PROBLEMAS RESUELTOS DE SERIES DE FOURIER

Ejemplo 1. Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguienteseal /(r) = e-' , 0 < / < l, mostrada en la figura.

SOLUCION.

La seal es / ( r )=e- ' ,0

Evaluando lmites:

2 f -, 1 ^,-=la, = Gful"' l-s,*=t + 2ntr sffi=' ) - "o (- *A--' * 2"" y*6=')]

De tl forma que: a, =#(t-"-') vn.

Ahora calcularemos el coeficiente independiente a6. A partirde la frmula:

t '*Ta,=* | ( t )atro i

I

ao = [e- ' t =*e' l)o= -e-r+eo0

9 Qo=l-e-t =1.264

Concluimos calculando los coeficientes r:

u,=1'.1/(r)sen na4t dtto

Portablas de integrales: !e* senbu ar=ft(asenbu-bcosbu)

Sustituyend o a = -l y b =2nn,setendr entonces:J c-'

n, = fir1rr(-sen 2nnt -Znz cos}nnt)l'o, 2 f _,1n, = ;fu1", l- s"* - 2nn spr26' ) - "o (-r*1o1=' - r"" u,..trf')f

u, =fu1-z'nne-'+znnl

+ b,=ffi(,-r-,) vn.

Finalmente, la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la seal /(r)ser:

f (r) =t.264 + tl -:-r-(t

-.-' \cos2nrt + - !!ry-(t -.-' \s"nznrt I"^L1 +4n'r ' \ ' / l+4n'n ' \ / j

Ejemplo 2.Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguienteseal /(r) = t2 , 0 < t

-#lw*-r4o^lI

=) An=-- ; - ; Yn+0.n-t-

Calculando el coeficiente ao;

1 ,*T!

"o =

ro I l(r) a,t r ,

, I r r l 1r .a, = l t ' dt =; t ' l^ =;(1- 0);J

n t lTo/ l

Calculando el coeficiente bn: b, = - | /(r)sen no4t dtto i

b- =2ff sen2nnt dt0

Aplicando integracin por partes:

. ) ,u=t" = du=2t dt

Idv=sen2nnt dt + y=_=:cos2nrt2ntt

I r . . . =o I 1 f . .,,, = -l-[(l)' sen2fi=u - 0 I + --r- | O **fr=' - 0-l

nn L" I n '1T' L" - I

I= a^=-

utt

n- =rl -Lt'cos2nntl * I 'zr"orzro, rl" L 2nn l , 2nnd J

r l t )1.b, = - ' t' cosLnrtl *a ltcos Znnt dt

nn h nfr

Volviendo aplicar integracin por partes:

n=t = du=t dt

dv=cos2nnt dt + v=Lsen2nnt

Realizando las operaciones correspondientes:

b, = - L ' "orzno,l' . Zl +, r"nzrr,l' - +

'lr"nzno, ar]wT b nELnT b wT d l

b, = - L,' "orzrr,l' . [+ t r"nznrtl' * + !"orrnorl' fwr lo ntrl2nn lo Zntt 2nn |rl

b,=- L '"orznrrl' * lrr"nznrtl' * =_l ^ "o

rznorltn lo n-o lo n-rr' lo

o,=-J-le'-o] . filt*r,='-o] *#lm.-*,'Fl"l

:> b,=_* yn.

Finalmente, la serie de Fourier para la seal /(r) es:

.f (t)=+ . f+ cos2nnt - !r.n znntl3 -n=1ln'ft ' wr I

Ejemplo 3. Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguienteseal, mostrada en la figura. Suponga que el intervalo de repeticin para la serie ser de -na*n.

SOLUCION.

La seal f (t) sedefinir como: f (t) ={'ecost ' -+ < t < +

I 0 ,otrocaso

Para Ia serie de Fourier tendremos que: Zo =2n y oo =1.

Dado que la seal "f (r) tiene simetra par, entonces los coeficientes 4 = 0 .

Para este caso, solo consideraremos el clculo de los coeficientes r.

Por definicin:

Sustituyendo:

Sustituyendo a=1 y

' '*Ta,=+ | (r)cos na4t dtro i

+ +^2

o, =+ i A"orr"ornt =! icostcosnt dtn_L J

Resolviendolaintegralportablas:Jcosazcosudu=W-'w

b=nren

o, =41"L

+i l- l

I

- l2(t+n)+'2

+

J2

la integral:

sen(t - n)r_FT sen (l + n)l

Evaluando los lmites:

-

_

Afsen(r -n)( i ) -sen(r-n)(- ! , sen(t +n)( i ) -sen(r+n)(-g)]"'-i l 4*" - 1^ _A[sen(t -r)(+)+sen(l -r)G) , sen(t +n)( l+sen(l+ ")(+)]" '- i l 4.r - 4t*") )

o_ _ ,ql sen(t- ")(+) * sen (t + n ) (+)l" n l l -n l+n I

Por identidades trigonomtricas :

sen (l + ( z\=r"n( ' *no\= ,n' "orn'

*

"rr* ,"n" -

"orno' ' \2) \2 2) , / 2 2 , / 2 2 2

Entonces: ".=+(#. fr#) =*(*,T)t* . *)

( no\( l+n+l-n )a' =-(.cosz )1646;6):=, o,=4"*( yn+r.

r l r -n ' ) 2

De la expresin anterior obtenida para los coeficientes cr, se establece que estaexpresin es vlida para toda n excepto para n = I , dado que para ese valor se produce unaindeterminacin.

Se procede a obtener dicho valor ay, el cual puede obtenerse sustituyendo el valorparticular de n, para este caso n =I, en la expresin general de los coeficientes ar, antes deproceder al clculo integral, tal como se muestra a continuacin:

' *hFormulageneral: a,=* | f(t)cosna4t dt

"-lParaelcaso n =l : o,=4 f"or ' tdt

' i tJ-z,-

Por identidad trigonomtrica: cos' r = ] (f + cos Zr)+4 f+L i l / . |1.

d, = ! | ;(t +cos 2t) dt = ::-1 | dt' E_I2' ' 2nl7

: \ :Entonces: *.i*rr, o,)

Evaluando lmites:

= o,=4,2

Si recordamos el concepto de clculo diferencial sobre la regla de L'Hopital, sta seutiliza para encontrar el lmite de una funcin en un punto, cuando en ese punto la funcinpresentara una indeterminacin. Si aplicamos esta regla a la expresin obtenida para loscoeficientes on, tendremos lo siguiente:

Expresin general: 2A wro'= r7r4cos-

Aplicando regla L'Hopital: e, =liy, -

Evaluando:

De lo anterior, se deduce que a consideracin del estudiante, tiene 2 opciones paraencontrar el valor particular de aquel coeficiente a, (y de igual manera para cualquiercoeficiente r) donde n* 0 , produzca una indeterminacin en la expresin general.

Ahor4 solo basta hallar el coeficiente independ iente o. Segn la frmula:

,, = +(4:l + ; sen zr[i )

", = *l(+. ;) . *(*'- . *-)f

' /=l-ttsef

- /z Avt

- - - -

' -2n2

t '*To,=l I Q),

12l l

a^ - -:- | Acost dt =" 1a J

2

A= do=-

T

t !&A I '-sen fl =2n l"

,-a

Luego entonces, la serie de Fourier para esta seal ser:

- , \ A A g 2A nnJ \r)=- + tcos, * L7(_4cos-cosnt

PROBLEMAS PROPUESTOS DE SERIES DE FOURIER

Encuentre las representaciones en serie trigonomtrica de Fourier para las sealesmostradas a contnuacin.

RESPUESTAS.

(a) i to -2

t -a

a

l+( t+t) , - t