1 la transformada de laplace. 2 la transformada de fourier la transformada de fourier para señales...
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La transformada de Laplace
2
La transformada de Fourier
La transformada de Fourier para señales periódicas es un espectro discreto de frecuencias. La primera ecuación es la de síntesis y la otra la de análisis.
dtetfT
etf
jnT
Tn
n
tjnn
0
0
2
2
)(1
)(
c
c
3
La transformada de Fourier
Existen funciones no periódicas como la función escalón, la función rampa, o la función impulso, etc. El espectro de estas funciones es un espectro continuo en los que se puede encontrar energía en cualquier intervalo de frecuencia diferente a cero, por pequeño que éste sea.
4
La transformada de Fourier
djetf
dttfej
tj
tj
)(21
)(
)()(
F
F
5
La transformada de Fourier
Existen funciones del tiempo que al querer encontrar su equivalente en Fourier, nos encontramos con una expresión indeterminada al sustituir los límites de integración. Este problema surge cada vez intentamos obtener la transformada de Fourier de una función del tiempo cuyo
0)(
ttlimf
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La transformada de Fourier
Algunas de estas funciones son el escalón, signo, etc. Aunque su equivalente de Fourier si exista y se obtenga a partir de ciertos resultados básicos, existen ciertas funciones como la exponencial creciente, señales aleatorias, y otras que no son absolutamente integrales.
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La transformada de Fourier
Además las técnicas de Fourier no permiten analizar los sistemas a partir de las condiciones iniciales que este presenta. Estas dos objeciones se superan al usar la transformada de Laplace, que además tiene una nomenclatura más sencilla y una mayor facilidad de manejo.
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Frecuencia compleja
Antes de comenzar el desarrollo de la Transformada de Laplace, se dará una definición puramente matemática de la frecuencia compleja, para luego desarrollar gradualmente una interpretación física mientras avanza el curso.
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Frecuencia compleja
Se dice que cualquier función que puede escribirse en la forma
donde y son constantes complejas (independientes del tiempo), está caracterizada por la frecuencia compleja
Para conocer la frecuencia compleja de una función dada por inspección, es necesario escribirla de la forma anterior.
tet sKf )(K s
s
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Frecuencia compleja
Considerese la siguiente función senoidal exponencialmente amortiguada
donde
tjjm
tjjm
tm
eeVeeVtf
teVtf
)()(
21
21
)(
)cos()(
*1221
*1221
;
21
;21
ssjsjs
KKeVKeVK jm
jm
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Frecuencia compleja
La parte real de está asociada con la variación exponencial; si es negativa, la función decrece conforme t aumenta, si es positiva aumenta, y si es cero, la amplitud de la senoidal es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la parte real de , mayor será la rapidez del aumento o disminución exponencial.
s
s
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Frecuencia compleja
La parte imaginaria de describe la variación senoidal; específicamente, representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria indica una variación más rápida respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores de la magnitud de , indican una variación más rápida respecto al tiempo.
s
s
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Frecuencia compleja
Se denota por a la parte real, y por a la parte imaginaria:
es la frecuencia compleja, es la frecuencia neperiana y es la frecuencia angular.
js
s
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La transformada de Laplace
La transformada de Laplace se presentará como un desarrollo o evolución de la transformada de Fourier, aunque se podría definir directamente. El objetivo es hacer que la variación en el tiempo sea de la forma
tje )(
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La transformada de Laplace
Para lograrlo se considerará la transformada de Fourier de en vez de , haciendo entonces
y su respectiva transformada de Fourier
)(tfe t
)(tf
)()( tfetg t
dttfedttfeejG tjttj )()()( )(
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La transformada de Laplace
tomando la transformada inversa de Fourier se obtiene
dttfejFjG tj )()()( )(
djFetf
djFetfe
djFedjGetg
tj
tjt
tjtj
)(21
)(
)(21
)(
)(21
)(21
)(
)(
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La transformada de Laplace
Ahora se sustituye por la variable compleja , y como es constante,
donde la constante real se incluye en los límites para garantizar la convergencia de la integral impropia. En términos de
j
j
st dssFej
tf0
0
)(21
)(
js jdds
0
s
dttfesF st )()(
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La transformada de Laplace
La ecuaciones anteriores definen el par de la transformada bilateral de Laplace.Puede pensarse que la transformada bilateral de Laplace expresa a como la sumatoria (integral) un número infinito de términos infinitesimalmente pequeños cuya frecuencia compleja es
)(tf
js
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La transformada de Laplace
La transformada de Laplace que se toma con límite inferior
define la transformada unilateral de Laplace, la transforma inversa sigue inalterada, pero sólo es válida para
0t
0
)()( dttfesF st
0t
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La transformada de Laplace
También se puede usar el símbolo para indicar la transformada directa o inversa de Laplace:
L
)()(
)()(1 sF
sF
L
L
tf
tf
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La transformada de Laplace
Linealidad de Laplace
)()()( sAFtfAtAf LL
)()()()()()( 212121 sFsFtftftftf LLL
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La transformada de Laplace
Función exponencial
0;)(
0;0)(
tAetf
ttft
sA
tf )()( LsF
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La transformada de Laplace
Función escalón
)()(
0;)(
0;0)(
tAutf
tAtf
ttf
sA
tf )()( LsF
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La transformada de Laplace
Función rampa
0;)(
0;0)(
tAttf
ttf
2)()(sA
tf LsF
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La transformada de Laplace
Funciones de la forma
!1)(1
nt
Atfn
nsA
tf )()( LsF
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La transformada de Laplace
Función senoidal
0);()(
0;0)(
ttAsintf
ttf
22)()(
sA
tfLsF
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La transformada de Laplace
Función cosenoidal
0);cos()(
0;0)(
ttAtf
ttf
22)()(
sAs
tfLsF
28
La transformada de Laplace
Funciones desplazadas en el tiempo
0;0);()( ttutf
sesFtutf
tfsF
)()()(
)()(
L
L
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La transformada de Laplace
Función pulso
)()()(
;0;0)(
0;)(
000
0
00
ttutA
tutA
tf
ttttf
tttA
tf
)1()()( 0
0
stestA
tf LsF
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La transformada de Laplace
Función impulso
)()(
;0;0)(
0;0
)(
0
0
00
0
ttAtg
ttttg
ttt
tA
limtg
0)()( stAetgG Ls
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La transformada de Laplace
Funciones desplazadas en la frecuencia
)()( tfetg t
)()()()( sFtfetgG tLLs
32
La transformada de Laplace
Cambio de la escala de tiempo
)( sFt
f
L
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La transformada de Laplace
Teorema de diferenciación real
)0()()( fssFtfdtd
L
)1()2(21 )0()0()0()0()()(
nnnnn
n
n
fsffsfssFstfdtd L
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La transformada de Laplace
Teorema del valor final
Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.
)(0
)( ssFslim
tftlim
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La transformada de Laplace
Teorema del valor inicial
Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.
)()0( ssFslim
f
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La transformada de Laplace
Teorema de integración real
ssF
dttft )(
)(0
L
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La transformada de Laplace
Teorema de diferenciación compleja
)()( sFdsd
ttf L
...3,2,1);()1()( nsFdsd
tft n
nnnL
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La transformada de Laplace
Integral de convolución
dftftftft
0
2121 )()()(*)(
)()()(*)( 2121 sFsFtftf L
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La transformada de Laplace
Transformada inversa de Laplace
Integral de conversiónTablasFracciones parciales
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La transformada de Laplace
Fracciones parciales con polos distintos
Considere F(s) escrita en la forma factorizada
para m<n))...()((
))...()((
)()(
)(21
21
n
m
pspsps
zszszsK
sAsB
sF
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La transformada de Laplace
Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:
n
n
ps
a
psa
psa
sAsB
sF
2
2
1
1
)()(
)(
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La transformada de Laplace
en donde ak(k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por (s+pk) y suponiendo que s=-pk, esto nos lleva a
k
ps
kn
nk
k
kk
ps
k apsps
aps
ps
aps
psa
sAsB
pskk
)()()()()(
)(1
1
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La transformada de Laplace
Se observa que todos los términos expandidos se cancelan con excepción de ak. Por lo tanto el residuo ak se encuentra a partir de
kps
kk sAsB
psa
)()(
)(
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La transformada de Laplace
Encontrar la transformada inversa de Laplace de
)2)(1(3
)(
ss
ssF
)2()1()2)(1(3
)( 21
sa
sa
sss
sF
113
)2)(1(3
)2(
223
)2)(1(3
)1(
22
2
11
1
ss
ss
ss
sss
sa
ss
sss
sa
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La transformada de Laplace
21
12
)()( 111
sssFtf --- LLL
0;2)( 2 teetf tt
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La transformada de Laplace
Fracciones parciales con polos múltiples Se usará un ejemplo para demostrar como obtener la expansión en fracciones parciales de F(s)
3
2
)1(32
)(
sss
sF
33
221
)1()1(1)(
s
b
sb
sb
sF
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La transformada de Laplace
2)32()()1(
)1()1()()1(
12
13
3
1322
113
ss
ss
sssFsb
bsbsbsFs
0)22(32)()1(
)1(2)()1(
112
13
2
213
sss sssdsd
sFsdsd
b
bsbsFsdsd
1)2(21
3221
)()1(21
2)()1(
12
2
2
13
2
2
1
13
2
2
ss ssdsd
sFsdsd
b
bsFsdsd
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La transformada de Laplace
Realizar tareas 1 y 2