anualidades vencidas v

7/22/2019 Anualidades Vencidas v

1/31

1,

..1 ::-,*:';il{li:r#i14E+*ffi,.. Anualdadesvcncidas,anticipadas

U dfenidasEl dinero proporciona algo de felicidad.

Pero a partir de ciern momentoslo proporciona ms dinero.NeilSimon

@ objetivos{#

Al finalizar el estudio de este captulo el alumno podr:Identificar, definir y explicar los diferentes tipos de anualidades.Identificar situaciones en donde se apliquen las anualidades.Plantear y resolver problemas de anualidades vencidas, anticipadasy diferidas.


2/31

lntroduccin

Utilizando los pagos o abonos como criterio de clasificacin, las anualidades pue-den ser:

clasificacin, las anualidades pueden ser:'-. -'** ',," IUtillzbndotos intereses como criterio de' Ii

Por ltimo, si se utiliza el momento de iniciacin de la anualidad como criteriode clasificaciry las anualidades pueden ser:


3/31

Cap. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasTomando una caracterstica de cada uno de los diferentes criterios de clasifi-

cacin, es posible forrnar 16 tipos diferentes de anualidades. Por ejemplo:,, it' Anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas.:'i;rr fins]ldades contingentes, generales, vencidas y diferidas.r ,i.' Anualidades ciertas, simples, anticipadas y diferidas, etctera.De los 16 tipos de anualidades que se pueden formar, las ms usuales son:' , '' Las anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas, conocidas simple-

mente como anualidades vencidas.' 'r Las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas, conocidas sim-plemente como anualidades anticipadas., 'i' Las anualidades ciertas, simples, vencidas (o anticipadas) y diferidas, co-

nocidas simplemente como anualidades diferidas.

@1. ZQu es una anualidad?2. ZCules son los cuatro criterios de clasificacin de las anualidades?3. ZCules son los tres tipos ms comunes de anualidades?4. Una persona compra una bicicleta a crdito mediante 18 pagos quince-

nales de $172 cada uno. Identifique la anualidad, el periodo de pago yel plazo de la anualidad.

5. D un ejemplo de anualidad,a) vencidab) anticipadac) vencida, diferidad) anticipada, diferida

.d#@'i'* g. -ffi- Anualidades vncidas'0, .,*' ,f, ,a " ,, qr*"{r


4/31

Anualidades vencidasEl monto de una anualidad vencida es el valor cumulado de una serie depagos iguales efectuados alfila] de cada periodo de pago. lor,,i.,,rr.in se pre_senta un ejemplo del clculo del monto de u.ra ".r.r"lid vencida.Suponga que se depositan $1000 al final de cada;;r-;; un banco quepaga una tasa de inters de 1.5%o mensual capitalizable cada mes. ZCul ser elmonto al finalizar un ao?El diagrama de tiempo es el siguiente:

1 000 1 000 1 000 1000 10000 11 12MCSCS-donde Fes el monto de la anualidad.Note que el cero en el diagrama de tiempo corresponde ar momento actuary coincide con el inicio del mes l. El nmero I marcaJo en el diagrama de tiem_po corfesponde al final del mes I y coincide con el inicio del mes 2, y as sucesi_vamente.Al diagrama de tiempo anterior tambin se le conoce como diagrama de flujode efectivo. Se denominan flujos de efectivo a las entrada, y r"li", de dinero. Eneste ejemplo se tiene un flujo de efectivo de $ l0O0 -".,rrruiO J.rrante 12 meses.^ _Debido a que los depsitos se realizan al final de c"dul mes, los primeros$1000 ganarn intereses por ll meses, los segundos $IOOO ganarn interesespor l0 meses, etc. El ltimo depsito no gana intereses. El mont de la anualidades la suma de todos los depsito, -".rrrr.l y su correspondiente inters compues_to, acumulado hasta el trmino del plazo. Si la fecha focul se localiza en el doceavomes, el monto de la anualidad viene dado por la siguiente ".rru.ii'de valor:F : 1 000(1.015)" + 1 000t1.015)10+ 1 000[1.015)e+ . . . + r 000i1.0]5J+ 1 000F: 1000[[1.015)r' + [1.015)'0 + (1.015)e +... [1.015) + 1]F: $13 O4t.Zl

. El inters compuesto ganado por la anualidad es la diferencia entre el montoy el total depositado:Intersganado: 13041.21 _ tiOOO)ttZ): $l O4t.Ztcuando el nmero de pagos o depsitos es muy grande, el mtodo anteriorara obtener el monto de la anualidad resulta -"y'i"uo.ioro. A .orrtirruacindeducir la formula generar para obtener el monto o rrrlo,. frirr.o de una anua-cierta, simple, vencida e inmediata.considere una anualidad vencida en donde r{ es el pago o depsito hechofinal de cada uno de n periodos. sea r la tasa de inters i.? p"rr.a", expresadaforma decimal. El diagrama de tiempo es:


5/31

6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

AAAAAAA0 1 2 3 (n-3)(n-2)(n-1) n meses

FYa que el primer pago se realiza al final del primer period o, ganarintereses porfu - 1) periodos. El segundo pago ganar intereses por (n - 2) periodos, etc. Elpago final no genera intereses. Si 1a fecha focal se Iocalizaen el periodo n, entoncesel monto o valor futuro de la anualidad viene dado por

F : A(1 + t"-t + A(7 + i)"-2 + A(1 + i)"-3 ... + A(t + a + A0 + ilz+A(r+r)+AFactorizando:F: A[(I + )'-t + (1 + i)"-z *(] +,-, +... + (t + r + (l +t,+(l+t+11

O bien:F:Att +(1 +t + (t+i)2 +(l + i)= +...+t1 +i),-3 +(1 + r),-2+ [t + )"-1]Los trminos de la expresin entre corchetes forman una sucesin geomtrica,donde:

_ _16lt- Lr:(7*i)

Aplicando la ecuacin (3.4) para la suma de n trminos de una sucesingeomtrica, se obtiene:" _ at(l-r') _ 1[1-[1+i)"1 _ 1-[1+l)" (t+t),-l\)--

-" I-r 1-[1+) -i i

Como:(1+)'-l : [t +(t ++[t +)r+(t *i)3 +... +tl +i),-3i +(l+ i)"-2+(1 +'-t1Entonces:


6/31

Anualidades vencidas

eemnro @Resuelva el ejemplo dado al principio de la presente seccin usando la ecua-cin [6.]).

: 1000 pesos mensualesi = 7.50/o mensual : 0.015 por mesn: 12 meses

F:1000 'lr l-7556180-01.19Ir000I.2I4

1l$i:

5)rtt5F

0.010.0

l+

eempro ffiEl pap de un nio de 10 aos empieza a ahorcar para q11e su hio pueda estu-diar una carrera universitaria. Planea depositar $2000 en una cuenta de ahorroal final de cada mes durante los prximos B aos. Si la tasa de inters es de 9%0,a) Zcul ser el monto de la cuenta al cabo de B aos?b) Zde cunto sern los intereses?

)S sotu.ion,a) Debido a que en el presente captulo se manejan nicamente problemas deanualidades simples, no es requisito fundamental mencionar el periodo de capi-talizacin; se sobreentiende que ste coincide con el periodo de renta. Por tanto,el periodo de capitalizacin es mensual.: $2000i : 9o/oanual : O.7 So/omensualn: (8 aosXl2 meseVao) : 96 meses

F:2000[(l + o.oozs)'u - l-l : rooolz.o4sszrzzl- tf"L o.oo7s I -"""1 o.oo7s IF: $279712.33


7/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasb) En B aos el pap deposita un total de ($2 000 por mes) [96 meses) : $ 192 000.Por tanto, el inters ganado ser:I: 279712.33 - 192000 : 587 712.33elemnlo #con referencia al ejemplo anterior, suponga que el depsito de $2000 men-suales se efecta nicamente por 5 aos y el resto del tiempo se deposita $3 000mensuales. Obtenga el monto final y el inters ganado.ts sotucin:El diagrama de tiempo es:

ooooooOOO_ c{ ,. E-{ f{ c\l c c} :F--,.-*+, -- .: :ii .r..... -.:.i,.:: ,,..:i:-,+r:..:i:_.i:., ..;,. ,--oooOOO()OO0123fn2

:r I :::i:-,:t .'. -1.- a::.: -:- : i. _: .-:.rlil'l..';::l:i,.

El problema se resuelve en 3 partes.1a. ParteSe calcula el monto de $2 000 mensuales por 5 aos (60 meses)

F t: zooo flJ: !'mZ!l-J-l : *,ro B4B.'73BL 0.007s _J2a. ParteAl final de los 5 aos se tiene un monto de $ 150 849.2739. Esto se muestra en elsiguiente diagrama de tiempo.

COF\tcct$g 3000 3000 3000 'j::: j:rjfr '.:::: :0 ' ..95 96messF:

i,94i

_3i.:6'!,',:i:..''1.,:: 62 ' ,,


8/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

,il'

@tlntnoduccin

Una.anualidad se define cofr.ro ur.ra serie de pagosgeneralmenteigua,les*eatrigdosen intervlos de tiempo iguales. El trmino anualidad parece imflrcar'que ltspu-gos se efectan cada aor,sin er,nbargo,,esto no es necesaria-rnente.as$,y,agqq. lospagos pueden ser mensuales, quincenales, etctera

Son ejemplos de anualidades el cobro quincenal del sueldo, el pago mensual dela renta de la casa, los abonos mensuales para pagar una computadora comprada acrdito, el pago anual de la prima del seguro de vida, los dividendos semestraiessobre acciones, los depsitos bimestrales efectuados a un fondo de jubilacin,etctera.El concepto de anualidad es de gran impotancia en matemtica financieraya que es muy fiecuente que las transacciones comerciales impliquen una seriede pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago nico reali-zado alfinal del plazo.Lergerminosde renta; pag-b- petidico, abono u otros, pueden ,rliet " .rtlugar de ariualidad.El tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama peridd$de pago

o peri'odo de renta. El periodo de pago puede ser anual, semestral o n{'&tsual, en-treotros.Al tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el fi-nal del itimo se llama plam de laanualidadeiemuo@una persona compra un televisor pagando 12 mensualidades de $485 cada una.Identifique la anualidad, el periodo de pago y el plazo de la anualidad.

Solucin:La anualidad, renta o abono es de $485. El periodo de pago es un mes y el plazode la anualidad es de un ao.Existen cuatro formas de clasificar las anualidades. Utilizando el tiempocomo riteri de clasificacin, las anualida{es.prgden ser:


9/31

Anuolidades vencidas 2OlA continuacin, se obtiene el monto de $ 150 848.27 38 por 3 aos [3 6 meses),

mediante la formula del inters compuesto:Fz : 150 848.2738 [1 + 0.0075)'u : $197406.8952

3a. ParteSe calcula el monto de la anualidad de $3000 mensuales durante 3 aos[36 meses):

F : $320 865.05Hasta este momento se ha determinado e1 valor futuro de una anualidad ven-

cida. Ahora se abordar el problema de determinar el valor presente o valor actualde una anualidad vencida; esto es, el valor a1 comienzo del plazo.

El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valorespresentes de todos los pagos. Veamos un ejemplo. Suponga que una persona vaa iiquidar una deuda mediante 4 pagos mensuales de $lig:.ZZ cada uno, queincluyen intereses a 3% mensual con capitalizacin cada mes. Se desea obtenerel valor presente de los pagos.

El diagrama de tiempo es:

1183.72 1183.72 1183.72 1183.720 1 2 3 4mesesP

donde P es el valor presente de los pagos.Si ia fecha focal se Iocaliza en el momento actual, entonces se puede formar

la siguiente ecuacin de valor:_ 1183.72 | r83.72 I183.72 I t83.72t:--f-T----^T-I .03 1.03r i.03' I .030

La expresin anterior se puede escribir como:p: rrB3.72 (1.03)-r + 1183.72 (1.03)-'z + 1183.72 (1.03)-3+ 1r83.72[1.03)-','P: $4400

$4 400 es e1 valor actual de 4 pagos mensuales de $ 1 183.72 cada uno. $4 400es el capital pedido en prstamo por el deudor.

+los

Ir:deF,

F::3000El monto total al final

t- r - r2T

0.0075)36 - : $123 458.1484madeF yFr,

123 4s8.r484SU+

rl1as52

0.0075B aos ser197406.89


10/31

-Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

El valor presente de una anualidad admite dos interpretaciones. Suponga queen lugar de pagar una deuda de $4400, se deposita este dinero en una cuentaque paga 3%o mensual capitalizable cada mes; el valor presente se interpreta dela siguiente forma: $4400 depositados a 3%o mensual capitalizable cada mesproducirn un monto exactamente igual que el obtenido al depositar $1183.72cada mes, durante 4 meses:F:44oo (1 + 0.03)4 :54952.24

F- s49s2.240.03Lo anterior indica que el valor presente de una anualidad se puede obtenermediante la formula del inters compuesto, calculando el valor presente de1 monto

de la anualidad.La segunda interpretacin del valor presente de una anualidad es la siguiente:el valor presente es 1a cantidad que se debe invertir en este momento para efectuarcierto nmero de retiros en el futuro. Esto es, si una persona invierte en este

momento $4400 a 3% mensuaT capitaTizable cada mes/ entonces podr retirar$1183.72 cada mes, durante 4 meses, al final de los cuales la cuenta estar enceros. La siguiente tabla demuestra esta afirmacin:

, ir{nteis'd,r%:mensai : & +00} to:o3J ,f }} * $132.00deltuest{do,me..,..t,'

lnters de. 370 menjual,= (2 2 65. 0t I [&03]. i 1].!.Monto llprincipio {el uattorriies

$ii1.i"89

Existen muchos tipos de anualidades que se manejan de 1a forma mostradaen la tabla anterior. Por ejemplo, 1os planes de jubilacin como las AFoRE, yaque durante la vida productiva del trabajador se realizan depsitos a un fondocreado para este propsito. Al momento de la jubilacin, el monto obtenido pagauna cantidad fija a intervalos regulares, generalmente cada mes. Despus depasado cierto tiempo el fondo se agota. La suma obtenida por el trabajador alinicio de la jubiiacin es el valor presente o actual de la anualidad.

Ir8372[ [1+ 0.03)4 - 'l


11/31


En seguida se deducir la formula general para obtener el valor actual de unaanualidad vencida.Considere una anualidad vencida en donde.4 es el pago o depsito hechoal final de cada uno de n periodos. Sea i la tasa de inters por periodo, expresadaen forma decimal.El diagrama de tiempo es:

Si la fecha focal se localiza en el momento actual y P representa el valorpresente de la anualidad , entonces:^AAAAAA_(t+t)'(t+Dz (t+)3 1*1{z-z) (l+i)(n-r) (l+i)'p:A(t +-t +A0 +i)-2 +,4(t +i)-3 +... + A(I +i)-t"-zt+ A(l + i)-(-lj + A(l + i)-"

Factorizando:P : A[(t + t)-r + [t + i)-z +[t + -t +... + (l + i)-'*z+ (l + i)-'*t+ [1 + t-"]Los trminos de la expresin entre corchetes forman una sucesin geomtrica, donde: ar: (1+ i)-tr: (l + i)-'Sustituyendo estos valores en la ecuacin (3.4), se obtiene:

n - a{\-r") - (t+)-t[l-(1+ i)-'l - (t+)-1[t-(1+i)-']en I-r t-(t+i)-r 1 l'-(r+t)$- (t+)-tlt-[l+t)-'] _ [t + )0 + F][t - 0 + )-']il+t)-l(D 11-tl+i)-'l$-

Como,I - (l+ t)-' : (t + ;)-, + (lI

i+ i)-2 + (l + -r + ... + (l + i)-"*2+ [1 + i)-r+r + [t + t)-'


12/31

Cap. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasEntonces:

6.2)La ecuacin [6.2) es la formula para obtener el valor presente o valor actual deuna anualidad vencida.

jmero @iCul es el valor presente de $5000 depositados en una cuenta al frnal de cadatrimestre durante 4 aos, si la tasa de inters es de 14% capitalizable en for-ma trimestral?

)ffi Sorucin:3.570 trimestral

ao) : 16 trimestres5 000 0.035

P: $60470.58El valor actual de la anualidad es $60470.58. Esto significa que al depositaresta cantidad de dinero en este momento, se tendr un monto, al final de cuatroaos, igual al que se obtendr depositando $5 000 cada trimestre durante 4 aos,siendo la tasa de inters de 14o/o capitalizable cada trimestre, en ambos casos. Laotra interpretacin es la siguiente: si se depositan $60470.53 a una tasa de inte-rs de 14o/o capitalizable cada trimestre, entonces se pueden retirar $5 000 cadatrimestre, durante 4 aos.eiemuoffiRaquel desea jubilarse en este ao y cree que una mensualidad de $ l0 000 durantelos siguientes 20 aos ser suficiente para vir bienl. ZCunto dinero debe teneren su fondo de retiro para poder retirar la cantidad deseada, sabiendo que ste1e paga 12o/o anual capitalizable cada mes?@ I Podemos suponer que 20 aos es su esperanza de vida. Adems, no se est tomando en cuentala inflacin.

reV-(l - 0.57670591t:)-ru.03.035I0 'l


13/31


)@ sotu.ton': 10000i: l2o/o anual : l% mensualn:24O mesesp : r0000 ft - (l + o'ol)'oo-l : *nor194.16L o.0r _l

$908194.16 depositados a I7o/o capitalizable cada mes producir Z4Opagos mensuales de $10000 cada uno; es decir, un total de $2400000. Ladiferencia entre el valor actual y la cantidad total recibida es el inters com-puesto ganado.Inters compuesto ganado : 2400 000 - 908194.16 : $ 1491 805.84

jmpto ffiUn distribuidor de automviles ofreci a un cliente un coche nuevo mediante unpago inicial de $28000 y 30 pagos mensuales de $3650 cada uno. Si se cargauna tasa de inters de 2.5o/o mensual capitalizable mensualmente, encuentre elvalor de contado del automvil.

ts sotucin:Valor de contado : Pago inicial * Valor actual de las mensualidadesComo:,4:3650

:7.50/o mensualn:30 mesesEntonces:

Valordecontado : 2g000 + 3650 fl - (r + o'ozsl*tlL o.ozs -lValor de contado : 28 000 + 76 395.57 : $ 104 395.57

eiemnro @El seor Jimnez desea vender su casa ubicada en la ciudad de Los Angeles,California y recibe las tres ofertas siguientes:


14/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasIa. Oferta:350O00 dlares de contado.2a. oferta: 100000 dlares de contado y 10 200 dlares al mes durante 30 meses.3a. Oferta: 11000 dlares al mes durante 3 aos, sin enganche.

Tomando como base una tasa de inters de 0.6% mensual convertible cadames, icul de estas ofertas es la ms ventajosa para el seor Jimnez?

@ =o'u''un'Para comparar las ofertas recibidas es necesario determinar los valores de con-tado equivalentes. Esto es, el valor presente de la anualidad ms el pago inicial, silo hubiera.La. Oferta

Precio de contado: 350000 dlares2a. Ofertnpreco de contado :100 000 + 10 200 [l - cl t g'-o-oalto I : ,rn z76.7tdlares3a. oferta L 0'006 I

precio de contado: il000 fr - cl t g'-o-ool*t l :,r, tgl.z4dlaresL 0.006 ISobre la base de los precios de contado a los planes de pagos en abonos, lasegunda oferta es la mejor.eemoro ffi

" ZGunto se tiene que depositar cada quincena en una inversin que gana el 8.55%ocapitalizable quincenalmente, para tener $200000 al final de 5 aos?Lffi solucon,revDebido a que $2000O0 son un valor futuro, es necesario despejar de la formuladel monto de una anualidad.F: 200000, : 8:5,5 : o.35675o/oquincenal24n : (5 aos) [24 quincenas/ao) : 120 quincenas


15/31

SiF : "1ry--l, "r,.or,.", Fi : A[(r + , - t] y, portanto,^_ Fio- [t+i)'-]Sustituyendo los valores numricos:

fl- (200 000x0.003s62s) : $1338.64[1+0.0035625)]20-tSe tiene que depositar $ I 338.64 cada mes con el fin de tener $200 000 al finalde 5 aos.Conocido el valor de la anualidad se puede calcular la cantidad ganada porconcepto de intereses.

Intereses ganados : 200000 - (1338.64) (120) : $39 363.20eiemon9La seora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $650000. Ellaescogi no recibir todo el dinero en una sola exhibicin, sino recibir un ingresomensual fijo durante los prximos 12 aos. Si el dinero se encuentra inverti-do a 18%o anual capitalizable cada mes, Zqu cantidad mensual recibir la se-ora Aguilar?

)@ sotu.ion,En este problema se conoce el valor presente de la anualidad y se pide el clculodel pago mensual que agote el valor presente al cabo de 12 aos. De la ecuacin(6.2) se tiene:

sip: a[l - il+ i)-'-1,.r,tor,.", pi: A - (1 + i)-']y, portanto,L,l' .Pi'': r-o+r')-Sustituyendo los valores numricos, se tiene:


,: "':""(Tr,J : $, o44.zgr-[r*H) '


16/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasLa seora Aguilar recibir $11044.28 cada mes, durante 12 aos, en lugarde $650000 al contado.

eiemnro @ZCuntos depsitos mensuales de $ t z9.06 cada uno se deben hacer para acumu-lar un total de $100000, si se ganan intereses de 1.83%o mensual capitalizablecada mes?

Solucin:En este problema se conoce la anualidad y el monto de sta y se pide calcular n, lacual deber despejarse de 1a ecuacin (6.1).

F:Afcr+l'-rlIil4:(t +i)"-1AUo*r:(r+i),

Tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad anterior, se tiene:t*l** t] : nrog(r - i), :,*[ *' _'*[@qr*H@.,] _ bsz 476zttzte" log(l+i) t.g(l.O^0t8t - t"gt^OI83

n : 50 depsitos mensuales.eemoto @Se desea obtener un monto de $20000 mediante depsitos vencidos, cada dosmeses, de $ t 655 cada uno. calcule cuntos depsitos se deben hacer si se gananntereses de 15% capitalizable cada bimestre.


17/31


)@ soucion,En el ejemplo anterior se despej n dela formula del monto, por tanto:

_ log l 302114804log 1.025n : 10.69104025 bimestres.

Desde el punto de vista terico debern transcurrir 10.69104025 bimes-tres, pero en la realidad esto no es posible debido a que las capitalizaciones ylos depsitos se realizan al final de cada bimestre. Cuando el nmero de pagosno es un nmero entero, se pueden llevar a cabo diferente formas de ajuste.A continuacin se vern dos alternativas.Ia. ALternatiuaSe redondea a un entero el resultado obtenido y se ajusta la anualidad a dicho re-sultado. Esto es:F: 20000i :2.50/o bimestraln : 1l bimestres (valor redondeado)

Por tanto: A: Fi _ [2ooooxo.ozs) : $r602.12(1+ )' - I [1+ 0.025J" - ISe deben realizar I I depsitos bimestrales de $ I 602.12 cada uno para acumu-lar $20 000.

2a. AbernatiuaSe realizan 10 depsitos bimestrales de $1655 cada uno y, al final del bimes-tre nmero ll, se efecta un depsito complementario. Para calcular el valordel depsito complementario se plantea una ecuacin de valor.

:::;;::..i:f:i1+:i':.:rr',:'l ,i::;

(2oooo)[%!) .Ilog(l + i)


18/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasx es el valor del depsito complementario. Tomando el momento actual comofecha focal, se tiene la siguiente ecuacin de valor:.^--h-[t+0.025)-rol . x 2oooo,vJJ I I T

-

L 0.025 j (l + 0.025)1' (t + o.ozs)il14484.66s8r + : 15242.895641.312086658Por tanto: x: $994.86Si se depositan $1655 al final de cada bimestre durante 10 bimestres y$994.86 al final del bimestre nmero ll, se tendr un monto de $20000.

eiemero i@ZCuntos pagos mensuales de $791.83 se deben realizar para amortizar urradeuda de $8 500, si la tasa de inters es de 28%o anual capitalizable cada mes?)B sorucin:En este problema se conoce la anualidad y el valor presente de la anualidad y sepide calcular n,la cualdeber despejarse de la ecuacin (6.2):p:Afr-cr+l-,lIi-lL:l-(1 +i)-'A(l+t)-':l-4 A

Tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad anterior, se tiene:-nlog(l + ,) : r"g fr - &l" L A],: -trlt- *] : - 1og 0.749525361log 1.023333333og[1+ )

n: 12.5 meses.


19/31


En este ejemplo ocurre algo semejante a lo del ejemplo 8.12. Se necesitan, teGricamente, 12.5 meses para saldar la deuda. Sin embargo, en la prctica tenemos;entre otras, las siguientes alternativas.Ia. AlternatuaEl resultado se redondea a un entero y con este valor se vuelve a calcular el valorde la mensualidad.P: 8 500: 4%o mensual12n: 13 meses (valor redondeado)

.Pi 1-[l+l)-' o'*,[H)r-(r*TI" : $765.56Con el fin de arr'ortizar la deuda se deben realizar 13 pagos mensualesde $765.56.

2a. AlternatiuaSe pagan 12 mensualidades de $791.83 y al final del treceavo mes se da un pagocomplementario que amortice totalmente la deuda. El valor del pago complemen-tario se obtiene mediante una ecuacin de valor:

::-ila'.-=j

el momento actual como

8 500 : 791.83

i.t::J!.:+.ri

['.H)-"8 500 : I204.98304 + o.740930427x: $218.60


20/31

Cap. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasjcmPlo@Toms se gan $6000000 en el sorteo Melate. Piensa dgpositar este dinero enuna inversin bancaria que le da8.4o/o compuesto cada mes e ir retirando $35 000mensuales, con el fin de vivir un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se agote.ZCuntos retiros podr efectuar?

)@ sorucin:

problema no tiene solucin.Al calcular el inters generado por los $6000000 al final del primer mesde inversin, se obtiene

i : [60000001 l0 98a),r, : $42000\ 12 )Esto significa que al retirar $35 000 al mes se est retirando una cantidadmenor que el inters generado por el capital. Por tanto, el capital original nunca seterminar; al contrario ir creciendo, como se puede ver en la tabla siguiente:

Al intentar obtener el logaritmo de -O.2,1a calculadorator recordar que el logaritmo de un nmero negativo no

Si Toms retira justamente $42 000 cada mes, el capital inicialconstante todo el tiempo. Si Toms desea agotar el dinero, deberde $42 000 mensuales.

_ - log (-0.2)log 1.007marca error. El lec-existe; por tanto, el

permaneceretirar ms

log(i + )


21/31


eemo@La camioneta modelo Dolby, de la compaa Lser Motors, tiene un precio decontado de $380000. Se vende a crdito mediante un pago inicial de $114000y el resto ($ZO0 000) con 48 pagos mensuales de $7 538.50 cada uno. Obtenga latasa nominal de inters que est cobrando la agencia automotriz. Asimismo, obten-ga el inters total que pagariauna persona que compre la camioneta a crdito.

F sotucin:El despeje de I de las ecuaciones [6.1) y (6.2) es imposible. La nica formade resolver un problema donde se pide calcular la tasa de inters de una anualidades mediante el procedimiento conocido como prueba y error. Tambin se puedeutilizar una calculadora programable, una calculadora financiera o una compu-tadora con software financiero.El mtodo de prueba y error consiste en probar valores de I en la formulacorrespondiente hasta que se llegue a un valor aceptable para i. En este ejemplo,se deber usar el mtodo de prueba y error en la ecuacin [6.2), ya que se tratade un problema cuyo valor presente se conoce.Los datos son:P: $266000A: 57 538.50n: 48 meses

Sustituyendo los datos en la formula(6.2), se tiene:266ooo : 7 538.50 fl - cl + l-"-luuvvv_/JJo.Jv I i IAl pasar 7 538.50 al lado izquierdo de la igualdad, se tiene

3s.zgss34z6 : [l - (l + i)-ot llijA partir de este momento se propone un valor para i; con este valor se evalael lado derecho de la igualdad anterior. Si el resultado es igual al valor del ladoizquierdo, el valor propuesto es el correcto, pero si el resultado no es igual aldel lado izquierdo, se deber proponer otro valor para i.Suponga, para empezar, una tasa deTo/o mensual:3s.zs5s34zu-fr-tl

L+ 0.02)-480.02

35.28553426 + 30.673119s7


22/31

Cap. 6 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidasComo el resultado obtenido es menor al del lado izquierdo de la igtraldad, estosignifica que la tasa de inters es ms baja. Si suponemos ahora una tasa de 1%mensual, entonces:

1- [1+0.0135.2855 342 6 + 37.97 395949

Ahora, el resultado obtenido es superior a 35.28553426. Por tanto, la tasade inters sd encuentra entre l%o y 2%o mensual. Probemos con 1.5%o mensual:35.28553426 -[l+

0.015

3s.285s3426 = | 0.01)-48

0.0i 5)-48:l35.28553426 + 34.04255365

El resultado obtenido volvi a ser menor que 35.28553426, pero la diferen-cia entre ambos valores es pequea, por tanto, la tasa de inters se encuentra entrel%o mensual y 7.5o/o mensual. Llevando a cabo ensayos adicionales entre estosdos valores y utilizando interpolacin lineal, se llega a una tasa de inters de1.33370 mensual, como una buena aproximacin a la tasa de inters buscada:35.28553426: 0.01333

35.28553426 + 35.28801626Podemos concluir que la tasa de inters cobrada por la agencia automotrizes de 1.333%o mensual, que corresponde a una tasa anual de 16%o capitalizablecada mes.Si se utiliza una calculadora programable, una calculadora financiera, unacomputadora con software financiero o una hoja de clculo, como Excel, el valorque se obtiene para d es 1.33332434498%o mensual.El inters total cobrado por el crdito es:

i : (7 538.50) (48) - 266000 = $95 B4Beempro l@Roberto ha depositado al final de cada quincena $600 en una cuenta de ahorro.Al cabo de 2 aos se tiene un monto de $31808.93. ZQu tasa nominal, capita-Iizable cada quincena, ha ganado?

+ 0.01333)-48-(1


23/31


)@ sotucton,Sustituyendo los valores anteriores en la ecuacin (6.1), se tiene:

31808.93 : 6oo fir + lot - r-'lJr uve'JJ """ L t Is3.0148833: : f(l + )o' - llJJ'vTuuJJJ L i )Como el despeje de i es imposible se debe proceder por prueba y effottal como se hizo en el ejemplo anterior. Al ensayar diferentes valores de l, se llegaal siguiente resultado, el cual es una buena aproximacin,i: O.42o/o quincenal : 10.08% anual.

Al utilizar una calculadora financiera ie obtiene que i : lOo/o anual capita-lizable cada quincena,e.rero @Un prstamo de $ 5 0 000 se debe pagar mediante I I pagos mensuales iguales vencidosy un pago nico de $20000 realizado un mes despus del ltimo pago mensual.Calcule el pago mensual, si la tasa de interes es de 30% capitalizable cada mes.

p sotucin,El diagrama de tiempo es:

donde,4 es el valor del pago mensual.El problema se resuelve planteando una ecuacin de valor. Si se toma comofecha focal el momento actual, entonces:

20000r120.30In)177

['.14 871.1

r5

0.30T20:0\-n)

420871: $36(

9.51A


24/31

Cap. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

'i::Ti.' ieul es eI jimnlo y'l iateres' gitdO:f depositar -$ I 000 cada,. rnes, durante,l.oaos;-',un*cuent bancqf+qgSda S%anu*} capitalablecada mes?Un: farnilla desea el81pza4.q.ahorar para ."alizar tn viaje a Hawai. Setiene pensado reijlizado'deatr e,,Z:aos.':i este fia s depositan$?7OO cada'fin equiniena en.una cuent*,qqe gener intereses a una: tas'&. 1:5% titdnaual capitalizable cada quiiref6.'btiigd- 1 monto3r' 'in rses glai1os."",'-i:: : 'i :r :i':::::ijr: :Sarrtago deposit $5 000 al final de cada trimest durante 3 aos. Si norealiz hingqaletirb tdo este nernpoy-banco le abonaba 1% men-slal capitaliz{t}le,cada tr.tie-stre, ic.+l f,ue.,e}, v-a1a,f.uturo de tra,antra-lidad al caba de los 3'aos? iQu tanto de esa eantidad scr:.interesesl,:,.Se dqpositan 3 50O dlares en una c*r"ot* de ahor,ros al &n1= cadasemestre; durnte. oeho aos'.y,, s6--$i.no, se, rtatri n:n$n i.tticunto dinero'habr enla cuenta? La tas,de inters es de 5;5% semes-tra], capitalizabl'ca.da.senes,tre.:: ::: ::: :' .:..:=..,:,..;iQu cantldad se,acqmlar en'ig.'i66s,si'se depositan $3 il,fi.,lalii'cada smaii n una cuenta bancaria quepa$i'10%iapitali*blbcada semana?

2,

3.

4,

t

I ; Ottenga el valor presente de $7 200 semestrles durante cinib.aoi y"',medio, a na tasa de inters de 280/a capitalizable en forrna semestral.Interprete el resultado obtenido.,i:,.,'.':.:...Rii :.aco.rd,heeer.20':pagos';nnsa4l de $1,500-ara,saldsi, rs-' 'r., r',l:t'nq, -ersoiial,latasa.deintet+qu_ele eeblang ?95,*t611;;g*'. -:''::r''..',.eadr.'rhes.:a'[catre:.einte,pr eil-vatror'presented:I ult8ad,'.. ',i, '' ,'=i:$;*i"i;Aines'e*q6,io'i;rti5li,&',a tdlr,pqgo.:" ,, nieo de inmediato esrequlvdeiit a.12 acqstri*isiiaa.,$z'ofu:::. ea.da uno, siel,primero de ellos se realiza,&ntiod!f*e*?', :'' .i '::'::- j:',, ' Se,.pued,coc{,riar u4a,casa e+;.Euii}Ba:*.edia$e:,gn.Fago:iniciui de,,' Zo0o0ypagosbimestmlesde I 200durante 14aos, Encuerrtresu: valof, en efectivo considerilnds, que los pagos incluyeq un intersde 9.6% coevertible cada bimeste.10. Una tiendadepartamental vendelhroinos de microondas a credito, sin.,' enganche y 25 pagqs semanales de $76 cada,uno. Si se carg* 42% deinters, obtenga el precio de contado y el interes que se paga por com-prar a crdito.


25/31


. ,, 11,',.Laprirn:a.pagai,rpor:un *egprq &incendic:5tt4plosiipara ana cesa:: .":: :.1ti3*.15n,'eg:de,,$9Q4:90,al,final de cd:'r1rceste;,'Si,etr:*3eirsado:,..:::..':.desa:,,pgr,,fror'adelatte4o1a'prilnade'ql.ao,..ieurit e 1ragaq,.si. ',l ,, ,,|a,t.o&iters:es&:6,5%trinrestial.e*pit zablefad*:tinestfe?:. .i':.:i.',:aJ;,',, :' : ,':....."':''':s.Iit.Ri..er.lo.eonsi6iuna,:becaara,estrdiai- i 2'a$.unmestii': :"'i'i' .,p1Uni,eunca, en Estados UnidosiRif.taltintirc renta,s: casa. "' draiite 2, aos,en.,$2i80CI?*r rnes,vengi6: $i'uni''iiersona:deb ren:" ',r , tsrlagandc'Foi:adlantadoel.ilqllilerd{ds ?'fiscrito'tendd: ,',,',,.qu',pigr:supniendo que el valor del dineo,eS','dc,1396:anti}'apita.

13. Lalrra.esd Frbilaisy.'if*'recibii'$8,000'cada mes,, duiairte 25'., ," os. Si. eL alor,:imedio dineo es de l1%o capitalizable 'cadames, icunto tien que haber en su fondo de pensiones al momento.,:' de,lajulilaeinl':llt; ZCunto se tiene'qu,depositar,cadabimestre en una cuenta,que pag

' 14% anual con:eapitalizacin bimestraf para qrnlr ;5CI0'Q00.pesosal trmino de 9 aos y l0 meses?15.''. Sf d dinero $arur.ninteri'de'l%'mensual corwertiblecada'mesiietinto':"''' dberahorireadamesni persona quedesetener,$l00000 n 5 aos?1. l U-n gl4rrjefo acaba.de cornpraf; una mezcldore y,dese:tenef, suficiente' dinero ,la mnc para eor,riprar otra igual , al final de la vida ,til' de la, " qtre acala de-eormpf4$,que es.dqSaos, Estima queel eosto.dela,nueva- mezcldor .$er.de :$t9OO00,. nrwos,$lO00O que obtendra de la. 'otra,al venderl,' Flanea realizar depsitos cada,trimestre a una- tasade l4%capitalizable trimestralment. Calcule el valor del depsito.., [Jya.enipresa' dbqn saldar una deuda etm va -de rrericinii.ento,or'',",,:' ,,tirr milln.de"pesoq dntro'de,5,afiss. Para pagar esta deudar,,se de-:, , ,ci{e crear un. fotdo,de.ahora'co-ndepsftas.menss*iles,igu1es,:}'una:, : . tasa.rdq.inteies deiT:92sd,eagitalza:b1e cada.:mes.,Qu:eaqtidad qe dehe

-trizableeada-mes?

depositar cada mes en el fondo de ahorro?18. Una persona compra un departamento que cuesta $230000 de con-tado. Da un anticipo de25o/o y el saldo se va a liquidar en 15 aosmediante abonos mensuales. Calcule el pago mensual y el interes total

a,paga4'si la,tasa de,interds,es de l67scapitalizable.cda'mes., I19. El beneficiario de un segiro de vida tine 1 opcin de recibir un pago., nico de $80O,0O en este mornu-to'o,bien, pagos cuatrirrestrales,iguales durar,rte 6 aos. Si l tasa de iqter.e,de lJ% compuesto cadacuatrirnestre, determine el valor del pago.semestral. '-''1'., , '


26/31


23. El seor Andrade queda incapacitado de por vida a consecuencia de,,,: -, ,:un,accldtnte,l*bp$il'L cogpgfiia donde,,trabOj4 te coneede .una,ix,r=demnizacin que sumada a sus ahorros personales for*a un capital de$t630000, con:lo ctl dese* asegurarse,un renta *.ttg1,'peralos prximos 35 aos, que es su esperanza de vida. Si el seor Andrade':. r... ruede'invertir:su.dinero e L3l% rirenrlual capitalizable,{iad&,:u1en, '.'',,,'ilJ iflsfherlarretrrensualsi.desea'eorrseva{ifrtdetoiA,casital?' : bl'iCul;ser la renta rnnsul'sieleapttali'agoaaygg,.6sf.., I , '24. Una pgleja qte elt por casar3e.colnpr{un re&rgeqadiji cuyo prcio de. ..eotdo,es d $34l5,.Fagn,15% cm


27/31


, 28.:',iGunts,pagos.mensaatres:de.$,1600,eda tno ser."nrneeesarios para.1.,-'.'srldeef.'delrdade-$300CIO.eontrada'hoy errinteresesde,35%,capi-,: ,,- '..,,t1"r51d eada rires?,Eneasodeque,,el nrrrerode p{gof:na'sentero, , ,- :,,l:if111itr,sr,,e1:p*go mesualsi eleqltado se,redoadea?b) ZCul ser el valor del.pago complementario?' 29.. .I*Jna FafEj,Brxlma,a .cont{ef raatdmoaic'est ;planeando,,psar su: " r' |111de.miel'en Atrtrlia.Segtngu qilculsi; el ccstrl tot delqeje,ser '' ' : ' ' de?1.000dlres. Pralograr su srieo,,iosrienzan adepositar cada:mes:,r::'.:::l'.1ffi.{$}g5',bn una cr.renta.que produce,:8'8%de intes:amiaLeapi'' ' .' ,,::::lli"n6,le:.eada.,mes, 'Calerrled.n'irlefo, de,:depsito$.'recesarios para ,r:: .1. lqgni,el'.eOStOdel,Viie:,, , ',' . ;; , ,; .30. Una casa se vende en $725 0O0, precio de contado. Una familia la com-,.1.. .',Fra,$.rdito.dando,30%:de- ergasehe,y el,resto en.mensuqlidade,s de:l ....,,. .'$7,5.00 queinctruyen rrn inters de 1.4%.mensual. iCuntbs pagcs.com'' .,, ., .p-1etoq.de,$7.50$dekrn'hacerse yculser,el.valcr del,llimo pago? .31.' 1seor,Arteaga sejuhlar*.dentrode,2'rneses; fiene un,'f,oltdo depen*': ', silnEs nr$4g8 Ze S y desea retirar $4'000 aid,a'qgincena.Siel'dinero: '- est tnrre*lds 1070 capitalizable cadl'qrincena, icrratospagos,,quin-: , 'cenales de'.$4 !.. recib, !1! r ry s.e rtroi dI..1ltimo pago? r , . '32.' : iCutitCIs:retircs,+ensur{9s=de $32Q0:puede ustehaeer si tiene un

., ,:, , ,,.g3Fitiide'$SOO00CI lnveltidA O-,66%,meuStlalcpitalizableeadames?g3;:.;fln:coBiadora'digital se vende en $86 99 precio de 'contdo; Aerdi.'',,,','.,,tie,Fsede cdii:ifton 4:pagos:iens*a1s vencidos de $24'99O'cda" r' ' {rrro. Calcul,el,inter.]rla'tasa:de intefs nualcapitalizable cada mes.. 94; .,,U,FDA,,{Asistente Persolal Digttalo,,per sus,sigl,as::en, ingles),.puede:' '., ,,.eoI*trEanse,qn,$4j-30O de- esntado o.,,mediaate,:36,pagos..quincenaies,, , ,:$15?'-eatrcule..,1at*s*.norni,nal,a1l intfs'],ls ts eFctita,35. Una persona ha depositado $300 semanales en una cuenta de ahorro., cabo de:5:ss eiie en'su fuenta,la cntidad'de $95O58."Qu' :,'. ::intrs'iergqn:::eut'fela tasa,ncminal iaual'cpitalizable'cada se'.,' mana gpnad*?iCu1'fuele tasa,efectiva ganad?. :"' :;' 1'36..,'fueuefik:,1a,tes:no.minal ntral,caaver+ibile:e*da ticiestr,e'mediast.' ,,,-{.,q11gi,.eon ,depgi s,lrin}esirales. de::6Z,5 .dolares:'eumularn un, ,,. '.,- :tn0.ritr:dd'25 329.39 i*laresen 7, aos.97. Una escuela que ofrece cursos por correspondenci tiene los siguientesplanes de pago para cubrir el costo total del curso de Electrnica Digital.


28/31

Cap. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas

39;

4CI.

41.


29/31


da enganche y 18 mensualidades vencidas de $947 cada una Si la tasa.'.'1'.,-;.'de.-ir11*s',rrsi Bot u*b". ti*ur -- 3?%:ep*tib{e,*a fusr,t-,ien cul tienda conviene cornprar la cmara?* .r.ieuqs..e1-i. .- df,ina:irnpif :J9ser,qE.$eiplsa,,{r_rl::, .rdf.1g;unr,ngdt&.. .?.,p.rciio:de,cont,!]$.a6i.4uin'.'-^--l^^ J^ Oecr ^ A^ --^^) | ^ +^^^ J,':-k-;^ ^^ )^ 1 cct ^,,t^^^^^t

',.:a..f...:aa::,:::-.:,:.:,:,.;;..:;r;1-.,;a,.,,:..t..a,:::..-ta.;::._,, ::.,...,l+er,q91,$Sj,p1g4 rae'

.,,,i..-..94::i.+ryr,q1&, gste,*ngmente;.c{x1isi'l:cantxta q1debe ',,recibr, si el valor del dinero es de 8% capitalizable cad mes?4ft,',pi*p..ifatiiffi,rqyoq X sE compr a crdi1g,.ri*enguihq; gndo$55000 bimestrales durante los dos primeros aos y $7000O men--,,i.i:,,.gu*les14i#r*e ,t:Ef,1+.$ir$i::1a.,tasa'.le'.jrtirs.eargd$re,;$g;'27;W,:; ,,..,,,,',1ea'pjqtlixatl;.eedrb-iriie$ .: =- .,p+i**nAoA,$sj.r&..25%.capl-talizable cada mes en el tercer ao, encuentre el precio de contado delaparato de rayos X.49.' Felipe }e debe aVfctor tra cantidad de $60 000 y acuerda pagarle $ 12 0O0' al final de cada no de 1cs qiguintes cincs bimestres y uri itimopago al trmins del sexto,birnestre. iDe cunto debe ser el pega,flaatr' ' si la tasa de inters es de 28% co'nprl*t9.:41,!iT'ic:,e,,,:;'..'u.r:-,,,,,.,r=i,-,::,:,:rr,rr.;.ri.,=,,:,50. Una deuda debe saldarse en dos aos mediant" pqgoq de e OOO dlarescada bimestr" o".r.ido. El deudor acuerda aorr rr.t "o."do, en reestruc-51. La empresa donde trabaja R*rben r."bu d. establecer un fondo de ju-,'''r,.'';filsin.Fatd... e $hAorl:Fti i actualrrle+ri 30,aos,,,iubi.',.".;.l'i!.a af,ic,Urad.i q.65.Bubndeberdalrosik,ea:nti4ades,i#i1g+:q+,, ,;-,rntk durantC,,{ou,p.ox-os 35 aosi t{Si+sl.,fiiafiett.i*e$ rUOillrt'


30/31



31/31


Si el precio de contado,del automvil es de $2l500Q'eiicuentreltasa de inters.enual capitalizable cada m-es y el inters totalque se pagapor el financiamiento.

2. Un bulldozer, cuyo precio de contado es de 100000 dlares, se compra, a crdit en,septierRbrei El'..rirner.p6go'rgeasual se.dar un rr.tesims' tade,.y los pagps,contiq*u+rn por 5 4os-,Debids.*l clirlw,de'la regin. , ,1a rrlquine.R se-u$ar er lps rneses de',irnrierno";.ppqltal.raotivo, el.,eompradorrjo'rhar,:los pg.es:mensualee'coffe.spoqdiente5.,a,enero,febrero ]{ mgrzo; Si'la,t* a .intereE:crpl eo.de;l4% capit*1ix+b;le eada,mes, iquf pago nerislal'ss negesario pera emdrtirar,le deuda?

Af{UAtIDAD5'Y CONTINUACuando setleneuna'anralidad cuyqsintereses se capitaliasn continuarnente,el eletilo'deli-valofutuo:le'ribtierr*,frrnndo una ecu4cin d vlori:uti-lizando la formula del monto compGsto con capitalizacin continua..*@Suponga que se depositan $1.OQ.cada rr,res ien ufr4 cue,t*,,de.ahutr*:s queproduce 18% de interes capii#zsbte'ontinuamente.,Gulltrl monto alcebo de 6 meses?

@ so**ia;'El digremadetienipo'qge replq acines,el sigqiente:

.' r .,.1, .,,...{[ .,.,.,. ,,'.-:.., ,,.:i::.it':: :1 ., l': : .:. , .''.:l:::::.: i .':,:,.'li,'n.i t:'${..-, ' t. .. , mesegtr

1'O00

anualidades vencidas v

Documents