analisis numerico

Anlisis Numrico Avanzado/Anlisis Numrico IIa Facultad de Ingeniera-UBA

Angel N.Menndez Pg. 1/34 16/08/10

ANLISIS NUMERICO AVANZADO 75:38 ANLISIS NUMRICO II a

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUIA DE PROBLEMAS 2008

1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Problema 1.1 Dibujar el patrn de caractersticas para el siguiente problema:

( ) 0; , 0u f u x tt x

+ = <

0 0( ,0) 1 0 1

0 1

si xu x x si x

si x

a) Tomar f(u) = u2/2 b) Tomar f(u) = 4u

Problema 1.2 Sea la siguiente ecuacin diferencial:

0; , 0u uu x tt x

+ = < con condiciones iniciales

0 11 -1 0

( ,0)1 0 10 1

si xx si x

u xx si x

si x

+ < = < >

a) Dibujar el diagrama de curvas caractersticas para t > 0. b) Dibujar la forma de la solucin para dos tiempos t1 y t2 tales que 0 < t1 < 1 y 1 < t2

Problema 1.3 Dibujar cualitativamente el diagrama de curvas caractersticas para los siguientes problemas:

a) 2 0; , 0u uu x tt x

= < b) 2 0; , 0u uu x t

t x + = <

con las siguientes condiciones iniciales:

0 0( ,0) 0 1

0 1

si xu x x si x

si x







2 PROBLEMAS PARABOLICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 2.1 Sea el siguiente problema: u t = u xx , 0 x , t 0 u (x,0) = sen x u (0,t) = u( ,t) = 0 cuya solucin exacta es u (x,t) = e t .sen x. a) Resolverla utilizando el mtodo explcito centrado, tomando un paso x = /10. Comparar con la

solucin exacta. b) Recalcular la solucin usando el mtodo de Crank-Nicholson para la discretizacin temporal c) Replantear el problema con las siguientes condiciones de borde de Neumann en reemplazo de las de

Dirichlet: u x (0,t) = f(t), t0 u x ( ,t) = g(t), t0 donde f y g se obtienen de la solucin exacta. Resolverlo utilizando el esquema explcito centrado con el

mismo paso de malla. d) Recalcular el problema anterior con el mtodo fuertemente implcito. Problema 2.2 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial: u t + u = u xx , , >0. a) Discretizarla utilizando el esquema de Crank-Nicholson centrado espacialmente. b) Calcular el orden del error de discretizacin. c) Analizar la estabilidad numrica. d) Plantear el mtodo de clculo, discutiendo condiciones iniciales y de borde apropiadas. Problema 2.3 Sea la siguiente ecuacin diferencial: u t - (1+u) u xx = 0 a) Discretizarla utilizando un esquema explcito apropiado. Inspirndose en el caso lineal, establezca de qu

tipo deben ser las condiciones de estabilidad del esquema propuesto. b) Utilizando la condicin inicial siguiente



00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y condiciones de borde apropiadas, a su eleccin, avanzar cuatro pasos de clculo. c) Estudiar la tendencia de la solucin. Problema 2.4 Se tiene la siguiente ecuacin de adveccin-difusin

2

2

, 0 , 0 x u u uU x L tt x

+ = donde U y son constantes positivas. a) Utilizando el mtodo de acotamiento, surgen las siguientes condiciones de estabilidad:

Mtodo explcito centrado: t x2

2 , x U2

(1)

Idem pero con el trmino advectivo con upwinding:

t x

Ux

+ 2

(2)

Plantear un esquema donde el trmino advectivo se discretice como un promedio pesado entre la forma centrada y la forma con upwinding, y obtener las condiciones de estabilidad mediante el mtodo de acotamiento. Mostrar que esas condiciones se reducen a las expresiones (1) y (2) en los correspondientes casos lmites.

b) Explicar las caractersticas de cada uno de los tres mtodos en cuanto a precisin y en cuanto a estabilidad para el caso en que la adveccin es dominante. Tiene alguna ventaja el esquema propuesto en esta ltima situacin?

c) Plantear un esquema donde el trmino advectivo tenga upwinding pero sea fuertemente implcito. Demostrar, utilizando el mtodo de von Neumann, que la nica condicin de estabilidad es la primera de las condiciones (1).

Problema 2.5 Sea la siguiente ecuacin de adveccin-difusin

ut

U ux

ux

+ =2

2

donde U y son constantes positivas. a) Discretizarla utilizando un mtodo localmente unidimensional. Elija esquemas explcitos centrados

espacialmente. b) Demostrar que el mtodo as planteado es consistente.

Sugerencia: Reducir las dos ecuaciones en diferencias a una sola y demostrar la consistencia de esa ecuacin reducida.

c) Verificar que el orden de precisin del mtodo es el esperado.



Problema 2.6 Se tiene la siguiente ecuacin parablica bidimensional: u t = u xx + u yy , 0 x,y 1, t0 u(x,y,0) = sen( x).sen( y) u(0,y,t) = u(1,y,t) = 0 u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0 cuya solucin exacta es u(x,y,t) = e2

2 t sen( x).sen( y) a) Resolverla utilizando un mtodo explcito centrado con x=0.1. Comparar con la solucin exacta. b) Recalcular usando el esquema fuertemente implcito. Problema 2.7 Sea la siguiente ecuacin diferencial: u t + c1 u x + c 2 u y = ( u xx + u yy ) , c1 ,c 2 , > 0 a) Resolverla utilizando el mtodo de las direcciones alternadas de Peaceman-Rachford. Utilizar x=0.1. b) Recalcular mediante un esquema localmente unidimensional y fuertemente implcito. Analizar la

estabilidad numrica y la consistencia. Problema 2.8 Sea el siguiente problema parablico no lineal: ut=( a(u) ux )x , 0 x 1 , t0 , a(u)0 Construir una aproximacin de orden dos en el espacio y en el tiempo utilizando el esquema de tres niveles de Du Fort-Frankel. Problema 2.9 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial

u t x

u x

+

donde (x) es una funcin conocida, que crece montonamente con x. Se propone discretizar esa ecuacin mediante un mtodo explcito utilizando una malla con nodos alternados para u y , es decir que mientras u est localizado en los nodos j, j+1, j+2, etc., lo est en j+1/2, j+3/2, etc. a) Escribir la versin discretizada de la ecuacin diferencial, utilizando un esquema explcito de orden 2 en

el espacio. b) Teniendo en cuenta que la ecuacin diferencial puede reescribirse como

u t x

u x

ux2

=2

plantear un esquema ms estable que el anterior (reduciendo, como costo, el orden de precisin).

Demostrar, comparando con el esquema anterior, que esa mayor estabilidad se logra por la introduccin de un trmino de difusin numrica.



Problema 2.10 Se tiene la siguiente ecuacin

ut

ux

uy

= +( )2

2

2

2

donde es una constante positiva. a) Discretizarla por un mtodo localmente unidimensional fuertemente implcito. b) Mostrar que, si se utiliza el operador

el sistema de ecuaciones en diferencias obtenido en el punto anterior puede reducirse a la ecuacin

donde rx=t/x2 y ry=t/y2. (Sugerencia: escriba cada ecuacin del sistema en trminos del operador y luego opere para obtener la expresin requerida).

c) Desarrollar los operadores en la ecuacin obtenida en el punto anterior. Luego obtener la ecuacin modificada de Hirt, aunque sin efectuar la reduccin a operadores puramente espaciales. (Sugerencia: los desarrollos de Taylor hacerlos alrededor del nodo n+1,i,j). Comparar el trmino adicional obtenido con el correspondiente al mtodo directo fuertemente implcito, que vale

Cul de los dos mtodos numricos tiene mayor difusin numrica?

Problema 2.11 Se tiene la ecuacin de adveccin difusin:

2

2

xu

xuU

tu

=

+

donde U y son constantes. Ya se ha visto que si esta ecuacin se discretiza mediante un mtodo explcito directo, con el trmino difusivo centrado y el advectivo con upwinding, resulta un esquema consistente, condicionalmente estable. a) Discretizarla utilizando los mismos esquemas, pero con la tcnica de desdoblamiento ("splitting"). b) Mostrar que el mtodo as planteado es consistente. (Sugerencia: Llevar el problema en diferencias a una

sola ecuacin y slo analizar la parte en que difiere del mtodo explcito directo). Problema 2.12 Sea la siguiente ecuacin diferencial:

2 2

2 2

u u uDt x y

= +

Discretizarla mediante un mtodo explcito centrado espacialmente, utilizando la tcnica de desdoblamiento (mtodo localmente unidimensional). Considerar pasos espaciales (x,y) distintos en ambas direcciones. Demostrar que el esquema as construido es consistente con la ecuacin diferencial, teniendo en cuenta que ambos pasos espaciales son siempre del mismo orden, es decir, O(x/y)=1. (Sugerencia: reducir las dos

x ij i j i ju u u= + 1 2 1 2/ /

( )( )1 12 2 1 =+r r u ux x y y ijn ijn

2

2

4

42

4

42

2 12u

tt u

xx u

yy

+ +( )



ecuaciones en diferencias a una nica ecuacin, eliminando la variable intermedia, y hacer el anlisis de consistencia sobre esa ecuacin). Verificar que el orden de precisin del esquema numrico es O(t,x2,y2). Problema 2.13 Se tiene el siguiente problema parablico no lineal:

2

2( ) ; 0 < 1; ( ,0) ; (0, ) 0; (1, ) 0 u u uu x u x x u t tt x x

= < = = = donde = u, con = constante. Discretizarlo mediante un mtodo explcito centrado espacialmente. Aplicar el mtodo de von Neumann para obtener el factor de amplificacin de una perturbacin en trminos del parmetro p t/x2. A partir del factor de amplificacin obtenido determinar las condiciones de estabilidad numrica, suponiendo que u es siempre positivo y que 2 0 01

nj j ju u u x = , donde 2 1 12n n n nj j j ju u u u+ + (esta condicin

significa que la cota mxima de la curvatura de la solucin numrica es un codo inicial con 1 1 1N Nu u = ). Problema 2.14 Para el problema planteado en el Problema anterior, tomar

= 0,5; x = 0,25 y p t/x2 = 0,5.

a) Avanzar la solucin 4 pasos de clculo (con el mtodo explcito centrado). Graficarla. A partir de la observacin, indicar si la solucin calculada es estable numricamente. Explicar si esto es consistente con las hiptesis y con las condiciones de estabilidad halladas en el Problema anterior.

b) Linealizar el problema tomando un valor constante de igual a [u(x = 0,75;t = 0)]. Recalcular 4 pasos de la solucin con el mtodo explcito centrado tomando el mismo paso temporal que en el Problema anterior. Calcular la diferencia entre esta solucin y la del problema no lineal para cada uno de los 4 pasos de tiempo y graficarla. En base a la observacin y al anlisis de la aproximacin impuesta, sacar alguna conclusin acerca de la tendencia de este error para pasos de clculo creciente.

Problema 2.15 El desarrollo de una capa lmite laminar a lo largo de la superficie plana de un cuerpo rgido (ver figura 1) se describe por el siguiente sistema de ecuaciones, que expresan la conservacin de la masa y la cantidad de movimiento en la direccin de la corriente:

0u vx y + =

2

2

u u U uu v Ux y x y

+ = +

donde x e y son las coordenadas en las direcciones longitudinal y normal a la superficie del cuerpo, u y v las componentes de la velocidad en esas direcciones, respectivamente, U la velocidad de la corriente libre (es decir, lejos del contorno slido) y la viscosidad cinemtica del fluido. Esas ecuaciones de movimiento se complementan con las siguientes condiciones de borde, que expresan el no deslizamiento y la impenetrabilidad del contorno rgido y la tendencia asinttica hacia la corriente libre lejos de ese contorno:

( ,0) 0, ( ,0) 0, ( , ) ( )yu x v x u x y U x= =



Figura 1 Perfil vertical de velocidad horizontal para una capa lmite laminar

El problema de capa lmite se da para zonas lo suficientemente alejadas del comienzo de la superficie; si esta distancia es x, la condicin es Ux/ >>1. Para completar el planteo del problema an resta especificar los perfiles de las dos componentes de la velocidad para una seccin inicial x = xo, es decir, u(xo,y) y v(xo,y). En el caso particular en que no existe un gradiente de presiones longitudinal, la corriente libre U es constante (es decir, independiente de x), por lo que desaparece su contribucin en la ecuacin de la cantidad de movimiento. Este se conoce como el problema de Blasius del flujo sobre el plato, y es el que deber estudiar. Cmo clasifica al sistema diferencial? (parablico, hiperblico, elptico). Efecte un anlisis de escalas para mostrar que el espesor de la capa lmite (x) es del orden (x/U) si x es la distancia desde el inicio del plato. Demuestre tambin que (x)



donde f=. Las condiciones de borde se transforman en

(0) '(0) 0, '( ) 1f f f = = Resolverla mediante un mtodo de diferencias finitas y compararla con la solucin obtenida en el punto anterior al final del dominio. En base a ello, estimar cul es la distancia al inicio del plato.

Problema 2.16 Sea la siguiente ecuacin parablica: 2 2

2 2

u u uDt x y

= + .

a) Discretizarla utilizando un mtodo de desdoblamiento splitting (localmente unidimensional); en cada paso usar un esquema explcito centrado.

b) Demostrar que el mtodo es consistente, y determinar su orden de precisin. Por simplicidad, considere que x = y. Sugerencia: Despejar la incgnita del primer paso y reemplazarla en el segundo paso.

Frmula til: Desarrollo en serie de Taylor:

, ,

2 2 22 2

2 2, , ,

3 33 3

3 3, ,

3 32

2 2, ,

( , ) ( , ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )( )2 2

1 1( ) ( )6 6

1 1( ) ( )2 2

o o o o

o o o o o o

o o o o

o o o

o o o ox y x y

o o o ox y x y x y

o ox y x y

o ox y x y

f ff x y f x y x x y yx y

f f fx x y y x x y yx y x y

f fx x y yx y

f fx x y yx y x y

= + + + + + + + + +

2 4( )( ) ( )o

o ox x y y O h +

donde h es el orden de magnitud de ( )ox x y de ( )oy y .

Problema 2.17 Sea el siguiente problema de difusin: 2 2

2 2

u u uDt x y

= + . 0 x 1, t 0, con las

siguientes condiciones de borde:

( , ,0) ( ) ( ); (0, , ) (1, , ) 0; ( ,0, ) ( ,1, ) 0u x y sen x sen y u y t u y t u x t u x t = = = = = a) Discretizar la ecuacin diferencial mediante un mtodo de diferencias finitas localmente

unidimensional fuertemente implcito.

b) Tomando pasos de discretizacin x =y = 1/3 y r Dt/x2, avanzar la solucin un paso de tiempo. Calcular con una precisin de tres decimales.

c) En base a los resultados obtenidos en el punto anterior, sugiera una forma expeditiva de calcular la solucin numrica para cualquier paso de tiempo. En particular, determine cuntos pasos de tiempo son necesarios para que la solucin no supere en ningn punto un valor igual al 1% del valor inicial. Idem para el 1/oo.



Problema 2.18 Sea el siguiente problema:

2

2

1 0, , 0, ( , 0)

0 0si xu u uU D x t u x tsi xt x x

+ = < < > = = > .

a) Plantear su discretizacin mediante un mtodo de desdoblamiento (splitting); usar el mtodo de Lax en el paso advectivo y un esquema explcito centrado en el paso difusivo.

b) Suponga U = 2 m/s y D = 0,5 m2/s. Tomar x = 1. Elegir el paso temporal (t) de modo que el nmero de Courant valga 1. Avanzar la solucin 3 pasos de tiempo y graficarla. Elija un dominio de clculo lo suficientemente extendido como para que sus bordes no afecten la solucin.

c) Repetir los clculos tomando un Courant igual a 2 y otro igual a 0,5. Graficar la solucin. Comparando las tres soluciones numricas, saque conclusiones en cuanto a estabilidad y precisin de cada una.







3 PROBLEMAS HIPERBOLICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 3.1 Sea la siguiente ecuacin diferencial: ut - (1+u) ux = 0 a) Discretizarla utilizando un esquema explcito apropiado. Estudiar la estabilidad numrica. b) Utilizando las siguientes condiciones iniciales:

00 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,9

1

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 y condiciones de borde apropiadas (a su eleccin), realizar los primeros cuatro pasos del clculo. Problema 3.2 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial: ut - c ux + u = 0 ; c, > 0. a) Discretizarla utilizando un esquema implcito descentrado espacialmente. b) Establecer el orden del error de discretizacin. c) Hallar el coeficiente de viscosidad numrica. d) Analizar la estabilidad numrica. e) Plantear el mtodo de clculo, discutiendo sobre las condiciones iniciales y de borde apropiadas. Problema 3.3 Sea el siguiente problema hiperblico no lineal:

0 =+xuu

tu

con condiciones iniciales: u(x,t=0) = 1 , x 1 -x , -1 < x < 0 0 , x 0 Reescrita en su forma caracterstica, la ecuacin diferencial es



dudt

sobre dxdt

u= =0 Se define una grilla de discretizacin de pasos x = 0,5 y t = 0,4. a) Construir un esquema numrico explcito basado en las caractersticas. Utilizar los valores del paso de

tiempo n para obtener valores de la solucin en el paso n+1 pero en puntos no coincidentes, en general, con los nodos de la grilla. Luego hallar los valores nodales mediante interpolacin lineal. Avanzar 3 pasos de tiempo.

b) En base a los resultados obtenidos, inferir la solucin numrica asinttica para tiempos grandes. c) Obtener la solucin exacta del problema para los nodos de la malla y comparar con los valores numricos. d) Coinciden las soluciones asintticas exacta y numrica? En caso negativo sugerir variantes de clculo

para que s lo hagan. Problema 3.4 Sea la siguiente ecuacin diferencial: utt - c2 uxx = 0 a) Discretizarla utilizando un mtodo de paso doble de orden dos en el espacio y en el tiempo y hallar la

condicin de estabilidad. b) Discretizarla utilizando la idea del esquema de DuFort-Frankel y mostrar que es incondicionalmente

estable. c) Dadas las siguientes condiciones iniciales y de contorno:

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ut (x,0) = 0 u(0,t) = u(1,t) = 0 avanzar 3 pasos de clculo usando DuFort-Frankel. Tomar x = 0.1 y t = x / c. Problema 3.5 Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: vt + c vx = 0 wt - c wx = 0 a) Discretizarlo utilizando un esquema explcito descentrado (aguas arriba aguas abajo, segn

convenga). b) Dadas las siguientes condiciones iniciales y de contorno: Para v(x,0) y para w(x,0) :



00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,450,5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

v(0,t) = -w(0,t) v(1,t) = -w(1,t)

avanzar la solucin 3 pasos de clculo con x = 0.1 y t = x / c. c) Calcular u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) y comparar con los resultados del problema 4.6. Problema 3.6 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial: (u2/2)t + (u3/3)x = 0 a) Discretizarla utilizando el esquema de Lax. b) Demostrar que el factor de amplificacin, calculado por el mtodo de Von Neumann, vale: gn = (M cos(Kx) + i N sen(Kx))/(2 u jn+1 ) con M = (1-r u j

n+1 ) u j

n+1 + (1+r u j

n1 ) u j

n1

N = (1-r u jn+1 ) u j

n+1 - (1+r u j

n1 ) u j

n1

donde r = t / x (siendo t el paso temporal y x el espacial) y K es el nmero de ondas. c) Demostrar que si en la expresin anterior se toma u constante, se obtiene la condicin de estabilidad de

CFL. Problema 3.7 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial: ut + c1 ux + c2 uy = 0, c1, c2 > 0 a) Por analoga con el caso unidimensional (c2 = 0), discretizarla utilizando el esquema de Lax. b) Utilizando el mtodo de Neumann, demostrar que el factor de amplificacin es: g=1/2(cos(K1 h) + cos(K2 h)) - i (r1 sen(K1 h) + r2 sen(K2 h))

con r1 = c1 t / x y r2=c2 t / x (siendo t el paso temporal y x el espacial) y K1 y K2 las componentes del vector nmero de ondas en las direcciones x e y, respectivamente.

c) Hallar la condicin de estabilidad para el caso particular K1=K2. Mostrar que ella es ms restrictiva que la correspondiente al caso unidimensional (c2=0)

d) Volver a discretizarla utilizando el esquema explcito de aguas arriba. e) Utilizando von Neumann demostrar que el factor de amplificacin es g=1-2(r1 sen2(K1 h/2) + r2 sen2(K2 h/2)) - i (r1 sen(K1 h) + r2 sen(K2 h)) donde las constantes tienen el mismo significado que antes.



f) Hallar la condicin de estabilidad para el caso particular K1=K2. Mostrar que ella es ms restrictiva que la correspondiente al caso unidimensional (c2=0)

Problema 3.8 Sea el siguiente problema de valores iniciales: ut + ux + uy = 0 u(x,y,0) = 1 si x 0 e y 0 0 en el resto Las condiciones iniciales, discretizadas sobre una malla cuadrada, pueden representarse as: 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111000000 1111111000000 1111111000000 a) Discretizar la ecuacin diferencial utilizando el esquema explcito de aguas arriba. De qu tipo ser la

condicin de estabilidad de este problema?. Inspirarse en el caso unidimensional. b) Tomando x = 0.1 y eligiendo t de modo de evitar inestabilidades numricas, avanzar la solucin tres

pasos de clculo, representando cada paso en la misma forma en que se representaron las condiciones iniciales.

c) Discutir sobre la tendencia de la solucin en base a los resultados obtenidos. Problema 3.9 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial ut + u ux + b u = 0 cuya formulacin caracterstica es

dudt

sobre dxdt

= =bu u Desarrollar la formulacin de un mtodo numrico de resolucin en base a las curvas caractersticas, de acuerdo al siguiente procedimiento: i) Definir una red de clculo regular sobre el plano x,t. ii) Suponer como dato los valores nodales de la solucin en el paso de tiempo n. iii) Construir las curvas caractersticas que emanan desde cada uno de esos nodos. iv) Determinar los valores de la solucin en el paso de tiempo n+1 en los puntos donde las caractersticas

cortan ese nivel de tiempos. v) Determinar los valores nodales en el paso n+1 por interpolacin de los obtenidos en (iv). Limitar el paso de tiempo por la condicin de Courant. Suponer u > 0. Se pide: a) Un mtodo de orden de precisin 1. b) Un mtodo de orden de precisin 2. Problema 3.10 Sea el siguiente sistema hiperblico de ecuaciones diferenciales, que es la versin ms simple de las denominadas ecuaciones para aguas poco profundas,



donde t y x son las coordenadas temporal y espacial, respectivamente, u la velocidad (media vertical) de la corriente y h la profundidad. Las ecuaciones se verifican en el dominio espacial 0 x L. Si se toman como escalas de referencia la profundidad media H para las distancias verticales, la longitud L para las distancias longitudinales, la celeridad de ondas (gH)1/2 para la velocidad y L/(gH)1/2 para el tiempo, la versin adimensional del sistema anterior puede escribirse como

donde ahora h representa el apartamiento relativo de la superficie libre respecto de la profundidad media H y el dominio es 0 x 1. a) Linealizar el sistema de ecuaciones adimensional (es decir, despreciar directamente los trminos no

lineales) y discretizar el sistema resultante mediante el mtodo explcito centrado. Tomar 4 intervalos de discretizacin, condiciones de Dirichlet homogneas para la velocidad en ambos extremos (u=0 en x=0 y en x=L) y, como condiciones iniciales, u idnticamente nula y los siguientes valores para h:

h0=0; h1=0,5; h2=0; h3=-0,5; h4=0 Tomar un paso temporal adecuado para la precisin de la solucin numrica y avanzar 5 pasos de

clculo. Graficar esquemticamente la solucin obtenida para h. (Comentario: La condicin de borde u=0 puede utilizarse como una condicin de antisimetra, es decir, que el valor de u en el nodo fantasma es menos el valor en el nodo especular interno).

b) Generalizar el esquema anterior para el sistema no lineal de ecuaciones adimensional. Repetir el clculo desarrollado en el punto anterior. Interpretar las diferencias observadas, respecto del caso lineal, en la solucin para h.

c) Comentar sobre las caractersticas de estabilidad esperadas para el esquema numrico planteado y sugerir formas de proceder para tender hacia condiciones ms estables.

Problema 3.11 Se tiene el problema hiperblico:

a) Mostrar que si se utiliza un esquema numrico basado en las curvas caractersticas que emanan desde

cada nodo, del paso de tiempo n al n+1, e interpolacin lineal en n+1, la discontinuidad permanece indefinidamente en el origen. Tomar t=x/2.

b) Mostrar que si, en cambio, se usa interpolacin cuadrtica, la discontinuidad finalmente se dispara. (Nota: Usar la frmula de interpolacin sesgada hacia la derecha. Mostrar, simplemente, que hay un

ut

u ux

g hx

+ + = 0

ht

u hx

h ux

+ + = 0

ut

u ux

hx

+ + = 0

ht

u hx

h ux

+ + + =( )1 0



instante en que se cruzan las caractersticas. Al final del examen se presenta la frmula para interpolar cuadrticamente).

Problema 3.12 La siguiente es la forma conservativa de un problema hiperblico

2 1 00; ( ,0)

0 02si xu u u xsi xt x

+ = = >

Discretizarla mediante un mtodo explcito centrado espacialmente. Tomar x = 1 y r t/x = 0,8 y avanzar la solucin 4 pasos de tiempo. Graficarla Repetir el clculo pero ahora usando un mtodo explcito con upwinding. Graficarla A partir de la observacin, comentar sobre la estabilidad de las soluciones numricas obtenidas en los dos puntos anteriores. Analizar si se cumple la condicin de Courant. Sacar conclusiones acerca de la necesidad o suficiencia de la condicin de Courant para la estabilidad numrica. Comentar sobre la precisin de la solucin numrica estable, comparndola con la solucin cerrada del problema diferencial, explicando el origen de las discrepancias. Problema 3.13 Sea el siguiente problema hiperblico:

1 00; ( ,0)


+ = = >

c) Plantear su resolucin numrica por el mtodo de las caractersticas. Para calcular ujn+1 trazar la caracterstica que pasa por ese punto, remontarla hasta el paso de tiempo n y obtener el valor correspondiente de u mediante interpolacin lineal entre los dos valores nodales vecinos. Tomar x = 1 y r t/x = 0,8 y avanzar la solucin 4 pasos de tiempo.

d) Comentar sobre la precisin esperable de la solucin numrica, comparndola con la solucin cerrada del problema diferencial, explicando el origen de las discrepancias.

Problema 3.14 Se tiene el siguiente problema hiperblico:

2 0 00; ( ,0)




Problema 3.16 Sea la siguiente ecuacin hiperblica no lineal: 0u uut x

+ = . a) Discretizarla utilizando un mtodo explcito con upwinding. b) Hallar la ecuacin verdadera de Hirt, eliminando los trminos con derivada temporal hasta el orden 1 en el incremento. c) Identificar el coeficiente de difusividad numrica y hallar la condicin de estabilidad numrica. d) Mostrar que el esquema introduce, adems, dispersin numrica, variando la velocidad de propagacin de la informacin. Identificar la velocidad numrica.

Problema 3.17 El esquema de Mac Cormack para la ecuacin hiperblica 0u ft x

+ = , donde f = f(u), puede escribirse como el siguiente mtodo de dos pasos (suponiendo f/u > 0):

( ) i i1

1

11 1 1

1

0

12 012

n n n nj j j j

nn n n njj j j j

u u f ft x

u u u f fxt

+

++ + ++

+ = + + =

donde 1

1( )

nnjjf f u

+ += . Demostrar que el esquema es consistente y de segundo orden de precisin en x y en t, para el caso particular en que f(u) = u. Sugerencia: Reemplazar primero la forma particular de f en la ecuacin diferencial. Despejar la incgnita del primer paso y reemplazarla en el segundo paso.


0u uUt x

+ =

a) Discretizarla utilizando el esquema de la rayuela (o paso de rana).

b) Obtener la ecuacin verdadera que cumple la solucin numrica al orden ms bajo, de acuerdo a la metodologa de Hirt. Efectuar las transformaciones necesarias para que los trminos residuales queden expresados slo en funcin de derivadas respecto de x (es decir, eliminar las derivadas segn t).

c)Plantear como solucin la funcin [ ]( , ) exp ( ) , u x t i x t iA = = + . Obtener expresiones para A y para . Interpretarlas en trminos de qu efecto se espera en la solucin numrica en comparacin con la solucin del problema diferencial (solucin analtica).

d) Imponer como criterio de estabilidad que las componentes armnicas de la solucin numrica no deben adelantarse respecto de la respectiva componente de la solucin analtica. Obtener la condicin de estabilidad resultante.







4 PROBLEMAS ELIPTICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 4.1 La ecuacin de Laplace xx + yy = 0 se verifica sobre el dominio de la figura 4.1, donde tambin se especifican las condiciones de borde. a) Discretizar el problema en diferencias finitas utilizando una malla regular de paso x = y = 1. Plantear

explcitamente el sistema algebraico resultante para los nodos interiores y proponer un mtodo de resolucin de dicho sistema.

b) Repetir los pasos detallados en el punto anterior, pero utilizando un mtodo seudo-evolucionario basado en el mtodo implcito de las direcciones alternadas.

Figura 4.1

Problema 4.2 La ecuacin de Laplace (ver Problema 5.1) se verifica sobre el dominio de la figura 5.2, donde tambin se especifican las condiciones de borde. En base a la grilla de la figura, hallar la solucin en los nodos A, B, C y D mediante el mtodo de diferencias finitas y la tcnica iterativa de Jacobi. Obtener los resultados con una precisin de 3 dgitos.




2 2 02

2

2 2

2

ux

uxy

uy

x y+ + = ; ( , ) a) Construir una aproximacin en diferencias finitas centradas (orden de precisin 2 en los pasos espaciales

x y y). b) Plantear el sistema algebraico resultante para el siguiente problema diferencial: = { 0 x L ; 0 y L } u(0,y) = 0 , 0 y < L u(L,y) = 1 , 0 y< L u(x,0) = 0 , 0 < x < L u(x,L) = 1 , 0 x L tomando una malla cuadrada de pasos x = y = L / 3; c) Teniendo en cuenta que el problema tiene simetra respecto de la lnea y = x, reducir el sistema de

ecuaciones a uno de 3 x 3 y resolverlo. Problema 4.4 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial: a ux = uxx , a > 0 sujeta a las siguientes condiciones de contorno: u(0.2) = 0.2 , u(0.8) = 0.8 ; a) Tomando x = 0.2 , calcular u(0.4) y u(0.6) en funcin de a. b) Analizar la solucin obtenida en a) para los casos lmites a 0 y a . Corroborar que estas soluciones

lmites son correctas. c) Plantear un mtodo seudoevolucionario para resolver este problema. Utilizar un esquema explcito, tomar

a = 1 y efectuar al menos dos pasos de clculo, cuidando que el proceso permanezca estable (Tomar como condiciones iniciales la solucin para a 0).

Problema 4.5 Resolver numricamente la ecuacin elptica: uxx + uyy = 2 ex+y , (x,y) = [0,1]x[0,1] u(x,y) = g(x,y) si (x,y) () donde () es la frontera, tomando g(x,y) de la solucin exacta u(x,y) = ex+y. a) Utilizar el mtodo de Jacobi con x = 0.1. b) Utilizar los mtodos de Gauss-Seidel y SOR con el mismo paso y comparar tiempos de cmputo. Problema 4.6 Resolver numricamente la ecuacin elptica: uxx + uyy - u + f = 0, (x,y) = [1,2]x[1,2] f = f1 + f2 ; f1 = y(x-1) (x-2)(y-3); f2 = -2(y-1)(y-2); u(x,y) = g(x,y) si (x,y) ()



donde () es la frontera. Obtener g(x,y) de la solucin exacta del problema: u(x,y) = (x-1)(x-2)(y-1)(y-2). Utilizar Gauss-Seidel con x = 0.1. Problema 4.7 Se tiene el siguiente problema elptico:

2 2

2 2 0, 0 2, 0 1u u x y

x y + = < < <

a) Plantear el problema numrico resultante de la discretizacin, si se utiliza una grilla de 4 intervalos

en cada una de las dos direcciones. Expresar el sistema algebraico completo resultante. b) Mostrar cmo procedera para resolverlo con un mtodo seudoevolucionario, utilizando un esquema

explcito. Qu condicin de estabilidad esperara? Problema 4.8 La ecuacin de Laplace

2 2

2 2 0u u

x y + =

se cumple sobre el dominio cuadrado de la figura, donde tambin se indican las condiciones de borde de Dirichlet sobre los 4 lados y la grilla de discretizacin propuesta.

a) Obtener el sistema de 4 ecuaciones algebraicas acopladas que surge de discretizar el problema mediante diferencias finitas.

b) Plantear la resolucin del problema mediante un mtodo localmente unidimensional (desdoblamiento) fuertemente implcito. Obtener los sistemas de 2 ecuaciones algebraicas que surgen al aplicar esta metodologa.

Problema 4.9 Se tiene el siguiente problema:

2 2

2 2 0u u

x y + = , para

2 2 1x y+ <

60 600

120 240u para

= 60 120

1 240 300

u para

< < = < <



Discretizar el problema sobre una malla cartesiana regular cuadrada de paso x = y = 0,5. Resolverlo. Discretizar el problema sobre una malla regular en coordenadas polares con = 0,5 y = 45, teniendo en cuenta la expresin de la ecuacin de Laplace en esas coordenadas (ver ms abajo). Para el origen plantear una discretizacin en coordenadas cartesianas. Resolverlo. Comparar las soluciones. Cul considera que es ms precisa? Por qu?

Nota: Ecuacin de Laplace en coordenadas polares: 2 2

2 2 2

1 1 0u u u + + =


2 2

2 2 0u u

x y + = , para

2 2 1x y+ <

( )

( )

2

2

2

2 / 2 / 2

2 / 2

2 / 2

u para

u para

u para

= < = < + = <

Mostrar que los ejes x e y constituyen ejes de simetra del problema. Discretizar el problema para la malla cartesiana regular cuadrada de paso x = y = 0,5 mostrada en la figura, pero teniendo en cuenta los brazos menores de la molcula de clculo cerca de los contornos. Tener en cuenta la simetra del problema, demostrada en el punto anterior, para simplificar el sistema algebraico a uno que involucra slo los nodos 1 a 8 identificados en la figura. Resolver el sistema resultante y, a partir de la solucin, graficar esquemticamente las curvas de nivel de la solucin sobre el dominio completo. Nota: La discretizacin de la ecuacin de Laplace con brazos desiguales es la siguiente:

0E E N N W W S S o ou u u u u + + + = 2 E

EE W

ss s

= + ,2 W

WE W

ss s

= + ,2 N

NN S

ss s

= + ,2 S

SN S

ss s

= + , o E N W S = + + +

(La interpretacin de la frmula est a cargo del alumno)




a

b

c

2 2

2 2 0u u

x y + = sobre el dominio de la figura

{ } { }{ } { }{ } { }

0 0,0 4 U 0 2, 4

1 0 4, 0 U 4,0 2

0 2, 2 4 U 2 4, 2

u sobre a x y x y

u sobre c x y x yu sobre b x y x yn

= = = == = < = =

= = = < < =

d) Discretizar por diferencias finitas el problema para la malla cartesiana regular cuadrada de

paso x = y = 1 mostrada en la figura, donde se indican los nodos en los cuales la funcin es incgnita. Utilizar un esquema numrico de orden 2, incluyendo las condiciones de borde.

e) Escribir el sistema resultante en forma matricial, asegurando as que la cantidad de ecuaciones y de incgnitas son las mismas.

Anlisis Numrico Avanzado Facultad de Ingeniera-UBA

Angel Menndez Pg 22/34 16/08/10





5 ELEMENTOS FINITOS Problema 5.1 La ecuacin de Laplace xx + yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura, especificndose all las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la funcin en el punto central, de coordenadas (0,0), en base a la discretizacin ms simple que utilice slo los valores en los cuatro vrtices. a) Utilizar el mtodo de las diferencias finitas. b) Utilizar el mtodo de los elementos finitos


d udx

2

2 + =u 0 a) Obtener las funciones de forma para un elemento finito unidimensional de 3 nodos, 2 extremos y uno

central (equidistante de ambos extremos). Graficarlas. b) Plantear la formulacin dbil del problema diferencial (no considerar las condiciones de borde) y mostrar

grficamente las funciones de peso a utilizar para una discretizacin en elementos finitos en base al mtodo de Bubnov-Galerkin.

c) Calcular los siguientes elementos de la matriz de rigidez: - Ecuacin correspondiente a nodo extremo: Coeficiente de la incgnita en ese nodo extremo Coeficiente de la incgnita en el nodo central derecho - Ecuacin correspondiente a un nodo central: Coeficiente de la incgnita en ese nodo central Coeficiente de la incgnita en el nodo extremo derecho



Problema 5.3 Se tiene el siguiente problema parablico:

ut

ux

x L t= 2

2 0 0, ,

ux

t ux

L t t u x g x x L( , ) ( , ) , ; ( , ) ( ),0 0 0 0 0= = = donde es una constante positiva y g(x) una funcin conocida. a) Plantear la formulacin dbil del problema sobre el dominio abierto = {0 x L ; 0 t}. b) A partir de la formulacin dbil, discretizar el problema utilizando elementos finitos en el espacio y en el

tiempo. Utilizar un elemento rectangular lineal (de cuatro nodos ubicados en los vrtices), de lados x y t. Construir la funcin de peso usando el criterio de Galerkin slo para los elementos que se hallan hacia t decrecientes respecto del nodo, y hacindola nula en el resto del dominio. Obtener la forma genrica de la ecuacin asociada al nodo n de la figura 1, utilizando la siguiente notacin:

ij

im

jmN

xN

xdxdt

m= ( ) ( )

ijim

jmN

tN dxdt

m= ( ) ( )

donde Nm(i) es la funcin de forma del elemento cuadrangular m, asociada al nodo local i (1 i 4).

c) Teniendo en cuenta que los coeficientes valen lo que muestra la siguiente tabla (con r=t/x2),

explicitar la forma final de la ecuacin y verificar que es consistente (es decir, que se reduce a la ecuacin diferencial cuando los pasos tienden a cero). Sugerencia: Transformarla algebraicamente hasta obtener una expresin compatible con la ecuacin diferencial.

i j ij ij 1 4 r x / 6 - x / 6 2 4 - r x / 6 - x / 12 3 4 - r x / 3 x / 12 4 4 r x / 3 x / 6 1 3 - r x / 6 - x / 12 2 3 r x / 6 - x / 6 3 3 r x / 3 x / 6 4 3 - r x / 3 x / 12



Problema 5.4 Se tiene el siguiente problema diferencial:

2

2 ( , ) 0, 0 1, (0) (1) 0d u f u x x u udx

+ = < < = =

a) Hallar la formulacin dbil. b) Plantear su discretizacin en elementos finitos para una funcin de peso arbitraria w y para un

elemento lineal de tres nodos, con dos nodos extremos y uno en el punto medio. c) Hallar las funciones de forma de ese elemento en trminos de una coordenada local del elemento

que vara entre 0 y 1. d) Utilizando el mtodo de Bubnov-Galerkin, hallar la contribucin total de un elemento al coeficiente

de la matriz de rigidez del nodo extremo izquierdo, proveniente del primer trmino de la ecuacin diferencial.

Problema 5.5 En la siguiente figura se muestran dos elementos finitos triangulares de tres nodos, donde tambin se indica la numeracin local (k) de los nodos.

1

1k= 3

k= 2k= 1 k= 1

k= 2k= 3

0

0

1

0

0 1

Elemento a Elemento b Determinar las funciones de forma asociadas a cada nodo para cada uno de los dos elementos. Calcular las siguientes integrales para cada uno de los dos elementos:

( ) ( )

m

m mi i

ij

N Nd d

= ; ( ) ( )m

m mi i

ij

N Nd d

=

donde m es el dominio interior a cada elemento. Problema 5.6 Sea el problema:

2 2

2 2 0u u

x y + =

discretizado sobre una malla de elementos finitos triangulares regular de pasos x y y uniformes en las direcciones x e y, respectivamente, como la mostrada en la siguiente figura:



m= 1

m= 2

m= 3

m= 4

m= 5

m= 6 x

y

n

n2 n3

n4

n5n6

n1

a) Determinar la contribucin a la ecuacin correspondiente al nodo n de cada uno de los 6 elementos que contienen a ese nodo n. Utilizar las numeraciones de elementos y de nodo global indicadas en la figura. Expresar las contribuciones en trminos de los coeficientes ij y ij definidos en el problema anterior. Para ello efectuar una transformacin de las coordenadas x,y a las coordenadas normalizadas , para cada elemento.

b) Efectuar el ensamble de la ecuacin para el nodo n, reemplazar los valores de ij y ij determinados en el problema anterior y llevar la ecuacin resultante a una forma donde se haga patente la consistencia del esquema numrico planteado y su orden de precisin. (Sugerencia: Definir una numeracin regular de la grilla, con n i,j.

Problema 5.7 Se tiene la siguiente ecuacin diferencial:

2 ( , ) ( , )o ou x y q x x y y = en donde q es una constante, la delta de Dirac y (xo,yo) . El dominio de validez de esta ecuacin se ha discretizado en elementos cuadrados, de lado l. La numeracin local de nodos, para cada elemento m, se efecta de acuerdo a la figura.

Plantear la formulacin dbil del problema, suponiendo que las condiciones de borde son del tipo Dirichlet. Obtener la expresin de la contribucin del elemento m a la ecuacin del nodo local 1, para una funcin de peso w arbitraria pero nula fuera de los elementos adyacentes a ese nodo. Calcular explcitamente esa contribucin si para la eleccin de la funcin de peso se usa el criterio de Bubnov-Galerkin. Nota: Las funciones de forma para un elemento cuadrangular de lados unitarios son las siguientes:

N(1) = (1-)(1-); N(2) = (1-); N(3) = ; N(4) =(1-)



Problema 5.8 Discretizar el siguiente problema por elementos finitos, utilizando elementos triangulares:

( ) ( ) .n n n rn n n nn

S H KkH p g D Hqt

= +

(fase no humectante) [1]

( ) ( ) .w w w rw w w w

w

S H KkH p g D Hqt

= +

(fase humectante) [2]

1n wS S+ = [3]

donde los siguientes son datos:

g (gravedad)

D(x,y) (profundidad)

H(x,y, D(x,y)) (espesor)

K (permeabilidad para fluido monofsico)

qn, qn (inyecciones de masa por unidad de volumen)

Se suponen conocidas las siguientes relaciones:

( )wp = (porosidad) ( )w w wp = ; ( )n n np = (densidades)

( )n w c wp p p S = (presin capilar) [4] ( )rn rn wk k S= ; ( )rw rw wk k S= (permeabilidades relativas) ( )n n wS = ; ( )w w wS = (viscosidades)

Entonces, las incgnitas son:

pw, pn (presiones)

Sw, Sn (saturaciones)

para las cuatro ecuaciones [1] a [4]. Problema 5.9 La ecuacin de movimiento para el flujo laminar en un conducto rectangular muy ancho puede escribirse como:

2

2

u uu gx y

= + (1)



donde x es la coordenada longitudinal, y la coordenada vertical, u(x,y) la velocidad longitudinal (nica componente existente), g la aceleracin de la gravedad, la viscosidad cinemtica del fluido y

1 pg x (2)

es el gradiente adimensional de presin en el sentido longitudinal, que es constante.

La velocidad es nula sobre ambas paredes:

( , ) ( , ) 0u x B u x B = = (3)donde 2B es la altura del conducto, y se ha ubicado el origen de la coordenada y a media altura. Finalmente, el perfil de velocidad de entrada es un dato:

(0, ) ( )u y w y= (4)siendo w(y) una funcin conocida, y donde se ha ubicado el origen de la coordenada x en la entrada al conducto.

a) Plantear la formulacin ponderada para la coordenada y. b)Tomar la siguiente familia de funciones de base:

2 2

( , ) ( ) ( )

( ) , 1, 2..j j

j jj

u x y x y

y y B j J

== =

(5)

Aplicar el mtodo de los residuos ponderados, con la tcnica de Galerkin y obtener as la ecuacin diferencial ordinaria para . c) Tomar J = 1 y calcular explcitamente los coeficientes de la ecuacin diferencial. d) Discretizar el problema resultante por diferencias finitas.

Problema 5.10 Se tiene el siguiente funcional: ( )21( )2

I u u d

= sobre el dominio bidimensional . c) Mostrar que la discretizacin del principio variacional (I = 0) por el mtodo de los elementos finitos

conduce a las siguientes contribuciones a los coeficientes de la matriz de rigidez desde el elemento em:

( ) ( ') ( ') ( ). ; , m

m m m mk k np k k

e

N N d a n G p G = = d) Se tiene la grilla de elementos finitos triangulares mostrada en la siguiente figura (izquierda). All se

identifica el nodo C y los 8 nodos que lo rodean, y se identifican los 8 elementos triangulares que contienen al nodo C como uno de sus vrtices. Determinar las contribuciones de cada uno de esos



elementos a la ecuacin del nodo C, calculndolas mediante transformacin al elemento triangular normalizado (ver figura, izquierda).

NO N NE

E

SESSO

O C [1]

[2][3]

[4]

[5]

[6] [7]

[8]

e) Ensamblar la ecuacin y mostrar que se reduce a la clsica discretizacin del laplaciano en

diferencias finitas.

Frmulas tiles:

( ) 13 ( ) 12 ( )m m mk y k y k

m m

N l N l Nx

= ; ( ) ( ) ( )13 12m m mk k kx x

m m

N N Nl ly

= +

12 (2) (1) 13 (3) (1) 12 (2) (1) 13 (3) (1); ; ; m m m m m m m m m m m mx x y yl x x l x x l y y l y y ; 12 13

12 13

m mx xmm my y

l ll l

(1) (1) (2) (2) (3) (3)1; 1; 1; 0; 0; 1N N N N N N

= = = = = =

1

1

(1)

0

0(2)

(3)







6 VOLUMENES FINITOS Problema 6.1 La ecuacin de Laplace xx + yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura 6.1, especificndose all las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la funcin en el punto central, de coordenadas (0,0), en base al mtodo de los volmenes finitos. Utilizar un esquema centrado en la celda con el volumen de control mostrado en la figura.

Figura 6.1

Datos tiles: * Recordar que, con la funcin de peso w utilizada en volmenes finitos,

= . w d n d donde es el contorno del dominio y n es la normal a ese contorno. * Las funciones de forma, para el elemento genrico mostrado en la figura, son

N( ) ( ) ( )1 1 1= N( ) ( )2 1=

N( )3 = N( ) ( )4 1=

donde

= = x xx

y yy

1 1

;



Problema 6.2 Se desea calcular la siguiente contribucin de la condicin de Neumann, sobre un contorno 2 del plano (x,y), de una formulacin en elementos o volmenes finitos:

qwd2

donde q(x,y) es el valor de la derivada normal, w(x,y) es la funcin de peso y la integracin es en sentido antihorario. Se supone que los elementos son triangulares, de tres nodos en los vrtices. En la figura siguiente se muestra el elemento m, donde se identifica el lado que coincide con el borde en cuestin.

a) Discretizar la contribucin del elemento para una funcin de peso arbitraria w. (Ayuda: representar la

derivada normal mediante interpolacin en trminos de sus valores en los nodos extremos). b) Calcular la contribucin total del elemento al coeficiente de la matriz de rigidez del nodo local 1,

suponiendo que se trata de elementos finitos por el mtodo de Bubnov-Galerkin. c) Calcular la misma contribucin, pero suponiendo que se trata de volmenes finitos por el esquema

centrado en la celda. Problema 6.3 Sea la ecuacin:

2 2

2 2 0u u

x y + =

a ser discretizada por el mtodo de los volmenes finitos sobre una malla de elementos triangulares regular de pasos x y y uniformes en las direcciones x e y, respectivamente, como la mostrada en la siguiente figura:



m= 1

m= 2

m= 3

m= 4

m= 5

m= 6 x

y

n

n2 n3

n4

n5n6

n1

a) Trazar los bordes del volumen de control alrededor del nodo n de modo de generar ecuaciones que acoplen los valores nodales slo de los nodos vecinos.

b) Plantear la forma genrica de las integrales que constituyen la contribucin de un elemento m a la ecuacin correspondiente al nodo n.

Problema 6.4 En la siguiente figura se muestra un elemento triangular de tres nodos con la misma orientacin del elemento m = 1 del problema anterior, pero con lados normalizados, donde tambin se indica la numeracin local (k) de los nodos.

1

1k= 3

k= 2k= 1

0

0

Las funciones de forma asociadas son las siguientes:

(1) (2) (3)1 ; ; N N N = = =

De la contribucin del elemento m =1 del problema anterior, calcular la parte asociada a la funcin de forma N1(2). Sugerencia: Utilice geometra y tome valores medios de los integrandos. El teorema del coseno puede serle til:

2 2 2+ 2 cosc a b ab = . Recuerde que cos (45) = 2 / 2



Problema 6.5 En la figura siguiente se muestran 8 elementos triangulares que convergen a un nodo, que constituyen una parte de una grilla de volmenes finitos. Se ha identificado un elemento particular (15). Calcular las contribuciones de los tres nodos del elemento identificado a la matriz de rigidez, especificando claramente la fila y columna del coeficiente a que contribuye. Obtener esas contribuciones transformando primero el elemento a su forma normalizada.

15

Clculo en base a forma normalizada:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 (2) 3 (3) 2 3 (1)mn

m m m mm m mn n n n

u d a u a u a a un

= + + [ ]2 123 13m m mn n na + ; [ ]3 12 123m m mn n na

( )2 212 12 121m m mx yl l = + ; ( )2 213 13 131m m mx yl l = + ; ( )123 12 13 12 131m m m m mx x y yl l l l = + ; 12 13 13 12m m m mx y x yl l l l 12 (2) (1)

m m mxl x x= ; 13 (3) (1)m m mxl x x= ; 12 (2) (1)m m myl y y= ; 13 (3) (1)m m myl y y=

n n n

(1)mG 1/ 2 1/ 2 (2)mG 0 1/ 2 (3)mG 1/ 2 0

Problema 6.6 Sea el siguiente problema:

22

2 0, 0 1, (0) (1) 0d u u x u udx

+ = < < = = .

a) Plantear la formulacin dbil. b) Discretizarla por el mtodo de los volmenes finitos y ensamblar la ecuacin resultante para

un nodo genrico. Mostrar que la forma resultante es consistente con un mtodo de diferencias finitas.

c) Con qu mtodo resolvera el sistema de ecuaciones resultante?







7 ELEMENTOS DE CONTORNO Problema 7.1 La ecuacin de Laplace xx + yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura 6.1, especificndose all las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la funcin en el punto central, de coordenadas (0,0), mediante el mtodo de los elementos de contorno con elementos lineales. Se pide: a) Plantear el problema de contorno discretizado para las derivadas normales q (es decir, llegar hasta el

sistema algebraico a resolver). Mostrar que qT=[0,0.5873,0,-0.5873] es la solucin. b) Calcular la funcin en (0,0). Problema 7.2 La formulacin integral de la ecuacin de Laplace para la funcin incgnita u(x,y) es

+ = 12 0u u d u dp * u n u n*

Discretizarla mediante el mtodo de los elementos de contorno utilizando segmentos con dos nodos extremos donde se definen las incgnitas u y u/n; en el resto del elemento se utiliza interpolacin lineal. Para simplificar considere que el contorno es el eje x de coordenadas cartesianas, que la normal exterior es hacia las y positivas, y que se est analizando la contribucin de un elemento que se encuentra a la derecha y alejado del punto P. La solucin fundamental es

u x y x y r r x x y yp p p p* ( , ; , ) ln( ); ( ) ( )= = + 1

22 2

Suponga que las coordenadas estn adimensionalizadas con la extensin del elemento. Problema 7.3 La ecuacin diferencial

admite la siguiente formulacin integral:

con la notacin usual. a) Discretizarla con elementos de contorno lineales, con los nodos ubicados en los extremos de cada

segmento (e interpolacin lineal entre sus valores nodales). Mostrar las ecuaciones discretizadas,

=

+ dgudn

uudnuuuP *

* *

21

0),,(2 =+ yxugu



identificando claramente la expresin de los coeficientes. (Sugerencia: Expresar la funcin y su derivada normal sobre el contorno en trminos de los valores nodales y las funciones de interpolacin o de forma).

b) Para el caso particular en que g no depende de u, la solucin fundamental es u*=(-1/2) ln r, donde r es la distancia entre el punto de observacin P y el de la fuente (que se mueve sobre el contorno ). Suponiendo un contorno horizontal infinito, usar esa funcin para obtener la expresin del coeficiente de la derivada normal en el nodo j, situado entre los elementos m-1 y m, en la ecuacin asociada al punto P ubicado sobre el nodo j-2 (No hace falta resolver las integrales).

Problema 7.4 La formulacin integral de la ecuacin de Laplace en dos dimensiones puede escribirse como

**1 ( , )

2 P Pu uu x y u d u dn n

+ = = donde la solucin fundamental est dada por

* 2 21( , ; , ) ln , ( ) ( )2P P P P

u x y x y r r x x y y= = + La ecuacin se supone vlida sobre el dominio de la figura. Su borde se discretiza en cuatro elementos de contorno, numerados de acuerdo a lo mostrado en la figura.

Construir las matrices G (que multiplica a los valores de la derivada normal de la funcin) y H (que multiplica a los valores de la funcin) del mtodo de los elementos de contorno. Para la integracin puede utilizar la regla del rectngulo. Suponiendo u1 = 0, u2 = 1, q3 = 0 y q4 = -1, plantear el sistema de ecuaciones para calcular los valores de contorno restantes de la funcin y de su derivada normal. Nota: Valores en la diagonal: Gii = (ri /)[1-ln(ri )], l 0iiH = El teorema del coseno puede serle til: 2 2 2+ 2 cosc a b ab = (cos(45) = 2 / 2 )

analisis numerico

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