analisis numerico

UNEXPO Asignatura: Anlisis Numrico

Tema I: Introduccin al Anlisis Numrico

1

Tema I. Introduccin al Anlisis numrico

El anlisis numrico es una rama de las matemticas que involucra el estudio, desarrollo, y

anlisis de algoritmos para obtener soluciones numricas a varios problemas matemticos.

Frecuentemente, se le llama las matemticas de la computacin cientfica.

El anlisis numrico proporciona herramientas y mtodos para resolver problemas matemticos

en forma numrica. Su objetivo es desarrollar procedimientos computacionales detallados,

capaces de ser implementados en computadores y estudiar sus caractersticas de desempeo o

funcionamiento.

Un algoritmo es un conjunto de instrucciones para efectuar operaciones matemticas,

diseadas para conducir a la solucin de un problema dado.

Las computadoras permiten la solucin de problemas matemticos. Sin embargo, los resultados

se ven afectados por el uso de la aritmtica de precisin finita.

PARTE 1 CONCEPTOS BSICOS

1. Sistemas numricos

Nmero: es una cadena de elementos que tiene una parte entera, y puede tener o no una

parte decimal. Los decimales se separan de la parte entera mediante una coma. Cada

elemento ocupa una posicin en funcin de la base.

Un nmero racional se puede descomponer en una parte entera y una parte fraccional (o

decimal):

3210123 , dddDDDD o efgabcd ,

Elementos de nmero: cada uno de los caracteres que forman un nmero. (En el sistema

decimal: dgitos; en el sistema binario: bits).

Parte entera Parte fraccional Parte entera Parte fraccional



2

Base (o raz de un sistema numrico): denominador comn que permite determinar el

valor posicional de cada elemento de nmero.

1.1 Sistemas decimal y binario

Sistema decimal: es el frecuentemente utilizado. La base o raz es diez (10). Est

conformado por diez (10) dgitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La base o raz de un sistema numrico se denota con un subndice.

El valor de un nmero es el valor de la suma ponderada de sus dgitos. Es decir, el valor de un

nmero de base B es (abcdefg,hijk)B, y se calcula de la siguiente manera:

43210123456 *********** BkBjBiBhBgBfBeBdBcBbBa

Por ejemplo:

0123410 10*010*810*910*410*114980

Las computadoras no utilizan el sistema decimal, sino el sistema binario.

Sistema binario: es de base dos (2), slo est compuesto por dos (2) bits. El valor de un

nmero binario es la suma ponderada de sus bits segn la base.

Representacin: 210111

1.2 Otros sistemas en base B

Sistema octal: la base es ocho (8), est conformado por ocho (8) dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y

7.

La representacin de un nmero octal sera: 8521 .

Nota: Sirve para convertir cualquier nmero de base B

(binario, octal, hexadecimal) al sistema decimal.



3

Sistema hexadecimal: la base es diecisis (16), posee diecisis dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La representacin de un nmero hexadecimal sera: 1681 AE .

Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0 11 1011 13 B

1 1 1 1 12 1100 14 C

2 10 2 2 13 1101 15 D

3 11 3 3 14 1110 16 E

4 100 4 4 15 1111 17 F

5 101 5 5 16 10000 20 10

6 110 6 6 17 10001 21 11

7 111 7 7 18 10010 22 12

8 1000 10 8 19 10011 23 13

9 1001 11 9 20 10100 24 14

10 1010 12 A 21 100101 25 15

1.3 Conversin entre sistemas

Conversin desde cualquier sistema de base B al sistema decimal: como se expuso

en el tem 1.1, el valor de un nmero de base B es (abcdefg,hijk)B, se calcula:

43210123456 *********** BkBjBiBhBgBfBeBdBcBbBa

Por ejemplo, convertir de binario a decimal: 101112

10

01234

2 23124016*12*12*12*12*02*110111

Conversin de decimal a binario ( a cualquier otro sistema de base B): se realizan

divisiones sucesivas en aritmtica enteras del nmero en base diez (10), entre la base a

convertir "B" hasta obtener un cociente menor que esa base "B". Se ordenan los restos o

residuos del ltimo al primero para obtener el nmero en base "B".

Por ejemplo, convertir 2710 a binario: 210 1101127

27 2

1 13 2

1 6 2

0 3 2

1 1



4

Conversin entre sistemas de base B

De binario a octal, se separa el nmero binario en grupos de tres (3) bits de derecha a izquierda

y luego se halla el equivalente octal de cada grupo. Ejemplo:

octalA211011010111

827562

26571101101011111110111010

De binario a hexadecimal, se separa el nmero binario en grupos de cuatro (4) bits de derecha

a izquierda, y luego se halla el equivalente hexadecimal de cada grupo. Ejemplo:

lhexadecimaA201101010010

16246

460110101001001001010110 AA

De octal a binario, se halla el equivalente binario (3 bits) de cada dgito en octal y se ordenan en

la posicin de cada dgito octal. Ejemplo:

binarioA82364

2810011001110

0100111101023644632

De hexadecimal a binario, se halla el equivalente binario en nmeros de cuatro (4) bits para

cada dgito hexadecimal y se ordenan en la posicin que ocupe cada dgito hexadecimal.

Ejemplo:

binarioAFA 16289

21600101111100010101001

00111100101001101010289289 FAFA



5

1.4 Aritmtica binaria

Suma: para sumar dos (2) bits, basarse en

Ejemplo: 1112 + 1012

11 Acarreo

111

+ 101

1100 Resultado

Complemento a dos: para obtenerlo se invierte el nmero, y luego se le suma uno (1).

Ejemplo: hallar el complemento a dos de 11012

1101 Nmero a complementar

0010 Nmero invertido

+ 1 Se suma uno

0011 Resultado

Resta: para la resta se tiene que X Y=X + (-Y), donde -Y es el complemento a dos de Y.

Ejemplo 11102 - 01102

1

1110 1110

-0110 +1010

11000

Indica que el resultado es positivo

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 10



6

1.5 Notacin cientfica, punto flotante y redondeo

En la notacin cientfica: una cantidad se expresa como un nmero comprendido entre 1

y 9,999999 multiplicado por diez (10) elevado a un exponente entero.

La cantidad numrica que contiene el punto decimal se denomina mantisa y la potencia de diez

(10) se llama exponente.

Ejemplos:

5900000000000 millas, puede escribirse como: millas1210*9,5

0,000000000000000000000053 gramos = gramos2310*3,5

La forma punto flotante normalizada de un nmero real, es:

nkddddafl 10*)...,0()( 321

Donde: a = 0, d1d2d3dk es la mantisa de k dgitos

n es el exponente o caracterstica

El nmero 5900000000000 en punto flotante es: 1310*59,0

Redondeo: todo computador tiene un nmero finito de dgitos, por lo que es necesario

limitar toda expresin numrica mediante la tcnica de redondeo. Esto conlleva un error

inevitable, el llamado error de redondeo; ocurre porque la aritmtica de la mquina involucra

nmeros con slo una cantidad o nmero finito de dgitos.

Si se considera un nmero real positivo a:

nkkk dddda 10*...,0 211

Mantisa

Exponente

Mantisa Exponente



7

Este se puede reducir a la forma de punto flotante:

nkdddafl 10*)...,0()( 21

La normalizacin de a o fl(a), puede obtenerse tradicionalmente de dos maneras:

a) Cortando los dgitos dk+1dk+2. Este redondeo se llama cortando el nmero.

b) Si dk+1 5, se suma 1 a dk para obtener fl(a)

Si dk+1 < 5, se cortan todos, excepto los primeros k dgitos. Este redondeo se llama

redondeando el nmero.

Ejemplo: ...14159265,3

Si k = 5 y se emplea el cortado 110*)31415,0()( fl

Si se redondea a cinco dgitos 110*)31416,0()( fl

Entonces el error que resulta de reemplazar un nmero por su forma de punto flotante, se

denomina error de redondeo.

Error por desbordamiento (Overflow): el nmero no puede ser representado por el

computador debido a que excede el rango utilizable del punto flotante (>1,7x1038).

Error por subdesbordamiento (Underflow): el nmero calculado por la computadora no

puede ser representado, porque se encuentra por debajo del rango utilizable (



8

PARTE 2 MATRICES Y SUS PROPIEDADES

2. Matrices y vectores

2.1 Matriz

Una matriz de orden n x m es un arreglo rectangular de elementos con n renglones o filas y con

m columnas, en el cual no slo es importante el valor de un elemento sino tambin su posicin

en el arreglo.

nmnn

m

m

ij

aaa

aaa

aaa

aA

21

22221

11211

La notacin para una matriz n x m es una letra mayscula como A para la matriz, y letras

minsculas con subndices dobles como aij, para referirse a la componente o elemento en la

interseccin de la i-sima fila con la j-sima columna.

i y j son enteros y cumplen con 1 i n, 1 j m.

Una matriz de orden 1 * m se denomina vector fila o rengln m-dimensional; se representa as:

maaaa 11211

Una matriz de orden n * 1 se denomina vector columna n-dimensional; su representacin es la

siguiente:

1

21

11

na

a

a

a

Usualmente los vectores tienen una notacin de letra minscula en negrilla.



9

Matriz cuadrada: matriz con n = m, se dice que la matriz es de orden n.

La diagonal principal de una matriz cuadrada est conformada por los elementos de la matriz

cuyo i es igual a j a11, a22, a33 ann.

041

018

219

A

La diagonal secundaria est formada por los elementos an1, an-1 2, an-2 3 a1n.

041

018

219

A

La traza de una matriz cuadrada es la sumatoria de los elementos de su diagonal principal.

n

ija

1

ji

Matrices iguales: dos matrices An*m y Bp*q son iguales si pn , qm y ijij ba ji, .

Matriz diagonal: matriz cuadrada con 0ija ji .

Matriz identidad o matriz unidad: matriz cuadrada con 0ija ji y 1ija ji , se denota

con .

Matriz nula: matriz con 0ija ji, , tambin se denota por 0n*m.

Matriz triangular inferior: matriz con 0ija ji .

Matriz triangular superior: matriz con 0ija ji



10

Matriz simtrica: matriz cuadrada en la que todos sus elementos son simtricos respecto a la

diagonal principal. Es igual a su traspuesta. jiij aa ji, TAA

315

129

591

A

Matriz anti simtrica: matriz cuadrada que tiene opuestos todos los elementos que son

simtricos respecto a la diagonal principal, a su vez, los elementos de la diagonal principal son

iguales a cero. jiij aa ji y 0ija ji .

La matriz anti simtrica es igual a la opuesta de su traspuesta. TAA

012

101

210

A

Matriz traspuesta: se obtiene intercambiando filas por columnas. La traspuesta de una matriz

ijmn aA * es una matriz jinmT aA * . Esto es:

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

mnmm

n

n

T

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

Si

295

741

863

A

278

946

513TA



11

Propiedades de la trasposicin:

a) (A + B)T = A T + B T

b) (A * B) T = A T * B T

c) ( A) T = * A T

d) (A T) T = A

e) A T = A Si A es cuadrada y simtrica

2.2 Suma de matrices

Dadas dos matrices de igual orden n * m, A = (aij) y B = (bij), se define la suma como la matriz

de orden n * m dada por:

nmnmnnnn

mm

mm

ijij

bababa

bababa

bababa

baBA

2211

2222222121

1112121111

La suma A y B es la matriz que en la posicin ij tiene al elemento aij + bij. Slo est definida para

matrices de igual orden.

Propiedades de la suma de matrices:

a) A + (B+C) = (A + B) + C Asociativa

b) A + B = B + A Conmutativa

c) A + 0 = A Elemento neutro

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 Elementos simtricos

2.3 Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A de orden n * m y dado un escalar , se define su producto como la matriz de

orden n * m:



12

nmnn

m

m

ij

aaa

aaa

aaa

aAA

21

22221

11211

Propiedades:

a) ( + )* A = A + A

b) (A + B)* = A + B

c) ()*A = (A)

d) 1*A = A

2.4 Producto de matrices

Dadas dos matrices An*m y Bp*q, el producto A * B es una matriz de orden n * q, siempre y

cuando m = p. Cada trmino de la matriz resultante C, se halla mediante la expresin:

pjimjijiij bababac *...** 2211 El orden de la matriz resultante C es

n * q

n

k

kjikij bac

1

*

El elemento ij de la matriz producto, se obtiene sumando los productos de cada elemento de la

fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B.

Propiedades:

a) A * B B * A

b) A * (B * C) = (A * B) * C

c) A * (B + C) = A * B + A * C

d) A * I = I * A = A

e) A * 0 = 0 * A =0



13

2.5 Determinante de una matriz

2221

1211

aa

aaA 21222211

2221

1211aaaa

aa

aaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

322311332112312213322113312312332211333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

El menor: el menor complementario ij denotado Mij es el determinante de la submatriz que se

obtiene de A eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M

El cofactor o adjunto: se la matriz A, se define el cofactor ij denotado cij o aij, como

ijji

ij Mc

1

La adjunta: de una matriz A est formada por la matriz sustituida por los cofactores de la matriz

A, se denota AdjA.

2.6 Matriz inversa

Una matriz cuadrada de orden n, se dice que es invertible cuando existe otra matriz cuadrada

del mismo orden denotada A-1 con la que se cumple:

IAAIAA ** 11



14

Una matriz singular es aquella que no tiene inversa, su determinante es igual a cero (0). Una

matriz regular tiene inversa, el determinante es 0.

La inversa de una matriz se obtiene multiplicando la traspuesta de la adjunta de la matriz por el

inverso del determinante de la misma:

TAdjA

ADetA *

11

Polinomio Caracterstico: sea una matriz Anxn, entonces el polinomio de grado n, p() =det(A -

I), es el polinomio caracterstico de la matriz A.

Valores propios: son las n races (i, i = 1, 2 , ...,n) del polinomio caracterstico p() de la

matriz A.

Vectores propios: son aquellos vectores que cumplen la ecuacin: (A - iI) xi = 0,

Ejercicios

1. Escribir el nmero decimal correspondiente a los siguientes nmeros:

a) 100112

b) 101102

c) 111112

d) 111100112

e) 10112

f) 111012

g) 1,0000012

h) 110,10112

2. Escribir en base dos (2) los siguientes nmeros dados en base diez (10):

a) 34210

b) 36 10

c) 93210

d) 24310

e) 65810

f) 102410

g) 192,5810

h) 23510

3. Convierta los siguientes nmeros de decimal a octal:

a) 34210

b) 36 10

c) 93210

d) 24310

e) 65810

f) 102410

g) 192,5810

h) 23510



15

4. Convierta los siguientes nmeros de octal a decimal:

a) 43128

b) 57608

c) 51238

d) 45168

e) 63758

f) 6458

g) 1728

h) 2358

5. Convierta los siguientes nmeros binarios a octal y a hexadecimal:

a) 11011102

b) 1101110012

c) 1001111012

d) 1011010012

e) 100112

f) 101102

g) 111112

h) 111100112

i) 10112

j) 111012

k) 110112

l) 1100112

6. Convierta los siguientes nmeros de octal a hexadecimal:

a) 43128

b) 57608

c) 51238

d) 45168

e) 63758

f) 6458

g) 1728

h) 2358

7. Convierta los siguientes nmeros de hexadecimal a octal:

a) 918716

b) CAB16

c) F1C16

d) 4A516

e) 9A816

f) 4FE16

g) FEF16

h) 8FF16

8. Haga una aproximacin usando aritmtica de redondeo a cuatro cifras:

a) 0,3258132 b) 1,425138 c) 0,4263289 d) 3,2514326

9. Calcule en forma exacta y luego usando aritmtica de redondeo a cuatro cifras, las siguientes

operaciones:

a) 3

5

5

2 b)

3

2*

7

5 c)

7

4*

5

2

3

1

d)

8

5

7

1

5

2

10. Sea xx

xsenxx

xf

cos2

cos2



16

a) Calcule xflmx

2

b) Use aritmtica de redondeo a cinco cifras para evaluar f(0,1)

11. Si x = 0,43257143 y y = 0,43257824

a) Use aritmtica de redondeo a cinco cifras para calcular fl(x) y fl(y).

b) Calcule los errores relativo y absoluto

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