1. Introducción 2. Respuesta de sistemas continuos LTI a señales

exponenciales complejas.3. Desarrollo en series de Fourier de señales periódicas4. Transformada de Fourier para señales no periódicas5. Transformada de Fourier para señales periódicas6. Respuesta en frecuencia de sistemas continuos7. Muestreo ideal8. Aplicación de la Transformada de Laplace a los sistemas LTI9. La función del sistema de sistemas continuos10. Sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales de

coeficientes constantes11. Introducción al filtrado

Análisis de Fourier para señales y sistemas de tiempo continuo

1. Introducción (I)

Ejemplo de descomposición de Fourier:Luz blanca que atraviesa un prisma

Espectro Electromagné0co

Introducción (II)

¿Qué hay detrás de una señal? …Diversas componentes de frecuencia y amplitud

Dominio del tiempo (continuo o discreto)

Dominio de la frecuencia

¿Cómo se realiza este análisis en frecuencia?

Introducción (III)

El análisis de Fourier es una de las herramientas más útiles en procesado de señal. Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia).

Señales continuas (analógicas):Periódicas: Series de Fourier (CTFS).No periódicas: Transformada de Fourier (CTFT).

Señales discretas (digitales):Periódicas: Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS)No periódicas: Transformada de Fourier en tiempo discreto

(DTFT)

2. Respuesta de sistemas continuos LTI a señales exponenciales complejas

La salida de un sistema LTI ante una entrada de tipo exponencial compleja es otra exponencial compleja

DondeH(jω0) ≡ H(ω0) ≡ AUTOVALOR ∈ ¢

≡ AUTOFUNCIÓN

0

0 0 0 0

0

0

( )

0

( )

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t

j t j t j j t

s j

j t

x t e

y t h t x t h e d e h e d e H s

y t e H j

ω

ω τ ω ω τ ω

ω

ω

τ τ τ τ

ω

∞ ∞− −

=−∞ −∞

=

= = = =

=

∫ ∫

LTIx(t)=ejωt y(t)=H(jω)·ejωt

0j te ω

Supongamos que la entrada es una combinación lineal de exponenciales:

La respuesta es otra combinación lineal de las mismas exponenciales. Esto es considerablemente más sencillo que realizar la convolución. Por ello vamos a estudiar qué tipo de señales se pueden representar mediante combinación lineal de exponenciales complejas.

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas (I)

1

1

( ) e

( ) ( ) ( ) ( ) e

k

k

Nj t

kk

Nj t

kk

x t a

y t h t x t a h t

ω

ω

=

=

= ⇒

= ∗ = ∗

∑

∑

1 1

( ) ( ) e ek k

N Nj t j t

k k kk k

y t a H j bω ωω= =

= =∑ ∑ H(jωk) ≡ H(ωk) ∈ ¢ak, bk ∈ ¢

Respuesta de sistemas LTI a una combinación lineal de exponenciales complejas (II)

De forma más gráfica, y aplicando la propiedad de linealidad…

Hablaremos de frecuencia (f) y pulsación (ω) indistintamente: ω=2πf

h(t)31 2

1 2 3e e e j tj t j ta a a ωω ω+ + y(t)

h(t)

h(t)

h(t)3

3 e j ta ω

22 e j ta ω

11 e j ta ω

y(t)

33 e j tb ω

22 e j tb ω

11 e j tb ω

Sinusoides complejas y reales

( )cos2

jx jxe ex−+

=

( )sen2

jx jxe exj

−−=

Una señal x(t) es periódica ⇔ ∃T>0 / x(t)=x(t+T), ∀ tEl periodo fundamental T0 es el mínimo T>0 con el que se cumple la condición de periodicidad. Su inverso es la frecuencia fundamental f0=1/T0

La pulsación fundamental es ω0=2π f0. La señal es periódica de periodo fundamental T0

Los armónicos con k entero tienen periodo fundamental T0/|k|.Por ello T0 es periodo común a todos los armónicos. Por lo tanto la señal es periódica de periodo T0

Vamos a comprobar que la señal x(t) periódica de periodo fundamental T0 se puede expresar como el siguiente CTFS:

3. Desarrollo en serie de Fourier de señales periódicas (CTFS)

Ecuación de síntesis, CTFS-1

0e jk tk

ka ω∑

0( ) e jk tk

kx t a ω

∞

=−∞

= ∑

0e jk tωΦ =0e jk tω

Necesitamos conocer los coeficientes ak.En la ecuación de síntesis, multiplicamos ambos lados por e integramos en un periodo y obtenemos:

0 0 0

0 0 0

00

0

( ) ( )

0( )

0 0

( ) e e e

1e

cos( ) sen( ) 0,

, si Como

si

jn t j k n t j k n tk k

k kT T T

Tj k n t

T

x t dt a dt a dt

dt T k ndt

k n t j k n tdt

ω ω ω

ω

ω ω

∞ ∞− − −

=−∞ =−∞

−

= =

= ==

− + − =

∑ ∑∫ ∫ ∫

∫∫

( )

0

0

0

0 0( ) e [ ]

T

jn tk n

kT

k n

x t dt a T k n a Tω δ∞

−

=−∞

⎧⎪ ⇒⎨

≠⎪⎩

= − = ⇒

∫

∑∫

Ecuación de análisis, CTFS

CTFS. Cálculo de los coeficientes

0

00

1 ( ) e jn tn

T

a x t dtT

ω−= ∫

0e jn tω−

El cálculo de los coeficientes mediante la ecuación de análisis es posible siempre que no ocurra alguna de las situaciones siguientes:

Señal no absolutamente integrable sobre un periodoSeñal con infinitas oscilaciones en un periodoSeñal con infinitas discontinuidades en un periodo

x(t)

−T 0 T 2T 3T 4T t

Condiciones de existencia del CTFS

−T 0 T 2T 3T t

−T 0 T 2T 3T t

Consideraciones sobre el CTFS

El CTFS es una combinación lineal de sinusoides complejas armónicamente relacionadasEn el caso de señales periódicas reales a veces se usan otras expresiones para la serie de Fourier. Por ej.:

Para un sistema LTI, la respuesta a una señal periódica es otra señal periódica con los mismos armónicos que la señal de excitación, pero cambiando sus amplitudes y fases

h(t) ka

y(t)x(t)

0( )k kb a H kω=

( ) ( )[ ]∑∞

=

++=1

000 sencos)(k

kk tktktx ωβωαα

CTFS de las funciones seno y coseno

( ) 0 00 1 1

1 1 1 1( ) sen ;2 2 2 2

j t j tx t t e e a aj j j j

ω ωω −−

−= = − = =

( ) 0 00 1 1

1 1 1 1( ) cos ;2 2 2 2

j t j tx t t e e a aω ωω −−= = + = =

|ak|

1−1

k

1/2

k

1−1

π/2

-π/2

|ak|

1−1 k

k

∠ak

1/2

1−1

∠ak

Propiedad

Supongamos que x(t) es real x(t)=x*(t)

Luego, si la señal es real, los coeficientes de la serie de Fourier verifican:

Los coeficientes poseen antisimetría conjugada, o lo que es lo mismo, son hermíticos

** * *( ) e e ( ) e ek k k kj t j t j t j t

k k k kk k k k

x t a a x t a aω ω ω ω−−

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

*k ka a−=

CTFS. Ejemplo (I)

)()( ;2||0

||1)( 0

01

1 txTtxTtTTt

tx =+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<<<

=

Los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier son:0 0 1

0 0 0

0 1

10 0 1 0 1

1

1

1

2

0 0 00 2

0 0 0 0

0 110 0

0 0

1 1 1( )e ( ) e e

1 e 2 e e2

sen( )21 1 ;

T T Tjk t jk t jk t

kT T

Tjk t jk T jk T

k

T

T

kT

a x t dt x t dt dtT T T

aT jk k T j

k TTa dt aT T k

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ωπ

− − −

− −

− −

−

≠−

= = = ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

= = =

∫ ∫ ∫

∫

−Τ0 −T1 T1 T0 /2 T0 2T0 t

x(t)1

CTFS. Ejemplo (I)

T1/T0=1/16−8ω 0

0

ω8 0

akT

0

ω

T1/T0=1/8

0

4ω0

akT0

ω

−4ω0

Conforme aumenta T0,

aumenta el número de componentes

espectrales

Representamos T0 ak para ver la CTFS de un tren de pulsos de distinto periodo:

T1/T0=1/4−2ω0

0

2 0

akT0

ω

ω

Interpretación del CTFS (I)

Interpretación del CTFS (II)

Cualquier función periódica puede ser representada por la suma de senos y cosenos de diferentes amplitudes y frecuencias

CTFS. Fenómeno de Gibbs

xN(t)

t

N=1

xN(t)

t

N=3

xN(t)

t

N=7

xN(t)

t

N=19

xN(t)

t

N=101

xN(t)

t

N=∞

Fenómeno de Gibbs

4. Transformada de Fourier (CTFT) de señales no periódicas.

Dada una señal x(t) se define su transformada de Fourier como:

Es una particularización de la TL en el eje s=jωPara que exista, s=jω tiene que estar dentro de la ROCX

La CTFT de la señal x(t) existirá siempre que se cumplan unas condiciones similares a las de existencia de la CTFS:

x(t) debe ser absolutamente integrablex(t) debe tener un nº finito de oscilaciones en cualquier intervalo finito x(t) debe tener un nº finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito

( ) ( )s j

X TL x tω

ω=

=

∫∞

∞−

−≡ dttxX tjωω e)()(

Dada una señal de duración finita x(t), realizamos una extensión periódica

Expresamos la señal periódica mediante su CTFS

0

00

0 0

( ) e

1 2( ) e

con

y

jk tk

k

jk tk

T

x t a

πa x t dt ωT T

ω

ω

∞

=−∞

−

=

= =

∑

∫

%

%

T1 T2 t

x(t)

T1 T2 t

T0

Relación de la CTFT con los coeficientes del CTFS (I)

( ) x t%

( )x t%

( )x t%

En el intervalo T1 ≤ t ≤ T2, se cumple de modo que

Los coeficientes ak de la extensión periódica son muestras equiespaciadas de la función X(ω)

Relación de la CTFT con los coeficientes del CTFS (II)

( ) ( ) x t x t=%

0

0 0 0

00

2

0 0 02

1 1 1( ) e ( ) e ( ) e T

jk t jk t jk tk T

T

a x t dt x t dt x t dtT T T

ω ω ω∞

− − −

−∞

= = =∫ ∫ ∫% %

0

0

1 ( ) e

( ) ( ) e

jk tk

j t

a x t dtT

X x t dt

ω

ωω

∞−

−∞

∞ −

−∞

⎫= ⎪

⎪⇒⎬

≡ ⇒⎪⎪⎭

∫

∫

Como

00

1 ( )ka XkT

ωω ω

==

Si hacemos T0→∞, ω0 → 0, ⇒la suma tiende a una integral ω0 → dω, kω0 → ω,y la extensión periódica tiende a la señal original:

Ec. de síntesis, CTFT-1

Ec. de análisis, CTFT

1( ) ( ) ( )2

j tx t x t X e dωω ωπ

∞

−∞= = ∫%

Transformada inversa de Fourier

1( ) ( )2

( ) ( )

j t

j t

x t X e d

X x t e dt

ω

ω

ω ωπ

ω

∞

−∞

∞ −

−∞

=

=

∫

∫

0 0 00 0 0

0

1( ) e ( ) e ( ) e1 2

jk t jk t jk tk

k k k

x t a X k X kT

ω ω ωω ω ωπ

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= = =∑ ∑ ∑%

Ejemplo

,( )

0,A t T

x tt T

<⎧= ⎨ >⎩

si | | si | |

Si realizamos una extensión periódica de periodo T0, los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la extensión periódica son los calculados anteriormente para una onda cuadrada:

0 0

0 0

00

sen( ) sen( )2

( )

sen( )( ) 2

k

k

k T k Ta A Ak k T

Aa XkT

TX A

ω ωπ ω

ωω ω

ωωω

= =

= ⇒=

=

A

−T T t

x(t)

2AT

ω

−2π/T π/T π/T 2π/T

X(ω)

Interpretación gráfica de la relación CTFS-CTFT

ω

0 ω

0 ω

0 ω

x(t)

( )x t%

T0→∞

T0

T0

T0

Frecuencias negativasUna sinusoide puede describirse matemáticamente de varias formas:

( ) ( )00

2x cos costt A A tTπ ω

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )0x cost A tω= −

( ) ( ) ( )1 0 2 0 1 2x cos cos ,t A t A t A A Aω ω= + − + =

( )0 0

x2

j t j te et Aω ω−+

=

Y se puede representar de otras formas distintas …Así pues, podríamos considerar que la frecuencia sea positiva o negativa.Desde el punto de vista del análisis de señal, no importa

Señal Transformada )(tx )(ωX

ax(t)+by(t) aX(ω)+bY(ω)

x(t−t0) 0 ( )j te Xω ω−

0 ( )j te x tω )( 0ωω −X

x*(t) )(* ω−X

x(−t) )( ω−X

x(at) ( )1| |

X aa

ω

)()( tytx ∗ )()( ωω YX

)()( tytx 1( ) ( )2

X Yω ωπ

∗

dttdx )( )(ωωXj

Propiedades de la CTFT (I)

Señal Transformada

∫ ∞−

tdx ττ )( )()0()( ωδπ

ωω X

jX

+

)(ttx ωω ddXj )(

( ) x t real

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−∠=∠−=

−−=−=

−=

)()()()(

)(Im)(Im)(Re)(Re

)()( *

ωωωω

ωωωω

ωω

XXXX

XXXX

XX

Relación de Parseval para señales no periódicas ∫∫

−∞

∞−

∞

∞−= ωω

πdXdttx 22

)(21)(

( ) ( ) ( ):

( ) 2 ( )

TF j t

TF

g t f g t e dtDualidad

f t g

ωω

π ω

∞ −

−∞

⎧ ←⎯→ =⎪⎨⎪ ←⎯→ −⎩

∫

Propiedades de la CTFT (I)

∠X( f )

∠ X( f )

Desplazamiento en t

Desplazamiento en el tiempo

( ) ( ) 020

j ftTFx t t X f e π−− ←⎯→

( ) ( ) 00

j tTFx t t X e ωω −− ←⎯→

Modulación

|X1(ω)|

|X2(ω)|

(1/2π)|X1(ω)*X2(ω)|

Dualidad

X1(ω)

X2(ω)

El principio de “incertidumbre”

Las propiedades de escalado en el tiempo y en frecuencia nos indican que si una señal se expande en uno cualquiera de los dominios, t o ω (f), inevitablemente se comprime en el dominio complementario.

( )2

222 2t

fe eπ π

⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ←⎯→TF

2 2t fe eπ π− −←⎯→TF

Contenido en frecuencia

Paso Bajo Paso Alto

Paso Banda

0

0

0

( ) ( ) e ( ) e 1

( ) 1( ) e

Como

Por desplazamiento

j t

TF

j tTF

TF t t dt t dt

tt t

ω

ω

δ δ δ

δ

δ

∞ ∞−

−∞ −∞

−

= = =

←⎯→ ⇒

− ←⎯→ ⇒

∫ ∫

002 ( )Por dualidad j t TFe ω πδ ω ω←⎯→ −

00

-

( ) 2 ( )Por linealidad jk t TFk k

k k

x t a e a kω π δ ω ω∞ ∞

= ∞ =−∞

= ←⎯→ −∑ ∑

Calculamos la transformada de un impulso y de una exponencial:

Como cualquier señal periódica la podemos desarrollar en serie de Fourier

0 0 02 ( )T T x tω π=Donde , siendo el periodo fundamental de

5. Transformada de Fourier para señales periódicas (I)

∑∞

−∞=

−=k

kT

X )(2)( 0ωωδπω

0/ 2 / 2

/ 2 / 2

1 1 1( )e ( )T Tjk t

k T Tk

a t kT dt t dtT T T

ωδ δ∞

−

− −=−∞

= − = = ⇒∑∫ ∫

La CTFS del tren de impulsos tiene como coeficientes:

) ( )(k

x t t kTδ∞

=−∞

= −∑

Para su demostración partimos de un tren de impulsos:

−3T −2T −T 0 T 2T 3T t

1

x(t)

2π/T

4 2 2 40 T T T T

π π π π ω− −

X(ω)

CTFT para señales periódicas (II)

Señal Transformada ( )tδ 1

( )u t ( )1j

πδ ωω

+

)( 0tt −δ 0e j tω−

e ( ); Re 0 at u t a− > ωja +1

e ( ); Re 0 att u t a− > ( )21

ωja +

1

e ( ); Re 0( 1)!

n

att u t an

−− >

− ( )nja ω+

1

⎩⎨⎧

>≤

=1

1

,0 ,1

)(TtTt

tx 12sen( )Tωω

senWttπ ⎩

⎨⎧

><

=WW

Xωω

ω ,0 ,1

)(

Pares transformados (señales no periódicas)

Pares transformados (señales periódicas)Señal Transformada

0e jk tk

ka ω

∞

=−∞∑ ( )∑

∞

−∞=

−k

k ka 02 ωωδπ

0e jk tω )(2 0ωωπδ −

0cos( )tω ( ) ( )[ ]00 ωωδωωδπ ++−

0sen )( tω ( ) ( )0 0jπ δ ω ω δ ω ω− − +⎡ ⎤⎣ ⎦

1)( =tx ( )ωπδ2

∑∞

−∞=

−k

kTt )(δ ∑∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

k Tk

Tπωδπ 22

)()(2 ,0

,1)(

0

01

1

txTtxTtTTt

tx

=+⎩⎨⎧

≤<<

= 22

00∑

∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

k Tk

Tπωδπ

Pares de CTFT de señales típicas

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80 100 120050

100150200250300

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.2

0.30.40.5

0 50 100 150 200 2500123456

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

-100 -50 0 50 1000123456

0 50 100 150 200 25005

1015202530

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.20.4

0.60.8

1

0 20 40 60 80 100 120010203040506070

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2

f = 8 Hz SR = 256 HzT2 = 0.5 s

Seno Delta

Gausiana Gausiana

Sinc Cuadrada

Exponencial Lorentz

Sin. Amort. Lorentz

CTFT de las funciones seno y coseno

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0( ) sen ( )2 2

j t j te ex t t Xj j j

ω ω πω ω δ ω ω δ ω ω−

= = − ←⎯→ = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦TF

( ) ( ) ( )0 0

0 0 0( ) cos ( )2 2

j t j te ex t t Xω ω

ω ω π δ ω ω δ ω ω−

= = + ←⎯→ = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦TF

|X(ω)|

−ω0∠ X(ω)

ω0ω

ω

π

ω0

−ω0

π/2

−π/2

|X(ω)|

∠ X(ω)ω0−ω0

ω

ω

π

ω0−ω0

6. Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo continuo (I)

Dado un sistema LTI con respuesta al impulso h(t), se define la respuesta en frecuencia del sistema H(ω) como:

( ) ( ) e j tH h t dtωω∞ −

−∞= ∫

h(t)H(ω)

x(t) y(t)=x(t)∗h(t)

X(ω) Y(ω)=X(ω)·H(ω) )()()(

ωωω

XYH =

La respuesta en frecuencia representa el conjunto de autovaloresdel sistema para las autofunciones del tipo:

0 00( ) e ( ) ( ) ej t j tx t y t Hω ωω− −= ⇒ =

0( ) e j tx t ω−=

Dado que H(ω) es una función compleja de variable real, es necesario conocer su módulo y su fase. El módulo y la fase de la respuesta en frecuencia serán:

El módulo o amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud) representa la ganancia del sistema a cada pulsación ω o componente espectralLa fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase)representa el desfase introducido por el sistema a cada pulsación ωo componente espectral La respuesta en frecuencia de un sistema LTI existirá si y sólo si el sistema es estable.

Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo continuo (II)

)()()(y )()(

)( ωωωωω

ω XYHXY

H ∠−∠=∠=

7. Muestreo ideal

Dada una señal x(t), ¿existe una señal x[n] compuesta por una secuencia de números tal que a partir de ella podamos recuperar x(t)?¿Es suficiente la información de una serie de muestras para recomponer la señal x(t)?¿Cuál es el nº mínimo de muestras necesarias para reconstruir la señal?¿De qué dependerá el número mínimo de muestras necesarias?

En general, no podemos esperar que una secuencia de números identifique a una señal concreta sin añadir ninguna condición adicionalHay un número infinito de señales que se pueden generar a partir de una secuencia

Condiciones de muestreo

Muchas señales tienen las mismas muestras

Las técnicas de muestreo pierden la información existente entre las muestras si no se cumplen unas condiciones:

Señal de banda limitadaMuestras tomadas “suficientemente cercanas” en relación a la máxima frecuencia de la señal

Ejemplo sencillo de muestreo

¿Que notamos?No es suave!Se pierde información!

¿Que podemos hacer?Reconstrucción de mayor orden Usar más muestras¿Cuántas muestras más?

t

x(t)

Conversión A/D (I)

MUESTREO Discretización en el tiempo.Toma de muestras de la señal analógica en instantes determinados de tiempo.

CUANTIFICACIÓN Discretización de amplitud.Asignación de los valores de las muestras de la señal analógica a valores discretos, predefinidos, de un conjunto finito de valores.

CODIFICACIÓN Representación de los valores cuantificados. Asignación de un código de N bits a cada uno de los valores de la señal discreta

A/DCodif.

x(t) x[n] xq[n] 001001

Señal analógica

Señal discreta

Señal cuantificada

Señal digital

Ts→1 Cuantif.Muestreoxp(t)

Conversión D/A (I)

DECODIFICACIÓN Conversión de códigos digitales a una secuencia discreta.

Asignación de un valor numérico a cada una de las palabras digitales de N bits

INTERPOLADOR Conversión de una secuencia de impulsos equiespaciados Ts a una señal definida ∀ t

Se convoluciona cada impulso con una función baseFILTRO PASO BAJO Limita el espectro para igualarlo al de la señal original

D/AFiltro

P. Bajo

Señal digital

Señal analógica

Señal analógica

xa(t)x[n]001001Decodif. 1→Ts Interpolador

xp(t)

Señal analógica con glitch

Un método típico de obtener una señal discreta a partir de una continua es realizar un muestreo de la señal continua en el tiempo y asignar: x[n]=x(nTs)

Desde el punto de vista matemático, muestrear equivale a multiplicar la señal continua por una señal moduladora p(t)

Muestreo periódico

x(t) x[n]=xp(nTs)Ts→1fs=1/Ts

xp(t)

¿Cómo muestreamos?

x(t) señal a modular o muestrear p(t) señal moduladora o muestreadoraxp(t) señal modulada o muestreada

p(t) “idealmente” será un tren de deltas. En la práctica un tren de pulsos

( )x t( )p t

( )px t

Relación entre señales continuas y discretas

xp(t) es una señal en el tiempo continuo Se puede generar una secuencia de números x[n] a partir de xp(t)Para poder recuperar xp(t) a partir de x[n] necesitamos conocer la frecuencia de muestreoDada una secuencia de números podemos recomponer xp(t) si

conocemos la frecuencia de muestreo y la señal tiene determinadas características (teorema de Nyquist)

Nota: no vamos a realizar una conversión analógica/ digital (A/D) completa en sentido estricto, ya que no se cuantificarán los valores de x[n]

El teorema de muestreo determina cuanta información se requiere cuando se muestrea una señal y se quiere que estérepresentada por sus muestras.

“Una señal de banda limitada, puede reconstruirse a partir de un conjunto de muestras equiespaciadas si la frecuencia (o pulsación) de muestreo es igual o superior a dos veces la frecuencia (o pulsación) máxima de la señal”

Siendo ωs =2π/Ts

Teorema de muestreo (teorema de Nyquist)

ωs ≥ 2·ωm

Suponiendo que x(t) ↔ X(ω) es una señal de banda limitada en el intervalo de frecuencia [− ωm, ωm]. X(ω)=0, para |ω|>ωm

Entonces x(t) se puede reconstruir de forma exacta a partir de un conjunto de muestras equidistantes si se cumple ωs ≥ 2·ωm

(rd/seg), o lo que es lo mismo Ts ≤ 2π/ωm (seg)

X(ω)

ωωm-ωm

1

Teorema de muestreo. Comprobación (I)

Conversión de un tren de impulsos a secuencia discreta

( )x t [ ] ( )x n x nT=( )px t

( ) ( )n

p t t nTδ∞

= −∞

= −∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (modulació n)pn

x t x t p t x t t nTδ∞

=−∞

= = −∑

( ) ( ) ( )pn

x t x nT t nTδ∞

=−∞

= −∑2( ) ( ) 2 / , pulsación de muestreos s

kP k T

Tπω δ ω ω ω π

∞

=−∞

= − = =∑

( )1 1( ) ( )* ( )2p s

kX X P X k

Tω ω ω ω ω

π

∞

=−∞

= = −∑1 2( )p

k

X X kT T

πω ω∞

=−∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Teorema de muestreo. Comprobación (II)

( )x t( )p t

( )px t

La operación de muestreo equivale a una modulación con un tren de pulsos

Espectro de x(t)

Tren de impulsos en el dominio de la frecuencia

Espectro de la señal muestreada cuando:

2 / 2 s mTω π ω= >

Espectro de la señal muestreada cuando:

Teorema de muestreo. Comprobación (III)

ωs 2ωs 3ωs−ωs−2ωs−3ωs ω0

2π/T

P(ω)

Xp(ω)

ωs 2ωs 3ωs−ωs−2ωs−3ωs ω0

1/T

2 / 2 s mTω π ω= <

X(ω)

ωωm−ωm

1

Xp(ω)

0

1/T

ωs 2ωs 3ωs−ωs−2ωs−3ωs ωωm−ωm

Reconstrucción muestreo ideal

Hr(ω)( )x t ( )rx t( )px t

( ) ( )sn

p t t nTδ∞

=−∞

= −∑

X(ω)

ωωm−ωm

1

Xr(ω)

ωωm−ωm

1

ωm<ωc<(ωs-ωm)

Podemos reconstruir la señal original utilizando un filtro paso bajo

ωs 2ωs−ωs−2ωs

ω0

1/Ts

Xp(ω)

ωm−ωm

Hr(ω)

ωωc−ωc

Ts

Reconstrucción muestreo ideal (II)

( ) ( )· ( ) [ ] ( )p s sn

x t x t p t x nT t nTδ∞

=−∞

= = −∑

( ) ( )* ( ) [ ] ( ) * ( )p r s s rn

x t x t h t x nT t nT h tδ∞

=−∞

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

( ) ( )* ( ) [ ] ( )p r s r sn

x t x t h t x nT h t nT∞

=−∞

= = −∑( ( ))( ) ( )* ( ) [ ]· ··( )

c sp r s s

n s

sen t nTx t x t h t x nT Tt nT

ωπ

∞

=−∞

−= =

−∑

, | | ( )( ) ( )0 , | | ·s c c

r r sc

T sen tH h t Tt

ω ω ωωω ω π

<⎧= ⎯⎯→ =⎨ >⎩

Núcleo de interpolación

Reconstrucción de una señal con muestreo ideal (III)

Hr(ω)

ωωc−ωc

Ts

, | | ( )( ) ( )0 , | | ·s c c

r r sc

T sen tH h t Tt

ω ω ωωω ω π

<⎧= ⎯⎯→ =⎨ >⎩

Función“sinc·”

El núcleo de interpolación es una función de tipo “sinc·”desplazada al instante de muestreoEs la respuesta al impulso de un filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte igual a la mitad de la frecuencia de muestreo

Si se satisface la condición ωs>2·ωm, y ωc=ωs/2 entonces la fórmula de reconstrucción viene dada por:

Reconstrucción de una señal x(t) a partir de sus muestras

Reconstrucción de una señal con muestreo ideal (IV)

sen( ( ))( ) [ ]

·( )

ss

sn

ss

t nTTx t x nT

t nTT

π

π

∞

=−∞

−=

−∑

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -2 0 2 4

Am

plitu

d

periodos de muestreo

Reconstrucción e interpolación usando sinc

Muestras reales

El submuestreo

Si se produce submuestreo o “aliasing”:

Las frecuencias se solapan sumándose. Este proceso cambia la forma del espectro. No hay proceso que permita discriminar las frecuencias distorsionadas, por lo que el proceso es irreversible

La señal original no puede reconstruirse de forma exacta. Se pierde información y aparece una serie de información falsa (alias)

Si la señal no está limitada en banda de forma estricta, el muestreo puede hacerse al doble de la banda efectiva.

Aliasing: superposición de espectros 0( ) cos( )x t tω=

Aliasing sobre una función coseno

ω0- ω0ω0

πX (ω)

0 2ω0 ωs ω

Xp(ω)

-ωs

Hr(ω)T

ωs/2-ωs/2-2ω0

π/T

ω0-ω0

0 2s

Tωπω < =

0 2s

Tωπω > =

0 ω

Xp(ω)

ωs-ωs

Hr(ω)T

-

π/T

ω0-ω0

-(ωs-ω0) (ωs-ω0)

cos(ω0t)

cos((ωs-ω0)t)

Muestreo de una señal continua x(t)=cos(4000πt) con periodo de muestreo T = 1/6000 y tasa de muestreo ω=2π/T

Ejemplo

ω0

π/T

Xp(ω)T

−16kπ

Hr(ω)

−12kπ −8kπ −4kπ 4kπ 8kπ 12kπ 16kπ

Sólo hay dos posibilidades para evitar el aliasingMuestrear más rápido – a veces no es posible (¿Por qué?).Usar un filtro anti-aliasing

Un filtro anti-aliasing es un filtro paso-bajo analógico (LPF) que se aplica a la señal antes del muestreo.

La idea es sencilla: quitar las altas frecuenciasLa respuesta en frecuencia ideal del filtro anti-aliasing es la de un filtro paso-bajo ideal, donde ωc es la frecuencia de corte Incluso cuando el filtro paso bajo destruye información, es preferible al efecto del aliasing.

Anti-aliasing. Ideas

Diagrama de un sistema de conversión analógico/digital

H(ω) Ξ Filtro anti-aliasing (paso bajo) FILTRADO ANTI-ALIASING Filtro paso bajo

Limita en banda la señal de entradaMUESTREO Discretización en el tiempo.

Toma de muestras de la señal analógica en instantes determinados de tiempo.

CUANTIFICACIÓN Discretización de amplitud.Asignación de los valores de las muestras de la señal analógica a valores discretos, predefinidos, de un conjunto finito de valores.

Filtrado anti-aliasing

xq[n]A/D

xf(t) x[n]Ts→1 Cuantif.Muestreo

xp(t)H(ω)

x(t)

Espectro de la señalanalógica

Espectro con filtradoanti-aliasing

Espectro de la señalmuestreada sin aliasing

Filtrado anti-aliasing

A

ωm−ωmω

X(ω)

A

ωc−ωc ω

Xf(ω)

A

ωc−ωc ω

Xp(ω)

ωs−ωs

Hf(ω)

1 , | |( )

0 , | |c

fc

Hω ω

ωω ω

<⎧= ⎨ >⎩

Imagen original Imagen submuestreada Imagen con filtradoAnti-aliasing

Anti-aliasing. Ejemplo

Ejemplo de submuestreo: el estroboscopio

Δ > 0, la imagen estroboscópica se desplaza hacia delante, pero a un ritmo inferior. Δ = 0, imagen estroboscópica fija.Δ < 0, la imagen estroboscópica se desplaza hacia atrás.

9. Aplicación de la Transformada de Laplace a los sistemas LTI (I)

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TLstX s x t e dt TL x t t X s∞ −≡ ≡ ⎯⎯→∫ x

s ∈ ¢, X(s) ∈ ¢s=σ+jω

La definición dada tiene sentido únicamente para funciones causalesω corresponde a una pulsaciónPara que la Transformada de Laplace (TL) de x(t) exista deben existir algunos valores de la variable s para los cuales la integral converja. En caso contrario no existe X(s). Al conjunto de valores de s para los cuales la integral converge, se le llama región de convergencia(ROC) de X(s) ≡ ROCX.La ROC se representa en el plano ¢ mediante una zona sombreada, Su representación será tridimensional

Diagrama de polos y ceros (I)

Ceros: valores de s que anulan a X(s). Por notación: CERO ≡ oPolos: valores de s que hacen ∞ a X(s). Por notación: POLO ≡ x

Cuando la TL proviene de: una combinación lineal de exponenciales complejas, o de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales decoeficientes constantes, entonces:

La expresión algebraica de la transformada es un cociente de polinomios. En este caso se dice que se trata de una transformada racional

( )( ) ; ( ) ( )( )

N sX s N s D s sD s

= donde y son polinomios en

Diagrama de polos y ceros (II)

Si H(s) es cociente de polinomios en s:

11 1 0

11 1 0

( )n n

n nm m

m m

b s b s b s bH sa s a s a s a

−−

−−

+ + + +=

+ + + +L

L

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

n

m

s c s c s cH s ks p s p s p

− − −=

− − −L

L

ci: ceros del sistema

pi: polos del sistema

Salvo un factor, cualquier polinomio queda definido por sus raíces2

1 2

1 2

( 2)( ) ;( 1)( 2)

21; 2

sX ss sc cp p

−=

+ += == − = −

Ceros: Polos:

Diagrama de polos y ceros (III)

Coeficientes de H(s) reales ceros y polos reales o complejos conjugados

Ejemplo 1:1 1( ) 1H s

RC sRC

=+

Ejemplo 2:

( ) 2( 1 2 )( 1 2 )

sH ss j s j

=+ − + +

σ

jω

plano s

2jcero en ∞

-2j

-1-1/RC

cero en ∞

eje real σ

eje imaginario jω

plano s

La ROC de X(s) es un semiplano que se extiende hacia la izquierda del plano s

Para TL racionales, la ROCX no contiene ningún polo: por definición de ROC, en todos los puntos de la misma, la integral debe converger

Propiedades de la ROC (I)

−2 0 2 4 σ

jω

(2)

ROCX

Propiedades de la ROC (II)

Si x(t) es de duración finita y existe al menos un punto s0 para el cual X(s) converge, entonces la ROCX es todo el plano s

T1 T2 t

x(t)

Señal de duración finita ⇒ ROCX =∀ s

jω

ROCX

σ

Propiedades de la ROC (III)

Si x(t) es señal derecha y existe al menos un punto s0 para el cual X(s) converge, entonces todos los valores Res > Res0 pertenecen a la ROCX

Señal derecha:x(t)=0, ∀t<T1

T1 t

x(t)jω

ROCX

σ

Señal x(t) derecha ⇒ ROCX a la derecha del polo de mayor parte real

X(s) Y(s)= X(s)H(s)S1 LTIH(s)

x(t) y(t)=x(t)∗h(t)S1 LTI h(t)

Sea un sistema LTI de tiempo continuo con respuesta al impulso Sea un sistema LTI de tiempo continuo con respuesta al impulso hh((tt))

Si Si xx((tt)), , hh((tt) e ) e yy((tt) tienen TL, y aplicando la propiedad de convoluci) tienen TL, y aplicando la propiedad de convolucióón, n, obtenemos en el dominio transformado:obtenemos en el dominio transformado:

9. La Función de Sistema (I)

HROC;)()()(

sXsYsH = ( ) ( ) ( )stH s h t e dt TL h t

∞−

−∞

≡ =∫

H(sH(s)) ΞΞ FunciFuncióón de sisteman de sistema

0

La función de sistema (II)

La expresión algebraica de la función de sistema, H(s), se puede obtener como la relación entre TL de la salida y la entrada.

No es necesario que la entrada sea un impulso unidad.

A esta función también se le llama función de transferencia del sistema

Si la expresión algebraica de la función de sistema es de tipo racional, podemos expresar H(s) en función de los polos pi y los ceros ciSuponiendo raíces simples:

La respuesta en frecuencia equivale a la función de sistema particularizada en s=jω

Función de sistema vs. respuesta en frecuencia (I)

( )

( )⇒

−

−==

∏∏

ii

ii

ps

csk

sDsNsH)()()(

)())(()())(()(

21

21

n

m

pspspscscscsksH

−−−−−−

=L

L

|H(ω)|: Amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud)ÊH(ω): Fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase)

( ) ( ) jH H ss j

ωωω

∈== H ROC ,

La respuesta en frecuencia se puede evaluar a partir del diagrama de polos y ceros

Eje jω del plano ¢: “eje de frecuencias”.

El módulo se puede calcular como el producto de distancias desde el punto sobre el eje jω hasta cada uno de los ceros, dividido por el producto de distancias desde el punto sobre el eje jω hasta cada uno de los polos (salvo una constante):

1 2

1 2

( ) m

n

j c j c j cH k

j p j p j pω ω ω

ωω ω ω

− − −=

− − −L

L

Distancias de los ci al eje jω

Distancias de los pi al eje jω

Función de sistema vs. respuesta en frecuencia (II)

Algo más sobre polos y ceros…

Los polos y los ceros de la expresión de la TL caracterizan la función en el dominio del tiempo casi completamente

σ

ω

Consideramos la forma general de una e.d.l.c.c. (N y M≥0):

Dos solucionesSolución homogénea (régimen libre o transitorio)

Solución completa (régimen forzado o permanente)

y(t)=yh(t)+yp(t)∑∑==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxdb

dttyda

00

)()(

∑∑==

=⇒=N

k

tkh

N

kk

k

kiecty

dttyda

10

)(0)( λ

1

0 son soluciones de N

ki k

k

a sλ=

=∑ Soluciones del pol. característico

Para hallar ck es necesario conocer las condiciones iniciales:

0)( , ,

0)( ,

0)( ),0( 1

1

2

2

=== −

−

tdttyd

tdttyd

tdttdyy N

N

L

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (I)

Para un sistema lineal, si la entrada x(t) es nula, la salida y(t) también.

y la ecuación queda reducida al caso homogéneo.

Para que la solución homogénea sea nula, todas las constantes ckdeben ser nulas, y para ello es necesario que todas las condiciones iniciales sean nulas ⇒

0)( )()( 0)( Si 2

2

====⇒= M

M

dttxd

dttxd

dttdxtx L

Para que un sistema descrito por una e.d.l.c.c. sea lineal, es necesario que todas las condiciones iniciales sean nulas

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (II)

Supongamos que todas las condiciones iniciales de la siguiente e.d.l.c.c. son nulas

Supongamos que la entrada x1(t) da lugar a la solución particular y1(t) y que la entrada x2(t) da lugar a la solución particular y2(t). Si tomamos una entrada x3(t) = ax1(t)+bx2(t) se cumplirá:

∑∑==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxdb

dttyda

00

)()(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1 0

11 1 0

n nn n

m mm m

a y t a y t a y t a y t

b x t b x t b x t b x t

−−

−−

′+ + + +

′= + + + +

L

L

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (III)

( )

( )∑∑

∑∑∑∑

∑∑

==

====

==

+=

⇒+=+=

=+

=

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

dttytyd

adt

txdb

dttyda

dttyda

dttxdb

dttxdb

dttxtxdb

dttxd

b

0

21

0

3

0

2

0

1

0

2

0

1

0

21

0

3

)()()(

)()()()(

)()()(

βα

βαβα

βα

Observamos que la entrada x3(t) = ax1(t)+bx2(t) da lugar a la solución y3(t) = ay1(t)+by2(t) si se cumple que todas las condiciones iniciales son nulas. Si alguna condición inicial fuera no nula habría que añadir la solución homogénea yh(t)≠0 a y3(t) y el sistema sería no lineal

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (IV)

Invarianza en el tiempo de un sistema descrito por una e.d.l.c.c.Como todos los coeficientes son constantes y la derivada es invariante en el tiempo, un sistema descrito por una e.d.l.c.c. seráinvariante si las condiciones iniciales son invariantes en el tiempo, es decir, si al retrasar o adelantar la señal de entrada, las “condiciones iniciales” se desplazan en el tiempo en la misma cantidad que la señal de entrada

Linealidad de un sistema descrito por una e.d.l.c.c.Un sistema descrito por una e.d.l.c.c. será LTI si y sólo si las condiciones iniciales son nulas y trasladables en el tiempo. A esa situación se le llama reposo inicial. Por tanto:

Un sistema descrito por una e.d.l.c.c. será LTIsi y sólo si parte del reposo inicial

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (V)

Sea un sistema descrito por una e.d.l.c.c. que parte de reposo inicial (LTI):

Consideramos que N y M son positivos (sólo aparecen derivadas)Suponemos que a0 es no nulo (aparece y(t))Aplicamos TF a ambos lados de la ecuación

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (VI)

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k kN M N M

k kk k k kk k

k k k k

d y t d x ta b a y t b x tdt dt= = = =

= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

N N M Mk kk k

k k k kk k k k

a TF y t a j Y b TF x t b j Xω ω ω ω= = = =

= = =∑ ∑ ∑ ∑

( )

( )0

0

( )( )( )

Mk

kkN

kk

k

b jYHX a j

ωωωω ω

=

=

= =∑

∑

Sea un sistema definido por e.d.l.c.c. que parte del reposo inicial

Aplicando TL se tiene:

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k kN M N M

k kk k k kk k

k k k k

d y t d x ta b a y t b x tdt dt= = = =

= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N N N Nk k k k

k k k kk k k k

M M M Mk k k k

k k k kk k k k

N Mk

k kk k

TL a y t a TL y t a s TL y t a s Y s

TL b x t b TL x t b s TL x t b s X s

Y s a s X s b s

= = = =

= = = =

= =

⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

=

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑Igualando ambos términos se tiene: k ⇒

Sistema causal ⇒ ROCH está a la derecha del polo de mayor parte real

kN

kk

kM

kk

sa

sb

sXsYsH

∑

∑

=

===

0

0

)()()(

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (VII)

H(s). Ejemplo (I)

Ejemplo 1:Ejemplo 1:

2

1

( )( )( )

V sH sV s

=

1

( ) 1sCH s

RsC

=+

11 sRC

=+

1 11RC s

RC

=+

1

2

1( )( ) 1

V ssCV s

RsC

=+

R=1Ω

V1(s) C=1F V2(s)

Módulo de H(s). Ejemplo (I)

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

Ejemplo 1RC

sRCsH 1

11)(+

=

Si damos valores:

C=1 F, R=1 Ω

11)(+

=s

sH

H(s). Ejemplo (II)

Ejemplo 2:Ejemplo 2:

2

1

( )( )( )

V sH sV s

=

( )( )1( )

I s RH sI s sL R

sC

=⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1R s

RL s sL LC

=+ +

2 1/Rs

s L Rs C=

+ +

Si damos valores: L=1 H, C=1/5 F, R=2 Ω

2( ) 2 22 5 ( 1 2 )( 1 2 )s sH s

s s s j s j= =

+ + + + + −

RV1(s) V2(s)

I (s) 1/sCsL

Módulo de H(s). Ejemplo (II)

Eje σ

Eje jω

|H(s)|

Ejemplo 22j

cero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

)21)(21(2)(

jsjsssH

++−+=

jω

σ

Amplitud de la respuesta en frecuencia

Eje σ

Eje jω

|H(s)|Respuesta en

amplitud

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

10. Introducción al filtrado

Filtro paso bajoPrimer ordenSegundo orden

Filtro paso alto Primer ordenSegundo orden

Filtro paso banda

Filtro paso bajo de 1er orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Un polo y un ceroUn polo y un cero

σ

jω

plano s

1)( 0

+=

c

sHsH

ω

0

1c

HH( ) jω ωω

=+

Diagrama de polos y ceros Función de

transferenciaRespuesta en

frecuencia

02

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(ω)|

ωc ω

H0

0

2H

Respuesta en amplitud

cero en ∞

-ωc

Filtro paso bajo de 1er orden (II)

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

11)(+

=s

sH

|H(jω)|

ωc ω

H0

Filtro paso bajo de 1er orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

11)(+

=s

sH

|H (jω)|

ω

H0

20H

ωc=

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

Filtro paso bajo de 2o orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Dos polos y dos cerosDos polos y dos ceros

Función de transferencia

bassHsH

++= 2

0)(

Posible aproximación

22

2

0 2)(

cc

c

ssHsH

ωωω

++=

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros

cero doble en ∞

σ

jω

plano s

cero doble en ∞)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

Filtro paso bajo de 2o orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitudσ

jω

plano s

cero doble en ∞)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

22

2

0 2)(

cc

c

ssHsH

ωωω

++=

2

0 2 22c

c c

H( ) Hj

ωωω ω ω ω

=− + +

04

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(ω)|

ωc ω

H0

0

2H

1er orden

2o orden

( )

2

0 22 2 2 22

c

c c

H( ) H ωωω ω ω ω

=− +

44

2

0ωω

ω+

=c

cH

Filtro paso bajo de 2o orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

Ejemplo 3:Ejemplo 3:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=R

sCsL

RsC

sVsV

//1

//1)()(

1

2

)()()(

1

2

sVsVsH =

RsLLCRsR

++= 2

sCRsC

R

sCRsC

RsL

1

1

1+

++

=1

1

1+

++

=RsC

R

RsCRsL

RsLLCRsR

ssH

cc

c

++=

++ 222

2

0 2 ωωω

)/(1)/()/(11 2 LCRCss

LC++

=

Si se usa la aproximación anterior:

RV1(s) V2(s)C

L

Filtro paso bajo de 2o orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

j

σ

jω

plano s-j

-1

cero doble en ∞

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

222)( 2 ++

=ss

sH10 =H22 =cω

jω

σ

Filtro paso bajo de 2o orden (V)|H(jω)|

ωc ω

H0

j

σ

jω

plano s-j

-1

cero doble en ∞

H0

20H

|H (jω)|

2=cωω

222)( 2 ++

=ss

sH

Filtro paso alto de 1er orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Un polo y un ceroUn polo y un cero

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros Función de

transferenciaRespuesta en

frecuencia

Respuesta en amplitud

-ωc s

Hs

sHsHcc

ωω +=

+=

1)( 0

00

1 c

HH( )j

ω ωω

=−

02

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(jω)|

ωc ω

H0

20H

Filtro paso alto de 1er orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

L

L

RsC

R

RsVsV++

= 1)()( 12

)()()(

1

2

sVsVsH =

)(1

L

L

L

RRCs

sRR

R

+++

=

1L

L

R

R RsC

= =+ +

1)( ++=

L

L

RRsCsCR

cssHsHω+

= 0)(

Si damos valores: R=1 Ω, RL=1 Ω, C=0.5 F:12

1)(+

=s

ssH

RLV1(s) V2(s)

CR

Filtro paso alto de 1er orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

Eje σ

Eje jω

|H(s)|-1 σ

jω

plano s

121)(

+=

sssH

jω

σ

Filtro paso alto de 1er orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

-1 σ

jω

plano s

121)(

+=

sssH

H0

20H

ωc=

|H (jω)|

ω

Filtro paso alto de 2o orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Dos polos y dos cerosDos polos y dos ceros

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros

Función de transferencia2

0 2( ) sH s Hs as b

=+ +

σ

jω

plano s

(2)

)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

Posible aproximación2

0 2 2( )

2 c c

sH s Hs s ω ω

=+ +

(2)

Filtro paso alto de 2o orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitud

σ

jω

plano s

(2)

)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

22

2

0 2)(

ccsssHsH

ωω ++=

2

0 2 22 c c

H( ) Hj

ωωω ω ω ω

−=

− + +

04

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2 20

0 02 4 4 42 2 2 22 1c cc c

HH( ) H Hω ωωω ω ωω ω ω ω

ω

= = =+ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ |H(ω)|

ωc ω

H0

20H

1er orden

2o orden

Filtro paso alto de 2o orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

( )( )L

L

RsLsC

R

RsLsVsV//1

//)()( 12

++=

)()()(

1

2

sVsVsH =

LLL

L

RLCRRsRRLCsCLRs

++++=

)()(2

2

11

L

L L

L

sLRsLR sL RR

sC sL R

= =++ +

+

LL

L

L

sLRsC

RsLRRRsL

sLR

++

++=

22

2

0 2)(

ccsssHsH

ωω ++=

Si se usa la aproximación anterior:

)()()( 2

2

L

L

L

LL

L

RRLCR

RRLCLCRRss

sRRLC

LCR

++

++

++=

RLV1(s) V2(s)

CR

L

Filtro paso alto de 2o orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

125.0)( 2

2

++=

ssssH

5.00 =H1=cω

Eje σ

Eje jω

|H(s)| (2)

σ

jω

plano s

)1(2

1 j+−

)1(2

1 j−−

jω

σ

Filtro paso alto de 2o orden (V)|H(jω)|

ωc ω

H0

125.0)( 2

2

++=

ssssH

(2)

σ

jω

plano s

)1(2

1 j+−

)1(2

1 j−−

H0

20H

|H (jω)|

ωωc=

Filtro paso banda (I)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros Función de transferenciacero en ∞

20

20)(ω++

=BssBsHsH

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitud

0 2 20

BjH( ) Hj B

ωωω ω ω

=− + +

( ) ( )0

0 2 22 2 22 200 1

HBH( ) HB

B

ωωω ωω ω ω

ω

= =⎛ ⎞−− +

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Filtro paso banda (II)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

20H

=

⎩⎨⎧

=

=−2021

12

ωωω

ωω

cc

cc B

|H(ω)|

ω

022 2

0 1

HH( )

B

ωω ω

ω

=⎛ ⎞−

+⎜ ⎟⎝ ⎠

020

2 =−±⇒ ωωω B

1222

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⇒

Bωωω

122

0 ±=−

⇒Bωωω

ωc1 ω0

H0

20H

ωc2

B

24 2

02 ω

ω+±±

=BB

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

++=

24

24

20

2

1

20

2

2

ωω

ωω

BB

BB

c

c

Filtro paso banda (III)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

Ejemplo 6:Ejemplo 6:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

L

L

RsLsC

R

RsLsC

sVsV

////1

////1)()(

1

2

)()()(

1

2

sVsVsH =

RLRLRsLCRssL

L +++=

)/(2

1 11 1 1

1 1L

L

R sCsL RsC

sL R

= ⋅ =+ + +

+ +

1

1

+++=

RsCRR

sLR

L

20

20)(ω++

=BssBsHsH

Igualando términos:

LCRCRRRss

RCRRRs

RRR

L

L

L

L

L

L

12 ++

+

+

⋅+

=

RLV1(s) V2(s)C

R

L

Filtro paso banda (IV)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

L

L

RRRH+

=0

L

L

CRRRRB +

=

LC12

0 =ω

Si imponemos condiciones:H0=0.5, B=2 rad/s, ω0=5½ rad/s, R=1Ω

Ω=1LR

5225.0)( 2 ++

=ssssH

FC 1=

HL 5=

)21)(21( jsjss

++−+=

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

Filtro paso banda (IV)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

)21)(21(2)(

jsjsssH

++−+=

jω

σ

H0

20H

|H (jω)|

ωωc1ωc2ω0

Síntesis

1. Desarrollo en serie de Fourier

2. Transformada de Fourier

Ecuación de síntesis del CTFS

Ecuación de análisis del CTFS0

0

0

0

1 ( ) e

( ) e

jn tn

T

jk tk

k

a x t dtT

x t a

ω

ω

−

∞

=−∞

=

=

∫

∑

( ) ( ) e

( ) ( )

12

j t

j t

x t X d

X x t e dt

ω

ω

ω ωπ

ω

∞

−∞

∞ −

−∞

=

=

∫

∫ Ecuación de análisis de la CTFT

Ecuación de síntesis de la CTFT

Síntesis

3. Los coeficientes ak de la extensión periódica son muestras equiespaciadas de la función X(ω)

4. CTFT para señales periódicas

5. Relación con la función de sistema:

6. Principio de incertidumbre: Las propiedades de escalado en el tiempo y en frecuencia nos indican que si una señal se expande en uno cualquiera de los dominios, t o ω (f), inevitablemente se comprime en el dominio complementario.

00

1 ( )ka XkT

ωω ω

==

( ) ( ) e ( ) ROC , j t jH h t dt H ss j

ω ωωω

∞ −

−∞∈= =

=∫

00

-

( ) 2 ( ) jk t TFk k

k k

x t a e a kω π δ ω ω∞ ∞

= ∞ =−∞

= ←⎯→ −∑ ∑

LTI H(s)

( ) 0j tx t e ω= ( ) ( ) ( )0y t x t H ω=

7. Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

( ) 0jk tk

kx t a e ω

∞

=−∞

= ∑ ( ) ( ) 00

jk tk

k

y t a H k e ωω∞

=−∞

= ∑8. Respuesta en frecuencia de sistemas LTI de tiempo continuo (sólo si s=jω ⊂ ROCH)

( ) ( ) ( ) ( )( )

j t YH h t e dt H s

s j Xω ω

ωω ω

∞ −

−∞= = =

=∫9. Respuesta en frecuencia de sistemas LTI descritos por e.d.l.c.c.

( ) ( )( )

( )

( )0

0

Mk

kkN

kk

k

b jYH

X a j

ωωω

ω ω

=

=

= =∑

∑

Síntesis