto de inversión sea aceptado o

rechazado está sujeta al cambio en la tasa de retorno requerida por el inversionista, pero al

mismo tiempo, a la distribución que describa el comportamiento de las tasas de interés.

Así, aumenta el riesgo debido al problema de error de especificación de la distribución de

probabilidad que subyace a la tasa de interés.

Palabras clave: Valor presente, distribución de probabilidad, tasa de interés, procesos

estocásticos, simulación de Montecarlo.

1 Introducción

Todas las empresas deben tomar día a día decisiones vitales con el fin de garantizar la

permanencia en su mercado y la generación de valor. En el área financiera, las decisiones

pasan, entre otras, por dónde y en qué invertir y por cómo financiar sus nuevos proyectos.

En este sentido, mucho se habla sobre las distintas técnicas de presupuestación de capital

para el desarrollo de nuevos proyectos pero pocas veces se menciona el riesgo al cual se

deben enfrentar los proyectos bajo condiciones cambiantes. Por ejemplo, se estima que

cerca del 47% de los gerentes no tiene en cuenta el riesgo relativo para ajustar sus tasas de

retorno al momento de evaluar un nuevo proyecto.

Por eso, la incorporación de la aleatoriedad en la tasa de interés en los flujos de caja

es un tema de amplio interés e investigación, desde las múltiples perspectivas que autores

como Zaks (2001), Burnecki (2003), Date, Mamon y Wang (2006), Kellison (1991), Pollard

(1971), Boyle (1976), Wilkie (1976), Westcott (1981) y McCutcheon y Scott (1986), entre

otros, que han incluido este fenómeno en modelos de flujos específicos como las

anualidades y los gradientes aritméticos y geométricos.

Es el caso de Zaks (2001), quien al incluir tasas de interés periódicas, aleatorias e

independientes, período a período, con varianzas constantes, en modelos de anualidades, y

gradientes aritméticos y geométricos anticipados, desarrolla fórmulas recursivas para el

cálculo del valor futuro esperado de tales series. Sus fórmulas introducen el

comportamiento estocástico de la tasa de interés sin suponer una distribución específica

acerca de esta sucesión de variables aleatorias. Aunque Zaks (2001) no establece supuestos

sobre la distribución probabilística de la tasa de interés, su revisor, Burnecki (2003), si los

11

hace, al suponer una distribución normal para el comportamiento de las tasas de interés.

Además de considerar tasas de interés estocásticas con distribuciones sucesivas

independientes de media y varianza constantes, Burnecki (2003) asume que la distribución

de las tasas de interés es normal. Con esto evalúa los resultados tanto analíticos como los

que surgen de una simulación.

Por su parte, Date, Mamon y Wang (2006) enfrentan el problema sobre la valuación

de flujos de caja con tasas de interés estocásticas y presentan una nueva aproximación bajo

un sistema de ecuaciones lineales con variables aleatorias. Los autores resaltan otros

métodos basados en distribuciones de probabilidad como la técnica de Látice y la

simulación de Montecarlo.

De otro lado, Jorion (2002) argumenta que la adopción del modelo normal tiene el

efecto de simplificar significativamente los cálculos del VaR2 mientras que Melo y Becerra

(2006) analizan los efectos sobre el VaR tras de adoptar una distribución normal cuando la

realidad corresponde a una distribución t-student o a otra distribución y llaman la atención

sobre el aumento de la probabilidad en las colas cuando los grados de libertad son

pequeños.

Por último Schepper (2002), asume que la tasa de interés es variable con media

constante pero considera la volatilidad (varianza) variable (un proceso estocástico

adicional). Para volatilidad, supone una distribución normal con momentos dependientes

del tiempo. Su investigación analiza los resultados obtenidos de sus procedimientos

analíticos con los resultados obtenidos de una simulación de Montecarlo y concluye que sus

límites son una muy buena aproximación de la distribución del valor presente real.

En términos generales, se han hecho aproximaciones al problema de introducir la

aleatoriedad (procesos estocásticos) de las tasas de interés en los flujos de caja, ya sean

específicos o generales. En muchos casos, los enfoques suponen la normalidad de la

variable tasa de interés en el espacio parametral de tiempo. Este supuesto puede ser

restrictivo o sesgado al producir valores presente que llevan a decisiones contrarias en

relación con la distribución que verdaderamente subyace en el comportamiento de las tasas

de interés.

2 Por valor a riesgo, VaR.

12

De acuerdo con las consideraciones mencionadas, en la presente investigación se

analiza tal sesgo al estudiar el comportamiento del valor presente de un flujo de caja frente

a diferentes supuestos de distribución en la tasa de interés, bajo el ambiente de la

simulación de Montecarlo. Para satisfacer tal propósito, el documento se compone de cinco

partes, a saber: La primera es la introducción. En la segunda parte se hará una descripción

de los aspectos teóricos más importantes en el desarrollo de investigación, como son los

conceptos de anualidad ordinaria y de valor presente; posteriormente, se analizan los

procesos estocásticos y las series de tiempo y su pertinencia en el desarrollo de este trabajo;

a continuación, se aborda el tema de las anualidades con tasas de interés aleatorias;

finalmente, se describe el modelo de simulación de Montecarlo y sus usos en el desarrollo

de trabajos como estos. En la tercera parte se explica la metodología utilizada en este

ejercicio analítico. Al efecto, se discriminan cada uno de los pasos seguidos y actividades

respectivas. En la cuarta se presentan los resultados arrojados por la simulación. Y en la

quinta, se manifiestan algunas de las conclusiones a las que se llegó después de culminada

la investigación.

2. Aspectos teóricos

En aras de la claridad, se definen conceptos básicos fundamentan los análisis desarrollados

en la investigación: tasa de interés, anualidades, procesos estocásticos y distribuciones de

probabilidad.

2.1. Tasa de interés

A la tasa de interés suele denominársele como el precio del dinero ya que es, en sentido

estricto, el pago que se debe hacer por el uso del mismo. Según Samuelson (1999) el tipo de

interés es “la cantidad de intereses pagada por unidad de tiempo expresado en porcentaje de

la cantidad recibida en préstamo”. Es decir, el tipo de interés no es otra cosa que el costo de

adquirir cierta cantidad de dinero expresado en una unidad monetaria.

2.1.1. Tasa de interés nominal. O tipo de interés monetario, es el tipo de interés sobre el

dinero expresado en dinero. La tasa de interés nominal no tiene en cuenta el efecto de la

inflación en el poder adquisitivo de las personas. Su cálculo se estima como:

13

Donde:

2.1.2. Tasa de interés real. Este tipo de interés se obtiene después de incluir el efecto de la

inflación en el tipo de interés nominal o monetario. Este tipo interés mide la cantidad de

bienes que se obtendrán mañana a cambio de los bienes a los que se renuncian hoy

(Samuelson, 1999).

Su cálculo se estima como:

Donde:

La relación entre las tasas de interés nominal, tasas de interés real e inflación se

conoce como el efecto Fisher3

2.2. Anualidades ciertas ordinarias

Una anualidad corresponde a una serie de desembolsos iguales (A) en períodos iguales o

regulares. Esta sucesión de pagos en determinadas fechas es equivalente a un pago hoy (P)

que corresponde al descuento de los pagos a una tasa de interés (i) periódica durante los t

períodos.

3 Peter N. Ireland presenta un detallado análisis del tema en un documento titulado “Long-Term Interest Rates

and Inflation: A Fisherian Approach”

14

Figura 1. Flujo de caja.

El valor presente (P) de esta anualidad está dada por:

(1)

Que con algunas manipulaciones algebraicas se convierte en:

(2)

Siempre y cuando , o en otras palabras la tasa de interés sea constante en el

tiempo.

Además del supuesto de invariancia en la tasa de interés, la fórmula (2) supone que

los pagos, además de iguales a períodos regulares, son ciertos y finitos. Desde luego, la

realidad no es consecuente con el modelo. En la realidad, las tasas de interés, durante el

período en que se presentan los flujos son variables aleatorias. Las consideraciones de

variables aleatorias llevan a un concepto desarrollado por la estadística conocido como un

proceso estocástico.

2.3. Procesos estocásticos y series de tiempo

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias ,

, cuya observación particular o muestra se representan como:

, si la observación se realiza entre los períodos 1 y n. La sucesión de

variables aleatorias durante n períodos corresponde a un proceso estocástico finito mientras

que si , se le considera un proceso estocástico infinito.

Dado que Yt es una variable aleatoria en el momento t, posee una distribución de

probabilidad teórica o empírica. Si la distribución es normal con media cero:

se le denomina un proceso de Ruido Blanco Gaussiano.

n

tt

ti

AP

1 1

i

iAP

n11

iit

tY

,....,2,1,0,1,2,...,t

nyyyy ,...,,, 321

,....,2,1,0,1,2,...,t

),0(~ 2Nyt

tn-1

P

t1 t2 t3 tn

A

15

Dado que cuándo se analiza una anualidad, la tasa de interés en los períodos de

cálculo puede cambiar, entonces la sucesión de posibles tasas de interés debe

tratarse como un proceso estocástico y estudiarse las posibles variantes al cambiar las

distribuciones de probabilidad asociadas a cada .

Por simplicidad, en este ejercicio, se tratan tasas de interés idénticamente

distribuidas durante la vigencia de la anualidad. Así, la función de distribución en un punto

t (para el caso de variables aleatorias continuas como lo es la tasa de interés) está dada por:

(3)

Dónde es llamada la función de densidad o función másica de probabilidad no

negativa.

Se debe cumplir para ésta función que:

(4)

Durante el desarrollo de este trabajo, se analizan las siguientes funciones de

densidad: distribución normal, distribución uniforme, distribución exponencial, distribución

beta, distribución Log normal, distribución gamma y distribución histórica.

1. Distribución normal. Esta distribución es la más comúnmente usada y sugerida

implícitamente por los autores, sustentados en el teorema del límite central. Para este

trabajo se constituye en la distribución de referencia sobre la que se analizan los resultados

de la aplicación de otros modelos de probabilidad en la ejecución de la simulación.

La función de densidad para el modelo de distribución de probabilidad normal está dada

por:

(5)

2. Distribución uniforme. Si la probabilidad de ocurrencia es proporcional a la longitud del

intervalo, se puede decir que la variable tiene una distribución uniforme. En ella todos los

eventos tienen la misma probabilidad de ocurrencia. La función de densidad para el modelo

de distribución de probabilidad uniforme está dada por:

(6)

niiii ,...,,, 321

ti

tt i

t

i

t diifidFiF )()()(

)(if

1)( diif

22 2/)(

2

1)( xexf

21

12

;1

)( xxf

16

3. Distribución exponencial. Se utiliza en el cálculo de probabilidades para el tiempo entre

dos sucesos y supone la independencia en la ocurrencia de los mismos. Su función de

densidad está dada por:

para toda (7)

4. Distribución Beta. Sirve para el estudio de variaciones, a través de varias muestras, de un

porcentaje que representa algún fenómeno. Su función de densidad está dada por:

(8)

5. Distribución Log normal. Es una distribución asimétrica, que comienza en cero, aumenta

hasta llegar a un máximo para luego disminuir lentamente hacia el infinito. Su función de

densidad está dada por:

(9)

6. Distribución gamma. Es una distribución de probabilidad con dos parámetros k y λ. La

función de densidad para valores x > 0 está dada por:

(10)

7. Distribución histórica: Para el cálculo de esta distribución, se toman 110 datos

correspondientes al comportamiento de la tasa de interés real mensual para Colombia. El

periodo de análisis corresponde al tiempo transcurrido entre marzo de 1998 hasta abril de

2007.

Aunque el análisis con estos modelos puede considerarse representativo, los

materiales de enseñanza generalmente desarrollan la modelación con el supuesto de

normalidad de la tasa de interés, con lo cual el análisis se restringe sin considerar las

consecuencias de un sesgo de distribución para cada punto en el espacio de estados del

proceso estocástico. Además, se considera que la función de densidad no cambia a través

del tiempo, lo que permite facilitar el análisis pero también limita la interpretación o uso de

los resultados.

2.4. Anualidades con tasas de interés aleatorias

Si la tasa de interés corresponde a un proceso estocástico, entonces la fórmula de valor

presente de la anualidad no se puede resumir como:

xexf )( 0x

11 )1()()(

)()( ba xx

ba

baxf

22 2/)(ln

2

1)( xe

xxf

17

y se tendrá que:

O de forma equivalente:

(11)

Donde t corresponde a un índice que señala el número del pago.

Si , o en otras palabras, la tasa de interés es constante durante el plazo, entonces

la fórmula se convierte en la fórmula (2).

Para analizar las consecuencias de la introducción del proceso estocástico se puede

proceder de dos formas: el enfoque analítico y la simulación de Montecarlo. La primera

corresponde a un enfoque analítico, en el que se supone cierto patrón de comportamiento en

las variables aleatorias del proceso estocástico y luego se deduce fórmulas para caso.

Este procedimiento implica expresar P como una función de las variables aleatorias

para obtener luego la distribución de P como distribución marginal. Si se supone que i1,

i2,…, ik, tienen la función de densidad f(i1, i2, … , ik) y se desea obtener la función de

densidad de P(i1, i2, … , ik) se puede eliminar una de las i, p.ej. i1, en función P, y se

resuelve la ecuación:

P(i1, i2, … , ik)=P

Con respecto de i1 se obtiene una función i1(P, i1, i2, … , ik), o varias funciones de

este tipo i1i(P, i1, i2, … , ik). Si u no es función monótona de i1.4 Dado que si lo es,

entonces es posible utilizar la equivalencia5

4 Se puede demostrar que P si es monótona para i>0.

5 Se define como igual al valor absoluto de

n

tt

ti

AP

1 1

)1)...(1)(1)(1(...

...)1)(1)(1()1)(1()1(

321

321211

niiii

A

iii

A

ii

A

i

AP

n

tt

k

k

t

i

AP

1

1

)1(

iik

18

(12)

La cual permitiría establecer que:

(13)

A partir de la cual puede hallarse la función de densidad de P, integrando g respecto

a i1, i2,…,ik.

Para efectos del presente trabajo se considera la segunda forma, la simulación de

Montecarlo, por su facilidad de implementación y comprensión de resultados. La

aplicación de la misma permite que los datos obtenidos se comparen según sus

distribuciones de probabilidad y que la diferencia entre los valores facilite la evaluación de

la conveniencia para la valoración de los flujos de caja que se comportan como una

anualidad.

2.5. Simulación de Montecarlo

La simulación de Montecarlo es una técnica de simulación, bastante popular en el ámbito

de los negocios con la proliferación de los sistemas computacionales y por la posibilidad

que éstos ofrecen para la modelación de los sistemas y la generación de números aleatorios.

Esta técnica consiste en la generación de números aleatorios, que siguen una distribución

determinada (teórica o empírica), y que se usan para afectar un sistema con estructura y

relaciones determinadas. Una vez se ha afectado el sistema, se realiza la medición de

resultados y se analiza estadísticamente en términos de valor esperado, varianza y error. Si

se satisfacen los requerimientos de error máximo se utilizan los valores de interés

encontrados o, de lo contrario, se generan mayor cantidad de números aleatorios hasta

lograr el límite establecido en el error.

19

Figura 2. Flujo de información en la Simulación de Montecarlo.

3. Metodología

Para el examen de las anualidades descontadas con tasas de interés que siguen un proceso

estocástico, se ha considerado pertinente estructurar el análisis basado en la técnica de

simulación de Montecarlo. Esta técnica implica los siguientes pasos:

1. Definición de un sistema, con entradas aleatorias y elementos determinísticos. Para

efectos del presente análisis se consideran como elementos:

a. Aleatorios: El valor de la tasa de interés periódica que permite descontar los flujos para

cada período en que tenga vigencia la anualidad. Este elemento aleatorio tiene siete

posibles distribuciones de densidad: Normal (que servirá de referencia), uniforme,

exponencial, beta, gamma (de mejor ajuste), histórica y Log normal.

b. Determinísticos: Los elementos determinísticos son la duración o plazo de la anualidad,

la regularidad en los pagos, el valor fijo de los pagos y las relaciones matemáticas que

definen el descuento financiero.

c. Un sistema de relaciones definido (determinístico) por:

n

tt

k

k

t

i

AP

1

1

)1(

20

El sistema de relaciones corresponde al valor presente de una anualidad vencida

cierta ordinaria. En éste se ha supuesto la ley del interés compuesto para el descuento de

los flujos periódicos.

2. Generación de un conjunto considerable de realizaciones correspondientes a las

variables de entrada aleatorias. En este punto se considera que la tasa de interés es una

variable aleatoria6

con distribuciones: normal (que sirve de referencia), uniforme,

exponencial, beta, gamma, histórica y Log normal que conforman los procesos estocásticos

de interés. La cantidad de números aleatorios generados depende del nivel de precisión

establecido para el análisis que para este caso es del 99%.

3. Introducción de los números aleatorios generados en el paso 2, en la fórmula (o

representación del sistema) establecida en el paso 1. El resultado de la introducción de la

variable aleatoria en la fórmula permitirá calcular todos los posibles valores presente de la

anualidad bajo diferentes distribuciones.

4. Adopción de medidas correctivas en caso de que surjan problemas con los

requerimientos de precisión o de distribución. La simulación se desarrolló bajo el ambiente

del software Comercial Crystal Ball Ver. 2000.

4. Simulación y resultados

Para la simulación de Montecarlo se construyó una hoja electrónica con siete anualidades

por valor de 1.000.000 durante 10 períodos que, para efectos prácticos, corresponden a 10

años.

6 O mejor llamadas pseudoaleatorias.

1 2 3 10 9 8 ........

1

0

21

Para cada una de estas anualidades se generaron 100.000 números aleatorios,

correspondientes a la tasa de interés para cada período, distribuidos de acuerdo con los

modelos de probabilidad especificados antes (normal, histórica, beta, exponencial, gamma,

Log normal y uniforme) y se calcularon luego 100.000 valores presentes. Con el fin de

determinar la distribución de probabilidad de mejor ajuste, se realizaron las pruebas de

bondad de ajuste Anderson-Darling, Chi-Square, y Kolmogorov-Smirnov. Los resultados

obtenidos se presentan a continuación.

Tabla 1. Pruebas de bondad de ajuste de la rentabilidad real

a un conjunto de distribuciones

Fuente: Los autores

Como se observa en la tabla, después de aplicadas las pruebas se determinó que la

distribución de mejor ajuste es la distribución gamma. Los resultados de la simulación de

Montecarlo se presentan en la tabla 2.

Anderson-Darling: Chi-Square: Kolmogorov-Smirnov:

Statistics 2,2120 27,6727 0,1334

Best fit: Gamma Gamma Weibull

Normal 9,5688 95,9636 0,2326

Triangular 21,2258 79,8182 0,3427

Lognormal 5,0355 47,0909 0,1848

Uniform 54,2685 191,3091 0,4913

Exponential 23,5205 263,5273 0,4367

Weibull 2,6714 30,9455 0,1334

Beta 44,0153 31,8182 0,1674

Gamma 2,2120 27,6727 0,1338

Logistic 7,0472 86,3636 0,1758

Pareto 5,6897 34,2182 0,2078

Max Extreme 4,8931 42,2909 0,1742

Min Extreme 13,4049 195,6727 0,2644

Student's t 9,0447 82,2182 0,2667

22

Tabla 2. Estadísticas del valor presente resultantes de la simulación

para cada modelo de probabilidad

Fuente: Los autores

Para caracterizar mejor las distribuciones resultantes de cada anualidad se calcularon los

quintiles como se muestran en la tabla 3.

Tabla 3. Quintiles de la distribución del VA de cada anualidad

Fuente: Los autores

Como se puede apreciar, algunos resultados parecen no alejarse significativamente

de los resultados teóricos, soportados en el Teorema del Límite Central. Sin embargo los

dos primeros momentos: la media y la varianza de algunas distribuciones como la beta, la

exponencial, y la uniforme si presentan diferencias significativas en relación con el modelo

de referencia, la distribución normal. (Ver tabla 2). El uso de una distribución teórica frente

a la distribución apropiada para los datos de tasa de interés puede introducir errores que

para algunos casos no supera el 1%, pero que para otros puede generar diferencias hasta de

un 20% en la estimación de la media del valor de la anualidad, tal y como se puede apreciar

en la tabla 4.

Modelo de

probabilidad

Media Mediana Coeficiente

de variación

Mínimo Máximo Rango Error

estandar

Normal 5.943.880 5.921.066 7% 4.459.504 8.280.361 3.820.857 1.390

Histórica 5.945.294 5.987.914 7% 4.078.545 7.051.626 2.973.081 1.295

Beta 6.539.622 6.543.843 2% 6.015.392 6.911.474 896.082 318

Exponencial 6.132.339 6.155.087 15% 2.389.759 9.231.793 6.842.033 2.954

Gamma 5.920.365 5.950.775 6% 3.851.417 6.993.199 3.141.782 1.216

LogNormal 5.948.444 5.962.356 6% 4.163.582 7.275.305 3.111.722 1.113

Uniforme 4.801.119 4.780.877 8% 3.618.755 6.507.414 2.888.659 1.276

Percentiles Normal Histórica Beta Exponencial Gamma (mejor

ajuste)

LogNormal Uniforme

0% 4.402.945 3.995.885 6.057.216 2.281.279 3.986.776 4.102.471 3.653.190

20% 5.567.823 5.597.864 6.457.171 5.336.487 5.604.294 5.655.233 4.447.968

40% 5.810.254 5.872.955 6.518.948 5.917.521 5.850.110 5.869.279 4.674.397

60% 6.030.752 6.091.167 6.569.885 6.406.489 6.049.363 6.047.473 4.885.289

80% 6.300.470 6.307.446 6.626.739 6.945.537 6.256.240 6.247.920 5.142.445

100% 8.211.879 7.034.696 6.897.684 9.403.678 7.065.872 7.326.784 6.462.258

23

Tabla 4. Diferencias, en términos porcentuales, entre los valores esperados

del valor presente generados por la simulación de diferentes modelos

y dos distribuciones de referencia.

Fuente: Los autores

Las implicaciones de estos resultados son críticas, cuando la decisión debe tomarse con el

valor presente neto. Si se supone que la inversión necesaria para generar el flujo de cada

presentado en la simulación es de $6.000.000, entonces existen diferencias en las

probabilidades de que el proyecto sea rechazado. Ver tabla 5.

Tabla 5. Probabilidad de que el proyecto sea rechazado de acuerdo con los supuestos

de distribución de la tasa de interés.

Fuente: Los autores

Como puede apreciarse, la probabilidad de rechazo es mayor para el modelo de distribución

uniforme, siguiéndole la distribución de probabilidad normal, mientras que es menor para el

modelo de distribución beta. De acuerdo con estos resultados, el supuesto simplificador de

Modelo de

probabilidadNormal Histórica

Normal 0,000% -0,024%

Histórica 0,024% 0,000%

Beta 10,023% 9,997%

Exponencial 3,171% 3,146%

Gamma -0,396% -0,419%

LogNormal 0,077% 0,053%

Uniforme -19,226% -19,245%

Distribuciones de referencia

Supuesto De

distribución de tasa

de interés

Probabilidad de

rechazo

Normal 57,13%

Histórica 51,09%

Beta 0,00%

Exponencial 43,50%

Gamma 55,21%

LogNormal 54,32%

Uniforme 99,71%

24

usar la normal como generador de la tasa de interés disminuye en un 6,04% la probabilidad

de aceptar un proyecto, cuando la distribución subyacente a las tasas de interés sigue un

proceso estocástico con distribución histórica. Para los otros casos, la disminución en la

probabilidad de aceptar un proyecto disminuye en 57,13% para la distribución beta, 13,63%

para la exponencial, 1,92% para la gamma y 2,81% para la log normal. Para el caso de una

distribución de probabilidad uniforme, el supuesto de usar la normal como generador de la

tasa de interés aumenta la probabilidad de aceptar un proyecto en un 42,58%.

En términos generales, se evidencia un factor de riesgo asociado a la tasa de interés,

que corresponde al riesgo de especificación del proceso estocástico generador de la tasa de

descuento del flujo de caja y que puede afectar la decisión final de aceptar o no un

proyecto.

5. Conclusiones

Este documento deja al descubierto las implicaciones sobre el valor presente, y la

aceptación o rechazo de un proyecto, con tasas de interés estocásticas. A través del modelo

de simulación de Montecarlo, se encontró que el valor presente de una anualidad puede

variar en función de la distribución de probabilidad que rige la tasa de interés. Este hecho

es de gran importancia ya que enciende alertas sobre la necesidad de considerar el error de

especificación, en la selección de funciones de densidad que no correspondan con las

subyacentes al proceso estocástico que generó la serie de tasas de interés, en la evaluación

de un proyecto o alternativa de inversión.

Este componente de riesgo, que generalmente no se considera en los análisis

tradicionales, altera la probabilidad de rechazo o aceptación en las decisiones en donde se

use el valor presente neto para evaluar flujos de caja que se comporten como anualidades

ordinarias. Así, si la distribución generadora del proceso estocástico es la distribución beta

y se hace un análisis del valor presente, con la aplicación como supuesto de la distribución

normal de la tasa de interés, se genera un valor esperado del indicador VPN 10,02% inferior

al que corresponde al flujo de caja, mientras que si la distribución generadora fuera la

uniforme, el supuesto de normalidad arroja un valor presente esperado 19,2% superior al que

corresponde.

Una conclusión importante es la relacionada con la distribución del valor presente.

De acuerdo con la simulación, la distribución de probabilidades del indicador de valor

25

presente muestra forma simétrica para la mayoría de los procesos estocásticos

independientes pero con colas más anchas o más delgadas para cada proceso generador.

Esto significa que las probabilidades de rechazo cambian substancialmente debido al

tamaño de la cola y proyectos que sean aceptables asumiendo la distribución normal, se

vuelven inaceptables si la distribución subyacente es otra.

En términos prácticos y desde el punto de vista del evaluador, la consideración del

valor presente como única medida de un flujo de caja, implica ignorar el riesgo de

especificación de tasa de interés lo que aumenta la incertidumbre en la toma de decisiones.

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