análisis de weibull

STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007

Anlisis de WeibullResumenEl procedimiento del Anlisis de Weibull est diseado para ajustar una distribucin de Weibull a un conjunto de n observaciones. Es comnmente usado para analizar datos representando tiempos de vida o tiempos hasta que se presente error. Los datos pueden incluir censura en los cuales algunas veces los errores no son conocidos exactamente debido al desplazamiento de algunos objetos de la prueba. La distribucin se grafica y los percentiles estimados son mostrados. Si se desea, se pueden especificar los datos para ms de un grupo. En tales casos, una estimacin aparte de la distribucin para cada grupo ser derivada.

StatFolio de Muestra: Weibull analysis.sgp Datos de Muestra:El archivo absorbers.sf3 contiene los datos de una prueba de vida sobre de n = 38 amortiguadores de choques, reportada por Meeker y Escobar (1998). Una parte de los datos se muestra abajo: Distance (Distancia) 6700 6950 7820 8790 9120 9660 9820 11310 11690 11850 11880 12140 28100 Censores (Censurado) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

La columna Distance representa el nmero de kilmetros de uso de cada amortiguador cuando fue inspeccionado. La columna Censored contiene un 0 para cada amortiguador que haba fallado en el momento de la inspeccin y un 1 para cada amortiguador que no fall. Todos los datos contienen informacin acerca del momento hasta se present una falla en los amortiguadores. Para aquellos que haban fallado, la observacin es un momento de error verdadero. Para aquellos que no haban fallado, la observacin es un error censurado a la derecha hasta el momento en cual el error conocido va a ser mayor que el valor indicado.

2006 por StatPoint, Inc.

Anlisis de Weibull - 1


Captura de DatosEl cuadro de dilogo de captura de datos requiere informacin acerca de los momentos de los errores y su estado:

Datos: columna numrica con los n momentos observados n veces. Censurados: columna numrica de 0s y 1s . Un 0 indica que la observacin no est censurada y por lo tanto representa un momento verdadero hasta el momento en que se presenta el error. Un 1 indica que la observacin est censurada a la derecha con el momento en que se presenta el error conocido solamente si es mayor a lo indicado. Seleccin: seleccin del subconjunto.




Resumen del AnlisisEl Resumen del Anlisis muestra una tabla que exhibe la distribucin de Weibull ajustada:Anlisis Weibull - DistanceDatos/Variable: Distance Censura: Censored Mtodo de Estimacin: mxima verosimilitud Tamao de muestra = 38 Nmero de fallas = 11 Forma estimada = 3.16047 Escala estimada = 27718.7 Umbral especificado = 0.0

La distribucin de Weibull de 3 parmetros tiene una funcin de densidad de probabilidad definida por:

f ( x) =

(x ) 1 exp[ (x ) / ]

(1)

Tiene 3 parmetros: 1. Parmetro Forma > 0 2. Parmetro Escala > 0 3. Parmetro Inicio El rango de valores para la variable aleatoria X . La media y la varianza de la distribucin de Weibull son:

E( X ) = +

1

(2)

2 V(X) =

[

2

( ) ( )]2

1

1 2

(3)

Frecuentemente el parmetro inicio se fija en 0, lo que resulta en la distribucin de Weibull de 2 parmetros. La tabla del Resumen del Anlisis muestra: Tamao de muestra el nmero total de observaciones n. Nmero de fallas el nmero de observaciones que corresponden a los momentos de error no censurados. Forma y Escala Estimadas las estimaciones de los parmetros de la forma y escala, . y




Umbral especificado - el valor del parmetro inicio. Dependiendo de las especificaciones en el cuadro de dilogo Opciones de Anlisis, ste parmetro puede ser estimado de los datos o especificado por el usuario. Mtodo de estimacin el mtodo usado para estimar los parmetros. El mtodo predeterminado es de mxima verosimilitud el cual es el mismo mtodo usado por los procedimientos de Ajuste de Distribucin, sin embargo otros mtodos pueden ser requeridos en el cuadro de dilogo Opciones de Anlisis.

Opciones de AnlisisEl cuadro de dilogo Opciones de Anlisis controla cmo los parmetros de la distribucin de Weibull son estimados:

Umbral Inferior: Especifica un valor para el parmetro inicio , o solicita que sea estimado de los datos. Si se estima , el usuario debe seleccionar el mtodo de mxima verosimilitud. Mtodo de Estimacin: el mtodo usado para estimar los parmetros. Estn disponibles tres opciones:

1. Regresin por Rangos Ajusta una lnea a los datos en la Grfica de Weibull al regresar n valores ln(Xi-) contra los posiciones graficadas especificadas en el cuadro de dilogo. 2. Mxima Verosimilitud - Estima los parmetros maximizando la funcin de verosimilitud.



STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 3. Weibayes - Estima el parmetro de la escala suponiendo que los parmetros de inicio y forma son conocidos e igual a los valores indicados en el cuadro de dilogo.

Posicin en Grfica define las posiciones de graficacin verticales en la grfica de Weibull. Esto tambin afecta los parmetros estimados si el mtodo Regresin del Rango ha sido seleccionado. El mtodo predeterminado es Kaplan-Meier Modificado. Ver la seccin Clculos para las definiciones de las diferentes opciones.

Grfica de WeibullLa Grfica de Weibull muestra cmo los momentos de error no censurados graficados sobre una escala logartmica en el eje horizontal X. Las posiciones de graficacin del eje vertical se definen en las Opciones de Anlisis.

Grfica Weibull 99.9 99 90 70 50 30 20 10 5 1 0.5 0.1 1000 10000 Distance 100000

Si los datos provienen de una distribucin de Weibull, los puntos deben caer aproximadamente a lo largo de una lnea recta sobre esta grfica la cual corresponde a la distribucin de Weibull ajustada.


porcentaje acumulado

Est.: MLE Forma: 3.16047 Escala: 27718.7 Umbral: 0.0 Fallas: 11 Tamao de muestra: 38



Cuadro de Opciones

Intervalos de Confianza - aade intervalos de confianza al radio de verosimilitud para Xp, el p-simo percentil de la distribucin de Weibull. Percentil - calcula y muestra el seleccionado percentil. Histograma de Valores Censurados aade un histograma de los valores de datos censurados.

Ejemplo: Grfica mostrando Bandas de Confianza, 90vo Percentil, y el Histograma CensuradoGrfica Weibull 99.9 99 90 70 50 30 20 10 5 1 0.5 0.1 1000 10000 Distance 36089.5 [29146.8,56446.6] 100000

90.0


porcentaje acumulado

Est.: MLE Forma: 3.16047 Escala: 27718.7 Umbral: 0.0 Fallas: 11 Tamao de muestra: 38


STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 El 90 percentil de Distancia es estimado para ser aproximadamente 36,090 km. Los lmites de confianza del 95% se extienden sobre un rango de 29,147 km a 56,447 km, correspondientes a las bandas alrededor de la lnea ajustada.vo

Histograma de FrecuenciasEl Histograma de Frecuencias muestra la distribucin de las observaciones junto con la funcin de densidad estimada.

Distribucin Weibull Ajustada 20 16 porcentaje 12 8 4 0 1000 10000 Distance 100000 No Censurados Censurados

La presencia de muchos valores censurados causa que la curva se incline sobre la derecha del histograma observado.

Opciones del Cuadro de Dilogo

Nmero de clases: el nmero de intervalos dentro de los cuales los datos sern divididos. Los intervalos son adyacentes el uno al otro y de igual amplitrud (antes de que el logaritmo sea calculado). El nmero de intervalos dentro de los cuales los datos se agrupan de manera predeterminada es colocado por la regla especificada en la tabulacin EDA del cuadro de dilogo Preferencias en el men Edicin.




Lmite Inferior: lmite inferior del primer intervalo. Lmite Superior: lmite superior del ltimo intervalo. Mantener: mantiene el nmero seleccionado de intervalos y lmites an si la fuente de los datos cambia. De manera predeterminada, el nmero de clases y los lmites son recalculados en cuanto los datos cambian. Esto es necesario para que todas las observaciones sean mostradas an si algn dato actualizado cae ms all de los lmites originales. Nmero de Grupo: si ms de un grupo de datos ha sido ajustado, el nmero del grupo ser mostrado. Escala Log para el Eje X: Si el eje horizontal debera ser mostrado usando escala logartmica.

Prueba de Bondad de AjusteEl cuadro Prueba de Bondad de Ajuste realiza hasta 7 diferentes pruebas para determinar si o no los datos podran razonablemente provenir de una distribucin de Weibull. Para todas las pruebas las hiptesis de inters son:

Hiptesis Nula: los datos son muestras independientes de la distribucin de Weibull estimada. Hiptesis Alternativa: los datos no son muestras independientes de la distribucin de Weibull estimada.

Las pruebas que se van a realizar son seleccionadas usando Opciones de Cuadro.Pruebas de Bondad-de-Ajuste para Distance D de Kolmogorov-Smirnov Modificada Weibull D 0.0901357 Forma Modificada 0.568059 Valor-P >=0.10

Pequeos P-Values (menores que 0.05 si se opera en un nivel de significancia de 5%) conducen a rechazar la distribucin de Weibull. En el ejemplo actual, el P-Value es grande lo que sugiere que la distribucin de Weibull es un modelo razonable para los datos. Las pruebas de Bondad de Ajuste son descritas con detalle para datos no censurados en la documentacin para Ajustes de Distribucin (Datos no Censurados) y para datos censurados en Ajuste de la Distribucin (Datos Censurados).





Incluir selecciona las pruebas a ser incluidas. Las pruebas disponibles dependen del tipo de censura. Calcula la distribucin para P-Values especficos si se verifica los P-Values estarn basados en las tablas o frmulas especficamente desarrolladas para la distribucin de Weibull. De otro modo, los P-values estarn basados en una tabla general o frmula que se aplica para todas las distribuciones. El acercamiento general es ms conservador (no rechazar una distribucin tan fcilmente) pero puede ser preferido cuando se comparan PValues entre diferentes distribuciones. Censura selecciona el tipo de datos censurados. Los tipos se definidos como:

Aleatorio indica que los valores de los datos han sido aleatoriamente censurados. El censuramiento aleatorio ocurre cuando los valores son censurados por varias razones y no caen en el mecanismo del Tipo I o II. Tipo I indica que los datos son momento-censurados, por ejemplo cuando se han removido datos de la prueba en un momento predeterminado. Si este tipo de censuramiento es seleccionado todos los valores censurados deben ser iguales o un mensaje de error ser generado. Tipo II indica que la prueba fue parada despus de que un predeterminado nmero de errores ha ocurrido. Si se selecciona este tipo de censuramiento, todos los valores censurados deben ser iguales o un mensaje de error ser generado. 2006 por StatPoint, Inc.Anlisis de Weibull - 9


Funcin de DensidadEsta grafica muestra la funcin de densidad de probabilidad estimada f(x):Distribucin Weibull (X 0.00001) 5 4 densidad 3 2 1 0 1000 10000 Distance 100000

La funcin de densidad puede ser usada para determinar la probabilidad de que el momento de error de un suceso se encuentre dentro de un intervalo especificado.


Escala Log para el Eje X: si es seleccionado una escala log ser usada para el eje horizontal.




CDFLa Funcin de Distribucin Acumulada (CDF) muestra la probabilidad estimada de que un dato que ha fallado en el tiempo t:Distribucin Weibull 1 probabilidad acumulada 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1000 10000 Distance 100000

Se incrementa de 0.0 en a 1.0 en valores grandes de X.

Funcin de SupervivenciaLa Funcin de Supervivencia grafica la probabilidad estimada de que un suceso sobrevivir o durar hasta el tiempo t:Distribucin Weibull 1 probabilidad de supervivencia 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1000 10000 Distance 100000

Decrece de 1.0 en a 0.0 en valores grandes de X.




Funcin de Supervivencia LogLa Funcin de Supervivencia Log es el logaritmo natural de la funcin de supervivencia:Distribucin Weibull 3 prob. de log supervivencia

-7

-17

-27

-37 1000 10000 Distance 100000

Funcin de RiesgoLa Funcin de Riesgo es una estimacin de la tasa instantnea de error:

Distribucin Weibull (X 0.0001) 15 12 riesgo 9 6 3 0 1000 10000 Distance 100000

Las unidades de la funcin de riesgo son la fraccin de errores por unidad de tiempo. Si el parmetro de forma estimado < 1, la funcin de riesgo ser monotticamente decreciente. Si > 1, la funcin de riesgo ser monotticamente creciente. Si = 1, la funcin de riesgo ser

constante.




reas de las ColasEste cuadro muestra el valor de la distribucin acumulada hasta para 5 valores de X.Areas de las Colas para Distance X rea Cola Inferior () 0.960916 0.700142 0.276934 0.0412835 0.00157716

The table displays: rea de la Cola Inferior la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor que o igual a X. rea de la Cola Superior la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor que X.

Por ejemplo, la probabilidad de ser menor que o igual a X = 30,000 es aproximadamente 72.3%.Opciones del Cuadro de Dilogo

Valores Crticos: valores de X en los cuales la probabilidad acumulada ser calculada.




Valores CrticosEste cuadro calcula el valor de la variable aleatoria X debajo del cual yace una probabilidad especificada.Valores Crticos para Distance X rea Cola Inferior () 0.99 0.9 0.5 0.1 0.01

La tabla muestra el valor de X tal que la probabilidad de ser menor que o igual a X es igual al rea deseada de la cola. La tabla de arriba muestra que el c.d.f. de la distribucin de Weibull ajustada es igual a 50% en X = 24,683.6.Opciones de Cuadro

reas de Colas: valores del c.d.f. en los cuales se determinan los percentiles de las distribuciones ajustadas.



STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 ClculosEstimacin Usando el Mtodo de Regresin del Rango Regresar ln(Xi-) versus las posiciones graficadas especificadas en Opciones de Anlisis. Los parmetros de forma y escala son estimados a partir del intercepto y la pendiente de la lnea ajustada de acuerdo con:

=

1 slope

(4) (5)

= exp(intercept)

Estimacin Usando Mtodo de Mxima Verosimilitud Las estimaciones son obtenidas por maximizacin numrica de la funcin de verosimilitud.

L = l( X i )i =1

n

(6)

donde f (Xi ) l( X i ) = 1 F ( X i )

si Xi es

uncensored right censored

(7)

Estimacin Usando Mtodo de Weibayes Si no hay errores, el parmetro de escala es estimado por n ( X i ) i =1 = ln(0.05) 1/

(8)

El cual es una banda de confianza inferior del 95% para . De otra manera: n (X i ) = i =1 d 1/

(9)

donde d es el nmero de momentos de error no censurados.

Posiciones de Graficacin: Rangos de Medias Los datos se ordenan del ms pequeo al ms grande y se asignan a un rango ajustado ji = ji-1 + , donde = 1 inicialmente y es modificado en cada momento censurado de acuerdo con:



STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 (n+1) rango ajustado del error previo = ----------------------------------------------------------------1 + nmero de observaciones ms all del dato censurado Las posiciones de graficacin estn dadas por:Fi = j i 0.3 n + 0.4

(10)

(11)

Posiciones de Graficacin: Rangos esperados Los datos se ordenan primero en orden inverso, por ejemplo, r1 = n, , rn = 1. Las estimaciones se calculan de la forma r Ri = i Ri 1 ri + 1

(12)

donde R0=1, y las posiciones de graficacin son Fi = (1-Ri).Posiciones de Graficacin: Kaplan-Meier Similar a los rangos esperados, excepto en r 1 Ri = i Ri 1 ri

(13)

Posiciones de Graficacin: Kaplan-Meier Modificado Usando las estimaciones Kaplan-MeierRi'i = Ri + Ri 1 2

(14)

donde R0=1, y las posiciones de graficacin son Fi = 1 Ri'i .Lmites de Confianza Los lmites de confianza son estimados sobre una base puntual al determinar todos los valores X = Q + para los cuales

~ ~ = 2 log L( , ) + 2 log L( , ) 12 p ,1

(15)

~ ~ donde y son los estimadores de mxima verosimilitud, mientras que y satisfacen las ecuacionesn (X ) (X i ) r r ln(Q) + ln( X i ) + ln(1 p) i ~ Q ln Q = 0 iS i =1

~

(16)



STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 ~ = Q

[ ln(1 p)]1 /

~

(17)

y S es el conjunto de momentos de error d.



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